PPQB Cap5 Sistemas Monofásicosfim

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CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
PROF. DR. PEDRO FELIPE GADELHA SILVINO 
 
 pedro.silvino@ufc.br 
 pfgsilvino@gmail.com 
UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO CEARÁ 
Sistemas Monofásicos 
Princípio dos Processos 
Químicos e Bioquímicos 
5 
Referência para Estudos 
Parte II, CAPÍTULO 5. Princípios Elementares 
dos Processos Químicos (3ª Ed. 2005), Richard M. 
Felder; Ronald W. Rousseau, LTC. 2005. 
 
AULA 
1 
 
 
Parte III, CAPÍTULO 7. Engenharia Química 
Princípios e Cálculos, (8ª Ed. 2014), James B. 
Riggs, David M. Himmelblau, LTC. 2014. 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO CEARÁ 
INTRODUÇÃO E OBJETIVOS 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Propriedades 
P
ro
p
ri
ed
ad
es
 Extensivas 
Intensivas 
Apresentam proporcionalidade 
com a quantidade do material. 
(Ex.: volume, peso, cor) 
Não depende da quantidade de 
material. 
(Ex.:pressão, temperatura, densidade). 
Uma propriedade apresentada por um material é uma 
característica, mensurável ou não, do material em questão. 
AULA 
1 
Estado de um Sistema 
O estado de um sistema é 
determinado por suas 
propriedades intensivas. As 
propriedades de um material 
definem a quantidade de 
energia que pode ser 
transportada ou transferida 
pelo material. 
AULA 
1 
Estados da Matéria 
AULA 
1 
 
 
 
T2 
P2 
T1 
P1 
T3 
P1 
P3 
P4 
T4 
 
Comportamento de Fase 
AULA 
1 
Aquecimento a pressão constante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto de Bolha e ponto de orvalho 
Comportamento de Fase 
AULA 
1 
Diagrama de fase e diagrama PV: 
 
 
 
 
 
Introdução 
Propriedades Físicas de Cada 
Componente do Processo 
Estimar 
Medir 
Procurar 
Como você descobrirá na sua vida 
profissional, problemas reais em 
análise de processos raramente 
vêm com as informações 
completas. 
A maior parte dos problemas de balanço 
de massa mostrados anteriormente 
pode ser resolvida inteiramente com 
base na informação dada no próprio 
enunciado. 
AULA 
1 
ONDE Procurar? 
Perry’s Chemical Engineers’ Handbook, 7th Edition, R. H. Perry e D. W. Green, 
Eds., McGraw-Hill, New York, 1997. 
CRC Handbook of Chemistry and Physics, 79th Edition, D. Lide, editor, Chemical 
Rubber Company, Boca Raton, FL, 1998. 
T. E. Daubert e R. P. Danner, Physical and Thermodynamic Properties of Pure 
Chemicals: Data Compilation, Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1991. 
 Reid, R.C., Prausnitz, J.M. e Poiling, B.E., The Properties of Gases & Liquids, 4a 
edição. Boston: McGraw-Hill, Inc., 1987. 
 
    
AULA 
1 
COMO Estimar? 
Há um grande número de correlações 
empíricas que expressam as 
propriedades físicas de uma 
mistura em termos das 
propriedades dos componentes 
puros e da composição da mistura. 
Estas correlações podem ser usadas para 
estimar propriedades físicas quando não 
há dados disponíveis e para extrapolar 
dados disponíveis a condições diferentes 
daquelas nas quais foram obtidos. 
AULA 
1 
PRECISO Medir? 
Quando não há informações na literatura sobre uma determinada 
propriedade física, ou quando o valor desta precisa ser conhecido com 
uma precisão maior que aquela fornecida pelos métodos de estimação, o 
único recurso é determinar a propriedade experimentalmente. 
AULA 
1 
Exemplo Prático 
AULA 
1 
 Os engenheiros medem 
normalmente as vazões 
volumétricas das correntes de 
processo usando medidores de 
vazão, mas precisam de vazões 
mássicas ou molares para os 
cálculos de balanços de massa. 
 
