Cap-tulo-9-Sele-o-de-material-e-forma_2012_Sele-o-De-Materiais-No-Projeto-Mec-nico

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CAPÍTulO 9
Seleção de material e forma
Materials Selection in Mechanical Design. DOI: 10.1016/B978-1-85617-663-7.00009-6
© 2011 Michael F. Ashby. Publicado por Elsevier Ltd. Todos os direitos reservados.
Formas extrudadas. 
(Imagens cedidas por Thomas Publishing, www.Thomasnet.com—www.thomasnet.com/articles/image/plastic-extrusions.jpg.)
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SuMÁRIO
9.1 Introdução e sinopse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2 Fatores de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.3 Limites para a eficiência de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.4 Exploração de combinações material­forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.5 Índices de materiais que incluem forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.6 Seleção gráfica conjugada usando índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.7 Materiais arquitetados: forma microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.8 Resumo e conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.9 Leitura adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.1 INTRODuçãO E SINOPSE
Pare um pouco e reflita sobre como a forma é usada para modificar o modo como os materiais 
se comportam. Um material tem um módulo e uma resistência, mas podemos fazê-lo ficar mais 
rígido e mais resistente quando carregado sob flexão ou torção conformando-o como um perfil 
de abas duplas (viga I) ou um tubo oco. Podemos fazer com que fique menos rígido achatando-o 
como uma folha ou placa plana ou enrolando-o na forma de um arame em uma hélice. Formas 
afinadas ajudam a dissipar calor; formas celulares ajudam a conservá-lo. Há formas para maxi-
mizar capacitância elétrica e para conservar campo magnético; formas que controlam reflexão, 
difração e reflexão óticas; formas para refletir um som e formas para absorvê-lo. A forma é 
usada até mesmo para mudar o toque de um material, tornando-o mais macio, ou mais áspero, 
mais escorregadio ou mais fácil de segurar. E, claro, é a forma que distingue a Vênus de Milo 
do bloco de mármore do qual ela foi esculpida. É um assunto rico.
Aqui exploramos uma parte dele – o modo como a forma pode ser usada para aumentar 
a eficiência mecânica de um material. Seções conformadas suportam cargas de flexão, torção 
e compressão axial com mais eficiência do que seções sólidas. Por “conformadas” queremos 
dizer que a seção transversal é conformada como um tubo, uma seção caixão, uma seção I ou 
algo semelhante. Por “eficiente” queremos dizer que, para condições de carregamento dadas, 
a seção usa o mínimo de material possível. Tubos, caixões e seções I serão denominados “for-
mas simples”. Mais eficiências ainda são possíveis com painéis-sanduíche (finas películas que 
suportam cargas ligadas a um interior de espuma ou de estrutura alveolar) e com estruturas 
mais elaboradas (a treliça Warren, por exemplo).
Este capítulo amplia os métodos de seleção de modo a incluir forma (Figura 9.1). Muitas 
vezes isso não é necessário: nos Estudos de Casos do Capítulo 6, a forma ou não entrou mesmo 
ou, quando entrou, não era uma variável (isto é, comparamos materiais diferentes com a mes-
ma forma). Porém, quando há dois materiais diferentes disponíveis, cada um com sua própria 
forma de seção, surge o problema mais geral: como escolher a melhor combinação entre a vasta 
gama de materiais e as formas de seção que estão disponíveis ou poderiam ser potencialmente 
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
220
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9 .2 Fatores de forma
fabricadas. Tome o exemplo de uma bicicleta: seus garfos são carregados sob flexão. Poderiam, 
digamos, ser feitos de aço ou de madeira – as primeiras bicicletas eram feitas de madeira. Porém, 
o aço está disponível como um tubo de parede fina, e a madeira não; componentes de madeira 
são normalmente sólidos. Uma bicicleta de madeira sólida é certamente mais leve para a mesma 
rigidez do que uma de aço sólido, porém é mais leve do que uma feita de tubos de aço? Uma 
seção I de magnésio seria ainda mais leve? Em resumo, como escolher a melhor combinação 
de material e forma?
Um procedimento para responder a essas perguntas e perguntas relacionadas é desenvolvi-
do neste capítulo. Envolve a definição de fatores de forma. Podemos pensar que um material tem 
propriedades mas nenhuma forma. Uma estrutura é um material feito sob uma forma (Figura 9.2). 
Fatores de forma são medidas da eficiência da utilização de material. Além disso, permitem a de-
finição de índices de materiais, tais como os do Capítulo 5, porém agora incluem forma. Quando 
a forma é constante, os índices se reduzem a exatamente os do Capítulo 5; entretanto, quando a 
forma é uma variável, o fator de forma aparece nas expressões para os índices. Eles permitem 
a comparação de materiais conformados e guiam a escolha da melhor combinação de material e 
forma. Por conveniência, os símbolos usados no desenvolvimento são apresentados na Tabela 
9.1. Mas não se assuste com eles; as ideias 
não são difíceis.
9.2 fATORES DE fORMA
As cargas que incidem sobre um componen-
te podem ser decompostas em cargas axiais, 
cargas que exercem momentos fletores e 
FIGURA 9.1
A forma da seção é importante para certos modos de carregamento. Quando a forma é uma variável, um novo termo – o fator 
de forma ϕ – aparece em alguns dos índices de material.
+ =
Material conformadoMaterial Forma
FIGURA 9.2
Eficiência mecânica é obtida pela combinação de material com 
forma macroscópica. A forma é caracterizada por um fator de 
forma ϕ adimensional.
221
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cargas que exercem torques. Normalmente uma delas domina a tal ponto que os elementos 
estruturais são projetados especialmente para suportá-la, e esses elementos têm nomes comuns. 
Assim, tirantes suportam cargas de tração; vigas suportam momentos fletores; eixos suportam 
torques; colunas suportam cargas de compressão axiais. A Figura 9.3 mostra esses modos de 
carregamento aplicados a formas que resistem bem a eles. O ponto a ressaltar é que a melhor 
combinação material-forma depende do modo de carregamento. No que virá a seguir, separamos 
os modos e tratamos deles também separadamente.
Tabela 9.1 Definição de símbolos
Símbolo Definição
M Momento (Nm)
F Força (N)
E Módulo de Young do material da seção (GPa)
G Módulo de elasticidade transversal do material da seção (GPa)
σf Resistência ao escoamento ou à falha do material da seção (MPa)
ρ Densidade do material da seção (kg/m3)
ml Massa por unidade de comprimento da seção (kg/m)
A Área da seção transversal da seção (m2)
I Momento de segunda ordem de área da seção (m4)
Io Momento de segunda ordem de área da seção quadrada de referência (m
4)
Z Módulo de seção da seção (m3)
Zo Módulo de seção da seção quadrada de referência (m
3)
K Momento de torção de área (m4)
Ko Momento de torção de área para a seção quadrada de referência (m
4)
Q Módulo de torção da seção (m3)
Qo Módulo de torção de seção para a seção quadrada de referência (m
3)
φeB Fator de macroforma para deflexão sob flexão elástica (−)
φfB Fator de macroforma para início de plasticidade ou falha sob flexão (−)
φeT Fator de macroforma para deflexão por torção elástica (−)
φfT Fator de macroforma para início de plasticidade ou falha sob torção (−)
ψeB Fator de microforma para deflexão sob flexão elástica (−)
ψfB Fator de microforma para início de plasticidade ou falha sob flexão (−)
ψeT Fator de microforma para deflexão por torção elástica (−)
ψfT Fator de microforma para início de plasticidade ou falha sob torção (−)
SB Rigidez à flexão (N/m)
ST Rigidez à torção (N.m)
(EI) Termo essencialem rigidez à flexão (N.m2)
(Zσf ) Termo essencial em resistência à flexão (N.m)
t Espessura de alma e flange (m)
c Altura da alma (m)
d Altura da seção (2t + c) de sanduíche (m)
b Largura de seção (flange) (m)
L Comprimento de seção (m)
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
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Sob tensão axial, a área da seção transversal é importante, porém sua forma não é: todas as 
seções que têm a mesma área suportarão a mesma carga. Isso não acontece sob flexão: vigas 
caixão de seção oca ou vigas de seção I são melhores do que as de seções sólidas que tenham 
a mesma área de seção transversal. Também a torção tem suas formas eficientes: tubos circu-
lares, por exemplo, são mais eficientes do que seções sólidas ou seções I. Para caracterizar isso 
precisamos de uma métrica – um modo de medir a eficiência estrutural de uma forma de seção, 
independentemente do material do qual ela é feita. Uma métrica óbvia é dada pela razão φ (fi) 
entre a rigidez ou a resistência da seção conformada e a rigidez ou a resistência de uma for-
ma de referência “neutra” que entendemos ser a de uma seção quadrada sólida com a mesma 
área de seção transversal A e, por consequência, a mesma massa por unidade de comprimento 
ml, da seção conformada (Figura 9.4).
