Cálculo Integral

Prévia do material em texto

Cálculo Integral
Gabaritando Matemática
4 de abril de 2020
1
E aí, pessoal! Beleza? Está aqui um pdf todo organizado e na ordem do cronograma de
estudos para quem deseja assistir o curso de Cálculo Integral do canal. Ele será atualizado no
decorrer das postagens dos vídeos.
Aqui neste PDF teremos um resumo com fórmulas, definições e os assuntos mais importan-
tes de cada tópico, o link do vídeo com a aula do referido tópico e todas as questões resolvidas
no canal, em ordem e por assunto, tudo bem organizado para o aluno conseguir estudar sozinho.
Tudo disponibilizado no canal é gratuito! Exercícios, aulas e material, então eu peço a vocês
que compartilhem esse material com seus amigos e outros estudantes, assim vocês ajudam a
divulgar esse trabalho que está sendo feito com todo carinho e organização possível, além de
ajudar a democratizar o ensino.
Espero poder continuar fazendo esse mesmo trabalho com outras disciplinas, então é impor-
tante o feedback de vocês nas aulas e resoluções de exercícios, curtindo, comentando e deixando
críticas construtivas, beleza? Abraços e bons estudos.
Algumas orientações para usar o PDF:
Ao lado de cada questão estará a letra R e, ao clicar na letra, você irá acessar a resolução
da questão em vídeo no Youtube. E ao lado de cada tópico estará a letra A indicando o link
da aula sobre o assunto no Youtube. Para quem preferir, é só seguir as playlists de exercícios
e aulas no canal, pois elas seguem a ordem dos assuntos deste pdf.
A ideia é que vocês tentem resolver os exercícios sozinhos, depois da aula, e, somente após
a tentativa de resolver, assistir a resolução.
Exemplo: Se você assistiu a aula de substituição simples, os exercícios referentes à esse
assunto estarão na playlist de exercícios com o nome do tópico e o número da questão ao final
do título, por exemplo: Cálculo Integral: Exercícios de Substituição Simples - Questão
83. O exemplo anterior seria a questão número 83 do assunto de substituição simples que está
neste pdf (os exercícios da playlist vão seguir a ordem dos vídeos de teoria).
Alguns links:
Playlist de aulas: Clique aqui.
Playlist de exercícios: Clique aqui.
Link do canal, com aulas, dicas e questões: Clique aqui.
Facebook para acompanhar as novidades: Clique aqui.
Os materiais que uso para produção das aulas são diversos, mas os principais são o livro do
Guidorizzi e o material didático do curso de matemática do CEDERJ/UFF.
https://www.youtube.com/playlist?list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz
https://www.youtube.com/playlist?list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.facebook.com/gabaritandomatematica/
Gabaritando Matemática
Sumário
1 Introdução ao cálculo integral A1 e A2 3
1.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Propriedades da integral A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Teorema Fundamental do Cálculo (Demonstração) 7
2.1 Primeira forma do TFC (Derivando a integral) A . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Calculando primitivas e integrais indefinidas A . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Segunda forma do TFC (Calculando a integral definida) A . . . . . . . . . . . 8
2.4 Lista de Integrais imediatas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Técnica da substituição simples ou troca de variável A 10
3.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Função par e função ímpar A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Técnica de integração por partes A 14
4.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Área entre curvas A 16
5.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas 20
6.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Método de Substituição Trigonométrica A1 e A2 24
7.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . 24
8 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 25
8.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . 26
1
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=VcbHJymbuVw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=jJ2RpGOoUEs&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=eqABKh9PFiM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=QZHsdIcLlfk&index=7&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz
https://www.youtube.com/watch?v=vJauCqqTgEw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8
https://www.youtube.com/watch?v=4W1mmzNJSts&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=6e9exnj7K2o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=6
https://www.youtube.com/watch?v=1RUcliGeolk&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8
https://www.youtube.com/watch?v=v_iU-ew7ot0&index=9&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz
https://www.youtube.com/watch?v=KMKv04EDi7U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=10
https://www.youtube.com/watch?v=JDz9qMLvI0o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=11
https://www.youtube.com/watch?v=gBKfLMopr8g&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=N_ayzC2H0FU&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=15
https://www.youtube.com/watch?v=MtBE1-WNTUI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=16
Gabaritando Matemática
9 Integrais Impróprias 27
9.1 Tipo 1 - Integral sobre intervalo não limitado A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.2 Tipo 2 - Caso da descontinuidade infinita A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.3 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10 Critérios de convergência e divergência 29
10.1 Critério da Comparação A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.2 Exemplos referenciais A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.3 Extensão do critério da comparação A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.4 Critério do Limite do Quociente A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.5 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11 Volume de Sólidos 32
11.1 Método dos Discos e Arruelas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11.2 Método das Cascas Cilíndricas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
11.3 Método das Seções transversais A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11.4 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12 Comprimento de Curva e Área de Superfícies 35
13 Desafios 35
2
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=-j6CSD9vaNQ&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=i2aq_ODwx9U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=21
https://www.youtube.com/watch?v=aZo6xQBqTBM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=23
https://www.youtube.com/watch?v=fU-ezR__fQM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=24
https://www.youtube.com/watch?v=HVC5wn_gdsA&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=25
https://www.youtube.com/watch?v=kd9om5Sb6g8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=26
https://www.youtube.com/watch?v=R44j-Z0veQ8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=27
https://www.youtube.com/watch?v=ujWC4-g_u_o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=30https://www.youtube.com/watch?v=cNDut79P9T0&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=32
Gabaritando Matemática
1 Introdução ao cálculo integral A1 e A2
1.1 Definições
1. Se f está definida em x = a, definimos
∫ a
a
f(x)dx = 0.
2. Seja f : [a, b]→ < tal que f é uma função integrável em [a, b], tal que f(x) ≥ 0 em [a, b].
Definimos a área da região R limitada superiormente pelo gráfico de f , por baixo pelo
eixo x, e lateralmente pelas retas x = a e x = b, como sendo o número R =
∫ b
a
f(x)dx
3. Caso a função seja f(x) ≤ 0 em [a, b], definimos, analogamente, a área como sendo
R = −
∫ b
a
f(x)dx
4.
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx
Teorema - Continuidade implica integrabilidade
Se f : [a, b]→ < é contínua em [a, b], então f é uma função integrável em [a, b].
1.2 Propriedades da integral A
1. Integral da constante:
∫ b
a
cdx = c(b− a)
2. Integral da identidade:
∫ b
a
xdx = b
2
2 −
a2
2
3. Constante vezes a função:
∫ b
a
αf(x)dx = α
∫ b
a
f(x)dx
4. Integral da soma é a soma das integrais:
∫ b
a
(f(x) ± g(x))dx =
∫ b
a
f(x)dx ±
∫ b
a
g(x)dx
5. Partição:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx com c ∈ [a, b].
6. Se f(x) ≥ 0 em [a, b], então
∫ b
a
f(x)dx ≥ 0. Decorre diretamente desse fato que se
f(x) ≥ g(x) em [a, b], então
∫ b
a
f(x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx.
7. Se m ≤ f(x) ≤M em [a, b], então m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤M(b− a)
Teorema do valor médio para integrais A
Se a < b e f : [a, b] → < é contínua em [a, b], então existe c ∈ [a, b] tal que
∫ b
a
f(x)dx =
f(c)(b− a).