𝑉 
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟
𝑚 𝑜𝑢 𝑛 
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟: 𝜌(𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) 
𝑉 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
× 𝜌
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
= 𝑚 
𝑚 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
×
1
𝑀𝑀
1𝑚𝑜𝑙
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
= 𝑛 
𝜌 = 𝐶1 + 𝐶2 ∙ 𝑇 + 𝐶3 ∙ 𝑇2 + 𝐶4 ∙ 𝑇3 Para a água: 
𝑑 = 𝑑𝑤 + 𝐴 ∙ 𝑝𝑠 + 𝐵 ∙ 𝑝𝑠
2 + 𝐶 ∙ 𝑝𝑠
3 
1
𝜌 
= 
𝑥𝑖
𝜌𝑖
𝑛
𝑖=1
 (eq. 5.1-1) 
𝜌 = 𝑥𝑖𝜌𝑖
𝑛
𝑖=1
 (eq. 5.1-2) 
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SISTEMAS GASOSOS IDEAIS 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Interações Moleculares em Gases 
Ideais 
Gás Ideal: Formado por partículas pontuais, sem atração nem 
repulsão entre elas e cujos choques são perfeitamente 
elásticos (conservação do momento e da energia cinética). Os gases reais que 
mais se aproximam ao comportamento do gás ideal são os gases 
monoatômicos em condições de baixa pressão e alta 
temperatura. 
AULA 
1 
Hipóteses para o Modelo Cinético 
AULA 
1 
1. Grande número de moléculas em 
movimento aleatório contínuo 
(movimento browniano); 
2. Moléculas: pontos infinitamente 
pequenos; 
3. Moléculas se movem em linhas retas 
até colidirem; 
4. Moléculas não se influenciam umas 
às outras, exceto durante as colisões; 
5. Energia cinética média das moléculas 
é proporcional à temperatura. 
𝑣𝑥 
x 
y 
𝑣𝑦 
𝑣 
𝑣𝑥 
𝑣𝑦 𝑣 
Princípio de Avogadro 
AULA 
1 
 
“Volumes iguais de gases, nas mesmas condições de 
temperaturas e pressão contêm o mesmo número de 
moléculas” 
O volume é proporcional ao número de 
moles presentes e que a constante 
de proporcionalidade independe 
da identidade do gás. 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=nv4VKkDz0-cZwM&tbnid=JNOgHNOFVMYCjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.lerepairedessciences.fr/sciences/questions_sciences/atome_fichiers/atome_chimistes.htm&ei=xLQCU927EMHakQeB-oC4BQ&psig=AFQjCNHXf_4tJOXD3eNZhrunK-xh1TvUww&ust=1392772273222075
Princípio de Avogadro 
AULA 
1 
Gases Ideais 
)/
1
mol(m
n
V
v 3

 → volume molar 
T
Pv
11314510,8  molJKR
R  const. molar dos gases ideais 
Gases reais: 
R
T
Pv
P