Flexão elástica de vigas A rigidez à flexão S de uma viga (Figura 9.3(b)) é proporcional 
ao produto EI:
FIGURA 9.3
Modos de carregamento comuns e as formas da seção que são escolhidas para suportá-los: (a) tração axial, (b) flexão, 
(c) torção e (d) compressão axial, que pode resultar em flambagem.
bo
(a)
(b)
(c)
(d)
Tirante
(tração)
y
x
bo
F F
Área A
y
x
b
bF
F Coluna
(compressão)
y
Viga
(flexão)x
M M
Eixo
(torção)
y
r
t
T
T
x
L
9 .2 Fatores de forma
223
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S EI
L3
Aqui E é o módulo de Young e I é o momento de segunda ordem de área da viga de com-
primento L ao redor do eixo de flexão (o eixo x):
 I =
seção
y2dA (9.1)
onde y é medido na normal ao eixo de flexão e dA é o elemento diferencial de área em y. Valores 
do momento I e da área A para seções comuns são apresentados nas duas primeiras colunas da 
Tabela 9.2. Os valores para as formas mais complexas são aproximados, porém completamente 
adequados para as necessidades presentes. O momento de segunda ordem de área, Io, para 
uma viga de seção quadrada de referência com comprimento de borda bo e área de seção A	=	b2o 
é simplesmente:
 Io =
b4o
12
= A
2
12
 (9.2)
(Aqui e em todos os outros lugares o subscrito o refere-se à seção quadrada sólida de referência.) 
A rigidez à flexão da seção conformada difere da rigidez à flexão de uma seção quadrada com 
a mesma área A pelo fator φeB onde:
 e
B
= S
So
= EI
EIo
= 12 I
A2 (9.3)
Esse fator φeB é denominado fator de forma para flexão elástica. Observe que ele é adimensional 
– I tem dimensões de (comprimento)4 e A2 também. Ele depende somente da forma, e não da 
escala: vigas grandes e vigas pequenas têm o mesmo valor de φeB se as formas de suas seções 
forem as mesmas.1 Isso é mostrado na Figura 9.5. Os três membros de cada grupo horizontal têm 
1 Esse fator de eficiência para forma elástica está relacionado com o raio de giração, Rg, por φeB = 12R2g/A. Está 
relacionado com o “parâmetro de forma”, k1, de Shanley (1960) por φeB = 12k1.
Área Ao
Momento de segunda ordem Io
Área A = Ao
Momento de segunda ordem I = 2,5 Io
Área A = Ao/4
Momento de segunda ordem I = Io
FIGURA 9.4
O efeito da forma da seção sobre a rigidez à flexão EI: uma viga de seção quadrada comparada: à esquerda, com um tubo de 
mesma área (porém 2,5 vezes mais rijo); à direita, com um tubo de igual rigidez (porém 4 vezes mais leve).
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
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Tabela 9.2 Momentos de seções (com unidades)
Forma da seção Área A (m2) Momento I (m4) Momento K (m4) Momento Z (m3) Momento Q (m3)
b
h bh bh
3
12
bh 3
3
1 0,58 b
h
( h > b)
bh 2
6
b2 h2
(3h + 1,8b)
(h > b)
a
a
4
a2
a4
32
a4
80
a3
32
a3
20
2r r2 4
r4
2
r4
4
r3
2
r3
2b
2a
ab 4
a3 b a
3 b3
( a2+ b2) 4
a2 b 2
a2 b
( a < b)
2ro
t
2ri
( r2o r
2
i )
2 rt≈
4
( r4o r
4
i )
r≈ 3t
2
( r4o r
4
i )
2 r≈ 3 t
4 ro
( r4o r
4
i )
r≈ 2 t
2 ro
( r4o r
4
i )
2 r≈ 2 t
t
h
b
2t( h + b)
( h,b >> t)
1
6
h3t 1+3 b
h
2tb2h2
( h + b)
1 t
h
4 1
3
h2 t 1+3 b
h
2 tbh 1 t
h
2
t
2a 
2b
( a + b) t
( a,b >> t) 4
a3 t 1+ 3 b
a
4 ( ab) 5/2t
( a2 + b2) 4
a2t 1+ 3 b
a
2 t ( a3b) 1/2
( b > a)
t
b
hohi
b( ho hi)
2 bt
( h,b >> t)
b
12
( h3o h
3
i )
1
2
bth2o
–
b
6 ho
( h3o h
3
i )
btho
–
t
2t
b
h
2 t( h + b)
( h,b >> t)
1
6
h3t 1+3 b
h
2
3
bt 3 1+4 h
b
1
3
h2 t 1+3 b
h
2
3
bt 2 1+4 h
b
2t
2t
h
2 t( h + b)
( h,b >> t)
t
6
( h3 + 4bt 2) t
3
3
(8b + h)
t
3h
h3 + 4bt 2 t2
3
(8b + h)
2t
t
b
h 2 t( h + b)
( h,b >> t)
t
6
h3 + 4bt 2 2
3
ht 3 1 + 4b
h
t
3h
h3 + 4bt 2 2
3
ht 2 1 + 4 b
h
9 .2 Fatores de forma
225
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escalas diferentes, mas o mesmo fator de forma – cada 
membro é uma versão ampliada ou reduzida de seus 
vizinhos. Fatores de eficiência de forma φeB para formas 
comuns sob flexão, calculados pelas expressões para A 
e I na Tabela 9.2, são apresentados na primeira coluna 
da Tabela 9.3. Seções sólidas equiaxiais (circulares, 
quadradas, hexagonais, octogonais) têm valores muito 
próximos de 1 – para finalidades práticas podem ser con-
siderados como iguais a 1. Porém, se a seção é alongada, 
oca ou de seção I, as coisas mudam; um tubo de parede 
fina ou uma viga I delgada pode ter um valor de 50 ou 
mais. Uma viga com φeB = 50 é 50 vezes mais rija do que 
uma viga sólida com o mesmo peso.
A Figura 9.6 é um gráfico de I em relação a A para 
valores de φeB (Equação (9.3)). O contorno para φ
e
B = 1 
descreve a viga de seção quadrada de referência. Os 
contornos para φeB = 10 e φ
e
B = 100 descrevem formas mais 
eficientes, como sugerem os ícones embaixo à esquerda, 
em cada uma das quais o eixo de flexão é horizontal. Po-
rém, nem sempre o que queremos é alta rigidez. Molas, 
berços, suspensões, cabos e outras estruturas que devem 
sofrer flexão e ao mesmo tempo têm alta resistência à 
tração confiam na baixa rigidez à flexão. Então queremos baixa eficiência de forma, conseguida 
mediante o espalhamento do material em um plano que contenha o eixo de flexão para formar 
chapas ou fios (arames), como sugerido pelos contornos para φeB = 0,1 e 0,01.
Torção elástica de eixos (Figura 9.3(c)) Formas que resistem bem à flexão podem não 
ser tão boas quando submetidas à torção. A rigidez de um eixo – o torque T dividido pelo ân-
gulo de torção θ – é proporcional a GK, onde G é seu módulo de elasticidade transversal e K é 
seu momento de área de torção. Para seções circulares, K é idêntico ao momento polar de área J:
 J = ∫
seção
r2dA (9.4)
onde dA é o elemento diferencial de área à distância radial r, medida desde o centro da seção. 
Para seções não circulares K é menor do que J; é definido de modo tal que o ângulo de torção 
θ está relacionado com o torque T por:
FIGURA 9.5
(a) Um conjunto de seções retangulares com 
φeB = 2. (b) Um conjunto de seções I com 
φeB = 10. (c) Um conjunto de tubos com φeB = 15. 
Membros de um conjunto são diferentes no 
tamanho, mas não na forma.
(a)
(b)
(c)
φB= 2
e
φB= 10
e
φB= 15
e
Um tubo tem raio r = 10 mm e espessura de parede t = 1 mm . De quanto ele é mais rijo sob flexão do 
que um cilindro sólido com a mesma massa por unidade de comprimento ml?
Resposta
A diferença é a razão entre os dois fatores de forma . O fator de forma para o tubo, pela Tabela 9 .3, é 
e
B =
3
π
r
t = 9,55 . Para um sólido de seção circular é 
e
B =
3
π = 0 .955 . O tubo é mais rijo por um fator de 10 .
Cálculo de fatores de forma
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
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Des_Mecanico.indb 226 02/03/12 16:30
Tabela 9.3 Fatores de eficiência de forma
Forma da seção Fator de flexão φeB Fator de torçãoφeT Fator de flexão φfB Fator de torção φfT
b
h h
b
2,38 h
b
1 – 0,58b
h
( h > b)
h
b
0,5 1,6 b
h
1
1 + 0,6b
h
( h > b)
a
a 2 = 1,15
3
0,832 3
1/4
2
= 0,658 0,83
2r 
3 = 0,955 1,14
3
2
= 0,846 1,35
2b
2a 3 a
b
2,28 ab
( a2 + b2)
3
2
a
b 1,35
a
b
( a < b)
2ro
t
2ri
3 r
t
( r >> t) 1,14 r
t
3
2
r
t
1,91 r
t
t
h
b
1
2
h
t
(1 + 3b/h)
(1 + b/h) 2
( h,b >> t)
3,57b2 1 t
h
4
th 1 + b
h
3
1
2
h
t
1 + 3b
h
1 + b
h
3/2
3,39 h
2
bt
1
1 + h
b
3/2
t
2a 
2b
3 a
t
(1 + 3b/a)
(1 + b/a) 2
( a,b >> t)
9,12 ( ab ) 5/2
t( a2 + b2)( a + b) 2
3
2
a
t
1 + 3b
a
1 + b
a
3/2
5,41 a
t
1
1 + a
b
3/2
t
b
hohi
3
2
h2o
bt
( h,b >> t) –
3
2
ho
bt
–
t
2t
b
h
1
2
h
t
(1 +3 b/h)
(1 + b/h) 2
( h,b >> t)
1,19 t
b
1 + 4h
b
1 + h
b
2
1
2
h
t
1 + 3b
h
1 + b
h
3/2
1,13 t
b
1 + 4h
b
1 + h
b
3/2
2t
2t
h
1
2
h
t
(1 + 4bt2/h3)
(1 + b/h) 2
(h,b t)
0,595 t
h
1 + 8b
h
1 + b
h
2
3
4
h
t
1 + 4bt
2
h3
1 + b
h
3/2
0,565 t
h
1 + 8b
h
1 + b
h
3/2
2t
t
b
h
1
2
h
t
(1 + 4bt2/h3)
(1 + b/h) 2
( h,b >> t)
1,19 t
h
1 + 4b
h
1 + b
h
2
3
4
h
t
1 + 4bt
2
h3
1 + b
h
3/2
1,13 t
h
1 + 4b
h
1 + b
h
3/2
9 .2 Fatores de forma
227
Des_Mecanico.indb 227 02/03/12 16:30
 ST = T = KGL
 (9.5)
onde L é o comprimento do eixo e G é o módulo de elasticidade transversal do material do qual 
ele é feito. Expressões aproximadas para K são apresentadas na Tabela 9.2.
