Exercicios_Aula_3_Física Ótica moderna

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Exercícios Aula 3 
Professor: Cristiano Cruz 
Disciplina: Óptica e Princípios da Física Moderna 
Curso: Engenharias Modalidade: EAD 
1 – A partícula elementar conhecida como cáon-mais (k+) tem um tempo médio de vida de 
0,1237 s quando está em repouso, isto é, quando o tempo de vida é medido no referencial 
do cáon. Se um cáon-mais tem uma velocidade de 0,990.c em relação ao referencial do 
laboratório quando é produzido, que distancia percorre neste referencial durante seu tempo 
médio de vida de acordo com a física clássica (que é uma aproximação razoável para 
velocidades muito menores que c) e de acordo com a teoria da relatividade restrita (que 
fornece resultado correto para qualquer velocidade)? 
Resolução: 
A velocidade do cáon-mais é determinada pela razão entre a distância percorrida pelo cáon-
mais e o intervalo de tempo gasto. 
𝑣 = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
∆𝑡
 
Iremos calcular primeiro a distância pela física clássica e depois pela relatividade restrita. 
Pela física clássica não precisamos nos preocupar com o referencial utilizado para efetuar 
as medições, a distância será dada por: 
𝑑 = 𝑣. ∆𝑡 
Sendo t = 0,1237 s e a velocidade v = 0,990.c, temos a distância percorrida calculada pela 
física clássica 
𝑑 = 0,990 . 2,998 . 108. 0,1237 . 10−6 = 36,7 𝑚 
Na relatividade restrita, as medidas de distância e intervalo de tempo devem ser feitas no 
mesmo referencial e depois calculamos a distância percorrida pela relação: 
𝑑 = 𝑣. ∆𝑡 
O intervalo de tempo t = 0,1237 s é o tempo próprio do cáon-mais to para determinar a 
distância percorrida será necessário calcular o intervalo de tempo no referencial do 
laboratório, 
∆𝑡 = 
∆𝑡𝑜
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
 
∆𝑡 = 
0,1237 . 10−6
√1 − (
0,99. 𝑐
𝑐 )
2
= 8,769. 10−7𝑠 
A distância percorrida pelo cáon no referencial do laboratório será: 
𝑑 = 𝑣. ∆𝑡 
𝑑 = 0,990.2,998.108. 8,769. 10−7 = 260 𝑚 
Esta distância é aproximadamente sete vezes maior que a distância calculada utilizando a 
física clássica. Experiências como esta já foram realizadas, as quais comprovaram as 
previsões da teoria da relatividade restrita. Portanto, em projetos e construções de qualquer 
aparelho que utilize partículas de alta energia é necessário levar em consideração os efeitos 
relativísticos. 
2 – Uma partícula instável de alta energia é formada em um detector e deixa um rastro com 
1,05 mm de comprimento, viajando a uma velocidade de 0,992.c, antes de decair. Qual é o 
tempo de vida próprio? Em outras palavras, quanto tempo a partícula levaria para decair se 
estivesse em repouso em relação ao detector? 
Pela relação da velocidade: 
𝑣 = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
∆𝑡
 
O intervalo de tempo no referencial do laboratório será dado por: 
∆𝑡 = 
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑣
 
Onde a distância d = 1,05 mm = 0,00105 m e a velocidade v = 0,992 . c 
∆𝑡 = 
0,00105
0,992 . 2,998 . 108
= 3,53 . 10−12𝑠 
O intervalo de tempo próprio to se relaciona com o intervalo de tempo no referencial do 
laboratório, pela equação: 
∆𝑡 = 
∆𝑡𝑜
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
 
3,53.10−12 = 
∆𝑡𝑜
√1 − (
0,992. 𝑐
𝑐 )
2
 
∆𝑡𝑜 = 3,53.10
−12 . √1 − (
0,992. 𝑐
𝑐
)
2
= 4,46 . 10−13𝑠 = 0,446 𝑝𝑠 
 3 – Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é 130 m passa por uma base espacial 
a uma velocidade de 0,740 c. (a) Qual é o comprimento da nave no referencial da base? (b) 
Qual o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e 
a passagem da popa da espaçonave? 
a) O comprimento da nave medido no referencial da base L pode ser determinado pela 
relação 
𝐿 = 𝐿𝑜 √1 − (
𝑣
𝑐
)
2
 