0
lim
Gás ideal (ou gás perfeito): 
nRTPVR
T
Pv

AULA 
1 
Equação de Clapeyron 
p  V = n  R  T 
AULA 
1 
Temperatura e Pressão Padrão 
Define-se TPP como temperatura e pressão padrão: 
273,15 K e 1 atm 
Volume molar de gás ideal nas condições na TPP: 
AULA 
1 
Transformação Isotérmica 
3p
3V
p
TT
V
3p
3V
p
TT
V
p
T3
T2
T1
V
Isoterma 
p  V = constante 
Considerando o estado inicial A e 
final B de um gás ideal sofrendo 
uma transformação isotérmica, 
temos: 
pA  VA = pB  VB 
AULA 
1 
Transformação Isobárica 
V = k  T 
(k = constante) 
Considerando o estado inicial A e final B de um gás 
ideal sofrendo uma transformação isobárica, temos: 
AULA 
1 
Transformação Isovolumétrica 
p = k  T 
(k = constante) 
Considerando o estado inicial A e final B de 
um gás ideal sofrendo uma transformação 
isobárica, temos: 
AULA 
1 
Lei de Charles e Gay-Lussac (1787) 
Volume Constante 
p = constante  T 
Pressão Constante 
V = constante  T 
AULA 
1 
Superfície dos Estados Possíveis 
AULA 
1 
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MISTURAS GASOSAS IDEAIS 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Lei de Dalton 
Em uma mistura 
gasosa, a pressão total 
é obtida pela soma 
das pressões parciais 
de cada componente. 
 321total pppP
AULA 
1 







V
RT
nP ii
Cada gás obedece à equação ideal 
dos gases: 
  






V
RT
nnnP 321total
totalPP ii  totalnnii 
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DESVIOS DA IDEALIDADE 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Desvio da Idealidade 
 
• Diminui a distância intermolecular; 
• Diminui o espaço disponível; 
• Aumenta a concentração; 
• Maior a chance de interação. 
Aumento da pressão: as moléculas gasosas ficam 
mais unidas e : 
AULA 
1 
Interações de curto alcance (moléculas 
estão quase em contato). Significativas 
para gases sob pressões elevadas. 
Contribuem com a expansão. 
E
n
e
rg
ia
 p
o
te
n
c
ia
l 
C
o
n
ta
to
 
R
e
p
u
ls
õ
e
s
 d
o
m
in
a
n
te
s
 
Separação 
Atrações 
dominantes 
Forças Atrativas 
Forças RepulsivasInterações de médio alcance. 
Significativas quando as moléculas 
estão próximas (não necessariamente 
em contato). Contribuem com a 
atração. 
Comportamento Molecular 
AULA 
1 
GÁS IDEAL GÁS REAL 
Gases Ideais vs. Gases Reais 
AULA 
1 
GÁS IDEAL GÁS REAL 
Gases Ideais vs. Gases Reais 
AULA 
1 
Gases Ideais vs. Gases Reais 
n
RT
PV

Equação dos Gases 
Ideais 
Para 1 mol de gás 
GÁS IDEAL: PV/RT = 1 
para todas as pressões e 
todas as temperaturas. 
GÁS REAL: PV/RT varia 
significativamente de 1. 
AULA 
1 
Fator de Compressibilidade (Z) 
Variação do fator de 
compressibilidade, para 
diversos gases, em 
função da pressão a 0ºC 
RT
VP
Z
ˆ

Não-idealidade do gás 
Z > 1 
Z < 1 
Gases Menos 
Compressíveis/Forças 
Repulsivas dominantes 
Gases 
Compressíveis/Forças 
Atrativas dominantes 
AULA 
1 
Definição: Na temperatura de 
Boyle as propriedades do gás 
real coincidem com as do gás 
perfeito nas pressões baixas. 
Existe uma temperatura (TB) 
onde o gás se comporta como 
um gás perfeito por uma 
ampla faixa de pressão. 
Temperaturas de Boyle 
AULA 
1 
Temperaturas de Boyle 
Gás 
 
ar 
 
CO2 
 
He 
 
N2 
 
TB/ K 
 
346,8 
 
714,8 
 
22,6 
 
327,2 
TB/ 
oC 
 
73,6 
 
441,6 
 
-250 
 
54 
Para a temperatura de Boyle, o gás 
tem um comportamento ideal num 
intervalo maior 
AULA 
1 
A
u
m
e
n
to
 d
a
 T
e
m
p
e
ra
tu
ra
 
Temperatura Crítica, Tc Fl
u
id
o
 S
u
p
er
cr
ít
ic
o
 
Líquido 
Vapor 
Líquido 
Vapor 
Temperatura Ambiente 
Lei dos Estados Correspondentes 
o No estado crítico todas as substâncias 
deveriam se comportar de maneira 
semelhante. 
o Gases reais diferentes, em estados com 
o mesmo volume reduzido e na mesma 
temperatura reduzida têm a mesma 
pressão reduzida. 
 
