CPAguas_apostila

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Material didático produzido e periodicamente atualizado pelos alunos da disciplina ENS 5118. 2 
Adaptação do livro “Surface Water-Quality Modeling” (Chapra, S.C., 1997) 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO......................................................................................................6 
1.1 Qualidade da Água ...............................................................................................................6 
1.2 Quantidades Fundamentais ..................................................................................................7 
1.2.1 Massa e Concentração...................................................................................................7 
1.2.2 Taxas ............................................................................................................................10 
1.3 Modelos Matemáticos ........................................................................................................12 
1.3.1 Aplicação do Modelo ..................................................................................................13 
1.3.2 Conservação e balanço de massa ................................................................................15 
EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................18 
CAPÍTULO 2: CINÉTICA DAS REAÇÕES ...............................................................................16 
2.1 Reações Fundamentais .......................................................................................................16 
2.1.1 Tipos de Reações.........................................................................................................17 
2.1.2 Reações Cinéticas........................................................................................................18 
2.1.3 Ordem das Reações: Zero, Primeira e Segunda ordem...............................................19 
2.2 Análises de Dados de Reações ...........................................................................................22 
2.2.1 Método da Integral ......................................................................................................22 
2.2.2 Método Diferencial .....................................................................................................24 
2.2.3 Método das Taxas Iniciais...........................................................................................25 
2.2.4 Método de meia vida ...................................................................................................26 
2.2.5 Método do Excesso .....................................................................................................26 
2.2.6 Método Numérico e Outros.........................................................................................27 
2.3 Estequiometria....................................................................................................................28 
EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................30 
CAPÍTULO 3: BALANÇO DE MASSA, ESTADO DE EQUILÍBRIO DA SOLUÇÃO, E 
TEMPO DE REAÇÃO..................................................................................................................32 
3.1 Balanço de Massa...............................................................................................................32 
3.2 Soluções para estado-estacionário......................................................................................35 
3.2.1 Funções de Transferência e Tempo de Residência .....................................................37 
3.3 Aspectos temporais da redução de poluentes:....................................................................39 
3.3.1 Solução Geral ..............................................................................................................40 
3.3.2 Tempo de Resposta .....................................................................................................41 
EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................42 
CAPÍTULO 4: DIFUSÃO.............................................................................................................46 
4.1 ADVECÇÃO E DIFUSÃO................................................................................................46 
4.2 Experimento .......................................................................................................................47 
4.3 Lei de Fick..........................................................................................................................49 
4.4 Modelo de Baía ..................................................................................................................51 
4.4.1 Estimativa de difusão ..................................................................................................52 
4.4.2 Solução em Estado Estacionário .................................................................................53 
4.4.3 Variação do tempo na solução ....................................................................................55 
EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................62 
CAPITULO 5: SISTEMAS DISTRIBUÍDOS (ESTADO ESTACIONÁRIO)............................63 
5.1 Reator Ideal ........................................................................................................................63 
5.1.1 Reator Tubular (PFR)..................................................................................................63 
5.1.2 Comparação entre Reator de Fluxo de Mistura Completa (CSTR) e Reatores 
Tubulares (PFR) ....................................................................................................................66 
5.1.3 Reator de fluxo disperso (MFR)..................................................................................67 
5.2 Aplicação do Modelo (PFR) para Rios ..............................................................................72 
5.2.1 Na Jusante ...................................................................................................................72 
 
 
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5.2.2 Poluente Distribuído....................................................................................................75 
5.3 Poluente na Jusante ............................................................................................................77 
5.3.2 Poluente distribuído.....................................................................................................79 
EXERCÍCIOS ...........................................................................................................................80 
CAPÍTULO 6: RIOS E CÓRREGOS ...........................................................................................82 
6.1 Tipos de rios ........................................................................................................................82 
6.2 Alcance das Estimativas.....................................................................................................84 
6.3 Análise de fluxo .................................................................................................................86 
6.4 Dispersão e Mistura............................................................................................................87 
6.4.1 Dispersão Longitudinal ...............................................................................................87 
6.4.3 Mistura Lateral ............................................................................................................886.5 Fluxo, Profundidade e Velocidade. ....................................................................................89 
6.5.1 Coeficientes de dispersão ............................................................................................89 
6.5.2 A equação de Manning................................................................................................90 
CAPÍTULO 7: ESTUÁRIOS........................................................................................................91 
7.1 Transporte de Estuário .......................................................................................................91 
7.2 Corrente líquida do estuário ...............................................................................................93 
7.3 Coeficiente de dispersão do estuário. .................................................................................94 
7.3.1 Análise do Parâmetro – Constante ..............................................................................95 
7.3.2 Análise de Diferença – Final .......................................................................................97 
7.3.3 Amostragem de Maré – Oscilante.............................................................................102 
7.3.4 Comparação com Rios, Lagos, e o Oceano...............................................................103 
Caixa 7.1 Baías de água doce.............................................................................................104 
7.4 Estratificação Vertical ......................................................................................................106 
CAPÍTULO 8: LAGOS E REPRESAS ......................................................................................110 
8.1 Águas paradas ..................................................................................................................110 
8.2 Morfometria do lago.........................................................................................................111 
8.3 Balanço de água ................................................................................................................112 
8.3.1 Estado estacionário....................................................................................................112 
8.3.2 Evaporação ................................................................................................................113 
8.3.3 Variável de tempo .....................................................................................................114 
8.4 Modelos “perto da orla” ...................................................................................................114 
EXERCÍCIOS .........................................................................................................................116 
CAPÍTULO 9: DBO E SATURAÇÃO DO OXIGÊNIO ...........................................................118 
9.1 O Ciclo Orgânico Produção/Decomposição ....................................................................118 
9.2 A Curva de Concentraçäo de Oxigênio Dissolvido .........................................................119 
9.3 Experimento .....................................................................................................................123 
9.4 DBO5 ...............................................................................................................................124 
9.4.1 Taxa de remoção de DBO: ........................................................................................124 
9.5 Lei de Henry e a lei do gás ideal ......................................................................................125 
9.5.1 Efeito da Temperatura:..............................................................................................126 
9.5.2 Efeito da Salinidade: .................................................................................................127 
9.5.3 Efeito da pressão .......................................................................................................127 
EXERCÍCIOS .........................................................................................................................128 
CAPÍTULO 10: TRANSFERÊNCIA DE GÁS E REAERAÇÃO DE OXIGÊNIO ..................130 
10.1 Teorias de Transferência de Gás ....................................................................................133 
10.1.1 Teoria da Dupla Membrana de Whitmon’s.............................................................133 
10.1.2 Modelo de Renovação da Superfície.......................................................................137 
10.2 Oxigênio Reaerado.........................................................................................................139 
10.3 Fórmulas de Reaeração ..................................................................................................141 
10.3.1 Rios e Fluxos...........................................................................................................142 
10.3.2 Quedas de Água e Represas ....................................................................................144 
 
 
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10.3.3 Águas Paradas e Estuários.......................................................................................144 
10.3.4 Extrapolando a reaeração para outros Gases...........................................................146 
10.4 Dimensionamento para Reaeração com Vestígios .........................................................148 
EXERCÍCIOS .........................................................................................................................150 
CAPÍTULO 11: STREETER-PHELPS: FONTES PONTUAIS ...............................................151 
11.1 Experimento ...................................................................................................................151 
11.2 Equação de Fonte Pontual de Streeter-Phelps...............................................................153 
11.3 Balanço de Déficit no Ponto de Descarga......................................................................154 
11.4 Múltiplas Fontes Pontuais ..............................................................................................156 
11.5 Análise do Modelo Streeter-Phelps................................................................................162 
11.6 Calibração.......................................................................................................................164 
CAPÍTULO 12: NITROGÊNIO .................................................................................................167 
12.1 Nitrogênio e a Qualidade da água ..................................................................................167 
12.2 Modelo DBON ...............................................................................................................171 
GABARITOS..............................................................................................................................179 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO 
1.1 Qualidade da Água 
 
Nos tempos primórdios, quando pequenos grupos de famílias se estabeleciam 
formando comunidades, os esgotos produzidos eram lançados nos corpos de água 
superficiais como rios, lagos e estuários. Com o passar dos anos, devido ao aumento 
populacional e o surgimento de doenças de origem hídrica, tornava-se impraticável o 
lançamento de esgotos brutos nos rios. Em decorrência disto surgiram as estações de 
tratamento de efluentes (ETEs) e as estações de tratamento de água (ETAs). As ETEs 
podem utilizar técnicas de tratamentocom custos reduzidos como a simples disposição 
em tanques de sedimentação ou então, optar por técnicas mais onerosas como os 
tratamentos físico-químicos avançados, que podem transformar esgoto em água 
cristalina. Como o lançamento de esgoto bruto nos corpos hídricos é ambientalmente 
inaceitável e o tratamento de esgotos através de técnicas onerosas são dois extremos 
impraticáveis, buscou-se desenvolver metodologias que atendessem as necessidades 
econômicas e ambientais. Desta forma, ficou estabelecido que o tratamento de esgotos 
teria como resultado final um efluente que propiciasse um nível aceitável de qualidade 
da água no corpo receptor (rios e lagos). Contudo, para determinar qual o nível de 
tratamento adequado é necessário predizer a variação na qualidade da água em 
função de uma carga lançada no rio, ou seja, é necessário estabelecer uma relação 
entre a carga W e a concentração resultante C no corpo receptor (Figura 1.1). A partir 
desta necessidade, iniciaram-se as pesquisas e o desenvolvimento de modelos 
matemáticos de predição da qualidade da água. 
Figura 1.1 - Sistema de água e esgoto urbano. A estação de tratamento de água (ETA) purifica 
a água do rio para distribuição ao consumo humano. Uma estação de tratamento de esgoto 
(ETE) remove a carga poluidora do esgoto para proteger o corpo receptor (rio). 
 