3
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=VcbHJymbuVw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=jJ2RpGOoUEs&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=eqABKh9PFiM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=nfioIrUP5QE&index=4&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz
Gabaritando Matemática
1.2.1 Exercícios com resoluções em vídeo
1. Se f é uma função contínua sobre o intervalo [0, 5] que satisfaz
∫ 1
0
f(x)dx = 6,
∫ 2
0
f(x)dx =
4,
∫ 5
2
f(x)dx = 1, use as propriedades básicas da integral definida para encontrar cada
uma das seguintes integrais definidas: R
(a)
∫ 5
0
f(x)dx
(b)
∫ 2
1
f(x)dx
(c)
∫ 5
1
f(x)dx
(d)
∫ 0
0
f(x)dx
(e)
∫ 0
2
f(x)dx
(f)
∫ 1
5
f(x)dx
2. O gráfico de f consiste de segmentos de reta e de um semicírculo de raio 2, como mostra
a Figura. Calcule cada integral definida, usando fórmulas de geometria. R
(a)
∫ 2
0
f(x)dx
(b)
∫ 2
0
f(x)dx−
∫ 0
−2
f(x)dx
(c)
∫ 6
2
f(x)dx
(d)
∫ 2
−4
f(x)dx
(e)
∫ 6
−4
3f(x)dx
(f)
∫ 6
−4
|f(x)|dx
3. Calcule as integrais usando o gráfico e a interpretação geométrica da integral. R
4
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=vSdPZtln1nU&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=WKVMC-VhtgA&t=0s&index=53&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=2J5uiVOhREI&t=31s&index=3&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
Gabaritando Matemática
(a)
∫ 0
−8
f(x)dx
(b)
∫ 3
0
f(x)dx
(c)
∫ 3
−8
f(x)dx
(d)
∫ 12
3
f(x)dx
(e)
∫ 20
12
f(x)dx
(f)
∫ 20
−8
f(x)dx
(g)
∫ 20
−8
|f(x)|dx
(h) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo x.
4. Use as propriedades básicas da integral definida para calcular cada expressão. Você pode
assumir que
∫ b
a
xdx = b
2 − a2
2 e que
∫ b
a
x2dx = b
3 − a3
3 . Em cada caso faça um esboço
do integrando no intervalo dado e interprete o resultado em termos de áreas. R
(a)
∫ 4
−5
(4 + π)dx (b)
∫ 3
1
2xdx (c)
∫ 1
−2
(4− x2)dx (d)
∫ 4
1
(x2 − 6x+ 8)dx
(e)
∫ 4
0
f(x)dx onde f(x) =
2x2, se 0 ≥ x ≤ 23x, se 2 < x ≤ 2
5. Seja f dada por f(x) =
4− x2, se − 2 ≥ x < 2x2 − 6x+ 8, se 2 ≥ x ≤ 4 . R
(a) Esboce a região T compreendida entre o gráfico da função y = f(x) e o eixo x.
(b) Cálcule a área da região T.
(c)
∫ 4
−2
f(x)dx
6. Calcule cada integral usando as propriedades básicas da integral definida junto com fór-
mulas apropriadas da geometria. R
(a)
∫ 2
−2
(1− |x|)dx
(b)
∫ 0
−3
(1 +
√
9− x2)dx
(c)
∫ 3
0
|3x− 5|dx
7. Para cada uma das regiões mostradas a seguir, escreva uma integral definida que dê a
área da região. (Não calcule a integral). R
8. Use as propriedades das integrais para verificar cada desigualdade, sem calcular as inte-
grais. R
5
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=rurGkRLhjcU&index=3&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=rurGkRLhjcU&index=3&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=Rg-AXRsTc5U&index=4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=Rg-AXRsTc5U&index=4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=IViclUWABFc&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=5
Gabaritando Matemática
(a)
∫ π
4
0
sin3(x)dx ≤
∫ π
4
0
sin2(x)dx (b) 2 ≤
∫ 1
−1
√
1 + x2 ≤ 2
√
2
9. Use as propriedades das integrais definidas para verificar a veracidade ou falsidade das
seguintes desigualdades sem calcular as integrais. R
(a)
∫ 3
4
1
2
√
x
1− x > 0
(b)
∫ 3
0
x2
2− cos(x) < 0
6
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=EB1ew6Dbsqo&index=6&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
Gabaritando Matemática
2 Teorema Fundamental do Cálculo (Demonstração)
2.1 Primeira forma do TFC (Derivando a integral) A
Sejam a < b e f : [a, b] → R uma função contínua em [a, b]. Para cada x ∈ [a, b] definamos
F (x) =
∫ x
a
f(t)dt.
Teorema: A primeira forma do TFC diz que se a < b e f : [a, b]→ R é contínua em [a, b],
então F é derivável em [a, b] e
F ′(x) = f(x)
para todo x ∈ [a, b].
2.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo
1. Mostre que G(x) =
∫ sinx
0
tndt é derivável em R e calcule a sua derivada. R
2. Mostre que G(x) =
∫ 0
x3
t cos tdt é derivável em R e calcule a sua derivada. R
3. Mostre que H(x) =
∫ x3
0
√
tdt é derivável em [0,+∞), sendo H(x) definida para todo
x ∈ [0,+∞) e calcule a sua derivada. R
4. Mostre que H(x) =
∫ x3
x2
cos tdt é derivável em R e calcule a sua derivada. R
5. Mostre que G(x) =
∫ x2
− sin2 x
√
1 + t4dt é derivável em R e calcule a sua derivada. R
6. Mostre que H(x) =
∫ x3
√
x
√
t sin(t)dt é derivável em (0,+∞), sendo H(x) definida para
todo x ∈ [0,+∞) e calcule a sua derivada. R
7. Considere a funçãoG(x) = 2x+
∫ x2
0
sin(2t)
1 + t2 dt. Mostre queG é derivável emR e determine:
G(0) e G′(x). R
8. Assuma que f seja uma função contínua em R e que F (x) =
∫ x
0
f(t)dt = 2x4 + x2 . Deter-
mine f(0).
9. Use a primeira forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
(a) F (x) =
∫ x
3
2t√
t
dt, x > 0.
(b) F (x) =
∫ 0
x
arcsin(t2)dt, −1 < x < 1.
(c) F (x) =
∫ x2+sinx
√
x
1
1 + t2dt, x > 0.
(d) G(x) = x2
∫ x2+sinx
√
x
1
1 + t2dt, x > 0.
7
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=QZHsdIcLlfk&index=7&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz
https://www.youtube.com/watch?v=vJauCqqTgEw&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8
https://www.youtube.com/watch?v=RQaYYCbWDD4&index=7&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
https://www.youtube.com/watch?v=RQaYYCbWDD4&index=7&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=5C_1pr4wNoM&index=8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=5C_1pr4wNoM&index=8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=AOIV53ZJAhM&index=10&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
https://www.youtube.com/watch?v=-SVacIAHHIM&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=10
https://www.youtube.com/watch?v=rKq4gj-pOEc&index=10&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
Gabaritando Matemática
(e) y =
∫ 3x2
arctan(5x)
sin(t2)dt.
(f) y =
∫ e2x
e4
√
x
arctan(t2)dt, x > 0.
2.2 Calculando primitivas e integrais indefinidas A
Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma funçãoF
definida em I, tal que
F ′(x) = f(x)
para todo x em I.