É apenas uma aproximação do 
comportamento real, mais exata para 
gases com moléculas esféricas. Falha, 
muitas vezes, para moléculas não-
esféricas e polares. 
c
r
P
P
P 
c
r
T
T
T 
c
r
V
V
V
ˆ
ˆ

V
ar
iá
ve
is
 R
ed
u
zi
d
as
 
AULA 
1 
Lei dos Estados Correspondentes 
AULA 
1 
Etano 
Metano 
Propano 
Procedimento de Uso das Cartas de 
Compressibilidade em Cálculos PVT 
Obter Tc e Pc da espécie gasosa;  
Se o gás é hidrogênio ou hélio, 
determinar as constantes críticas 
ajustadas: 
 
Tc
a = Tc + 8 K Pc
a = Pc + 8 atm 
Calcular valores reduzidos Tr, Pr e Vr
ideal  
c
c
cc
ideal
c
ideal
r
RT
VP
PRT
V
V
V
V
ˆ
/
ˆ
ˆ
ˆ

Usar as cartas de compressibilidade para 
determinar Z e então resolver a equação de 
estado do fator de compressibilidade. 
Tr 
Pr 
Vr
ideal 
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EQUAÇÕES DE ESTADO 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Representação das Interações Intermoleculares 
VIRIAL 
Modelo de 
Beattie-
Bridgeman 
 
Modelo de 
Benedict-
Webb-Rubin 
Van der Waals 
(Z = Zrep + Z atr) 
Cúbicas 
Van der 
Waals 
Redlich-
Kwong 
 Soave-RK 
 Peng-
Robinson 
Não-Cúbicas 
Carnahan-
Starling 
BACK 
Heiling-
Franck 
Dieters 
Soave-
quartic 
 
Base Molecular 
Cadeia de 
Moléculas 
PHCT 
SPHCT 
PACT 
TPT 
PHSC 
Fluidos 
Associativos 
APACT 
SAFT 
SSAFT 
CPA 
AEOS 
...
ˆˆˆ
1
ˆ
32

V
D
V
C
V
B
RT
VP
H. Kamerlingh Onnes 
O termo em B dá conta dos desvios resultantes 
das interações (ou choques) entre pares de 
moléculas, o termo em C é responsável pelos 
desvios devidos às interações entre trios de 
moléculas e assim sucessivamente. O termo B/Vm 
é mais importante do que o termo C/Vm
2 e assim 
por diante. 
Equação de estado do Virial (1901) 
AULA 
2 
Equação de estado do Virial 
Equação de estado do virial: Série de 
Potências. Tem base teórica na mecânica 
estatística, mas o procedimento de 
cálculo não está completamente 
elucidado, especialmente para aqueles 
além do B. 
 
Os coeficientes do virial são função da 
temperatura e possuem significado físico. 
 
A equação de estado do virial é 
desaconselhada para compostos polares 
(compostos assimétricos com um 
momento dipolar diferente de zero, como 
a água). 
...
ˆˆˆ
1
ˆ
32

