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Cálculo numérico
Aula 1: Introdução ao programa de computação numérica
(PCN)
Apresentação
Diversas são as aplicações que envolvem operações aritméticas (escalares, vetores e matrizes), funções e seus grá�cos.
São as funções e seus grá�cos, por exemplo, que descrevem fenômenos físicos, químicos, econômicos, problemas na
engenharia e em diversas áreas.
Nesta aula, resolveremos alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Objetivos
Identi�car e executar as operações aritméticas (escalares, vetores e matrizes).
Identi�car os tipos de funções e seus respectivos grá�cos.
Cálculo numérico
Adição
Dados dois vetores u e v, podemos de�nir o vetor a soma u + v.
Para determinar a soma u + v, no caso em que u e v não são paralelos, pode-se utilizar a Regra do triângulo. Para isso, basta
“fechar o triângulo”, com o cuidado de escolher a origem do representante de v coincidindo com a extremidade do
representante de u.
Também pode-se usar a Regra do paralelogramo.
Regra do triângulo Regra do paralelogramo
Exemplo: u = (1, 9, 1)  e v = (2, 1, 0). Então, u + v = (1 + 2, 9 + 1, 1 + 0) = (3, 10, 1)
Subtração
Considerando-se a existência do vetor oposto -v, podemos de�nir a diferença u - v, como sendo igual à soma u + (-v).
Veja a �gura a seguir. Observe que, gra�camente, a subtração de vetores está utilizando novamente a Regra do paralelogramo.
Exemplo: u = (1, 9, 1)  e v = (2, 1, 0). Então, u + v = (1 - 2, 9 - 1, 1 - 0) = (-1, 8, 1)
Multiplicação por um escalar
Dado um vetor u e um escalar λ ∈ R, podemos de�nir o vetor λ.u, que possui a mesma direção de u, sentido coincidente para λ
> 0 e sentido oposto para λ < 0.
O módulo do vetor λ.u será igual a |λ|.u. 
Observe que gra�camente o vetor 2u é o dobro do vetor u.
Exemplo: u = (1, 9, 1)  e v = (2, 1, 0). Então, 2u = (2.1, 2.9, 2.1) = (2, 18, 2)
Propriedades
Considerando que u, v e w sejam vetores quaisquer, valem as seguintes propriedades:
associativa: (u + v) + w = u + (v +w)
comutativa: u + v = v + u
elemento neutro: u + 0 = 0 + u 
Existe um único vetor que somado a u dá como resultado o  próprio u: o vetor nulo.
elemento oposto: u + (-u) = 0 =  - u + u
Para cada u, existe um único vetor que somado a u dá como resultado o vetor nulo: o vetor oposto de u.
Operações com matrizes
Suponha que dois alunos, X e Y, tenham obtido as seguintes notas nos meses de março e abril:
março Português Matemática Física
aluno X 7 6 6
aluno Y 6 4 5
abril Português Matemática Física
aluno X 6 3 4
aluno Y 5 5 6
Logo, as notas dos alunos nesses dois meses podem ser representadas pelas seguintes matrizes:
Dessa forma, é possível determinar, por exemplo, a matriz que representa as médias de cada aluno em cada uma das matérias.
Vejamos:
Adição de matrizes
A adição de matrizes só é de�nida quando as duas matrizes consideradas têm mesma ordem.
A = [ ] e B = [ ]7
6
6
4
6
5
7
6
6
4
6
5
= (A + B)A+B
2
1
2
Considere duas matrizes de mesma ordem A = [a ] e B = [b ] , ou seja, A e B possuem m linhas e n colunas.
A soma de A e B, indicada por A+B, é a matriz obtida adicionando-se os correspondentes elementos de A e B, ou seja, A + B =
[c ]( ), onde c = a + b . Logo, A + B = [a + b j]
Exemplo:
ij (m,n) ij (m,n)
ij m,n ij ij ij ij i m.n.
