Aula 01Fundamentos

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FRENTE: MATEMÁTICA 
 
 
 
PROFESSOR: FILIPE SERPA 
 AULA 01 
 
ASSUNTO: ARITMÉTICA 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
a) {0,1,2,3,...}= 
 
b) Divisão euclidiana em  
 a b ≠ 0 
r q ⇔ �𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑞𝑞 + 𝑟𝑟
𝑟𝑟 < 𝑏𝑏
 
 
 Se 𝑟𝑟 = 0, a divisão é chamada exata. 
 Se 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏, então 𝑞𝑞 = 0 e 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎. 
 
 
 
 
a) {..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...}= − − − 
 
b) Múltiplo e divisor de  
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐 ⇒ � 𝐚𝐚 é múltiplo de 𝐛𝐛 e de 𝐜𝐜𝐛𝐛 e 𝐜𝐜 são divisores (fatores) de 𝐚𝐚 
 
c) Conjunto dos múltiplos de a 
𝑀𝑀(𝑎𝑎) = �𝑥𝑥 ∈  �𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑎𝑎 ∈  � = 
 = {0, ±𝑎𝑎, ±2𝑎𝑎, … } 
 
d) Número par e número ímpar 
𝑎𝑎 ∈  é par⇔ a ∈ M(2) ⇔ a = 2k, k ∈  
𝑎𝑎 ∈  é ímpar⇔ a∉M(2) ⇔ a = 2k + 1, k ∈  
 
e) Número primo e número composto 
𝑝𝑝 ∈  é primo⇔ �
p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ −1 
D(p) = {1,−1, p,−p} 
 
𝑎𝑎 ∈  é composto ⇔ �a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ −1 n[D(𝑎𝑎)] > 4 
 
f) Teorema fundamental da aritmética 
Todo número composto pode ser decomposto (fatorado) 
em um produto de fatores primos. A menos da ordem dos 
fatores e do sinal dos fatores, a decomposição é única. 
É a decomposição em fatores primos, da qual obtemos o 
Dispositivo Prático para obter todos os divisores naturais de 
um número natural. 
g) Exemplo 
Obter os divisores naturais de 120. 
 1 
120 2 2 Divisores naturais de 120. 
 60 2 4 
 30 2 8 
 15 3 3, 6, 12, 24 
 5 5 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 
 1 
 
h) Número de divisores 
Se 𝑎𝑎 = 𝑝𝑝1𝑘𝑘1 ∙ 𝑝𝑝2𝑘𝑘2 ∙ 𝑝𝑝3𝑘𝑘3 ∙ … ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑘𝑘𝑛𝑛, onde p1, p2, ..., pn são 
os fatores primos naturais, distintos, do número natural a e 
k1, k2, ..., kn os respectivos expoentes, então o número de 
divisores naturais de a é 
(𝑎𝑎1 + 1) ∙ (𝑎𝑎2 + 1) ∙ (𝑎𝑎3 + 1) ∙ … ∙ (𝑎𝑎𝑛𝑛 + 1) 
 
i) MDC e MMC 
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑚𝑚á𝑥𝑥[𝐷𝐷(𝑎𝑎) ∩ 𝐷𝐷(𝑏𝑏)] 
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑚𝑚í𝑛𝑛[𝑀𝑀+∗ (𝑎𝑎) ∩𝑀𝑀+∗ (𝑏𝑏)] 
 
j) Propriedades do MDC e do MMC 
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ∙ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏,∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ * 
𝐷𝐷(𝑎𝑎) ∩ 𝐷𝐷(𝑏𝑏) = 𝐷𝐷[𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)] 
𝑀𝑀+∗ (𝑎𝑎) ∩𝑀𝑀+∗ (𝑏𝑏) = 𝑀𝑀+∗ [𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)] 
 
k) Números primos entre si 
a e b primos entre si ⇔ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1 ⇔ 
⇔ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎𝑏𝑏 
 
l) Teoremas importantes 
I. Se x divide a e x divide b, então x divide a ± b. 
𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷(𝑎𝑎)
𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷(𝑏𝑏)� ⇒ 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) 
 