V
D
V
C
V
B
RT
VP
...'''1
ˆ
32  PDPCPB
RT
VP
V
B
RT
VP
ˆ
1
ˆ

Forma Truncada: 
AULA 
2 
Segundo Coeficiente do Virial (B) 
V
B
RT
VP
ˆ
1
ˆ
Quando o segundo coeficiente 
do virial (B) for igual a zero 
(B=0) teremos a temperatura 
de Boyle. 
6,00
422,0
083,0
rT
B 
2,41
172,0
139,0
rT
B 
)( 10 BB
P
RT
B
c
c 
),,,( Rcc TPT 
AULA 
2 
Fator Acêntrico de Pitzer ( ) 
AULA 
2 
O fator acêntrico foi introduzido por Kenneth Sunborn Pitzer em 1955. Ele 
é um número associado a esfericidade das moléculas. 
Lei dos Estados Correspondentes 
Dois Parâmetros (Pr, Tr): “Todos os gases nas mesmas T 
e P reduzidas têm o mesmo desvio da idealidade” (van 
der Waals, 1873). 
Três Parâmetros (Pr, Tr, ω ): “Todos os fluidos tendo o 
mesmo fator acêntrico (ω), têm o mesmo valor de Z se 
comparados nas mesmas T e P reduzidas” (Pitzer, 1961) 
VALIDADE: fluidos simples (alto grau de simetria, apolaridade, ex. Ar, 
Xe, Kr) e moléculas levemente polares (CH4, O2, N2 e CO). 
VALIDADE: fluidos polares. 
Equação Cúbica de Van der Waals 
(1873) 
2ˆˆ V
a
bV
RT
P 


C
c
P
TR
a
22
64
27

C
c
P
RT
b
8
1

 Obter (𝑇𝐶 , 𝑃𝐶); 
 Obter (𝑎, 𝑏): 
Constantes de van der Waals 
O parâmetro a corrige a pressão ideal 
para a pressão real e está relacionado 
às forças atrativas entre as partículas 
do gás. O parâmetro b corrige o 
volume molar e relaciona-se com o 
tamanho destas partículas. 
 
AULA 
2 
J. D. Van der Waals 
Isotermas de van der Waals 
As ondulações de van der Waals são substituídas 
por segmentos retilíneos horizontais. A isoterma 
crítica corresponde a T/Tc = 1. 
AULA 
2 
Características da Equação de VDW 
 Nas temperaturas elevadas e nos volumes 
molares grandes as isotermas de van der Waals 
coincidem com as isotermas dos gases ideais; 
 Os líquidos e os gases coexistem quando os 
efeitos de coesão e os de dispersão estão 
equilibrados; 
 As coordenadas críticas estão relacionadas com 
as constantes de van der Waals. 
AULA 
2 
Equação Cúbica de Redlich-Kwong 
(1949) 
AULA 
2 
J. N. Shun Kwong 
)ˆ(ˆˆ
08664,0
42748,0
2/1
5,22
bVVT
a
bV
RT
P
P
RT
b
P
TR
a
c
c
c
c






)ˆ(ˆˆ 2/1 bVVT
a
bV
RT
P




 Obter (𝑇𝐶 , 𝑃𝐶 ); 
 Obter (𝑎, 𝑏): Adequada para o cálculo 
de propriedades da fase 
de gás quando : 
cc
r
T
T
P
P
P
2

Equação Cúbica de Soave-Redlich-
Kwong (1972) 
AULA 
2 
G. Soave 
 Obter (𝑇𝐶 , 𝑇𝑟 , 𝑃𝐶 , 𝜔 ); 
 Obter (𝑎′, 𝑏′, 𝑏, 𝜅, 𝜆): 
)ˆ(ˆ
'
ˆ
176,0574,1480,0
)]1(1[
08664,0
42748,0'
2
22/1
22
bVV
a
bV
RT
P
T
P
RT
b
P
TR
a
r
c
c
c
c











)ˆ(ˆ
'
ˆ bVV
a
bV
RT
P





Equação Cúbica de Peng-Robinson 
(1976) 
AULA 
2 
D.B. Robinson Ding-Yu Peng 
2
22/1
22
26992,054226,137464,0
)]1(1[
07780,0
45724,0






r
c
c
c
c
T
P
RT
b
P
TR
a
)ˆ()ˆ(ˆˆ bVbbVV
a
bV
RT
P





 Obter (𝑇𝐶 , 𝑇𝑟 , 𝑃𝐶,  ); 
 Obter (𝑎, 𝑏, , ): 
𝑃 =
0,0825𝑇
𝑉
 
 
 𝑃 =
0,08205𝑇
𝑉 − 0,0806
−
286,1
𝑇0,5𝑉 𝑉 + 0,0806
 
 
𝑃 =
0,08205𝑇
𝑉 − 0,1163
−
13,693
𝑉2
 
 
n-Butano (394,2 K) 
 