A + B = [ ]  + [ ] = [ ]7
6
6
4
6
5
6
5
3
5
4
6
13
11
9
9
10
11
Propriedades
Dadas as matrizes A, B e C, de mesma ordem m x n, temos:
A+ B = B + A (comutatividade)
(A + B)+ C = A + (B + C) (associatividade)
A + 0 = A
A + (-A) = 0
(m,n)
Atenção
Lembre-se: 0 é uma matriz de m linhas e n colunas composta apenas por zeros.(m,n)
Multiplicação por escalar
Considere a matriz A = [a ]( ) e o escalar c. O produto do escalar c pela matriz A (indicado por cA) é igual à matriz obtida pela
multiplicação de cada elemento de A por c. Logo, cA = [cA ]
Exemplo:
ij m,n
ij m.n.
−3  [ ] =   [ ]2
−1
3
0
−6
3
−9
0
Propriedades
Se A e B são matrizes de ordem m x n e c, c , e c são escalares, então:
(c + c )A = c A + c A)
c(A + B) = cA + cB
c (c A) = (c c )A
0.A = 0
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
(m,n)
Multiplicação de matrizes
Só podemos efetuar o produto de duas matrizes A e B , se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas
da segunda, isto é, se n = 1. Além disso, a matriz resultado C = A.B será de ordem m x p.
Os elementos cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da
primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
m.n l.p
Propriedades
Desde que sejam possíveis as operações, temos:
Em geral, AB ≠ BA
AI = IA = A, onde I é a matriz identidade
A(B + C) = AB + AC (distributividade a esquerda da multiplicação, em relação a soma)
(B + C)A = BA + CA (distributividade a direita da multiplicação, em relação a soma)
A(BC) = (AB)C (associativa)
(AB)’ = B’A’ ou (AB) = B A
0.A = 0 e A.0 = 0
t t t
Funções e seus grá�cos
Uma relação f de A em B é uma função se e somente se:
todo elemento x pertencente a A tiver um correspondente y pertencente a B de�nido pela relação, chamada de imagem de
x.
a cada x pertencente a A não corresponder a dois ou mais elementos de B por meio de f.
Função real de uma variável real, Domínio e Imagem
Se f é uma função com domínio em A e contradomínio em B, dizemos que f é uma função de�nida em A com valores em B. Se
tanto A como B forem subconjunto dos reais dizemos que f é uma função real de variável real.
Exemplo:
Seja f(x) = 2x, sendo o domínio A = {1,2,3,...} e B = R, temos:
f(1) = 2.1 = 2
f(2) = 2.2 = 4
Ou seja, a imagem seria Im = {2,4,6,...} e A e B seriam subconjuntos de R.
Suponha que o conjunto A fosse limitado, isto é, A = {1,2,3}; então, o diagrama de �echa �caria:
Logo, a imagem �caria B = {2,4,6}.
Denominamos raiz (ou raízes) de uma função quando a função intercepta o
eixo das abscissas. Nesse ponto, a função possui as coordenadas (x,0), ou
seja, y = 0.
Lembre-se de que f(x) = y.
Função polinomial
f(x) = a x + a x + a x + ...+ a x , onde n ≥ 0 de�ne o grau do polinômio e a , a , ..., an são os coe�cientes do polinômio
(números reais quaisquer).
Veja, a seguir, casos particulares de funções polinomiais . Observe que o grau da função polinomial de�ne o maior número de
raízes que o polinômio pode assumir com ou sem repetição.
0
0
1
1
2
2
n
n
0 1
Função constante
f(x) = k, onde k é um número real qualquer. Logo, f(x) = a x
= a .
Atenção! Essa não é uma função do 1° grau.
Exemplo: f(x) = 5
Essa função será representada por um grá�co
paralelo ao eixo x passando no ponto y = 5.
Para qualquer valor de x, o y permanecerá no valor 5.
0
0
0
 Função crescente
Função linear a�m
f(x) = ax + b, onde a e b são constantes quaisquer, sendo a
≠ 0.
A constante a é chamada de coe�ciente angular da reta e
representa a angulação que a reta faz com a abscissa. Caso
essa angulação seja positiva, dizemos que a reta é
crescente. Caso seja negativa, dizemos que a reta é
decrescente.
