AP III E IV_UNIASSELVI_ANÁLISE MATEMÁTICA_25_07_2020

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AVALIAÇÃO_UNIASSELVI_ANÁLISE MATEMÁTICA_25/07/2020 
 
 
OBJETIVA FINAL FLEX 
 
01) – O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos 
referentes aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por 
outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro da 
Matemática. Em outras palavras, entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo 
que entender os números naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos 
axiomas de Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique 
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém. 
( ) Um número natural possui apenas um sucessor. 
( ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence 
a X, então X = N. 
( ) A função que associa dois números naturais é bijetiva. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) V - V - V - F. 
b) F - F - V - F. 
c) F - V - F - V. 
d) V - V - F - F. 
 
02) – Função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto (representado 
pela variável x) a um único elemento de outro conjunto (representado pela variável y). 
Para cada valor de x, podemos determinar um valor de y, dizemos então que "y está em 
função de x". 
Acerca das propriedades das funções, analisando a função f(x) = x³- 2x²+ 5x+ 16, assinale 
a alternativa CORRETA: 
a) Existem 3 números reais M maiores que zero, tal que f(M) = 0. 
b) Existe um número real M, tal que f(x) é menor ou igual a M, para todo x. 
c) Existe um número real M menor que zero, tal que f(M) = 0. 
d) Existe um número real M, tal que f(x) é maior ou igual a M, para todo x. 
 
03) – Os números reais respeitam as propriedades de corpo ordenado e consigo trazem 
algumas propriedades importantes. Uma delas é a de que dados dois elementos a e b, 
temos que a > b, a < b ou a = b. O nome dado a esta propriedade é: 
a) Comutatividade. 
b) Associatividade. 
c) Tricotomia. 
d) Monotonicidade. 
 
04) – A adição é uma das quatros operações fundamentais da aritmética. Consiste em 
adicionar um ou mais valores tendo um valor como resultado. O número 0 (zero) é um 
número neutro na adição, ou seja, somar alguma coisa com nada temos essa alguma coisa. 
Em termos de análise matemática podemos mostrar diversas propriedades que justificam 
as operações "elementares" que estamos aptos a realizar desde os primeiros anos de nosso 
estudo. Uma destas propriedades é a transitividade da adição: Se u, v e w são três 
elementos de um corpo ordenado K tais que u < v e v < w, então u < w. Dentre as opções 
a seguir, indique qual delas justificam numericamente a propriedade da transitividade: 
 
I) 2 < 3, então 2+4 <3+4 
II) 1<5, então 1+5 = 1 + 5 
III) 2 < 3 e 3 < 5, então 2 < 5. 
IV) 0 + 3 = 1 + 2, pois 2 < 3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) Apenas III. 
b) Apenas IV. 
c) Apenas I. 
d) Apenas II. 
 
05) – Na matemática, a sequência numérica ou sucessão numérica corresponde a uma 
função dentro de um agrupamento de números. De tal modo, os elementos agrupados 
numa sequência numérica seguem uma sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto. Acerca 
de sequências numéricas, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Uma sequência numérica pode ou não ser limitada superiormente, inferiormente ou ser 
limitada. 
II- Toda subsequência de uma sequência limitada é limitada. 
III- Uma sequência possui sempre um número finito de termos. 
IV- Uma sequência monótona é toda aquela que repete seus valores. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) As sentenças I, II e III estão corretas. 
b) As sentenças I e II estão corretas. 
c) As sentenças III e IV estão corretas. 
d) As sentenças II e III estão corretas. 
 
 
06) – Ao estudar propriedades elementares do conjunto dos números reais, em particular 
as relacionadas a supremo e ínfimo de conjuntos, muitas vezes nos deparamos com 
propriedades deste conjunto que nunca antes na educação básica foram abordadas. Por 
este fato, para conhecer por completo este conteúdo, devemos analisá-lo com 
profundidade. Analisando o conjunto A = {1/n , com n natural}, analise as sentenças a 
seguir: 
 
I- O supremo de A é 1. 
II- O ínfimo de A é 0. 
III- O ínfimo e supremo de A são iguais. 
IV- O ínfimo de A tende a zero. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) Somente a sentença III está correta. 
b) As sentenças III e IV estão corretas. 
c) As sentenças I e II estão corretas. 
d) As sentenças I e IV estão corretas. 
 
 
07) – Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas 
não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o 
conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) Os números racionais são fechados com relação à divisão. 
b) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional. 
c) Os números irracionais são fechados com relação à divisão. 
d) Os números naturais são fechados com relação à adição. 
 
