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A´lgebra Linear
Andre´ Arbex Hallack
Frederico Sercio Feitosa
Outubro/2013
I´ndice
1 Sistemas Lineares 1
1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de um sistema - como produzir sistemas
equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Operac¸o˜es elementares sobre linhas de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Matrizes linha-reduzidas a` forma em escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Multiplicac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Matrizes invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Espac¸os Vetoriais 27
2.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Combinac¸o˜es lineares: gerac¸a˜o de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Dependeˆncia e independeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Base e dimensa˜o de um espac¸o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Transformac¸o˜es Lineares 49
3.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Resultados imediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i
3.3 Nu´cleo e Imagem de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Transformac¸o˜es injetoras, sobrejetoras, bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Representac¸a˜o de transformac¸o˜es por matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7 Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8 Posto e Nulidade de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Formas Canoˆnicas 73
4.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Obtendo autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Forma diagonal: a primeira forma canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Polinoˆmio minimal (ou mı´nimo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Matriz companheira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.6 A forma canoˆnica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Espac¸os com Produto Interno 87
5.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Ortogonalizac¸a˜o; Projec¸a˜o ortogonal: a melhor aproximac¸a˜o; Complemento ortogonal . 95
5.6 Tipos especiais de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Respostas dos exerc´ıcios 107
Refereˆncias 125
Cap´ıtulo 1
Sistemas Lineares
1.1 Corpos
Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas operac¸o˜es:
Adic¸a˜o: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x+ y ∈ IK.
Multiplicac¸a˜o: associa a cada par de elementos x, y ∈ IK um elemento x.y ∈ IK.
Suponhamos que estas duas operac¸o˜es possuam as seguintes propriedades:
1. x+ y = y + x para todos (∀) x, y ∈ IK ;
(comutatividade da adic¸a˜o)
2. x+ (y + z) = (x+ y) + z ∀x, y, z ∈ IK ;
(associatividade da adic¸a˜o)
3. Existe um u´nico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x ∀x ∈ IK ;
(elemento neutro da adic¸a˜o)
4. A cada x ∈ IK corresponde um u´nico elemento (−x) ∈ IK tal que x+ (−x) = 0 ;
(sime´trico na adic¸a˜o)
5. x.y = y.x ∀x, y ∈ IK ;
(comutatividade da multiplicac¸a˜o)
6. x.(y.z) = (x.y).z ∀x, y, z ∈ IK ;
(associatividade da multiplicac¸a˜o)
7. Existe um u´nico elemento na˜o-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x ∀x ∈ IK ;
(elemento neutro da multiplicac¸a˜o)
1
2 CAPI´TULO 1
8. Para cada x 6= 0 em IK existe um u´nico elemento x−1 (ou 1/x) em IK tal que x.x−1 = 1 ;
(inverso na multiplicac¸a˜o)
9. x.(y + z) = x.y + x.z ∀x, y, z ∈ IK .
(distributividade da multiplicac¸a˜o com relac¸a˜o a` adic¸a˜o)
O conjunto IK, munido das duas operac¸o˜es com as propriedades acima, e´ denominado um
CORPO.
Exemplos:
A) O conjunto Z = { ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } dos nu´meros inteiros, com as operac¸o˜es usuais,
na˜o e´ um corpo.
B) O conjunto Q = { p/q : p, q ∈ Z, q 6= 0 } dos nu´meros racionais, com as operac¸o˜es usuais, e´ um
corpo.
C) O conjunto IR dos nu´meros reais (que fazemos corresponder geometricamente aos pontos de uma
reta orientada), com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, e´ um corpo.
D) O conjunto C = { x+ iy : x, y ∈ IR } dos nu´meros complexos, onde{
x e´ a parte real de x+ iy , y e´ a parte imagina´ria de x+ iy
i2 = −1
com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, dadas por:
Adic¸a˜o: (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
Multiplicac¸a˜o: (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1), e´ um corpo.
Observac¸o˜es:
• Os elementos de um corpo IK sera˜o chamados ESCALARES.
• Neste curso iremos trabalhar com os corpos IR e C .
Sistemas Lineares 3
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determinac¸a˜o de n escalares (elementos
de IK) x1, x2, ..., xn que satisfac¸am a`s condic¸o˜es:
(*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym
onde y1, y2, ..., ym e aij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, sa˜o elementos dados de IK.
Definic¸a˜o 1.1. (*) e´ dito um SISTEMA DE m EQUAC¸O˜ES LINEARES A n INCO´GNITAS. Uma
SOLUC¸A˜O do sistema (*) e´ uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de escalares em IK que satisfaz simultane-
amente a`s m equac¸o˜es.
Observac¸a˜o: Se, em particular, y1 = y2 = ... = ym = 0, enta˜o o sistema e´ chamado um SIS-
TEMA HOMOGEˆNEO e, neste caso, a n-upla (0, 0, ..., 0) sera´ uma soluc¸a˜o, denominada SOLUC¸A˜O
TRIVIAL.
Exemplos:
A) x = 5, y = 3, z = −1, ou seja (5, 3,−1), e´ (a u´nica) soluc¸a˜o do sistema linear:
2x− y + 2z = 5
−x+ 3y − z = 5
x+ 2y + 3z = 8
B) O sistema linear

2x− y = 7
−x+ 3y = 4
x+ 2y = 10
na˜o admite nenhuma soluc¸a˜o.
C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema:
2x+ y − 3z = 0
x− y + z = 0
x+ 2y − z = 0
D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homogeˆneo:
2x+ y − 3z = 0
x− y + z = 0
x+ 2y − 4z = 0
4 CAPI´TULO 1
E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear:{
ix+ 2y = 3− 6i
3x+ y = 2
F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema{
2x+ y − z = 1
−x− y + z = 2
1.3 Sistemas equivalentes
Seja (x1, x2, ..., xn) uma soluc¸a˜o do sistema (*).
Dados m escalares c1, c2, ..., cm em IK, temos
c1(a11x1 + ...+a1nxn) = c1y1
...
...
cm(am1x1 + ...+ amnxn) = cmym
Somando as m equac¸o˜es, temos uma nova equac¸a˜o
(c1a11 + ...+ cmam1)x1 + ...+ (c1a1n + ...+ cmamn)xn = (c1y1 + ...+ cmym)
Esta equac¸a˜o e´ dita uma COMBINAC¸A˜O LINEAR das equac¸o˜es do sistema (*) e e´ imediato que
a soluc¸a˜o (x1, x2, ..., xn) atende a esta equac¸a˜o.
(Exemplo)
Consequeˆncia:
Se tivermos um outro sistema de equac¸o˜es lineares:
(**)

b11x1 + b12x2 + ... + b1nxn = z1
b21x1 + b22x2 + ... + b2nxn = z2
...
...
...
...
bk1x1 + bk2x2 + ... + bknxn = zk
no qual cada uma das k equac¸o˜es e´ combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es de (*), enta˜o toda soluc¸a˜o de (*)
e´ tambe´m uma soluc¸a˜o de (**).
Observac¸a˜o: Pode acontecer de (**) ter soluc¸o˜es que na˜o sa˜o soluc¸o˜es de (*). Isto na˜o ocorrera´
se tambe´m cada equac¸a˜o de (*) for uma combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es de (**).
Sistemas Lineares 5
Definic¸a˜o 1.2. Dizemos que dois sistemas de equac¸o˜es lineares sa˜o EQUIVALENTES se cada
equac¸a˜o de cada sistema for combinac¸a˜o linear das equac¸o˜es do outro sistema.
Temos enta˜o o
Teorema 1.3. Sistemas equivalentes de equac¸o˜es lineares teˆm exatamente as mesmas soluc¸o˜es.
Nosso objetivo: Dado um sistema de equac¸o˜es lineares, vamos tentar produzir um
outro sistema equivalente ao sistema dado e que seja mais fa´cil de resolver!
1.4 Operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es de um sistema - como
produzir sistemas equivalentes
Consideremos as seguintes operac¸o˜es, chamadas ELEMENTARES, sobre as equac¸o˜es de um sis-
tema linear:
(i) multiplicac¸a˜o de uma equac¸a˜o por um escalar na˜o-nulo;
(ii) substituic¸a˜o de uma equac¸a˜o pela soma dela com uma outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar;
(iii) troca entre duas equac¸o˜es.
Qualquer uma destas operac¸o˜es ira´ produzir um sistema equivalente (e, portanto, com as mesmas
soluc¸o˜es) ao sistema original. Assim, basta produzirmos um sistema mais fa´cil de resolver.
Exemplos:
A)
{
2x+ y = 5
−x− 2y = 2
B)

2x− y = 7
−x+ 3y = 4
x+ 2y = 10
C)

2x− y − 3z = 0
x− y + z = 0
x+ 2y − 4z = 0
Observac¸a˜o: Ao realizar operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es dos sistemas lineares, buscando
produzir sistemas equivalentes mais simples de resolver, no´s trabalhamos efetivamente apenas com
os coeficientes aij e os escalares y1, ..., ym. Isto motiva a definic¸a˜o de um novo tipo de objeto.
6 CAPI´TULO 1
1.5 Matrizes
Definic¸a˜o 1.4. Uma MATRIZ m × n sobre um corpo IK e´ uma func¸a˜o A do conjunto dos pares
de inteiros (i, j), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n em IK. Os elementos da matriz A sa˜o os escalares
A(i, j) = aij ∈ IK.
E´ conveniente descrever uma matriz exibindo seus elementos em uma tabela retangular com m
linhas e n colunas:
A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ... amn

As m-uplas verticais

a11
a21
...
am1
 ...

a1n
a2n
...
amn
 sa˜o as chamadas colunas da matriz A.
As n-uplas horizontais
(
a11 a12 ... a1n
)
...
(
am1 am2 ... amn
)
sa˜o as chamadas linhas
da matriz A.
Um elemento aij esta´ disposto na linha i e na coluna j.
Tambe´m denotaremos uma matriz A com m linhas e n colunas por Am×n.
Exemplos:
A) A =
 2 1−3 0
0 1
 e´ uma matriz 3× 2 sobre IR.
B) B =
[
2i 7
√
2 + 5i 3
2 4 0 i
]
e´ uma matriz 2× 4 sobre C.
Igualdade de Matrizes: Duas matrizes Am×n e Br×s sa˜o iguais quando m = r, n = s e
aij = bij , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n, ou seja, quando possuem os mesmos nu´meros de linhas e colunas, e
os elementos “correspondentes” sa˜o todos iguais.
Sistemas Lineares 7
Alguns tipos de matrizes
A) Matriz Quadrada: Uma m×n matriz e´ dita quadrada quando tem o mesmo nu´mero de linhas
e colunas (m = n). Exemplo:
A2×2 =
[
i 1
−2 1
]
A diagonal principal de uma matriz quadradaA = (aij)n×n consiste nos elementos a11, a22, ..., ann.
B) Matriz Diagonal: Uma matriz A = (aij) e´ diagonal quando e´ quadrada e seus elementos que
na˜o esta˜o na diagonal principal sa˜o todos nulos, ou seja, aij = 0 se i 6= j.
Exemplo:
B =
 3i 0 00 1 0
0 0 35

Um exemplo especial de matriz diagonal e´ a chamada matriz identidade: ela e´ uma matriz
diagonal onde os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a 1.
Denotaremos uma n × n matriz identidade por In×n ou simplesmente I quando for claro
(pelo contexto) qual a ordem da matriz.
C) Matriz Nula: Uma matriz A = (aij)n×m e´ dita nula se aij = 0 para todo i, j, 1 ≤ i ≤ n e
1 ≤ j ≤ m. A matriz nula sera´ representada por O.
D) Matriz Triangular Superior: Uma matriz A = (aij) e´ triangular superior quando e´ quadrada
e seus elementos abaixo da diagonal principal sa˜o todos nulos, isto e´, aij = 0 se i > j.
Exemplo:
D =

1 9 0 −6
0 16 −2 i
0 0 0 8
0 0 0 1

E) Matriz Triangular Inferior: Uma matriz A = (aij) e´ triangular inferior quando e´ quadrada e
seus elementos acima da diagonal principal sa˜o todos nulos, isto e´, aij = 0 se i < j.
Exemplo:
E =
 6 0 04 56 0
2 1 1

8 CAPI´TULO 1
F) Matriz Coluna: Matriz formada por uma u´nica coluna.
Exemplo:
N =
 62
8

G) Matriz Linha: Matriz formada por uma u´nica linha.
Exemplo:
P =
[
−1 0 −6i 6 34
]
Adic¸a˜o de matrizes e multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar
Adic¸a˜o de matrizes: A soma das matrizes Am×n e Bm×n e´ a m× n matriz denotada por A+ B
e dada por:
A+B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
...
. . .
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

Multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar: Se k ∈ IK, o produto k.A e´ a m × n matriz
denotada por kA e dada por:
kA =

k.a11 k.a12 . . . k.a1n
k.a21 k.a22 . . . k.a2n
...
...
. . .
...
k.am1 k.am2 . . . k.amn

Tambe´m definimos : −A = (−1).A e A−B = A+ (−1).B
Propriedades Ba´sicas : Sejam A,B e C matrizes quaisquer m× n sobre um corpo IK e
k1, k2 ∈ IK escalares em IK. Valem as seguintes propriedades:
(1) A+ (B + C) = (A+B) + C
(2) A+O (matriz nula) = A
(3) A+ (−A) = O (matriz nula)
(4) A+B = B +A
(5) k1(A+B) = k1A+ k1B
(6) (k1 + k2)A = k1A+ k2A
(7) (k1k2)A = k1(k2A)
(8) 1.A = A
(9) 0.A = O (matriz nula)
Sistemas Lineares 9
1.6 Operac¸o˜es elementares sobre linhas de uma matriz
Ao buscar as soluc¸o˜es de um sistema linear
(*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym
realizamos operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es do sistema ate´ produzir um sistema equivalente
mais simples de resolver.
Neste processo, no´s essencialmente trabalhamos com os coeficientes aij e com os escalares y1, ..., ym.
A`s operac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es do sistema (*) correspondem, portanto, operac¸o˜es
“semelhantes” sobre as linhas da matriz
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ... amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1
y2
...
ym

chamada a MATRIZ COMPLETA (ou AMPLIADA) do sistema (*). (Exemplo)
Definic¸a˜o 1.5. Se A e B sa˜o m × n matrizes sobre um corpo IK, dizemos que B e´ LINHA-
EQUIVALENTE a A se B pode ser obtida aplicando-se sobre A uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es
elementares sobre linhas.
Resumindo:
Sistema Linear
operac¸o˜es elementares
sobre as equac¸o˜es
−→ Sistema equivalente
mais simples
l l
Matriz completa
do sistema
operac¸o˜es elementares
sobre as linhas
−→ Matriz linha-equivalente
mais simples
Pergunta natural: A que tipo de matriz linha-equivalente estamos tentando chegar?
10 CAPI´TULO 1
1.7 Matrizes linha-reduzidas a` forma em escada
Definic¸a˜o 1.6. Uma matriz m× n e´ LINHA-REDUZIDA A` FORMA EM ESCADA se as seguintes
condic¸o˜essa˜o satisfeitas:
1. o primeiro elemento na˜o nulo de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
2. cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de uma linha tem todos os seus outros
elementos iguais a 0;
3. toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas;
4. o primeiro elemento na˜o-nulo da primeira linha ocorre “antes”(em termos de coluna) do primeiro
elemento na˜o-nulo da segunda linha, que por sua vez ocorre “antes” do primeiro elemento na˜o-
nulo da terceira linha, e assim por diante ...
Exemplos:
A =
 1 0 0 00 1 −1 0
0 0 1 0
 B =
 0 1 −3 0 30 0 0 1 2
0 0 0 0 0

C =
 0 2 11 0 −3
0 0 0
 D =
 1 0 20 0 0
0 −1 2

Teorema 1.7. Toda matriz Am×n e´ linha-equivalente a uma u´nica matriz linha-reduzida a` forma em
escada.
Exemplos:
A)

2x − y = 7
−x + 3y = 4
x + 2y = 10
B)
{
ix + 2y = 3− 6i
3x + y = 2
C)
{
2x + y − z = 1
−x − y + z = 2
Sistemas Lineares 11
Exerc´ıcios:
1) Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2× 2, 2× 3 e 3× 3 que esta˜o na forma linha-reduzida a`
forma escada.
2) Resolva os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares pelo me´todo do escalonamento: rea-
lizando as 3 operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz completa do sistema ate´
que a matriz dos coeficientes fique linha-reduzida a` forma escada, produzindo assim um
sistema equivalente (portanto com as mesmas soluc¸o˜es do original) e mais fa´cil de resolver:
a.
{
2x + y = 5
x − 3y = 6
b.
{ √
3x − iy = 0
x − y = −3 + i√3
c.
{
x − 2y + 3z = 0
2x + 5y + 6z = 0
d.

2x − y + 3z = 11
4x − 3y + 2z = 0
x + y + z = 6
3x + y + z = 4
e.

ix + z = 2i
2x − iz = 4
−ix + z = −i
f.

y + 3z = −2
2x + y − 4z = 3
2x + 3y + 2z = −1
g.

x − 2y + 3z = 0
2x − y + 2z = 0
3x + y + 2z = 0
h.

3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
12 CAPI´TULO 1
i.

x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 − 7x5 = 14
2x1 + 6x2 + x3 − 2x4 + 5x5 = −2
x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = −1
j.

x − 3y + z = 2
−2x + 3y − 3z = −1
2x − 9y + z = 5
k.

x + 3y − 2z = 4− 4i
−ix + 2y + z = 8
x + y − z = 1
l. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1
m.
{
2x − i√2y = 0
ix + y = 0
n.
{
x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
o.

x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
p.

2y + 2z = 0
x + y + 3z = 0
3x − 4y + 2z = 0
2x − 3y + z = 0
q.

x + y + z + w = 0
x + y + z − w = 4
x + y − z + w = −4
x − y + z + w = 2
r.

−2x + y + 5z = 0
x − 2y − 4z = −3i
x − y − 3z = −i
Sistemas Lineares 13
3) Determine k para que o sistema abaixo admita soluc¸a˜o (e exiba a soluc¸a˜o):
−4x + 3y = 2
5x − 4y = 0
2x − y = k
4) Determine k para que o sistema homogeˆneo abaixo admita soluc¸a˜o na˜o trivial (e exiba-a):
2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
5) Dado o sistema linear
3x + 5y + 12z − w = −3
x + y + 4z − w = −6
2y + 2z + w = 5
(a) Discuta a soluc¸a˜o do sistema.
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 a este sistema e encontre um valor de k que torne o sistema
imposs´ıvel.
6) Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as soluc¸o˜es) tenha
x + y + kz = 2
3x + 4y + 2z = k
2x + 3y − z = 1
(a) Soluc¸a˜o u´nica.
(b) Infinitas soluc¸o˜es.
(c) Nenhuma soluc¸a˜o.
7) Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:
x − 2y + z = y1
2x + 4y + z = y2
5y − z = y3 − 1
(a) Quais as condic¸o˜es (se houver) sobre y1, y2 e y3 para que o sistema acima tenha soluc¸a˜o ?
(b) Cite uma terna (y1, y2, y3) tal que o sistema acima tenha soluc¸a˜o.
(c) Apresente a soluc¸a˜o correspondente a` terna citada acima em (b).
14 CAPI´TULO 1
1.8 Multiplicac¸a˜o de matrizes
Definic¸a˜o 1.8. Sejam Am×n e Bn×p matrizes sobre um corpo IK. O PRODUTO DE A POR B e´
uma m× p matriz C = A.B dada por:
cij =
n∑
r=1
airbrj = ai1b1j + ai2b2j + ...+ ainbnj .
Exemplos:
A) A =
 2 −11 0
3 4
, B = [ 1 −2 5
3 4 0
]
B) C =
[
1 0
−1 1
]
, D =
[
5 −1 2
15 4 8
]
Observac¸a˜o: O produto AB de A por B so´ esta´ definido quando o nu´mero de colunas da matriz
A e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz B.
Propriedades:
1. Seja A uma m× n matriz
se Im×m e´ a m×m matriz identidade, enta˜o Im×m.A = A
se In×n e´ a n× n matriz identidade, enta˜o A.In×n = A
2. Seja A uma m× n matriz
se Op×m e´ a p×m matriz nula, enta˜o Op×m.A = Op×n (p× n matriz nula)
se On×s e´ a n× s matriz nula, enta˜o A.On×s = Om×s (m× s matriz nula)
3. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e Cp×n, temos:
A(B + C) = AB +AC .
4. Dadas matrizes An×p, Bm×n e Cm×n, temos:
(B + C)A = BA+ CA .
5. Dadas matrizes Am×n, Bn×p e Cp×k, temos:
A(BC) = (AB)C .
6. Dadas matrizes Am×p, Bp×n e qualquer escalar λ, temos:
λ(AB) = (λA)B = A(λB) .
Sistemas Lineares 15
Observac¸a˜o: Em geral AB 6= BA (o produto de matrizes na˜o e´ comutativo).
Por exemplo:
A =
 1 −1 1−3 2 −1
−2 1 0
 e B =
 1 2 32 4 6
1 2 3

Temos que,
AB = O3×3 e BA =
 −11 6 −1−22 12 −2
−11 6 −1

Consequeˆncias importantes da definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes:
1a) Cada linha da matriz C = AB e´ uma combinac¸a˜o linear das linhas de B. A combinac¸a˜o linear
que “fornece” a i-e´sima linha de C e´ dada pela i-e´sima linha de A.
(Exemplo)
2a) Cada coluna da matriz C = AB e´ uma combinac¸a˜o linear das colunas de A. A combinac¸a˜o linear
que “fornece” a j-e´sima coluna de C e´ dada pela j-e´sima coluna de B.
(Exemplo)
3a) Todo sistema linear (*)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym
pode ser descrito por uma u´nica equac¸a˜o matricial AX = Y , onde:
A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ... amn
 e´ a matriz dos coeficientes do sistema, X =

x1
x2
...
xn
 e Y =

y1
y2
...
ym

Observac¸a˜o: Uma soluc¸a˜o (x1, x2, ..., xn) do sistema corresponde a uma matriz
X =

x1
x2
...
xn
 que satisfaz a` equac¸a˜o AX = Y.
(Exemplo)
16 CAPI´TULO 1
Exerc´ıcio:
Considere o sistema
{
x + 6y − 8z = 1
2x + 6y − 4z = 0 , que na forma matricial fica[
1 6 −8
2 6 −4
]
.
 xy
z
 = [ 1
0
]
(a) Verifique que a matriz X1 =
 −11/3
0
 e´ uma soluc¸a˜o particular para o sistema.
(b) Resolva o sistema e verifique que toda soluc¸a˜o e´ da forma X = λ.
 −42
1
+
 −11/3
0

(c) Mostre que λ.
 −42
1
 e´ a soluc¸a˜o de [ 1 6 −8
2 6 −4
]
.
 xy
z
 = [ 0
0
]
(d) Generalize os resultados obtidos acima e mostre que toda soluc¸a˜o de um sistema linear
AX = Y e´ a soma de uma soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0 com uma soluc¸a˜o particu-
lar de AX = Y .
4a) Consideremos um sistema linear AX = Y como (*).
Se existir uma n×m matriz A˜ tal que
{
A˜.A = In×n
A.A˜ = Im×m
, enta˜o o sistema possui uma u´nica
soluc¸a˜o dada por X = A˜.Y .
(Exemplo)
1.9 Matrizes invert´ıveis
Definic¸a˜o 1.9. Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e´ dita INVERTI´VEL se existir
uma n × n matriz B tal que B.A = A.B = In×n. Neste caso B e´ dita a INVERSA da matriz A e
escrevemos B = A−1.
(Exemplo)
Sistemas Lineares 17
Observac¸o˜es:
1. Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A−1 tambe´m e´ invert´ıvel e (A−1)−1 = A.
2. Se A e B sa˜o invert´ıveis, enta˜o AB tambe´m e´ invert´ıvel e (AB)−1 = B−1A−1.
Teorema 1.10. Seja A uma n× n matriz quadrada sobre um corpo IK. Temos:
A e´ uma matriz
invert´ıvel
⇐⇒ Cada sistema AX = Y
possui uma u´nica soluc¸a˜o
⇐⇒
A e´ linha-equivalente a`
n× n matriz identidade
Procedimento para inversa˜o de matrizes:
Consideremos a matriz A2×2 =
[
2 1
−1 −2
]
e o problemade determinar a inversa de A, se ela
existir.
Estaremos procurando uma matriz B =
[
b11 b12
b21 b22
]
tal que A.B =
[
1 0
0 1
]
.
E´ fa´cil ver que este problema e´ equivalente a resolver os seguintes sistemas lineares (escritos na
forma matricial):[
−2 1
3 1
]
.
[
b11
b21
]
=
[
1
0
] [
−2 1
3 1
]
.
[
b12
b22
]
=
[
0
1
]
Para resolvermos estes sistemas, executamos sobre a matriz completa de cada um deles as operac¸o˜es
elementares sobre linhas ate´ transformar a matriz A dos coeficientes em uma matriz linha-reduzida
a` forma em escada (A sera´ invert´ıvel se, e so´ se, for linha-equivalente a` 2× 2 matriz identidade).
Pore´m, como a matriz dos coeficientes de ambos os sistemas e´ a mesma (A), podemos resolver
os sistemas simultaneamente. Para tal, colocamos a matriz identidade ao lado de A e realizamos
sobre I2×2 a mesma sequeˆncia de operac¸o˜es sobre linhas que aplicada a` matriz A devera´ produzir a
identidade.
A matriz resultante sera´ a inversa da matriz A.
Observac¸a˜o: Se A na˜o for linha-equivalente a` matriz identidade, enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel.
18 CAPI´TULO 1
Exerc´ıcios:
1) Considere as seguintes matrizes:
A =

2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3
 B =

3 −3 −3 2
−5 6 6 −4
4 −5 −4 3
1 −1 −1 1

(a) Obtenha os produtos: A.B e B.A .
(b) Sabemos que cada sistema abaixo possui uma u´nica soluc¸a˜o (por que ?). Obtenha-as diretamente.
3x − 3y − 3z + 2w = 2
−5x + 6y + 6z − 4w = −1
4x − 5y − 4z + 3w = 3
x − y − z + w = 1

2x + y = 0
x − z + w = 1
y + z + w = −2
−x + 3w = 0
(c) Verifique as soluc¸o˜es obtidas.
2) O objetivo deste exerc´ıcio (dirigido) e´ mostrar que se A e B sa˜o duas n × n matrizes tais que
A.B = In×n , enta˜o B.A = In×n (ou seja, na definic¸a˜o de matriz invert´ıvel, basta que um dos
produtos seja verificado).
Suponhamos enta˜o que A e B sejam duas n× n matrizes tais que A.B = In×n .
1o passo: Mostre que o sistema homogeˆneo BX = O so´ admite a soluc¸a˜o trivial.
2o passo: Conclua que cada sistema BX = Y admite uma u´nica soluc¸a˜o.
3o passo: Sem utilizar o resultado do Teorema 1.10, mostre diretamente do resultado do 2o passo
que existe uma n× n matriz C tal que B.C = In×n .
4o passo: Conclua que C = A obrigatoriamente e portanto B.A = In×n .
3) Identifique quais matrizes, entre as dadas abaixo, sa˜o invert´ıveis, obtenha as inversas (caso sejam
invert´ıveis) e verifique as inversas.
(Sugesta˜o: Realize operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ate´ obter uma matriz linha-
reduzida a` forma escada e use que uma matriz An×n e´ invert´ıvel se, e somente se, A e´ linha-equivalente
a` n× n Matriz Identidade In×n)
A =
 −2 −1 15 3 −1
3 1 −3
 B = [ i −1
1 + 2i −3
]
C =
 1 0 1−1 3 1
0 1 1