II. Se p é primo e p divide a ∙ b, então p é divisor de a ou 
p é divisor de b. 
𝑝𝑝 é 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝
𝑝𝑝 ∈ 𝐷𝐷(𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏)� ⇒ 𝑝𝑝 ∈ 𝐷𝐷(𝑎𝑎) 𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑝𝑝 ∈ 𝐷𝐷(𝑏𝑏) 
 
III. Se a é divisor de x, b é divisor de x, e a e b são primos 
entre si, então a ∙ b é divisor de x. 
𝑎𝑎 ∈ 𝐷𝐷(𝑥𝑥)
𝑏𝑏 ∈ 𝐷𝐷(𝑥𝑥)
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 1
� ⇒ 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ∈ 𝐷𝐷(𝑥𝑥) 
 
IV. 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎; 𝑏𝑏) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐(𝑎𝑎; 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) 
NÚMEROS NATURAIS 
NÚMEROS INTEIROS 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
MÓDULO DE ESTUDO 

*ea a∈ ∈ 
 
 
 
a) = {𝑥𝑥|𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑏𝑏, com } 
 
b) Todo número racional é inteiro ou decimal exato ou 
decimal não exato e periódico (dízima periódica). 
 
c) Exemplos 
Inteiros: 
3
1
= 3;
0
2
= 0;
10
2
= 5; … 
 
Decimais exatos:
6
5
= 1,2;
3
4
= 0,75; … 
Decimais não exatos periódicos: 
 
2
3
= 0,666 … ;
37
30
= 1,2333 … ; … 
 
d) Fração geratriz da dízima periódica 
0,414141 … =
41
99
 
 
1,2333 … =
12,333 …
10
= 12 +
0,333 …
10
= 
 
=
12 + 39
10
=
37
30
 
 
e) Os únicos números que não são racionais (isto é, que não 
podem ser escritos na forma 𝒂𝒂
𝒃𝒃
 com ) são os 
decimais não exatos e não periódicos. Esses números são 
chamados irracionais. O conjunto dos números 
irracionais é representado por . Exemplos: π, e, 
√2, √3 etc. 
 
 
 
 
 
a) O conjunto dos números reais é a união dos racionais 
com os irracionais. 
 
b) Observe que: 
*
*
*
( )
( )
{0}
{ | 0}(reais positivos)
{ | 0}(reais estrit. positivos)
{ | 0}(reais negativos)
{ | 0}(reais estrit. negativos)
x x
x x
x x
x x
+
+
−
−
⊂ ⊂ ⊂
= ∪ −
∩ − = ∅
= −
= ∈ ≥
= ∈ >
= ∈ ≤
= ∈ <
   
   
  
 
 
 
 
 
 
c) Fechamento: 
*
e
e
e
r s r s
r s r s
rr s
s
∈ ∈ ⇒ ± ∈
∈ ∈ ⇒ ⋅ ∈
∈ ∈ ⇒ ∈
  
  
  
 
 
*
*
e
e
e
r r
r r
rr
α α
α α
α
α
∈ ∈ − ⇒ ± ∈ −
∈ ∈ − ⇒ ⋅ ∈ −
∈ ∈ − ⇒ ∈ −
    
    
    
 
 
e
e
e
α β α β
α β α β
αα β
β
∈ − ∈ ⇒ ± ∈
∈ − ∈ ⇒ ⋅ ∈
∈ − ∈ ⇒ ∈
   
   
   
 
 
 
 
 
01. Considere as afirmações sobre números inteiros. 
I. Todo número primo é ímpar. 
II. Se a é um número múltiplo de 3, então 2a é múltiplo 
de 6. 
III. Se a é um número par, então a2 é um número par. 
 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
02. Um número natural é quase-primo quando é o produto de 
dois números primos distintos. Por exemplo, 91 é quase-
primo, pois = ×91 7 13. Outros dois números quase-primos 
são 2018 e 2019. Nessas condições, também é um número 
quase-primo o resultado de 
a) 673×1009. 
b) 2018×2019. 
c) 91×13. 
d) 2020×2021. 
e) 20×1009. 
 