O fator de forma para torção elástica é definido, como antes, pela razão entre a rigidez à 
torção das seções conformadas ST e a de um eixo quadrado sólido STo do mesmo comprimento 
L e seção transversal A, que, usando a Equação (9.5), é:
 eT =
ST
STo
= K
Ko
 (9.6)
A constante de torção Ko para uma seção quadrada sólida (Tabela 9.2, primeira fila com b	=	h) é:
ko = 0,14 A2
o que dá:
 eT = 7,14
K
A2 (9.7)
Também ela tem o valor 1 para uma seção quadrada sólida e tem valores próximos de 1 para 
qualquer seção sólida equiaxial; porém, para formas com paredes finas, em particular tubos, 
M
o
m
en
to
 d
e 
se
g
un
d
a 
o
rd
em
 d
e 
ár
ea
 I 
(m
4 )
Área de seção A (m2)
10−4 10−3 10−2 10−1 1
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
10−8
10−9
 10 1
0,1
Seções de aço
estrutural
Seções de madeira
estrutural
Seções de alumínio
extrudado
φBe = 100
0,01
Flexão elástica
FIGURA 9.6 8
Gráfico do momento de segunda ordem de área I em relação à área da seção A. Estruturas eficientes têm valores altos da 
razão I ⁄A2; estruturas ineficientes (as que sofrem flexão com facilidade) têm valores baixos. Seções estruturais reais têm valores 
de I e A que se encontram nas zonas sombreadas. Observe que há limites para A e para a eficiência de forma máxima φeB que 
dependem do material.
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
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Des_Mecanico.indb 228 02/03/12 16:30
essa constante pode ser grande. Como antes, seções com um mesmo valor de φeT são diferentes 
no tamanho, mas não na forma. Valores derivados das expressões para K e A na Tabela 9.2 são 
apresentados na Tabela 9.3.
Falha sob flexão Plasticidade começa quando a tensão, em algum lugar, alcança pela pri-
meira vez a resistência ao escoamento σy; ocorre fratura quando essa tensão ultrapassa pela 
primeira vez a resistência à fratura σfr; ocorre falha por fadiga se exceder o limite de fadiga σe. 
Qualquer um desses fatos constitui falha. Como em capítulos anteriores, usamos o símbolo σf 
para a tensão de falha, o que quer dizer “a tensão local que primeiro causará falha por escoa-
mento ou fratura ou fadiga”.
Sob flexão, a tensão σ é maior no ponto ym sobre a superfície da viga que estiver mais afas-
tado do eixo neutro. Seu valor é:
 = Mym
I
= M
Z
 (9.8)
onde M é o momento fletor. Ocorre falha quando, pela primeira vez, essa tensão excede σf. Assim, 
em problemas de falha de viga, a forma entra por meio do módulo de seção, Z = I/ym. A eficiência 
de resistência da viga conformada φfB é medida pela razão Z/Zo, onde Zo é o módulo de seção de 
uma viga de seção quadrada de referência com a mesma área da seção transversal, A:
 Zo =
b3o
6
= A
3/2
6
 (9.9)
Assim:
 fB =
Z
Zo
= 6 Z
A3/2 (9.10)
Como o outro fator de eficiência de forma, ele é adimensional e, portanto, independente de 
escala. Como antes, φfB = 1 descreve a viga de seção quadrada de referência. A Tabela 9.3 dá ex-
pressões para φfB para outras formas derivadas dos valores do módulo de seção, Z, na Tabela 9.2. 
Uma viga com um fator de falha por eficiência de forma 10 é 10 vezes mais forte sob flexão do 
que uma seção quadrada sólida com o mesmo peso. A Figura 9.7 é um gráfico de Z em relação 
a A para valores de φfB (Equação (9.10)). Os outros contornos descrevem formas que são mais ou 
menos eficientes, como sugerem os ícones.
Uma viga caixão tem seção quadrada com altura h = 100 mm, largura b = 100 mm e espessura de 
parede t = 5 mm . Qual é o valor de seu fator de forma φfB?
Resposta
O fator de forma para a seção caixão, pela Tabela 9 .3, é fB = 1 ht
1 + 3bh
1 + bh
3/2 = 4,47 . A seção caixão é mais 
forte do que uma viga sólida de seção quadrada com a mesma massa por unidade de comprimento 
por um fator de 4,5 .
Avaliação de fatores de forma
9 .2 Fatores de forma
229
Des_Mecanico.indb 229 02/03/12 16:30
Falha sob torção Sob torção o problema é mais complicado. Para hastes ou tubos circu-
lares sujeitos a um torque T (como na Figura 9.3(c)) a tensão de cisalhamento τ é um máximo 
na superfície externa, à distância radial rm do eixo de flexão:
 = Trm
J
 (9.11)
A quantidade J/rm sob torção tem o mesmo caráter que I/ym sob flexão. Para seções não 
circulares com extremidades livres para empenar, a tensão de superfície máxima é dada por:
 = T
Q
 (9.12)
onde Q, com unidades de m3, agora desempenha o papel na torção que Z desempenha sob 
flexão. Isso permite a definição de um fator de forma, φfT, para falha sob torção, seguindo o 
mesmo padrão de antes:
 fT =
Q
Qo
= 4,8 Q
A3/2
 (9.13)
Valores de Q e φfT são apresentados nas Tabelas 9.2 e 9.3. Eixos com seções equiaxiais sólidas 
têm valores de φfT próximos de 1.
FIGURA 9.7 8
Gráfico do módulo de seção Z em relação à área da seção A. Estruturas eficientes têm valores altos da razão Z⁄A3⁄2; estruturas 
ineficientes (as que sofrem flexão com facilidade) têm valores baixos. Seções estruturais reais têm valores de Z e A que se 
encontram nas zonas sombreadas. Observe que há limites para A e para a eficiência de forma máxima φfB que depende do 
material.
Área de seção A (m2)
M
ó
d
ul
o
 d
e 
se
çã
o
 Z
 (m
3
)
10−1
10−2
10−110−2
10−3
10−3
10−4
10−4
10−5
10−6
10−7
1
10
1
Seções de aço
estrutural
Seções de madeira
estrutural
Seções de alumínio
extrudado
0,01
0,1
Flexão plástica φBf = 100
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
230
Des_Mecanico.indb 230 02/03/12 16:30
Flexão ou torção totalmente plástica (tal que a resistência ao escoamento é ultrapassada 
em toda a seção) envolve mais um par de fatores de forma. Em termos gerais, formas que resistem 
bem ao início da plasticidade são também resistentes à plasticidade total, portanto φplB não é muito 
diferente de φfB. Nesse estágio, novos fatores de forma para essas formas não são necessários.
Carregamento axial: flambagem de coluna Uma coluna de comprimento L, carregada 
sob compressão, sofre flambagem elástica quando a carga excede a carga de Euler:
 Fc =
n2π2 EImín
L2
 (9.14)
onde n é uma constante que depende das restrições às extremidades. Então, a resistência à 
flambagem depende do menor momento de segunda ordem de área, Imín, e o fator de forma 
apropriado (φeB) é o mesmo que o para flexão elástica (Equação (9.3)) com Imín no lugar de I.
9.3 lIMITES PARA A EfICIÊNCIA DE fORMA
As conclusões até agora: se quisermos fazer estruturas rígidas, fortes e eficientes (usando o 
mínimo possível de material), temos de conseguir os maiores fatores de eficiência de forma 
possíveis. Então, poderíamos dizer que quanto maior o valor de φ, melhor. Verdade, porém há 
limites,que examinaremos em seguida.
Limites empíricos Há limites práticos para a esbelteza de seções, que determinam, para 
um dado material, as máximas eficiências atingíveis. Esses limites podem ser impostos por 
restrições à fabricação: a dificuldade ou despesa envolvida na fabricação de uma forma eficiente 
pode ser, simplesmente, grande demais. Mais frequentemente eles são impostos pelas proprieda-
des do material em si, porque são elas que determinam o modo de falha da seção. Estudaremos 
esses limites de dois modos. O primeiro é empírico: examinando as formas nas quais materiais 
reais – aço, alumínio e assim por diante – são feitos de fato, registrando a eficiência limitadora de 
seções disponíveis. O segundo é pela análise da estabilidade mecânica de seções conformadas.
Seções padronizadas para vigas, eixos e colunas são, em geral, prismáticas. É fácil fabricar 
formas prismáticas por laminação, extrusão, trefilação, pultrusão ou serradura (veja a foto na 
Uma coluna cilíndrica sólida delgada de altura L suporta uma carga F . Se supercarregada, a coluna 
falhará por flambagem elástica . De quanto aumentará a capacidade de suportar carga se o cilindro 
sólido for substituído por um tubo circular oco com a mesma seção transversal A?