 
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Hoje, o gerenciamento da qualidade da água não trata somente os pontos de 
origem de poluição urbana, mas também outros tipos de fontes de poluição. Além de 
esgoto doméstico, hoje são tratadas outras fontes de poluição, tais como resíduos 
industriais e de agrotóxicos proveniente do escoamento de águas superficiais em áreas 
agrícolas. Geralmente, para se fazer previsões sobre a carga e a concentração de 
poluentes em rios e lagos em função do tempo são efetuadas simulações em modelos 
de qualidade da água (figura 1.2). 
 
Figura 1.2 -Processo de gerenciamento da qualidade da água. 
 
1.2 Quantidades Fundamentais 
Na discussão anterior, foram introduzidos conceitos de concentração e carga. 
Antes de prosseguir, é interessante olhar mais especificamente para estas quantidades 
e como elas são representadas numericamente, bem como definir outras quantidades 
fundamentais usadas em modelos de qualidade da água. 
 
1.2.1 Massa e Concentração 
Em modelos de qualidade da água, o montante de poluentes em um sistema é 
representado pela sua massa. Tal propriedade é formalmente chamada de propriedade 
extensiva. Alguns exemplos são o calor e o volume. Todas essas características são 
acréscimos. Por outro lado, uma quantidade que é normalizada como uma medida do 
sistema é chamada de propriedade intensiva. Exemplos incluem temperatura, 
densidade e pressão. Em nosso contexto, a propriedade de intensidade é a 
concentração de massa, que é definida como: 
 
 
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V
mc = (Equação 1.1) 
Onde m = massa (M) e V = volume (L3). A utilidade da concentração dá-se ao fato que, 
como toda quantidade intensiva, ela representa a "intensidade" ao invés da 
"quantidade" de poluição. Do mesmo modo, é preferível usar a concentração como 
indicador de impacto ambiental. 
A concentração é convencionalmente expressa em unidades métricas. A massa 
na equação 1.1 é expressa em unidades fundamentais de gramas usadas com os 
prefixos da tabela 1.1. Então, 
1 x 103 mg = 1g = 1 X 10-3kg 
A unidade de volume não é fixa por que ela pode ser expressa de duas 
maneiras: litros ou metros cúbicos. Dependendo da escolha da unidade a ser usada, 
podem ocorrer algumas confusões, devido as equivalentes respostas que podem 
resultar. Por exemplo, 
Tabela 1.1 
SI (Sistema internacional de unidades) 
Prefixos comumente usados em modelagem 
de qualidade da água 
Prefixo Símbolo Valor 
kilo- k 103 
hecto- h 102 
deci- d 10-1 
centi- c 10-2 
mili- m 10-3 
micro- µ 10-6 
nano- n 10-9 
 
333
3
10
10
m
g
mg
g
m
L
L
mg
= 
Então, a unidade mg/L é igual a g/m3. 
 
 
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A situação a seguir é um pouco mais complicada, pois para soluções aquosas 
diluídas, comuns em muitas águas superficiais, a concentração é muitas vezes 
expressas baseada na massa. Esta conversão é possível pelo fato da densidade da 
água ser aproximadamente igual a 1g/cm3: 
( ) ppmg
g
cm
m
cmgxm
g
m
g 1
1010/1 636
3
333 === 
Onde ppm lê-se partes por milhão. Outras identidades estão resumidas na tabela 1.2. 
Tabela 1.2 
Algumas variáveis de qualidade da água com as unidades usadas 
Variáveis Unidades 
Sólidos dissolvidos totais, salinidade g L-1 ⇐⇒ kg m-3 ⇐⇒ ppt 
Oxigênio, DBO, nitrogênio mg L-1 ⇐⇒ gm-3 ⇐⇒ ppm 
Fósforo, clorofila, tóxicos µg L-1 ⇐⇒ mg m-3 ⇐⇒ ppb 
Tóxicos ng L-1 ⇐⇒ µg m-3 ⇐⇒ pptr 
Exemplo 1.1 - Massa e concentração. Se 2 x 10-6lb de sal forem introduzidos em 1 
m3 de água destilada, qual é a concentração resultante em ppb? 
Solução: Aplicando a equação 1.1 juntamente com o fator de conversão de libra para 
grama (1lb= 453.6 g), temos 
34
3
6
10072.96.453
1
102 −−− ⋅×=




×= mg
lb
g
m
c 
Convertendo para as unidades desejadas, temos 
ppb
mgm
ppb
g
mggmc 9072.01010072.9 3
3
34 =





×= −
−− 
 
 
 
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1.2.2 Taxas 
As taxas incluem todas as propriedades que são relacionadas com o tempo são 
comumente referidas como taxas. Agora discutiremos algumas taxas que serão 
fundamentais em modelos de qualidade da água (Figura 1.3) 
Carga. Como mostra a Figura 1.1, os despejos de esgotos são tipicamente 
representados pela taxa de carga W. Se uma massa m de poluentes é determinada 
durante um período de tempo t, então a taxa da carga pode ser simplesmente 
calculada como 
 
t
mW = (Equação 1.2) 
 
 
Figura 1.3 - Três taxas fundamentais usadas em modelagem da qualidade da água. 
A maioria das cargas tem como ponto de origem os condutos como canos e 
canais. Para tais casos, a taxa da carga é determinada pela medição da concentração 
juntamente com a vazão da água que passa pelo conduto, Q(L3T-1). A carga é 
calculada como (Figura1.3a) 
cQW = (Equação 1.3) 
Vazão. Pra estabelecer a vazão, a taxa da vazão é geralmente calculada através da 
equação da continuidade (figura 1.3b) 
cUAQ = (Equação 1.4) 
 
 
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onde U= velocidade da água no conduto (LT-1) e Ac= área seccional do conduto (L2). 
Fluxo. O termo fluxo é usado para designar a taxa de movimentação de uma 
quantidade extensiva como massa ou aquecimento normalizado para área. Por 
exemplo, a taxa do fluxo de massa através de um conduto pode ser calculada como 
cc A
W
tA
mJ == (Equação 1.5) 
Substituindo as equações 1.3 e 1.4 pela equação 1.5, o fluxo de massa também pode 
ser expresso em termos de velocidade e concentração (Figura 1.3c) 
UcJ = (Equação 1.6) 
Exemplo 1.2 Carga e Fluxo. Um reservatório com volume constante e sem escape 
tem como superfície As =104 m2 e uma profundidade média (H) de 2 m. Inicialmente 
com uma concentração de 0,9 ppm. Uma medição feita 2 dias depois indicou um 
aumento para 1,5 ppm. (a) Qual a carga neste período? (b) Se, hipoteticamente, a 
única fonte de poluição é proveniente da atmosfera, estime o fluxo ocorrido. 
Solução: 
(a)O volume do sistema pode ser calculado como 
3424
5 102)2(10 mmmHAV ×=== 
A massa do poluente em um tempo inicial (t = 0) pode ser calculada como 
gxgmmxVcm 4334 106.1)8.0(102 === − 
e em t = 2 d é 3.0 x 104g. Então, o crescimento na massa é 1.4x104g e a carga é 
14
4
107.0
2
104.1 −== gdx
d
gxW 
(b) O fluxo de poluentes pode ser calculado como 
12
24
14
)(7.0
101
107.0 −− == dmg
mx
gdxJ 
 
 
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OBS. Algumas vezes o conceito de taxa pode ser confundido com quantidade (em 
nosso caso, massa e concentração). Um exemplo do que pode ocorrer quando isto acontece é 
encontrado na página 10 do livro, no box 1.1. 
 
1.3 Modelos Matemáticos 
Agora que algumas quantidades fundamentais já foram definidas, podemos 
discutir modelos matemáticos. Um modelo matemático representa uma versão 
simplificada da realidade. 
 Em nosso caso não construímos modelos físicos, mas usamos matemática para 
representar a realidade. Então, podemos definir um modelo matemático como uma 
fórmula idealizada que representa a resposta de um sistema físico a um estímulo 
externo. Então, no contexto da figura 1.1 um modelo matemático é necessário para 
calcularmos a qualidade (resposta) do corpo receptor do efluente (o sistema) como 
uma função da planta do efluente (estímulo). Tal modelo pode ser representado como, 
( )iabioquímicafísicaWfc log,,;= (Equação 1.7) 
De acordo com a equação 1.7, a relação causa-efeito entre a carga e a concentração 
depende das características físicas, químicas e biológicas do corpo receptor. 
O restante deste capítulo tratará dos refinamentos da equação 1.7. Um passo 
muito simples nesta direção é empregar uma relação linear para formular a equação 
1.7 em termos matemáticos como 
W
a
c 1= (Equação 1.8) 
onde a = fator de assimilação (L3T-1) que representa a parte física, química e biológica 
do corpo receptor. A equação 1.8 é chamada equação linear por c e W serem 
diretamente proporcionais. Conseqüentemente, se W for dobrado, c será dobrado 
também. 
 