 
 
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MÉTODOS PARA SOLUÇÃO DE 
EQUAÇÕES CÚBICAS 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Solução de equações cúbicas 
Exemplo 
1 
• 2 mol de nitrogênio são colocados em um tanque de 3 L a -150,8 °C. Sabendo que 
𝑝𝑐
𝑁2 = 33,5 𝑎𝑡𝑚, 𝑇𝑐
𝑁2 = 122,4 𝐾 e 𝜔𝑁2 = 0,040, estime a pressão do tanque 
usando as seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
2ˆˆ V
a
bV
RT
P 


V
B
RT
VP
ˆ
1
ˆ

)ˆ(ˆˆ 2/1 bVVT
a
bV
RT
P




Solução de equações cúbicas 
Exemplo 
1 
• 2 mol de nitrogênio são colocados em um tanquede 3 L a -150,8 °C. Sabendo que 
𝑝𝑐
𝑁2 = 33,5 𝑎𝑡𝑚, 𝑇𝑐
𝑁2 = 122,4 𝐾 e 𝜔𝑁2 = 0,040, estime a pressão do tanque 
usando as seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
V
B
RT
VP
ˆ
1
ˆ

)( 10 BB
P
RT
B
c
c 
6,00
422,0
083,0
rT
B 
2,41
172,0
139,0
rT
B 
𝑇𝑟 =
(273,15 − 150,8)
122,4
 
𝑇𝑟 = 0,970 
𝐵0 = 0,083 −
0,422
0,9700,6
 
𝐵0 = −0,36 
𝐵1 = 0,139 −
0,172
0,9704,2
 
𝐵0 = −0,056 
 
𝐵 =
0,08206 ∙ 126,2
33,5
−0,36 + 0,040 ∙ −0,056 
𝐵 = −0,113 𝐿/𝑚𝑜𝑙 
𝑃 =
0,08206 ∙ 122,4
1,50
1 +
−0,113
1,5
 
 
𝑅 = 0,08206
𝐿 ∙ 𝑎𝑡𝑚
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
 
𝑃 = 6,19 𝑎𝑡𝑚 
 
 
Solução de equações cúbicas 
Exemplo 
1 
• 2 mol de nitrogênio são colocados em um tanque de 3 L a -150,8 °C. Sabendo que 
𝑝𝑐
𝑁2 = 33,5 𝑎𝑡𝑚, 𝑇𝑐
𝑁2 = 122,4 𝐾 e 𝜔𝑁2 = 0,040, estime a pressão do tanque 
usando as seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
2ˆˆ V
a
bV
RT
P 


C
c
P
TR
a
22
64
27

C
c
P
RT
b
8
1

𝑎 = 1,2705 
𝑏 = 0,03748 
 
 
𝑅 = 0,08206
𝐿 ∙ 𝑎𝑡𝑚
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
 
𝑃 = 6,30 𝑎𝑡𝑚 
 
 
Solução de equações cúbicas 
Exemplo 
1 
• 2 mol de nitrogênio são colocados em um tanque de 3 L a -150,8 °C. Sabendo que 
𝑝𝑐
𝑁2 = 33,5 𝑎𝑡𝑚, 𝑇𝑐
𝑁2 = 122,4 𝐾 e 𝜔𝑁2 = 0,040, estime a pressão do tanque 
usando as seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
)ˆ(ˆˆ
08664,0
42748,0
2/1
5,22
bVVT
a
bV
RT
P
P
RT
b
P
TR
a
c
c
c
c