03. O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao 
Orfanato “Me Adote” e dispõe, para esta ação, 528 kg de 
açúcar, 240 kg de feijão e 2.016 kg de arroz. Serão 
montados Kits contendo, cada um, as mesmas quantidades 
de açúcar, de feijão e de arroz. Quantos quilos de açúcar 
deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de 
forma a contemplar um número máximo para cada item? 
a) 20 
b) 11 
c) 31 
d) 42 
e) 44 
NÚMEROS RACIONAIS 
*ea a∈ ∈ 
− 
NÚMEROS REAIS 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
MÓDULO DE ESTUDO 
04. Um torneio de xadrez terá alunos de escolas militares. 
O Colégio Militar de Campo Grande (CMCG) levará 120 
alunos; o Colégio Militar do Rio de Janeiro (CMRJ), 180; 
e o Colégio Militar de Brasília (CMB), 252. Esses alunos 
serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha 
representantes das três escolas, e que o número de alunos de 
cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o 
maior número de grupos que podem ser formados é 
a)10. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 21. 
e) 46. 
 
05. Números capicuas são números naturais que não se alteram 
quando lidos de trás pra frente. Por exemplo: 
33, 272, 8.334.338, etc. Considerando-se apenas os 
capicuas de 4 algarismos, quantos deles são divisíveis por 
15? 
a) 5. 
b) 9. 
c) 3. 
d) 6. 
e) 4. 
 
06. Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. 
Suponha que a tribo indígena Kayapó Gorotire, do Norte do 
Brasil, celebre o Ritual do Sol de 20 em 20 dias, o Ritual 
da Chuva de 66 em 66 dias, e o Ritual da Terra de 30 em 
30 dias. Se os três rituais acontecerem hoje, 10 de setembro 
de 2017, que é um domingo, o próximo dia da semana em 
que os três rituais serão celebrados juntos novamente será 
a) Sábado. 
b) Terça-feira. 
c) Quarta-feira. 
d) Quinta-feira. 
e) Sexta-feira. 
 
07. Uma professora do Colégio Militar do Rio de Janeiro tem 
três filhas matriculadas regularmente numa escola. O 
produto da idade da professora com as idades de suas três 
filhas é 26.455. Desta forma, pode-se afirmar que a soma 
das idades da filha mais velha e da filha mais nova é um 
a) número ímpar. 
b) número primo. 
c) número múltiplo de 3. 
d) número múltiplo por 5. 
e) número divisível por 7. 
 
08. Considere a sequência infinita abaixo: 
IFALMIFALMIFALMIFALMIFALM… 
 
Qual é a 2017ª letra dessa sequência? 
a) I. 
b) F. 
c) A. 
d) L. 
e) M. 
09. A soma de todos os números naturais múltiplos de 9 que 
são formados por quatro algarismos deixa como resto: 
a) 0 na divisão por 6. 
b) 1 na divisão por 3. 
c) 3 na divisão por 4. 
d) 2 na divisãopor 5. 
e) 4 na divisão por 10. 
 
10. Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que a e 
b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a 
coincide com a soma dos divisores positivos de b. 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) 8 e 9. 
b) 9 e 11. 
c) 10 e 12. 
d) 15 e 20. 
e) 16 e 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
MÓDULO DE ESTUDO 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 
D A B B C 
06 07 08 09 10 
B C B A E 
 
01: 
Analisando as afirmativas: 
I. FALSO. Dois é primo e par. 
II. VERDADEIRO. O dobro de um número múltiplo de 3 é 
divisível pelo dobro de 3 (seis). 
III. VERDADEIRO. A multiplicação de um número par por 
qualquer outro (inclusive ele mesmo) gera um número par. 
 
Resposta: D 
 
02: 
A opção correta é a letra [A] pois nos mostra um produto de dois 
números primos. 
 
Justificando as opções incorretas: 
[B] 2018 é par. 
[C] 91 é divisível por 7. 
[D] 2020 é par. 
[E] 20 é par. 
 
Resposta: A 
 
03: 
Decompondo os valores em fatores primos, temos: 
528, 240, 2016 2
264, 120, 1008 2
132, 60, 504 2
66, 30, 252 2
33, 15, 126 3
11, 5, 42
 
 
Logo, o total de açúcar por kit é de 11 quilos. 
 
Resposta: B 
 
04: 
Seja x o maior número de grupos que podem ser formados. 
Do enunciado, x divide 120,180 e 252. Como queremos o 
maior x possível, x é o máximo divisor dos números 
120,180 e 252. 
Como mdc (120,180, 252) 12,= o maior número de grupos 
que podem ser formados é 12. 
 