A notação
∫
f(x)dx será utilizada para representar a família das primitivas de f . É comum
referir-se a
∫
f(x)dx como a integral indefinida de f .
2.3 Segunda forma do TFC (Calculando a integral definida) A
Teorema: A segunda forma do TFC diz que sejam a < b e f : [a, b]→ R é contínua em [a, b].
Se G : [a, b]→ R é derivável em [a, b] e G′ = f (G é qualquer primitiva de f), então∫ b
a
f(x)dx = G(b)−G(a).
2.4 Lista de Integrais imediatas A
1.
∫
xndx = x
n+1
n+ 1 + C, n , −1
2.
∫ 1
x
dx = ln |x|+ C
3.
∫
exdx = ex + C
4.
∫
axdx = a
x
ln(a) + C, a > 0, a , 1
5.
∫
cos(x)dx = sin(x) + C
6.
∫
sin(x)dx = − cos(x) + C
7.
∫
sec2(x)dx = tan(x) + C
8.
∫
csc2(x)dx = − cot(x) + C
9.
∫
sec(x) tan(x)dx = sec(x) + C
10.
∫
csc(x) cot(x)dx = − csc(x) + C
11.
∫ 1
1 + x2dx = arctan(x) + C
12.
∫ 1√
1− x2
dx = arcsin(x) + C
13.
∫
− 1√
1− x2
dx = arccos(x) + C
14.
∫ 1
|x|
√
x2 − 1
dx = sec−1(x) + C
8
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=4W1mmzNJSts&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=5
https://www.youtube.com/watch?v=6e9exnj7K2o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=6
https://www.youtube.com/watch?v=1RUcliGeolk&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=8
Gabaritando Matemática
2.4.1 Exercícios com resoluções em vídeo
Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se):
1.
∫ 4
−1
(7x− 3)dx R
2.
∫ 2
1
1
x2
dx R
3.
∫ √x
−25dx R
4.
∫
(x−4 + 3)dx R
5.
∫
5√
x2dx R
6.
∫ 1
−2
1
x
dx e
∫ 2
1
1
x
dx R
7.
∫ ( 1
x2
+ 1
x4
)
dx R
8.
∫ 2
−1
(x2 + |x|+ 2)dx R
9.
∫ 2
−3
|y − y3|dy R
10.
∫ 3π
4
0
| cosx|dx R
11.
∫ ( 1
3√x
+ x3 + sin x
)
dx R
12.
∫ π
2
0
5 sin(x)dx R
13.
∫ π
4
−π6
6 sec2 θdθ R
14.
∫
ex
2
dy R
15.
∫ π
2
0
(5 sin x− 2 cosx)dx R
16.
∫
x
√
xdx R
17.
∫ x3 + 1
x
dx R
18.
∫ 16x
x+ x3dx R
19.
∫ (
x−1 + 1
x2
)
dx R
20.
∫ (
x2 + 3
x
)
dx R
21.
∫ (x5 + x+ 1
x2
)
dx R
22.
∫ 2
1
(
x+ 1
x
)
dx R
23.
∫
((n+1)xn+nxn−1+· · ·+3x2+2x+1)dx R
24.
∫ 1
2
0
25√
1− x2
dx R
25.
∫ √3
2
0
−25√
1− x2
dx R
26.
∫
e2xdx R
27.
∫ 1
0
e−xdx R
28.
∫
3xdx R
29.
∫
(5x + e−x)dx R
30.
∫ 1
7xdx R
31.
∫ 4
3
53−xdx R
32.
∫ 85x
7 dx R
33.
∫ 8−5x + 26x
8x dx R
34.
∫ (
e4x + 1
ex
)
dx R
35.
∫
bαxdx, b > 0, α , 0 R
36.
∫
tan2 tdt R
37.
∫ (cosx+ secx
cosx
)
dx R
9
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=2TxrOtM8ZNc&index=11&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
https://www.youtube.com/watch?v=2TxrOtM8ZNc&index=11&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=2TxrOtM8ZNc&index=11&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=jicSu0z5hi0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=rIlKW9mrSh0&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=13
https://www.youtube.com/watch?v=k4wBtV1emDo&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=14
https://www.youtube.com/watch?v=0XKombtUh0E&index=16&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=Ucl7kwRwqnE&index=17&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=Ucl7kwRwqnE&index=17&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=MctoXSTUzn0&index=18&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=MctoXSTUzn0&index=18&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=MctoXSTUzn0&index=18&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=Oyshia8ztjA&index=19&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=R_NBqzk0iJs&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=510mKjSjSiE&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=510mKjSjSiE&index=21&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=EaBSRqHYLjs&index=22&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=EaBSRqHYLjs&index=22&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=EaBSRqHYLjs&index=22&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=x-3-B-0Jtbg&index=23&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=x-3-B-0Jtbg&index=23&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=x-3-B-0Jtbg&index=23&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=viI-pEVXN8Q&index=24&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=viI-pEVXN8Q&index=24&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=EqhMBkZLlSY&index=25&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=EqhMBkZLlSY&index=25&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=IHd_kT1OT5s&index=26&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
 https://www.youtube.com/watch?v=IHd_kT1OT5s&index=26&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
Gabaritando Matemática
3 Técnica da substituição simples ou troca de variável
A
Se u = g(x) é uma função diferenciável, f é uma função contínua e Im(g) ⊂ Dom(f), então
Indefinida:
∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du = F (u) + C = F (g(x)) + C. Onde F é uma
primitiva de f .
Definida:
∫ b
a
f(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f(u)du.
Ex:
∫
ex
10
x9dx
A ideia é procurar a função g(x) que suspeitamos ser a substituição adequada, neste caso
podemos ver que a derivada de u = x10 tem um x9, que é justamente a expressão que multiplica
a composta, sendo assim, basta fazer u = x10 ⇒ du = 10x9dx, mas o que temos na integral é
somente x9dx, para ajeitar isso, basta dividir por 10, ficando du10 = x
9dx, teremos então:
∫
eu
du
10 =
1
10
∫
eudu = e
u
10 + C =
ex
10
10 + C.
Caso fosse uma integral definida
∫ 2
0
ex
10
x9dx, poderíamos simplesmente aplicar os limites
de integração depois de achar a indefinida (que é o que eu aconselho e vou estar sempre fazendo
nos vídeos) ou resolver a integral
∫ 2
0
ex
10
x9dx =
∫ 210
0
eu
du
10 , pois x = 2 implica em u = 2
10
(u = x10) e x = 0 implica em u = 0.
3.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo
Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se):
1.
∫
tan θdθ R
2.
∫ π
3
π
6
cot θdθ R
3.
∫
sin(5x)dx R
4.
∫
cos(
√
3x)dx R
5.
∫ (
x+ 15 cos 3x
)
dx R
6.
∫ (1
3 cos 3x−
1
7 sin 7x
)
dx R
7.
∫ (1
3e
3x − sin 3x
)
dx R
8.
∫ π
2
−π2
cos x2dx R
9.
∫
tan2 2xdx R
10.
∫
sin2 xdx R
11.
∫
cos2 xdx R
12.
∫ π
2
0
(sin x+ cosx)2dx R
13.
∫
(x+ sec2 3x)dx R
14.
∫
(1− cos 2x)2dx R
15.