𝑅 = 0,08206
𝐿 ∙ 𝑎𝑡𝑚
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
 
𝑎 = 14,2425 
𝑏 = 0,02598 
 
 
𝑃 = 6,25 𝑎𝑡𝑚 
 
 
Raízes de Equações Cúbicas 
Se houver apenas uma raiz para a equação cúbica, esta raiz 
corresponderá ao valor do volume molar para aquela dada 
pressão e temperatura. VAPOR SUPERAQUECIDO. 
𝒂𝟏𝑽
𝟑 + 𝒂𝟐𝑽
𝟐 + 𝒂𝟑𝑽 + 𝒂𝟎 = 𝟎 
Se houverem três raízes para a equação cúbica, isso quer 
dizer que na temperatura e pressão escolhida, o fluido se 
apresenta como uma mistura líquido-vapor. Neste caso a 
menor raiz corresponde ao volume molar de líquido 
saturado e a maior raiz corresponde ao volume molar de 
vapor saturado. DUAS IDÊNTICAS: REGIÃO CRÍTICA. TRÊS 
IDÊNTICAS: PONTO CRÍTICO. 
UMA RAIZ 
TRÊS RAIZES 
AULA 
2 
V com significado físico: real, positivo, V > b 
2
RT a
P
V b V
 

Chute Inicial 
AULA 
2 
(𝑃, 𝑇) → 𝑉 
Chute inicial: Gases Ideais 
𝑃, 𝑇 → 𝑉 0 = 𝑃/𝑅𝑇 
Método de Newton-Raphson 
𝑋0 
𝑦 = 𝑓(𝑋) 
𝑋1 𝑋2 
𝑋2 𝑋3 
𝑥 
𝑦 
𝑅𝑒𝑡𝑎: (𝑦 − 𝑦𝑜) = 𝛼 (𝑥 − 𝑥𝑜) 
𝑦 − 𝑓(𝑥𝑜) = 𝛼 (𝑥 − 𝑥𝑜) 
−𝑓(𝑥𝑜) = 𝑓′(𝑥𝑜)(𝑥 − 𝑥𝑜) 
𝑦=0 
𝑥 = 𝑥𝑜 −
𝑓(𝑥𝑜)
𝑓′(𝑥𝑜)
 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛)/𝑓′(𝑥𝑛) 
AULA 
2 
𝒂𝑽𝟑 + 𝒃𝑽𝟐 + 𝒄𝑽 + 𝐝 = 𝟎 
i Vi f(Vi) f’(Vi) Vi+1 
0 Videal f(Videal) f’(Videal) 𝑉1 = 𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 − 𝑓(𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙)/𝑓′(𝑉𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙) 
1 V1 f(V1) f’(V1) 𝑉2 = 𝑉1 − 𝑓(𝑉1)/𝑓′(𝑉1) 
2 V2 f(V2) f’(V2) 𝑉3 = 𝑉2 − 𝑓(𝑉2)/𝑓′(𝑉2) 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
n Vn f(Vn) f’(Vn) 𝑉𝑛 = 𝑉𝑛−1 − 𝑓(𝑉𝑛−1)/𝑓′(𝑉𝑛−1) 
n+1 Vn f(Vn) f’(Vn) 𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 − 𝑓(𝑉𝑛)/𝑓′(𝑉𝑛) 
Método de Newton-Raphson (1) 
AULA 
2 
Chute inicial: Gases Ideais 𝑃, 𝑇 → 𝑉 0 = 𝑃/𝑅𝑇 
Forma Iterativa pelo Z (2) 
AULA 
2 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃, 𝑇 → 𝑉 0 = 𝑅𝑇/𝑃  
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑉 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑍 
(𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑃 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 
𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜): 𝑍 = 𝑃𝐸𝐸 𝑉 0/𝑅𝑇 
 
