Revisão de Cálculo I

•
Engenharias

André Júlio Norris
21/07/2020
E aí, curtiu este material?
Ajude a incentivar outros estudantes a melhorar o conteúdo
Gostou desse material? Compartilhe! 🧡
Geometria Analítica

42.452 Materiais compartilhados
Baixe o app para aproveitar ainda mais
Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!
Prévia do material em texto
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
MA111 Cálculo I
Eduardo Garibaldi
(garibaldi@ime.unicamp.br)
IMECC - UNICAMP
Campinas
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Definição de Função
A definição rigorosa de uma função faz uso da teoria de conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um trio
f = (A,B,C ) com C ⊂ A× B
é uma função quando
para todo elemento a ∈ A, existe um único elemento b ∈ B
tal que (a, b) ∈ C .
Muito mais intuitiva é a formulação que consiste em apresentar
uma função
f : A→ B
como uma “lei de associação” que a cada elemento a ∈ A faz
corresponder um elemento f (a) = b ∈ B de maneira uńıvoca.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Definição de Função
A definição rigorosa de uma função faz uso da teoria de conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um trio
f = (A,B,C ) com C ⊂ A× B
é uma função quando
para todo elemento a ∈ A, existe um único elemento b ∈ B
tal que (a, b) ∈ C .
Muito mais intuitiva é a formulação que consiste em apresentar
uma função
f : A→ B
como uma “lei de associação” que a cada elemento a ∈ A faz
corresponder um elemento f (a) = b ∈ B de maneira uńıvoca.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Definição de Função
A definição rigorosa de uma função faz uso da teoria de conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um trio
f = (A,B,C ) com C ⊂ A× B
é uma função quando
para todo elemento a ∈ A, existe um único elemento b ∈ B
tal que (a, b) ∈ C .
Muito mais intuitiva é a formulação que consiste em apresentar
uma função
f : A→ B
como uma “lei de associação” que a cada elemento a ∈ A faz
corresponder um elemento f (a) = b ∈ B de maneira uńıvoca.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Doḿınio, Imagem, Gráfico
Recorde que A é dito o doḿınio da função f e f (A) é sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serão subconjuntos da reta real R.
Logo, f será de agora em diante uma função real de uma variável real.
Assim sendo, uma maneira útil de representar uma função consiste
em fazer seu gráfico, isto é, em esboçar no plano cartesiano o
seguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Doḿınio, Imagem, Gráfico
Recorde que A é dito o doḿınio da função f e f (A) é sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serão subconjuntos da reta real R.
Logo, f será de agora em diante uma função real de uma variável real.
Assim sendo, uma maneira útil de representar uma função consiste
em fazer seu gráfico, isto é, em esboçar no plano cartesiano o
seguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Doḿınio, Imagem, Gráfico
Recorde que A é dito o doḿınio da função f e f (A) é sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serão subconjuntos da reta real R.
Logo, f será de agora em diante uma função real de uma variável real.
Assim sendo, uma maneira útil de representar uma função consiste
em fazer seu gráfico, isto é, em esboçar no plano cartesiano o
seguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Doḿınio, Imagem, Gráfico
Recorde que A é dito o doḿınio da função f e f (A) é sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serão subconjuntos da reta real R.
Logo, f será de agora em diante uma função real de uma variável real.
Assim sendo, uma maneira útil de representar uma função consiste
em fazer seu gráfico, isto é, em esboçar no plano cartesiano o
seguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n.
Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n.
Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear.
Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática.
Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Polinomiais
São funções da forma
f (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu doḿınio é R.
Se an 6= 0, seu grau é n. Uma função polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
é chamada de função linear. Uma função polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
é chamada de função quadrática. Uma função polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
é chamada de função cúbica.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Potências e Racionais
Funções potências são funções da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma função polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma função raiz f (x) = x1/n = n√x .
Neste caso, n par implica que o doḿınio de f é [0,∞), enquanto que
n ı́mpar implica que o doḿınio de f é R.
Funções racionais são funções da forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
onde P e Q são funções polinomiais.
O doḿınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Potências e Racionais
Funções potências são funções da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma função polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma função raiz f (x) = x1/n = n√x .
Neste caso, n par implica que o doḿınio de f é [0,∞), enquanto que
n ı́mpar implica que o doḿınio de f é R.
Funções racionais são funções da forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
onde P e Q são funções polinomiais.
O doḿınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Potências e Racionais
Funções potências são funções da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma função polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma função raiz f (x) = x1/n = n√x .
Neste caso, n par implica que o doḿınio de f é [0,∞), enquanto que
n ı́mpar implica que o doḿınio de f é R.
Funções racionais são funções da forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
onde P e Q são funções polinomiais.
O doḿınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Potências e Racionais
Funções potências são funções da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma função polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma função raiz f (x) = x1/n = n√x .
Neste caso, n par implica que o doḿınio de f é [0,∞), enquanto que
n ı́mpar implica que o doḿınio de f é R.
Funções racionais são funções da forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
onde P e Q são funções polinomiais.
O doḿınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Potências e Racionais
Funções potências são funções da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma função polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma função raiz f (x) = x1/n = n√x .
Neste caso, n par implica que o doḿınio de f é [0,∞), enquanto que
n ı́mpar implica que o doḿınio de f é R.
Funções racionais são funções da forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
onde P e Q são funções polinomiais.
O doḿınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Potências e Racionais
Funções potências são funções da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma função polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma função raiz f (x) = x1/n = n√x .
Neste caso, n par implica que o doḿınio de f é [0,∞), enquanto que
n ı́mpar implica que o doḿınio de f é R.
Funções racionais são funções da forma
f (x) =
P(x)
Q(x)
,
onde P e Q são funções polinomiais.
O doḿınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição,
subtração, multiplicação, divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração,
multiplicação, divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação,
divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão
e extração de ráızes)
a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais.
Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébricaquando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Algébricas e Trigonométricas
Uma função é dita algébrica quando puder ser descrita por
operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão
e extração de ráızes) a partir de funções polinomiais. Por exemplo,
f (x) =
3
√
3x4 + πx +
√
2, g(x) = x4 +
1√
x
+ 2
e h(x) =
5x7 + 35 +
6
√
x + 4x3
x4 + 32x2
são funções algébricas.
Funções trigonométricas são as conhecidas funções
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto
trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas,
trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais,
logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais, Logaŕıtmicas e
Transcendentais
Funções exponenciais e logaŕıtmicas são, respectivamente, as
funções do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funções transcendentais são todas as funções não-algébricas,
incluindo portanto trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciais, logaŕıtmicas, entre outras.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos quef é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades
Algumas funções apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no doḿınio de f ,
dizemos que f é uma função ı́mpar.
monotonicidade:
dizemos que f é crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f é decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico.
Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0.
Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c ,
desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c ,
desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c),
desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c),
desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Algumas operações simples têm efeitos facilmente identificáveis sobre
uma função e seu gráfico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:
Seja c > 0. Para obter o gráfico de
y = f (x) + c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para cima;
y = f (x)− c , desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para baixo;
y = f (x − c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a direita;
y = f (x + c), desloque o gráfico de y = f (x) em c unidades
para a esquerda.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Efeito de Deslocamentos para c > 0
y
x0
y = f(x+ c) y = f(x) y = f(x− c)
y = f(x) + c
y = f(x)− c
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1.
Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x),
expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x),expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x),
comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx),
comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c),
expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x),
reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x),
reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Translações, Reflexões e Expansões
Reflexões e Expansões Horizontais e Verticais:
Seja c > 1. Para obter o gráfico de
y = cf (x), expanda o gráfico de y = f (x) verticalmente por um
fator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o gráfico de y = f (x) verticalmente
por um fator de c ;
y = f (cx), comprima o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = f (x/c), expanda o gráfico de y = f (x) horizontalmente por
um fator de c ;
y = −f (x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o gráfico de y = f (x) em torno do eixo y .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax sex ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então
a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1.
Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N,
a−n =
1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0,
ax = a
p
q = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1);
ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1;
iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Exponenciais
Uma função exponencial é uma função f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, então
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, então a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n = 1
an
.
Se x =
p
q
, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a pq = q
√
ap = ( q
√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como função monótona, há três casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1),
note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q,
considere racionais pq e
P
Q tais que
p
q
< x0<
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima.
Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0
e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0,
então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, são decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e PQ tais que
p
q
< x0 <
P
Q
.
Necessariamente a
P
Q < a
p
q , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tão próximo quanto se queira de x0
mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma forma
arbitrariamente próximo de x0 mas sempre maior que x0, então é
posśıvel mostrar que só existe um valor α0 ∈ R cumprindo
a
P
Q < α0 < a
p
q .
Colocamos ax0 = αo .
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1,
temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q.
Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1,
claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1).
Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R.
Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resulta
naturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) para
determinar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos então introduzir
ax =
1
(1/a)x
, x ∈ R.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráficos e Propriedades de Funções Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =
ax
ay
;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exerćıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definições.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráficos e Propriedades de Funções Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =
ax
ay
;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exerćıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definições.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráficos e Propriedades de Funções Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =
ax
ay
;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exerćıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definições.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráficos e Propriedades de Funções Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =
ax
ay
;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exerćıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definições.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráficos e Propriedades de Funções Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =
ax
ay
;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exerćıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definições.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráficos e Propriedades de Funções Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =
ax
ay
;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exerćıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definições.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
O Número e
Uma maneira de definir a constante e ≈ 2, 71828 é introduzi-la como
o valor a > 0 para o qual o gráfico da função exponencial f (x) = ax
tem reta tangente com inclinação exatamente igual a 1 em (0, 1).
Observe que
y
x0
y
x0
m ≈ 0.9555114
y = (2.6)x y = (2.8)x
m ≈ 1.0296194
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
O Número e
Uma maneira de definir a constante e ≈ 2, 71828 é introduzi-la como
o valor a > 0 para o qual o gráfico da função exponencial f (x) = ax
tem reta tangente com inclinação exatamente igual a 1 em (0, 1).