 
 
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1.3.1 Aplicação do Modelo 
A equação 1.8 pode ser aplicada de várias maneiras: 
1. Modo de simulação. Como expresso na equação 1.8, o modelo é usado para 
simular uma resposta do sistema (concentração) como uma função do estímulo (carga) 
e das características do sistema (fator de assimilação). 
2. Modo de projeto I (capacidade de assimilação). O modelo pode ser re-arranjado 
como 
acW = (Equação 1.9) 
Essa aplicação é chamada de modo de desenho porque ela fornece informações que 
podem ser usadas para desenhos de sistemas na engenharia. É formalmente 
conhecida como cálculo da capacidade de assimilação porque fornece uma estimativa 
da carga necessária para alcançar um nível de concentração desejado ou padrão. 
Então isto forma a base para o desenho de plantas de tratamento para águas 
residuárias e deveria também esclarecer o motivo deste modo ser chamado de fator de 
assimilação. 
3. Modo de projeto II (modificação ambiental). A aplicação do segundo modo de 
desenho é 
c
Wa = (Equação 1.10) 
Neste caso, o ambiente torna-se o foco dos esforços de remediação. A equação 1.10 
foi formulada para determinar como, para uma carga dada, o ambiente deve ser 
modificado para atingir um padrão determinado. Exemplos de modificações ambientais 
seriam dragagem de sedimentos de fundo, aeração artificial e aumento da vazão. 
Exemplo 1.3 - Fator de Assimilação. O lago Ontário no começo dos anos 70 teve 
uma carga total de fósforo de aproximadamente 10.500 mta (toneladas métricas por 
ano, onde cada unidade representa 1000kg) e uma concentração, no lago, de 21 µg L-1 
(Chapra e Songzoni 1979). Em 1973, o estado de Nova York e a província de Ontário 
 
 
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ordenaram uma redução da quantidade de fosfato nos detergentes, o que resultou em 
uma redução da carga para 8000 mta. 
(a) calcule o fator de assimilação no Lago Ontário. 
(b) Qual seria a concentração no lago decorrente da redução do fosfato nos 
detergentes? 
(c) Se o objetivo fosse reduzir a qualidade da água para 10 µg L-1, quanto mais deveria 
ser a redução necessária? 
Solução: 
(a) O fator de assimilação pode ser calculado como 
11 50021
500,10
−−
===
gL
mta
gL
mta
c
Wa
µµ
 
(b) Usando a equação 1.8, a redução no nível de fósforo no lago pode ser 
calculada como: 
1
1
16
500
8000 −
−
=== gL
gL
mta
mta
a
Wc µ
µ
 
(c) Usando a equação 1.9, 
mta
L
g
gL
mtaacW 500010500 1 === −
µ
µ
 
então, mais 3000 mta devem ser removidos. 
Sem levar em consideração o modo da aplicação, a efetividade do modelo é 
possível em uma caracterização precisa do fator de assimilação. Como no exemplo 
1.3, os dados fornecem um meio de estimarmos o fator de assimilação. Um dos 
objetivos dos próximos capítulos é delinear outros meios de determinar este fator. 
 
 
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1.3.2 Conservação e balanço de massa 
Tradicionalmente, dois métodos têm sido aplicados para estimarmos o 
fator de assimilação: 
- Modelos empíricos, são baseados em uma abordagem indutiva ou baseados em 
dados. Este foi o método aplicado no exemplo 1.3 para um lago simples. Muitas vezes 
isto implica em obter-se valores de W e c de um grande número de sistemas, que são 
similares ao corpo receptor em questão. Técnicas de regressão podem ser aplicadas 
para estimarmos, estatisticamente, o fator de assimilação (figura 1.4). 
- Modelos mecanicistas, são baseados em uma abordagem dedutiva ou teórica. 
Envolve o uso de relacionamentos teóricos e princípios organizacionais. Por exemplo, 
muito da engenharia clássica é baseada nas leis de Newton, particularmente na 
segunda: F=ma. Além disto, as leis de conservação são comumente aplicadas como 
princípios organizacionais para vários trabalhos em engenharia. 
 
Figura 1.4 – Modelo empírico de água-qualidade usa dados de muitos corpos de água para calcular 
estatisticamente a relação de causa-efeito entre carga e concentração. 
Embora os métodos empíricos tenham provado sua aplicabilidade em certos 
contextos de qualidade da água como no caso de eutrofização de um lago (veja 
Reckhow e Chapra 1983), eles têm algumas limitações. Conseqüentemente, adota-se 
uma abordagem mecanística para os próximos capítulos. 
 
 
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Modelos mecanísticos de qualidade da água são baseados na conservação de 
massas; isto é, em um finito volume de água, não há criação ou destruição de massa. 
Em termos quantitativos, o princípio é expresso como uma equação de balanço de 
massa que estima toda a transferência de matéria através dos limites do sistema e 
todas as transformações que ocorrem dentro do sistema. Para um determinado 
período de tempo, isto pode ser expresso como 
Acúmulo = cargas ± transporte ± reações (Equação 1.11) 
A figura 1.5 mostra a concentração de massa para duas substâncias hipotéticas 
que passam e reagem em um volume da água. O movimento da matéria através do 
volume, juntamente com a vazão, é chamado de transporte. Além da vazão, a massa é 
aumentada ou perdida através das transformações ou reações das substâncias no 
volume. Reações também aumentam a massa transformando a substância em outro 
constituinte, comona figura 1.5 onde X reage para formar Y. Finalmente a substância 
pode ter um aumento ocasionado por cargas externas. 
 
Figura 1.5 – Uma representação esquemática de carga, transporte, e transformação de duas 
substâncias movendo-se e reagindo dentro de um volume de água. 
 
 
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Combinando todos os fatores anteriores em forma de equação, o balanço de 
massa representa a modelagem para determinado constituinte. Se, durante o cálculo, 
as fontes forem maiores que as perdas, a massa da substância aumentará. Se as 
perdas forem maiores que as fontes, a massa diminuirá. Se as fontes forem iguais as 
perdas, a massa permanecerá em um nível constante e o sistema é dito estar em 
estado-estacionário ou equilíbrio dinâmico. A expressão matemática de conservação 
de massa também fornece um modelo para calcularmos a resposta de um corpo de 
água a influências externas. 
Desde que o sistema na Figura 1.5 inclua duas substâncias, os balanços de 
massa para X e Y podem ser escritos separadamente. Cada balanço deve incluir 
termos matemáticos para quantificar o transporte de substâncias para dentro e para 
fora do sistema. Acrescentando-se a isso o balanço para X deve incluir um termo que 
reflita a transformação de X em Y, pela reação. Da mesma forma a equação para Y 
deve incluir o mesmo termo, porém, com um sinal positivo para refletir o ganho de 
massa por Y, devido ao mesmo processo. Finalmente, o balanço para X deve incluir 
um termo de ganho de massa pela carga. 
Para situações onde mais de duas substâncias interagem, equações adicionais 
podem ser escritas. Similarmente, um pesquisador pode estar interessado nos níveis 
das substâncias, em vários locais, dentro do volume de controle. O sistema pode, 
então, ser dividido em sub volumes para os quais balanços de massa, distintos, podem 
ser desenvolvidos. Termos de transportes adicionais podem ser incluídos para 
contabilizar a transferência de massa entre os sub volumes. Esta divisão matemática 
de espaço e matéria em compartimentos – determinada segmentação – é fundamental 
à aplicação da conservação da massa aos problemas de qualidade de água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
 
Quadro 01 - Prefixos 
comuns 
 Quadro 02 - Principais unidades 
grandeza Prefixo símbolo grandeza unidade símbolo 
10-18 atto a Tempo segundo s 
10-15 femto f Comprimento metro m 
10-12 pico p Área metro quadrado m2 
10-9 nano n Volume litro L 
10-6 micro µ Velocidade metro/segundo m/s 
10-3 mili m Massa grama g 
10-2 centi c Vazão metro cúbico/ 
Segundo 
m3/s 
10-1 deci d litro/segundo L/s 
10 deca da Densidade grama/centímetro 
cúbico 
g/cm3 
102 hecto h Pressão pascal Pa (N/m2) 
103 kilo k atmosfera atm 
106 mega M cm de mercúrio cm de Hg 
109 giga G Concentração grama/litro g/L 
1012 tera T grama/ metro cúbico g/m3 
1015 peta P porcentagem % 
1018 exa E partes por mil %o 
 partes por milhão ppm 
 partes por bilhão ppb 
 molaridade mol/dm3 
 