2ˆˆ V
a
bV
RT
PVDW 


)ˆ(ˆˆ 2/1 bVVT
a
bV
RT
PRK




)ˆ(ˆ
'
ˆ bVV
a
bV
RT
PSRK





)ˆ()ˆ(ˆˆ bVbbVV
a
bV
RT
PPR





 𝐴𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑍0: 𝑍0 = 𝑃𝐸𝐸 𝑉 0/𝑅𝑇 
 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉 1 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑍0: 𝑉 1 = 𝑍0𝑅𝑇/𝑃 
CONVERGÊNCIA: 𝑉 𝑛+1= 𝑉 𝑛 
 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜: 𝐶ℎ𝑢𝑡𝑒 1,1 ∗ 𝑏 = 𝑉 0 
Forma Iterativa Direta (3) 
AULA 
2 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑃, 𝑇 → 𝑉 0 = 𝑅𝑇/𝑃  
𝑅𝑒𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎𝑟 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟: 
(𝑉 − 𝑏)/𝑃 
 
 
 
P
bV
V
a
bV
RT
P
P
bV
VDW
)ˆ(
ˆˆ
)ˆ(
2











P
bV
bVVT
a
bV
RT
P
P
bV
RK











 ˆ
)ˆ(ˆˆ
ˆ
2/1
P
bV
bVV
a
bV
RT
P
P
bV
SRK











 ˆ
)ˆ(ˆ
'
ˆ
ˆ 
P
bV
bVbbVV
a
bV
RT
P
P
bV
PR











 ˆ
)ˆ()ˆ(ˆˆ
ˆ 
 𝐼𝑠𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑉 𝑛𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜; 
 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉 1 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉 0; 
CONVERGÊNCIA: 𝑉 𝑛+1= 𝑉 𝑛 
 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑉 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜: 
𝐶ℎ𝑢𝑡𝑒 1,1 ∗ 𝑏 = 𝑉 0 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO CEARÁ 
MISTURAS DE GASES NÃO-IDEAIS 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
Regra de Kay 
Temperatura Pseudocrítica T’c = yATc,A + yBTc,B + yCTc,C 
Pressão Pseudocrítica P’c = yAPc,A + yBPc,B + yCPc,C 
Temperatura Pseudoreduzida T’ = T/T’c 
Pressão Pseudoreduzida P’ = P/P’c 
AULA 
2 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO CEARÁ 
ESTUDOS DE CASO PARA DISCUSSÃO 
Capítulo 5| Sistemas Monofásicos 
 
 
 
Experimento: Um balão, com 
determinado volume de ar 
(mistura de oxigênio e 
nitrogênio), imerso em um 
banho (mantido a 70oC) tem 
sua pressão interna lida em um 
manômetro  como 17 lb/in2 . 
APARATO EXPERIMENTAL 
Para Discutir: Discuta sobre o 
(possível) desvio da idealidade 
no comportamento do ar nas 
condições experimentais. 
Dica: Use as cartas de Nelson-
Obert para estimação do Z. 
O gás natural é composto 
principalmente de metano e é 
utilizado na produção de energia 
térmica e como combustível 
veicular. Os gasodutos que 
transportam o metano operam a 
250C e 250 atm. 
Calcule a densidade do 
metano nesta condição. 
1. Gás ideal; 
2. Gás real. (eq. de Redlich-Kwong) 
Temperatura crítica = 215,5 K 
Pressão crítica = 45,8 atm 
Massa molar do metano = 16,0 g/mol 
Propriedades do METANO 
 
Obtenha as isotermas (diagrama P-V) pelas 
equações de estado VDW, RK, SRK e PR para a 
temperatura de operação; 
 
Obtenha a curva de densidade em função da 
pressão para o Metano; 
 
Para o ponto de operação compare as densidades 
obtidas por cada Equação de Estado ao valor da 
densidade obtida por meios experimentais (198,79 
g/L). 
 
Estudo de Caso para Discussão 
AULA 
2