Resposta
Substituindo Imín na Equação 9 .14 por φeB A2/12 da Equação 9 .3 obtemos:
Fc =
n2π2 A2
12 L2
E eB
A carga de falha aumenta conforme a razão entre o fator de forma para o tubo e o fator de forma do 
cilindro sólido . O fator de forma para um tubo de parede fina é φeB = 3 r /π t; para o cilindro sólido é 
φeB = 3/π (Tabela 9 .3) . A razão é r/t, onde r é raio e t é a espessura de parede do tubo .
Aumento da resistência por conformação
9 .3 Limites para a eficiência de forma
231
Des_Mecanico.indb 231 02/03/12 16:30
página de abertura deste capítulo). A seção pode ser sólida, oca fechada (como um tubo ou 
caixão), ou oca aberta (uma seção I, U ou L, por exemplo). Cada classe de forma pode ser feita 
de uma gama de materiais. Algumas estão disponíveis em seções padronizadas existentes no 
comércio, notavelmente de aço estrutural, liga de alumínio extrudada, GFRP pultrudado (po-
liéster reforçado com fibra de vidro, ou epóxi), e madeira estrutural. A Figura 9.8 mostra valores 
para I e A (os mesmos eixos da Figura 9.6) para 1.880 seções padronizadas feitas desses quatro 
materiais, com contornos do fator de forma φeB superpostos. Algumas dessas seções têm φ
e
B ≈ 1; 
são as que têm seções sólidas cilíndricas ou quadradas. Mais interessante é que nenhuma tem 
valor de φeB maior do que aproximadamente 65; há um limite superior para a forma. Um gráfico 
semelhante para Z e A (os eixos da Figura 9.7) indica um limite superior para φfB de aproxima-
damente 15. Quando esses dados são segregados por material,2 constatamos que cada um tem 
seu próprio limite superior de forma e que esses limites são muitíssimo diferentes. Limites 
semelhantes também valem para fatores de forma de torção. São apresentados na Tabela 9.4 e 
aparecem no gráfico como faixas sombreadas na Figuras 9.6 e 9.7.
Os limites superiores para eficiência de forma são importantes. São centrais para o projeto 
de estruturas leves ou para as quais, por outras razões (custo, talvez), o conteúdo de material 
deve ser minimizado. Então surgem duas perguntas. O que determina o limite superior para a 
eficiência de forma? E por que o limite depende do material? Uma explicação é simplesmente 
a dificuldade de fazê-las – uma restrição à fabricação. Aço, por exemplo, pode ser trefilado em 
tubos de parede fina ou conformado (por laminação, dobradura ou soldagem) em eficientes 
seções I; fatores de forma de até 50 são comuns. A madeira pode não ser tão fácil de conformar; 
a tecnologia do compensado de madeira poderia, em princípio, ser usada para fazer tubos finos 
ou seções I, porém, na prática, formas com valores de φeB maiores do que 5 são incomuns. Tam-
bém os compósitos podem ser limitados pela atual dificuldade de transformá-los em formas 
prismáticas de parede fina, embora a tecnologia para tal exista agora.
Porém, há uma restrição mais fundamental para a eficiência de forma. Tem a ver com flam-
bagem local.
Limites impostos por flambagem local Quando formas eficientes podem ser fabricadas, 
os limites da eficiência são determinados pela competição entre modos de falha. Seções ine-
ficientes falham de um modo simples: sofrem escoamento, fratura, ou sofrem flambagem de 
grande escala. Quando procuramos mais eficiência, escolhemos uma forma que aumente a carga 
exigida para o modo de falha simples; porém, ao fazermos isso, a estrutura é empurrada para 
mais perto da carga à qual novos modos de falha – em particular os que envolvem flambagem 
local – tornam-se dominantes.
É uma característica das formas que se aproximam de seu limite de eficiência que dois ou 
mais modos de falha ocorram quase à mesma carga. Por quê? Damos uma explicação simpló-
ria. Se a falha por um mecanismo ocorrer a uma carga mais baixa do que as outras, a forma da 
seção pode ser ajustada para suprimi-la; porém, isso empurra a carga para cima até que outro 
mecanismo torna-se dominante. Se a forma for descrita por uma única variável (φ), quando 
dois mecanismos ocorrem à mesma carga, temos de parar – nenhum outro ajuste de forma pode 
2 Birmingham & Jobling (1996); Weaver & Ashby (1997).
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
232
Des_Mecanico.indb 232 02/03/12 16:30
melhorar as coisas. Acrescentar tramas, nervuras ou outros enrijecedores resulta em variáveis 
adicionais, o que permite que a forma seja otimizada ainda mais, porém não discutiremos esse 
assunto aqui.
O melhor modo de ilustrar o que acabamos de dizer é com um exemplo simples. Pense em 
um canudinho para beber refrigerante – é um tubo oco de parede fina com aproximadamente 
5 mm de diâmetro. É feito de poliestireno, porém não muito. Se o canudinho fosse transformado 
em um cilindro sólido, o cilindro teria menos de 1 mm de diâmetro e, como o poliestireno tem 
baixo módulo, teria baixa rigidez à flexão. Se curvado o suficiente, falharia por escoamento 
plástico; um pouco mais, falharia por fratura. Agora restaure o cilindro sólido à forma anterior 
do canudinho e curve-o. Ele está muito mais rijo do que antes, porém, à medida que é curvado, 
FIGURA 9.8 8
Gráfico de log (I ) em relação a log (A) para seções padronizadas de aço, alumínio, GFRP pultrudado e madeira. Contornos de 
φeB são mostrados, ilustrando que há um limite superior. Um gráfico semelhante para log (Z ) em relação a log (A) revela um 
limite superior para φfB.
Área de seção A (m2)
M
o
m
en
to
 d
e 
se
g
un
d
a 
o
rd
em
 d
e 
ár
ea
 (p
ri
nc
ip
al
) I
 (m
4 )
10−2
10−4
10−6
10−8
10−10
10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
Flexão elástica
Alumínio
Aço
Madeira macia
GFRP pultrudado
10
0
10
1
1
φBe = 100
φBe = 1
φBe = 10
10
0 10
Tabela 9.4 Limites superiores empíricos para os fatores de forma φeB, φeT, φfB e φfT
Material (φeB)máx (φeT)máx (φfB)máx (φfT)máx
Aço estrutural 65 25 13 7
Liga de alumínio 6061 44 31 10 8
GFRP e CFRP 39 26 9 7
Polímeros (por exemplo, náilons) 12 8 5 4
Madeiras (seções sólidas) 5 1 3 1
Elastômeros < 6 3 – –
9 .3 Limites para a eficiência de forma
233
Des_Mecanico.indb 233 02/03/12 16:30
adota uma forma ovalada e então falha repentinamente por retorcedura – uma forma de flam-
bagem local (experimente).
Uma análise mais completa3 indica que a máxima eficiência de forma prática – quando não 
limitada por restrições à fabricação – é de fato ditada pelo início de flambagem local. Uma se-
ção de parede grossa, carregada sob flexão, sofre escoamento antes de sofrer flambagem local. 
Podemos aumentar sua eficiência aumentando sua esbelteza de modos que aumentem I e Z, o 
que amplia tanto sua rigidez quanto a carga que suporta antes de sofrer escoamento, mas reduz 
a carga à qual as paredes cada vez mais esbeltas da seção começam a flambar. Quando a carga 
para flambagem local cai abaixo da carga para escoamento, a seção falhapor flambagem – e isso é 
indesejável porque a flambagem é dependente de defeito e pode levar a um colapso repentino 
e imprevisível. A implicação que tiramos de versões detalhadas de gráficos como o da Figura 9.8 é 
que seções reais são projetadas para evitar flambagem local, o que determina o limite superior 
da eficiência de forma. Não é nenhuma surpresa que o limite dependa do material – os que têm 
baixa resistência e alto módulo escoam facilmente, mas não sofrem flambagem facilmente, e 
vice-versa. Uma regra prática que decorre disso é:
 ( eB)máx ≈ 2,3
E
f
1/2
 (9.15a)
e:4
 (( fB)máx ≈
e
B)máx (9.15b)
que permitem estimativas aproximadas para a máxima eficiência de forma de materiais. A ma-
deira, de acordo com essas equações, é capaz de eficiência de forma muitíssimo maior do que as 
de seções padronizadas de madeira de construção (ou madeira estrutural). Essa alta eficiência 
pode ser realizada pela tecnologia do compensado, porém tais seções não são padronizadas.
É possível conseguir eficiências muito mais altas quando as condições de carregamento são 
conhecidas com precisão, o que permite a aplicação padronizada de enrijecedores e almas para 
suprimir flambagem local. Isso resulta em um aumento adicional nos fatores de forma (φ) até 
o aparecimento de falha ou de novos modos de flambagem localizada. Também esses podem 
ser suprimidos por uma hierarquia de estruturação adicional; no final, os fatores de forma (φ) 
são limitados somente por restrições à fabricação. Porém, isso está ficando mais sofisticado do 
que precisamos para uma seleção geral de material e forma. A Equação (9.15) fará tudo o que 
precisamos.
