Questão_NivelUnicamp_Sistemas lineares

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Exemplo de 
questão UNICAMP 
 
Resolução e discussão de sistemas lineares, representação matricial e escalonamento 
 
 
Texto-base: 
 
Para um melhor poder de ação da adubagem da terra, pode ser utilizada uma mistura de farinha de ossos, húmus de minhoca e 
esterco (resultado de uma mistura de dejetos animais). Uma empresa vende esse produto pronto em pacotes de meio 
quilograma. O valor do esterco é R$ 6,00, da farinha de ossos, R$ 18,00, e o húmus de minhoca, R$ 14,00. Um detalhe importante 
para essa composição é que a quantidade de esterco deverá ser igual a metade da soma dos outros dois. Após a mistura desses 
componentes o pacote terá que ter um custo de R$ 3,70. 
 
 
 
 
Enunciado: 
 
 
Pode-se concluir que as quantidades, em gramas, respectivamente, de cada ingrediente por lata será: 
 
 
 
Alternativas: 
A 725 g, 2120 g, 300 g 
B 100 g, 75 g e 125 g 
C 358 g, 300 g, 241 g 
D 100 g, 25 g, 150 g 
 
Resposta correta: 
B 
 
Resolução Comentada 
 
Exemplo de 
questão UNICAMP 
 
 
Podemos representar a situação-problema apresentada por meio de um sistema de equações lineares, onde representaremos: a 
farinha de ossos por x, húmus de minhoca por y e o esterco por z. 
O sistema de equação dado seria: 
{
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎, 𝟑
𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟒𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟑, 𝟕𝟎
 
Esse sistema poderá ser resolvido pela regra de Cramer a partir de sua representação matricial: 
[
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 −𝟐
𝟏𝟖 𝟏𝟒 𝟔
] = [
𝟎, 𝟑
𝟎
𝟑, 𝟕
] 
 
Calculando o determinante de [
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 −𝟐
𝟏𝟖 𝟏𝟒 𝟔
] obteremos d= -12 
 
Agora substituiremos a 1ª coluna da matriz pelos termos independentes [
𝟎, 𝟑
𝟎
𝟑, 𝟕
]. Assim teremos: 
[
𝟎, 𝟑 𝟏 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟐
𝟑, 𝟕 𝟏𝟒 𝟔
], calculando a determinando temos: d1 = -0,9 
 
Agora substituiremos a 2ª coluna da matriz pelos termos independentes [
𝟎, 𝟑
𝟎
𝟑, 𝟕
]. Assim teremos: 
[
𝟏 𝟎, 𝟑 𝟏
𝟏 𝟎 −𝟐
𝟏𝟖 𝟑, 𝟕 𝟔
], calculando a determinando temos: d2 = -1,5 
 
Agora substituiremos a 3ª coluna da matriz pelos termos independentes [
𝟎, 𝟑
𝟎
𝟑, 𝟕
]. Assim teremos: 
[
𝟏 𝟏 𝟎, 𝟑
𝟏 𝟏 𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟒 𝟑, 𝟕
], calculando a determinando temos: d3 = -1,2 
 
Calculando as incógnitas a partir da razão dos determinantes teremos: 
X = 
𝒅𝟏
𝒅
 = 0,075 kg = 75 g 
y = 
𝒅𝟐
𝒅
 = 0,125 kg = 125 g 
z = 
𝒅𝟑
𝒅
 = 0,100 kg = 100 g 
Sendo assim a alternativa correta será: 
 
B 
 
As demais alternativas são decorrentes da interpretação incorreta da segunda equação do dado sistema linear.