Sistemas Lineares 19
1.10 Determinantes
Seja (x, y) uma soluc¸a˜o do seguinte sistema de equac¸o˜es lineares:{
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
que na forma matricial e´ escrito como:[
a11 a12
a21 a22
]
.
[
x
y
]
=
[
b1
b2
]
ou AX = Y
sendo A =
[
a11 a12
a21 a22
]
a matriz dos coeficientes do sistema, X =
[
x
y
]
e Y =
[
b1
b2
]
Multiplicando cada equac¸a˜o por constantes adequadas e somando-as, buscando “isolar” x e y
nas equac¸o˜es do sistema, chegamos a:
(a11a22 − a12a21).x = (b1a22 − a12b2) e (a11a22 − a12a21).y = (a11b2 − b1a21).
Se (a11a22 − a12a21) 6= 0 , podemos obter:
x =
(b1a22 − a12b2)
(a11a22 − a12a21) e y =
(a11b2 − b1a21)
(a11a22 − a12a21) .
Existe portanto uma forte relac¸a˜o entre o nu´mero (a11a22−a12a21) e o sistema A.X = Y dado.
Temos enta˜o:
Definic¸a˜o 1.11. Seja A =
[
a11 a12
a21 a22
]
uma 2× 2 matriz (de nu´meros reais ou complexos).
Definimos o DETERMINANTE da matriz A ( detA ou |A| ) como:
detA = a11a22 − a12a21.
O racioc´ınio e a definic¸a˜o anteriores podem ser generalizados de forma que possamos definir o
determinante de uma matriz de ordem n× n , com n ≥ 3 , atrave´s de um me´todo conhecido como
Desenvolvimento de Laplace.
20 CAPI´TULO 1
Definic¸a˜o 1.12. Seja A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 ... ann
 uma n × n (n ≥ 3) matriz sobre um corpo IK
(IR ou C).
Escolhendo qualquer linha i ∈ {1, 2, ..., n} , definimos
detA =
n∑
j=1
aij∆ij = ai1∆i1 + ai2∆i2 + ...+ ain∆in
sendo ∆ij (COFATOR do elemento aij da matriz A) o escalar dado por
∆ij = (−1)i+j .detA(i|j).
onde A(i|j) e´ a (n− 1)× (n− 1) matriz obtida retirando-se de A a linha i e a coluna j.
Obs.: O resultado independe da linha i escolhida.
(Exemplos)
Observac¸a˜o: Em geral, para o ca´lculo de determinantes de matrizes de ordem maior ou igual a
4 e´ conveniente combinar as propriedades dos determinantes (a seguir) com a definic¸a˜o (Desenvolvi-
mento de Laplace).
Propriedades fundamentais dos determinantes:
A) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz quadrada por uma constante, enta˜o seu determinante
fica multiplicado por esta constante.
B) Trocando a posic¸a˜o de duas linhas de uma matriz quadrada, seu determinante muda de sinal.
C)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1n
...
...
...
bi1 + ci1 bi2 + ci2 ... bin + cin
...
...
...
an1 an2 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1n
...
...
...
bi1 bi2 ... bin
...
...
...
an1 an2 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... a1n
...
...
...
ci1 ci2 ... cin
...
...
...
an1 an2 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D) Se A e B sa˜o n× n matrizes, enta˜o det(A.B) = detA.detB
Sistemas Lineares 21
E) Se A e´ uma n×n matriz e At e´ sua transposta, ou seja, Atij = Aji (as colunas de At sa˜o as linhas
de A e as linhas de At sa˜o as colunas de A, ordenadamente), enta˜o
detAt = detA .
Observac¸a˜o: Esta u´ltima propriedade nos permite estender as propriedades anteriores referentes a
linhas para propriedades semelhantes referentes a colunas.
Tambe´m temos, como detAt = detA, que detA =
∑n
i=1 aij∆ij , ou seja, o Desenvolvimento de
Laplace na nossa definic¸a˜o pode ser feito “ao longo” das colunas da matriz A.
F) Seja
[
A B
O C
]
uma n× n matriz na forma de blocos, onde A e C sa˜o matrizes quadradas
e O e´ uma matriz nula, enta˜o det
[
A B
O C
]
= detA.detC
(Exemplos)
A matriz adjunta: caracterizac¸a˜o das matrizes invert´ıveis
Seja A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 ... ann
 uma n× n matriz quadrada.
Chamamos de MATRIZ ADJUNTA DE A, a` transposta da matriz dos cofatores de A
adjA =

∆11 ∆12 ... ∆1n
∆21 ∆22 ... ∆2n
...
...
. . .
...
∆n1 ∆n2 ... ∆nn

t
=

∆11 ∆21 ... ∆n1
∆12 ∆22 ... ∆n2
...
...
. . .
...
∆1n ∆2n ... ∆nn

(Exemplo)
Teorema 1.13. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Enta˜o:
A. adjA = adjA.A = (detA).In
(Exemplo)
22 CAPI´TULO 1
Finalmente, chegamos ao resultado pretendido:
Teorema 1.14. Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK. Enta˜o:
A e´ invert´ıvel ⇐⇒ detA 6= 0
Demonstrac¸a˜o:
(⇒) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o existe uma n× n matriz B tal que A.B = In×n. Segue enta˜o
detA.detB = det(A.B) = det I = 1 ⇒ detA 6= 0 .
(⇐) Se detA 6= 0 , segue do Teorema anterior que
1
detA
(A. adjA) =
1
detA
( adjA.A) =
1
detA
(detA).In .
Logo
A.
(
1
detA
adjA
)
=
(
1
detA
adjA
)
.A = In .
Portanto A e´ invert´ıvel, e A−1 =
1
detA
adjA .
Resumo dos principais resultados deste cap´ıtulo:
Seja A uma n× n matriz sobre um corpo IK.
Enta˜o
Cada sistema linear AX = Y possui uma u´nica soluc¸a˜o.
m
O sistema homogeˆneo AX = O possui apenas a soluc¸a˜o trivial X = O.
m
A e´ linha-equivalente a` n× n matriz identidade In×n.m
A e´ invert´ıvel.
m
detA 6= 0 .
Sistemas Lineares 23
Exerc´ıcios:
1) Dada a matriz A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
 calcule
(a) adjA
(b) detA
(c) A−1
2) Prove as seguintes propriedades dos determinantes, utilizando outras propriedades conhecidas ou
a pro´pria definic¸a˜o de determinante:
(a) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz sa˜o nulos, enta˜o seu determinante
e´ igual a 0 (zero).
(b) Se uma matriz tem duas linhas (ou colunas) iguais enta˜o seu determinante e´ igual a 0 (zero).
(c) Se em uma matriz quadrada, duas linhas (ou colunas) teˆm seus elementos correspondentes pro-
porcionais, o determinante e´ igual a 0 (zero).
(d) O determinante de uma matriz na˜o se altera se somarmos a uma linha (coluna) uma outra linha
(coluna) multiplicada por uma constante.
Para cada uma das propriedades acima, deˆ um exemplo com uma aplicac¸a˜o da propriedade.
3) Propriedade: O determinante de uma matriz triangular An×n e´ igual ao produto dos elementos
de sua diagonal principal.
(a) Prove esta propriedade no caso em que A e´ uma matriz triangular superior (gene´rica) 4 × 4.
(Sugesta˜o: Use Laplace)
(b) O que voceˆ pode dizer sobre o determinante da matriz abaixo ?

λ− 2 0 0 0
1 λ− 2 0 0
52 27 λ+ 1 0
0 pi
√
3 5

4) Identifique, entre as matrizes dadas, quais sa˜o invert´ıveis, obtenha as inversas (daquelas que forem
invert´ıveis) e verifique as inversas.
(Sugesta˜o: Para identificar as invert´ıveis, calcule os determinantes e use que uma matriz An×n e´
invert´ıvel se, e somente se, detA 6= 0 - deˆ uma olhada no enunciado do pro´ximo exerc´ıcio)
24 CAPI´TULO 1
A =
 1 0 11 2 3
0 2 2
 B =
 2 0 −13 0 2
4 −3 7
 C = [ 2 + i 3
1 2− i
]
D =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 E =
 1 0 21 1 4
2 2 4
 F =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4

G =

3 −3 −3 2
−5 6 6 −4
4 −5 −4 3
1 −1 −1 1
 H =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4 2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
 J =

0 −i −2 i
1 −1 i 1
0 −1 1 −i
1 1 1 0

L =
[
6 2
11 4
]
M =

1 1 3 9
−2 1 6 3
0 0 3 −1
0 0 −1 1
 N =
 2 −3 71 0 3
0 2 −1

P =
 2 0 i1 −3 −i
i 1 1
 Q = [ 2 −4−5i 7i
]
R =

1 0 0 0
0 1 1 0
0 2 1 1
0 1 0 1

5) Calcule os determinantes das matrizes do exerc´ıcio anterior.
6) Responda se cada uma das afirmativas abaixo e´ verdadeira ou falsa (considere matrizes n × n).
Se for verdadeira, justifique-a. Se for falsa, apresente um contra-exemplo mostrando que e´ falsa:
(a) Se I e´ a matriz identidade, enta˜o det I = 1
(b) Se A e´ invert´ıvel enta˜o detA−1 = 1detA
(c) Para todas matrizes A e B temos que det(A+B) = detA+ detB
(d) Para todas matrizes A e B temos que det(AB) = det(BA)
(e) Se existe uma matriz invert´ıvel P tal que B = P−1.A.P enta˜o detB = detA
(f) Se detA = 1 enta˜o A−1 = A
(g) Para toda matriz A temos que det(k.A) = k.detA
Sistemas Lineares 25
7) Para cada um dos n× n sistemas homogeˆneos AX = λX (λ ∈ IK) dados a seguir (“arrume” os
sistemas e observe que sa˜o de fato homogeˆneos), fac¸a:
(1) Determine os valores de λ para os quais o sistema admite pelo menos uma soluc¸a˜o na˜o trivial.
(Sugesta˜o: CX = 0 so´ admite a soluc¸a˜o trivial X = 0 se, e somente se, detC 6= 0).
(2) Obtenha as soluc¸o˜es de AX = λX para os valores de λ obtidos no item anterior.
a.
{
−3x + 4y = λx
−x + 2y = λy Sobre o corpo IR
b.

5x − 6y − 6z = λx
−x + 4y + 2z = λy
3x − 6y − 4z = λz
Sobre o corpo IR
c.
 1 −3 13 1 1
0 0 −1
 .
 xy
z
 = λ.
 xy
z
 Sobre o corpo IR
d.
 1 −3 13 1 1
0 0 −1
 .
 xy
z
 = λ.
 xy
z
 Sobre o corpo C
Observando que o sistema homogeˆneo AX = λX corresponde a (A − λI)X = 0 (onde I e´ a
n× n matriz identidade) e baseado na resoluc¸a˜o dos ı´tens (1) e (2) acima, descreva a condic¸a˜o sobre
λ para que AX = λX possua pelo menos uma soluc¸a˜o na˜o trivial.
Obs.: No futuro, ao estudarmos as transformac¸o˜es lineares, sera´ fundamental obtermos uma
matriz na˜o nula X =

x1
x2
...
xn
 tal que, dada uma n× n matriz A, AX seja um mu´ltiplo
de X, ou seja, AX = λX (X 6= 0).
26 CAPI´TULO 1
Cap´ıtulo 2
Espac¸os Vetoriais
Ao estudarmos o “plano” IR2, o “espac¸o tridimensional” IR3, o conjunto Mm×n(IK) das m × n
matrizes sobre um corpo IK, o conjunto P (IK) = {anxn+ ...+ a1x+ a0, ai ∈ IK} dos polinoˆmios com
coeficientes num corpo IK ou o conjunto C(IR) das func¸o˜es f : IR→ IR cont´ınuas, por exemplo, com
suas operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar, comec¸amos a perceber uma “estrutura
comum” a todos estes conjuntos (com estas operac¸o˜es).
Seria enta˜o natural estudar esta estrutura da maneira mais geral poss´ıvel, de modo que os resul-
tados obtidos possam ser aplicados a todos os conjuntos que possuam esta estrutura.
A estrutura comum a` qual nos referimos acima e´ a estrutura de espac¸o vetorial e a A´lgebra Linear
estuda (de modo geral) os espac¸os vetoriais, bem como certos tipos de func¸o˜es entre espac¸os vetoriais,
as chamadas transformac¸o˜es lineares.
2.1 Definic¸a˜o e exemplos
Definic¸a˜o 2.1. Um ESPAC¸O VETORIAL SOBRE UM CORPO IK e´ um conjunto V , cujos objetos
sa˜o denominados VETORES, munido de duas operac¸o˜es:
• Adic¸a˜o de vetores: que associa a cada par de vetores u, v em V um vetor u+ v ∈ V ;
• Multiplicac¸a˜o por escalar: que associa a cada escalar a ∈ IK e cada vetor u ∈ V um vetor
a.u ∈ V ,
as quais possuem as seguintes propriedades:
27
28 CAPI´TULO 2
EV.1) u+ v = v + u ∀u, v ∈ V
EV.2) u+ (v + w) = (u+ v) + w ∀u, v, w ∈ V
EV.3) Existe um u´nico vetor 0 ∈ V , chamado o VETOR NULO, tal que u+ 0 = u ∀u ∈ V
EV.4) Para cada vetor u ∈ V , existe um u´nico vetor −u ∈ V tal que u+ (−u) = 0 (nulo)
EV.5) 1.u = u ∀u ∈ V
EV.6) (a.b).u = a.(b.u) ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V
EV.7) a.(u+ v) = a.u+ a.v ∀a ∈ IK, ∀u, v ∈ V
EV.8) (a+ b).u = a.u+ b.u ∀a, b ∈ IK, ∀u ∈ V
Exemplos:
A) Consideremos o conjunto IR2 = {(x, y) : x, y ∈ IR} com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de
multiplicac¸a˜o por escalar:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2
a.(x, y) = (ax, ay) ∀a ∈ IR, ∀(x, y) ∈ IR2
Identificamos geometricamente IR2 com o plano cartesiano (estudado na geometria anal´ıtica):
IR2, com as operac¸o˜es usuais acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR.
B) Consideremos o conjunto IR3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ IR} com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de
multiplicac¸a˜o por escalar:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ IR3
a.(x, y, z) = (ax, ay, az) ∀a ∈ IR, ∀(x, y, z) ∈ IR3
Identificamos geometricamente IR3 com o espac¸o euclidiano “tridimensional”:
IR3, com as operac¸o˜es usuais acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR.
Espac¸os Vetoriais 29
C) Consideremos o conjunto IRn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ IR, i = 1, ..., n}, onde esta´ fixado n ∈ IN,
com as operac¸o˜es:
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ∀ (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn
a.(x1, x2, ..., xn) = (ax1, ax2, ..., axn) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn
IRn, com as operac¸o˜es usuais acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR.
n = 1⇒ IR (reta) n = 2⇒ IR2 (plano) n = 3⇒ IR3 (espac¸o tridimensional)
Observac¸a˜o: Analogamente, considerando Cn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ C, i = 1, ..., n}
(n ∈ IN fixado) com as operac¸o˜es usuais, temos que Cn e´ um espac¸o vetorial sobre C.
D) Fixados m,n ∈ IN, o conjunto Mm×n(IK) das m× n matrizes sobre um corpo IK (IR ou C), com
as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IK.
E) O conjunto P (IK) = {anxn+ ... + a1x + a0 : ai ∈ IK} dos polinoˆmios sobre um corpo IK (IR ou
C), com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar, e´ espac¸o vetorial sobre o corpo IK.
F) Seja X um conjunto na˜o vazio. Fixado um corpo IK (IR ou C), consideremos o conjunto
F(X; IK) = {f : X → IK} das func¸o˜es de X em IK, com as seguintes operac¸o˜es:
Dadas f, g ∈ F(X; IK), definimos (f + g) : X → IK como (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ X.
Dados a ∈ IK e f ∈ F(X; IK), definimos (af) : X → IK como (af)(x) = a.f(x) ∀ x ∈ X.
F(X; IK), com as operac¸o˜es acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IK.
G) Consideremos o conjunto IR∞ = {(x1, x2, x3, ...) : xi ∈ IR, i = 1, 2, 3, ...}, com as operac¸o˜es:
(x1, x2, x3, ...) + (y1, y2, y3, ...) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, ...) ∀ (x1, x2, ...), (y1, y2, ...) ∈ IR∞
a.(x1, x2, x3, ...) = (ax1, ax2, ax3, ...) ∀a ∈ IR, ∀ (x1, x2, ...) ∈ IR∞
IR∞, com as operac¸o˜es acima, e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR.
H) Consideremos IR2 com as seguintes operac¸o˜es:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ IR2
a(x, y) = (ax, y) ∀ a ∈ IK, ∀(x, y) ∈ IR2
Com estas operac¸o˜es, IR2 na˜o e´ um espac¸o vetorial sobre IR.
30 CAPI´TULO 2
Algumas consequeˆncias “imediatas” da definic¸a˜o de espac¸o vetorial:
(a) Se w + u = w + v enta˜o u = v ;
(b) Se 0 e´ o vetor nulo e a ∈ IK e´ um escalar qualquer, enta˜o a.0 = 0 ;
(c) Dados 0 ∈ IK e u ∈ V , temos 0.u = 0 ;
(d) Se a.v = 0 enta˜o a = 0 (zero) ou v = 0 (vetor nulo) ;
(e) (−1).u = −u .
Exerc´ıcios:
1) Descreva o vetor nulo de cada um dos espac¸os vetoriais abaixo (nos quais sa˜o consideradas as
operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar) :
(a) IR2 (b) IR3 (c) IRn (d) Cn (e) M2×3 (C)
(f) P (IR) (polinoˆmios com coeficientes em IR)
(g) F (IR) = {f : IR→ IR} (func¸o˜es de IR em IR)
2) Em cada item abaixo definimos em IR2 operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por
escalar com as quais IR2 na˜o e´ espac¸o vetorial. Mostre (atrave´s de contra-exemplos), em cada
caso, quais propriedades de espac¸os vetoriais na˜o sa˜o atendidas pelas operac¸o˜es dadas:
(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2)
a.(x, y) = (ax, ay)
(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
a.(x, y) = (ay, ax)
3) Seja V = {(1, x, 2) ; x ∈ IR} munido das operac¸o˜es:
(1, x1, 2) + (1, x2, 2) = (1, x1 + x2, 2) ∀ (1, x1, 2), (1, x2, 2) ∈ V
a.(1, x, 2) = (1, ax, 2) ∀ a ∈ IR, ∀ (1, x, 2) ∈ V
Mostre que V e´ um espac¸o vetorial sobre o corpo IR e obtenha o vetor nulo de V .
Espac¸os Vetoriais 31
2.2 Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 2.2. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Um subconjunto W ⊂ V e´ dito um
SUBESPAC¸O VETORIAL DE V quando W tambe´m e´ um espac¸o vetorial se considerarmos W mu-
nido das mesmas operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o por escalar definidas em V .
Teorema 2.3. Sejam V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK e W ⊂ V .
W e´ um subespac¸o vetorial de V se, e somente se:
(i) O vetor nulo de V pertence a W (0 ∈W )
(ii) Dados u, v ∈W , enta˜o u+ v ∈W
(iii) Dados u ∈W e a ∈ IK, enta˜o a.u ∈W .
Exemplos:
A) Seja W = {(x,−2x) : x ∈ IR} ⊂ IR2 (operac¸o˜es usuais). W e´ um subespac¸o vetorial do IR2.
B) Seja S = {(x, x2) : x ∈ IR} ⊂ IR2. S na˜o e´ subespac¸o do IR2.
C) Seja W = {(x1, 0, x3, x4) : x1, x3, x4 ∈ IR} ⊂ IR4. W e´ um subespac¸o do IR4.
32 CAPI´TULO 2
D) Sejam W =
X =