Resposta: B 
05: 
Os números de 4 algarismos que são divisíveis por 15, são 
divisíveis por 3 e por 5, logo, terminam em 0 (zero) ou 5 
(cinco). 
Nas condições do enunciado, não pode terminar em 0 (zero), pois 
também começaria por 0 (zero), daí não teria 4 algarismos. 
Logo, os números procurados são do tipo 5aa5. 
 
Assim, as possibilidades são: 
5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885 e 
5995. 
 
Destes, os que são divisíveis por 3, são: 5115, 5445 e 5775, 
ou seja, existem 3 capicuas de 4 algarismos que são divisíveis 
por 15. 
 
Resposta: C 
 
 
06: 
Como o Ritual do Sol é de 20 em 20 dias, o da Chuva é de 66 
em 66 dias e o da Terra é de 30 em 30 dias, os Rituais 
ocorrem simultaneamente a cada múltiplo do 
mmc (20, 30, 66), ou seja, a cada 660 dias. 
1 semana possui 7 dias. 
Note que 660 7 94 2,= ⋅ + logo, significa que passaram 94 
semanas mais 2 dois dias. 
Dado que os três rituais ocorreram juntos num domingo, eles 
voltarão a ocorrer juntos numa terça-feira. 
 
Resposta: B 
 
07: 
Sejam x, y, z e w, respectivamente, a idade da professora e de 
suas filhas. Suponhamos que x y z w.> > > 
 
Daí, 
x y z w 26455
x y z w 37 13 11 5
⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
 
x 37, y 13, z 11= = = e w 5.= 
 
Portanto, 
y w 13 5
y w 18 anos
+ = +
+ =
 
18 3 6,= ⋅ ou seja, é um múltiplo de 3. 
 
Resposta: C 
 
08: 
Observamos que as letras I, F, A, L, M, se repetem nesta ordem 
continuamente. Para obter a 2017ª posição, basta dividir 
2017 por 5 e seu resto indicara a qual das cinco letras está 
relacionada. Dividindo: 
 
2017 5
2 403
 
RESOLUÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
MÓDULO DE ESTUDO 
Visto que o resto é dois, basta procurar a letra que ocupa a 
segunda posição da sequência I, F, A, L, M. Desta maneira, a 
letra da 2017ª posição é a letra F. 
 
Resposta: B 
 
09: 
Note que 
1000 9 111 1
1000 1 9 111
999 9 111
999 9 9 111 9 (múltiplo de 9)
= ⋅ +
− = ⋅
= ⋅
+ = ⋅ +
 
 
Assim, 1.008 é o primeiro número natural de 4 algarismos que 
é múltiplo de 9. 
Assim, os números naturais múltiplos de 9, com 4 algarismos, 
formam a seguinte progressão aritmética: 
(1.008,1.017,1.026,1.035, , 9.999). 
 
Sendo n o total de números da sequência acima, temos: 
9999 1008 (n 1) 9
8991 (n 1) 9
999 n 1
n 1000
= + − ⋅
= − ⋅
= −
=
 
 
Sendo S a soma dos números da sequência acima, 
(1008 9999) 1000S
2
S 5.503.500
+ ⋅
=
=
 
 
Note que 5 5 0 3 5 0 0 18,+ + + + + + = que é múltiplo de 3, 
logo o número 5.503.500 é múltiplo de 3, logo o número 
5.503.500 é divisível por 3. 
Como 5.503.500 termina em 0 (zero), é divisível por 2. 
 
Dessa forma, o número 5.503.500 é divisível por 6, ou seja, 
deixa resto 0 na divisão por 6. 
 
Resposta: A 
 
10: 
Calculando os divisores: 
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
Divisores de 8 1, 2, 4, 8 Soma 15
Divisores de 9 1, 3, 9 Soma 13
Divisores de 10 1, 2, 5,10 Soma 18
Divisores de 11 1, 11 Soma 12
Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6,12 Soma 28
Divisores de 15 1, 3, 5,15 Soma 24
Divisores de 16 1, 2, 4, 8,16 S
→ → =
→ → =
→ → =
→ → =
→ → =
→ → =
→ →
{ }
oma 31
Divisores de 25 1, 5, 25 Soma 31
=
→ → =
 
 
Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equivalentes. 
 
Resposta: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ANOTAÇÕES