 
1. Faça o arredondamento dos seguintes valores: 
 
a) 3,76 (uma casa decimal) 
 
 
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b) 23,55 (uma casa decimal) 
c) 0,234 (duas casas decimais) 
d) 1,455 (duas casas decimais) 
e) 34,4556 (duas casas decimais) 
f) 56,33333 (três casas decimais) 
g) 33,45677 (três casas decimais) 
 
 
2. Utilizando notação científica desenvolva os seguintes problemas; 
 
a) 107x104 
 
f) (44)3 
b) 
3
5
10
10 
g) 4,55x108 . 2,3x10-6 
c) 
2
8
10
10
−
 
h) 46.000.000/23.000 
d) 410 i) 0,00000044 x 234.000 
e) 5 2010 j) 3,4x10
-4/2,6x102 
 
 
3. Diga quantos algarismos significativos existem nos valores abaixo: 
 
 número algarismos 
significativos 
 número algarismos 
significativos 
a) 6 g) 0,07 
b) 7,4 h) 0,0600 
 
 
c) 7,23 i) 600,00 
d) 7,0 j) 5,3 x 104 
e) 0,004 i) 6,3 x 10-4 
 
 
4. Desenvolva os seguintes exercícios: 
a) log AB 
b) log A/B 
c) log Aa 
d) log a B 
 
e) log d
c
b
a
D
C
B
A 
 
 
 
5. Utilizando notação científica, dois algarismos significativos, calcule os valores com 
as suas respectivas unidades: 
 
a) 0,000030 m + 0,00045 m 
b) 0,334 m - 0,23 m 
c) 0,0000045 L + 0,000035 L 
d) 35.000.000 m x 360 m 
 
 
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e) 0,00034 m2 x 0,00345 m 
f) 34 m/s / 2,3 m3/s 
 
 
6. Calcule as expressões abaixo e converta a unidade de acordo com aquela entre 
parênteses. 
 
a) 2,45 m x 0,67 m2 (L) f) 0,3 km.dia-1 + 3,7 
m/h 
(m/s) 
b) 35 dm3 + 876 cm3 (m3) g) 35 ppb + 300 ppm (�g.L-1) 
c) 1,5 m/s + 45 km/h (km/dia) h) 3,5 g/m3 + 89 g/L (ppm) 
d) 220 L/s + 2,4 m3/s (m3/h) i) 45 cm2 x 356 mm (mL) 
e) 45 L.s-1 + 0,0056 
m3.h-1 
(m3.dia-1) j) 4,6 m/s x 34 m2 (L/h) 
 
 
7. Determine os valores de Ci nas seguintes expressões: 
a) ∫ −=
70
5 0,65C
dCCi 
b) ∫ −=
200
Ci 0,8.C
dC0,2 
c) ∫∫ =
10
0
200
Ci
dtdC 
 
 
 
8. Num laudo laboratorial, a concentração de Cr (total) foi de 75 ng/L, converta para 
ppm, ppb e �g/L. 
 
9. A água do mar tem em média 35 %o de NaCl, transforme a unidade para ppm, ppb 
e g/L. 
 
10. Numa piscina de 20 m de largura, 50 m de comprimento e 3 m de profundidade, foi 
adicionado 350 g de um corante. Determine a concentração deste corante em g/L, 
�g/L. 
 
11. Foram adicionados 560 mg de uma substância num reator cilíndrico com 25 cm2 de 
área e 300 mm de altura. Calcule a concentração inicial desta substância em g/L e 
ppb. 
 
12. Num balão volumétrico de 500 mL foram colocados 0,3100 g de NaCl, determine a 
concentração em g/L e ppm . 
 
13. Num becker contendo 50 mL de KOH 0,5 mol/dm3 foi adicionado 300 mL de água 
destilada, calcule a concentração da diluição. 
 
14. Num becker contendo 200 mL de uma solução de Ba(OH)2 0,5 mol/dm3, foi 
despejado 300 mL outra solução de Ba(OH)2 0,2 mol/dm3, determine a 
concentração final. 
 
 
 
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15. Um tonel contém 0,085 m3 de um inseticida na concentração de 350 mg/L. Qual 
massa desse inseticida em g e kg. 
 
16. Foram misturadas duas soluções (de 2 L cada), a primeira com a concentração 34 
ppm e a segunda com 355 ppb. Determine a concentração final em ng/L e �g/L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 2: CINÉTICA DAS REAÇÕES 
 
Neste capítulo são apresentados alguns métodos para caracterização de 
reações em águas naturais. Diversos métodos gráficos e computacionais são utilizados 
para determinar a ordem e a velocidade de uma reação, sendo de suma importância 
conhecer as variáveis envolvidas no processo e os efeitos de temperatura. 
Os poluentes dissolvidos em um corpo hídrico podem estar sujeitos a uma série 
de fenômenos, como mecanismos de transporte (advecção e dispersão) e 
transformação envolvendo diversos tipos de reações. Além disso, o poluente pode sair 
do sistema, devido à volatilização, sedimentação. Estes mecanismos afetam a 
substância sem alterar sua composição química. Em contraste uma substância pode 
ser transformada dentro de outro composto, via reações químicas e bioquímicas. Neste 
capítulo,estes tipos de reações serão estudadas. 
Supondo que se queira realizar uma experiência para determinar como uma 
substância reage após sua entrada em um corpo d’água. Um simples método para tal 
verificação seria a introdução do poluente em uma série de garrafas com água, 
agitando-as para simular as condições naturais e manter os conteúdos bem 
misturados. Tais garrafas são geralmente chamadas de reatores. Através de medições 
de concentração em cada garrafa em determinados intervalos de tempo pode-se 
chegar valores de concentração em relação ao tempo (Figura 2.1). A proposta deste 
capítulo é descobrirmos como tais dados podem ser empregados para caracterizar os 
efeitos destas substâncias sobre as reações. 
 
 
2.1 Reações Fundamentais 
 
 
 
 
 
 
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Antes de discutir como as reações podem ser quantificadas, obrigatoriamente 
serão introduzidas algumas definições e nomenclaturas usuais. 
 
 
2.1.1 Tipos de Reações 
 
Reações heterogêneas são aquelas que envolvem mais de uma fase, ocorrendo 
geralmente na superfície entre as fases. Ao contrário, as reações homogêneas 
envolvem uma única fase (isto é, líquido, gasoso, ou sólido). Estas são as reações 
mais fundamentais empregadas em modelos de qualidade da água, sobre tudo as 
reações homogêneas na fase líquida. 
Uma reação reversível pode proceder em qualquer direção, dependendo da 
concentração relativa dos reagentes e produtos: 
 
aA + bB ↔ cC + dD (Equação 2.1) 
 
onde as letras minúsculas representam os coeficientes estequiométricos e as letras 
maiúsculas designam os componentes da reação. Tais reações encaminham-se para 
alcançar o estado de equilíbrio onde os reagentes e produtos são balanceados. Eles 
são as bases para o conhecimento da área do equilíbrio químico. Nos voltaremos para 
este tipo de reação futuramente quando trataremos o tópico de pH. 
Embora as reações reversíveis são mais importantes nos modelos de qualidade 
d’água, mais ênfase tem sido dada as reações irreversíveis. Estas passam numa única 
direção e continua até que os reagentes são esgotados: 
 
aA + bB → cC + dD (Equação 2.2) 
 
Estaremos interessados em determinar a proporção com que A desaparece nas 
substâncias. 
Um exemplo comum de uma reação irreversível é a decomposição da matéria 
orgânica, a qual pode ser representada geralmente por: 
 
 
 
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C6H12O6 + 6O2 → 6CO2 + 6H2O (Equação 2.3) 
 
onde C6H12O6 é a glicose, que pode representar simplificadamente a matéria orgânica. 
 
 
2.1.2 Reações Cinéticas 
 
As reações cinéticas ou proporções de tais reações pode ser expressa 
quantitativamente pela lei da ação das massas, podendo ser representada 
genericamente por: 
 
 
( ),..., BAA cckfdt
dc
−= (Equação 2.4) 
 
Esta relação é chamada lei das proporções. Isto especifica que a proporção da 
reação é dependente do produto da temperatura-dependente da constante k e a função 
das concentrações dos reagentes f (cA, cB,...). 
A função de relação f (cA, cB,...) é quase sempre determinada 
experimentalmente. De forma geral é representada por: 
 
βα
BA
A ckc
dt
dc
−= (Equação 2.5) 
 
A forma que as concentrações aumentam em uma reação, está associada à 
ordem da reação. Na equação 2.5, α é de ordem a em relação ao reagente A e de 
ordem β em relação ao reagente B. A reação de ordem global é representada por: 
 
βα +=n (Equação 2.6) 
 
A ordem global, ou de qualquer componente individual de reação, não deve ser 
um número inteiro. No entanto, nos modelos de qualidade da água são usadas ordens 
de reações inteiras para as mais importantes reações. 
 
 
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Neste capítulo, estudamos um único reagente. A Equação 2.5 é simplificada da 
seguinte forma: 
 
nkc
dt
dc
−= (Equação 2.7) 
 
onde c é a concentração do único reagente e n é a ordem da reação. 
 