Já a constante b representa coe�ciente linear da reta e
representa o ponto onde o grá�co corta o eixo das
ordenadas.
Observe que f(x) = a x + a x . Logo, possui grau 1.0 0 1 1
 Função crescente
Exemplo: f(x) = 5x + 1
O grá�co dessa função será uma reta que passa pela origem, pois, quando x assumir o valor zero, a função será igual a
zero.
Dependendo do valor de a, a função poderá ser crescente ou decrescente.
Função linear
f(x) = ax passa a ter a função linear quando b = 0, ou seja,
f(x) = ax + 0 = ax.
Observe que f(x) = a¹x¹. Logo, possui grau 1.
Exemplo: f(x) = 5x
O grá�co dessa função será uma reta que passa pela
origem, pois, quando x assumir o valor zero, a função
será igual a zero.
Dependendo do valor de a, a função poderá ser
crescente ou decrescente.
 Função crescente
 Função decrescente
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Dizemos que uma função f é crescente em um intervalo [a, b] se, à medida que se aumenta o valor dex dentro do
intervalo, as imagens correspondentes também aumentam:
x < x -> f(x ) < f(x )
Função crescente 
1 2 1 2
Dizemos que uma função f é decrescente em um intervalo [a, b] se, à medida que se aumenta o valor de x dentro do
intervalo, as imagens correspondentes diminuem.
Função decrescente 
Função quadrática
Função quadrática é toda função do tipo: y = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais com a ≠ 0.
Observe que: f(x) = a x + a x + a x . Logo, a função tem grau 2.
Exemplo: f(x) = x² 4x+ 3
Podemos encontrar a raiz (ou raízes) da função – zero da função – tornando y = 0. Os interceptos do grá�co da função com o
eixo x podem ser obtidos por meio da seguinte fórmula resolutiva:
Onde ∆ = b² - 4ac é chamado de discriminante.
0
0
1
1
2
2
X =
−B± B2−4AC√
2A
Atenção
Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas;
Se ∆ = 0, a equação terá urna raiz real;
Se ∆ < 0, a equação não terá raízes reais
Podemos ter também as funções incompletas. Vejamos:
ax² + bx = 0, quando c = 0;
ax² + c = 0, quando b = 0.
O grá�co da função quadrática é um parábola, cujo vértice corresponde ao ponto mais extremo. A concavidade é a abertura da
parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo.
Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.
Para se de�nir o grá�co de uma função quadrática, precisamos conhecer as raízes onde o grá�co irá interceptar o eixo x e o
coe�ciente a, pois esse de�nirá a concavidade da parábola.
Para de�nir o vértice, é preciso calcular suas coordenadas
nos eixos x e y:
A interseção com o eixo y ocorre em 
(coe�ciente linear).
Já a interseção com o eixo x ocorre em (x,0), ou seja, nas
raízes.
O sentido da concavidade depende do coe�ciente a. Se a >
0, ou seja, positivo, a concavidade é voltada para cima. Se a
< 0, ela é voltada para baixo.
x = −b
2a
y = −Δ
4a
(0, y)  → y  =  c
 
Função logarítmica
Seja a um número real positivo e seja também a ≠ 0. Se x é um número real positivo, existe um único número real y tal que a =
x. O número y recebe o nome de logaritmo de x na base a (escreve-se: log x).
A função de�nida por y = log x, com x > 0, é chamada de função logarítmica de base a.
y
a
a
Atenção
Se y = log 1 = 0, o grá�co de y = log x intercepta o eixo x no ponto de abscissa x = 1.
Se a > 1, y = log x > 0 para x >1, e y = log x < 0 para 0 < x < 1.
Se a < 1, y=log x < 0 para x>1, e y = log x > 0 para 0 < x < 1.
Se a = 10, a função y = log x é chamada função logarítmica decimal e será indicada por y = log x.