Onde Lo é o comprimento da nave em repouso, comprimento próprio. 
Logo, 
𝐿 = 130 √1 − (
0,740. 𝑐
𝑐
)
2
 
𝐿 = 130 √1 − (
0,740. 𝑐
𝑐
)
2
= 87,4 𝑚 
b) O intervalo de tempo medido pelos tripulantes da base, será: 
𝐿 = 𝑣. ∆𝑡 
87,4 = 0,740.2,998.108. ∆𝑡 
∆𝑡 = 
87,4
0,740.2,998.108
= 39,39 . 10−8 𝑠 = 394 𝑛𝑠 
4 – Um experimentador dispara simultaneamente duas lâmpadas de flash, produzindo um 
grande clarão na origem do seu referencial e um pequeno clarão no ponto x = 30,0 km. Um 
observador que está se movendo com uma velocidade de 0,250.c no sentido positivo do eixo 
x também observa os clarões.(a) Qual o intervalo de tempo entre os dois clarões, de acordo 
com o observador? (b) De acordo com o observador, qual dos dois clarões ocorreu primeiro? 
 
Resolução: 
Este exercício envolve medidas realizadas em dois referenciais, o referencial do 
experimentador e o referencial do observador e envolve dois eventos, o clarão grande, 
evento A e o clarão pequeno, evento B. 
As informações do enunciado do exercício nos dão medidas do referencial do 
experimentador, precisamos transformar estas medidas para o referencial do observador. 
Antes de iniciarmos observe o esquema do problema. 
 
 
No referencial do experimentador os dois eventos acontecem ao mesmo tempo, são 
simultâneos, logo, o intervalo de tempo entre os eventos neste referencial t = 0 
Para determinarmos o intervalo de tempo t’ entre os eventos para o referencial do 
observador, devemos utilizar a transformação de Lorentz. 
∆𝑡′ = 𝛾 (∆𝑡 −
𝑣. ∆𝑥
𝑐2
) 
Onde o fator de Lorentz é dado por: 
𝛾 = 
1
√1 − (
𝑣
𝑐)
2


𝛾 = 
1
√1 − (
0,25. 𝑐
𝑐 )
2
= 1,0327 
A distância entre os eventos x para o referencial do experimentador é: 
 
∆𝑥 = 30 𝑘𝑚 = 3.104 𝑚 
 
Substituindo na equação da transformação de Lorentz: 
∆𝑡′ = 1,0327 (0 −
0,25. 𝑐. 3.104
2,998.108. 𝑐
) = 25,8 . 10−6𝑠 = 25,8 𝜇𝑠 
O evento que ocorreu primeiro para o observador foi o evento B, ou seja, o pequeno clarão. 
 
5 – Uma espaçonave está se afastando da terra com uma velocidade de 0,900c, transmite 
mensagens com uma frequência (no referencial da nave) de 100 MHz. Para que frequência 
devem ser sintonizados os receptores terrestres para captar as mensagens? 
O efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas depende de apenas uma velocidade, a 
velocidade relativa entre a fonte e o detector. 
Seja fo a frequência própria da fonte, isto é, a frequência medida por um observador em 
relação ao qual a fonte encontra-se em repouso e seja f a frequência medida por um 
observador que esteja se movendo com velocidade v em relação à fonte. Neste caso se o 
observador está se afastando temos a relação entre as frequências: 
𝑓 = 𝑓𝑜√
1 − 𝛽
1 + 𝛽
 
Onde: 
𝛽 = 
𝑣
𝑐
 
Para o exercício: 
𝛽 = 
0,900. 𝑐
𝑐
= 0,900 
Substituindo na outra equação: 
𝑓 = 100.106√
1 − 0,9
1 + 0,9
 = 22,9 . 106𝐻𝑧 = 22,9 𝑀𝐻𝑧