∫
sin2 2xdx R
10
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=v_iU-ew7ot0&index=9&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz
https://www.youtube.com/watch?v=oCaPyxrADyI&index=27&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
https://www.youtube.com/watch?v=oCaPyxrADyI&index=27&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3 
https://www.youtube.com/watch?v=A9CfScASsF0&index=28&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=A9CfScASsF0&index=28&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=A9CfScASsF0&index=28&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3https://www.youtube.com/watch?v=-IzfN12VdLw&index=29&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=-IzfN12VdLw&index=29&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=DZGVEzgEmMc&index=30&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=DZGVEzgEmMc&index=30&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=ypOSVqfDCZE&index=31&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=v-2jVzcXm3o&index=32&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=fDiGR5Og0Cg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=34&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=pZYYsub2k64&index=34&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=pZYYsub2k64&index=34&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=pwQN8Jg1_fw&index=35&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
Gabaritando Matemática
16.
∫
cos4 xdx R
17.
∫
f(αx)dx = 1
α
∫
f(u)du, α , 0 R
18.
∫
(cos(αx) + sin(αx) + eαx)dx, α , 0 R
19.
∫
2350xdx R
20.
∫
3040xdx R
21.
∫ √π
0
x cosx2dx R
22.
∫ xn sin xn
x
dx R
23.
∫ sin( 1
x7
)
3x8 dx R
24.
∫ 1
x
cos(x−n)
xn
dx R
25.
∫ 2π
0
√
1 + cos xdx R
26.
∫ dx
k + x R
27.
∫ 5dx
4x+ 3 R
28.
∫ 2dx
2x+ 3 R
29.
∫ 2x+ 3
x+ 1 dx R
30.
∫ ( 5
x− 1 +
2
x
)
dx R
31.
∫ 1
0
(3x+ 1)4dx R
32.
∫
x(1 + x) 43dx R
33.
∫ 1
0
√
3x+ 1dx R
34.
∫
x3
√
x4 + 1dx R
35.
∫
(x3 + 1)4x2dx R
36.
∫
ex
√
1 + exdx R
37.
∫ 1
0
t
√
1 + 3t2dt R
38.
∫ 2x
1 + x2dx R
39.
∫ 4
(1 + 2x)5dx R
40.
∫ x
(1 + 4x2)2dx R
41.
∫ 1
0
dx
(x+ 1)5 R
42.
∫ 8x
(x2 + 16)2dx R
43.
∫ x3
(16 + x4)3dx R
44.
∫ 2
1
x2(x− 2)10dx R
45.
∫
x2ex
3
dx R
46.
∫
xn−1ex
n
dx R
47.
∫ x7x2
3 dx R
48.
∫ x4
3x5 dx R
49.
∫
(1 + sin x)2 cosxdx R
50.
∫
sin x cos2 xdx R
51.
∫ π
2
π
3
sin3 xdx R
52.
∫
cos3 xdx R
53.
∫
cosx sin5 xdx R
54.
∫
sin x
√
cosxdx R
55.
∫
cos(2x)5sin(2x)dx R
56.
∫
sin 2x
√
5 + sin2 xdx R
57.
∫
sin(2x)3cos2 xdx R
11
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=pwQN8Jg1_fw&index=35&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=n-l8VNx5Zwg&index=36&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=qM6HjGSVQgo&index=37&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=qM6HjGSVQgo&index=37&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=wvSTQncPIZk&index=38&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=wvSTQncPIZk&index=38&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=-2LZSpW5IC8&index=39&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=VMXH0NjYWGE&index=40&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=1cEskvX3CKI&index=41&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=1cEskvX3CKI&index=41&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=1cEskvX3CKI&index=41&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=jOM9NashGW8&index=42&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=jOM9NashGW8&index=42&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=jOM9NashGW8&index=42&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=DomFurepOuE&index=43&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=DomFurepOuE&index=43&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=3xLD_iFgrlw&index=44&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=3xLD_iFgrlw&index=44&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=3xLD_iFgrlw&index=44&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=why3XkfXZgI&index=45&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=why3XkfXZgI&index=45&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=v63Ys9vuOnM&index=47&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=v63Ys9vuOnM&index=47&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=gtK87uleblg&index=48&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=gtK87uleblg&index=48&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=b3qDje3zKwg&index=49&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=b3qDje3zKwg&index=49&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=A3NEcSVZHs0&index=50&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=A3NEcSVZHs0&index=50&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=qfUGoHkGmKc&index=51&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=qfUGoHkGmKc&index=51&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=zQM9lAEKGiE&index=53&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=zQM9lAEKGiE&index=53&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=1jMUuLyc3ac&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=52
https://www.youtube.com/watch?v=1jMUuLyc3ac&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=52
https://www.youtube.com/watch?v=LW1y80pWaxg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=53
Gabaritando Matemática
58.
∫ √lnπ
0
2xex2 cos(ex2)dx R
59.
∫ etanx
cos2 xdx R
60.
∫ π
4
0
(1 + etanx) sec2 xdx R
61.
∫ ex
cos2(ex − 2)dx R
62.
∫ sec2 x
3 + 2 tan xdx R
63.
∫ 18 tann x sec2 x
(1 + tann+1 x)θ dx θ , 1, n , −1. R
64.
∫ 3arcsinx√
1− x2
dx R
65.
∫ arctan x
1 + x2 dx R
66.
∫ 0
−1
x2
√
x+ 1dx R
67.
∫ 3
2
x2√
x3 − 1
dx R
68.
∫ ln √3
0
ex
1 + e2xdx R
69.
∫
t3
√
t2 + 2dt R
70.
∫
t2n−1
n
√
tn + Adt, n , 0 R
71.
∫ ln x
x
dx R
72.
∫ lnn x
x
dx, n , −1 R
73.
∫ e4
e
dx
x
√
ln x
dx R
74.
∫ e
1
dx
x(1 + ln2 x)
dx R
75.
∫ dx
x
√
1− ln2 x
R
76.
∫ cosx
1 + sin xdx R
77.
∫ x+ 1
(x2 + 2x+ 2)2dx R
78.
∫ 1 + 4x√
1 + x+ 2x2
dx R
79.
∫ dx
4 + (x− 1)2 R
80.
∫ 2
x2 + 2x+ 2dx R
81.
∫ x− 3
2x2 + 4x+ 10dx R
82.
∫ e√x√
x
dx R
83.
∫ 1√
x(1 + x)dx R
84.
∫ 1√
x(1 +
√
x)3dx R
85.
∫ sin √x
√
x
√
cos3
√
x
dx R
86.
∫ 1
4 + x2dx R
87.
∫ x2
x2 + 4dx R
88.
∫ 2x− 3
1 + 4x2dx R
89.
∫ 1
k + ax2dx, a > 0, k > 0 R
90.
∫ 2√
3
0
dx
4 + 9x2 R
91.
∫ x
16 + x4dx R
92.
∫ x3
1 + x8dx R
93.
∫ 8√
16− x2
dx R
94.
∫ dt√
k − at2
, k > 0, a > 0 R
95.
∫ dx√
9− 4x2
R
96.
∫ ex√
1− e2x
dx R
97.