Se a = e, y = log x = ln x, para indicar a função logarítmica de base e (logaritmo natural).
a a
a a
a a
a
a
Domínio: R* (reais positivos)
Intercepta o eixo x no ponto (1,0), e não intercepta o eixo y. Vejamos os grá�cos:
+
Propriedades
Desde que sejam possíveis as operações, temos:
log M.N = loga M + log N
log M/𝐍 = loga M - log N
log M𝛼 = 𝛼 loga M
log M = log M /(log a) (mudança de base)
a a
a a
a
a a a
Função exponencial
Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente.
Chama-se função exponencial a função f:R -> R+∗ tal que f(x) = a em que a ∈ R, a < 0 e a ≠ 1.
O a é chamado de base e o x de expoente.
A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base for maior que 1, a função é crescente; se a
base a for um número real entre 1 e 0 (0 < a < 1), a função é decrescente.
Exemplo:
y = 2 , y = e (e ≈ 2,7). Logo, o valor de e¹ é aproximadamente igual a 2.718.281.828
x
x x
Propriedades
Desde que sejam possíveis as operações, temos:
Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que a = a ↔ x = t.
A função exponencial f(x) = a é crescente em todo seu domínio se, e somente se, a > 1.
A função exponencial f(x) = a é decrescente em todo seu domínio se, e somente se, 0 < a < 1.
Toda função exponencial, ou seja, f(x) = ax em que a ∈ 𝑅+∗ e a ≠ 1, é bijetora.
x t
x
x
A curva e jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste. Vejamos:x
Exemplo:
Se x é real, então e é sempre positivo e crescente. Consequentemente, sua função inversa, o logaritmo neperiano ln(x), é
de�nida para qualquer valor positivo de x.
Usando o logaritmo neperiano, pode-se de�nir funções exponenciais mais genéricas, como a = e . Para todo a > 0 e x ∈ R.
x
x xln a
Funções trigonométricas
As funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos
periódicos. Podem ser de�nidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma
mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário.
Na análise matemática, essas funções recebem de�nições ainda mais gerais, na forma de séries in�nitas ou como soluções
para certas equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas estão de�nidas não só para ângulos reais
como também para ângulos complexos.
sen  = 1π
2
Características e grá�cos das funções seno, cosseno e tangente
Função seno: f (x) = sen x
A cada número real x, associa o número y = sen x.
Domínio: como x pode assumir qualquer valor real, D = R.
Conjunto imagem : como o seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se
encontra no intervalo entre esses valores.
Grá�co: o grá�co sempre se repete no intervalo de 0 a 2𝜋. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o grá�co,
basta escrever no eixo cartesiano os pontos em que a função é nula, máxima e mínima.
Período: é sempre o comprimento da senóide. No caso da função seno, a senóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2𝜋,
portanto o período é igual a 2𝜋.
Função cosseno: f (x) = cos x
A cada número real x, associa o número y = cos x.
Domínio: como x pode assumir qualquer valor real, D = R.
Conjunto imagem : como o cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem
se encontra no intervalo entre esses valores.
Grá�co: o grá�co sempre se repete no intervalo de 0 a 2𝜋. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o
grá�co, basta escrever no eixo cartesiano os pontos em que a função é nula, máxima e mínima.
Período: é sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função cosseno, a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo
de 0 a 2𝜋, portanto o período é igual a 2𝜋.
Função tangente: f (x) = tg x
A cada número real x, associa o número y = tg x.
Domínio: a função da tangente é peculiar, pois não existe quando o valor de cos x = 0 (não existe divisão por zero).
Portanto, o domínio da função tangente é igual a todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
Conjunto imagem : ] -∞, ∞ [
Grá�co: o grá�co da função é tangenóide.
Período: o período é igual a 𝜋.
Atividades
Dados os vetores u = 2i - 5j e v = i + j, determine:
a. O vetor soma u + j.
b. O vetor diferença u - j.
c. O vetor 3u - 2v.
Considere as seguintes matrizes A e B:
Preencha a matriz a seguir com o resultado da operação A + B.
A =  B =
⎡
⎣
⎢
1
6
2
2
4
4
8
6
4
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
2
3
3
2
3
3
2
3
3
⎤
⎦
⎥
A + B =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Notas
Referências
Próxima aula
Próxima aula
Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros.
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