 
2.1.3 Ordem das Reações: Zero, Primeira e Segunda ordem 
 
Embora haja um infinito número de caminhos para caracterizar as reações, as 
mais empregadas para águas naturais são: Equação 2.7 com n = 0, 1 e 2. 
 
 
- Ordem Zero: para modelo de ordem zero, a equação usada é: 
 
k
dt
dc
−= (Equação 2.8) 
 
onde k tem unidades de M L-3 T-1. Se c = c0 para t = 0, então esta equação pode ser 
integrada por partes, dando: 
 
ktcc −= 0 (Equação 2.9) 
 
Como denotado por esta equação e pelo gráfico na Figura 2.2, este modelo 
especifica a constante de proporção esgotada por unidade de tempo. Assim, se um 
gráfico de concentração versus tempo for uma linha reta, podemos dizer que a reação 
é de ordem zero. 
Esta figura está errada! 
O gráfico b) está invertido 
com c)
 
 
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- Primeira Ordem: para o modelo de primeira ordem a equação é: 
 
kc
dt
dc
−= (Equação 2.10) 
 
onde k tem unidade de T-1. Se c = c0 para t = 0, então esta equação pode ser integrada 
por separação de variáveis para chegar a: 
 
ktncnc −=− 011 (Equação 2.11) 
fazendo a exponencial de ambos lados : 
ktecc −= 0 (Equação 2.12) 
 
Como indicado por esta equação, este método especifica um esgotamento 
exponencial, isto é, a concentração vai caindo por unidade de tempo. Assim, como no 
gráfico da Figura 2.3, a curva de concentração aproxima-se do zero ao decorrer do 
tempo. 
A diminuição da proporção usada na equação acima é chamada proporção de 
“base-e”, pois isto é usado em conjunção com a função exponencial para definir o 
esgotamento da concentração com o tempo. Isto pode ser notado quando uma base 
pode ser empregada para descrever a mesma direção (inclinação). Por exemplo, isto 
será usado pela base 10 ou logaritmo comum: 
 
3025.2
ln
10ln
lnlog xxx == (Equação 2.12) 
substituindo: 
tkcc '0loglog −=− (Equação 2.14) 
 
onde k’ = um coeficiente na “base 10” relacionada a “base e” sendo dada por: 
 
3025.2
' kk = (Equação 2.15) 
 
 
 
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Fazendo o logaritmo inverso da equação dada anteriormente, temos: 
 
tkcc
'
100
−= (Equação 2.16) 
 
Embora as proporções da primeira ordem são escritas em termos de “base e”, 
algumas são expressas em “base 10”. Portanto é importante compreender qual é a 
base usada no começo. A interpretação conduziria para usar a proporção incorreta por 
um fator de 2.3025. 
 
- Segunda Ordem: para modelo de Segunda ordem a equação empregada é: 
 
2kc
dt
dc
− (Equação 2.17) 
 
onde k tem unidades L3 M-1 T-1. Se c = c0 para t = 0, então esta equação pode ser 
integrada por partes: 
 
kt
cc
+=
0
11 (Equação 2.18) 
 
Portanto, se a reação é de segunda ordem, um gráfico de 1/c por t dará uma 
linha reta. A equação acima também pode ser expressa em termos de concentração 
como função do tempo: 
 
tkc
cc
0
0 1
1
+
= (Equação 2.19) 
 
Assim, como para uma reação de primeira ordem, as concentrações aproximam-
se de zero na curva. 
Finalmente, isto será usado para modelos de ordem de maior proporção. Isto é, 
para interação positiva de valores de n, com n≠1, 
 
( )ktn
cc nn
111 1
0
1 −+= −− (Equação 2.20) 
 
 
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Resolvendo por c, temos: 
 
( )[ ] ( )1/110
0
1
1
−−−+
= nn tkcn
cc (Equação 2.21) 
 
 
2.2 Análises de Dados de Reações 
 
Há vários caminhos para analisar os dados de um grupo reator. Apresentaremos 
vários métodos para isto. Mesmo usando a Equação 2.7, dada anteriormente como 
base para ilustração dessas técnicas, muitas das idéias gerais são usadas para outros 
modelos de proporção. 
 
 
 
2.2.1 Método da Integral 
 
O método integral consiste de descobrimento de n, integrando a Equação 2.7 
para obter a função c(t). Métodos gráficos são empregados para verificar se os 
modelos são apropriados para os dados obtidos. 
Os gráficos abordados são baseados nos métodos de linearização implícito. 
Para as reações de ordem zero, o gráfico c versus t será uma linha reta. Para a reação 
de primeira ordem, sugestiona um gráfico semi-log. Estes e os outros modelos são 
comumente aplicados e resumidos na tabela 2.1: 
 
Tabela 2.1 – Resumo da estratégia usada para aplicação do método da integral para 
reações irreversíveis e unimoleculares. 
 
Ordem Unidade de K 
Variável 
dependente 
(y) 
Variável 
independente 
(x) 
Intercepta (y) 
em: 
ZERO M(L3T)-1 (mol/l.tempo) C -k C0 
1º T-1 ln C -k ln C0 
 
 
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2º L3/(MT)-1 1/C k 1/C0 
GERAL (L3/M-1)n-1 T-1 C1-n (n – 1) k C01-n 
 
EXEMPLO 2.1 – Método Integral. Determinar a ordem da reação utilizando os dados 
abaixo pelo método da integral. 
t (d) 0 1 3 5 10 15 20 
c (mg L-1) 12 10.7 9 7.1 4.6 2.5 1.8 
 
Solução: A Figura 2.4 mostra os gráficos para a determinação da ordem da reação. É 
utilizado o método da regressão linear para encontrar a equação da melhor reta. O 
gráfico de 1n c aproxima-se de uma linha reta, mas a equação de melhor reta para este 
caso é: 
tnc 0972.047.21 −= ( )995.02 =r 
Com a equação encontram-se os valores de k e c0: 
 
10972.0 −= dk 
147.2
0 8.11
−== mgLec 
 
A equação final deste modelo: 
 
tec 0972.08.11 −= 
 
Transformando para a base 10 utilizando a Equação 2.15 temos: 
 
0422.0
3025.2
0972.0' ==k 
 
Substituindo na Equação 2.16, temos: 
 
( ) tc 0422.0108.11 −= 
 
 
 
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A igualdade das duas expressões pode ser confirmada calculando C através de 
algum valor de tempo, 
 
( ) 26.78.11 50972.0 == −ec 
( ) ( ) 26.7108.11 50422.0 == −c 
 
Logo, resultado é o mesmo. 
 
 
 
2.2.2 Método Diferencial 
 
Tem-se o método diferencial aplicando uma transformação logarítmica na 
Equação 2.7 para ter: 
cnk
dt
dc logloglog +=




− (Equação 2.22) 
Portanto se o modelo comum conserva um gráfico tipo log (-dc/dt) por log c, o mesmo 
será uma linha reta com uma inclinação n interceptada por log k. 
O método diferencial tem a vantagem de ser automaticamente melhorado 
estimando a ordem da reação. Isto tem a desvantagem de depender da derivada 
calculada, que pode ser feita de diversos meios. O mais comum é baseado na 
diferenciação numérica. 
Esta figura está errada! 
O gráfico b) está invertido 
com c)
 
 
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Adaptação do livro “Surface Water-Quality Modeling” (Chapra, S.C., 1997) 
 
- Diferenciação numérica: usa diferença finita aproximada para calcular 
derivadas (Chapra e Canale 1988). Um exemplo dessa diferença pode ser 
empregada (Figura 2.5): 
 
 
Figura 2.5 – Diferenciação Numérica 
 
11
11
−−
−+
−
−
=
∆
∆
≅
ii
iii
tt
cc
t
c
dt
dc
 (Equação 2.23) 
 
Embora seja uma aproximação válida, a diferenciação numérica é uma operação 
instável, isto é, implica erros. 
 
 
2.2.3 Método das Taxas Iniciais 
 
Há casos onde o tempo causa complicações nas reações; como na reação 
inversa. Algumas reações são muito lentas tornando a realização de experimentos 
inviável. Para tais casos são usados dados do início do experimento para determinar a 
constante da taxa e a ordem. 
Para cada experimento, a taxa inicial –dc0/dt é determinada pela diferenciação 
dos dados e extrapolando o tempo para zero. 
 
 
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Para o caso onde a lei da proporção é dc/dt =kcn, o método diferencial (gráfico 
de log (-dc0/dt) versus log c0) pode ser usado para calcular k e n. A inclinação melhora 
o cálculo da ordem, enquanto a interseção melhora o cálculo da proporção do 
logaritmo. 
 