x1
x2
...
xn
 tais que AX = O
 ⊂Mn×1(IR) , A ∈Mm×n(IR) fixada.
W e´ o conjunto soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = O. W e´ subespac¸o de Mn×1(IR).
E) Se A e´ uma 3× 3 matriz sobre IR e Y 6=
 00
0
 enta˜o o conjunto soluc¸a˜o do sistema na˜o-
homogeˆneo AX = Y dado por W =
X =
 xy
z
 tais que AX = Y
 ⊂ M3×1(IR) na˜o e´ um sube-
spac¸o de M3×1(IR).
F) Uma n× n matriz A e´ dita sime´trica quando At = A (A e´ igual a sua transposta).
Seja W = {A2×2 : At = A} ⊂M2×2(IR), ou seja, W =
{[
a b
b c
]
: a, b, c ∈ IR
}
.
Enta˜o W (conjunto das 2× 2 matrizes sime´tricas sobre IR) e´ um subespac¸o de M2×2(IR).
G) Seja P3(IK) = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 : ai ∈ IK} ⊂ P (IK) o conjunto dos polinoˆmios de grau ≤ 3
sobre um corpo IK (IR ou C). P3(IK) e´ um subespac¸o vetorial de P (IK).
H) Seja A = {f : IR→ IR tais que f(−x) = f(x) ∀x ∈ IR} ⊂ F(IR) o subconjunto das func¸o˜es pares.
A e´ um subespac¸o de F(IR). Analogamente, o subconjunto das func¸o˜es ı´mpares em F(IR), dado por
B = {f : IR→ IR tais que f(−x) = −f(x) ∀x ∈ IR}, tambe´m e´ um subespac¸o vetorial de F(IR).
I) Consideremos o espac¸o IR∞ de todas as sequeˆncias de nu´meros reais. Denotaremos por coo o
subconjunto de IR∞ formado pelas sequeˆncias que teˆm um nu´mero FINITO de termos na˜o nulos, ou
seja, as sequeˆncias que sa˜o nulas a partir de um determinado termo.
Por exemplo: (1,−3, pi, 0,√2, 0, 0, 0, . . .) ∈ coo e (1, 1, 1, . . . , 1, . . .) 6∈ coo.
coo e´ um subespac¸o vetorial de IR∞.
Espac¸os Vetoriais 33
Observac¸o˜es:
1. Fixado u ∈ V , o conjunto W = {a.u : a ∈ IK} ⊂ V e´ um subespac¸o vetorial de V .
2. O subconjunto W = {0} ⊂ V , formado apenas pelo vetor nulo 0 ∈ V , e´ um subespac¸o de V ,
denominado SUBESPAC¸O NULO.
3. Todo espac¸o V e´ subespac¸o de si mesmo.
4. Os subespac¸os V e {0} de V sa˜o denominados SUBESPAC¸OS TRIVIAIS.
Exerc´ıcios:
1) Considere C2 = {(x, y) ; x, y ∈ C} que, com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de mul-
tiplicac¸a˜o por escalar, e´ espac¸o vetorial sobre o corpo C.
Temos que IR2 = {(x, y) ; x, y ∈ IR} ⊂ C2 . IR2 e´ subespac¸o vetorial de C2 ? Justifique.
2) Considere os espac¸os V dados abaixo munidos das operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de
multiplicac¸a˜o por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W e´ subespac¸o vetorial de V e prove
que sua resposta esta´ correta:
(a) V = IR2 , W =
{
(x, x3) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente)
(b) V = IR2 , W = {(3y, y) ; y ∈ IR} (ilustre geometricamente)
(c) V = IR2 , W = {(x, 3x) ; x ∈ IR ; x ≥ 0} (ilustre geometricamente)
(d) V = IR2 , W = {(x, 2x− 1) ; x ∈ IR} (ilustre geometricamente)
(e) V = IR3 , W = IR2
(f) V = IR3 , W =
{
(x, y, z) ∈ IR3 ; y = 3z − x}
(g) V = IR3 , W = {(3a− b, 2a+ b, a− 2b) ; a, b ∈ IR}
(h) V = IR3 , W e´ o conjunto dos vetores do IR3 com pelo menos uma coordenada ≥ 0
(i) V = IR4 , W =
{
(x, y, z, w) ∈ IR4 ; 2x+ y − w = 0 e z = 0}
(j) V = C4 , W e´ o conjunto dos vetores do C4 que teˆm duas coordenadas iguais
(k) V = IR4 , W = {(x, y, x, z) ; x, y, z ∈ IR}
(l) V = IR5 , W e´ o conjunto dos vetores do IR5 com duas ou mais coordenadas nulas
34 CAPI´TULO 2
(m) V = C3 , W =
{
(x, y, z) ∈ C3 ; x.y = 0}
(n) V = IRn , W = {(x, 2x, 3x, . . . , nx) ; x ∈ IR}
(o) V =M2×2(C) , W =
{ [
a 0
0 b
]
; a, b ∈ C
}
(p) V =M3×3(IR) , W e´ o conjunto das matrizes triangulares superiores
(q) V =M2×3(C) , W e´ o conjunto das 2× 3 matrizes sobre C que teˆm
alguma coluna formada por elementos iguais.
(r) V =M2×2(C) , W =
{
A ∈ V ; At = −A} (matrizes anti-sime´tricas)
(s) V =M4×4(IR) , W = {A ∈ V ; detA = 0}
(t) V =M2×2(IR) , W =
{ [
0 1
0 a
]
; a ∈ IR
}
(u) V = P (IR) , W e´ o conjunto dos polinoˆmios de grau par, acrescido do polinoˆmio nulo
(v) V = F(IR) , W = {f : IR→ IR ; f(−7) = 0}
(w) V = F(IR) , W = {f : IR→ IR ; f(1) = 1}
(x) V = F(IR) , W = {f : IR→ IR ; f(x+ 2pi) = f(x) ∀ x ∈ IR} (conjunto das func¸o˜es perio´dicas
de per´ıodo 2pi)
(y) V = IR∞ , W = `∞ = conjunto das sequeˆncias LIMITADAS de nu´meros reais, ou seja,
(x1, x2, x3, . . .) esta´ em `∞ quando existir algum nu´mero real M tal que |xi| ≤ M para todos os
termos xi da sequeˆncia.
Por exemplo:
(
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . .
)
∈ `∞ e (1,−2, 1,−4, 1,−6, 1,−8, 1,−10, 1, . . .) 6∈ `∞.
(z) V = IR∞ , W e´ o conjunto das sequeˆnciasde nu´meros reais que teˆm uma quantidade INFINITA
de termos iguais a zero.
Nosso objetivo agora sera´ construir subespac¸os a partir de outros subespac¸os dados. Como sub-
espac¸os sa˜o ainda subconjuntos dos espac¸os vetoriais nos quais esta˜o inseridos, e´ natural tentarmos
usar as operac¸o˜es de intersec¸a˜o, unia˜o entre conjuntos para tentar produzir outros subespac¸os:
Teorema 2.4 (Intersec¸a˜o de subespac¸os). Se W1 e W2 sa˜o subespac¸os de um espac¸o vetorial V ,
enta˜o sua intersec¸a˜o W1 ∩W2 e´ tambe´m um subespac¸o de V .
Observac¸a˜o: O resultado acima pode ser generalizado para intersec¸a˜o de uma famı´lia qualquer
(finita ou infinita) de subespac¸os vetoriais de V .
Espac¸os Vetoriais 35
Exemplos:
A) Consideremos os conjuntos W1 = {(x, y, z) ∈ IR3 : 3x− y + 2z = 0} ⊂ IR3 e
W2 = {(x, y, z) ∈ IR3 : x+ 2y + z = 0} ⊂ IR3, subespac¸os de IR3 (veja exemplo D).
B) Sejam W1 =
{[
a b
c 0
]
: a, b, c ∈ C
}
, W2 =
{[
a 0
0 b
]
: a, b ∈ C
}
⊂M2×2(C).
W1 e W2 sa˜o subespac¸os de M2×2(C) (verifique!). Obtenha W1 ∩W2.
Definic¸a˜o 2.5. Dados k subconjuntos S1, S2, ..., Sk ⊂ V (espac¸o vetorial), definimos sua SOMA como
S1 + S2 + ...+ Sk = {v = u1 + u2 + ...+ uk : ui ∈ Si} ⊂ V .
Teorema 2.6 (Soma de subespac¸os). Se W1 e W2 sa˜o subespac¸os de um espac¸o vetorial V , enta˜o
sua soma W1 +W2 e´ tambe´m um subespac¸o de V .
Observac¸a˜o: O resultado acima e´ imediato tambe´m para a soma W1 + ...+Wk de uma colec¸a˜o
finita de subespac¸os de V .
Definic¸a˜o 2.7. Sejam W1 e W2 dois subespac¸os de um espac¸o V . Quando W1 ∩W2 = {0} enta˜o
W1 +W2 e´ chamada SOMA DIRETA DE W1 E W2 e denotada por W1 ⊕W2.
Exemplos:
A) Sejam W1 =
{[
a b
c 0
]
: a, b, c ∈ C
}
, W2 =
{[
a 0
0 b
]
: a, b ∈ C
}
⊂ M2×2(C).
B) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} e W2 = {(0, 0, z) : z ∈ IR} subespac¸os do IR3.
Temos: IR3 =W1 ⊕W2 (Verifique!)
Exerc´ıcios:
1) Sejam W1 =
{
(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x+ y = 0 e z − t = 0} e
W2 =
{
(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0} (subespac¸os de IR4). Determine W1 ∩W2
36 CAPI´TULO 2
2) Sejam W1 =
{
(x, y, z, t) ∈ IR4 ; 2x+ y − t = 0 e z = 0} e
W2 =
{
(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x+ y = 0 e z − t = 0} (subespac¸os de IR4). Determine W1 ∩W2
3) Sejam W1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ IR} , W2 = {(z, z, z) : z ∈ IR} ⊂ IR3.
Mostre que W1 e W2 sa˜o subespac¸os de IR3 e que IR3 =W1 ⊕W2
4) Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2) , sejam W1 e W2 respectivamente as retas que passam pela
origem de IR2 e conteˆm u e v. Mostre que IR2 =W1 ⊕W2.
5) Sejam W1 =
{[
a a
0 0
]
: a ∈ IR
}
, W2 =
{[
b 0
0 b
]
: b ∈ IR
}
⊂ M2×2(IR).
Obtenha W1 +W2 e responda se esta soma e´ direta.
2.3 Combinac¸o˜es lineares: gerac¸a˜o de subespac¸os
Definic¸a˜o 2.8. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Uma COMBINAC¸A˜O LINEAR dos
vetores v1,v2, ..., vn ∈ V e´ um vetor
v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn
onde a1, a2, ..., an sa˜o escalares do corpo IK.
Exemplos:
A) Seja V = IR3. Consideremos os vetores v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).
B) Seja V = P (IR) (espac¸o dos polinoˆmios em IR). Consideremos combinac¸o˜es lineares dos vetores
v1 = 1, v2 = x2, v3 = x3 .
C) Seja M2×2(C). Sejam u =
[
1 0
0 0
]
e v =
[
0 0
0 1
]
.
O conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares dos vetores de um subconjunto S ⊂ V e´ um sub-
espac¸o de V , denominado SUBESPAC¸O GERADO PELO CONJUNTO S e denotado por [S] .
Observac¸o˜es:
1. Se, em particular, S = {v1, v2, ..., vn} e´ finito , escrevemos W = [v1, v2, ..., vn] para denotar o
subespac¸o gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn.
Espac¸os Vetoriais 37
2. Se W1 = [S1] e W2 = [S2] enta˜o W1 +W2 = [S1 ∪ S2] .
3. Se duas matrizes m × n em um corpo IK (IR ou C) sa˜o linha-equivalentes, enta˜o os espac¸os
de IKn gerados pelos vetores linha de cada matriz sa˜o exatamente os mesmos.
Exemplos:
A) Seja V = IR3. Sejam v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1). W = [v1, v2] = ?
B) Seja S = {1, x, x2, x3}. O subespac¸o W = [1, x, x2, x3] ⊂ P (IR) gerado por S e´ o conjunto de
todas as combinac¸o˜es lineares de 1, x, x2, x3 , ou seja...
C) Dados u =
[
1 0
0 0
]
, v =
[
0 0
0 1
]
∈M2×2(C), encontre W = [u, v].
D) Dado (x, y, z) ∈ IR3, temos: (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1). Logo:
[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] = IR3
E) Seja V =M2×2(IR). Obtenha geradores para o seguinte subespac¸o de V :
W =
{ [
a b
b 0
]
; a, b ∈ IR
}
⊂ M2×2(IR)
F) Obtenha geradores para o subespac¸o do IR3 dado por:
W =
{
(x, y, z) ∈ IR3 ; 2x− y + 3z = 0 }
G) Consideremos no espac¸o IR4, os vetores u1 = (1, 2, 0,−1), u2 = (1, 1,−1, 3), u3 = (1, 4, 2,−3) .
E´ poss´ıvel obter um conjunto menor de geradores para o mesmo subespac¸o [u1, u2, u3] ⊂ IR4 ?
Exerc´ıcios:
1) Responda V ou F, justificando:
(a)
[
4 −4
−6 16
]
e´ combinac¸a˜o linear de
[
1 2
3 4
]
,
[
−1 2
3 −4
]
,
[
1 −2
−3 4
]
(b) (1,−1, 2) ∈ [(1, 2, 3), (3, 2, 1)]
(c) [(−5, 3, 2), (3,−1, 3)] = IR3
38 CAPI´TULO 2
2) Descreva o subespac¸o W ⊂ M3×2(IR) gerado por
 0 01 1
0 0
 ,
 0 10 −1
1 0
 ,
 0 10 0
0 0
.
O vetor
 0 23 4
5 0
 pertence a W ?
3) Sejam U o subespac¸o de IR3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespac¸o de IR3 gerado por (1, 1, 0)
e (0, 1, 1) . Mostre que IR3 = U ⊕W .
4) Sejam V = M3×3(C) , W1 o subespac¸o de V formado pelas matrizes triangulares inferiores e
W2 o subespac¸o de V formado pelas matrizes triangulares superiores. Descreva W1 ∩W2. Mostre
que V =W1 +W2. A soma V =W1 +W2 e´ direta ? Justifique. Obtenha conjuntos de vetores que
geram W1, W2 e W1 ∩W2.
5) Considere V = IR3. Exprima o vetor z = (1,−3, 10) como combinac¸a˜o linear dos vetores
u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0), e w = (2,−3, 5). Responda: z ∈ [u, v] ? Justifique.
6) Dados os vetores u1 = (0, 1,−2), u2 = (−1, 0, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (2,−1, 0) em IR3, descreva
os subespac¸os W1 = [u1, v1] , W2 = [u2, v2] , W1 ∩W2 e obtenha geradores de W1 ∩W2.
7) Seja W o subespac¸o de M2×2(C) definido por
W =
{ [
2a a+ 2b
0 a− b
]
; a, b ∈ C
}
[
0 −2i
0 i
]
∈ W ?
[
0 2
3i 1
]
∈ W ?
[
4i 4
0 −2 + 3i
]
∈ W ?
8) Mostre que os polinoˆmios 1 − x3, (1 − x)2, 1 − x e 1 geram o espac¸o P3(IR) dos polinoˆmios
reais de grau ≤ 3.
9) Dados os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0,−1) no IR3, obtenha um conjunto
mais simples (se poss´ıvel menor) de vetores que gere o mesmo subespac¸o que v1, v2 e v3. A partir da´ı,
descreva esse subespac¸o e responda se o vetor v = (2, 2, 1) esta´ nesse subespac¸o.
10) Para cada subespac¸o obtido no segundo exerc´ıcio da primeira lista da Sec¸a˜o 2.2, da letra (a)
ate´ a letra (u), obtenha um conjunto de vetores que gera o subespac¸o.
Espac¸os Vetoriais 39
2.4 Dependeˆncia e independeˆncia linear
Definic¸a˜o 2.9. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Um conjunto na˜o-vazio S ⊂ V e´
dito LINEARMENTE INDEPENDENTE (L.I.) quando nenhum vetor de S e´ combinac¸a˜o linear dos
demais elementos de S, ou enta˜o quando S e´ composto apenas de um vetor na˜o-nulo. Do contra´rio,
ou seja, se S = {0} ou algum vetor de S e´ combinac¸a˜o linear de outros vetores de S, enta˜o S e´ dito
LINEARMENTE DEPENDENTE (L.D.)
O resultado abaixo facilita a identificac¸a˜o da dependeˆncia ou independeˆncia linear.
Teorema 2.10. Um subconjunto S ⊂ V e´ linearmente independente (L.I.) se, e somente se, sempre
que c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 com v1, v2, ..., vn ∈ S e c1, c2, ..., cn ∈ IK, enta˜o obrigatoriamente
c1 = c2 = ... = cn = 0, ou seja, “a u´nica combinac¸a˜o linear de vetores de S capaz de produzir o
vetor nulo, 0, e´ aquela em que todos os escalares sa˜o iguais a 0 (zero)” .
Exemplos:
A) V = IR3, v1 = (1, 2, 0) e v2 = (0, 1, 1).
B) V = IR3, S = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1) }.
C) S = { (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0, 1) } ⊂ IR3.
D) “As linhas na˜o-nulas de uma m×n matriz linha reduzida a` forma escada sobre IR correspondem
a um conjunto LI de vetores do IRn”. (Exemplo)
Observac¸o˜es: (Consequeˆncias da definic¸a˜o)
1. Todo conjunto que conte´m o vetor nulo e´ LD.
2. Se S e´ LD e S ⊂ Q enta˜o Q e´ LD.
3. Se S e´ LI e R ⊂ S enta˜o R e´ LI.
Exerc´ıcios:
1) Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK. Dados dois vetores u, v ∈ V , mostre que eles sa˜o
linearmente dependentes (LD) se, e somente se, um e´ mu´ltiplo escalar do outro.
2) Determinar treˆs vetores em IR3 que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer deles
sejam linearmente independentes.
40 CAPI´TULO 2
3) Considere os espac¸os V dados abaixo munidos das operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o de vetores e de
multiplicac¸a˜o por escalar. Para cada caso abaixo, responda se S ⊂ V e´ um conjunto de vetores LI
(linearmente independentes) ou LD (linearmente dependentes) em V .
(a) V = C3 , S = {(1, 1, 1), (i, 2i, i), (2, 1, 2)} .
(b) V = IR3 , S = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} .
(c) V = IR3 , S = {(1, 2, 3), (2, 1,−2), (3, 1, 1), (4,−1,−2)} .
(d) V = IR2 , S = {(1, 1), (−1, 1)} .
(e) V =M2×2(C) , S =
{ [
1 1
0 0
]
,
[
1 0
0 1
]
,
[
1 1
1 1
] }
.
(f) V = P (IR) , S =
{
x3 − 5x2 + 1, 2x4 + 5x− 6, x2 − 5x+ 2 }.
(g) V = P2(C) , S =
{
1, x+ i, (x+ i)2
}
.
2.5 Base e dimensa˜o de um espac¸o vetorial
Definic¸a˜o 2.11. Um conjunto β ⊂ V (espac¸o vetorial sobre um corpo IK) e´ dito ser uma BASE de
V quando:
(i) β gera V (qualquer vetor de V e´ combinac¸a˜o linear de vetores de β);
(ii) β e´ linearmente independente (LI).
Exemplos:
A) V = IR3 e β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} .
B) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .
C) Sejam W = [(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)] e β = {(1, 2, 0), (0, 1, 1), (−2,−3, 1)} .
D) Seja γ = {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} .
E) Obtenha uma base de W =
{[
a 0
0 b
]
; a, b ∈ C
}
⊂M2×2(C) .
Espac¸os Vetoriais 41
F) Obtenha uma base para W = [(0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 2), (−1, 1, 1,−2)] .
G) Sejam V = P (IR) e β = {1, x, x2, ..., xn, ...} .
Observac¸o˜es:
1. Todo espac¸o vetorial V 6= {0} possui uma base.
2. Se um espac¸o vetorial V possui uma base finita, dizemos enta˜o que ele possui DIMENSA˜O FINITA.
Caso contra´rio, diremos que V possui DIMENSA˜O INFINITA.
Teorema 2.12. Sejam v1, v2, ..., vn vetores na˜o-nulos que geram um espac¸o vetorial V . Enta˜o, dentre
estes vetores, podemos extrair uma base de V .
(Ide´ia da prova)
Consequeˆncias:
1a) Se um espac¸o vetorial V e´ gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Enta˜o qualquer
conjunto com mais de n vetores e´ LD.
2a) Se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, enta˜o qualquer base de V tem sempre o mesmo
nu´mero de elementos. Este nu´mero e´ chamado DIMENSA˜O DE V , e denotado por dimV .
3a) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dimV = n. Se um conjunto β, com n vetores,
gera V , enta˜o β e´ LI e, portanto, uma base de V .
Exemplos:
A) V = IR3 .
B) W =
{[
a 0
0 b
]
; a, b ∈ C
}
.
C) P3(IR)
D) Seja W = [ (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (2, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 1) ] ⊂ IR4 .
42 CAPI´TULO 2
Teorema 2.13. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Qualquer conjunto de vetores LI em
V pode ser completado de modo a formar uma base de V .
(Ide´ia da prova)
Consequeˆncias:
1a) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dimV = n. Se um conjunto β, com n vetores,
e´ LI, enta˜o β gera V e e´ portanto uma base de V .
2a) Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e W um subespac¸o de V (W ⊂ V ).
Enta˜o: W 6= V ⇔ dimW < dimV .
3a) Se S ⊂ V (espac¸o) tem n elementos e e´ LI, enta˜o dimV ≥ n . Em particular, se existir um
conjunto INFINITO e LI em V , enta˜o V tem dimensa˜o infinita.
Exemplos:
A) V = IR2 e β = {(1, 1), (−1, 2)} .
B) P2(C) e β = {1, (x− i), (x− i)2} .
C) Verifique se IR4 = [(1,−1, 3,−1), (2, 1, 3, 0), (0, 1,−1, 1), (1, 3,−1, 2)] .
D) Consideremos em IR∞ o seguinte conjunto INFINITO de vetores: S = {w1, w2, w3, . . .} , com
w1 = (1, 0, 0, 0, . . .)
w2 = (0, 1, 0, 0, . . .)
w3 = (0, 0, 1, 0, . . .)
...
Teorema 2.14. Se W1 e W2 sa˜o subespac¸os de dimensa˜o finita de um espac¸o vetorial V , enta˜o
W1 +W2 possui dimensa˜o finita e
dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim (W1 ∩W2)
Exemplo: Se W1 = {(x,−x, y, z) : x, y, z ∈ IR} e W2 = {(a, b,−a, c) : a, b, c ∈ IR} (subespac¸os
de IR4), obtenha W1 ∩W2, dimW1, dimW2 e dimW1 ∩W2 e responda se W1 +W2 = IR4.
Espac¸os Vetoriais 43
Exerc´ıcios:
1) Mostre que
β =
{ [
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
e´ uma base de M2×2(IR) (espac¸o das 2× 2 matrizes reais).
2) V = C e´ (com as operac¸o˜es usuais) um espac¸o vetorial sobre o corpo IR (mostre se quiser).
Determine uma base e sua dimensa˜o.
3) Considere o subespac¸o de IR3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1), e v3 = (1, 1, 1).
[v1, v2, v3] = IR3 ? Justifique.
4) Seja W = [ v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1), v4 = (1, 0, 0, 0) ] ⊂ IR4.
(a) (2,−3, 2, 2) ∈W ? Justifique.
(b) Exiba uma base para W . Qual a dimensa˜o ?
(c) W = IR4 ? Por queˆ ?
5) Considere os seguintes vetores do IR3 : v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 1,−2), v3 = (3, 1, 1), v4 = (4,−1,−2) .
(a) Estes vetores sa˜o LD. Justifique.
(b) Expresse o vetor nulo como combinac¸a˜o linear destes vetores, na qual os coeficientes da com-
binac¸a˜o na˜o sa˜o todo iguais a zero.
6) Considere o sistema linear homogeˆneo

2x + 4y − 6z = 0
x − y + 4z = 0
6y − 14z = 0
(a) Se W ⊂ IR3 e´ o subespac¸o soluc¸a˜o do sistema acima, obtenha uma base e a dimensa˜o de W .
(b) Se U ⊂ IR3 e´ o espac¸o gerado pelos vetores-linha da matriz de coeficientes do sistema acima,
obtenha uma base e a dimensa˜o de U .
7) Deˆ exemplo de uma 3× 3 matriz sobre IR cujos vetores-linha geram um subespac¸o de IR3 DIFER-
ENTE do espac¸o gerado pelos vetores-coluna.
8) Sejam W1 =
{
(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x+ y = 0 e z − t = 0} e
W2 =
{
(x, y, z, t) ∈ IR4 ; x− y − z + t = 0} subespac¸os de IR4.
(a) Determine W1 ∩W2
(b) Exiba uma base para W1 ∩W2
44 CAPI´TULO 2
(c) Determine W1 +W2
(d) A soma W1 +W2 e´ direta ? Justifique.
(e) W1 +W2 = IR4 ? Justifique.
9) Sejam W1 =
{ [
a b
c d
]
; a = d e b = c
}
e W2 =
{ [
a b
c d
]
; a = c e b = d
}
subespac¸os de M2×2(C).
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
(b) Determine W1 +W2. E´ soma direta ?
(c) W1 +W2 =M2×2(C) ?
10) Seja V =M2×2(IR) e seja W o subespac¸o de V gerado por
β =
{ [
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
] }
Encontre uma base e a dimensa˜o de W .
11) Pode-se obter uma base para Pn(IR) formada por n+ 1 polnoˆmios de grau n ?
12) Ja´ mostramos que, em IR∞ , o conjunto INFINITO S = {w1, w2, w3, . . .} , com
w1 = (1, 0, 0, 0, . . .)
w2 = (0, 1, 0, 0, . . .)
w3 = (0, 0, 1, 0, . . .)
...
e´ LI e da´ı conclu´ımos que IR∞ tem dimensa˜o infinita.
Perguntamos agora: S e´ BASE de IR∞ ? Justifique.
13) Seja W o subespac¸o (plano) do IR3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x−2y+4z = 0.
Obtenha uma base β = {u1, u2, u3} do IR3 tal que u1, u2 ∈W .
14) Seja W o subespac¸o do IR4 gerado pelos seguintes vetores :
v1 = (1, 1, 3, 1), v2 = (1,−3, 15, 9), v3 = (1, 2, 0,−1) .
(a) Obtenha uma base para W .
(b) Complete essa base obtida na letra (a) ate´ que se tenha uma base para o IR4.
Espac¸os Vetoriais 45
Teorema 2.15. Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espac¸o vetorial V , cada vetor de V e´
escrito de uma u´nica maneira como combinac¸a˜o linear de v1, v2, ..., vn.
Definic¸a˜o 2.16. Fixemos uma base β = {v1, v2, ..., vn} de um espac¸o vetorial V (dimV = n).
Dado v ∈ V , sabemos que existem escalares a1,a2, ..., an, u´nicos, tais que
v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn.
Estes escalares a1, a2, ..., an sa˜o chamados as COORDENADAS DE v EM RELAC¸A˜O A` BASE
β e a n× 1 matriz
[v]β =

a1
a2
...
an

e´ dita a MATRIZ DAS COORDENADAS DE v EM RELAC¸A˜O A` BASE β.
(Exemplos)
Sejam v um vetor de um espac¸o vetorial V , de dimensa˜o finita, e α e β duas bases de V .
Existe alguma relac¸a˜o entre [v]α e [v]β ? A resposta e´ ... SIM!
De fato:
Fixemos duas bases α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wn} de um espac¸o vetorial V de
dimensa˜o finita (dimV = n).
Dado um vetor v ∈ V existem, pelo teorema anterior, escalares c1, c2, . . . , cn, u´nicos, tais que
v = c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn ⇒ [v]α =

c1
c2
...
cn

Como cada vetor vi da base α pode ser escrito de uma u´nica forma como combinac¸a˜o linear
dos vetores da base β, temos
v1 = a11w1 + a21w2 + . . .+ an1wn
v2 = a12w1 + a22w2 + . . .+ an2wn
...
vn = a1nw1 + a2nw2 + . . .+ annwn
46 CAPI´TULO 2
sendo cada aij determinado de modo u´nico. Logo
v = c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn =
= c1(a11w1 + . . .+ an1wn) + c2(a12w1 + . . .+ an2wn) + . . .+ cn(a1nw1 + . . .+ annwn) =
= (a11c1 + . . .+ a1ncn) w1 + (a21c1 + . . .+ a2ncn) w2 + . . .+ (an1c1 + . . .+ anncn) wn
Portanto
[v]β =

a11c1 + . . .+ a1ncn
a21c1 + . . .+ a2ncn
...
an1c1 + . . .+ anncn
 =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 .

c1
c2
...
cn
 =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 . [v]α
↑ ↑ ↑
[v1]β [v2]β . . . [vn]β
Segue enta˜o o ...
Teorema 2.17. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dimV = n.
Fixadas duas bases ordenadas α e β de V , existe uma u´nica n×n matriz [I]αβ (denominada
a MATRIZ DE MUDANC¸A DA BASE α PARA A BASE β ) tal que,
para todo vetor v ∈ V :
[v]β = [I]
α
β . [v]α
Mais ainda, a j-e´sima coluna da matriz [I]αβ e´ dada pelas coordenadas do j-e´simo vetor da base
α em relac¸a˜o a` base β.
Consequeˆncia importante:
[I]βα . [I]
α
β = In×n = [I]
α
β . [I]
β
α
Portanto [I]αβ e [I]
β
α sa˜o invert´ıveis e uma e´ a inversa da outra.
Exemplos:
A) α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 1), (−1, 2)} sa˜o bases do IR2.
Obtenha [I]αβ e [(3,−5)]β
B) Seja α = {(1, 0), (0, 1)} a base canoˆnica do IR2 e seja β = {w1, w2} a base obtida pela rotac¸a˜o
da base α de um aˆngulo θ
Espac¸os Vetoriais 47
Exerc´ıcios:
1) Mostre que os vetores u = (i, 1) e v = (1, i) formam uma base de C2 e exprima cada um dos
vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) da base canoˆnica de C2 como combinac¸a˜o linear de u e v .
2) Mostre que β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} e´ uma base do IR3 e obtenha as coordenadas de
u = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a` base β.
3) Sejam β = { (1, 0), (0, 1) } , β1 = { (−1, 1), (1, 1) } , β2 =
{
(
√
3, 1), (
√
3,−1) } e
β3 = { (2, 0), (0, 2) } bases ordenadas de IR2.
(a) Obtenha as matrizes de mudanc¸a de base: (i) [I]β1β (ii) [I]
β
β1
(iii) [I]ββ2 (iv) [I]
β
β3
(b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a`s bases β, β1, β2 e β3 ?
(c) As coordenadas de um vetor u em relac¸a˜o a` base β1 sa˜o dadas por [u]β1 =
[
4
0
]
.
Quais sa˜o as coordenadas de u em relac¸a˜o a`s bases β, β2 e β3 ?
4) Sejam V = IR3, α e α′ bases ordenadas de IR3 e seja [I]α
′
α =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1
 .
Obtenha [u]α, se [u]α′ =
 −12
3
 e obtenha [w]α′ , se [w]α =
 −12
3
.
5) Se β e´ a base canoˆnica do IR2 e β′ e´ obtida de β pela rotac¸a˜o por um aˆngulo de −pi/3 rad ,
obtenha [I]β
′
β e [I]
β
β′ .
6) Sejam β1 = { (1, 0), (0, 2) } , β2 = { (−1, 0), (1, 1) } , e β3 = { (−1,−1), (0,−1) } treˆs bases
ordenadas de IR2.
(a) Obtenha: (i) [I]β2β1 (ii) [I]
β3
β2
(iii) [I]β3β1 (iv) [I]
β2
β1
. [I]β3β2
(b) Obtenha alguma relac¸a˜o geral a partir das matrizes de mudanc¸a de base acima.
7) Seja V o espac¸o das 2× 2 matrizes triangulares superiores sobre o corpo IR e sejam
β =
{ [
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
e β1 =
{ [
1 0
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 1
0 1
] }
duas bases de V . Obtenha [I]ββ1 .
48 CAPI´TULO 2
8) Mostre que o conjunto α =
{
1, x− 1, x2 − 3x+ 1 } e´ uma base de P2(IR). Sabemos que
β =
{
1, x, x2
}
e´ uma outra base do mesmo espac¸o (mostre). Obtenha [I]βα e exprima os polinoˆmios
u = 2x2 − 5x+ 6 e v = x2 + 3x− 4 como combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios que formam a base α.
9) Determinar a matriz das coordenadas do vetor v = (1, 0, 1) em relac¸a˜o a` base do espac¸o vetorial
C3 dada por β = { (2i, 1, 0), (2,−1, 1), (0, 1 + i, 1− i) }.
Cap´ıtulo 3
Transformac¸o˜es Lineares
Existem func¸o˜es naturais entre espac¸os vetoriais: sa˜o aquelas que “preservam” as operac¸o˜es de
adic¸a˜o de vetores e de multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar. Estas func¸o˜es sa˜o as chamadas
transformac¸o˜es lineares e iremos estuda´-las neste terceiro cap´ıtulo.
3.1 Definic¸a˜o e exemplos
Definic¸a˜o 3.1. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre um mesmo corpo IK e T uma func¸a˜o de
V em W ( T : V → W ). Dizemos que T e´ uma TRANSFORMAC¸A˜O LINEAR de V em W
quando satisfaz a`s seguintes condic¸o˜es:
TL.1 T (u+ v) = T (u) + T (v) para todos u, v ∈ V
TL.2 T (k.u) = k.T (u) para todos k ∈ IK e u ∈ V .
Obs.: Quando V =W tambe´m dizemos que T e´ um OPERADOR LINEAR sobre V .
Exemplos:
A) Algumas transformac¸o˜es de IR em IR:
Seja T : IR→ IR definida por T (x) = a.x , a ∈ IR. T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Seja F : IR→ IR definida por F (x) = a.x+ b , a, b ∈ IR, b 6= 0. F na˜o e´ linear.
B) Seja T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (3x, 0, x− y). T e´ transformac¸a˜o linear.
49
50 CAPI´TULO 3
C) Aplicac¸a˜o Linear Nula:
Seja T : V →W dada por T (v) = 0 (vetor nulo de W ), ∀ v ∈ V . T e´ linear.
Obs.: A Aplicac¸a˜o Linear Nula e´ usualmente denotada por O : V →W .
D) Operador Identidade:
Seja I : V → V definida por I(v) = v para todo v ∈ V .
I e´ um operador linear (conhecido como Operador Ideˆntico ou Identidade)
Obs.: Se T : V →W e´ linear, enta˜o T (0) = 0 (vetor nulo de W )
De fato, T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) ⇒ T (0) = 0.
(i) T (0) = 0 e´ condic¸a˜o necessa´ria para que T seja linear, pore´m na˜o e´ suficiente:
Exemplo: T : IR→ IR dada por T (x) = x2.
(ii) Vale a contra-rec´ıproca, ou seja, se T (0) 6= 0 enta˜o T na˜o e´ linear.
Exemplo: T : IR3 → IR2 dada por T (x, y, z) = (x, y − 5) .
E) Algumas aplicac¸o˜es que na˜o sa˜o lineares:
f1 : IR→ IR dada por f1(x) = a.x+ b, a, b ∈ IR, b 6= 0
f2 : IR→ IR dada por f2(x) = cosx
f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx
f4 : C3 → C2 dada por f4(x, y, z) = (2y, x+ z + i)
F) Seja V = P (C) o espac¸o dos polinoˆmios com coeficientes complexos.
Seja D : V → V dada por D(a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anxn) = a1 + 2.a2x+ . . .+ nanxn−1
D e´ um operador linear (Operador Derivac¸a˜o).
G) Seja V = C ([a, b] ; IR) o espac¸o das func¸o˜es f : [a, b]→ IR cont´ınuas.
Seja T : V → IR dada por T (f) =
∫ b
a
f(x) dx
T e´ uma transformac¸a˜o linear de V em IR.
H) Seja V = Pn(IR) o espac¸o dos polinoˆmios reais de grau menor ou igual a n.
Seja D : Pn(IR)→ Pn(IR) o Operador (Linear) Derivac¸a˜o, dado por
D(a0 + a1x+ . . .+ anxn) = a1 + 2.a2x+ . . .+ n.anxn−1
I) Transformac¸o˜es do Plano no Plano:
As aplicac¸o˜es do espac¸o IR2 em IR2 sa˜o chamadas em geral de Transformac¸o˜es do Plano no
Transformac¸o˜es Lineares 51
Plano, e podem ser ou na˜o lineares. Destacaremos algumas em particular:
1a) Homotetia (Expansa˜o ou Contrac¸a˜o):
T : IR2 → IR2 |α| > 1 −→ T e´ Expansa˜o
v 7→ T (v) = α.v , α ∈ IR |α| < 1 −→ T e´ Contrac¸a˜o
Para todo v = (x, y) ∈ IR2 : T (v) = α.v = α.(x, y) = (α.x, α.y)
Na forma de vetor-coluna:
[
xy
]
T7−→
[
α.x
α.y
]
=
[
α 0
0 α
]
.
[
x
y
]
2a) Reflexa˜o em torno do eixo Ox:
T : IR2 → IR2
(x, y) 7→ T (x, y) = (x,−y)
ou seja:
[
x
y
]
T7−→
[
x
−y
]
=
[
1 0
0 −1
]
.
[
x
y
]
3a) Reflexa˜o em torno da origem:
T : IR2 → IR2
v 7→ T (v) = −v
ou seja:
[
x
y
]
T7−→
[
−x
−y
]
=
[
−1 0
0 −1
]
.
[
x
y
]
52 CAPI´TULO 3
4a) Rotac¸a˜o de um aˆngulo θ:
Seja Rθ : IR2 → IR2 a rotac¸a˜o de um aˆngulo θ no sentido anti-hora´rio:
Dado v = (x, y) ∈ IR2, sejam:
α = aˆngulo de ~Ox para v no sentido trigonome´trico,
Rθ(v) = (xθ, yθ) = imagem de v pela transformac¸a˜o Rθ e
r = |v| = mo´dulo de v (imagem geome´trica) ⇒ r = |Rθ| , x = r. cosα, y = r. senα
Temos:
xθ = r. cos(α+ θ) = r. cosα. cos θ − r. senα. sen θ = x. cos θ − y. sen θ
yθ = r. sen (α+ θ) = r. senα. cos θ + r. cosα. sen θ = y. cos θ + x. sen θ
Logo:
Rθ(x, y) = ( x. cos θ − y. sen θ, y. cos θ + x. sen θ )
Na forma matricial:
[
x
y
]
Rθ7−→
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
.
[
x
y
]
Exemplo: Rotac¸a˜o de pi/2 rad (90o)
5a) Translac¸a˜o (segundo um vetor (a, b) 6= (0, 0) ):
T : IR2 → IR2
(x, y) 7→ T (x, y) = (x+ a, y + b)
ou seja:
[
x
y
]
T7−→
[
x+ a
y + b
]
=
[
1 0
0 1
]
.
[
x
y
]
+
[
a
b
]
T (0, 0) = (a, b) 6= (0, 0) ⇒ T na˜o e´ linear.
Transformac¸o˜es Lineares 53
Exerc´ıcios:
1) Responda, justificando, quais das func¸o˜es abaixo sa˜o transformac¸o˜es lineares:
(a) f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x+ y, x− y)
(b) g : IR2 → IR dada por g(x, y) = x.y
(c) h :M2×2(C)→ C dada por h(A) = detA ∀ A ∈M2×2(C)
(d) L :M3×3(IR)→ IR dada por L(A) = trA = trac¸o de A = a11 + a22 + a33 =
3∑
i=1
aii
(e) U : IR3 → IR3 dada por U(x, y, z) = (x2 − 3y, 5z, 0)
(f) M : P2(C)→ P3(C) dada por M(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx
(g) S : IR4 → IR3 dada por S(x, y, z, w) = (y, z − w, 2y + z + 2w)
(h) N : IR3 → IR2 tal que (x, y, z) N7−→ [x y z ] .
 1 20 −1
1 1