9.4 ExPlORAçãO DE COMBINAçõES MATERIAl-fORMA
Projeto limitado por rigidez O diagrama de propriedades de materiais E − ρ apresenta pro-
priedades de materiais. O diagrama forma-eficiência da Figura 9.6 captura informações sobre a 
influência da forma sobre a rigidez à flexão. Se ligarmos os dois,5 o desempenho da seção pode 
3 Cf. Gerard (1956) e Weaver & Ashby (1997) na Seção 9.9.
4 Uma consequência do fato de que I/Zh ≈ 0,5 onde h é a profundidade da seção.
5 Birmingham (1996).
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
234
Des_Mecanico.indb 234 02/03/12 16:31
ser estudado. Na Figura 9.9 os dois diagramas estão localizados em vértices opostos de um qua-
drado. O diagrama de propriedades de materiais (aqui muito simplificado, mostrando apenas 
uns poucos materiais) está em cima, à esquerda. O diagrama forma-eficiência está embaixo, à 
direita, com os eixos trocados de modo que I encontra-se ao longo da parte inferior e A está na 
lateral; faixas sombreadas nesse gráfico mostram as áreas ocupadas, derivadas de gráficos como 
os da Figura 9.8. Os dois quadrantes restantes formam automaticamente mais dois diagramas, 
cada um compartilhando eixos com os dois primeiros. O que está em cima, à direita, tem eixos 
E e I; as linhas diagonais mostram a rigidez à flexão da seção EI. O que se encontra embaixo, à 
esquerda, tem eixos A e ρ; os contornos diagonais mostram a métrica de desempenho: a massa 
por unidade de comprimento, ml = ρ	A, da seção.
FIGURA 9.9 8
A montagem do diagrama de quatro quadrantes para explorar seções estruturais em projeto limitado por rigidez durante flexão. 
Cada diagrama compartilha seus eixos com seus vizinhos.
Momento de segunda ordem de área I (m4)
10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
Restrição
à rigidez
M
ó
d
ul
o
 E
 (G
P
a)
10
30
100
300
3
108Nm2
102
103 104 105 10
6 10
7
Momento de segunda ordem de área I (m4)
Á
re
a 
d
e 
se
çã
o
 A
 (m
2 )
10−4
10−3
10−2
10−1
1
Forma
da seção
10
1
Seções
de aço
Seções de
madeira de
construção
Seções de
alumínio
M
ó
d
ul
o
 E
 (G
P
a)
Densidade ρ (kg/m3)
10
30
100
300
3
Material
500 1.000 3.000 10.000
Aços
Ligas de Ti
GFRP
Ligas de Al
Ligas de Mg
Madeira
de lei
Madeira macia
CFRP
Vidro
Densidade ρ (kg/m3)
Desempenho
500 1.000 3.000 10.000
Á
re
a 
d
e 
se
çã
o
 A
 (m
2 )
10−4
10−3
10−2
10−1
1
1 kg/m
1.000 kg/m
3
10
33
100
333 0,1
10 Nm2
φBe =
=100
φBe = 0,01
9 .4 Exploração de combinações material-forma
235
Des_Mecanico.indb 235 02/03/12 16:31
Esse conjunto de diagramas permite a avaliação e a comparação de seções limitadas por 
rigidez. Pode ser usado de vários modos, dos quais o que descrevemos a seguir são típicos. Está 
ilustrado na Figura 9.10.
 ▪ Escolha um material para a seção e marque seu módulo E e densidade ρ sobre o 
diagrama de propriedade de material no primeiro quadrante da figura.
 ▪ Escolha a rigidez de seção desejada (EI); é uma restrição que deve ser cumprida pela 
seção. Trace uma linha horizontal desde o valor de E para o material até o contorno 
adequado no diagrama de restrição à rigidez no segundo quadrante.
 ▪ Puxe uma linha vertical desse ponto até o diagrama de forma de seção no terceiro 
quadrante até encontrar a linha que descreve o fator de forma φeB para a seção. Valores de 
I e A fora das faixas sombreadas são proibidos.
 ▪ Estenda a linha horizontal desse ponto até o diagrama de desempenho no último 
quadrante. Puxe uma linha vertical desde a densidade ρ no diagrama de materiais. 
A interseção mostra a massa por unidade de comprimento da seção.
O exemplo da Figura 9.11 compara a massa de seções de aço laminado e de alumínio extru-
dado para seções com φeB = 10 e para seções de madeira de construção com φ
e
B = 2, com a restrição 
de rigidez à flexão de 106 N.m2. A seção de alumínio extrudado dá a viga mais leve. Notável 
é que uma viga de aço eficientemente conformada é quase tão leve – para uma determinada 
rigidez à flexão – quanto uma feita de madeira de construção, ainda que a densidade de aço seja 
12 vezes maior do que a da madeira. Isso se deve ao fator de forma mais alto possível com aço.
FIGURA 9.10 8
Um desenho esquemático que mostra como o diagrama de quatro quadrantes é usado.
Material Restrição
à rigidez
Forma
da seçãoDesempenho
EI = 
= 106 Nm2
Alumínio
Madeira macia
Massa/comprimento
crescente
Forma
crescente
Lo
g
 E
Lo
g
 E
Log I
Log I
Log ρ
Log ρ
Lo
g
 A
Lo
g
 A
EI 
ρA
φBe
Rigidez
crescente
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
236
Des_Mecanico.indb 236 02/03/12 16:31
Projeto limitado por resistência O raciocínio nesse caso segue um caminho semelhan-
te. Na Figura 9.12, há o diagrama de propriedade de material resistência-densidade (σf	−	ρ) 
localizado em cima, à esquerda. O diagrama de forma Z-A (refere-se à Figura 9.7 com os eixos 
trocados) está embaixo, à direita. Como antes, os dois quadrantes restantes geram mais dois 
diagramas. O diagrama de restrição à resistência em cima, à direita, tem eixos σf e Z; as linhas 
diagonais mostram a resistência à flexão da seção, Zσf. O diagrama de desempenho embaixo à 
esquerda tem os mesmos eixos que antes – A e ρ – e os contornos diagonais novamente mostram 
a métrica de desempenho: a massa por unidade de comprimento, ml	=	ρ	A, da seção.
É usado do mesmo modo que o usado para projeto limitado por rigidez. Experimente usá-
-lo para aço com φfB = 15, alumínio com φ
f
B = 10 e GFRP com φ
f
B = 5 para um momento de falha 
exigido de Z σf = 104 N.m. Você constatará que GFRP oferece a solução mais leve de todas.
FIGURA 9.11 8
Uma comparação entre seções de aço, alumínio e madeira para um projeto limitado por rigidez com EI = 106 Nm2. Alumínio dá 
uma seção com massa de 10 kg/m; aço é quase três vezes mais pesado.
9 .4 Exploração de combinações material-forma
Momento de segunda ordem de área I (m4)
10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
Restrição
à rigidez
M
ó
d
ul
o
 E
 (G
P
a)
10
30
100
300
3
10 Nm2
108Nm2
102 10
3 104 105 10
6 10
7
Momento de segunda ordem de área I (m4)
Á
re
a 
d
e 
se
çã
o
 A
 (m
2 )
10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
10−4
10−3
10−2
10−1
1
Forma
da seção
10
10,1
Seções
de aço
Seções de
madeira de
construção
Seções de
alumínio
M
ó
d
ul
o
 E
 (G
P
a)
Densidadeρ (kg/m3)
10
30
100
300
3
Material
500 1.000 3.000 10.000
Aços
Ligas de Ti
GFRP
Ligas de Al
Ligas de Mg
Madeira
de lei
Madeira
macia
CFRP
Vidro
Densidade ρ (kg/m3)
Desempenho
500 1.000 3.000 10.000
Á
re
a 
d
e 
se
çã
o
 A
 (m
2 )
10−4
10−3
10−2
10−1
1
1 kg/m
1000 kg/m
3
10
33
100
333
Aço
Ligas de Al
Madeira
macia
φBe =
= 100
φBe = 0,01
φBe = 10
φBe = 2
237
Des_Mecanico.indb 237 02/03/12 16:31
9.5 ÍNDICES DE MATERIAIS QuE INCluEM fORMA
Os arranjos de diagramas nas Figuras 9.9 e 9.12 ligam material, forma, restrição e objetivo de 
desempenho de um modo gráfico, porém bastante desajeitado. Existe um modo mais elegante: 
embuti-los nos índices de materiais do Capítulo 5. Lembre-se de que a maioria dos índices não 
precisa desse refinamento – o desempenho que eles caracterizam não depende de forma. Porém, 
o projeto limitado por rigidez e resistência depende. Os índices para esses podem ser adaptados 
para incluir o fator de forma relevante, de modo tal que caracterizem combinações material-forma.
O método é ilustrado no projeto para peso mínimo apresentado a seguir, que pode ser 
adaptado a outros objetivos de modos óbvios. O método decorre das derivações do Capítulo 5, 
com uma etapa extra para incluir a forma.
10
30
100
300
1.000
Módulo de seção Z (m3)
10−7
10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
10−4
10−3
10−2
10−1
10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
10 Nm
107Nm
102 103 104 105
106
R
es
is
tê
nc
ia
 σ
 (M
P
a)
R
es
is
tê
nc
ia
 σ
 (M
P
a)
Densidade ρ (kg/m3)
10
30
100
300
1.000
Material
500 1.000 3.000 10.000
Aço alta resistência
Aço doce
Liga de Ti
GFRP
Al 6061
Mg AZ61
Madeira
de lei
Madeira
macia
CFRP
Vidro
Á
re
a 
d
e 
se
çã
o
 A
 (m
2 )
Módulo de seção Z (m3)
1
10
10,1
Seções de
alumínio
Densidade ρ (kg/m3)
Desempenho
500 1.000 3.000 10.000
Á
re
a 
d
e 
se
çã
o
 A
 (m
2 )
10−2
10−3
10−4
10−1
1
1 kg/m
1.000 kg/m
3
10
33
100
333
Restrição à
resistência
Forma
da seção
φBf = 0,01
φBf =
= 100
Seções de
madeira de
construção
Seções
de aço
FIGURA 9.12 8
A montagem do diagrama de quatro quadrantes para explorar seções estruturais para projeto limitado por resistência. Como os 
diagramas para rigidez, cada um compartilha seus eixos com seus vizinhos.
