Calculo 1 - apostila

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1 Thamara Conceição 
Cálculo 1 
EQUAÇÕES (igualdade) 
Toda equação é uma relação de igualdade 
na qual temos uma ou mais incógnitas. Resolver 
uma equação significa determinar estes valores 
desconhecidos. 
EQUAÇÃO DE 1° GRAU 
Uma equação de 1° grau é uma relação de 
igualdade que pode ser reduzida a uma expressão 
da forma ax + b = 0 com a e b conhecidos e x, 
valor desconhecido (também denominado de 
incógnita) a ser determinado. 
5x – 7 = 0 
Para resolver uma equação do 1° grau, 
efetuamos operações inversas sobre os valores 
numéricos até deixar apenas a incógnita de um 
dos lados do sinal de igualdade. 
Tipicamente, busca-se deixar a incógnita do 
lado esquerdo da igualdade e o valor numérico do 
lado direito. 
EQUAÇÃO DE 2° GRAU 
Uma equação de 2° grau é uma igualdade em 
que o valor desconhecido tem como maior 
expoente o valor dois e seus coeficientes são 
números reais. Em geral, esse tipo de equação 
possui o formato: ax2 + bx + c = 0. 
 3x2 – 5x + 7 = 0 
Equações de 2° grau sempre possuem 
duas raízes (ou soluções) e para determiná-las, 
pode-se utilizar a expressão: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Se ∆ > 0 então a equação do 2°grau possui duas 
raízes reais e distintas. 
Se ∆ = 0 então a equação do 2° grau possui duas 
raízes reais e iguais. 
Se ∆ < 0 então a equação do 2° grau não possui 
raízes reais. 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Uma equação exponencial é toda equação 
na qual a incógnita está no expoente. 
 3 x+7 = 27 
Para resolver equações exponenciais, 
buscamos reduzir os dois lados da equação as 
potências na mesma base e então utilizar a 
propriedade ax = am. 
 
• Propriedades: 
(𝑋𝑎)𝑏 = 𝑋𝑎∗𝑏 
1
𝑥𝑎
 = 𝑥−𝑎 
√𝑥𝑏
𝑎
 = 𝑥
𝑏
𝑎 
𝑥𝑎 * 𝑥𝑏=𝑥𝑎+𝑏 
𝑥𝑎
𝑥𝑏
 = 𝑥𝑎−𝑏 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
 Equações logarítmicas são equações nas 
quais temos a incógnita em um ou mais dos 
logaritmandos. 
 
 Logaritmo 
Define-se por logaritmo de um número a na 
base b ao expoente x, tal que bx = a. símbolos: 
logb a = x. 
Determinadas restrições sobre os valores b e x 
devem estar satisfeitas. Essas condições são 
chamadas de condições de existência do 
logaritmo: o logaritmando a deve ser um número 
real e positivo e a base b deve ser um número 
real, positivo, diferente de 1. 
 
 
 
 
 
 
 
2 Thamara Conceição 
SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 Para encontrarmos numa equação de 1º grau 
com duas incógnitas é preciso relacionar essa 
equação com outra ou outras com as mesmas 
incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 
 Um sistema de equação de 1º grau com duas 
incógnitas é formado por: duas equações de 1º 
grau com duas incógnitas diferentes em cada 
equação. 
MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 
 Esse método consiste em escolher uma das 
equações e isolarmos uma das incógnitas, para 
determinar o seu valor. Depois, substituímos esse 
valor na outra equação. 
 Desta forma, a segunda equação ficará com uma 
única incógnita e poderemos encontrar o seu valor 
final. Para finalizar, substituímos na primeira 
equação o valor encontrado e encontramos 
também o valor da outra incógnita. 
MÉTODO DA ADIÇÃO 
 No método da adição buscamos juntar as duas 
equações em uma única equação, eliminando uma 
das incógnitas. 
 Para isso, é necessário que os coeficientes de 
uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem 
ter o mesmo valor e sinais contrários. 
 
INEQUAÇÕES 
 Inequação é uma sentença matemática que 
apresenta pelo menos um valor desconhecido 
(incógnita) e representa uma desigualdade. 
 Uma inequação envolve uma ou mais incógnitas 
relacionadas com uma desigualdade, com sinais 
de menor (<), menor ou igual (≤), maior (>), maior 
ou igual (≥). 
 