(i) R : IR2 → IR2 dada por R(x, y) = (x, 2y − 2x)
(j) T : IR→ IR dada por T (x) = |x|
(k) ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = x− 2y + 3
2) Sejam V = M4×1(IR) , W = M3×1(IR) e T : V → W a transformac¸a˜o linear dada por
T (X) = A.X , sendo A uma 3 × 4 matriz fixa sobre o corpo IR. Mostre que se T e´ a
Transformac¸a˜o Linear Nula, enta˜o A e´ a 3× 4 matriz nula O3×4.
3) Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Se existe um vetor u ∈ V tal que T (u) = 0
(vetor nulo de W ), podemos concluir enta˜o que u = 0 (vetor nulo de V ) ? Justifique se for
verdade ou apresente um contra-exemplo se for falso.
3.2 Resultados imediatos
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear de um espac¸o vetorial V em um espac¸o vetorial W .
Temos enta˜o:
(a) T (0) = 0
(b) T (−u) = −T (u) ∀ u ∈ V
(c) Se v = c1.v1+ c2.v2+ . . .+ cl.vl ∈ V e´ combinac¸a˜o linear (ci ∈ IK) dos vetores v1, v2, . . . , vl
enta˜o temos:
T (v) = T (c1.v1 + . . .+ cl.vl) = T (c1.v1) + . . .+ T (cl.vl) = c1.T (v1) + c2.T (v2) + . . .+ cl.T (vl)
54 CAPI´TULO 3
Este u´ltimo resultado mostra que as transformac¸o˜es lineares “conservam” as combinac¸o˜es lineares
e sa˜o portanto as func¸o˜es naturais entre espac¸os vetoriais. Esta caracter´ıstica e´ reforc¸ada no exemplo
abaixo:
Exemplo:
Seja T : IR3 →W uma transformac¸a˜o linear do IR3 em um espac¸o vetorial W .
Temos que B = { e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) } e´ a base canoˆnica do IR3.
Dado qualquer vetor v ∈ IR3, temos:
v = (x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1) = x.e1 + y.e2 + z.e3 , com x, y, z ∈ IR.
Ora, temos T (v) = T (x.e1+y.e2+z.e3) = x.T (e1)+y.T (e2)+z.T (e3) , ou seja, qualquer trans-
formac¸a˜o linear do IR3 fica completamente determinada por sua atuac¸a˜o nos vetores da
base {e1, e2, e3}. Por exemplo: T (−3, 5, 0) = −3.T (e1) + 5.T (e2) + 0.T (e3).
Tentaremos agora generalizar este resultado:
Teorema 3.2. Consideremos espac¸os vetoriais V e W sobre um mesmo corpo IK e seja
B = { v1, v2, . . . , vn } uma base de V (dimV = n). Enta˜o, dados n elementos arbitra´rios (na˜o
necessariamente distintos) w1, w2, . . . , wn ∈ W , EXISTE UMA U´NICA TRANSFORMAC¸A˜O
LINEAR T : V →W TAL QUE T (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.
Demonstrac¸a˜o:
(Existeˆncia) Dado v = a1v1 + a2v2 + . . .+ anvn (ai ∈ IK) ∈ V , defina:
T (v) = a1w1 + a2w2 + . . .+ anwn .
T e´ linear:
(i) ∀ u = a1v1 + . . .+ anvn e v = b1v1 + . . .+ bnvn ∈ V temos:
T (u+ v) = T ( (a1 + b1)v1 + . . .+ (an + bn)vn ) = (a1 + b1)w1 + . . .+ (an + bn)wn =
= T (u) + T (v)
(ii) ∀ k ∈ IK e v = b1v1 + . . .+ bnvn ∈ V temos:
T (k.v) = T (ka1v1 + . . .+ kanvn) = ka1w1 + . . .+ kanwn = k.T (v)
E´ tambe´m imediato que T (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.
(Unicidade) Seja F : V →W linear e tal que F (vi) = wi ∀ i = 1, . . . , n.
Transformac¸o˜es Lineares 55
Dado v ∈ V , temos v = a1v1 + . . .+ anvn.
Logo:
F (v) = F (a1v1 + . . .+ anvn) = a1F (v1) + . . .+ anF (vn) =
= a1w1 + . . .+ anwn = T (v) .
Portanto F = T .
Assim, podemos concluir que uma transformac¸a˜o linear T : V → W fica completa-
mente determinada se conhecermos sua atuac¸a˜o nos vetores de uma base de V .
Exemplos:
A) Qual e´ a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal que T (1, 0) = (0, 1,−2) e T (0, 1) = (1, 0, 0) ?
B) Qual e´ a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal que T (2, 0) = (1, 1, 0) e T (−1, 1) = (0, 2, 0) ?
Exerc´ıcios:
1) Encontre a transf. linear T : IR3 → IR2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1) e
T (0, 0, 1) = (0,−1). Obtenha v ∈ IR3 tal que T (v) = (3, 2).
2) Qual e´ a transf. linear T : IR2 → IR3 tq T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0) ?
Obtenha T (1, 0) e T (0, 1).
3) Qual e´ a transf. linear S : IR3 → IR tal que S(1, 1, 1) = 3, S(0, 1,−2) = 1 e S(0, 0, 1) = −2 ?
4) Sabendo que a transformac¸a˜o T do Plano no Plano dada por uma reflexa˜o em torno da reta
x = y e´ linear, encontre-a. Escreva-a em forma matricial.
5) Seja A : IR2 → IR2 o operador linear dado por A(x, y) = (5x+4y,−3x−2y). Para quais valores
de λ ∈ IR existem vetores na˜o nulos u ∈ IR2 tais que A(u) = λ.u ? Esses vetores u sa˜o
u´nicos para cada λ fixado ? Determine esses vetores. O que voceˆ pode concluir dos vetores
“associados”a cada λ ?
6) Tente, usando sua intuic¸a˜o geome´trica, responder diretamente a`s perguntas do exerc´ıcio anterior
para o operador linear T do Exerc´ıcio 4 acima! Agora fac¸a isto algebricamente e confira com
as respostas obtidas intuitivamente.
7) Fac¸a como no exerc´ıcio anterior para o operador Rpi/2 : IR2 → IR2 dado por uma rotac¸a˜o de
pi/2 rad no sentido trigonome´trico.
56 CAPI´TULO 3
3.3 Nu´cleo e Imagem de uma transformac¸a˜o linear
Definic¸a˜o 3.3. (Nu´cleo) Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Chama-se Nu´cleo da
transformac¸a˜o linear T ao conjunto de vetores v ∈ V que sa˜o “levados” por T no vetor nulo
0 ∈W . Escreve-se: N(T ), NT , ou kerT .
kerT = { v ∈ V ; T (v) = 0 }
Exerc´ıcio: Mostre que kerT ⊂ V e´ um subespac¸o vetorial de V .
Definic¸a˜o 3.4. (Imagem) Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Chama-se IMAGEM de T
e escreve-se Im (T ) ou Im T ao conjunto dos vetores w ∈ W para os quais existe v ∈ V com
T (v) = w.
ImT = { w ∈W ; w = T (v) para algum v ∈ V }
Exerc´ıcio: Mostre que ImT ⊂W e´ um subespac¸o vetorial de W .
Exemplos:
A) Determine o nu´cleo e a imagem da transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 dada por
T (x, y) = (y, x,−2x).
B) Determine o nu´cleo e a imagem da transformac¸a˜o linear T : IR3 → IR4 dada por
T (x, y, z) = (x+ 2y − z, 0, y + z, x+ y − 2z).
Obtenha tambe´m dim kerT e dim ImT .
C) Sejam V =M2×2(IR) e M =
[
1 −1
−2 2
]
uma matriz fixada.
Defina o operador linear F :M2×2(IR)→M2×2(IR) como F (A) =M.A ∀ A ∈M2×2(IR).
Encontre ImF e kerF .
Teorema 3.5. (Sobre a dimensa˜o do nu´cleo e a dimensa˜o da imagem)
SejamV um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e T : V →W uma transformac¸a˜o linear.
Enta˜o ImT tem dimensa˜o finita e
dim kerT + dim ImT = dimV
Transformac¸o˜es Lineares 57
Demonstrac¸a˜o:
kerT e´ um subespac¸o de V .
Seja B = {u1, u2, . . . , ur} uma base de kerT (dim kerT = r).
Como B e´ LI, podemos completar B (completamento de base) com vetores de V ate´ obtermos
uma base B′ = {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} de V (dimV = r + s) .
Basta portanto mostrarmos que dim ImT = s.
Mostremos que B′′ = {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e´ uma base de ImT .
(i) {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} gera ImT :
Dado w ∈ ImT , existe v ∈ V tal que T (v) = w .
B′ e´ base de V ⇒ v = c1u1 + . . .+ crur + d1v1 + . . .+ dsvs , com c1, . . . , cr, d1, . . . , ds ∈ IK .
Como T e´ transformac¸a˜o linear: w = T (v) = T (c1u1 + . . .+ crur + d1v1 + . . .+ dsvs) =
= c1T (u1) + . . .+ crT (ur) + d1T (v1) + . . .+ dsT (vs) = d1T (v1) + . . .+ dsT (vs), pois temos que
ui ∈ kerT ⇒ T (ui) = 0 (i = 1 . . . r) .
Portanto {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} gera ImT .
(ii) {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e´ LI:
Sejam d1, d2 . . . , ds ∈ IK tais que d1T (v1) + . . .+ dsT (vs) = 0 .
Como T e´ linear, temos:
0 = d1T (v1) + . . .+ dsT (vs) = T (d1v1 + . . .+ dsvs) ⇒ d1v1 + . . .+ dsvs ∈ kerT .
Mas B = {u1, u2, . . . , ur} e´ base de kerT . Logo existem c1, c2, . . . , cr ∈ IK tais que
d1v1 + . . .+ dsvs = c1u1 + . . .+ crur .
Temos enta˜o: (−c1)u1 + . . .+ (−cr)ur + d1v1 + . . .+ dsvs = 0 .
Como B′ = {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} e´ base de V , temos que B′ e´ LI, o que implica obrigatoria-
mente em −c1 = . . . = −cr = d1 = . . . = ds = 0 .
Portanto {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e´ LI.
Por (i) e (ii), {T (v1), T (v2), . . . , T (vs)} e´ uma base de ImT .
Assim: dim ImT = s = dimV − dim kerT ⇒ dim kerT + dim ImT = dimV .
58 CAPI´TULO 3
Obs.: Nomenclaturas (definic¸o˜es):
NULIDADE de T = dim kerT ;
POSTO de T = dim Im T ;
T e´ dita NA˜O-SINGULAR quando ker T = {0} .
Exerc´ıcios:
1) Obtenha o nu´cleo, a imagem e suas respectivas dimenso˜es para cada uma das transformac¸o˜es do
exerc´ıcio 1 da Sec¸a˜o 3.1 que forem lineares.
Verifique o Teorema 3.5 em cada caso.
2) Obtenha o nu´cleo e a imagem do operador linear derivac¸a˜o D : P3(IR)→ P3(IR) .
(Exemplo H da Sec¸a˜o 3.1)
3) Considere a transformac¸a˜o linear T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
Determine uma base do nu´cleo de T . Qual a dimensa˜o da imagem de T ? A imagem de T e´
todo o IR3 ? Justifique.
4) Pode existir uma transformac¸a˜o linear T : IR4 → IR5 cuja imagem e´ todo IR5 ?
Pode existir uma transformac¸a˜o linear T : IR3 → IR2 tal que kerT = {(0, 0, 0)} ?
Justifique e tente generalizar cada resultado.
5) Sejam T : V → W uma transformac¸a˜o linear e B = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V . Mostre
enta˜o que B′ = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} gera a ImT , ou seja, qualquer vetor da imagem de
T e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores de B′.
6) Descreva explicitamente uma transformac¸a˜o linear T : C3 → C3 tal que sua imagem seja o
espac¸o gerado pelos vetores u = (2i, 1,−3) e v = (0,−i, 1 + i).
(Sugesta˜o: combine o resultado do exerc´ıcio anterior com o Teorema 3.2)
7) Descreva explicitamente um operador linear F : IR2 → IR2 cujo nu´cleo seja a reta y = x e cuja
imagem seja a reta y = 3x.
3.4 Transformac¸o˜es injetoras, sobrejetoras, bijetoras
Definic¸a˜o 3.6. Uma transformac¸a˜o linear F : V →W diz-se:
(i) INJETORA (ou INJETIVA) quando nenhum par de vetores distintos tem a mesma imagem, isto
e´, se u 6= v (u, v ∈ V ) enta˜o F (u) 6= F (v).
Transformac¸o˜es Lineares 59
(ii) SOBREJETORA (ou SOBREJETIVA) quando a imagem de F e´ todo o espac¸o W, ou seja,
dado w ∈W existe v ∈ V tal que F (v) = w.
(iii) BIJETORA (ou BIJETIVA) quando F e´ injetora e sobrejetora.
O teorema a seguir, combinado com o Teorema 3.5, visa facilitar a classificac¸a˜o das transformac¸o˜es
lineares segundo a definic¸a˜o acima:
Teorema 3.7. Uma transformac¸a˜o linear T : V → W e´ injetora se, e somente se, kerT = {0}
(ou seja, quando o seu nu´cleo possui apenas o vetor nulo).
Demonstrac¸a˜o:
(⇒) Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear injetora.
Dado v ∈ kerT , temos T (v) = 0 = T (0).
Como T e´ injetora, enta˜o podemos concluir que v = 0.
Logo kerT = {0}.
(⇐) Suponhamos agora que kerT = {0}.
Sejam u, v ∈ V tais que T (u) = T (v). Como T e´ linear:
0 = T (u)− T (v) = T (u− v) ⇒ u− v ∈ kerT = {0} ⇒ u− v = 0 ⇒ u = v .
Portanto T e´ injetora.
Exemplos:
A) Seja T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (y, x,−2x) .
B) Seja T : IR4 → IR3 dada por T (x, y, z, w) = (x− y, w, z) .
C) Sejam V =M2×2(IR) e M =
[
1 0
1 0
]
uma matriz fixada.
Consideremos o operador linear F : M2×2(IR) → M2×2(IR) definido por F (A) = M.A , para
toda A ∈M2×2(IR).
D) Seja Rpi/2 : IR2 → IR2 a rotac¸a˜o de um aˆngulo θ = pi/2 (sentido anti-hora´rio).
60 CAPI´TULO 3
Teorema 3.8. Sejam T : V → W uma transformac¸a˜o linear, dim V = dim W < +∞ (isto, e´, V e
W teˆm mesma dimensa˜o, finita). Enta˜o sa˜o equivalentes:
(a) T e´ sobrejetora.
(b) T e´ bijetora.
(c) T e´ injetora.
(d) T “leva” bases de V em bases de W , ou seja, se BV = {v1, v2, . . . , vn} e´ base de V enta˜o
BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e´ base de W .
Demonstrac¸a˜o:
(a) ⇒ (b): T e´ sobrejetora ⇒ ImT =W ⇒ dim ImT = dimW .
Temos: dim ImT + dim kerT = dimV ⇒ dimW + dim kerT = dimV ⇒
⇒ dim kerT = 0 ⇒ kerT = {0} ⇒ T e´ injetora.
Logo T e´ bijetora.
(b) ⇒ (c): Imediato!
(c) ⇒ (d): Seja BV = {v1, v2, . . . , vn} uma base de V .
Mostremos que BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e´ LI.
Sejam c1, . . . , cn ∈ IK tais que c1T (v1) = . . .+ cnT (vn) = 0.
Como T e´ uma transformac¸a˜o linear: 0 = T (c1v1 + . . .+ cnvn).
Logo c1v1 + . . .+ cnvn ∈ kerT = {0}, pois T e´ injetora.
Assim, c1v1 + . . .+ cnvn = 0, o que implica em c1 = c2 = . . . = cn.
Enta˜o BW e´ LI e como dim V = dim W = n temos que BW e´ base de W .
(d) ⇒ (a): Seja w ∈W . Tome BV = {v1, v2, . . . , vn} base de V .
Temos enta˜o: BW = {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} e´ base de W ⇒
⇒ w = c1T (v1) + . . .+ cnT (vn) = T (c1v1 + . . .+ cnvn).
Portanto T e´ sobrejetora.
Transformac¸o˜es Lineares 61
3.5 Isomorfismos
Definic¸a˜o 3.9. Chama-se ISOMORFISMO uma transformac¸a˜o linear T : V → W que e´ bijetora.
Neste caso dizemos que os espac¸os vetoriais V e W sa˜o isomorfos e escrevemos V ∼=W .
Observac¸a˜o: Do ponto de vista da A´lgebra Linear, dois espac¸os vetoriais isomorfos sa˜o “in-
distingu´ıveis”, “semelhantes”, por possu´ırem a mesma estrutura vetorial (o que e´ garantido pelo
isomorfismo). Se ocorrer T : V → V linear e bijetora, temos um AUTOMORFISMO (um isomor-
fismo de V em si pro´prio).
Exemplos:
A) Seja T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (−x, y) .
(T representa uma reflexa˜o em torno do eixo (Oy)
B) Seja S : IR4 →M2×2(IR) dada por S(x, y, z, w) =
[
x y
z w
]
.
Alguns resultados:
Seja T : V → W um isomorfismo. Enta˜o T e´ bijetora e portanto admite uma func¸a˜o inversa
(tambe´m bijetora) T−1 : W → V , sendo T−1(T (v)) = v para todo v ∈ V e T (T−1(w)) = w para
todo w ∈W .
Conve´m enta˜o questionarmos: sera´ T−1 linear ??? A resposta e´...
Proposic¸a˜o 3.10. Se T : V → W e´ um isomorfismo enta˜o T−1 : W → V tambe´m e´ linear e
portanto tambe´m e´ um isomorfismo.
Outras proposic¸o˜es interessantes (considere espac¸os de dimensa˜o finita):
Proposic¸a˜o 3.11. Se T : V →W e´ um isomorfismo enta˜o dimV = dimW .
Proposic¸a˜o 3.12. Se dimV = dimW enta˜o existe um isomorfismo T : V →W .
Exemplo: Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x− 2y, z, x+ y).
Verifique que T e´ um isomorfismo e encontre T−1, isomorfismo inverso.
62 CAPI´TULO 3
Exerc´ıcios:
1) Classifique as transformac¸o˜es lineares dos exerc´ıcios 1, 2 e 3 da Sec¸a˜o 3.3 quanto a` injetividade
e a` sobrejetividade.
2) DadosT : U → V linear e injetora e u1, . . . , uk vetores LI em U , mostre que o conjunto
{T (u1), . . . , T (uk)} e´ LI.
3) Deˆ, quando poss´ıvel, exemplos de transformac¸o˜es lineares T, S, L,M,H satisfazendo:
(a) T : IR3 → IR2 sobrejetora.
(b) S : IR3 → IR2 com kerS = {(0, 0, 0)} .
(c) L : IR3 → IR2 com ImL = {(0, 0)} .
(d) M :M2×2(C)→ P3(C) bijetora (isomorfismo).
(e) H : P2(IR)→ IR4 bijetora (isomorfismo).
4) Sejam L : IR∞ → IR∞ dada por L(x1, x2, x3, . . .) = (x2, x3, x4, . . .) e R : IR∞ → IR∞ dada
por R(x1, x2, x3, . . .) = (0, x1, x2, . . .) .
Classifique as transformac¸o˜es lineares L e R quanto a` injetividade e a` sobrejetividade.
Este exerc´ıcio mostra que o Teorema 3.8 na˜o vale para espac¸os de dimensa˜o infinita.
5) Seja T o operador linear sobre IR3 dado por T (x, y, z) = (3x, x− y, 2x+ y + z).
Verifique se T e´ invert´ıvel e, em caso afirmativo, determine T−1.
6) Seja P : C3 → C3 o operador linear sobre C3 tal que P (1, 0, 0) = (1, 0, i) , P (0, 1, 0) = (0, 1, 1) ,
P (0, 0, 1) = (i, 1, 0). Verifique se P e´ isomorfismo (transformac¸a˜o linear bijetora).
3.6 Representac¸a˜o de transformac¸o˜es por matrizes
Veremos agora que, sob certas condic¸o˜es, toda transformac¸a˜o linear T : V → W (sendo V e
W espac¸os de dimensa˜o finita) pode ser representada por uma matriz. A partir da´ı, vamos simplificar
o estudo das transformac¸o˜es lineares atrave´s do estudo das matrizes que as representam.
(Exemplos)
Os exemplos anteriores podem ser generalizados:
Proposic¸a˜o 3.13. Sejam V e W espac¸os vetoriais, β = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V ,
β′ = {w1, w1, . . . , wm} uma base ordenada de W .
Para cada transformac¸a˜o linear T : V →W existe uma (u´nica) m×n matriz A que representa
a transformac¸a˜o T com relac¸a˜o a`s bases β e β′, isto e´:
[T (v)]β′ = A. [v]β para todo vetor v ∈ V (escrevemos A = [T ]ββ′ ) .
Transformac¸o˜es Lineares 63
Demonstrac¸a˜o:
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V →W , como β′ e´ base de W , temos:
T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . .+ am1wm
T (v2) = a12w1 + a22w2 + . . .+ am2wm
...
T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . .+ amnwm .
Para todo vetor v ∈ V temos: v = c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn.
Enta˜o:
T (v) = T (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = c1T (v1) + c2T (v2) + . . .+ cnT (vn) =
= c1a11w1 + c1a21w2 + . . .+ c1am1wm +
+ c2a12w1 + c2a22w2 + . . .+ c2am2wm +
. . .
+ cna1nw1 + cna2nw2 + . . .+ cnamnwm .
Buscando as coordenadas de T (v) em relac¸a˜o a` base β′:
T (v) = (a11c1 + a12c2 + . . .+ a1ncn)w1 + (a21c1 + a22c2 + . . .+ a2ncn)w2 + . . .
. . . + (am1c1 + am2c2 + . . .+ amncn)wm .
Temos enta˜o:
[T (v)]β′ =

a11c1 + a12c2 + . . .+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + . . .+ a2ncn
...
am1c1 + am2c2 + . . .+ amncn
 =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 .