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
238
Des_Mecanico.indb 238 02/03/12 16:31
Flexão elástica de viga Considere a seleção de um material para uma viga de rigidez à 
flexão S*B e comprimento L especificados (as restrições), para ter massa mínima m (o objetivo). 
A massa m de uma viga de comprimento L e área de seção A é dada, como antes, por:
	 m	=	AL	ρ (9.16)
Sua rigidez à flexão é:
 SB = C1 EIL3
 (9.17)
onde C1 é uma constante que depende somente do modo como as cargas são distribuídas na 
viga. Substituindo I por φeBA2/12 (Equação (9.3)) obtemos:
 SB =
C1
12
E
L3
e
B A
2 (9.18)
Usando essa expressão para eliminar A na Equação (9.16) e inserindo a rigidez desejada S*B 
temos a massa da viga.
 m =
12 SB
C1
1/2
L5/2
( eBE)
1/2 (9.19)
Tudo nessa equação é especificado, exceto o termo entre colchetes, que depende somente 
de material e forma. Para vigas com a mesma forma (e portanto, com o mesmo valor de φeB), a 
melhor escolha é o material que tem o maior valor de E1/2/ρ – o resultado derivado no Capítu-
lo 5. Porém, se quisermos a combinação material-forma mais leve de todas, é a que tem o maior 
valor do índice:
 M1 =
( eB E)
1/2
 (9.20)
Esse índice permite a classificação de combinações material-forma. Damos um exemplo.
Torção elástica de eixos O procedimento para torção elástica de eixos é semelhante. Um 
eixo de seção A e comprimento L está sujeito a um torque T e gira a um ângulo θ. Queremos a 
rigidez à torção, ST = T/θ, que atinja um alvo especificado, S*T, com massa mínima. A rigidez à 
torção é:
 ST = KGL (9.21)
Precisa-se de um material conformado para uma viga rígida de massa mínima . Há quatro materiais 
disponíveis cujas propriedades e formas típicas são apresentadas na Tabela 9 .5 . Qual combinação 
material-forma tem a massa mais baixa para uma rigidez dada?
Resposta
A penúltima coluna da tabela mostra o índice simples de “forma fixa” E1/2/ρ . A madeira tem o maior 
valor, mais de duas vezes o do aço . Porém, quando cada material é conformado eficientemente (última 
coluna), a madeira tem o menor valor de M1 – até o aço é melhor; a liga de alumínio vence, ultrapas-
sando o aço e o GFRP .
Ganho de eficiência pela forma
9 .5 Índices de materiais que incluem forma
239
Des_Mecanico.indb 239 02/03/12 16:31
onde G é o módulo de elasticidade transversal. Substituindo K por φeT, usando a Equação (9.7), 
obtemos:
 ST = G7,14 L
e
TA
2 (9.22)
Usando essa expressão para eliminar A na Equação (9.16) e inserindo a rigidez desejada S*T 
temos:
 m = 7,14
ST
L3
1/2
L3/2
( eTG)
1/2
 (9.23)
A melhor combinação material-forma é a que tem o maior valor de:
( eT G )
1/2
O módulo de elasticidade transversal G está intimamente relacionado com o módulo de 
Young E. Para finalidades práticas, aproximamos G por 3/8E, quando o índice torna-se:
 M2 =
( eT E )
1/2
 (9.24)
Para eixos da mesma forma, essa expressão se reduz a E1/2/ρ novamente. Quando o material 
e a forma dos eixos são ambos diferentes, o índice de material (Equação 9.24) é o que deve ser 
usado.
As Equações (9.19) e (9.23) mostram um modo de calcular fatores de forma para estruturas 
complexas como pontes e treliças. Invertendo a Equação (9.19), por exemplo, temos:
 eB =
12 SB
C1
L5
m2
2
E
 (9.25)
Tabela 9.5 Seleção de material e forma para uma viga leve, rígida
Material ρ (Mg/m3) E (GPa) φeB E1/2/ρ (φeB E)1/2/ρ
Aço 1020 7,85 205 20 1,8 8,2
Al 6061-T4 2,7 70 15 3,1 12,0
GFRP (isotrópico) 1,75 28 8 2,9 8,5
Madeira (carvalho) 0,9 13,5 2 4,1 5,8
Um extrudado de alumínio tubular oco de forma nervurada complexa tem massa por unidade de compri-
mento ml = 0,3 kg/m . Um comprimento L = 1 m da extrusão, carregado sob flexão em três pontos por uma 
carga central de W = 10 kg sofre uma deflexão δ = 2 mm no ponto médio . Qual é o fator de forma φeB da 
seção? (Para alumínio E = 70 GPa e ρ = 2 .700 kg/m3 . Para flexão em 3 pontos, C1 = 48; veja Apêndice A .)
Resposta
A força exercida pela carga W é F = Wg = 98,1 N . A rigidez da viga é SB = F/δ =4,9 × 104 N/m . Inserindo 
os dados na Equação 9 .25 obtemos φeB = 13,2 .
fatores de forma obtidos de dados experimentais
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
240
Des_Mecanico.indb 240 02/03/12 16:31
Assim, se a massa da estrutura, seu comprimento e sua rigidez à flexão são conhecidas (como 
são para grandes vãos de ponte), e a densidade e o módulo do material do qual ela é feita tam-
bém o são, o fator de forma pode ser calculado. Para vãos de pontes existentes, essa expressão 
fonece valores entre 50 e 200. Esses valores são maiores do que os valores máximos na Tabela 9.4 
porque as pontes são “estruturas estruturadas” com dois ou mais níveis de estrutura. Os altos 
valores de φ são exemplos do modo como a eficiência de forma pode ser aumentada por uma 
hierarquia de estruturação.
Falha de vigas e eixos O procedimento é o mesmo. A viga de comprimento L, carregada 
sob flexão, deve suportar uma carga especificada F sem falhar e ser o mais leve possível. Quando 
a forma da seção é uma variável, a melhor escolha é determinada da seguinte maneira. Ocorre 
falha se o momento exceder:
M	=	Z	σf
onde Z é o módulo de seção e σf é a tensão à qual a falha ocorre. Substituindo Z pelo fator de 
forma φfB da Equação (9.10) temos:
 M = f6
f
B A
3/2 (9.26)
Substituindo essa expressão na Equação (9.16) para a massa da viga obtemos:
 m = (6 M) 2/3 L
3/2
f
B f
2/3
 (9.27)
A melhor combinação material-forma é que tem o maior valor do índice:
 M3 =
( fB f ) 2/3 (9.28)
Precisa-se de um material conformado para uma viga forte de massa mínima . Há quatro materiais 
disponíveis cujas propriedades e formas típicas são apresentadas na Tabela 9 .6 . Qual é a combinação 
que tema massa mais baixa para uma resistência à flexão dada?
Resposta
A penúltima coluna da tabela mostra o índice simples de “forma fixa” σf2/3/ρ . A madeira tem o maior 
valor, mais de três vezes o do aço . Porém, quando cada material é conformado (última coluna), a liga 
de alumínio vence, suplantando o aço e o GFRP .
Escolha de combinações material e forma
Tabela 9.6 Seleção de material e forma para uma viga leve, forte
 Material ρ (Mg/m3) σf (MPa) φfB σf2/3/ρ (φfBσf)2/3/ρ
Aço 1020, normalizado 7,85 330 5 6,1 17,8
Al 6061-T4 2,7 110 4 8,5 21,4
GFRP SMC (isotrópico) 2,0 80 3 9,3 19,3
Madeira (carvalho), ao longo do veio 0,9 50 1,5 15 19,7
9 .5 Índices de materiais que incluem forma
241
Des_Mecanico.indb 241 02/03/12 16:31
Uma análise semelhante para falha sob torção oferece:
 M4 =
( fT f ) 2/3 (9.29)
Com forma constante, ambos os índices se reduzem ao familiar σf2/3/ρ do Capítulo 5; porém, 
quando temos de comparar forma, bem como material, devemos usar o índice completo.
A seleção para resistência segue uma rotina semelhante, usando o índice M3 da Equação (9.28).
9.6 SElEçãO GRÁfICA CONjuGADA uSANDO ÍNDICES
Materiais conformados podem ser representados em diagramas de propriedades de materiais. 
Todos os critérios de seleção ainda são válidos. Funciona da forma descrita a seguir.