 
2.2.4 Método de meia vida 
 
A meia vida de uma reação é o tempo necessário para que a concentração de 
determinado elemento caia para a metade da inicial. Em outras palavras: 
 
( ) 050 5.0 ctc = (Equação 2.25) 
 
onde t50 = meia-vida. Usaremos novamente a equação dc/dt = - kc. Se c = c0 em t = 0, 
a equação pode ser integrada nos dando 
 
( ) 







−





−
=
−
−
1
1
1 10
1
0
n
n c
c
nkc
t (Equação 2.26) 
 
O gráfico do logaritmo da meia vida versus o logaritmo da concentração dá uma 
linha reta com inclinação de 1 - n. O cálculo de n pode ser usado em conjunção com a 
interseção para calcular k. 
Devemos notar que a escolha da meia vida é arbitrária. Na realidade 
poderíamos ter escolhido outro tempo tø, onde ø, é a redução percentual. 
 
 
( )
( ) 10
1
1
1
1
100
100
−
−
−
−





−
= n
n
cnk
t
φ
φ (Equação 2.29) 
 
 
2.2.5 Método do Excesso 
 
Quando uma reação envolve muitos reagentes, é freqüentemente possível 
adicionar excessos dos reagentes em exceção de um. Em tais casos a reação 
 
 
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Adaptação do livro “Surface Water-Quality Modeling” (Chapra, S.C., 1997) 
dependerá somente do único reagente escasso. Como em varias reações de 
decomposição para substâncias tóxicas (como biodegradação e hidrólise) podem ser 
representadas algumas vezes pela ração 
 
A + B → produtos (Equação 2.30) 
 
onde A = composto tóxico e B = outra quantidade que faz parte da reação (como 
bactérias ou íons de hidrogênio). A seguinte expressão, simples de taxa é muito 
empregada no modelo da reação 
 
ba
a ckc
dt
dc
−= (Equação 2.31) 
 
onde ca e cb são as concentrações de dois reagentes. Se a concentração inicial de B 
(cb0) é muito maior que A (ca0), a reação tratada pode ter um efeito mensurável em A 
bem com B será afetado numa proporção mínima. Conseqüentemente a equação pode 
ser reformulada como 
 
( ) ababa ckckcdt
dc
20 −=−= (Equação 2.32) 
 
onde kb2 = kcbo = pseudo primeira ordem da taxa da reação. As técnicas descritas 
anteriormente podem ser empregadas para avaliar os coeficientes. 
 
 
2.2.6 Método Numérico e Outros 
 
À parte das abordagens anteriores, existem as orientações-computacionais para 
avaliar as taxas dos dados obtidos. O Método do Integral / Mínimos Quadrados oferece 
os benefícios de ambos os métodos integral e diferencial em um único método. Nesta 
aproximação valores dos parâmetro (n e k) são assumidos e a equação dc/dt = kcn é 
resolvida para c(t). Entretanto, preferencialmente do que por cálculos, a solução é 
obtida numericamente. A solução consiste em uma tabela de concentrações previstas 
correspondentes aos valores medidos. A somatória do quadrados das diferenças entre 
os valores medidos e os previstos pode ser calculada. Os valores assumidos de n e k 
 
 
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Adaptação do livro “Surface Water-QualityModeling” (Chapra, S.C., 1997) 
então são ajustados até que uma condição de mínima ou de mínimos quadrados é 
alcançada. Isso pode ser feito pelo método das tentativas. Entretanto extensões em 
modernos softwares incluem algoritmos de otimizações não lineares que fornecem uma 
maneira automatizada de realizar o mesmo objetivo. 
Os valores finais dos parâmetros n e k correspondem a melhor reta dos dados. 
Desta maneira a técnica tem uma vantagem sobre o da integral da maneira em não é 
altamente sensitivo a dados errados. E ainda possui o benefício da aproximação 
diferencial sem requerer a prioridade de assumir a ordem da reação. 
 
 
2.3 Estequiometria 
 
Introduzimos a noção de concentração de massa como um significado 
quantitativo a força de um composto químico na água. Agora estamos lidando com 
reações onde vários componentes devem reagir para formar outros. Portanto queremos 
determinar a quantidade de cada reagente ou produto que é consumido ou criado 
durante a reação. A resposta dessa pergunta reside na estequiometria ou número de 
moles, fazendo parte de uma reação. 
 Como exemplo temos a decomposição ou oxidação do açúcar. 
 
C6H12O6 + 6O2 → 6CO2 + 6H2O 
 
Essa reação especifica que seis moles de oxigênio irão reagir com um mol de 
glicose para formar seis moles de água. Nos capítulos anteriores usamos diretamente 
concentrações molares quando manipulamos matematicamente essas equações para 
resolver problemas de equilíbrio químico. Por hora, como foi mostrado no capítulo 
anterior, devemos ser capazes de interpretar a equação da decomposição da glicose 
por uma perspectiva da concentração de massa. 
Primeiramente, vamos entender como a glicose da equação acima pode ser 
expressa em unidades de massa. Isso é usualmente feito de duas maneiras. A maneira 
mais direta é expressar a concentração baseando-se em uma molécula inteira. Por 
exemplo, podemos dizer que um Becker contem 100gm-3 de glicose. Isso é abreviado 
como 100g- glicose m-3. O número de moles de glicose na solução pode ser 
 
 
Material didático produzido e periodicamente atualizado pelos alunos da disciplina ENS 5118. 29 
Adaptação do livro “Surface Water-Quality Modeling” (Chapra, S.C., 1997) 
determinado pelo peso molecular da glicose. O peso molecular da glicose pode ser 
calculado como 
 
 N.º de Moles Massa por mole Resultado 
6 x C 6 X 12g 72g 
12 x H 12 X 1g 12g 
6 x O 6 X 16g 96g 
 Peso Molecular = 180g 
 
Esse resultado pode ser usado para se obter a concentração molar, 
 
3
3 molem556.0ecosglig180
mol1
m
ecosglig100 −=





−
 (Equação 2.34) 
 
Uma alternativa é expressar a concentração em termos de massa por um dos 
componentes da glicose. Como este é um composto orgânico de carbono, glicose pode 
ser expressa em g m-3 de carbono. Por exemplo, 
 
 33 gCm40ecosglig180
moleC/gC12molesCx6
m
ecosglig100 −=





−
− (Equação 2.35) 
 
Assim 100g-glicose m-3 correspondem a 40gC m-3. 
Essas conversões são muito usadas para expressar taxas estequiométricas. 
Tomando o exemplo de massa de carbono por massa de glicose pode ser expressa 
como 
 
 1cg ggCg4.0ecosglig180
moleC/gC12molesCx6a −−=
−
= (Equação 2.36) 
 
onde acg = taxa estequiométrica de carbono para glicose. Essa taxa pode ser usada 
para formular a concentração de carbono em massa de glicose como 
 
3
3gcgc gCm40m
ecosglig100
ecosglig
gC4.0cac −=




 −
−
== (Equação 2.37) 
 
 
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onde subscrevemos c e g designando carbono e glicose respectivamente. 
Paralelamente ao cálculo da quantidade de cada elemento, é contida na 
molécula conversões estequiométricas são muito usadas para determinar a quantidade 
de reagente ou produto é consumida ou produzida pela reação. Por exemplo, quanto 
oxigênio seria consumido se 40gCm-3 de glicose reagisse de acordo com a 
decomposição do açúcar. Primeiramente, podemos calcular a massa de oxigênio 
consumida pela massa de carbono da glicose decomposto. 
 
122
oc gOgC67.2moleC/gC12molesCx6
moleO/gO32xmolesO6
r −== (Equação 2.38) 
 
onde roc = massa de oxigênio consumida por massa de carbono da glicose 
decomposta. Essa taxa é usada para determinar 
 
3
3 gOm67.106m
gC40
gC
gO67.2 −=




 (Equação 2.39) 
 
Então se 40gCm-3 de glicose (ou 100g-glicose m-3) é decomposta, serão consumidos 
106,67 gO m-3. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Você mede o decaimento das concentrações de um contaminante em função do 
tempo em uma temperatura de 20ºC e obtém os seguintes resultados: 
t (hr) 0 2 4 6 8 10 
c (µgL-1) 10.2 5.3 3.3 2.9 2.1 1.8 
(a) Determine a ordem (n) e a constante (k) da cinética da reação. 
(b) Determine a constante (k) para uma temperatura de 16ºC, sabendo que θ =1,047. 
 
 
 
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2) A dinâmica da população é importante para se prever como desenvolvimento 
humano pode influenciar na qualidade da água de uma bacia. Um dos modelos 
mais simples leva em consideração que a taxa de crescimento populacional p é 
proporcional a população existente num tempo t: 
Gp
dt
dp
= (1) 
Onde G = é a taxa de crescimento (anual). Suponha que os dados do censo obteve a 
seguinte tendência para a população de uma pequena cidade para um período de 20 
anos: 
 
t 1970 1975 1980 1985 1990 
p 100 212 448 949 2009 
Considerando o modelo (equação (1)) como sendo válido estime G e a população no 
ano de 1995. 
 