c1
c2
...
cn
 = A. [v]β .
Onde: 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 = A = [T ]ββ′ .
Observe que, fixadas as bases β e β′, a matriz A = [T ]ββ′ e´ obtida de modo u´nico !!!
64 CAPI´TULO 3
Atenc¸a˜o: E´ importante termos sempre em mente que:
A primeira coluna da matriz A = [T ]ββ′ (que representa a transformac¸a˜o linear T relativamente a`s
bases β e β′) e´ a matriz das coordenadas de T (v1) em relac¸a˜o a` base β′ .
A segunda coluna da matriz A = [T ]ββ′ e´ [T (v2)]β′ .
A terceira coluna da matriz A = [T ]ββ′ e´ [T (v3)]β′ .
...
A i-e´sima coluna da matriz A = [T ]ββ′ e´ [T (vi)]β′ para todo i = 1, 2, . . . , n .
Exemplos:
A) Sejam β a base canoˆnica do IR2 e β′ a base canoˆnica do IR3. Considere a transformac¸a˜o linear
T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (x+ y, y, y − x) e obtenha [T ]ββ′ .
B) Sendo T : IR3 → IR2 dada por T (x, y, z) = (2x − y + z, 3x + y − 2z) (linear) e considerando
α = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} base do IR3 e β = {(2, 1), (5, 3)} base do IR2, obtenha [T ]αβ .
C) Sendo D : P2(C) → P2(C) o operador derivac¸a˜o e considerando as bases α =
{
1, x, x2
}
e
β =
{
1 + x, 1− x, x2} de P2(C), obtenha [D]αα, [D]βα, [D]αβ e [D]ββ .
D) Sejam β =
{[
2 1
0 0
]
,
[
1 0
−1 1
]
,
[
0 1
1 1
]
,
[
−1 0
0 3
]}
base de M2×2(IR) ,
α = {(−1, 0), (1, 2)} base do IR2 e T :M2×2(IR)→ IR2 dada por
T
( [
a b
c d
] )
= (a+ d, b+ c) .
Obtenha [T ]βα.
Um caso especial: Operadores lineares e mudanc¸a de base
Sejam V um espac¸o vetorial sobre um corpo IK, α = {v1, v2, . . . , vn} , β = {w1, w2, . . . , wn}
bases ordenadas de V (dimV = n).
Dado um operador linear T : V → V , T e´ representado pelas matrizes:
[T ]αα (em relac¸a˜o a` base α) e [T ]
β
β (em relac¸a˜o a` base β) .
Pergunta-se: Existe alguma relac¸a˜o entre [T ]αα e [T ]
β
β ? A resposta e´...
Transformac¸o˜es Lineares 65
... SIM !
Para todo vetor v ∈ V , temos:
[Tv]β = [I]
α
β . [Tv]α = [I]
α
β . [T ]
α
α . [v]α = [I]
α
β . [T ]
α
α . [I]
β
α . [v]β .
Enta˜o, pela unicidade da matriz representante de T em relac¸a˜o a` base β, temos que
[T ]ββ = [I]
α
β . [T ]
α
α . [I]
β
α .
Como [I]αβ =
(
[I]βα
)−1
, podemos concluir tambe´m que
[T ]αα = [I]
β
α . [T ]
β
β . [I]
α
β .
Definic¸a˜o 3.14. Duas n×n matrizes A e B sobre um corpo IK sa˜o chamadas SEMELHANTES
quando existir uma n× n matriz invert´ıvel P (sobre IK) tal que
B = P−1.A.P
Portanto, se T : V → V e´ um operador linear e α, β sa˜o bases de V , enta˜o as matrizes [T ]αα e
[T ]ββ sa˜o semelhantes.
Podemos enta˜o concluir que mudanc¸as de base constituem uma fonte natural de ma-
trizes semelhantes !
Exemplos:
A) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y) .
(a) Obtenha [T ] (matriz representante de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica).
(b) Se β = { (3, 6), (−2, 1) } (base do IR2), obtenha [T ]ββ .
B) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear tal que [T ] (matriz representante de T em relac¸a˜o a` base
canoˆnica) e´ dada por
[T ] =
[
5 −4
8 −7
]
.
(a) T (x, y) = ? Ou melhor: obtenha o operador T .
(b) Obtenha vetores v e w em IR2 tais que T (v) = 1.v e T (w) = (−3).w .
(c) Verifique se β = {v, w} e´ base do IR2 e, em caso afirmativo, obtenha [T ]ββ .
66 CAPI´TULO 3
Exerc´ıcios:
1) Seja T : IR3 → IR2 a transformac¸a˜o linear dada por T (x, y, z) = (x+ y, 2z − x) .
(a) Obtenha [T ]ββ′ , sendo β e β
′ respectivamente as bases canoˆnicas de IR3 e IR2.
(b) Obtenha [T ]αα′ , considerando as bases ordenadas α = { (1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0) } de IR3 e
α′ = { (0, 1), (1, 0) } de IR2 .
2) Seja T : C2 → C2 o operador linear dado por T (x, y) = (x, 0) e considere as bases ordenadas
α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, i), (−i, 2)} de C2.
(a) Obtenha [T ]αα , [T ]
β
α , [T ]
α
β e [T ]
β
β .
(b) Obtenha a matriz de T em relac¸a˜o a` base ordenada {(−i, 2), (1, i)} .
3) Seja S : IR3 → IR3 o operador linear sobre IR3 tal que [S] =
 0 1 −21 −1 1
0 0 0
.
Obtenha S(x, y, z).
4) Sejam β =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
base de M2×2(IR) ,
α = {(1, 0), (0, 1)} base do IR2 e T : IR2 →M2×2(IR) tal que [T ]αβ =

2 1
1 −1
−1 0
0 1
 .
Obtenha T (x, y).
5) Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de IR2 e IR3 .
(a) Se S : IR2 → IR3 e´ dada por S(x, y) = (2y, x− y, x) , obtenha [S]αβ .
(b) Se T : IR2 → IR3 e´ tal que [T ]αβ =
 1 01 1
0 −1
 , ache T , isto e´, T (x, y).
(c) Ache uma base γ de IR3 tal que [T ]αγ =
 1 00 0
0 1
 .
6) Seja P3(IR) o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 3 sobre IR e considere o
operador linear derivac¸a˜o D : P3(IR)→ P3(IR) dado por
D(a0 + a1x+ a2x2 + a3x3) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 .
Transformac¸o˜es Lineares 67
Considerando a base β =
{
1, x− 1, (x− 1)2,(x− 1)3} de P3(IR) , encontre [D]ββ (matriz represen-
tante de D em relac¸a˜o a` base β).
7) Consideremos a matriz A =
[
5 3
−6 −4
]
. Um problema fundamental da A´lgebra Linear consiste
em obter uma matriz B, semelhante a` matriz A (isto e´, B = P−1.A.P com P invert´ıvel) tal que B
seja o mais SIMPLES poss´ıvel!
Ora, sabemos que uma fonte natural de matrizes semelhantes e´ a mudanc¸a de base na representac¸a˜o
de transformac¸o˜es lineares, ou seja, se α e β sa˜o bases de um espac¸o vetorial V (de dimensa˜o
finita) e T : V → V e´ um operador linear sobre V , enta˜o [T ]αα e [T ]ββ sa˜o semelhantes.
Assim sendo, vamos considerar uma transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR2 tal que A = [T ] (A e´ a
matriz representante de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de IR2). Obtenha T (x, y).
Encontrar uma matriz simples e semelhante a` matriz A significa enta˜o obter uma base β = {u, v}
do IR2 tal que B = [T ]ββ seja simples. As matrizes mais simples poss´ıveis sa˜o as matrizes diagonais.
Vamos tentar enta˜o obter uma base β tal que
B = [T ]ββ =
[
λ1 0
0 λ2
]
Isto significa enta˜o que, sendo β = {u, v} , teremos T (u) = λ1.u e T (v) = λ2.v .
Encontre valores de λ1 e λ2 tais que existam vetores na˜o-nulos u e v que satisfac¸am as condic¸o˜es
acima. Obtenha enta˜o u e v e verifique se β = {u, v} e´ base de IR2. Finalmente, obtenha a matriz
B = [T ]ββ (que ja´ sabemos ser semelhante a` matriz A).
8) Seja W o subespac¸o do IR3 dado por W =
{
(x, y, z) ∈ IR3 ; x+ 2y − z = 0 } .
(W e´ um PLANO que passa pela origem)
Consideremos agora a transformac¸a˜o linear R : IR3 → IR3 que e´ uma REFLEXA˜O em torno do
plano W .
Obtenha a expressa˜o para R(x, y, z).
Sugesta˜o:
(a) Obtenha uma base β′ = {v, w} para W (espera-se que dimW = 2).
(b) Sabemos da Geometria Anal´ıtica (e veremos mais adiante neste curso) que o vetor u = (1, 2,−1)
e´ perpendicular (ortogonal) ao plano W (e´ um chamado vetor NORMAL ao plano).
Mostre que β = β′ ∪ {u} = {v, w, u} e´ uma base do IR3 (isto tambe´m e´ esperado - por queˆ ?).
(c) E´ fa´cil perceber o efeito da transformac¸a˜o R na base β e assim obter [R]ββ .
(d) A partir de [R]ββ , obtenha [R] e da´ı fica fa´cil descobrir R(x, y, z) .
68 CAPI´TULO 3
3.7 Composic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares
Definic¸a˜o 3.15. Sejam V, W, Z espac¸os vetoriais, T : V → W e U : W → Z transformac¸o˜es
lineares. Podemos construir a func¸a˜o composta (U ◦ T ) : V → Z dada por
(U ◦ T )v = U(Tv) ∀ v ∈ V
Podemos indagar: Sera´ U ◦ T linear? A resposta e´ ... SIM!
De fato:
(U ◦ T )(v + w) = U(T (v + w)) = U(Tv + Tw) = U(Tv) + U(Tw) = (U ◦ T )v + (U ◦ T )w
(U ◦ T )(k.v) = U(T (k.v)) = U(k.Tv) = k.U(Tv) = k.(U ◦ T )v
Logo U ◦ T e´ linear.
Exemplo: Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR2 → IR2 dadas por
R(x, y) = (x, x− y) e S(x, y) = (2y, x) ∀ (x, y) ∈ IR2 .
Determine R ◦ S : IR2 → IR2 e S ◦R : IR2 → IR2 .
Composic¸a˜o e matrizes representantes
Sejam V, W e Z espac¸os vetoriais (todos de dimensa˜o finita), α base de V , β base de W e
γ base de Z. Sejam T : V →W e U :W → Z transformac¸o˜es lineares.
Acabamos de ver que (U ◦ T ) : V → Z e´ linear.
Nos interessa agora estabelecer uma relac¸a˜o entre a matriz representante da composta U ◦ T e
as matrizes representantes de U e T (fixadas as bases dos respectivos espac¸os) que possa nos ajudar
a obter informac¸o˜es sobre a composta de um modo mais direto.
Nesse sentido, verificamos a existeˆncia da importante relac¸a˜o dada abaixo:
[U ◦ T ]αγ = [U ]βγ . [T ]αβ .
Transformac¸o˜es Lineares 69
De fato:
Para todo vetor v ∈ V temos [(U ◦ T )v]γ = [U(Tv)]γ = [U ]βγ . [Tv]β = [U ]βγ . [T ]αβ . [v]α .
Pela unicidade da matriz representante [U ◦ T ]αγ , podemos concluir que
[U ◦ T ]αγ = [U ]βγ . [T ]αβ .
Exemplo: Sejam R : IR2 → IR3 e S : IR3 → IR2 dadas por R(x, y) = (x, x + y, y) e
S(x, y, z) = (z − x, z).
Sejam α = {(1,−1), (−2, 1)} base do IR2 , β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base canoˆnica do
IR3 e γ = {(1, 0), (0, 1)} a base canoˆnica do IR2.
Obtenha: [R ◦ S] , [S ◦R] , [S ◦R]αγ e [S ◦R]γα
A proposic¸a˜o seguinte e´ uma consequeˆncia da representac¸a˜o da composic¸a˜o por matrizes:
Proposic¸a˜o 3.16. Sejam V e W espac¸os vetoriais, de mesma dimensa˜o (finita),
T : V →W uma transformac¸a˜o linear, α uma base de V e β uma base de W .
As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) T e´ invert´ıvel (bijetora, isomorfismo)
(ii) A matriz [T ]αβ e´ invert´ıvel
Em caso afirmativo, temos ainda [
T−1
]β
α
=
(
[T ]αβ
)−1
Exemplo: Seja T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (x− y, 2y − x).
Mostre que T e´ invert´ıvel e determine T−1.
Exerc´ıcios:
1) Sejam R : IR2 → IR3 e S : IR3 → IR2 as transformac¸o˜es lineares dadas por
R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x) .
Obtenha [R ◦ S] e [S ◦R].
2) Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR3 → IR2 transformac¸o˜es lineares tais que
[R] =
[
1 2
−1 3
]
e [S] =
[
1 0 −1
2 1 1
]
.
70 CAPI´TULO 3
Sabemos que R ◦ S : IR3 → IR2. Obtenha R ◦ S (x, y, z).
3) No plano, uma rotac¸a˜o anti-hora´ria de 45o e´ seguida por uma dilatac¸a˜o (homotetia) de
√
2 .
Ache a aplicac¸a˜o A : IR2 → IR2 que representa esta transformac¸a˜o do plano.
(Sugesta˜o: a aplicac¸a˜o procurada e´ uma composic¸a˜o de duas transformac¸o˜es lineares. Encontre sua
matriz em relac¸a˜o a` base canoˆnica do IR2 atrave´s das matrizes das transformac¸o˜es que a compoem).
4) Qual e´ a aplicac¸a˜o A : IR2 → IR2 que representa uma contrac¸a˜o (homotetia) de 1/√2 seguida
de uma rotac¸a˜o hora´ria de 45o ?
5) Sejam R e S operadores lineares sobre IR3 tais que
[R] =
 1 0 12 1 1
0 −1 1
 e [S] =
 −2 1 −13 1 2
1 −2 0
 .
Encontre T : IR3 → IR3 tal que R = S ◦ T .
6) Seja T : IR2 → IR2 uma reflexa˜o atrave´s da reta y = 3x.
(a) Encontre T (x, y) .
(b) Obtenha uma base α de IR2 tal que
[T ]αα =
[
1 0
0 −1
]
.
3.8 Posto e Nulidade de uma transformac¸a˜o linear
Ao final da sec¸a˜o 3.3 definimos, para uma transformac¸a˜o linear T : V →W de V em W
(espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita):
POSTO de T = dim ImT (dimensa˜o da imagem de T ).
NULIDADE de T = dim kerT (dimensa˜o do nu´cleo de T ).
Um resultado de utilidade pra´tica na obtenc¸a˜o do posto e da nulidade de T e´ o seguinte:
Proposic¸a˜o 3.17. Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear de V em W (espac¸os vetoriais de
dimensa˜o finita). Dadas duas bases, α de V e β de W , temos
Posto de T = Posto de [T ]αβ = nu´mero de linhas na˜o-nulas da matriz linha-reduzida a` forma
escada que e´ linha-equivalente a` matriz [T ]αβ .
Nulidade de T = (nu´mero de colunas de [T ]αβ ) - (Posto de T ).
Transformac¸o˜es Lineares 71
Exerc´ıcios:
1) Seja T : IR3 → IR4 a transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y, z) = (x+ 5y + 9z, 2x+ 6y + 10z, 3x+ 7y + 11z, 4x+ 8y + 12z) .
Obtenha dim ImT (posto de T ) e dim kerT (nulidade de T ).
2) Sejam R : IR2 → IR2 e S : IR4 → IR3 transformac¸o˜es lineares tais que
[R] =
[
1 2
1 3
]
e [S] =
 1 0 −1 22 1 1 2
1 0 −1 2
 .
Obtenha o posto e a nulidade de cada uma das transformac¸o˜es acima.
72 CAPI´TULO 3
Cap´ıtulo 4
Formas Canoˆnicas
Neste cap´ıtulo estaremos interessados em, dado um operador linear T : V → V sobre um espac¸o
de dimensa˜o finita, obter uma base β de V tal que [T ]ββ (matriz representante de T em relac¸a˜o a`
base β ) seja a mais simples poss´ıvel (formas canoˆnicas), no sentido de que possamos operar mais
facilmente com a mesma.
4.1 Autovalores e autovetores
Ao buscarmos uma base β de V que torne simples [T ]ββ , o primeiro tipo (mais simples) de
matriz que surge e´ a matriz diagonal. Assim sendo, queremos que [T ]ββ seja, ou pelo menos se
aproxime de, uma matriz diagonal. Somos enta˜o levados naturalmente a procurar, para formarmos
a base β, vetores (obviamente na˜o-nulos, pois ira˜o compor uma base) v ∈ V tais que existamescalares λ ∈ IK com T (v) = λ.v .
Definic¸a˜o 4.1. Seja T : V → V um operador linear (V sobre um corpo IK). Um escalar λ ∈ IK e´
dito um AUTOVALOR de T quando existir um vetor na˜o-nulo v ∈ V tal que
T (v) = λ.v .
Um vetor v que cumpra esta condic¸a˜o e´ dito um AUTOVETOR associado ao autovalor λ.
Se λ e´ um autovalor de T : V → V , o subespac¸o Vλ = {v ∈ V ; T (v) = λ.v} (subespac¸o vetorial
de V - exerc´ıcio) e´ chamado o SUBESPAC¸O ASSOCIADO AO AUTOVALOR λ ou AUTOESPAC¸O
ASSOCIADO A λ .
Obs.: Outras denominac¸o˜es:
Autovalores: valores caracter´ısticos, valores pro´prios.
Autovetores: vetores caracter´ısticos, vetores pro´prios.
73
74 CAPI´TULO 4
Exemplos:
A) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (4x+ 5y, 2x+ y).
v = (5, 2) e´ um autovetor do operador T .
w = (2, 1) na˜o e´ um autovetor do operador T .
B) Nem todo operador T : V → V possui autovetores !
Seja T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (−y, x). T na˜o possui autovetores.
C) Proposic¸a˜o: Dado um operador linear T : V → V e um autovetor v associado a um autovalor
λ ( T (v) = λ.v ) enta˜o, dado k ∈ IK (k 6= 0) , k.v tambe´m e´ um autovetor associado ao mesmo
autovalor λ .
D) Seja T : IR2 → IR2 o operador dado por T (x, y) = (x,−y) . Encontre os autovalores e
autovetores de T .
E) Seja T : IR2 → IR2 o operador dado por T (x, y) = (−3x+2y,−4x+3y) . Encontre os autovalore
e autovetores de T .
F) Seja T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (2x,−z, y) . Encontre os autovalores e autovetores de T .
Autovalores de uma matriz:
Definic¸a˜o 4.2. Dada uma n×n matriz A sobre um corpo IK, definimos os autovetores e autovalores
de A como os mesmos do operador T : IKn → IKn tal que [T ] = A.
4.2 Obtendo autovalores e autovetores
Sejam T : IKn → IKn (lembremos que IK = IR ou C) um operador linear e a n× n matriz A tal
que A = [T ] (A e´ a matriz que representa T em relac¸a˜o a` base canoˆnica).
Para obtermos os autovalores e autovetores de T e A, procederemos da mesma forma que nos
exemplos anteriores:
Queremos obter λ ∈ IK e v = (x1, x2, . . . , xn) 6= (0, 0, . . . , 0), v ∈ IKn tais que
T (v) = λ.v , ou seja, λ.v − T (v) = 0 (vetor nulo).
O que tambe´m pode ser descrito como: λ.I(v)− T (v) = 0 ⇔ (λ.I − T )(v) = 0 .
Formas Canoˆnicas 75
Na forma matricial:
λx1
λx2
...
λxn
−A.

x1
x2
...
xn
 =

0
0
...
0
 ⇔ (λ.I −A) .

x1
x2
...
xn
 =

0
0
...
0
 (∗)
Para que o sistema (∗) acima possua soluc¸o˜es na˜o-triviais (lembremos que estamos buscando
vetores na˜o-nulos v), devemos ter
det(λI −A) = 0 .
Portanto, os valores caracter´ısticos do operador T (e da matriz A) sa˜o exatamente os escalares
λ ∈ IK tais que det(λI −A) = 0 (equac¸a˜o caracter´ıstica da matriz A ou do operador T ).
Definic¸a˜o 4.3. Definimos o POLINOˆMIO CARACTERI´STICO da matriz A como sendo o polinoˆmio
pA(x) = det(xI −A) .
Consequeˆncias:
(a) Como A e´ uma n× n matriz sobre o corpo IK, seu polinoˆmio caracter´ıstico sera´ um polinoˆmio
de grau n e coeficientes em IK.
(b) Se duas n×n matrizes A e B sa˜o semelhantes enta˜o elas teˆm o mesmo polinoˆmio caracter´ıstico.
Esta consequeˆncia nos permite definir o POLINOˆMIO CARACTERI´STICO DE UMOPERADOR
T : V → V , pT (x), como o polinoˆmio caracter´ıstico de qualquer matriz representante de T , [T ]ββ
em relac¸a˜o a uma base β de V .
(c) E´ claro que os autovalores de A (e portanto de T ) sa˜o as ra´ızes do seu polinoˆmio caracter´ıstico e
usaremos o sistema (∗) acima para determinar seus autovetores.
Obs.: Se tivermos T : V → V, dim V = n e V 6= IKn (por exemplo, se V e´ um espac¸o de
polinoˆmios ou matrizes), enta˜o escolha uma base α de V e a partir da´ı cada vetor v ∈ V podera´ ser
representado por sua n-upla de coordenadas em relac¸a˜o a` base α, ou seja, podemos tomar os mesmos
procedimentos acima, como se estive´ssemos no espac¸o IKn (isomorfismo entre espac¸os de polinoˆmios
ou matrizes e espac¸os do tipo IKn).
Apeˆndice: Um pouco sobre polinoˆmios:
Um polinoˆmio p(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn de grau n tem no ma´ximo n ra´ızes distintas.
76 CAPI´TULO 4
Um escalar λ e´ raiz de um polinoˆmio p(x) se, e somente se, p(x) e´ divis´ıvel por (x− λ).
Se p(x) e´ um polinoˆmio com coeficientes reais e o nu´mero complexo a+ ib e´ raiz de p(x) enta˜o
seu conjugado a− ib tambe´m e´ raiz de p(x).
Exemplo: Seja T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z).
Obtenha os autovalores e autovetores de T .
Exerc´ıcios:
1) Ache os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares dados abaixo:
(a) T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (2y, x) .
(b) S : IR2 → IR2 dado por S(x, y) = (x+ y, 2x+ y) .
(c) L : IR3 → IR3 dado por L(x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z) .
(d) M :M2×2(C)→M2×2(C) dado por M(A) = At (transposta de A).
(e) H : P2(IR)→ P2(IR) dado por H(ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b .
(f) U : IR4 → IR4 dado por U(x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w) .
2) Encontre o operador linear T : IR2 → IR2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos
autovetores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente.
3) Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
(a) A =
[
1 2
0 −1
]
(b) B =
[
1 1
1 1
]
(c) C =
 1 2 30 1 2
0 0 1

(d) D =
 3 −3 −40 3 5
0 0 −1
 (e) E =
 1 0 2−1 0 1
1 1 2
 (f) F =
 1 1 21 2 1
2 1 1

(g) G =
 0 1 00 0 1
−1 0 0
 (h) H =
 1 3 −30 4 0
−3 3 1
 (i) I =
 −1 −4 142 −7 14
2 −4 11

(j) J =

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0

Formas Canoˆnicas 77
4) Seja T : V → V um operador linear.
Se λ = 0 e´ autovalor de T , mostre que T na˜o e´ injetora.
A rec´ıproca e´ verdadeira? Ou seja, se T na˜o e´ injetora, λ = 0 e´ autovalor de T ?
5) Sejam A =
[
0 2
1 1
]
e T : IR2 → IR2 tal que [T ] = A.
(a) Mostre que T e´ invert´ıvel (bijetora, isomorfismo) e obtenha T−1.
(b) Mostre que os autovalores de qualquer operador linear invert´ıvel na˜o sa˜o nulos, ou seja,
λ = 0 na˜o pode ser autovalor de T , se T for invert´ıvel.
(Sugesta˜o: Deˆ uma olhada no exerc´ıcio anterior)
(c) Obtenha os autovalores e autovetores correspondentes de T e T−1 (o mesmo que obter os
de A e A−1).
(d) Generalize o resultado obtido na letra (c) acima, para um operador invert´ıvel T : V → V .
6) Seja A =
 −1 −2 00 −1 1
1 0 0
. Obtenha os autovalores e autovetores de A ...
(a) ... sobre o corpo IR dos nu´meros reais.
(b) ... sobre o corpo C dos nu´meros complexos.
4.3 Forma diagonal: a primeira forma canoˆnica
Base de autovetores, operadores diagonaliza´veis:
Seja T : V → V (dim V = n) um operador linear.
Se V possui uma base β = {v1, v2, . . . , vn} de autovetores de T , temos:
T (v1) = λ1.v1
T (v2) = λ2.v2
...
T (vn) = λn.vn
⇒ [T ]ββ =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn

Assim sendo, a matriz representante de T em relac¸a˜o a` base β e´ diagonal.
78 CAPI´TULO 4
Reciprocamente, se γ = {w1, w2, . . . , wn} e´ uma base de V tal que [T ]γγ e´ diagonal:
[T ]γγ =

a1 0 . . . 0
0 a2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . an
 ⇒
T (w1) = a1.w1
T (w2) = a2.w2
...
T (wn) = an.wn .
Logo γ e´ uma base de autovetores de T .
Portanto T : V → V admite uma base β (de V ) de autovetores se, e somente se, [T ]ββ e´ uma
matriz diagonal.
Definic¸a˜o 4.4. Seja T : V → V um operador linear.
T e´ um operador DIAGONALIZA´VEL se, e somente se, existe uma base de V cujos elementos sa˜o
(todos) autovetores de T .
Exemplos:
A) Seja T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (−3x+ 4y,−x+ 2y).
T e´ diagonaliza´vel ?
B) Seja T : IR2 → IR2 tal que [T ] =
[
a −b
b a
]
, a, b ∈ IR, b 6= 0.
T e´ diagonaliza´vel ?
C) Seja T : IR3 →IR3 tal que [T ] =
 3 0 −40 3 5
0 0 −1
. T e´ diagonaliza´vel ?
D) Seja T : IR3 → IR3 tal que [T ] =
 3 −3 −40 3 5
0 0 −1
. T e´ diagonaliza´vel ?
Uma propriedade importante: Autovetores associados a autovalores distintos sa˜o linearmente
independentes (LI).
Consequeˆncia: Se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e um operador linear T : V → V
possui n autovalores distintos, enta˜o T e´ diagonaliza´vel.
Formas Canoˆnicas 79
4.4 Polinoˆmio minimal (ou mı´nimo)
Polinoˆmio minimal de uma matriz:
Definic¸a˜o 4.5. Sejam p(x) = alxl + al−1xl−1 + . . . + a1x + a0 um polinoˆmio e A uma matriz
quadrada. Enta˜o p(A) (leˆ-se p aplicado em A) e´ a matriz:
p(A) = alAl + al−1Al−1 + . . .+ a1A+ a0I .
Quando p(A) = 0 (matriz nula), dizemos que o polinoˆmio p ANULA a matriz A .
Exemplo: Sejam A =
[
−2 −1
3 2
]
, p(x) = 2x2 − x+ 3, q(x) = x2 − 1 .
Definic¸a˜o 4.6. Seja A uma matriz quadrada. O POLINOˆMIO MINIMAL (ou MI´NIMO) de A e´
um polinoˆmio mA(x) = xk + ak−1xk−1 + . . .+ a1x+ a0 tal que
(i) mA(A) = 0 (mA anula a matriz A).
(ii) mA(x) e´ o polinoˆmio de menor grau entre aqueles que anulam A.
Veremos a seguir alguns crite´rios que ajudara˜o a obter o polinoˆmio minimal de uma matriz:
Teorema 4.7. Se um polinoˆmio f(x) anula a matriz A enta˜o f e´ divis´ıvel pelo polinoˆmio minimal
de A.
Teorema 4.8. (Cayley-Hamilton) O polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz anula essa matriz.
Teorema 4.9. As ra´ızes do polinoˆmio minimal sa˜o as mesmas ra´ızes (reais ou complexas) do
polinoˆmio caracter´ıstico da matriz considerada.
Se combinarmos os treˆs resultados anteriores temos um bom me´todo para a obtenc¸a˜o de “can-
didatos a polinoˆmio minimal” de uma matriz dada.
Observe que o polinoˆmio minimal de uma matriz dada deve ser um divisor do polinoˆmio
caracter´ıstico dessa matriz e possuir as mesmas ra´ızes.
Por exemplo, se pA(x) = (x+ 2)2(x− 1)(x− 3)2 e´ o polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz A
enta˜o os candidatos a polinoˆmio minimal sa˜o:
80 CAPI´TULO 4
f1(x) = (x+ 2)(x− 1)(x− 3)
f2(x) = (x+ 2)2(x− 1)(x− 3)
f3(x) = (x+ 2)(x− 1)(x− 3)2
f4(x) = (x+ 2)2(x− 1)(x− 3)2 = pA(x)
Dentre estes, o de menor grau que anular a matriz A sera´ o polinoˆmio minimal de A.
Exemplos:
A) Obtenha o polinoˆmio minimal da matriz A =
 1 2 30 1 2
0 0 1
 .
B) Obtenha o polinoˆmio minimal da matriz B =
 2 2 21 3 2
−1 −2 −1
 .
C) Obtenha o polinoˆmio minimal da matriz C =

2 0 0 0
1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 −1
 .
D) Obtenha o polinoˆmio minimal da matriz D =

