Limite
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Limite


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Limite e continuidade 
Noção Intuitiva de limite 
( ) 2 \u2212
qualquer que seja o número real c, o valor f (c)está bem definido. 
Exemplo 1. Se x = 2 então f 2 = 2 1 3 2 é o valor f (2) = 3 . 
 Considere a função f x = x 1 . Esta função está definida para todo x \u2208\u211c , isto é, 
( ) 2 \u2212 = . Dizemos que a imagem de x =
Graficamente: 
( ) x
2 \u22121
Considere agora uma outra função g x = . Esta função está definida
x \u22121 
\u2200 \u2208x { }\u211c\u2212 1 . Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1. 
( ) = 1
2 \u2212 1 
= 
0 ???g 1 
1 \u2212 1 0 
0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas 
0 
serão tratados mais adiante. 
Qual o comportamento gráfico da função g quando x assume valores muito próximos de 1, porém 
diferentes de 1? 
A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa 
vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer 
valor atribuído a x determina uma única imagem, sem problema algum. Mas na função g, existe o 
ponto x = 1 que gera a indeterminação. 
x2 \u22121
Estudemos os valores da função ( ) =g x quando x assume valores próximos 
x \u22121
(numa vizinhança) de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar tabelas de aproximações. 
3 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
 
Tabelas de aproximações 
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma 
função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto. 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (tabela A) 
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1: (tabela B) 
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 
g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 
Observemos que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando 
para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, dizemos: 
\u201cO limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2\u201d. 
x2 \u22121( )Simbolicamente escrevemos: lim g x = 2 ou lim = 2 . 
x\u21921	 x\u21921 x \u22121 
Observações:
1) Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais. 
\u2217	 Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela 
esquerda, e denotamos simbolicamente por x \u2192 1\u2212 . Temos então que: 
x2 \u22121
lim ( ) 2g x = lim = 2ou 
\u2212x\u21921\u2212 x\u21921 x \u22121 
Obs: O sinal negativo no expoente do 
no 1 simboliza apenas que x se 
aproxima do número 1 pela esquerda. 
\u2217	 Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela 
direita, e denotamos simbolicamente por x \u2192 1+ . Temos então que: 
x2 \u22121
lim ( ) 2g x = lim = 2ou 
+x\u21921+ x\u21921 x \u22121 
Obs: O sinal positivo no expoente 
do no 1 simboliza apenas que x se 
aproxima do número 1 pela direita. 
2) Se a função g se aproximasse de valores distintos à medida que x se aproximasse lateralmente de 
1, pela esquerda e pela direita, então diríamos que o limite da função g não existiria neste ponto, 
simbolicamente (	 )lim g x . 
x\u21921 
3) O limite da função g(x) quando x se aproxima de 1, somente existe se os limites laterais são 
iguais. Simbolicamente: 
( )	 ( ) ( )lim g x = 2 se, e somente se, lim g x = lim g x = 2 . 
x\u21921	 x\u21921\u2212 x\u21921+ 
Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função,
caso ele exista? 
Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir. 
4 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
 
