Equação do 2° Grau

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Equação do 2° Grau
Prof° Kleyton Eduardo Arcandes.
Eixo Temático: Álgebra
Exemplo:
Quanto mede o lado de uma região quadrada se a área dessa região menos a medida do lado é igual a 870?
Explicação
X
X
Área de um quadrado é Lado x Lado, então:
 
x . x = x²
Voltando ao problema, temos: a área dessa região menos a medida do lado é igual a 870,então:
x² - x = 870
x² - x – 870 = 870 - 870
x² - x - 870 = 0
Essa equação é chamada de equação do 2° grau, e os babilônios foram um dos primeiros povos a registrar e resolver situações que envolvessem equações desse tipo.
Equação do 2° grau na variável x é toda equação do tipo ax²+bx+c=0, na qual a, b e c são números reais e a diferente de 0. 
Tipos de Equações
2x² - 11x +5=0 é uma equação do 2° grau, com a=2, b= -11 e c=5.
x² -3x =0 é uma equação do 2° grau, com a=1, b=-3 e c=0.
3x-1=14 é uma equação do 1° grau de incógnita x.
12y -5=0 é uma equação do 1° grau com incógnita y.
a³-3a² +2a-5=0 é uma equação do 3° grau.
2x-5<6 não é uma equação.
Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser do 2º grau.
Raízes de uma equação do 2° grau
Raiz ou solução de uma equação com uma incógnita é o valor que, atribuído à incógnita, torna a sentença matemática verdadeira.
As raízes da equação do 2° grau x²-5x+6=0 são 2 e 3, pois esses valores são os números que tornam a sentença verdadeira. Indicamos as raízes, assim: x’= 2 e x’’=3.
veja:
Substituindo x por 2:
2²-5x2+6=0
4-10+6=0
0=0
Substituindo x por 3:
3²-5x3+6=0
9-15+6=0
0=0
Equações Completas e Incompletas
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0.
Tipos de equações
1° tipo: quando o b=0.
Exemplo 1:
Qual é a medida de cada lado de uma região quadrada com área igual a 144cm²?
L²=144 => L²-144=144-144 => L²-144=0
L²=144 => L=±√144
L=±12
Obs: como não existe medida negativa desconsideramos a medida do lado -12.
Então a medida do lado dessa região é 12cm.
Exemplo 2: Encontre as raízes da equação 3x2 – 27 = 0.
2° tipo: quando c=0
Qual é o número que tem o dobro do seu quadrado igual a seu quadruplo?
2x²=4x
2x²-4x=0
x.(2x-4)=0
Então:
x=0 ou 2x-4=0 => 2x=4 => x=2
Em x.(2x-4)=0, se o produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Portanto, x=0 ou 2x-4=0, ou seja, x=0 ou x=2
Exemplo: Determine a solução da equação 5x2 – 45x = 0
3° Tipo: quando b e c são iguais a 0
x²=0
x= ± √0
x=±0
Obs: Quando temos b e c =0, os valores para x também serão 0.
4° tipo: quando a equação é completa, com b e c diferente de 0.
O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação:
Método de solução para equações completas
4x²-12x+9=0
a=4, b= -12 e c=9
∆=b² -4 a c 
∆=(-12)² -4.4.9 =144 - 144=0
Portanto , ∆=0.
x=(-b ±√ ∆) / 2a
x=(-(-12) ±√ 0) / 2.4
x=12±0=12 /8
x= 2/3
O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo.
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da equação do 2º grau:
 discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação.
discriminante igual a zero (Δ = 0):as soluções da equação são repetidas;
discriminante negativo (Δ < 0): não admite solução real.
Observação:
Possibilidades para o discriminante Δ
Até a próxima aula!