∫ dx√
e2x − 1
R
12
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=LW1y80pWaxg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=53
https://www.youtube.com/watch?v=qWjwXHyMNUI&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=54
https://www.youtube.com/watch?v=qWjwXHyMNUI&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=54
https://www.youtube.com/watch?v=m3M_yZPJqH8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=55
https://www.youtube.com/watch?v=AZMlRcEQNa4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=56
https://www.youtube.com/watch?v=zQM9lAEKGiE&index=53&t=0s&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3
https://www.youtube.com/watch?v=8EqJdx04wF4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=57
https://www.youtube.com/watch?v=8EqJdx04wF4&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=57
https://www.youtube.com/watch?v=bLA64BZm9VY&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=58https://www.youtube.com/watch?v=5NnXhTfU2Zg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=60
https://www.youtube.com/watch?v=k3GRsfVvIyI&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=61
https://www.youtube.com/watch?v=dJ-rdza9mvw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=62
 https://www.youtube.com/watch?v=dJ-rdza9mvw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=61 
 https://www.youtube.com/watch?v=nm83M1VXiPw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=62 
 https://www.youtube.com/watch?v=nm83M1VXiPw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=62 
 https://www.youtube.com/watch?v=uflgkS4NI38&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=63 
 https://www.youtube.com/watch?v=6L3B-HULU2I&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=64 
 https://www.youtube.com/watch?v=35TjVzZh_Rs&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=65 
 https://www.youtube.com/watch?v=XJXppO2CMSA&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=66 
 https://www.youtube.com/watch?v=K4kOnSyd8o8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=67 
 https://www.youtube.com/watch?v=6QMuVlkonMk&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=68 
 https://www.youtube.com/watch?v=flKomPmSWHg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=69 
 https://www.youtube.com/watch?v=Ujeapk5sbvQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=70 
 https://www.youtube.com/watch?v=wGqB8DXd_Jc&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=71 
https://www.youtube.com/watch?v=8DB3yk15DDg&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=72 
 https://www.youtube.com/watch?v=W08mzAWWAvQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=73 
 https://www.youtube.com/watch?v=-UlJ8qUtVy8&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=74 
 https://www.youtube.com/watch?v=1yvbQe28GYo&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=75 
https://www.youtube.com/watch?v=T5QA7q21JuY&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=76 
https://www.youtube.com/watch?v=T5QA7q21JuY&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=76 
 https://www.youtube.com/watch?v=kEs5MufaLzk&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=77 
 https://www.youtube.com/watch?v=uwLcCFuTH8M&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=78 
https://www.youtube.com/watch?v=eAbdrVZnFCw&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=79 
 https://www.youtube.com/watch?v=mFKa8pS_2mU&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=80 
 https://www.youtube.com/watch?v=mFKa8pS_2mU&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=80 
https://www.youtube.com/watch?v=tHaReGCJ3rQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=81 
 https://www.youtube.com/watch?v=4Zddc77ddjs&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=82 
 https://www.youtube.com/watch?v=4Zddc77ddjs&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=82 
https://www.youtube.com/watch?v=yClk7e5QO1A&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=83 
https://www.youtube.com/watch?v=t8FsB-orCrQ&list=PLMEYFgpgv2faadZ1hi4u4z-jT7pntYyt3&index=84 
Gabaritando Matemática
98.
∫ π
2
0
cosx√
4− sin2 x
dx
99.
∫ dx
1 + exdx
100.
∫ rdr
16− 9r4dr
101.
∫ 1
ex
√
1− e−2x
dx
102.
∫ dx
4x
√
x2 − 16
3.1 Função par e função ímpar A
Função ímpar: Seja f uma função ímpar e contínua em [−r, r], r > 0, então∫ r
−r
f(x)dx = 0.
Função par: Seja f uma função par e contínua em [−r, r], r > 0, então∫ 0
−r
f(x)dx =
∫ r
0
f(x)dx e
∫ r
−r
f(x)dx = 2
∫ 0
−r
f(x)dx = 2
∫ r
0
f(x)dx.
3.1.1 Exercícios com resoluções em vídeo
1.
∫ π
2
−π2
x2 sin x
1 + x6 dx
2.
∫ 1
−1
x
√
x4 + 3dx
3.
∫ π
−π
sin x
x4 + x2 + 1dx
13
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=KMKv04EDi7U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=10
Gabaritando Matemática
4 Técnica de integração por partes A
Se f e g são funções diferenciáveis, então ∀x ∈ Dom(f) ∩Dom(g),
(f(x) · g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
.
Aplicando a integral, temos f(x)g(x) =
∫
f ′(x)g(x)dx+
∫
f(x)g′(x)dx
∫
f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫
f ′(x)g(x)dx
A integral
∫
f(x)g′(x)dx é a integral que queremos calcular e a integral
∫
f ′(x)g(x)dx deve
ser mais ou tão simples quanto a integral original.
Exemplo:
∫
xexdx, essa é uma integral onde a substituição simples não é efetiva e o
integrando é uma multiplicação de funções, ou seja, tem justamente a "cara" da integração por
partes.
O primeiro passo é decidir quem vai ser f e quem vai ser g′, sabemos que a integral
∫
f ′gdx
deve ser mais simples, então se escolhermos f = x e g′ = ex, teremos f ′ = 1 e g = ex (Sempre
iremos integrar g′ para achar g, por isso a escolha deve ser feita observando se você sabe integrar
a função escolhida para ser g′).
Com essas escolhas teremos que integrar
∫
f ′gdx =
∫
exdx que é mais simples que a integral
original.
Caso a escolha fosse f = ex e g′ = x, teriamos f ′ = ex e g = x
2
2 , e a integral a ser resolvida
seria
∫ x2
2 e
xdx.
Como vocês podem observar, a primeira escolha nos forneceu uma integral bem mais simples.
Usando ela teremos:
∫
xexdx = xex −
∫
exdx = xex − ex + C = ex(x− 1) + C
.
Caso seja uma integral definida e sejam f e g duas funções com derivadas contínuas em
[a, b], então ∫ b
a
fg′dx = fg]ba −
∫ b
a
f ′gdx
.
4.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo
Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se):
14
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=JDz9qMLvI0o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=11
Gabaritando Matemática
1.
∫
xexdx
2.
∫
x2exdx
3.
∫
3xe4xdx
4.
∫
x2e−xdx
5.
∫
x3ex
2
dx
6.
∫
x225xdx
7.
∫
x cosxdx
8.
∫
x2 cosxdx
9.
∫
x3 cosx2dx
10.
∫ x cos √1 + x2√
1 + x2
dx
11.
∫
ex cosxdx
12.
∫
e3x cos 5xdx
13.
∫
e2x sin xdx
14.
∫
e−y cos ydy
15.
∫
(x+ 1) sin(x)dx
16.
∫
sin 3x cos 2xdx
17.
∫
sin(ln x)dx
18.
∫
arctan xdx
19.
∫ 1
2
0
arcsin xdx
20.
∫
x arctan xdx
21.
∫ arctan √x√
x
dx
22.
∫ 4
2
x sec−1 xdx
23.
∫
tan2 x sec3 x
24.
∫
ln xdxSó a
25.
∫ e
1
x ln xdx
26.
∫
x ln2 xdx
27.
∫
ln2 xdx
28.
∫
x4 ln xdx
29.
∫ ln(ln x)
x
dx
30.
∫
x2e−xdx
31.
∫ 4
1
e
√
xdx
32.
∫ π2
0
cos
√
xdx
33.
∫ 2x
ex
dx
34.
∫ 2
1
ln2 x
x2
dx
35.
∫ x3√
1− x2
dx
36.