Observe que
y
x0
y
x0
m ≈ 0.9555114
y = (2.6)x y = (2.8)x
m ≈ 1.0296194
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
O Número e
Uma maneira de definir a constante e ≈ 2, 71828 é introduzi-la como
o valor a > 0 para o qual o gráfico da função exponencial f (x) = ax
tem reta tangente com inclinação exatamente igual a 1 em (0, 1).
Observe que
y
x0
y
x0
m ≈ 0.9555114
y = (2.6)x y = (2.8)x
m ≈ 1.0296194
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Injetividade
Definição: Uma função é dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definição que o gráfico de uma função
injetiva pode ser interceptado em, no máximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f não é injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em três
pontos distintos x1, x2 e x3
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Injetividade
Definição: Uma função é dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definição que o gráfico de uma função
injetiva pode ser interceptado em, no máximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f não é injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em três
pontos distintos x1, x2 e x3
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Injetividade
Definição: Uma função é dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definição que o gráfico de uma função
injetiva pode ser interceptado em, no máximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f não é injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em três
pontos distintos x1, x2 e x3
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Injetividade
Definição: Uma função é dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definição que o gráfico de uma função
injetiva pode ser interceptado em, no máximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f não é injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em três
pontos distintos x1, x2 e x3
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Injetividade
Definição: Uma função é dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definição que o gráfico de uma função
injetiva pode ser interceptado em, no máximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f não é injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em três
pontos distintos x1, x2 e x3
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Inversas
Definição: Se f é uma função injetiva com doḿınio A e imagem B,
definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
doḿınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = doḿınio de f .
Além disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Inversas
Definição: Se f é uma função injetiva com doḿınio A e imagem B,
definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
doḿınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = doḿınio de f .
Além disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Inversas
Definição: Se f é uma função injetiva com doḿınio A e imagem B,
definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
doḿınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = doḿınio de f .
Além disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Inversas
Definição: Se f é uma função injetiva com doḿınio A e imagem B,
definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
doḿınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = doḿınio de f .
Além disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Inversas
Definição: Se f é uma função injetiva com doḿınio A e imagem B,
definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
doḿınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = doḿınio de f .
Além disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Inversas
Definição: Se f é uma função injetiva com doḿınio A e imagem B,
definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
doḿınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = doḿınio de f .
Além disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a,
denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga,
vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Funções Logaŕıtmicas
A função logaŕıtmica com base a, denotada por loga, vem a ser
a função inversa da função exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definição
logax = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(a
x) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráfico da Função Logaŕıtmica
Observação: O gráfico da função logaŕıtmica,
assim como o de
qualquer função inversa, é obtido pela reflexão em torno da reta
y = x do gráfico da função original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1
y = ax, a > 1
y = x
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráfico da Função Logaŕıtmica
Observação: O gráfico da função logaŕıtmica, assim como o de
qualquer função inversa,
é obtido pela reflexão em torno da reta
y = x do gráfico da função original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1
y = ax, a > 1
y = x
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráfico da Função Logaŕıtmica
Observação: O gráfico da função logaŕıtmica, assim como o de
qualquer função inversa, é obtido pela reflexão em torno da reta
y = x do gráfico da função original,
no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1
y = ax, a > 1
y = x
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráfico da Função Logaŕıtmica
Observação: O gráfico da função logaŕıtmica, assim como o de
qualquer função inversa, é obtido pela reflexão em torno da reta
y = x do gráfico da função original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1
y = ax, a > 1
y = x
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Gráfico da Função Logaŕıtmica
Observação: O gráfico da função logaŕıtmica, assim como o de
qualquer função inversa, é obtido pela reflexão em torno da reta
y = x do gráfico da função original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1
y = ax, a > 1
y = x
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e,
denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x ,
sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R,
e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)
= loga x − logay ;
iii) loga(x
r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendo
portanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x . Então, por definição, x = a
y . Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x . Então, por definição, x = a
y . Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x . Então, por definição, x = a
y . Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x .
Então, por definição, x = ay . Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x . Então, por definição, x = a
y .
Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x . Então, por definição, x = a
y . Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. GaribaldiRevisão
Mudança de Base
Fórmula de mudança de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =
ln x
ln a
.
Demonstração.
Seja y = loga x . Então, por definição, x = a
y . Segue dáı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto é,
y =
ln x
ln a
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que,
dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b,
o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b
é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que
o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b
é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois números reais a < b, o intervalo aberto de
a até b é por definição
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde também que o intervalo fechado de a até b é definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha),
semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas)
ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Demais Intervalos
Outras notações intervalares usuais são:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a própria reta real (quarta linha).
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Desigualdades
Quanto a desigualdades,
é útil ter em mente que,
dados números reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a
>
1
b
.
Cálculo I
E. Garibaldi
Revisão
Desigualdades
Quanto a desigualdades,