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0
 .
Polinoˆmio minimal de um operador linear:
Definic¸a˜o 4.10. Definimos o polinoˆmio minimal de um operador T : V → V como o polinoˆmio
minimal de qualquer matriz representante de T , [T ]ββ (onde β e´ uma base qualquer de V ).
O resultado a seguir justifica a obtenc¸a˜o do polinoˆmio minimal de um operador linear:
Teorema 4.11. Um operador linear T : V → V e´ diagonaliza´vel se, e somente se, o polinoˆmio
minimal de T e´ da forma
mT (x) = (x− λ1).(x− λ2) . . . (x− λr) , com λ1, λ2, . . . , λr autovalores distintos.
Formas Canoˆnicas 81
Exemplos:
A) Seja T : IR4 → IR4 dado por T (x, y, z, w) = (3x− 4z, 3y + 5z,−z,−w).
Obtenha o polinoˆmio minimal de T . T e´ diagonaliza´vel ?
B) T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x+ y, y,−2z) e´ diagonaliza´vel ?
C) Seja T : IR2 → IR2 o operador linear dado por T (x, y) = (x− y, 2x− y).
Obtenha o polinoˆmio minimal de T . T e´ diagonaliza´vel ? E se considerarmos T : C2 → C2 ?
Exerc´ıcios:
1) Dentre os operadores do exerc´ıcio 1 da Sec¸a˜o 4.2, quais sa˜o diagonaliza´veis ?
2) Uma n × n matriz quadrada A sobre um corpo IK e´ dita diagonaliza´vel quando o operador
linear T : IKn → IKn tal que [T ] = A for diagonaliza´vel.
Quais matrizes do exerc´ıcio 3 da Sec¸a˜o 4.2 sa˜o diagonaliza´veis ?
3) Para quais valores de a as matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis ?
(a) A =
[
1 1
0 a
]
. (b) B =
[
1 a
0 1
]
.
4) Seja T : IR3 → IR3 um operador linear tal que
[T ] =
 2 0 10 −3 1
0 0 −3
 .
Se for poss´ıvel, encontre uma base γ de IR3 tal que [T ]γγ seja diagonal.
5) Mostre que a matriz A =
[
1 2
3 2
]
e´ semelhante a` matriz B =
[
4 0
0 −1
]
, exibindo uma
matriz invert´ıvel P tal que B = P−1.A.P .
6) Mostre que ...
(a) ... duas matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante.
(b) ... se uma matriz quadrada A e´ diagonaliza´vel, o determinante de A a´ o produto de seus
autovalores.
82 CAPI´TULO 4
7) Diz-se que um operador linear T : V → V e´ NILPOTENTE se existir um nu´mero inteiro e
positivo k tal que T k = 0 (operador nulo), isto e´, T ◦ T ◦ T ◦ . . . ◦ T (v) = 0 para todo v ∈ V .
a) Seja T nilpotente. Encontre seus autovalores. (Sugesta˜o: observe que xk anula T )
b) Encontre uma matriz A = [T ] , T : IR3 → IR3 , com T nilpotente e na˜o-nulo.
c) Mostre que um operador linear nilpotente, na˜o-nulo, na˜o e´ diagonaliza´vel.
8) Diz-se que um operador linear T : V → V e´ IDEMPOTENTE se T 2 = T , isto e´, quando
T ◦ T (v) = T (v) para todo v ∈ V .
a) Seja T idempotente. Encontre seus autovalores.
b) Encontre uma matriz A = [T ] , T : IR4 → IR4 , com T idempotente, na˜o-nulo e A 6= I .
c) Mostre que todo operador linear idempotente e´ diagonaliza´vel.
9) Mostre que A =
 3 0 00 2 −5
0 1 −2
 na˜o e´ diagonaliza´vel sobre o corpo IR dos nu´meros reais, mas
se A representar, numa certa base, um operador linear T : V → V , onde V e´ um espac¸o vetorial
complexo, enta˜o T e´ diagonaliza´vel. Obtenha ainda uma matriz , sobre C, diagonal e que seja
semelhante a` matriz A.
10) Utilize a forma diagonal para obter An (n natural) nos seguintes casos
(a) A =
[
−3 4
−1 2
]
. (b) A =
 0 7 −6−1 4 0
0 2 −2
 .
Sugesta˜o: Ache uma matriz B semelhante a` matriz A (A = P−1.B.P ) tal que seja fa´cil de calcular
Bn (busque B diagonal) e observe que An = (P−1.B.P )n = P−1.Bn.P .
4.5 Matriz companheira
Seja f(x) = xn+ an−1xn−1+ . . .+ a1x+ a0 um polinoˆmio cujo coeficiente do termo de mais alto
grau e´ igual a 1.
Chama-se MATRIZ COMPANHEIRA DE f (ou matriz associada ao polinoˆmio f) a` n×n matriz
quadrada Cf onde todos os elementos da “subdiagonal principal” (“paralela” a` principal e logo
abaixo) sa˜o iguais a 1, cuja u´ltima coluna e´ formada pelos opostos dos coeficientes de f(x) e tal que
Formas Canoˆnicas 83
todos os seus demais elementos sa˜o nulos, da seguinte forma:
Cf =

0 0 0 . . . 0 −a0
1 0 0 . . . 0 −a1
0 1 0 . . . 0 −a2
0 0 1
. . .
...
...
...
...
...
. . . 0 −an−2
0 0 0 . . . 1 −an−1

Exemplo: Encontre a matriz companheira de f(x) = x3 − 4x2 + x+ 6.
Propriedade: O polinoˆmio minimal e o polinoˆmio caracter´ıstico da matriz companheira de f
sa˜o iguais ao pro´prio polinoˆmio f .
Exerc´ıcio: Obtenha a matriz companheira e verifique a propriedade acima para
f(x) = x2 − 3x+ 4 , g(x) = x3 + x2 − x+ 15 e h(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 8x− 4.
4.6 A forma canoˆnica de Jordan
Ja´ vimos que, para certos operadores lineares T : V → V , e´ poss´ıvel obter uma base β de V
tal que a matriz representante de T nesta base
(
[T ]ββ
)
e´ uma matriz diagonal (sa˜o os operadores
diagonaliza´veis).
Quando T na˜o e´ diagonaliza´vel veremos que, sob certas condic¸o˜es, e´ poss´ıvel obter uma base β
de V tal que [T ]ββ tenha ainda uma “forma simples”, a chamada Forma de Jordan.
Teorema 4.12. (Forma Canoˆnica de Jordan)
Sejam T : V → V um operador linear sobre um
espac¸o V de dimensa˜o finita ( dim V = n ) e A = [T ].
Suponhamos que seu polinoˆmio caracter´ıstico seja da
forma:
pT (x) = pA(x) = (x− λ1)d1 .(x− λ2)d2 . . . (x− λk)dk
λ1, λ2, . . . , λk autovalores (d1 + d2 + . . .+ dk = n).
Seja seu polinoˆmio minimal dado por
mT (x)= mA(x) = (x−λ1)r1 .(x−λ2)r2 . . . (x−λk)rk ,
com ri ≤ di ∀ i = 1, 2, . . . , k .
Enta˜o...
Exemplo (para ilustrar) :
84 CAPI´TULO 4
Forma canoˆnica de Jordan: (cont.)
... existe uma base β de V tal que B = [T ]ββ e´ uma
matriz DIAGONAL POR BLOCOS
B =

B1
B2
©
©
. . .
Bk

onde cada bloco Bi tem ordem di e esta´ relacionado
com o autovalor λi , conforme veremos a seguir.
(1) Cada bloco Bi e´ diagonal por blocos
Bi =

J
(i)
1
J
(i)
2
©
©
. . .
J
(i)
li

onde cada bloco J (i) e´ da forma
J (i) =

λi 0 . . . . . . 0
1 λi 0 . . . 0
0 1
. . . . . .
...
...
...
. . . . . . 0
0 0 . . . 1 λi

e chamado Matriz Elementar de Jordan com valor car-
acter´ıstico λi.
(2) O bloco J (i) de maior ordem e´ uma matriz ri×ri
(ri e´ o expoente de (x − λi) no polinoˆmio minimal)
e costumamos escrever os blocos J (i) em ordem de-
crescente de tamanho.
(3) O nu´mero de blocos J (i) que formam a matriz
Bi e´ dado por dim Vλi (dimensa˜o do subespac¸o
associado ao autovalor λi)
A matriz B e´ dada, a menos da ordem dos blocos,
de modo u´nico e e´ dita estar sob a Forma de Jordan.
Dizemos que a matriz B e´ a Forma de Jordan da ma-
triz A.
Formas Canoˆnicas 85
Este resultado vale para espac¸os V (ou matrizes A) reais ou complexos.
No caso real, contanto que o polinoˆmio caracter´ıstico seja fatorado como um produto de fatores
lineares (e reais).
Exemplos:
A) Seja T : V → V um operador linear cujos polinoˆmios caracter´ıstico pT (x) e minimal mT (x) sa˜o
dados por
pT (x) = (x− 3)4(x+ 1)3 e mT (x) = (x− 3)2(x+ 1)2 .
Determine as poss´ıveis Formas de Jordan para as matrizes representantes de T .
B) Seja T : V → V um operador linear cujos polinoˆmios caracter´ıstico pT (x) e minimal mT (x) sa˜o
dados por
pT (x) = (x− 2)4(x− 7)4 e mT (x) = (x− 2)(x− 7)3 .
Determine as poss´ıveis Formas de Jordan para as matrizes representantes de T .
C) Obtenha a Forma Canoˆnica de Jordan B da matriz A =
 3 −3 −40 3 5
0 0 −1
 .
Exerc´ıcios:
1) Determine as Formas de Jordan poss´ıveis para as matrizes representantes de um operador linear
T : V → V (definido sobre um espac¸o vetorial real V de dimensa˜o finita) cujos polinoˆmios carac-
ter´ıstico pT (x) e minimal mT (x) sejam dados por:
(a) pT (x) = (x+ 1)5(x− 2)3 , mT (x) = (x+ 1)3(x− 2)3 .
(b) pT (x) = (x− 5)3(x+ 3)2(x− 4)3 , mT (x) = (x− 5)(x+ 3)2(x− 4)2 .
(c) pT (x) = (x+ 2)7(x− 3)4 , mT (x) = (x+ 2)3(x− 3)2 .
2) Obtenha as Formas Canoˆnicas de Jordan das matrizes do exerc´ıcio 3 da Sec¸a˜o 4.2 .
3) Sejam T : IRn → IRn um operador linear, A = [T ] (matriz representante de T em relac¸a˜o a´ base
canoˆnica do IRn).
Seja mT (x) = mA(x) = (x− λ1)(x− λ2) . . . (x− λk) (λ1, λ2, . . . , λk ∈ IR, distintos) o polinoˆmio
minimal de T (ou de A).
Um teorema garante que T e´ diagonaliza´vel (ou seja, existe uma base β, de autovetores, de modo
que [T ]ββ e´ diagonal).
Justifique este fato utilizando o teorema da Forma Canoˆnica de Jordan.
86 CAPI´TULO 4
4) Consideremos a matriz A =
 −1 −2 00 −1 1
1 0 0

Obtenha o polinoˆmio caracter´ıstico pA(x) e o polinoˆmio minimal mA(x) da matriz A e observe
que, sobre o corpo dos REAIS, na˜o estamos em condic¸o˜es de aplicar o teorema da Forma de Jordan.
Considerando agora o corpo dos nu´meros COMPLEXOS, obtenha a Forma Canoˆnica de Jordan da
matriz A.
5) Consideremos a matriz A =

−3 0 0 0
1 −3 0 0
0 0 −3 0
0 0 0 1

Utilize o teorema da Forma Canoˆnica de Jordan para obter DIRETAMENTE os polinoˆmios carac-
ter´ıstico e minimal de A e verifique o resultado.
Cap´ıtulo 5
Espac¸os com Produto Interno
Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito de Produto Interno e alguns exemplos e to´picos ba´sicos
relacionados, como ortogonalidade, a norma proveniente de um produto interno, ortogonalizac¸a˜o,
projec¸a˜o ortogonal e complemento ortogonal.
5.1 Produto interno
Definic¸a˜o 5.1. Seja V um espac¸o vetorial real. Um PRODUTO INTERNO sobre V e´ uma
func¸a˜o que associa a cada par de vetores v1, v2 ∈ V um escalar < v1, v2 > ∈ IR chamado o
produto interno de v1 por v2, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condic¸o˜es:
p.i.1) < λ.v1 + v2, v3 > = λ. < v1, v3 > + < v2, v3 > , v1, v2, v3 ∈ V , λ ∈ IR ;
p.i.2) < v, v > ≥ 0 ∀ v ∈ V ;
p.i.3) < v, v > = 0 ⇒ v = 0 ;
p.i.4) < v1, v2 > = < v2, v1 > ∀ v1, v2 ∈ V .
Obs.: Se V for um espac¸o vetorial sobre o corpo C enta˜o a condic¸a˜o p.i.4 para que se tenha um
produto interno deve ser: < v1, v2 > = < v2, v1 > ∀ v1, v2 ∈ V . Salvo menc¸a˜o em contra´rio,
sempre trabalharemos neste cap´ıtulo com espac¸os vetoriais reais (sobre IR).
Exemplos:
A) Seja V = IR3. Dados u = (x1, x2, x3), v = (y1, y2, y3) ∈ IR3 , definamos:
< u, v > = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
87
88 CAPI´TULO 5
Temos que < , > definido desta forma e´ um produto interno sobre o IR3, conhecido como
Produto Interno Usual (ou Canoˆnico) do IR3.
B) Seja V = IRn. Dados u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn , definamos:
< u, v > = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn (Produto Interno Usual do IRn).
C) Seja V = IR2. Dados u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ IR2 , defina:
< u, v > = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + y1y2 .
Exerc´ıcio: Verifique que < , > acima definido e´ um produto interno sobre o IR2.
D) Seja V = C[a, b] o espac¸o das func¸o˜es reais cont´ınuas definidas no intervalo [a, b] :
V = { f : [a, b]→ IR ; f e´ cont´ınua } .
Dadas f, g ∈ C[a, b] , defina
< f, g > =
∫ b
a
f(x).g(x) dx .
Temos que < , > acima definido e´ um produto interno sobre V . (Verifique!)
E) Seja V = Cper [−T2 , T2 ] o espac¸o das func¸o˜es f : IR → IR cont´ınuas e perio´dicas de per´ıodo
T > 0 :
V = Cper
[
−T
2
,
T
2
]
= { f : IR→ IR ; f(x+ T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } .
Dadas f, g ∈ Cper [−T2 , T2 ] , temos o seguinte produto interno sobre V :
< f, g > =
∫ T/2
−T/2
f(x).g(x) dx .
F) Seja V =M2×2(IR) o espac¸o das 2× 2 matrizes reais:
V =M2×2(IR) =
{ [
a b
c d
]
; a, b, c, d ∈ IR
}
.
Dadas A =
[
a b
c d
]
, B =
[
e f
g h
]
∈ V , definamos
< A,B > = ae+ 2bf + 3cg + dh .
< , > acima definido e´ um produto interno sobre M2×2(IR) . (Verifique!)
Espac¸os com Produto Interno 89
G) (Um exemplo mais geral) Sejam V = IRn e Q uma n× n matriz invert´ıvel (fixa).
Dados u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn , definamos:
< u, v > = [u]tβ.Q
t.Q.[v]β = (x1, x2, . . . , xn).Qt.Q.

y1
y2
...
yn

(onde β e´ a base canoˆnica do IRn).
Obs.: Note que se Q = I (n × n matriz identidade), enta˜o temos em particular o Produto
Interno Usual no IRn.
Exerc´ıcio: Mostre que a func¸a˜o acima definida e´ um produto interno sobre IRn.
Algumas propriedades imediatas:
Se V e´ um espac¸o vetorial (real) com produto interno < , > , enta˜o:
(i) < 0, v > = 0 ∀v ∈ V ;
(ii) < α1u1 + . . .+ αnun, v > = α1 < u1, v > + . . .+ αn < un, v > ;
(iii) < α1u1 + . . .+ αnun , β1v1 + . . .+ βmvm > =
∑
i,j
αiβj < ui, vj > .
Obs.: Um produto interno < , > sobre um espac¸o vetorial V nos permite criar toda uma
“GEOMETRIA” para o espac¸o V , generalizando uma se´rie de ide´ias ja´ estudadas, conforme veremos
nas pro´ximas sec¸o˜es.
5.2 Ortogonalidade
Definic¸a˜o 5.2. Seja V um espac¸o vetorial V munido de um produto interno < , >. Dizemos que
dois vetores u, v ∈ V sa˜o ORTOGONAIS quando < u, v > = 0. Escreve-se neste caso: u ⊥ v (ou
v ⊥ u ).
Um subconjunto S ⊂ V e´ dito ser um CONJUNTO ORTOGONAL de vetores quando seus
vetores sa˜o dois a dois ortogonais.
Obs.: E´ importante ressaltarmos que o conceito de ortogonalidade depende do produto in-
terno < , > considerado.
90 CAPI´TULO 5
Exemplos:
A) Seja V = IR3 munido com o Produto Interno Usual < , > .
Os vetores u = (3,−2, 1) e v = (0, 4, 8) sa˜o ortogonais.B) Seja V = IRn munido com o Produto Interno Usual < , > .
E´ imediato que sua base canoˆnica
α = { (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1) }
e´ um conjunto ortogonal (pois seus vetores sa˜o dois a dois ortogonais).
C) Seja V = C[−pi, pi] = { f : [−pi, pi]→ IR ; f e´ cont´ınua } munido do produto interno
< f, g > =
∫ pi
−pi
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .
Sendo f, g : [−pi, pi]→ IR dadas por f(x) = senx e g(x) = cosx , temos:
< f, g > =
∫ pi
−pi
senx. cosx dx = 0 . (Verifique!)
Portanto f(x) = senx e g(x) = cosx sa˜o ortogonais em C[−pi, pi].
D) Seja V = Cper [−T2 , T2 ] = { f : IR→ IR ; f(x+ T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } o espac¸o das func¸o˜es
cont´ınuas e perio´dicas de per´ıodo T > 0, munido do produto interno
< f, g > =
∫ T/2
−T/2
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .
O conjunto S = {1, coswx, senwx, cos 2wx, sen 2wx, . . .} , onde w = 2pi
T
, e´ um conjunto
ortogonal de vetores (func¸o˜es) em V = Cper [−T2 , T2 ] . (Tente provar!)
Algumas propriedades imediatas:
Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno < , > , enta˜o:
(i) 0 ⊥ v para todo v ∈ V .
Pois < 0, v > = < 0.v, v > = 0 . < v, v > = 0 ∀ v ∈ V .
(ii) Se u ⊥ v e w ⊥ v enta˜o (αu+ βw) ⊥ v para todos α, β ∈ IR .
De fato: < αu+ βw, v > = α < u, v > + β < w, v > = 0 + 0 = 0.
Espac¸os com Produto Interno 91
(iii) Se u ⊥ v para todo v ∈ V enta˜o u = 0 (vetor nulo).
De fato: como u ⊥ v para todo v ∈ V , temos enta˜o que, em particular,
u ⊥ u ⇒ < u, u > = 0 ⇒ u = 0 (pela condic¸a˜o p.i.3 na definic¸a˜o de produto interno).
Teorema 5.3. Seja V um espac¸o vetorial com produto interno < , >. Se S ⊂ V e´ um conjunto
ortogonal de vetores na˜o-nulos, enta˜o S e´ linearmente independente (LI).
Demonstrac¸a˜o:
Seja S ⊂ V um conjunto ortogonal de vetores na˜o-nulos em V .
Sejam v1, v2, . . . , vk ∈ S e c1, c2, . . . , ck ∈ IR tais que
c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk = 0 (vetor nulo).
Para todo i = 1, 2, . . . , k temos:
0 = < 0, vi > = < c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk, vi > =
= c1 < v1, vi > +c2 < v2, vi > + . . .+ ck < vk, vi > = ci < vi, vi > ,
pois: S ortogonal ⇒ < vj , vi > = 0 se j 6= i.
Como os vetores de S sa˜o na˜o-nulos, enta˜o < vi, vi > 6= 0 . Logo ci = 0 .
Assim c1 = c2 = . . . = ck = 0 e portanto S e´ um conjunto linearmente independente.
Consequeˆncia da demonstrac¸a˜o acima:
Seja V um espac¸o vetorial munido de um produto interno < , >.
Se um vetor w ∈ V e´ combinac¸a˜o linear de um conjunto ortogonal, finito, de vetores na˜o-nulos
v1, v2, . . . , vk , ou seja, w = c1v1+ c2v2+ . . .+ ckvk , enta˜o cada coeficiente ci da combinac¸a˜o e´ dado
diretamente por
ci =
< w, vi >
< vi, vi >
(Coeficientes de Fourier).
De fato, para todo i = 1, 2, . . . , k , temos:
< w, vi > = < c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk, vi > =
= c1 < v1, vi > +c2 < v2, vi > + . . .+ ck < vk, vi > =
= ci < vi, vi > ,
pois {v1, . . . , vk} e´ ortogonal.
Portanto temos ci =
< w, vi >
< vi, vi >
, pois vi 6= 0 .
92 CAPI´TULO 5
Exemplo: Considerando o Produto Interno Usual em IR2 , temos que o conjunto
β = { (3,−2), (6, 9) } e´ uma base ortogonal de IR2.
Escrevamos, por exemplo, w = (1, 2) como combinac¸a˜o linear de v1 = (3,−2) e v2 = (6, 9) .
Moral da esto´ria: e´ muito bom que tenhamos um vetor como combinac¸a˜o linear de um conjunto
ortogonal de vetores na˜o-nulos.
Em particular, e´ o´timo termos, em um espac¸o vetorial V com produto interno, uma BASE OR-
TOGONAL (seus vetores sa˜o dois a dois ortogonais), pois neste caso qualquer vetor de V e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores desta base e os coeficientes sa˜o obtidos diretamente.
5.3 Norma
Definic¸a˜o 5.4. Seja V um espac¸o vetorial com produto interno < , >. A partir do produto interno
< , > podemos construir uma func¸a˜o que associa a cada vetor v ∈ V um nu´mero real ‖v‖ ≥ 0
dado por
‖v‖ = √< v, v > ,
que chamaremos de NORMA de v.
Obs.: O conceito de norma generaliza o conceito de comprimento de um vetor !
Exemplos:
A) Se V = IR3 e < , > e´ o Produto Interno Usual, enta˜o, dado v = (x, y, z) ∈ IR3, temos:
‖v‖ = √< v, v > =
√
x2 + y2 + z2
(neste caso particular, a norma coincide com o mo´dulo do vetor estudado na Geometria Anal´ıtica).
B) Seja V = Cper [−T2 , T2 ] = { f : IR→ IR ; f(x+ T ) = f(x) ∀ x ∈ IR } o espac¸o das func¸o˜es
cont´ınuas e perio´dicas de per´ıodo T > 0, munido do produto interno
< f, g > =
∫ T/2
−T/2
f(x).g(x) dx ∀ f, g ∈ V .
Calcule ‖f‖ , se f ∈ S = { 1, coswx, senwx, cos 2wx, sen 2wx, . . . }
(
w =
2pi
T
)
.
Espac¸os com Produto Interno 93
C) Se w = c1v1+ c2v2+ . . .+ ckvk e {v1, v2, . . . , vk} e´ um conjunto ortogonal de vetores na˜o-nulos,
enta˜o:
ci =
< w, vi >
< vi, vi >
=
< w, vi >
‖vi‖2
∀ i = 1, 2, . . . , k .
Propriedades (mais importantes) da norma:
Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno < , > e ‖ ‖ e´ a norma constru´ıda a partir
deste produto interno, enta˜o:
(i) ‖v‖ ≥ 0 para todo v ∈ V .
‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0 (vetor nulo).
(ii) ‖α.v‖ = |α| . ‖v‖ quaisquer que sejam α ∈ IR e v ∈ V .
De fato:
‖α.v‖ = √< αv, αv > =
√
α2 < v, v > =
√
α2 .
√
< v, v > = |α| . ‖v‖ .
(iii) Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ∀ u, v ∈ V .
De fato, sejam dados u, v ∈ V .
Para todo t ∈ IR , temos:
0 ≤ ‖u+ tv‖2 = < u+ tv, u+ tv > = < u, u > + 2t < u, v > + t2 < v, v > .
Fazendo: < v, v > = a, 2 < u, v > = b e < u, u > = c , temos:
at2 + bt+ c ≥ 0 ∀ t ∈ IR .
Sabemos enta˜o (pelo estudo do sinal da expressa˜o at2+ bt+ c) que 4 = b2− 4ac ≤ 0 , ou seja:
4 < u, v >2 − 4 < v, v > . < u, u > ≤ 0 ⇒ < u, v >2 ≤ ‖u‖2 . ‖v‖2 ⇒
⇒ |< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ .
(iv) Desigualdade Triangular:
‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V . (Exerc´ıcio)
94 CAPI´TULO 5
A partir da norma ‖ ‖ podemos construir naturalmente uma me´trica d em V , que e´ uma func¸a˜o
que associa a cada par de vetores u, v ∈ V um nu´mero real d(u, v) ≥ 0 dado por d(u, v) = ‖u− v‖ ,
chamado a DISTAˆNCIA entre u e v e satisfazendo a`s seguintes condic¸o˜es (Mostre!):
(i) d(u, v) ≥ 0 para todos u, v ∈ V .
d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v .
(ii) d(u, v) = d(v, u) .
(iii) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) ∀ u, v, w ∈ V .
Teorema 5.5. (“Teorema de Pita´goras” Generalizado) Seja V um espac¸o vetorial com produto in-
terno < , > e seja ‖ ‖ a norma proveniente deste produto interno.
Se u, v ∈ V sa˜o vetores ortogonais (u ⊥ v) enta˜o:
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 .
De fato: ‖u+ v‖2 = < u+ v, u+ v > = < u, u > +2 < u, v > + < v, v > =
= ‖u‖2 + ‖v‖2 .
Esta e´ de fato uma generalizac¸a˜o do famoso Teorema de Pita´goras, para espac¸os V com produto
interno em geral, pois no caso de V = IR2 com Produto Interno Usual temos exatamente o referido
Teorema, como estudado na Geometria.
Temos ainda que, em geral, se {v1, v2, . . . , vk} e´ um conjunto ortogonal, enta˜o:
‖v1 + v2 + . . .+ vk‖2 = ‖v1‖2 + ‖v2‖2 + . . .+ ‖vk‖2 .
5.4 Aˆngulo entre dois vetores
Seja V um espac¸o vetorial com produto interno < , > e uma norma ‖ ‖ (constru´ıda a partir
deste produto interno).
Dados dois vetores na˜o-nulos u, v ∈ V , a Desigualdade de Cauchy-Schwarz fornece:
|< u, v >| ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ⇒
∣∣∣∣< u, v >‖u‖ . ‖v‖
∣∣∣∣ ≤ 1 , ou melhor: − 1 ≤ < u, v >‖u‖ . ‖v‖ ≤ 1 .
Existe portanto um u´nico aˆngulo θ entre 0 e pi radianos tal que:
cos θ =
< u, v >
‖u‖ . ‖v‖ .
Definimos este como sendo o aˆngulo entre u e v.
Espac¸os com Produto Interno 95
Obs.: Note que essa e´ uma generalizac¸a˜o do conceito de aˆngulo entre vetores, pois no caso
particular de V = IR2 ou V = IR3 munido do Produto Interno Usual, o conceito aqui definido
coincide com o conceito de aˆngulo entre dois vetores normalmente utilizado.
5.5 Ortogonalizac¸a˜o; Projec¸a˜o ortogonal: a melhor aproximac¸a˜o;
Complemento ortogonal
Seja V um espac¸o vetorial munido de um produto interno < , > e uma norma ‖ ‖ constru´ıda
a partir deste produtointerno.
Definic¸a˜o 5.6. Se ‖v‖ = 1 enta˜o dizemos que v e´ um VETOR UNITA´RIO, ou enta˜o que v esta´
NORMALIZADO.
Qualquer vetor na˜o-nulo v pode “ser normalizado”, ou seja, podemos obter um mu´ltiplo escalar
positivo u = α.v (α ∈ IR, α > 0) tal que ‖u‖ = 1 , bastando para isso tomar u = v‖v‖ .
Um conjunto S ⊂ V e´ dito ORTONORMAL quando e´ ortogonal e todos os seus vetores sa˜o
unita´rios (ou seja, teˆm norma igual a 1).
Por exemplo, considerando em V = IRn o Produto Interno Usual, temos que a base canoˆnica,
dada por α = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} e´ um conjunto ortonormal.
Obs.: E´ bom termos um vetor w como combinac¸a˜o linear de um conjunto ortonormal de
vetores: w = c1v1 + c2v2 + . . .+ ckvk , com {v1, . . . , vk} ortonormal, pois neste caso os coeficientes
c1, . . . , ck sa˜o dados facilmente por
ci =
< w, vi >
< vi, vi >
=
< w, vi >
‖vi‖2
= < w, vi > ∀ i = 1, 2, . . . , k .
Em particular, e´ o´timo que tenhamos, em um espac¸o V com produto interno < , > , uma BASE
ORTONORMAL, pois todos os vetores de V podera˜o ser escritos como combinac¸a˜o linear dos vetores
desta base e os coeficientes sa˜o dados diretamente !!!
Caminhando nesta direc¸a˜o, veremos a seguir um me´todo para obter, a partir de uma base dada em
um espac¸o V de dimensa˜o finita com produto interno, uma base ortogonal para este espac¸o. A partir
da´ı, basta “normalizarmos” cada vetor desta base ortogonal para que tenhamos uma base ortonormal.
96 CAPI´TULO 5
O processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt:
Teorema 5.7. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, munido de um produto interno < , > .
Enta˜o, a partir de qualquer base β = { v1, v2, . . . , vn } de V dada, podemos obter uma nova base
β′ = { v′1, v′2, . . . , v′n }, β′ ORTOGONAL, para V .
Demonstrac¸a˜o:
Definamos inicialmente:
v′1 = v1 e v
′
2 = v2 −
< v2, v
′
1 >
< v′1, v′1 >
v′1 .
Temos: [
v′1, v
′
2
]
= [v1, v2] e < v′2, v
′
1 >=< v2, v
′
1 > −
< v2, v
′
1 >
< v′1, v′1 >
< v′1, v
′
1 >= 0 .
Logo v′2 ⊥ v′1 e β2 = {v′1, v′2} e´ uma base ortogonal para o espac¸o [v1, v2] .
Consideremos agora
v′3 = v3 −
(
< v3, v
′
1 >
< v′1, v′1 >
v′1 +
< v3, v
′
2 >
< v′2, v′2 >
v′2
)
.
Temos enta˜o v′3 ⊥ v′1 , v′3 ⊥ v′2 e [v′1, v′2, v′3] = [v1, v2, v3] .
Assim, β3 = {v′1, v′2, v′3} e´ uma base ortogonal para o espac¸o [v1, v2, v3] .
Prosseguindo desta forma, apo´s um nu´mero finito (n) de passos, obtemos uma base ortogonal
βn = {v′1, v′2, . . . , v′n} para o espac¸o [v1, v2, . . . , vn] = V .
Obs.: Um aspecto muito interessante da demonstrac¸a˜o acima e´ que ela fornece um me´todo para
a obtenc¸a˜o da base ortogonal β′ = { v′1, v′2, . . . , v′n } a partir da base β.
Exemplos:
1) Seja V = IR2 munido do Produto Interno Usual < , > . Usando o processo de ortogonalizac¸a˜o
de Gram-Schmidt, obtenha a partir de β = {(1, 2), (2, 1)} uma base ortogonal β′ de IR2.
2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > . Usando o processo de ortogonalizac¸a˜o
de Gram-Schmidt, obtenha a partir da base β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} uma base ortogonal β′
de IR3.
Espac¸os com Produto Interno 97
Exerc´ıcios:
1) Seja V = IR2. Dados u = (x1, y1), v = (x2, y2) ∈ V , defina
< u, v > = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2 .
(a) Mostre que < , > acima definido e´ um produto interno.
(b) Obtenha os aˆngulos entre os vetores da base canoˆnica de IR2.
(c) Usando o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt, obtenha a partir da base β = {(−1, 1), (1, 1)}
uma base ortonormal β′ de IR2, em relac¸a˜o ao produto interno acima definido.
2) Determine uma base ortonormal (em relac¸a˜o ao Produto Interno Canoˆnico) para o seguinte sub-
espac¸o de IR3:
V =
{
(x, y, z) ∈ IR3 ; x− y + z = 0 } .
3) Seja V = IR3. Dados u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ V , defina
< u, v > = x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 .
(a) Mostre que < , > acima definido e´ um produto interno.
(b) Obtenha, usando o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt a partir da base canoˆnica, uma
base ortonormal β′ de IR3, em relac¸a˜o ao produto interno acima definido.
4) Seja V = P2(IR) o espac¸o vetorial das func¸o˜es polinomiais reais de grau menor ou igual a dois.
Dados f, g ∈ V , defina o produto interno
< f, g > =
∫ 1
−1
f(t).g(t) dt .
Se W e´ o subespac¸o de P2(IR) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1− t , determine uma
base ortogonal para W .
5) Seja V =M2×2(IR) o espac¸o vetorial das 2× 2 matrizes reais.
Dadas A,B ∈ V , defina o produto interno
< A,B > = tr (Bt.A) onde tr e´ o trac¸o .
Obtenha uma base ortogonal de V , segundo este produto interno, a partir da base
β =
{ (
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 1
)
,
(
1 1
1 1
) }
.
Obtenha o aˆngulo entre as duas u´ltimas matrizes da base acima.
6) A partir do exemplo G) da Sec¸a˜o 5.1, construa um produto interno, diferente do Produto Interno
Usual, sobre o IR2 e repita os ı´tens (b) e (c) do primeiro exerc´ıcio desta lista, considerando o
produto interno constru´ıdo.
98 CAPI´TULO 5
Projec¸a˜o ortogonal: a melhor aproximac¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial com um produto interno < , > , ‖ ‖ a norma constru´ıda a partir
deste produto interno e W ⊂ V um subespac¸o de V tal que W tem dimensa˜o finita.
Fixemos uma base ORTOGONAL β = {w1, w2, . . . , wk} do subespac¸o W .
Podemos enta˜o construir uma transformac¸a˜o linear (verifique) PW : V →W , definindo
PW (v) =
< v,w1 >
< w1, w1 >
w1 +
< v,w2 >
< w2, w2 >
w2 + . . .+
< v,wk >
< wk, wk >
wk ∀ v ∈ V .
PW e´ chamada a PROJEC¸A˜O ORTOGONAL DE V SOBRE W :
A utilidade marcante da projec¸a˜o ortogonal PW : V → W acima definida e´ que, dado um vetor
v ∈ V , PW (v) e´ a melhor aproximac¸a˜o de v no subespac¸o W , segundo a norma ‖ ‖
constru´ıda a partir do produto interno < , > considerado.
A seguir veremos resultados que provara˜o tal afirmativa:
Proposic¸a˜o 5.8. Para todo vetor w ∈W tem-se: v − PW (v) ⊥ w .
Demonstrac¸a˜o:
Dado w ∈W , como β = {w1, w2, . . . , wk} e´ base ortogonal de W , temos:
w =
< w,w1 >
< w1, w1 >
w1 +
< w,w2 >
< w2, w2 >
w2 + . . .+
< w,wk >
< wk, wk >
wk .
Espac¸os com Produto Interno 99
Enta˜o < v − PW (v), w > =
= < v −
[
< v,w1 >
< w1, w1 >
w1 + . . .+
< v,wk >
< wk, wk >
wk
]
,
< w,w1 >
< w1, w1 >
w1 + . . .+
< w,wk >
< wk, wk >
wk > =
=
< w,w1 >
< w1, w1 >
< v,w1 > + . . .+
< w,wk >
< wk, wk >
< v,wk > −
− < v,w1 >
< w1, w1 >
< w,w1 > − . . .− < v,wk >
< wk, wk >
< w,wk > = 0 .
Portanto: < v − PW (v), w > = 0 para todo w ∈W .
Proposic¸a˜o 5.9. Para todo vetor w ∈W temos: ‖v − PW (v)‖ ≤ ‖v − w‖ .
Demonstrac¸a˜o:
Seja w ∈ W . Como PW (v) ∈ W e W e´ subespac¸o vetorial de V , enta˜o podemos concluir que
PW (v)− w ∈W .
Pela proposic¸a˜o anterior, temos que v − PW (v) ⊥ PW (v)− w .
Enta˜o, pelo Teorema de Pita´goras generalizado (Teorema 5.5) temos:
‖v − w‖2 = ‖v − PW (v) + PW (v)− w‖2 = ‖v − PW (v)‖2 + ‖PW (v)− w‖2 ≥ ‖v − PW (v)‖2 .
Portanto ‖v − w‖ ≥ ‖v − PW (v)‖ , dado qualquer w ∈W .
Obs.: A segunda proposic¸a˜o diz que a distaˆncia entre v e PW (v) e´ menor ou igual a` distaˆncia de
v a qualquer vetor w ∈ W , ou seja, PW (v) e´ o vetor de W que esta´ mais pro´ximo do vetor
v (segundo a norma ‖ ‖ constru´ıda a partir do produto interno considerado).
100 CAPI´TULO 5
Exemplos:
1) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e a norma constru´ıda a partir deste. Qual
o vetor do subespac¸o W =
{
(x, y, 0) ∈ IR3 ; x, y ∈ IR } ⊂ IR3 mais pro´ximo do vetor v = (3,−5, 2)
segundo a norma considerada ?
2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > . Qual o vetor do subespac¸o
W = [(1, 0, 0), (1, 1, 1)] ⊂ V mais pro´ximo do vetor v = (3,−5, 2) ?
Complemento ortogonal:
Seja V um espac¸ovetorial munido de um produto interno < , > .
Definic¸a˜o 5.10. Dado um subconjunto na˜o-vazio S ⊂ V , definimos:
S⊥ = { v ∈ V ; v e´ ortogonal a todos os vetores de S } .
S⊥ (leˆ-se “S perp”) e´ um subespac¸o de V (exerc´ıcio), chamado o COMPLEMENTO ORTO-
GONAL de S.
Exemplo:
Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e S = {(2, 1, 2)}. Determine S⊥.
Recordac¸o˜es:
Seja V um espac¸o vetorial e sejam U,W subespac¸os de V .
A soma dos subespac¸os U e W e´ um subespac¸o de V , dado por
U +W = {u+ w ; u ∈ U , w ∈W} .
Se U e W teˆm dimensa˜o finita, temos: dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ).
Uma situac¸a˜o especial nos interessa: dizemos que V e´ a SOMA DIRETA de seus subespac¸os U e
W e escrevemos V = U ⊕W quando todo vetor v ∈ V escreve-se de modo u´nico como v = u+w ,
com u ∈ U e w ∈W .
Isto equivale a dizer que V = U +W e U ∩W = {0}.
Se dimV < +∞ (finita) temos neste caso ( V = U ⊕W ): dimV = dimU + dimW .
Espac¸os com Produto Interno 101
Teorema 5.11. Se W e´ um subespac¸o de dimensa˜o finita de V , enta˜o:
V = W ⊕W⊥
Demonstrac¸a˜o:
Seja dado v ∈ V .
Pelo Proposic¸a˜o 5.8, temos: v − PW (v) ⊥ w ∀ w ∈W .
Logo v − PW (v) = u ∈W⊥ ⇒ v = PW (v) + u , onde PW (v) ∈W e u ∈W⊥.
Assim, qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito como a soma de um vetor de W com um vetor de
W⊥ e desta forma temos que V =W +W⊥.
Dado w ∈W ∩W⊥ , temos: w ∈W⊥ ⇒ w e´ ortogonal a todo vetor de W .
Como w ∈W temos enta˜o w ⊥ w ⇒ < w,w > = 0 ⇒ w = 0 (vetor nulo).
Logo W ∩W⊥ = {0}.
Pelo exposto acima, podemos concluir que V =W ⊕W⊥ .
Exemplo:
Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e W = [(1, 1, 0), (2,−1, 3)] .
Determine W⊥ e uma base para W⊥.
Exerc´ıcios:
1) Consideremos o espac¸o V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e o subespac¸o
W = [(1, 2, 0), (−1,−1, 1), (−2,−1, 3)] ⊂ IR3 .
Obtenha o vetor de W que esta´ mais pro´ximo de v = (1, 1, 2) com relac¸a˜o a` norma constru´ıda a
partir de < , >.
Determine tambe´m W⊥ e uma base ortogonal para W⊥.
2) Seja V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e considere os subespac¸os
W1 = [(0, 1, 1), (1, 1, 1)] e W2 = [(0, 1, 0), (2, 0, 1)] .
(a) Obtenha o vetor de W1 que esta´ mais pro´ximo do vetor v = (2, 2, 3) .
(b) Obtenha o vetor de W2 que esta´ mais pro´ximo do vetor v = (2, 2, 3) .
(c) De qual subespac¸o o vetor v = (2, 2, 3) esta´ mais pro´ximo: W1 ou W2 ?
(Sugesta˜o: Calcule as distaˆncias de v aos vetores de W1 e W2 dos quais ele esta´ mais pro´ximo)
102 CAPI´TULO 5
3) Seja V = P2(IR) (polinoˆmios de grau menor ou igual a 2) munido do produto interno dado por:
< f, g > =
∫ 1
0
f(x).g(x) dx .
Se W =
[
1, 1 + 3x2
]
, obtenha o vetor de W que esta´ mais pro´ximo de p = x+ 2 em relac¸a˜o a`
norma constru´ıda a partir do produto interno dado. Obtenha tambe´m W⊥.
4) Seja T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z) e seja W = kerT . Encontre uma base
ortonormal para W⊥ (em relac¸a˜o ao Produto Interno Usual).
5) Sejam V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e W = [(1, 0, 1), (1, 1, 0)]. Determine
W⊥ e uma base para W⊥.
Refac¸a o exerc´ıcio considerando o produto interno dado por
< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) > = 2x1x2 + y1y2 + z1z2 .
5.6 Tipos especiais de operadores lineares
PARTE A) OPERADORES AUTO-ADJUNTOS:
(aparecem naturalmente em problemas que envolvem SIMETRIA)
1) Matrizes Sime´tricas:
Uma n× n matriz real A e´ dita SIME´TRICA quando At = A .
Exemplos: A =
 −2 0 00 6 1
0 1 3
 B =
 1 4 24 −5 −4
2 −4 1