∫
7t csc2(3t)dt
37.
∫ π
2
0
e2 cosx sin 2xdx
38.
∫
x4(1− x)3dx
39.
∫
sin2 xdx
40.
∫
cos2 xdx
41.
∫
csc5 xdx
42.
∫
sec3 xdx
15
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
5 Área entre curvas A
Se f, g : [a.b]→ R são funções contínuas tais que f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], então a área
da região R compreendida entre os gráficos das funções é exatamente
5.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo
1. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
2. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
16
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=gBKfLMopr8g&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=12
Gabaritando Matemática
3. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
4. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
5. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
6. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
17
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
7. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
8. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a y.
9. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
18
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
10. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a y.
11. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
12. Calcule a área hachurada com umaintegral em relação a x.
19
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
6 Integração de Potências e Produtos de Funções Trigo-
nométricas
Os métodos para resolver as integrais desse tópico são variados e o que mais importa nessas
integrais é a resolução de questões para ter o feeling de saber o que fazer.
Integrais com sin(x) e cos(x) A
Também poderíamos resolver as integrais a seguir usando integração por partes, mas o
métodonão é tão rápido quanto o que veremos e se torna mais trabalhoso, vocês vão poder ver
a resolução usando essa técnica na lista de exercícios de integração por partes.
Primeiro caso:∫
sinn xdx e
∫
cosn xdx com n par.
Nesse caso devemos usar as relações trigonométricas do cos2 x = 12 +
1
2 cos 2x e sin
2 x =
1
2 −
1
2 cos 2x para abaixar o grau do nosso integrando, as vezes, serão necessárias várias subs-
tituições desse tipo.
∫
sinn xdx e
∫
cosn xdx com n ímpar.
Nesse caso o procedimento é um pouco diferente e mais simples, basta usarmos uma subs-
tituição simples. Por exemplo, vamos calcular a integral de
∫
sin3 xdx.
A ideia é deixar apenas um sin x "sozinho" e usar a relação fundamental da trigonometria
da seguinte forma
∫
sin3 xdx =
∫
sin2 x sin xdx =
∫
(1 − cos2 x) sin xdx, agora bastar usar a
substituição cosx = u e obtemos uma integral imediata. Esse procedimento sempre funciona
quando n é ímpar.
Segundo caso:∫
sinn x cosm xdx com n ou m ímpar.
Para resolver essa, nós fazemos uma substituição simples de acordo com o exemplo. A ideia
é não tentar decorar, pois cada exemplo é um exemplo diferente, ok?
Por exemplo, para
∫
sin4 x cos5 xdx, a ideia é ver qual está com a potência ímpar e usar a
identidade fundamental da trigonometria. Nesse caso seria
∫
sin4 x cos5 xdx =
∫
sin4 x cos4 x cosxdx =∫
sin4 x(1− sin2 x)2 cosxdx, agora basta fazer sin x = u⇒ cosxdx = du e temos
∫
u4(1− u2)2du =
∫
(u8 − 2u6 + u4)du = u
9
9 −
2u7
7 +
u5
5 =
sin9 x
9 −
2 sin7 x
7 +
sin5 x
5 + C.
20
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=FtJGJmKTkrI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=13
Gabaritando Matemática
∫
sinn x cosm xdx com n e m par.
Para resolver essa, usaremos a identidade sin a cos a = sin(2a)2 em conjunto com técnicas
similares as do primeiro e segundo casos.
Por exemplo, para
∫
sin2 x cos4 xdx aplicando a identidade acima em sin2 x cos2 x, temos
1
4
∫
sin2(2x) cos2 xdx, agora usando cos2 x = 12 +
1
2 cos 2x ficamos com
1
4
∫
sin2(2x)1 + cos(2x)2 dx =
1
8
(∫
sin2(2x)dx+
∫
sin2(2x) cos(2x)dx
)
a partir daqui po-
demos resolver usando os casos vistos anteriormente.
Integrais com tan(x) e sec(x) A
Primeiro caso:∫
tann x secm xdx com m par e positivo.
Para resolver essa, nós utilizaremos a identidade sec2 x = 1 + tan2 x e faremos uma substi-
tuição simples.
Por exemplo, para
∫
sec4 x tan5 xdx, a ideia é deixar sec2 x aparecendo da seguinte forma∫
sec2 x tan5 x sec2 xdx e usar a identidade trigonométrica
∫
(1 + tan2 x) tan5 x sec2 xdx, agora
bastar fazer tan x = u ⇒ sec2 xdx = du e temos
∫
(1 + u2)u5du =
∫
(u5 + u7)du = tan
6 x
6 +
tan8 x
8 + C.
∫
tann x secm xdx com n ímpar e positivo.
Para resolver essa, usaremos o fato de que (secx)′ = secx tan x e a identidade trigonomé-
trica.
Por exemplo, para
∫
tan5 x sec 32 xdx, a ideia vai ser deixar secx tan x aparecendo da se-
guinte forma
∫
tan4 x sec 12 x secx tan xdx =
∫
(sec2 x− 1)2 sec 12 x secx tan xdx, e agora fazemos
secx = u⇒ secx tan xdx = du tendo então
∫
(u2 − 1)2u 12du que é simples.
∫
tann x secm xdx com n par e m ímpar.
Para resolver essa, usaremos a identidade trigonométrica sec2 x = 1+tan2 x para transformar
a integral em uma que saibamos resolver.
Por exemplo, para
∫
tan2 x secxdx, temos
∫
(sec2 x − 1) secxdx =
∫
(sec3 x − secx)dx que
é uma integral que sabemos calcular.
21
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=bTM7Dzeoxxk&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=14
Gabaritando Matemática
Segundo caso:∫
tann xdx com n par ou ímpar.
Para resolver essa, vamos fazer aparecer o sec2 x usando identidade trigonométrica com o
intuito de reduzir o grau do integrando inicial e fazer aparecer integrais que sabemos resolver.
Por exemplo, para
∫
tan4 xdx =
∫
tan2 x tan2 xdx =
∫
tan2 x(sec2 x− 1)dx, temos
∫
(tan2 x sec2 x− tan2 x)dx =
∫
tan2 x sec2 xdx−
∫
tan2 xdx que são integrais que sabemos
resolver do caso anterior e técnicas anteriores.
∫
secn xdx com n par.
Esse caso é mais simples, vamos usar a identidade trigonométrica sec2 x = 1 + tan2 x e uma
substituição simples.
Por exemplo,
∫
sec4 xdx =
∫
sec2 x sec2 xdx =
∫
(1 + tan2 x) sec2 xdx =
∫
(1 + u2)du pois
u = tan x⇒ du = sec2 xdx.
∫
secn xdx com n ímpar.
Neste caso, teremos que usar uma integração por partes. Da seguinte forma: iremos deixar
um sec2 x aparecendo e usar ele como o nosso g′ da fórmula de integração por partes.
Por exemplo,
∫
sec3 xdx =
∫
secx︸ ︷︷ ︸
f
sec2 x︸ ︷︷ ︸
g′
dx daí temos que f ′ = secx tan x e g = tan x e
utilizando a fórmula teremos∫
fg′dx = fg −
∫
f ′gdx⇒
∫
sec3 xdx = secx tan x−
∫
secx tan2 xdx
.