 
 
INEQUAÇÃO DE 1° GRAU 
 Uma inequação é do 1º grau quando o 
maior expoente da incógnita é igual a 1. Podem 
assumir as seguintes formas: 
• ax + b >0 
• ax + b 
• ax + b ≥ 0 
• ax + b ≤ 0, sendo a e b n° reais e a ≠ 0 
 Para resolver uma inequação desse tipo, 
podemos fazer da mesma forma que fazemos nas 
equações. 
 Contudo, devemos ter cuidado quando a 
incógnita ficar negativa. Nesse caso, devemos 
multiplicar por (-1) e inverter a símbolo da 
desigualdade. 
 
 
 
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 Uma inequação é do 2º grau quando o maior 
expoente da incógnita é igual a 2. Podem assumir 
as seguintes formas: 
• ax2 + bx + c > 0 
• ax2 + bx + c 
• ax2 + bx + c ≥ 0 
• ax2 + bx + c ≤ 0 
 
FUNÇÕES 
Definição: denomina-se função afim uma função 
dada pela expressão F(x) = ax + b. 
 A função determina uma relação entre os 
elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la 
utilizando uma lei de formação, em que, para cada 
valor de x, temos um valor de f(x). 
 X é a variável independente e y é a variável 
dependente. Isso porque, em toda função, para 
encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o 
valor de x. 
Ao multiplicar por -1 
inverte a direção da reta 
 
 
 
3 Thamara Conceição 
 Chamamos x de domínio e f(x) de imagem da 
função. 
 O conjunto domínio de uma função é o conjunto 
de valores para os quais é permitido realizar o 
cálculo proposto por aquela função. O cálculo 
consiste em tomar um número real x, multiplicá-lo 
por um número real não-nulo a e adicionar a este 
resultado um número real b. 
 O conjunto Imagem de uma função é o conjunto 
de resultados obtidos após a aplicação do cálculo 
proposto por aquela função. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES 
 
 
F(x) = 2x + 4 → F (2) = 2*2 + 4 = P (2,8) 
 
ESTUDO DE FUNÇÕES ELEMENTARES 
FUNÇÃO CONSTANTE 
 A função constante não poder ser caracterizada 
como crescente ou decrescente, sendo, por isso, 
constante. F(x) = a 
 O gráfico da função constante também 
apresenta uma particularidade em relação às 
demais funções. Ele é sempre uma reta paralela 
ou coincidente ao eixo x. 
FUNÇÃO LINEAR, AFIM, 1° GRAU 
Tipo F(x) = ax + b. 
 Se a função tem a incógnita X, é linear. Pode ser 
crescente ou de crescente. 
 
 Coeficiente Angular 
 Mostra a inclinação da reta. Quanto maior o valor 
de a mais inclinada a reta é. 
 Coeficiente Linear 
 Mostra o ponto onde a reta encosta no eixo Y 
(intercepto y). 
FUNÇÃO QUADRATICA 
 A função quadrática, também chamada 
de função polinomial de 2º grau, é uma função 
representada pela seguinte expressão: 
 f(x) = ax2 + bx + c 
 O polinômio da função quadrática é de grau 2, 
pois é o maior expoente da variável. 
 
• Raízes da função 
 As raízes ou zeros da função do segundo grau 
representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As 
raízes da função são determinadas pela resolução 
da equação de segundo grau: f(x) = ax2 +bx + c = 0 
 Para resolver a equação do 2º grau podemos 
utilizar vários métodos, sendo um dos mais 
utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou 
seja: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
• Gráfico da função 
 O gráfico das funções do 2º grau são curvas que 
recebem o nome de parábolas. Diferente 
das funções do 1º grau, onde conhecendo dois 
pontos é possível traçar o gráfico, nas funções 
quadráticas são necessários conhecer vários 
pontos. 
 
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
 
 
 
4 Thamara Conceição 
NOÇÕES TRIGONOMETRICAS 
FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS 
 As funções trigonométricas são as funções 
relacionadas aos triângulos retângulos, que 
possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, 
cosseno e tangente. 
 
 As funções trigonométricas estão baseadas nas 
razões existentes entre dois lados do triângulo em 
função de um ângulo. 
 Elas são formadas por dois catetos (oposto e 
adjacente) e a hipotenusa: 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e 
matemático grego, é muito utilizado nos estudos 
trigonométricos. 
 Ele prova que no triângulo retângulo, composto 
por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a 
soma dos quadrados de seus catetos corresponde 
ao quadrado de sua hipotenusa:H2 = Co2+ Ca2 
 
 
 
 
TEOREMA DOS ÂNGULOS INTERNOS 
 Os triângulos possuem uma propriedade 
particular muito interessante relativa à soma de 
seus ângulos internos. Essa propriedade garante 
que em qualquer triângulo, a soma das medidas 
dos três ângulos internos é igual a 180 graus. 
 
a + b + c = 180° 
 
 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/