 
08) – Após o estudo de sequências, podemos provar vários casos em Análise Matemática 
com a utilização das subsequências. Acerca de características das subsequências, analise 
as sentenças a seguir: 
 
I- A sequência {4, 8, 12, 16...} é, em particular, uma subsequência da sequência {2, 4, 6, 
8, 10,...}. 
II- Toda subsequência de uma sequência ilimitada é ilimitada. 
III- Uma sequência monótona é limitada se, e somente se, ela possui uma subsequência 
limitada. 
IV- Uma sequência não-monótona é limitada se, e somente se, toda subsequência for 
ilimitada. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) As sentenças II e IV estão corretas. 
b) As sentenças I e IV estão corretas. 
c) As sentenças II e IV estão corretas. 
d) As sentenças I e III estão corretas. 
 
 
09) – Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise 
matemática, faz-se necessário construir os raciocícios ligados aos métodos de 
transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de 
decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou 
proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais 
aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por: 
a) Absurdo. 
b) Prova direta. 
c) Contradição. 
d) Indução. 
 
10) – Para qualquer número natural n > 1 vale a desigualdade I. Sendo assim, assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta o valor de a definido no limite II: 
 
a) a = infinito positivo. 
b) a = 1. 
c) a = e. 
d) a = 1/e. 
 
 
11) – (ENADE, 2008) Considere a progressão geométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
 
 
12) – (ENADE, 2014). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) infinito. 
b) 0. 
c) 1. 
d) e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCURSIVA FINAL FLEX 
 
01) – No conjunto dos números racionais, todos os números podem ser escritos na forma 
de fração. Utilizando as propriedades habituais de adição e subtração de frações, prove 
que: ( * Máximo 4000 caracteres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARA ( I ) TEMOS: 
Encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), pois são frações com denominadores 
diferentes. MMC entre (a + 1) e “a”, no caso encontra-se o resultado o denominador 
comum entre as duas frações = (a +1)a, no passo seguinte divide-se o denominador 
comum (a +1)a pelo denominador da primeira fração (a+1), no passo seguinte multiplica-
se o resultado “a” pelo numerador “a” da primeira fração, obtendo-se o resultado “aa”. 
Segue o mesmo raciocínio para a segunda fração divide-se o denominador comum (a +1)a 
pelo denominador da segunda fração “a”, no caso o resultado da divisão (a + 1) 
multiplica-se pelo numerador da segunda fração encontrando o resultado(a +1) (a – 1), 
como veremos abaixo: 
 [ a / (a+1)] – [ (a – 1) / a ] = = [ 1 / ( a2 + a) ] 
 
= [ a.a – ( a + 1 ).( a – 1 ) ] / [ (a + 1).a ] 
= [ a2 – ( a2 – 12 ) ] / [ a2 + a ] 
= [ 1 / ( a2 + a) ] 
 
PARA ( II ) TEMOS: (obs: segue o mesmo raciocínio do item I, para encontrar os valores) 
[ 1 / a ] – [ 1 / ( a + 1 ) ] = [ 1 / ( a2 + a) ] 
 
= [ a +1 – a ] / [ ( a +1 ).a ] 
= [ 1 / [( a2 + a) ] 
 
PARA ( III ) TEMOS: (obs: segue o mesmo raciocínio do item I, para encontrar os 
valores) 
[ a / ( a + 1)] + [ ( a – 1) / a ] = [ (2.a2 – 12 )] / [ (a2 + a) ] 
 
= [ a.a + ( a + 1 ).( a – 1 )] / [ (a + 1).a ] 
= [ (2.a2 – 12 )] / [ (a2 + a) ] 
 
02) – O método de demonstração por indução, muito utilizado para demonstrar resultados 
matemáticos, foi desenvolvido a partir do último axioma de Peano, que praticamente 
definiu números naturais. Entretanto, foi August de Morgan quem descreveu esse método 
cuidadosamente e deu a ele o nome de indução matemática. Sendo assim, utilizando a 
demonstração pelo método da indução, mostre que se n é um número natural, então n3 – 
n é múltiplo de 3 ( * Máximo 4000 caracteres ) 
 
 
 
 
MINHA RESPOSTA 
Se n pertence a N (Naturais), então n3 – n é múltiplo de 3. Então, seja P(n) a afirmação « 
n3 – n é múltiplo de 3». 
 
Aplica-se então o método de indução. 
 
Tem-se P(1), pois isto apenas quer dizer que 13 – 1 é múltiplo de 3, ou seja, 
que 0 é múltiplo de 3, o que é obviamente verdade. 
 
Seja n pertencente a N e suponha-se que se tem P(n), suponha-se que n3 – n é múltiplo de 
3; quer-se provar que se tem P(n+1), o que equivale a afirmar que (n +1)3 – (n +1) é 
múltiplo de 3. Mas 
 
(n +1)3 – (n +1) = n3 +3n2 +3n +1 – n – 1 
 = n3 – n +3(n2 + n). 
 
Então (n +1)3 – (n +1) é a soma de n3 – n (que se está a supor que é múltiplo 
de 3) com 3(n2+n) (que é obviamente múltiplo de 3). Logo, (n +1)3 – (n +1) é também 
múltiplo de 3. 
 
RESPPOSTA UNIASSELVI