Após isso vamos usar a identidade trigonométrica sec2 x = 1+tan2 x e ficar com
∫
sec3 xdx =
secx tan x−
∫
secx(sec2 x−1)dx = secx tan x−
∫
sec3 xdx+
∫
secxdx o segredo está em passar
o −
∫
sec3 xdx para o lado esquerdo da igualdade. Dessa forma, ficamos com
∫
sec3 xdx = 12(secx tan x+
∫
secxdx) = 12(secx tan x+ ln | secx+ tan x|) + C.
Integrais com cot(x) e csc(x) e outros casos
Os casos que aprendemos para integrais da tan x e secx também se aplicam para cotx e
cscx, as técnicas são praticamente idênticas, sendo que a cotx fará o papel que a tan x fazia e
cscx o papel da secx.
22
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
Obs: Aqui utilizaremos a identidade trigonométrica cot2 x + 1 = csc2 x e as derivadas
(cscx)′ = − cscx cotx e (cotx)′ = − csc2 x.
Existem muitas integrais que não vão estar no formato das que vimos aqui, mas basta dar
uma arrumá-las, com relações trigonométricas, que conseguimos chegar em uma integral dos
casos estudados ou em alguma outra que conseguimos resolver.
O mais importante desse método é a resolução de questões e exemplos, tentar
decorar puramente não vai ajudar e pode até atrapalhar. A ideia é entender como
funcionam os métodos.
6.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
Calcule as integrais definidas e indefinidas (divirtam-se):
1.
∫
secxdx 2.
∫
cscxdx
23
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
7 Método de Substituição Trigonométrica A1 e A2
Este método será utilizado quando tivermos no integrando expressões como
√
a2 − x2,
√
a2 + x2
e
√
x2 − a2 e não conseguimos resolver usando os métodos de integração anteriores.
Resumo das aulas:
7.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
24
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=N_ayzC2H0FU&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=15
https://www.youtube.com/watch?v=MtBE1-WNTUI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=16
Gabaritando Matemática
8 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
Com este método iremos resolver integrais do tipo
∫ p(x)
q(x)dx, onde p(x) e q(x) são polinômios.
A ideia geral do método de integração por frações parciais é decompor uma função racional
do tipo p(x)
q(x) em funções racionais mais simples e que sabemos integrar, por isso vamos chamá-
las de frações parciais.
Usaremos o seguinte resultado sobre polinômios: Todo polinômio q(x), com coefici-
entes reais, se decompõe como produto de polinômios da forma x − a, um para cada uma de
suas raizes reais, ou de polinômios de grau dois, que não admitem raízes reais.
Exemplo: Iremos ver que a integral
∫ x3 + 2x2 + 1
(x− 1)x3(x2 + 4)2(x2 + 2x+ 4)dx pode ser decom-
posta da seguinte forma:∫ ( A1
x− 1 +
A2
x
+ A3
x2
+ A4
x3
+ A5x+B5
x2 + 4 +
A6x+B6
(x2 + 4)2 +
A7x+B7
x2 + 2x+ 4
)
dx.
O problema maior será calcular as constantes. Temos inúmeros métodos e macetes para
agilizar isso. Nas vídeoaulas é explicado cada um deles.
Importante: Sempre devemos ter a certeza de que o grau do polinômio do numerador
é menor que o do denominador e o polinômio do denominador precisa estar decomposto em
fatores irredutíveis.
Caso 1: Fatores lineares distintos A
Se grau p(x) < grau q(x) e q(x) = (x−a1)(x−a2) · · · (x−an), com raízes reais e distintas,
então existem A1,· · · , An ∈ R tal que
p(x)
q(x) =
p(x)
(x− a1)(x− a2) · · · (x− an)
= A1
x− a1
+ A2
x− a2
+ · · ·+ An
x− an
.
Caso 2: Fatores lineares iguais A
Se grau p(x) < grau q(x) e q(x) = (x−a)r, com raízes reais, então existem A1, · · · , An ∈ R
tal que
p(x)
q(x) =
p(x)
(x− a)r =
A1
x− a
+ A2(x− a)2 + · · ·+
An
(x− a)r
.
Caso 3: Fatores irredutíveis de grau 2 A
Para lidar com fatores irredutíveis de grau 2 (∆ < 0), devemos acrescentar frações parciais
do tipo Ax+B
ax2 + bx+ c às somas de frações parciais.
25
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=CgZFb3MDBOI&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=17
https://www.youtube.com/watch?v=MG-0ZSS-yeM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=18
https://www.youtube.com/watch?v=wKoily6kRZs&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=19
Gabaritando Matemática
Caso a multiplicidade do termo de grau 2 seja maior do que 1, trabalharemos de forma
semelhante à dos fatores lineares com multiplicidade, ou seja,
p(x)
(ax2 + bx+ c)r =
A1x+B1
ax2 + bx+ c +
A2x+B2
(ax2 + bx+ c)2 + · · ·+
Arx+Br
(ax2 + bx+ c)r .
8.0.1 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
26
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
9 Integrais Impróprias
Integral imprópria é a integral que tem limite de integração infinito (podemos dizer integral
sobre intervalos não limitados) ou é a integral de uma função que tem descontinuidade infinita
em um ponto c tal que c ∈ [a, b]. Podemos também ter a mistura dos dois tipos e chamaremos
de integral imprópria do tipo misto. Não deixe de assistir as aulas, iremos ver cada tipo
separadamente.
9.1 Tipo 1 - Integral sobre intervalo não limitado A
Neste caso, temos integrais com limite de integração infinito.
Definições:∫ +∞
a
f(x)dx = lim
t→+∞
∫ t
a
f(x)dx
∫ b
−∞
f(x)dx = lim
t→−∞
∫ b
t
f(x)dx
∫ +∞
−∞
f(x)dx = lim
t→−∞
∫ c
t
f(x)dx+ lim
s→+∞
∫ s
c
f(x)dx
As integrais são chamadas Convergentes se os respectivos limites existem (como números),
e Divergentes se os limites não existem.
9.2 Tipo 2 - Caso da descontinuidade infinita A
Neste caso, estaremos integrando uma função em um intervalo [a, b] e a função terá ponto de
descontinuidade infinita nesse intervalo, nas extremidades, no interior ou em ambos.
Definições:
27
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=-j6CSD9vaNQ&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=i2aq_ODwx9U&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=21
Gabaritando Matemática
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→a+
∫ b
t
f(x)dx
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→b−
∫ t
a
f(x)dx
∫ b
a
f(x)dx = lim
t→c−
∫ t
a
f(x)dx+ lim
s→c+
∫ b
s
f(x)dx
As integrais são chamadas Convergentes se os respectivos limites existem (como números),
e Divergentes se os limites não existem.
Uma condição para convergência: Seja f uma função contínua, tal que [a,∞) ⊂
Dom(f). Se
∫ ∞
a
f(x)dx convergir, então lim
x→∞
f(x) = 0. A
9.3 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
28
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=3V7_x7gQfcY&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=22
Gabaritando Matemática
10 Critérios de convergência e divergência
Quando não podemos resolver uma integral imprópria diretamente (o que é muito frequente na
prática), tentamos primeiro determinar se ela é convergente ou divergente.
10.1 Critério da Comparação A
Este critério é bastante útil quando temos integrais com funções trigonométricas e exponenciais.
Caso 1 (Intervalos não limitados:) Sejam f e g contínuas em [a,+∞), com 0 ≤ f(x) ≤
g(x) para qualquer x ≥ a.