3) Uma representação mais completa da reação de decomposição de matéria orgânica 
está expressa abaixo: 
C106H267O110N16P1 + 107 O2 + 14 H+ → 106 CO2 + 16NH4+ + HPO42- + 108H2O (2) 
 
Esta reação mostra que a matéria orgânica contém nutrientes como nitrogênio 
(N) e fósforo (P). Com base na equação (2), dado que 10gC m –3 de matéria 
orgânica são decompostos, calcule: 
(a) A razão estequiométrica para a quantidade de oxigênio consumida por carbono 
decomposto, roc (gO gC-1) 
(b) A quantidade de oxigênio consumida (gO m-3) 
(c) A quantidade de amônio liberada (expressa em mgN m-3) 
 
4) Cada indivíduo de uma cidade de 100.000 habitantes contribui com 250 L/hab.dia de 
esgoto e 135 gramas/hab.dia de demanda bioquímica de DBO. Calcule a vazão (m3/s) 
 
 
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e a carga de DBO gerada (ton/ano) por esta população. Determine também a 
concentração de DBO do esgoto em mg/L. 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 3: BALANÇO DE MASSA, SOLUÇÃO PARA O ESTADO 
ESTACIONÁRIO, E TEMPO DE RESPOSTA 
 
 
3.1 Balanço de Massa 
 
Um Sistema de Mistura Completa – Continuously Stirred Tank Reactor (CSTR) 
tem uma fonte que contribui com carga (entrada) e três formas de redução da 
concentração no sistema: a saída de carga com o fluxo que sai do reator, a 
sedimentação e as reações. A figura 3.1 mostra hipoteticamente o sistema de mistura 
completa. Para um tempo determinado o balanço de massa para o sistema pode ser 
expresso como: 
 
 ção Sedimenta- Reação - Saída- Entrada Acumulação= (Equação 3.1) 
 
 
 
Figura 3.1 - mostra hipoteticamente o sistema de mistura completa. 
 
 
a) Acumulação: Representa a variação de massa no sistema num determinado tempo 
 
t
MAcumulação
∆
∆
= (Equação 3.2) 
Mas a massa está relacionada com concentração pela equação: 
 
V
Mc = (Equação 3.3) 
 
Onde V = volume do sistema (L³), então: 
 
 
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VcM = (Equação 3.4) 
Substituindo: 
 
 
t
VcAcumulação
∆
∆
= (Equação 3.5) 
 
Nesse caso, assume-se que o volume é constante, então: 
 
 
t
cVAcumulação
∆
∆
= (Equação 3.6) 
 
Finalizando, ∆t pode ser muito pequeno a equação reduz-se a: 
 
 
dt
dcVAcumulação = (Equação 3.7) 
 
Assim, a massa acumula-se à medida que a concentração aumenta com o tempo (dc/dt 
positivo) e diminui à medida que a concentração diminui com o tempo (dc/dt negativo). 
No caso do Estado em Equilíbrio a massa remanescente (resultante) tem que ser 
constante (dc/dt = 0). Unidade de Acumulação (M / T) ou (M T -¹). 
 
b) Carga de Entrada: É a massa que entra no lago (sistema) de várias fontes e de 
diferentes formas. Por exemplo: fontes de tratamento de efluentes, drenagens pluviais, 
precipitações, deposição de partículas presentes no ar. 
 
 W(t) Entrada de Carga = (Equação 3.8) 
 
Onde W(t) = taxa de massa carga (MT -¹) e (t) significa a carga em função do tempo. 
Deveria ser notado que em uma parte posterior desta conferência formulamos 
cargas de um modo ligeiramente diferente que na Equação 3.8. No lugar de um único 
valor W(t), representaremos isto como o produto 
 
 ( )tQc Entrada de Carga in= (Equação 3.9) 
 
 
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Onde Q = somatório das vazões de entrada no sistema (L3T-1) e cin (t) = concentração 
de influxo comum destas fontes. Note que assumimos aquele fluxo que é constante em 
todas as variações temporais de cargas são os resultados de variações temporais na 
concentração de fluxo. Também reconheça que aquela concentração média de influxo 
pode ser relacionada a cargas comparando as equações 3.8 e 3.9 e resolvendo para 
 
 ( ) ( )
Q
tWtcin = (Equação 3.10) 
 
Onde: Q = somatório das vazões de entrada (L³ T -¹) e c(t) = média das concentrações 
das fontes (M L-³). 
 
c) Carga de Saída: A taxa de massa transportada pode ser quantificada pelo produto 
da vazão (Q) pela concentração csaída (M L-³) de saída do efluente. 
 
 Qc saídade Carga = (Equação 3.11) 
 
d) Reação: Embora existam maneiras diferentes de formular reações de retiradas, a 
mais comum é a representada por uma equação de 1ª ordem 
 
 kMaçãoRe = (Equação 3.12) 
 
Onde k é o coeficiente de 1ª ordem (T-¹). Então: 
 
 kVcaçãoRe = (Equação 3.13) 
 
e) Sedimentação: Pode ser formulada como o fluxo de massa através da área 
superficial da interface água/sedimentação. 
 
 cvAentaçãodimSe s= (Equação 3.14) 
 
Onde: v = velocidade aparente de sedimentação (L T-¹); As = área superficial de 
sedimentação (L²). Note que alguns poluentes podem estar na forma dissolvida não 
sujeito a sedimentação então, a equação pode ser representada por: 
 
 
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VckentaçãodimSe s= (Equação 3.15) 
 
f) Balanço Total: Os termos agora podem ser combinados no seguinte balanço de 
massa para um lago (sistema) bem misturado: 
 
 ( ) cvAkVcQctW
dt
dcV s−−−= (Equação 3.16) 
 
 
3.2 Soluções para estado-estacionário 
 
Se o sistema está sujeito a uma entrada constante por um tempo suficiente ele 
estará em equilíbrio dinâmico chamado de Estado-Estacionário. Isto significa que 
dc/dt=0 , então: 
 
 
svAkVQ
Wc
++
= (Equação 3.17) 
 
Ou usando o formato da equação 1.8, 
 
 W
a
1c = (Equação 3.18) 
Onde o fator de assimilação é definido como: 
 
 svAkQa ++= (Equação 3.19) 
 
Exemplo 3.1 - Balanço de Massa: Um lago tem as seguintes características: Volume 
(V) = 50.000 m³; Profundidade (H) = 2 m; Vazão de entrada (Qentrada) = Vazão de 
saída (Q saída ) = 7.500 m³/d; Temperatura (T) = 25 °C. O lago recebe a carga de um 
poluente de três fontes: - Uma fábrica que despeja 50 kg/d; - Um fluxo da atmosfera de 
0,6 g/m² d e uma concentração inicial de 10 mg/L. Se o poluente decai a uma taxa de k 
= 0,25/d a 20°C, q = 1,05. 
 
 
 
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a) Calcule o fator de assimilação (a); 
 
b) Calcule a concentração em estado estacionário/Equilíbrio (c); 
 
c) Calcule a massa por tempo de cada termo no balanço de massa. 
 
 
 
Solução: 
a) fator de assimilação (a) 
 
12025 d319.005.1x25.0k −− == 
( ) 13dm454.23000,50319.0500.7kVQa −=+=+= 
 
b) Concentração do estado de Equilíbrio 
 
Área Superficial (As) 2s m000,252
000,50
H
VA === 
 
Carga Atmosférica (Watm) ( ) 1satm gd000,15000,256.0JAW −=== 
 
Carga de Entrada (Wentrada) ( ) 1ent gd000,7510500.7W −== 
 
Carga total de entrada 1gd000,140000,75000,15000,50W −=++= 
 
Concentração (c) 1mgL97.5000,140
454,23
1W
a
1c −=== 
 
c) Massa por tempo de cada termo no balanço de massa 
 
( ) 1gd769,4497.5500.7Qc −== 
 
( ) 1gd231,9597.5000,50319.0kVc −== 
 
 
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3.2.1 Funções de Transferência e Tempo de Residência 
 
O fator de assimilação tem uma variedade de outras maneiras para resumir 
habilidades do estado de equilíbrio do sistema para assimilação de poluentes. 
 
a) Funções de transferência (β): Especifica como o sistema atribui a transformação 
ou transferência para a saída. Um modo alternativo para formular a Equação 3.17 esta 
baseado na expressão das cargas no formato da Equação 3.9. Para o caso firmar-
estado é: 
 
 inQcW = (Equação 3.20) 
Esta equação pode ser substituída pela equação 3.17 e o numerador e denominador 
do resultado podem ser divididos por cin rende: 
 
 β=
inc
c (Equação 3.21) 
 
Onde β = função de transferência 
 
 
svAkVQ
Q
++
=β (Equação 3.22) 
 
Nota: se b < 1 significa que houve diminuição do poluente, o lago (sistema) tem grande 
capacidade de assimilação; se b > 1 significa que a capacidade de assimilação do lago 
(sistema) é mínima. 
 
b) Tempo de Residência (τE): O tempo de residência de uma substância e significa o 
tempo que uma molécula ou partícula de e pode residir no sistema. 
 