2) Operadores Auto-Adjuntos:
Seja V um espac¸o vetorial (real) de dimensa˜o finita com um produto interno < , > . Um
operador linear T : V → V e´ dito AUTO-ADJUNTO quando a matriz [T ]αα for sime´trica, sendo
α uma base ortonormal de V .
Exemplo: Consideremos V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3
o operador linear dado por
T (x, y, z) = (−2x, 6y + z, y + 3z) ∀ (x, y, z) ∈ IR3 .
Enta˜o T e´ um operador auto-adjunto.
Espac¸os com Produto Interno 103
3) Alguns resultados importantes:
Teorema 5.12. Sejam V um espac¸o vetorial com produto interno < , > e T : V → V um operador
auto-adjunto. Enta˜o:
< T (v), w > = < v, T (w) > ∀ v, w ∈ V .
Consequeˆncia: Autovetores associados a autovalores distintos (no caso de operadores auto-
adjuntos) sa˜o ortogonais.
De fato:
Sejam u e v autovetores associados aos autovalores λ1 e λ2, respectivamente, para um determinado
operador auto-adjunto T : V → V .
Temos
λ1 < u, v > = < λ1u, v > = < Tu, v > = < u, Tv > = < u, λ2v > = λ2 < u, v > .
Enta˜o (λ1 − λ2) < u, v > = 0 ⇒ < u, v > = 0 (pois λ1 6= λ2).
Portanto u ⊥ v .
Teorema 5.13. (Diagonalizac¸a˜o de operadores auto-adjuntos)
Se T : V → V e´ um operador auto-adjunto enta˜o T e´ diagonaliza´vel e e´ poss´ıvel obter uma
base ortogonal (ate´ ortonormal se assim preferir) de autovetores.
Exemplo: Consideremos V = IR3 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3
o operador linear dado por
T (x, y, z) = (2x+ y + z, x+ 2y − z, x− y + 2z) ∀ (x, y, z) ∈ IR3 .
Vamos verificar que T e´ um operador auto-adjunto e obter uma base ortogonal de autovetores
para o IR3.
PARTE B) OPERADORES ORTOGONAIS:
(aparecem em problemas que envolvem MOVIMENTOS RI´GIDOS: rotac¸a˜o, reflexa˜o, etc.)
1) Matrizes Ortogonais:
Uma n× n matriz real A e´ dita ORTOGONAL quando At.A = A.At = I .
Exemplos: A =
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
B =
 −1 0 00 0 1
0 −1 0

104 CAPI´TULO 5
Proposic¸a˜o 5.14. Se A e´ uma matriz ortogonal, enta˜o detA = + 1. (Prove)
Teorema 5.15. Uma n× n matriz real A e´ ortogonal se, e somente se, suas colunas, vistas como
vetores de IRn, formam um conjunto ortonormal quando se considera o Produto Interno Usual.
Teorema 5.16. Sejam V um espac¸o vetorial (real) de dimensa˜o finita, com produto interno, e α e
β duas bases ortonormais de V . Enta˜o a matriz de mudanc¸a de base [I]αβ e´ uma matriz ortogonal.
2) Operadores Ortogonais:
Seja V um espac¸o vetorial (real) de dimensa˜o finita com um produto interno < , > . Um
operador linear T : V → V e´ dito ORTOGONAL quando a matriz [T ]αα for ortogonal, sendo α
uma base ortonormal de V .
Exemplo: Sejam V = IR2 munido do Produto Interno Usual < , > e T : IR2 → IR2 o
operador linear dado por T (x, y) = (x,−y) ∀ (x, y) ∈ IR2. (T e´ a reflexa˜o em torno do eixo Ox)
T e´ um operador ortogonal.
3) Um resultado importante:
Teorema 5.17. (Caracterizac¸a˜o dos operadores ortogonais)
Seja T : V → V e´ um operador linear sobre um espac¸o vetorial V (dimV = n < +∞) com
produto interno < , >. As condic¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes:
(a) T e´ um operador ortogonal.
(b) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais, isto e´, se {v1, v2, . . . , vn} e´ uma base
ortonormal de V enta˜o {Tv1, T v2, . . . , T vn} tambe´m e´ base ortonormal de V .
(c) T preserva o produto interno, ou seja, < Tu, Tv > = < u, v > ∀ u, v ∈ V .
(d) T preserva a norma, ou seja, ‖Tv‖ = ‖v‖ ∀ v ∈ V .
Obs.: O resultado acima torna clara a principal caracter´ıstica dos operadores ortogonais, que e´:
geometricamente, os operadores ortogonais representam movimentos r´ıgidos (rotac¸a˜o, reflexa˜o, etc.).
Note que (d) mostra claramente que a distaˆncia entre vetores e´ preservada por um operador linear
ortogonal:
d(Tu, Tv) = ‖Tu− Tv‖ = ‖T (u− v)‖ (d)= ‖u− v‖ = d(u, v) .
(a distaˆncia entre u e v e´ igual a` distaˆncia entre Tu e Tv, para todos u, v ∈ V )
Espac¸os com Produto Interno 105
Exerc´ıcios:
1) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > e T : IR3 → IR3 o operador linear dado
por T (x, y, z) = (x + 4y + 2z, 4x − 5y − 4z, 2x − 4y + z). Mostre que T e´ auto-adjunto e obtenha
uma base ortonormal de autovetores de T .
2) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > e S : IR3 → IR3 o operador linear dado
por S(x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, y − 3z).
(a) Mostre que Se´ um operador auto-adjunto, mas na˜o ortogonal.
(b) Se v = (2,−1, 5) e w = (3, 0, 1) , verifique que < Sv,w > = < v, Sw >.
(c) Obtenha uma base ortogonal de autovetores de S e a matriz que representa S em relac¸a˜o a esta
base.
3) Seja V = IR2 com o Produto Interno Usual. Obtenha um operador linear T : IR2 → IR2 que
seja auto-adjunto e tal que T 6= O e T 6= k.I (T na˜o pode ser o operador nulo nem mu´ltiplo do
operador ideˆntico).
4) Seja V = IR2 com o produto interno dado por:
< (x1, y1), (x2, y2) > = x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2 .
O operador T : IR2 → IR2 dado por T (x, y) = (x− y,−x+ 2y) e´ auto-adjunto ?
5) Sejam V = IR3 com o Produto Interno Usual < , > , β = {e1, e2, e3} a base ordenada canoˆnica
do IR3 (sabemos que β e´ ortonormal em relac¸a˜o ao Produto Interno Usual).
Sejam S : IR3 → IR3 o operador linear auto-adjunto dado no exerc´ıcio 2) e A = [S]ββ a matriz que
representa S em relac¸a˜o a` base canoˆnica β.
(a) Verifique que Aij = < Sej , ei > para todo i, j = 1, 2, 3.
(b) Use a letra (a) e o fato de S ser auto-adjunto para concluir que
< Sei, ej > = < ei, Sej > para todos i, j = 1, 2, 3 .
(c) Usando a letra (b), verifique que v = (2,−1, 5) = 2e1 − e2 + 5e3 e w = (3, 0, 1) = 3e1 + e3
cumprem < Sv,w > = < v, Sw >.
(d) Generalize a letra (c), mostrando que < Sv,w > = < v, Sw > ∀v, w ∈ IR3.
6) Ache valores para x e y tais que A =
[
x y
−1 0
]
seja uma matriz ortogonal.
7) Sabemos que se A e´ uma matriz ortogonal enta˜o detA = 1 ou detA = −1.
Mostre que na˜o vale a rec´ıproca deste resultado exibindo uma matriz A tal que detA = 1 ou
detA = −1 mas tal que A na˜o seja ortogonal.
106 CAPI´TULO
8) Se V = IR2 com o Produto Interno Usual, obtenha duas bases ortonormais distintas α e β do
IR2 e verifique que a matriz de mudanc¸a de base [I]αβ e´ uma matriz ortogonal.
9) Seja T : V → V um operador linear sobre um espac¸o vetorial V (dimV < +∞) com um
produto interno < , > .
(a) Mostre que se T preserva o produto interno enta˜o T preserva a norma, isto e´:
< Tu, Tv > = < u, v >
∀ u, v ∈ V ⇒
‖Tv‖ = ‖v‖
∀ v ∈ V
(b) Mostre que se T preserva a norma enta˜o T preserva o produto interno, isto e´:
‖Tv‖ = ‖v‖
∀ v ∈ V ⇒
< Tu, Tv > = < u, v >
∀ u, v ∈ V
10) Seja T : V → V um operador ortogonal sobre um espac¸o vetorial (real) V de dimensa˜o finita e
com produto interno.
(a) Mostre que T e´ invert´ıvel.
(b) Mostre que T preserva aˆngulos, isto e´, se u e v sa˜o vetores na˜o-nulos quaisquer de V , enta˜o o
aˆngulo entre Tu e Tv e´ igual ao aˆngulo entre u e v.
11) Obtenha a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR2 que leva o segmento de extremos (−6, 2) e
(−1, 2) no segmento de extremos (−2, 6) e (1, 2) , respectivamente.
Considerando agora o Produto Interno Usual < , > do IR2, mostre que T e´ um operador ortogonal
(corresponde portanto a um movimento r´ıgido), corresponde a uma rotac¸a˜o e obtenha seu aˆngulo.
Apeˆndice A
Respostas dos exerc´ıcios
Cap´ıtulo 1
Pa´ginas 11, 12 e 13
1) (pa´g. 11)
2× 2 :
[
0 0
0 0
] [
1 a
0 0
] [
0 1
0 0
] [
1 0
0 1
]
2× 3 :
[
0 0 0
0 0 0
] [
1 a b
0 0 0
] [
0 1 a
0 0 0
] [
0 0 1
0 0 0
]
[
1 a 0
0 0 1
] [
1 0 a
0 1 b
] [
0 1 0
0 0 1
]
3× 3 :
 0 0 00 0 0
0 0 0

 1 a b0 0 0
0 0 0

 0 1 a0 0 0
0 0 0

 0 0 10 0 0
0 0 0

 1 a 00 0 1
0 0 0

 1 0 a0 1 b
0 0 0

 0 1 00 0 1
0 0 0

 1 0 00 1 0
0 0 1

2) (pa´g. 11)
(a) x = 3 , y = −1 (b) x = i√3 , y = 3 (c) x = −3z , y = 0 , z ∈ IK
(d) x = −1 , y = 2 , z = 5 (e) Na˜o admite nenhuma soluc¸a˜o.
(f) x = −5/2 + 7z/2 , y = −2− 3z , z ∈ IK (g) x = y = z = 0
(h) x = 7/16 , y = −1/16 , z = 17/8
107
108 APEˆNDICE A
2) (pa´g. 11)
(i) x1 = 3/7− 3x2/7− 9x5/7 , x3 = 10/7 + 5x5/7 , x4 = 25/7 + 16x5/7 , x2, x5 ∈ IK
(j) Na˜o admite nenhuma soluc¸a˜o (k) x = 3i , y = 2− i , z = 1 + 2i
(l) x1 = 1− 2x2 + x3 − 3x4 , x2, x3, x4 ∈ IK (m) x = y = 0
(n) x = 17/3 + 7z/3 , y = −5/3 + 4z/3 , z ∈ IK (o) Na˜o admite nenhuma soluc¸a˜o
(p) x = −2z , y = −z , z ∈ IK (q) x = 1 , y = −1 , z = 2 , w = −2
(r) x = i+ 2z , y = 2i− z , z ∈ C
3) (pa´g. 13) k = −6 e x = −8 , y = −10 4) (pa´g. 13) k = 2 e x = −z , y = 0 , z ∈ IK
5) (pa´g. 13) (a) x = −5/2 , y = 9/2− 2w , z = −2 + (w/2) , w ∈ IK (b) k = −1
6) (pa´g. 13) (a) k 6= 3 e x = 3k + 6 , y = −2k − 4 , z = −1 (b) k = 3 e
x = 5− 10z , y = −3 + 7z , z ∈ IK (c) Sempre ha´ soluc¸a˜o!
7) (pa´g. 13) (a) Sempre ha´ soluc¸a˜o! (b) (0, 0, 1) (c) (0, 0, 0)
Pa´gina 18
1) (pa´g. 18) (a) A.B = I4×4 = B.A (b) BX =

2
−1
3
1
 ⇒ X = A.

2
−1
3
1
 =

3
0
3
1

AX =

0
1
−2
0
 ⇒ X = B.