Se
∫ +∞
a
g(x)dx converge, então
∫ +∞
a
f(x)dx converge. Se a integral maior converge, então
a menor converge.
Se
∫ +∞
a
f(x)dx diverge, então
∫ +∞
a
g(x)dx diverge. Se a integral menor diverge, então a
maior diverge.
Caso 2 (Descontinuidade infinita): Sejam f e g contínuas em [a, b), com 0 ≤ f(x) ≤
g(x) para qualquer x ∈ [a, b).
29
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=aZo6xQBqTBM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=23
Gabaritando Matemática
Se
∫ b
a
g(x)dx converge, então
∫ b
a
f(x)dx converge. Se a integral maior converge, então a
menor converge.
Se
∫ b
a
f(x)dx diverge, então
∫ b
a
g(x)dx diverge. Se a integral menor diverge, então a maior
diverge.
10.2 Exemplos referenciais A
Esses exemplos serão usados como referência nas questões de aula e nos exercícios das listas.
Exemplos referenciais 1 (a > 0):
1) Se r > 1, então
∫ +∞
a
1
xr
dx é convergente. Caso r ≤ 1, será divergente.
2) Se r > 0, então
∫ +∞
b
e−rxdx é convergente.
Exemplos referenciais 2 (b > 0):
3) Se r < 1, então
∫ b
0
1
xr
dx é convergente. Caso r ≥ 1, será divergente.
10.3 Extensão do critério da comparação A
Este critério é bastante útil quando temos funções que são negativas.
Seja f : [a,∞) −→ R uma função contínua. Se
∫ ∞
a
|f(x)|dx converge, então
∫ ∞
a
f(x)dx
converge.
10.4 Critério do Limite do Quociente A
Este critério funciona bem com integrais impróprias de funções racionais.
Sejam f e g funções contínuas em [a,+∞), tais que f(x) ≥ 0 g(x) > 0 e
lim
x→+∞
f(x)
g(x) = L
com L ∈ (0,+∞). Isto é, o limite do quociente é um número positivo. Então as integrais
impróprias
∫ +∞
a
f(x)dx e
∫ +∞
a
g(x)dx comportam-se da mesma maneira. Ou seja, ambas
convergem ou ambas divergem.
Razão do funcionamento: Como lim
x→+∞
f(x)
g(x) = L, sabemos que f(x) ≈ Lg(x), para
valores suficientemente grandes de x. Isso indica que o comportamento das integrais impróprias
serão do mesmo tipo.
30
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=fU-ezR__fQM&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=24
https://www.youtube.com/watch?v=HVC5wn_gdsA&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=25
https://www.youtube.com/watch?v=kd9om5Sb6g8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=26
Gabaritando Matemática
10.5 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
31
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
Gabaritando Matemática
11 Volume de Sólidos
Nesta seção, teremos um resumo de todos os métodos abordados em aula para o cálculo de
volumes. É preciso que vocês tenham assistido as aulas para entender o resumo.
11.1 Método dos Discos e Arruelas A
Este método será usado quando o sólido for de revolução. Abaixo temos as regiões que irão
gerar os sólidos e a respectiva fórmula para o cálculo do volume.
Revolução em torno do eixo Ox:
1. V = π
∫ b
a
[R(x)]2dx 2. V = π
∫ b
a
[
(R(x))2 − (r(x))2
]
dx
Revolução em torno do eixo Oy:
1. V = π
∫ d
c
[R(y)]2dy 2. V = π
∫ d
c
[
(R(y))2 − (r(y))2
]
dy
32
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=R44j-Z0veQ8&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=27
Gabaritando Matemática
E quando a rotação é em torno de outros eixos? Nesse caso, prosseguimos conforme
a aula A.
11.2 Método das Cascas Cilíndricas A
Este método também será usado quando o sólido for de revolução. Abaixo temos as regiões
que irão gerar os sólidos e a respectiva fórmula para o cálculo do volume.
Revolução em torno do eixo Ox:
1. V = 2π
∫ d
c
r(y)h(y)dx
2. V = 2π
∫ d
c
r(y)(
h(y)︷ ︸︸ ︷
m(y)− n(y))dx
Revolução em torno do eixo Oy:
1. V = 2π
∫ b
a
r(x)h(x)dx
2. V = 2π
∫ b
a
r(x)(
h(x)︷ ︸︸ ︷
f(x)− g(x))dx
33
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=rrFNKuJiV6k&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=28
https://www.youtube.com/watch?v=ujWC4-g_u_o&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=30
Gabaritando Matemática
E quando a rotação é em torno de outros eixos? Nesse caso, prosseguimos conforme
a aula A.
11.3 Método das Seções transversais A
Suponha que B seja um sólido limitado por dois planos perpendiculares ao eixo Ox, em x = a e
x = b, e que para cada x ∈ [a, b] a área da seção transversal do sólido com o plano perpendicular
ao eixoOx seja dada pela função contí?nua A(x); então, o volume do sólido B é dado por
V =
∫ b
a
A(x)dx. A ideia é a mesma quando os planos são perpendiculares ao eixo Oy, devendo
fazer alguns ajustes.
Este método será usado quando conseguimos descobrir a área de uma seção transversal
genérica de um sólido, ou seja, a fórmula dessa área para qualquer valor escolhido num certo
intervalo de integração. Abaixo temos as representações.
1. V =
∫ b
a
A(x)dx 2. V =
∫ d
c
A(y)dy
11.4 Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
34
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=LhEzQ8UqumY&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=31
https://www.youtube.com/watch?v=cNDut79P9T0&list=PLMEYFgpgv2fYFxVHwwOdnYwA3JPk5gEsz&index=32
Gabaritando Matemática
12 Comprimento de Curva e Área de Superfícies
13 Desafios
1.
∫ (3x2 − 3x sin x+ 6x2 sin2 (x2
))
(
√
x− sin x)3
(x− sin x)
√
x
dx R
35
https://www.youtube.com/GabaritandoMatematica2019
https://www.youtube.com/watch?v=fYlLiDvEqIs&list=PLMEYFgpgv2fb4vyhBJbKx0RUsCf2C1_1C&index=1
	Introdução ao cálculo integral A1 e A2
	Definições
	Propriedades da integral A
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Teorema Fundamental do Cálculo (Demonstração)
	Primeira forma do TFC (Derivando a integral) A
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Calculando primitivas e integrais indefinidas A
	Segunda forma do TFC (Calculando a integral definida) A
	Lista de Integrais imediatas A 
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Técnica da substituição simples ou troca de variável A
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Função par e função ímpar A
	Função par:
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Técnica de integração por partes A
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Área entre curvas A
	Exercícios com resoluções em vídeo
	Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas
	Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
	Método de Substituição Trigonométrica A1 e A2
	Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
	Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
	Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
	Integrais Impróprias
	Tipo 1 - Integral sobre intervalo não limitado A
	Tipo 2 - Caso da descontinuidade infinita A
	Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
	Critérios de convergência e divergência
	Critério da Comparação A
	Exemplos referenciais A
	Extensão do critério da comparação A
	Critério do Limite do Quociente A
	Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
	Volume de Sólidos
	Método dos Discos e Arruelas A
	Método das Cascas Cilíndricas A
	Método das Seções transversais A
	Exercícios com resoluções em vídeo (Em breve)
	Comprimento de Curva e Área de Superfícies
	Desafios