 
±
=
dt
dE
E
Eτ (Equação 3.23) 
onde E = quantidade de e no volume ( M ou M L -³) e dE/dt± é o valor absoluto de 
cada fonte ou perda ( M T -¹ ou ML -³ T-¹) 
 
 
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Q
V
W =τ (Equação 3.24) 
 
desde que a evaporação é igual a precipitação. Por exemplo, num lago a perda pode 
ser representada pela equação: 
 
 cvAkVcQc
dt
dM
s++=
±
 (Equação 3.25) 
 
Se M = Vc então, 
 
 
s
c vAkVQ
V
++
=τ (Equação 3.26) 
 
Exemplo 3.2 – Função Transferência e Tempo de Residência: Para o lago do 
exemplo 1 determine: 
a) concentração de entrada; 
b) função transferência; 
c) tempo de residência da água; 
d) tempo de residência do poluente 
 
Solução 
a)concentração de entrada: 1in mgL67.18500.7
000,140
Q
Wc −=== 
 
b)função transferência: 32.0
kVQ
Q
c
c
in
=
+
==β 
 
c)tempo de residência da água: d67.6
500.7
000,50
Q
V
W ===τ 
 
d)tempo de residência do poluente: ( ) d13.2000,50319.0500.7
000,50
kVQ
V
c =+
=
+
=τ 
 
 
 
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3.3 Aspectos temporaisda redução de poluentes: 
 
Considerando soluções em estado-estacionário e cargas constantes por um 
período de tempo suficientemente longo é possível estimar-se a média da qualidade da 
água. Na figura 3.4, duas questões inter-relacionadas são levantadas: Quanto tempo 
levará para o melhoramento da qualidade da água ocorrer? Qual será a forma do 
restabelecimento? Para determinar a correta trajetória, inicia-se com o modelo de 
balanço de massas: 
 
cvAkVcQctW
at
Vdc
5)( −−−= (Equação 3.31) 
 
Dividindo a equação 3.31 pelo volume: 
 
c
H
vkcc
V
Q
V
)t(W
dt
dc
−−−= (Equação 3.32) 
 
De outra forma tem-se: 
 
V
)t(Wc
dt
dc
=+λ (Equação 3.33) 
 
Onde, 
 
H
vk
V
Q
++=λ (Equação 3.34) 
 
Na qual λ é um valor característico. Se os parâmetros (Q, V, k, v e H) são constantes, a 
equação 3.33 é uma equação diferencial ordinária, não homogênea, linear e de 
primeira ordem. A solução consiste em duas partes: 
 
pg ccc += (Equação 3.34) 
 
onde cg = solução geral para o caso W(t) = 0, e cp = solução particular para formas 
específicas de W(t). 
 
 
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Soluções gerais são ideais para investigação do tempo de recuperação do 
sistema. 
 
3.3.1 Solução Geral 
 
Se c = co em t = 0, a equação 3.33 com W(t) = 0 pode ser resolvida como: 
 
 t0ecc
λ−= (Equação 3.36) 
 
Esta equação descreve como a concentração do lago varia em função do tempo. A 
equação 3.36 tem o comportamento de uma função exponencial. 
Observa-se pela figura 3.6, que o valor negativo do argumento (-λt) significa que 
a concentração decresce e aproxima-se assintoticamente de zero. 
A razão de decrescimento é indicada pela magnitude do valor λ. Se λ é grande, 
a concentração do lago decrescerá rapidamente. Se λ é pequena, a reação será lenta. 
 
EXEMPLO 3.3 - Solução Geral: No exemplo 3.1 determinou-se a concentração em 
estado-estacionário para um lago tendo as seguintes características: Volume = 50.000 
m2; Profundidade média = 2 m; Fluxo de entrada = Fluxo de saída = 7500 m3d-1; 
Temperatura = 25 oC; Desperdício de carga = 140.000 gd-1; Razão de decaimento = 
0,319 d-1. Se a concentração inicial é igual ao nível em estado-estacionário (5,97 mgL-
1), determine a solução final. 
 
SOLUÇÃO: O valor característico é calculado como: 
 
1469,0319,0
50000
7500 −=+=+= dk
V
Qλ 
 
assim, a solução geral é: 
t469.0e97.5c −= 
 
na qual pode ser apresentada graficamente como na figura 3.3. 
Observa-se como propriedade da solução geral que embora a carga seja 
reduzida a zero, a concentração será zero. 
 
 
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3.3.2 Tempo de Resposta 
 
Embora o parâmetro λ indique a reação temporal das características do lago, 
esta apresenta algumas falhas. Falhas essas devido a interpretações matemáticas e ao 
fato de quanto maior o λ menor o tempo para resposta. 
O tempo de reação é um parâmetro que representa o tempo que o lago leva 
para completar uma porcentagem fixada de restabelecimento. Pela equação 3.36, um 
tempo de reação de 50%, significa que a concentração é abaixada de 50% de seu valor 
inicial, ou 
 
 50t00 ecc50.0
λ−= (Equação 3.37) 
 
Onde t50 = tempo de resposta de 50% (T). Dividindo a equação acima por 0,50c0 tem-
se: 
 
 2e 50t =λ (Equação 3.38) 
 
 Resolvendo a equação acima: 
 
 
λ
693.0t50 = (Equação 3.39) 
 
As deduções acima podem ser generalizadas para calcular um tempo de reação 
arbitrário: 
 
φλφ −
=
100
10011 nt (Equação 3.40) 
 
onde tφ = tempo de reação de φ% 
 
EXEMPLO 3.4 - Tempo de reação: Determine o tempo de reação para 75%, 90%, 
95% e 99% para o lago do exemplo 3.3. 
 
 
 
 
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Adaptação do livro “Surface Water-Quality Modeling” (Chapra, S.C., 1997) 
SOLUÇÃO 
 
 dt 96.2
469.0
39.1
75 == 
 
De modo similar t90= 3.9d, t95= 6.4d, t99= 9.8d. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Um caminhão tanque derramou acidentalmente uma quantidade desconhecida de 
um composto orgânico em um lago. Os técnicos do órgão ambiental mediram uma 
concentração de contaminante no lago igual a 100 mg/L. Sabe-se que o volume do 
lago é 105 m3 e a vazão de entrada é igual a vazão de saída (Q=1000m3/dia). Se o 
contaminante sofre um decaimento fotoquímico de primeira ordem (k=0,005 dia-1), 
determine o tempo necessário para a sua concentração reduzir a 5% do valor inicial. 
 
2) Um lago com um único afluente possui as seguintes características: Profundidade 
principal = 5 m; Área de superfície = 12x106 m2; Tempo de residência = 4,5 anos. Uma 
instalação industrial despeja defensivos agrícolas (W=2500x106 g ano-1) no lago. Além 
disso, o curso de água afluente também contém defensivos agrícolas (Cin=20 mg L-1). 
Leve em consideração que a vazão de entrada e saída são as mesmas. Assumindo 
que a reação de degradação de primeira-ordem pode ser usada para caracterizar a 
degradação dos defensivos agrícolas (k=0,09 ano-1), 
(a) Escreva a equação de balanço de massa para os defensivos agrícolas no 
sistema. 
(b) Se o lago está em estado-estacionário, calcule a concentração de defensivos 
agrícolas que entram no lago. 
(c) Se o lago está em estado-estacionário, qual a carga que a instalação industrial 
deve manter para que a concentração no lago caia para 25 ppm? Expresse seu 
resultado como uma redução percentual. 
(d) Avalie cada uma das seguintes opções de engenharia para determinar qual é a 
mais eficiente para redução da concentração do estágio-estacionário: 
 
 
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a. Reduzir a carga atual da instalação industrial construindo uma estação de 
tratamento de água que remova 60% dos defensivos agrícolas do 
efluente da instalação. 
b. Duplicar a profundidade do lago por dragagem. 
c. Duplicar a taxa de vazão do lago Q desviando algum curso de água livre 
de defensivos agrícolas (não poluído) para o lago. 
 
3) Um agricultor derramou acidentalmente em um lago 5Kg de um pesticida solúvel. O 
pesticida está sujeito à volatilização de acordo com o seguinte fluxo: J = vv.C , onde vv 
= coeficiente de transferência de massa por volatilização de 0,01 dia-1. O lago possui 
área superficial de 1 x 105 m², H=5 m e vazão de 1 x 106 m3/dia. 
(a) Determine a concentração do pesticida no lago em função do tempo. 
(b) Determine o tempo de resposta t95% para o sistema 
(c) Calcule o tempo necessário para a concentração ser reduzida a 0,1µg/L 
 
 
 
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CAPÍTULO 4: DIFUSÃO 
 
Este capítulo abrange sistemas de mistura incompleta. Estes incluem sistemas 
tais como rios, estuários, baías, e as zonas costeiras que não são quimicamente 
homogêneas. A partir daqui, o trabalho tratará da introdução do movimento da massa 
dentro dos sistemas, isto é, através dos limites abertos. 
 
 
4.1 ADVECÇÃO E DIFUSÃO 
 
Numerosos tipos de movimento das águas transportam matéria para dentro das 
águas naturais. A energia eólica e gravitacional dão movimento à água, que conduz o 
transporte de massa. Neste contexto, os movimentos internos do sistema podem ser 
divididos em duas categorias gerais: advecção e difusão. 
 
 
Figura 4.1 - O transporte de uma mancha de corante no espaço e no tempo através (a) da 
adveccão e (b) da difusão. 
 
Resultados advectivos do fluxo, que é unidirecional, não muda a identidade da