0
1
−2
0
 =

3
−6
3
1

3) (pa´g. 18) A na˜o e´ invert´ıvel; B e´ invert´ıvel e B−1 =

−3− 3i
2
1 + i
2
1− 3i
2
−1 + i
2

C e´ invert´ıvel e C−1 =
 2 1 −31 1 −2
−1 −1 3

Respostas dos exerc´ıcios 109
Pa´ginas 23, 24 e 25
1) (pa´g. 23)
(a) adjA =
 5 −6 75 21 −2
−10 3 4
 (b) detA = 45 (c) A−1 =
 1/9 −2/15 7/451/9 7/15 −2/45
−2/9 1/15 4/45

3) (pa´g. 23) O det da matriz dada e´ igual a 5(λ+ 1)(λ− 2)2
4) e 5) (pa´gs. 23 e 24)
(a) detA = 0 ⇒ A na˜o e´ invert´ıvel
(b) detB = 21 ⇒ B e´ invert´ıvel e B−1 =
 1/9 −2/15 7/451/9 7/15 −2/45
−2/9 1/15 4/45

(c) detC = 2 ⇒ C e´ invert´ıvel e C−1 =
[
1/9 −2/15
1/9 7/15
]
(d) detD = 1 ⇒ D e´ invert´ıvel e D−1 =

−1 −1 4 −2
−3 −4 12 −6
11 14 −43 22
10 14 −41 21

(e) detE = −4 ⇒ E e´ invert´ıvel e E−1 =
 1 −1 1/2−1 0 1/2
0 1/2 −1/4

(f) detF = 0 ⇒ F na˜o e´ invert´ıvel
(g) detG = 1 ⇒ G e´ invert´ıvel e G−1 =

2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3

(h) detH = 0 ⇒ H na˜o e´ invert´ıvel
(j) det J = −2−i ⇒ J e´ invert´ıvel e J−1 =

(3 + i)/5 (2− i)/5 (2− i)/5 (3 + i)/5
(1 + 2i)/5 (−1− 2i)/5 (−1 + 3i)/5 (1 + 2i)/5
(−4− 3i)/5 (−1 + 3i)/5 (−1− 2i)/5 (1− 3i)/5
−1 + i 1 −1 + i −1

(l) detL = 2 ⇒ L e´ invert´ıvel e L−1 =
[
2 −1
11/2 3
]
110 APEˆNDICE A
4) e 5) (pa´gs. 23 e 24)
(m) detM = 6 ⇒ M e´ invert´ıvel e M−1 =

1/3 −1/3 −1/2 −5/2
2/3 1/3 −11/2 −25/2
0 0 1/2 1/2
0 0 1/2 3/2

(n) detN = −1 ⇒ N e´ invert´ıvel e N−1 =
 6 −11 9−1 2 −1
−2 4 −3

(p) detP = −1 ⇒ P e´ invert´ıvel e P−1 =

1
3
1− 3i
30
1− 3i
10
0
−3− i
10
1− 3i
10
−i
3
3 + i
15
6 + 2i
10

(q) detQ = 2 ⇒ Q e´ invert´ıvel e Q−1 =
[
−7/6 2i/3
−5/2 i/3
]
(r) detR = 0 ⇒ R na˜o e´ invert´ıvel
6) (pa´g. 24)
(a) V (Verdadeira) (b) V (c) F (Falsa) (d) V (e) V (f) F (g) F
7) (pa´g. 25)
(a.1) λ = 1 , λ = −2
(a.2) λ = 1 ⇒ x = y , y ∈ IR ; λ = −2 ⇒ x = 4y , y ∈ IR
(b.1) λ = 1 , λ = 2
(b.2) λ = 1 ⇒ x = z , y = −z/3 , z ∈ IR ; λ = 2 ⇒ x = 2y + 2z , y, z ∈ IR
(c.1) λ = −1
(c.2) λ = −1 ⇒ x = −5y , z = 13y , y ∈ IR
(d.1) λ = −1 , λ = 1 + 3i , λ = 1− 3i
(d.2) λ = −1 ⇒ x = −5y , z = 13y , y ∈ C ;
λ = 1 + 3i ⇒ x = iy , z = 0 , y ∈ C ; λ = 1− 3i ⇒ x = −iy , z = 0 , y ∈ C
Condic¸a˜o sobre λ para que AX = λX tenha soluc¸a˜o na˜o-trivial: det(A− λI) = 0 .
Respostas dos exerc´ıcios 111
Cap´ıtulo 2
Pa´gina 30
1) (pa´g. 30)
(a) 0 = (0, 0) ∈ IR2 (b) 0 = (0, 0, 0) ∈ IR3 (c) 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ IRn
(d) 0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Cn (e) 0 =
[
0 0 0
0 0 0
]
∈M2×3(C) (f) 0(x) = 0 ∈ P (IR) .
(g) O : IR→ IR dada por O(x) = 0 ∀ x ∈ IR
2) (pa´g. 30)
(a) Na˜o sa˜o atendidas: EV.2, EV.3 e EV.8
Tomando u = (1, 0) , v = (1, 1) e w = (0, 2) , temos:
u+ (v + w) = (1, 0) + (1, 6) = (2, 12) mas (u+ v) + w = (2, 2) + (0, 2) = (2, 8)
(Na˜o existe vetor nulo)
(1 + 2).v = 3.v = (3, 3) mas 1.v + 2.v = (1, 1) + (2, 2) = (3, 6)
(b) Na˜o sa˜oatendidas: EV.5 e EV.6
Tomando u = (1, 2) , temos:
1.u = (2, 1) 6= u
(1.2).u = (2.u) = (4, 2) mas 1.(2.u) = 1.(4, 2) = (2, 4)
3) (pa´g. 30)
Vetor nulo de V : 0 = (1, 0, 2)
Pa´ginas 33 e 34
1) (pa´g. 33)
IR2 na˜o e´ subespac¸o de C2 (espac¸o sobre C). Contra-exemplo: (1, 1) ∈ IR2 mas i.(1, 1) 6∈ IR2
2) (pa´gs. 33 e 34)
Sa˜o subespac¸os (PROVE USANDO O TEOREMA 2.3): (b), (f), (g), (i), (k), (n), (o), (p), (r),
(v), (x), (y).
112 APEˆNDICE A
2) (pa´gs. 33 e 34)
Na˜o sa˜o subespac¸os:
(a) (1, 1) ∈W mas 2.(1, 1) = (2, 2) 6∈W
(c) (1, 3) ∈W mas −1.(1, 3) = (−1,−3) 6∈W
(d) (0, 0) (vetor nulo do IR2) 6∈W
(e) IR2 6⊂ IR3
(h) (1, 1, 1) ∈W mas −1.(1, 1, 1) = (−1,−1,−1) 6∈W
(j) u = (1, 1, 2, 3), v = (1, 2, 3, 1) ∈W mas u+ v = (2, 3, 5, 4) 6∈W
(l) u = (0, 0, 1, 1, 1), v = (0, 1, 0, 0, 0) ∈W mas u+ v = (0, 1, 1, 1, 1) 6∈W
(m) u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) ∈W mas u+ v = (1, 1, 2) 6∈W
(q) u =
[
0 1 3
0 2 4
]
, v =
[
−1 1 0
3 1 0
]
∈W mas u+ v =
[
−1 2 3
3 3 4
]
6∈W
(s) u =

0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 , v =

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 ∈W mas u+ v =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 6∈W
(t)
[
0 0
0 0
]
(vetor nulo de V ) 6∈W
(u) u = x4 + x3 − 2x , v = −x4 + x3 + 1 ∈W mas u+ v = 2x3 − 2x+ 1 6∈W
(w) A func¸a˜o nula O : IR→ IR (vetor nulo de V ) 6∈W
(z) u = (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) , v = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) ∈W mas u+ v = (1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) 6∈W
Pa´ginas 35 e 36
1) (pa´g. 35)
W1 ∩W2 = { (0, 0, z, z) , z ∈ IR } ⊂ IR4
2) (pa´g. 36)
W1 ∩W2 = { (0, 0, 0, 0) } (subespac¸o nulo) ⊂ IR4
Respostas dos exerc´ıcios 113
3) (pa´g. 36)
W1 ∩W2 = { (0, 0, 0) } (subespac¸o nulo) ⊂ IR3 .
Ja´ temos que W1 +W2 ⊂ IR3 .
Dado (x, y, z) ∈ IR3 , temos (x, y, z) = (x− z, y − z, 0) + (z, z, z) ∈W1 +W2 .
Logo IR3 ⊂W1 +W2 e portanto W1 +W2 = IR3 .
Como W1 ∩W2 = { 0 } temos enta˜o W1 ⊕W2 = IR3 .
4) (pa´g. 36)
W1 = { (a, 2a) , a ∈ IR } e W2 = { (−b, 2b) , b ∈ IR }
W1 ∩W2 = { (0, 0) } (subespac¸o nulo) ⊂ IR2 (mostre).
Ja´ temos que W1 +W2 ⊂ IR2 .
Dado (x, y) ∈ IR2 , temos (x, y) =
(
2x+ y
4
,
2x+ y
2
)
+
(
2x− y
4
,
y − 2x
2
)
∈W1 +W2 .
Logo IR2 ⊂W1 +W2 e portanto W1 +W2 = IR2 .
Como W1 ∩W2 = { 0 } temos enta˜o W1 ⊕W2 = IR2 .
5) W1 +W2 =
{ [
a+ b a
0 b
]
, a, b ∈ IR
}
A soma e´ direta pois W1 ∩W2 =
{ [
0 0
0 0
]}
Pa´ginas 37 e 38
1) (pa´g. 37)
(a) V :
[
4 −4
−6 16
]
=
[
1 2
3 4
]
+ b.
[
−1 2
3 −4
]
+ (3− b).
[
1 −2
−3 4
]
, b ∈ IR
(b) F : Na˜o existem a, b ∈ IR tais que (1,−1, 2) = a.(1, 2, 3) + b.(3, 2, 1)
(c) F : (1, 0, 0) 6∈ [(−5, 3, 2), (3,−1, 3)] (por exemplo).
2) (pa´g. 38)
W =

 0 ca a− b
b 0
 , a, b, c ∈ IR
 e claramente
 0 23 4
5 0
 6∈W
114 APEˆNDICE A
3) (pa´g. 38)
U = { (x, 0, 0) , x ∈ IR } e W = { (a, b, b− a) , a, b ∈ IR }
U ∩W = { (0, 0, 0) } (subespac¸o nulo) ⊂ IR3 . Ja´ temos que U +W ⊂ IR3 .
Dado (x, y, z) ∈ IR3 , temos (x, y, z) = (x− y).(1, 0, 0) + (y − z).(1, 1, 0) + z.(0, 1, 1) ∈ U +W .
Logo IR3 ⊂ U+W e portanto U+W = IR3 . Como U ∩W = { 0 } temos enta˜o U⊕W = IR3 .
4) (pa´g. 38)
W1 ∩W2 =

 a 0 00 b 0
0 0 c
 , a, b, c ∈ C
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 a11 0 0a21 a22 0
a31 a32 a33
+
 0 a12 a130 0 a23
0 0 0
 ∈W1 +W2
Logo V =W1 +W2 e a soma na˜o e´ direta, pois W1 ∩W2 na˜o e´ apenas o vetor nulo de V .
β1 =

 1 0 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 1 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 1
 ,
 0 0 01 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 1 0
 ,
 0 0 00 0 0
1 0 0


gera W1
β2 =

 1 0 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 1 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 1
 ,
 0 1 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 1
0 0 0
 ,
 0 0 10 0 0
0 0 0


gera W2
β3 =

 1 0 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 1 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 1

 gera W1 ∩W2
5) (pa´g. 38)
(1,−3, 10) = −6.(1, 0, 0) + 3.(1, 1, 0) + 2.(2,−3, 5)
[u, v] = { (a, b, 0) , a, b ∈ IR } e claramente (1,−3, 10) 6∈ [u, v]
6) (pa´g. 38)
W1 = { (a, b, 3a− 2b) , a, b ∈ IR }
W2 = { (x, y,−3x− 6y) , x, y ∈ IR }
W1 ∩W2 = { (t,−3t/2, 6t) , t ∈ IR } = [(2,−3, 12)]
Respostas dos exerc´ıcios 115
7) (pa´g. 38)[
0 −2i
0 i
]
∈W
[
0 −2
3i 1
]
6∈W
[
4i 4
0 −2 + 3i
]
∈W
8) (pa´g. 38)
Dados a, b, c, d ∈ IR , temos
a+ bx+ cx2 + dx3 = (a+ b+ c+ d).1 + (−b− 2c).(1− x) + c.(1− x)2 − d.(1− x3) .
Logo P3(IR) =
[
(1− x3), (1− x)2, 1− x, 1]
9) (pa´g. 38)
W = [v1, v2, v3] = [(1, 0,−1), (0, 1, 2)] = { (a, b, 2b− a) , a, b ∈ IR } e v = (2, 2, 1) 6∈W
10) (pa´g. 38)
(b) W = [(3, 1)] (f) W = [(1,−1, 0), (0, 3, 1)] (g) W = [(3, 2, 1), (−1, 1,−2)]
(i) W = [(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1)] (k) W = [(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)]
(n) W = [(1, 2, . . . , n)] (o) W =
[[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]]
(r) W =
[[
0 1
−1 0
]]
(p) W =

 1 0 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 1 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 1
 ,
 0 1 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 1
0 0 0
 ,
 0 0 10 0 0
0 0 0


Pa´ginas 39 e 40
2) (pa´g. 39)
(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 1, 0)
3) (pa´g. 40)
(a) LD (b) LI (c) LD (d) LI (e) LI (f) LI (g) LI
Pa´ginas 43 e 44
2) (pa´g. 43)
β = { 1, i } e´ base de C (como espac¸o vetorial sobre IR). Logo dimC = 2
116 APEˆNDICE A
3) (pa´g. 43)
β = {v1, v2, v3} ⊂ IR3 e´ LI e como β tem 3 = dim IR3 vetores, enta˜o β gera o IR3 .
4) (pa´g. 43)
(a) (2,−3, 2, 2) ∈W = { (a, b, c, c) , a, b, c ∈ IR }
(b) β = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e´ base de W e dimW = 3 .
(c) W 6= IR4 pois W ⊂ IR4 e dimW < dim IR4 = 4
5) (pa´g. 43)
(a) dim IR3 = 3 ⇒ qualquer conjunto S ⊂ IR3 com mais do que 3 vetores e´ LD.
(b) 11.v1 + v2 − 15.v3 + 8.v4 = (0, 0, 0)
6) (pa´g. 43)
(a) β = { (5, 7, 3)} e´ base de W e dimW = 1
(b) γ = { (1, 0,−5/3), (0, 1,−7/3)} e´ base de U e dimU = 2
7) (pa´g. 43) 1 0 00 1 0
1 1 0

8) (pa´gs. 43 e 44)
(a) W1 ∩W2 = { (0, 0, t, t) , t ∈ IR }
(b) β = { (0, 0, 1, 1)} e´ base de W1 ∩W2
(c) W1 +W2 = IR4
(d) Na˜o, pois W1 ∩W2 na˜o e´ apenas o vetor nulo (0, 0, 0, 0) do IR4
(e) dim(W1 +W2) = 2 + 3− 1 = 4 = dim IR4
9) (pa´g. 44)
(a) W1 ∩W2 =
{[
a a
a a
]
, a ∈ C
}
e β =
{[
1 1
1 1
]}
e´ base de W1 ∩W2
Respostas dos exerc´ıcios 117
(b) A soma na˜o e´ direta e W1 +W2 =
{ [
a+ c b
b+ c a
]
, a, b, c ∈ C
}
(c) dim(W1 +W2) = 2 + 2− 1 = 3 < 4 = dimM2×2(C) ⇒ W1 +W2 6=M2×2(C)
10) (pa´g. 44)
γ =
{ [
2 0
0 9
]
,
[
0 2
0 1
]
,
[
0 0
1 0
]}
e´ base de W e dimW = 3
11) (pa´g. 44)
β =
{
xn , xn + xn−1 , xn + xn−2 , . . . , xn + x2 , xn + x , xn + 1
}
12) (pa´g. 44)
S na˜o e´ base de IR∞ .
(1, 1, 1, 1, . . .) ∈ IR∞ mas na˜o e´ combinac¸a˜o linear de vetores de S (S na˜o gera IR∞).
Qualquer combinac¸a˜o linear de vetores de S (por ser finita) e´ um vetor de IR∞ em que os ter-
mos se anulam a partir de um certo ponto. O espac¸o gerado por S e´ coo (veja o exemplo I) da pa´g. 32)
13) (pa´g. 44)
β = { u1 = (2, 1, 0) , u2 = (−4, 0, 1) , u3 = (1, 0, 0) } e´ base do IR3 com u1, u2 ∈W
14) (pa´g. 44)
(a) β = { (1, 0, 6, 3) , (0, 1,−3,−2)} e´ base de W
(b) γ = { (1, 0, 6, 3) , (0, 1,−3,−2) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) } e´ LI e portanto uma base do IR4
Pa´ginas 47 e 48
1) (pa´g. 47)
β = {(i, 1) , (1, i)} e´ LI e tem 2 = dimC2 vetores. Logo β gera C2 e e´ uma base de C2
Temos (1, 0) = −i/2.(i, 1) + 1/2.(1, i) e (0, 1) = 1/2.(i, 1)− i/2.(1, i)
2) (pa´g. 47)
(1, 0, 0) =
1
3
.(1, 1, 1)− 1
3
.(−1, 1, 0) + 1
3
.(1,0,−1) ⇒ [(1, 0, 0)]β =
 1/3−1/3
1/3

118 APEˆNDICE A
3) (pa´g. 47)
(a) (i) [I]β1β =
[
−1 1
1 1
]
(ii) [I]ββ1 =
[
−1/2 1/2
1/2 1/2
]
(iii) [I]ββ2 =
[ √
3/6 1/2√
3/6 −1/2
]
(iv) [I]ββ3 =
[
1/2 0
0 1/2
]
(b) [v]β =
[
3
−2
]
[v]β1 =
[
−5/2
1/2
]
[v]β2 =

−2 +√3
2
2 +
√
3
2
 [v]β3 =
[
3/2
−1
]
(c) [u]β =
[
−4
4
]
[u]β2 =

6− 2√3
3
−6− 2√3
3
 [u]β3 =
[
−2
2
]
4) (pa´g. 47)
[u]α =
 11
−4
 [u]α′ =
 2−3
−2

5) (pa´g. 47)
[I]β
′
β =
[
1/2
√
3/2
−√3/2 1/2
]
[I]ββ′ =
[
1/2 −√3/2√
3/2 1/2
]
6) (pa´g. 47)
(a) (i) [I]β2β1 =
[
−1 1
0 1/2
]
(ii) [I]β3β2 =
[
0 −1
−1 −1
]
(iii) [I]β3β1 =
[
−1 0
−1/2 −1/2
]
(iv) [I]β2β1 . [I]
β3
β2
=
[
−1 0
−1/2 −1/2
]
[I]β3β1 = [I]
β2
β1
. [I]β3β2
7) (pa´g. 47)
[I]ββ1 =
 1 −1 00 1 −1
0 0 1

Respostas dos exerc´ıcios 119
8) (pa´g. 48)
[I]βα =
 1 1 20 1 3
0 0 1
 [2x2 − 5x+ 6]α =
 51
2
 [x2 + 3x− 4]α =
 16
1

9) (pa´g. 48)
[(1, 0, 1)]β =

−1− i
2
i
2
3 + i
4

Cap´ıtulo 3
Pa´gina 53
1) (pa´g. 53)
Sa˜o transformac¸o˜es lineares (prova-se pela definic¸a˜o): (a)f, (d)L, (f)M, (g)S e (h)N .
Na˜o sa˜o lineares:
(b) g : tome u = (1, 1) ∈ IR2 e k = 3 ∈ IR. g(k.u) = g(3, 3) = 9 mas k.g(u) = 3
(c) h : tome u = v =
[
1 0
0 1
]
. h(u+ v) = 4 mas h(u) + h(v) = 2
(e) U : tome u = (1, 0, 0) ∈ IR3 e k = 5 ∈ IR. U(k.u) = (25, 0, 0) mas k.U(u) = (5, 0, 0)
(i) R : tome u = (0, 2) ∈ IR2 e k = 2 ∈ IR. R(k.u) = R(0, 4) = (0, 15) mas k.R(u) = (0, 6)
(j) T : T (−3) + T (2) = 3 + 2 = 5 mas T (−3 + 2) = T (−1) = 1
(k) ϕ : ϕ(0, 0) = 3 6= 0 (vetor nulo de IR)
2) (pa´g. 53)
T


x
y
z
w

 = A ·

x
y
z
w
 =
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 ·

x
y
z
w

120 APEˆNDICE A
Temos enta˜o:
 00
0
 = T


1
0
0
0

 = A ·

1
0
0
0
 =
 a11a21
a31

Analogamente:
 00
0
 =
 a12a22
a32
 =
 a13a23
a33
 =
 a14a24
a34
 e portanto A = 0 (matriz nula)
3) (pa´g. 53)
Na˜o ! Contra-exemplo: T : IR2 → IR3 dada por T (x, y) = (x− y, 2y − 2x, 0)
T (1, 1) = (0, 0, 0) mas (1, 1) 6= (0, 0) (vetor nulo do IR2)
Pa´gina 55
1) (pa´g. 55)
T (x, y, z) = (2x+ y, y − z) . T (0, 3, 1) = (3, 2)
2) (pa´g. 55)
T (x, y) =
(
3x,
5x− y
2
, x
)
. T (1, 0) = (1, 5/2, 1) , T (0, 1) = (0,−1/2, 0)
3) (pa´g. 55)
S(x, y, z) = 8x− 3y − 2z
4) (pa´g. 55)
T (x, y) = (y, x) .[
x
y
]
T7−→
[
y
x
]
=
[
0 1
1 0
]
.
[
x
y
]
5) (pa´g. 55)
λ = 1 , λ = 2 .
Esses vetores na˜o sa˜o u´nicos.
Para λ = 1 , W1 =
{
u ∈ IR2 ; A(u) = 1.u} = { (−y, y) ∈ IR2 ; y ∈ IR} = [(−1, 1)]
Para λ = 2 , W2 =
{
u ∈ IR2 ; A(u) = 2.u} = { (−4y/3, y) ∈ IR2 ; y ∈ IR} = [(−4, 3)]
Para cada λ , os vetores associados a λ formam um subespac¸o do IR2 .
Respostas dos exerc´ıcios 121
6) (pa´g. 55)
λ = 1 , λ = −1 .
Para λ = 1 , W1 =
{
u ∈ IR2 ; A(u) = 1.u} = { (x, x) ∈ IR2 ; x ∈ IR} = [(1, 1)]
Para λ = −1 , W−1 =
{
u ∈ IR2 ; A(u) = −1.u} = { (x,−x) ∈ IR2 ; x ∈ IR} = [(1,−1)]
7) (pa´g. 55)
Na˜o existe λ ∈ IR tal que Rpi/2(u) = λ.u para algum vetor na˜o-nulo u ∈ IR2
Pa´gina 58
1) (pa´g. 58)
(a) f(x, y) = (x+ y, x− y)
ker f = {(0, 0)} , dimker f = 0 , Im f = IR2 , dim Im f = 2
dimker f + dim Im f = 0 + 2 = 2 = dim IR2
(d) L(A) = trA
kerL = { A ∈M3×3(IR) ; a11 = −a22 − a33} , dimkerL = 8 , ImL = IR , dim ImL = 1
dimkerL+ dim ImL = 8 + 1 = 9 = dimM3×3(IR)
(f) M(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx
kerM = {0} , dimkerM = 0 , ImM = [x, x2, x3] , dim ImM = 3
dimkerM + dim ImM = 0 + 3 = 3 = dimP2(C)
(g) S(x, y, z, w) = (y, z − w, 2y + z + 2w)
kerS = [(1, 0, 0, 0)] , dimkerS = 1 , ImS = IR3 , dim ImS = 3
dimkerS + dim ImS = 1 + 3 = 4 = dim IR4
(h) N(x, y, z) = [ x y z ] ·A = (x+ z, 2x− y + z)
kerN = [(−1,−1, 1)] , dimkerN = 1 , ImN = IR2 , dim ImN = 2
dimkerN + dim ImN = 1 + 2 = 3 = dim IR3
2) (pa´g. 58)
D(ax3 + bx2 + cx+ d) = 3ax2 + 2bx+ c
kerD = [1] , ImD = [x2, x, 1] = P2(IR)
122 APEˆNDICE A
3) (pa´g. 58)
β = { (1, 1, 0) } e´ base de kerT . dim ImT = dim IR3 − dimkerT = 3− 1 = 2
ImT 6= IR3 , pois ImT (subespac¸o)⊂ IR3 e dim ImT = 2 < dim IR3
4) (pa´g. 58)
Na˜o existe T : IR4 → IR5 linear tal que ImT = IR5 , pois dim ImT ≤ dim IR4 < dim IR5 .
Generalizac¸a˜o: Se T : V → W e´ transformac¸a˜o linear e dimV < dimW (dimV finita) enta˜o
ImT 6=W ( ImT na˜o e´ todo o espac¸o W )
Na˜o existe transformac¸a˜o linear T : IR3 → IR2 tal que kerT = { (0, 0, 0)} , pois neste caso
ter´ıamos dim ImT = dim IR3− dimkerT = 3− 0 = 3 (imposs´ıvel, pois ImT ⊂ IR2 e dim IR2 = 2).
Generalizac¸a˜o: Se T : V → W e´ transformac¸a˜o linear e dimV > dimW (dimV finita) enta˜o
kerT 6= { 0V } (kerT na˜o e´ apenas o vetor nulo 0V de V )
5) (pa´g. 58)
w ∈ ImT ⇒ w = T (v), v ∈ V . Como { v1, v2, . . . , vn} gera V , v = c1.v1 + . . .+ cn.vn .
Assim w = T (v) = T (c1.v1 + . . .+ cn.vn) = c1.T (v1) + . . .+ cn.T (vn) (pois T e´ linear)
Portanto { T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} gera ImT .
6) (pa´g. 58)
T (x, y, z) = (2ix, x− iy, (1 + i)y − 3x)
7) (pa´g. 58)
F (x, y) = (x− y, 3x− 3y)
Pa´gina 62
1) (pa´g. 62)
1a) f e´ injetora e e´ sobrejetora (e´ portanto bijetora)
1d) L na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora
1f) M e´ injetora mas na˜o e´ sobrejetora
1g) S na˜o e´ injetora mas e´ sobrejetora
1h) N na˜o e´ injetora mas e´ sobrejetora
Respostas dos exerc´ıcios 123
2) D na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora
3) T na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora
2) (pa´g. 62)
Seja c1.T (v1) + . . .+ ck.T (vk) = 0V . Como T e´ linear, T (c1.v1 + . . .+ ck.vk) = 0V
Enta˜o c1.v1 + . . .+ ck.vk = 0U (pois T e´ injetora).
Como { v1, . . . , vk} e´ LI, temos c1 = . . . = ck = 0 e portanto { T (v1), . . . , T (vk)} e´ LI.
3) (pa´g. 62)
(a) T (x, y, z) = (x, y)
(b) Na˜o e´ poss´ıvel
(c) L(x, y, z) = (0, 0)
(d) M
([
a b
c d
])
= ax3 + bx2 + cx+ d
(e) Na˜o e´ poss´ıvel
4) (pa´g. 62)
L na˜o e´ injetora mas e´ sobrejetora.
R e´ injetora mas na˜o e´ sobrejetora.
5) (pa´g. 62)
kerT = {(0, 0, 0)} ⇒ T e´ injetora. Como T : IR3 → IR3 e T e´ injetora, enta˜o T tambe´m e´
sobrejetora e portanto um isomorfismo. Temos ainda T−1(a, b, c) = (a/3, (a− 3b)/3, b+ c− a)
6) (pa´g. 62)
P (x, y, z) = (x + iz, y + z, ix + y) . kerP = [(i, 1,−1)] ⇒ P na˜o e´ injetora e portanto na˜o e´
isomorfismo.
Pa´ginas 66 e 67
1) (pa´g. 66)
(a) [T ]ββ′ =
[
1 1 0
−1 0 2
]
(b) [T ]αα′ =
[
−3 1 −1
1 2 1
]
124 APEˆNDICE A
2) (pa´g. 66)
(a) [T ]αα =
[
1 0
0 0
]
[T ]βα =
[
1 −i
0 0
]
[T ]αβ =
[
2/3 0
i/3 0
]
[T ]ββ =
[
2/3 −2i/3
i/3 1/3
]
(b) [T ]γγ =
[
1/3 i/3
−2i/3 2/3
]
3) (pa´g. 66)
S(x, y, z) = (y − 2z, x− y + z, 0)
4) (pa´g. 66)
T (x, y) =
[
2x+ y x− y
−x y
]
5) (pa´g. 66)
(a) [S]αβ =
 −11/3 20/3−4/3 10/3
5/3 −8/3

(b) T (x, y) =
(
x− y
2
,
x− y
2
, 2x+ y
)
(c) γ = { (1, 1, 1), (0, 1, 0), (−1,−1, 2)}
6) (pa´gs. 66 e 67)
[D]ββ =

0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0

7) (pa´g. 67)
T (x, y) = (5x+ 3y,−6x− 4y) . λ = −1 , λ = 2 :
Para λ = −1 , W−1 =
{
u ∈ IR2 ; T (u) = −1.u} = { (x,−2x) ∈ IR2 ; x ∈ IR} = [(1,−2)]
Para λ = 2 , W2 =
{
u ∈ IR2 ; T (u) = 2.u} = { (−y, y) ∈ IR2 ; y ∈ IR} = [(1,−1)]
β = { (1,−2), (1,−1)} e´ base do IR2 e [T ]ββ =
[
−1 0
0 2
]
8) (pa´g. 67)
R(x, y, z) =
(
2x− 2y + z
3
,
−2x−y + 2z
3
,
x+ 2y + 2z
3
)
Refereˆncias
[1] Boldrini, Jose´ Luiz e outros, A´lgebra Linear, Editora Harbra, Sa˜o Paulo.
[2] Lima, Elon Lages, A´lgebra Linear, Colec¸a˜o Matema´tica Universita´ria, IMPA, Rio de Janeiro.
[3] Hoffman, K. e Kunze, R., A´lgebra Linear, Editora Pol´ıgono, Sa˜o Paulo.
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