O índice de material para flexão elástica (Equação (9.28)) pode ser reescrito como:
 M1 =
( eBE )
1/2
=
(E/ eB )
1/2
/ eB
= E
1/2
 (9.30)
A equação diz: um material com módulo E e densidade ρ, quando estruturado, pode ser 
considerado como um novo material com módulo e densidade de:
 E = Ee
B
 e  = e
B
 (9.31)
O desenho esquemático do diagrama E	−	ρ é mostrado na Figura 9.13. As “novas” proprie-
dades de material E* e ρ* podem ser representadas nesse diagrama. A introdução da forma 
(φeB = 10, por exemplo) desloca o material M para baixo à esquerda, ao longo de uma linha de 
inclinação 1, desde a posição E, ρ até a posição E/10, ρ/10, como mostrado na figura. Os critérios 
de seleção são representados na figura como antes: um valor constante do índice E1/2/ρ, por 
exemplo, é representado por uma linha reta de inclinação 2; é mostrado para um valor de E1/2/ρ 
como uma linha tracejada escura. A introdução da forma deslocou o material de uma posição 
abaixo da linha para uma acima; seu desempenho melhorou. A torção elástica de eixos é tratada 
do mesmo modo.
A seleção de materiais baseada em resistência (em vez de rigidez) com peso mínimo usa um 
procedimento semelhante. O índice de material para falha sob flexão (Equação (9.28)) pode ser 
reescrito da seguinte maneira:
 M3 =
( fB f )
2
3
=
f /(
f
B )
2
2
3
/( fB )
2 =
f
2/3
 (9.32)
O material com resistência σf e densidade ρ, quando conformado, comporta-se sob flexão 
como um novo material de resistência e densidade:
 f =
f
( fB)
2 e  = ( fB)
2 (9.33)
O resto será óbvio. A introdução da forma (φfB = 3, digamos) desloca um material M ao longo 
de uma linha de inclinação 1, levando-o, no desenho esquemático, da posição σf, ρ abaixo da 
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
242
Des_Mecanico.indb 242 02/03/12 16:31
linha do índice de material (a linha tracejada) até a posição σf /9, ρ/9, que se encontra acima dela. 
Novamente, o desempenho melhorou. A falha em torção é analisada usando φfT no lugar de φ
f
B.
O valor dessa abordagem é que os gráficos conservam sua generalidade. Permite a seleção 
por qualquer dos critérios anteriores, identificando corretamente materiais para os tirantes, 
vigas ou painéis mais leves.
9.7 MATERIAIS ARQuITETADOS: fORMA MICROSCóPICA
A sobrevivência na natureza está intimamente ligada à eficiência estrutural. A árvore que, com 
um determinado recurso de celulose, cresce mais alta, capta maior quantidade de luz solar. A 
criatura que, com uma determinada alocação de hidroxiapatita, desenvolve a estrutura óssea 
mais forte, ganha a maioria das lutas ou – se for presa, em vez de predador – corre com mais 
rapidez. Eficiência estrutural significa sobrevivência. Vale a pena perguntar como a natureza 
faz isso.
Forma microscópica As formas apresentadas anteriormente nas Tabelas 9.2 e 9.3 conse-
guem eficiência por meio de sua forma macroscópica. Eficiência estrutural pode ser conseguida 
FIGURA 9.13 8
O material estruturado comporta-se como um novo material com módulo E* = E/φeB e densidade ρ* = ρ/φeB, o que o desloca 
de sua posição abaixo da linha de seleção tracejada para uma posição acima dela. Um procedimento semelhante pode ser 
aplicado para resistência à flexão, como descrito no texto.
Metais
Elastômeros
Cerâmicas
Madeiras
Espumas
0,01
102 103 104 105
Densidade ρ (kg/m3)
0,1
10
1
100
1.000
M
ó
d
ul
o
 d
e 
Yo
un
g
 E
 (G
P
a)
Módulo – Densidade
MFA, 09
Polímeros
Compósitos
Contorno de f E1/2/ρ
M de φBe = 1
M de φBe = 10 
9 .7 Materiais arquitetados: forma microscópica
243
Des_Mecanico.indb 243 02/03/12 16:31
de outro modo: por meio de forma em uma escala 
pequena – microscópica ou microestrutural (Figura 9.14). 
Madeira é um exemplo. O componente sólido da 
madeira (um compósito de celulose, lignina e ou-
tros polímeros) é conformado em pequenas células 
prismáticas que dispersam o sólido para mais longe 
do eixo de flexão ou torção do ramo ou do tronco 
da árvore, o que aumenta ambas, a rigidez e a re-
sistência. A eficiência agregada é caracterizada por 
um conjunto de fatores de forma microscópica, ψ (Psi), 
cujas definições são exatamente as mesmas de φ. A 
característica da forma microscópica é que a estrutura se repete a si mesma: é extensiva. O sólido 
microestruturado pode ser considerado como um “material” por mérito próprio: tem módulo, 
densidade, resistência e assim por diante. Podem-se cortar formas desse sólido que – desde 
que sejam grandes em comparação com o tamanho das células – herdam suas propriedades. É 
possível, por exemplo, fabricar uma seção I de madeira e tal seção ter forma macroscópica (como 
definida anteriormente), bem como forma microscópica como sugere a Figura 9.15. Mostraremos 
logo em seguida que o fator de forma total para uma viga I de madeira é o produto entre o fator 
de forma para a estrutura de madeira e o fator para a viga I, e esse produto pode ser grande.
Muitos materiais naturais têm forma microscópica. A madeira é apenas um exemplo. Osso, 
caules e folhas de plantas, e a estrutura interna dura e frágil (cuttlebone) de uma siba têm estru-
turas que dão alta rigidez com peso baixo. É mais difícil pensar em exemplos feitos pelo homem, 
embora aparentemente seja possível fazê-los. A Figura 9.16 mostra quatro estruturas extensi-
vas com forma microscópica encontradas na natureza. A primeira é uma estrutura de células 
hexagonais prismáticas, parecida com a da madeira; é isotrópica no plano da seção quando as 
células são hexágonos regulares. A segunda é um arranjo de fibras separadas por uma matriz 
espumada, típica da madeira de palmeira; também essa é isotrópica no plano. A terceira é uma 
estrutura simétrica em relação ao eixo formada por conchas cilíndricas concêntricas separadas 
por uma matriz espumada, como o caule de algumas plantas. A quarta é uma estrutura em 
camadas, uma espécie de painel-sanduíche múltiplo, como a concha da siba.
Fatores de forma microscópica Considere o ganho em rigidez à flexão quando uma 
viga sólida quadrada como a mostrada como um sólido quadrado de lado bo na Figura 9.16 é 
expandida, à massa constante, até uma seção quadrada maior com qualquer das estruturas que 
FIGURA 9.14
Eficiência mecânica pode ser obtida pela combinação 
de material com forma microscópica, ou interna, 
que se repete a si mesma, para dar uma estrutura 
extensa. A forma é caracterizada por fatores de 
forma microscópica, ψ.
Material conformadoMaterial Microforma
+ =
Material com ambas,
microforma e macroforma
Material com
microforma
Macroforma
+ =
FIGURA 9.15
Forma microestrutural pode ser combinada com forma macroscópica para dar estruturas eficientes. O fator de forma global é o 
produtodos fatores de forma microscópica e macroscópica.
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
244
Des_Mecanico.indb 244 02/03/12 16:31
a cercam na figura. A rigidez à flexão Ss da viga sólida original é proporcional ao produto entre 
seu módulo Es e seu momento de segunda ordem de área Is:
 Ss ∝ Es Is (9.34)
onde o subscrito s significa “uma propriedade da viga sólida” e Is = b4o /12. Quando a viga é 
expandida à massa constante, sua densidade cai de ρs para ρ, e o comprimento de sua aresta 
aumenta de bo para b onde:
 b = s
1/2
bo (9.35)
e o resultado é que seu momento de segunda ordem de área aumenta de Is para:
 I = b
4
12
= 1
12
s
2
b4o =
s
2
Is (9.36)
Se as células, fibras ou anéis na Figura 9.16(a), (b) ou (c) se estenderem na direção paralela ao 
eixo da viga, o módulo paralelo a esse eixo cai do módulo do sólido, Es, para:
 E =
s
Es (9.37)
A rigidez à flexão da viga expandida aumenta conforme EI, de modo que ela é mais rija do 
que a viga sólida original pelo fator:
 eB =
S
Ss
= EI
EsIs
= s (9.38)
Referimo-nos a ψeB como o fator de forma microscópica para flexão elástica. O fator para estruturas 
prismáticas como as da Figura 9.16(a) é simplesmente a recíproca da densidade relativa, ρ/ρs. 
FIGURA 9.16
Quatro materiais microestruturados extensivos que são mecanicamente eficientes: (a) células prismáticas, (b) fibras embebidas 
em uma matriz espumada, (c) conchas cilíndricas concêntricas com espuma entre elas e (d) placas paralelas separadas por 
espaçadores espumados.
bo
b
b
b
b
bo
(a)
(c) (d)
(b)
9 .7 Materiais arquitetados: forma microscópica
245
Des_Mecanico.indb 245 02/03/12 16:31
Observe que, no limite de um sólido (quando ρ	=	ρs), ψ
e
B assume o valor 1, como obviamente 
deveria. Uma análise semelhante para falha sob flexão dá o fator de forma:
 fB =
s
1/2
 (9.39)
Torção, como sempre, é mais difícil. Quando a estrutura da Figura 9.16(c), que tem simetria 
circular, é torcida, seus anéis agem como tubos concêntricos. Para esses:
 eT =
s e  fT =
s
1/2
 (9.40)
As outras estruturas têm rigidez e resistência à torção mais baixas (e, por consequência, 
fatores de microforma também mais baixos) pela mesma razão que as seções I, boas sob flexão, 
têm desempenho ruim sob torção.