0Cálculo de uma indeterminação do tipo 
0 
Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 , deveremos simplificar* a
0 
expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na 
expressão já simplificada, o valor de x. 
* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, racionalização, dispositivo prático de 
Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc... 
Vejamos os exemplos seguintes. 
( ) ( ) x
2 \u22121
Exemplo 2. Determine lim g x , onde g x = . 
x\u21921 x \u22121 
Observe que ( ) = 0 g 1 que é uma indeterminação matemática! Quando a variável x está cada vez 
0 
mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a 
expressão da função g e depois fazer a substituição direta. 
2 
( ) = x \u2212 1 = (x \u2212 1)(x + 1) = (x + 1),\u2200x \u2260 1 Então:g x 
x \u2212 1 x \u2212 1 
( ) = lim x
2 \u2212 1 
= lim (x \u2212 1)(x + 1) = lim (x + 1 = 1 + 1 = 2 x
2 \u22121
lim g x ) . Logo, lim = 2 . 
x\u21921 x\u21921 x \u2212 1 x\u21921 x \u2212 1 x\u21921 x\u21921 x \u22121 
Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma 
mais rápida e sistemática. 
Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!! 
Vale lembrar que a expressão lim 
x2 \u22121 
= ( ) = 
x2 \u22121 
está2 significa que a função g x
x\u21921 x \u22121 x \u22121
tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. 
Graficamente podemos verificar isso: 
( ) x
2 \u22121
Gráfico da função g x = , \u2200 \u2260 1x . 
x \u22121 
5 Cálculo Diferencial e Integral - Prof. Rondinelli Oliveira
x \u2212 1 0Exemplo3. Determine lim (observe a indeterminação matemática ). 
x\u21921 x 2 \u2212 1 0 
x \u2212 1 x \u2212 1 x + 1 (x \u2212 1) 1 1lim = lim \u22c5 = lim = lim = . 
x\u21921x\u21921 x 2 \u2212 1 x\u21921 x 2 \u2212 1 x + 1 x\u21921 (x \u2212 1)( x + 1)( x + 1) (x + 1)( x + 1) 4 
Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que g(x) está cada vez mais próximo de 
1/4 a medida que x se aproxima de 1. 
x3 \u2212 8 0Exemplo 4. Determine lim 2 (observe a indeterminação matemática ). x\u21922 3x \u2212 12 0 
3 3 3 2 2x \u2212 8 (x \u2212 2 ) (x \u2212 2)(x + 2x + 4) (x + 2x + 4) 12lim = lim = lim = lim = = 1 
x\u21922 3x2 \u2212 12 x\u21922 3(x2 \u2212 4) x\u21922 3(x \u2212 2)( x + 2) x\u21922 3(x + 2) 12 
Definição intuitiva de limite. 
Seja f uma função definida num intervalo I \u2282 \u211c contendo a, exceto possivelmente no 
próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L \u2208\u211c , e escrevemos 
lim ( ) = L , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguaisf x 
x a\u2192 
( ) à L, isto é, lim f x( ) = lim f x = L . Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em 
\u2212 +x a\u2192 x a\u2192 
símbolo lim f x( ) . 
x a\u2192 
Proposição (unicidade do limite). 
Se lim f ( ) = L e lim f x = L2 , então L = L . Se o limite de uma função num ponto existe, 
x 1 ( ) 1 2
x\u2192a x\u2192a
então ele é único. 
Principais propriedades dos limites. 
Se lim f ( ) e ( ) existem, e k é um número real qualquer, então: x lim g x 
x\u2192a x\u2192a 
a) lim [ f ( )± g x ] = lim f ( )± lim g xx ( ) x ( ) . 
x\u2192a x\u2192a x\u2192a 
b) lim k. f ( ) = k.lim f xx ( ). 
x\u2192a x\u2192a 
c) lim [ f ( ) ( )x \u22c5 g x ] = lim f ( )\u22c5 lim g xx ( ). 
x\u2192a x\u2192a x\u2192a 
x 
x\u2192ad) lim f ( )x = 
lim f ( ) 
( ) \u2260 0, lim g x . 
\u2192a g( )x ( ) \u2192ax lim g x x 
x\u2192a 
e) lim k = k . 
x\u2192a 
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3x2 \u2212 6Exemplo 5. Calcule lim usando as propriedades. 
x\u21922 2x + 4 
2 2 23x \u2212 6 3(x \u2212 2) 3 x \u2212 2 3 lim x2 \u2212 2 3 2 3lim = lim = \u22c5 lim = \u22c5 x\u21922 = \u22c5 = . 
x\u21922 2x + 4 x\u21922 2(x + 2) 2 x\u21922 x + 2 2 lim x + 2 2 4 4 
x\u21922 
3x2 \u2212 6 3.22 \u2212 6 12 \u2212 6 6 3Obteríamos este resultado substituindo diretamente: lim = = = = . 
x\u21922 ( )+ 4 4 + 4 8 42x + 4 2 2 
Atividades (grupo 1). 
Calcule os limites abaixo: 
4 \u2212 x2 x2 \u2212 4x + 3 c) lim x
3 \u22121 
a) lim b) lim 2 x\u21921 5x \u2212 5 x\u2192\u22122 2 + x x\u21923 x \u2212 x \u2212 6 
d) lim 8 + x
3 
e) lim x
4 \u2212 16 f) lim x \u22121 
x\u2192\u22122 4 \u2212 x2 x\u21922 8 \u2212 x3 
x\u21921 x \u22121 
g) lim 1\u2212 x
2 
h) lim 2 \u2212 2
x \u2212 3 i) lim 3 \u2212 5 + x 
x\u2192\u22121 x + 2 + x x\u21927 x \u2212 49 x\u21924 1 \u2212 5 \u2212 x 
Atividades (grupo 2). 
Calcule os limites indicados: 
a) ( ) =
\uf8f1x2 \u22121, x \u2264 0 
, calcule: ( ), f x e lim ( )f x \uf8f2 lim f x lim ( ) f x . 
\uf8f3x +1, x > 0 x\u2192\u22121 x\u21922 x\u21920
x x \u2260 2 
b) ( ) =
\uf8f1 2 , 
, calcule: lim ( )g x \uf8f2 g x . 
\uf8f33, x = 2 x\u21922 
2 
c) ( ) =
\uf8f14 \u2212 x x, < 1
 , calcule: lim ( )h x \uf8f2 h x . 
\uf8f35 2\u2212 x x > 1 x 1, \u2192
\uf8f12 x , x < 0 
2d) ( ) = \uf8f2
\uf8f4 
\u2212 x , \u2264 x < 2 , calcule: ( ) lim l x , lim l(x) e lim