Então, estruturar converte um sólido com módulo Es e resistência σf,s em um novo sólido com 
propriedades E e σf. Se esse novo sólido for conformado como uma forma macroscópica eficiente 
(um tubo, digamos, ou uma seção I) sua rigidez à flexão, para dar um exemplo, aumenta por 
um fator adicional de φeB. Então, a rigidez da viga, expressa em termos da rigidez do sólido do 
qual ela é feita, é:
 S	=	ψeB φ
e
B Ss (9.41)
isto é, os fatores de forma são simplesmente multiplicados. O mesmo vale para a resistência.
Esse é um exemplo de hierarquia estrutural e dos benefícios que ela traz. É possível estendê-la 
ainda mais: as paredes da célula ou camadas individuais poderiam, por exemplo, ser estrutu-
radas, dando um terceiro multiplicador para o fator de forma global, e essas unidades também 
poderiam ser estruturadas. A Natureza faz isso com bons resultados, porém, para estruturas 
feitas pelo homem, há dificuldades. Existe a óbvia dificuldade de fabricação, que impõe limites 
econômicos aos níveis de estruturação. E há a menos óbvia diferença de confiabilidade. Se a 
estrutura for otimizada em todos os níveis de estrutura, uma falha de um membro em qualquer 
nível pode provocar a falha no nível acima, causando uma cascata que termina com a falha da 
estrutura como um todo. Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil torna-se assegurar 
a integridade em todos os níveis. Essa dificuldade poderia ser superada pela incorporação de 
Qual é o ganho em rigidez à flexão EI se uma viga, inicialmente com uma seção transversal sólida, for 
expandida para criar uma estrutura prismática como as da Figura 9 .16? Se, em vez disso, for expandida 
para criar uma estrutura semelhante a espuma para a qual E = (
s
)2Es, qual é o ganho em rigidez à 
flexão?
Resposta
O fator de forma ψeB na Equação (9 .38) mede a razão entre a rigidez de uma viga prismática microes-
truturada e a de uma viga sólida com a mesma massa . O ganho em EI aumenta conforme ψeB = ρs/ρ . 
Repetindo a dedução usando a expressão para módulo de espuma em termos da densidade relativa, 
mostrada acima, constatamos que ψeB = 1: Espumar não resulta em nenhum ganho em rigidez à flexão .
Rigidez pela forma microscópica
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
246
Des_Mecanico.indb 246 02/03/12 16:31
redundância (ou de um fator de segurança) em cada nível, porém isso implica uma perda cumu-
lativa de eficiência. Até dois níveis de estrutura é prático ir; mais do que isso, não.
Como indicamos antes, um material microestruturado pode ser considerado como um novo 
material. Tem uma densidade, uma resistência, uma condutividade térmica e assim por diante; 
dificuldades surgem apenas se o tamanho da amostra for comparável com o tamanho da célula, 
quando “propriedades” tornam-se dependentes do tamanho. Isso significa que materiais micro-
estruturados podem ser representados nos diagramas de materiais – na verdade, a madeira já 
aparece neles –, e que todos os critérios de seleção desenvolvidos no Capítulo 5 se aplicam, sem 
mudanças, aos materiais microestruturados. Essa linha de raciocínio é desenvolvida com mais 
detalhes no Capítulo 12, que inclui diagramas de materiais para uma gama de materiais naturais.
9.8 RESuMO E CONCluSõES
O projetista tem dois grupos de variáveis com os quais otimizar o desempenho de um compo-
nente que suporta carga: as propriedades de materiais e a forma da seção. Eles não são inde-
pendentes. O melhor material, em uma determinada aplicação, depende das formas nas quais 
ele está disponível ou nas quais poderia ser potencialmente conformado.
A contribuição da forma é isolada com a definição de quatro fatores de forma. O primeiro, 
φeB, é para flexão elástica e flambagem de vigas; o segundo, φ
e
T, é para torção elástica de eixos; 
o terceiro, φfB, é para falha plástica de vigas carregadas sob flexão; o último, φ
f
T, é para falha 
plástica de eixos sob torção (Tabela 9.7). Os fatores de forma são números adimensionais que 
caracterizam a eficiência de uso do material em cada modo de carregamento. São definidos de 
modo tal que os quatro têm valor 1 para uma seção quadrada sólida. Com essa definição, todas 
as seções sólidas equiaxais (cilindros sólidos e seções hexagonais e outras seções poligonais) 
têm fatores de forma próximos de 1. Formas eficientes que dispersam o material para longe do 
eixo de flexão ou torção (vigas I, tubos ocos, seções caixão etc.) possuem valores muito maiores. 
Estão reunidos para formas comuns na Tabela 9.3 apresentada anteriormente neste capítulo.
As formas nas quais um material pode, na prática, ser feito, são limitadas por restrições à 
fabricação e pela restrição de que a seção deve escoar antes de sofrer flambagem local. Esses 
limites podem ser representados em um “diagrama de forma” que, quando combinado com 
um diagrama de propriedades de materiais em um arranjo de quatro diagramas (consulte as 
Figuras 9.9 e 9.12), permite a exploração de potenciais combinações material-forma alternativas. 
Tabela 9.7 Definições de fatores de forma*
Restrição de projeto Flexão Torção
Rigidez eB =
12 I
A2
e
T =
7,14 K
A2
Resistência fB =
6 Z
A3/2
f
T =
4,8 Q
A3/2
* A; I, K, Z e Q são definidos no texto e tabulados na Tabela 9.2.
9 .8 Resumo e conclusões
247
Des_Mecanico.indb 247 02/03/12 16:31
Embora isso seja instrutivo, há uma alternativa mais eficiente: desenvolver índices que incluem 
fatores de forma. A melhor combinação material-forma para uma viga leve com uma rigidez à 
flexão prescrita é a que maximiza o índice de material:
M1 =
( E eB )
1/2
A combinação material-forma para uma viga leve com uma resistência prescrita é a que 
maximiza o índice de material:
M3 =
( fB f )
2/3
Essas expressões permitem que seções conformadassejam representadas em diagramas de 
propriedades. São usadas para seleção exatamente do mesmo modo que os índices do Capítulo 5.
Combinações semelhantes envolvendo φeT e φ
f
T fornecem o eixo rígido ou forte mais leve. 
Aqui, o critério de “desempenho” era cumprir uma especificação de projeto para peso mínimo. 
Outras combinações material-forma como essa maximizam outros critérios de desempenho: 
minimizar custo em vez de peso, por exemplo, ou maximizar armazenagem de energia.
O procedimento para selecionar combinações material-forma é mais bem-ilustrado por 
exemplos. Esses, e exercícios em seleção de forma e utilização de fatores de forma, podem ser 
encontrados no próximo capítulo.
9.9 lEITuRA ADICIONAl
Ashby, M. F. Material and shape. Acta Metall. Mater., 39, 1.025-1.039, 1991.
O artigo no qual as ideias deste capítulo foram desenvolvidas pela primeira vez.
Birmingham, R. W., & Jobling, B. Material selection: Comparative procedures and the significance of form. International 
Conference on Lightweight Materials in Naval Architecture, The Royal Institution of Naval Architects, Londres, 
1996.
O artigo no qual foram apresentados os diagramas de quatro quadrantes como os do Diagrama 9.7 e da 
Figura 9.8.
Gerard, G. Minimum weight analysis of compression structures. New York University Press, Library of Congress 
Catalog Number 55-10052, 1956.
Este livro e o de Shanley, citado abaixo, estabelecem os princípios do projeto para peso mínimo. Infeliz-
mente, ambos estão fora de catálogo, mas podem ser encontrados em bibliotecas.
Gere, J. M., & Timoshenko, S. P. Mechanics of materials. Wadsworth International, 1985.
Uma introdução à mecânica de sólidos elásticos.
Gibson, L. J., & Ashby, M. F. Cellular solids (2ª ed.). Cambridge University Press, 1997.
Uma introdução de base ampla à estrutura e propriedades de espumas e sólidos celulares de todos os tipos.
Gibson, L. J., Ashby, M. F., & Hurley, B. Cellular solids in nature. Cambridge University Press, 2010.
Uma exploração de materiais arquitetados na natureza.
Parkhouse, J. G. Structuring: a process of material dilution. Em H. Nooshin (Editor), Proceedings of the Third 
International Conference on Space Structures (p. 367). Elsevier, 1984.
Parkhouse desenvolve uma abordagem incomum para a análise da eficiência de materiais em estruturas.
CAPÍTulO 9: Seleção de material e forma
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Shanley, F. R. Weight-strength analysis of aircraft structures. (2ª ed.). Dover Publications, Library of Congress 
Catalog Number 60-501011, 1960.
Este livro e o de Gerard, citado acima, estabelecem os princípios do projeto para peso mínimo. Infeliz-
mente, ambos estão fora de catálogo, mas podem ser encontrados em bibliotecas.
Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. Theory of elastic stability. McGraw-Hill, Koga Kusha Ltd., Library of Congress 
Catalog Number 59-8568, 1961.
O texto definitivo sobre flambagem elástica.
Weaver, P. M., & Ashby, M. F. Material limits for shape efficiency. Prog. Mat. Sci., 41, pp. 61-128, 1998.
Uma resenha da eficiência de forma de seções padronizadas e a análise que levou aos resultados usados 
neste capítulo para fatores de forma máximos práticos para flexão e torção.
Young, W. C. Roark’s formulas for stress and strain (6ª ed.). McGraw-Hill, 1989.
Uma espécie de Páginas Amarelas de fórmulas para tensão e deformação, que cataloga as soluções para 
milhares de problemas mecânicos-padrão.
9 .9 Leitura adicional
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	CAPÍTULO 9 - Seleção de material e forma
	9.9 Leitura adiciona l