Modulo 5 - Fenomenos de Transporte - J817

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5. equação de bernoulli
 
 A equação da continuidade expressa a conservação da massa e relaciona a massa
específica e a velocidade do fluido ao longo do fluxo. Empregando a análise em termos da
energia e do trabalho, podem-se relacionar, além dessas grandezas, variáveis com a altura e
pressão do fluido. A conservação da energia mecânica, aplicada ao escoamento de um fluido
leva à equação, que foi obtida pelo matemático suiço Daniel Bernoulli no século XVIII,
conhecida como Equação de Bernoulli . Essa equação é válida para:
· Escoamento pertinente;
· Fluido incompressível e perfeito (sem atrito); e
· Sem máquinas no trecho de escoamento do fluido.
 Para obter a Equação de Bernoulli considera-se a lei da conservação da energia por
meio do teorema do trabalho e energia cinética:
 
 
 
onde W corresponde ao trabalho total realizado sobre o sistema e ΔEc é a variação da
energia cinética.
 Considerando o fluido delimitado pelo tubo de corrente e pelas seções de área A1 e
A2 (Figura 1), algum trabalho precisa ser realizado sobre o sistema para empurrar o fluido
para o tubo e algum trabalho precisa ser realizado pelo sistema para o fluido sair do tubo.
 
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Figura 1: Escoamento permanente de um fluido ao longo de um tubo de corrente.
 
 
 A força (F) exercida sobre uma seção de área A pelo fluido compressão p é dada pelo
produto:
 
 
 
 Como trabalho (W) é definido como força vezes a distância percorrida pelo fluido (Δx),
então:
 
 
 
 
sendo que o produto A·Δx corresponde ao volume ΔV.
 Assim, o trabalho realizado sobre o sistema é + p1·ΔV e o trabalho realizado pelo
sistema é - p2·ΔV. Deste modo, a soma dos dois trabalhos (Wp) é:
 
 
 
 Já o trabalho (WG) realizado pela força da gravidade sobre o fluido de massa Δm
durante a subida do tubo da Figura 1 é:
 
 
 
 
onde g é aceleração da gravidade e y1 e y2 são as alturas do fluido nos pontos 1 e 2,
respectivamente. Portanto, o trabalho total é a soma do trabalho realizado para empurrar o
fluido (Wp) e o trabalho da força gravitacional (WG). Ainda, segundo o teorema do trabalho e
energia cinética (Eq. (1)) tem-se:
 
 
 
sendo que v1 e v2 correspondem, respectivamente, às velocidades nos pontos 1 e 2 do tubo
de corrente. Como a massa pode ser representada em termos da massa específica do fluido
(ρ) e de seu volume (ΔV) por meio da relação Δm = ρ·ΔV, então a Eq. (6) fica:
 
 
 
 Dividindo a Eq. (7) por ΔV e rearranjando os termos, tem-se:
 
 
 
 Dividindo a Eq. (8) por ρ·g, equivale ao peso específico do fluido , obtém-se:
 
 
 
 
 Esta equação é conhecida como Equação de Bernoulli e permite relacionar alturas,
velocidades e pressões de dois pontos do escoamento de um fluido ao longo de uma linha de
corrente. A seguir será indicado o significado de cada parcela dessa equação.
 
 
 
 
 De maneira geral, a Equação de Bernoulli pode ser escrita como:
 
 
 
sendo H a carga total de um seção e para o caso analisado na Figura 1 tem-se:
 
 
 
 Portanto, a Equação de Bernoulli expressa que em um fluido ideal, incompressível,
em escoamento permanente e se não houver máquinas, as cargas totais se manterão
constantes ao longo de uma linha de corrente.
 
Exemplo:
Em um reservatório vertical, com diâmetro interior de 1,5 m, tem um orifício a 2,5 m do nível
da água. O diâmetro do orifício é de 15 mm. Determine a velocidade da água no jato que sai
pelo orifício.
 
 
Solução: Aplicando a Equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, e como ambos os pontos estão
à pressão atmosférica (p1 = p2), tem-se:
 
 
 
Considerando a equação da continuidade ( ), como a área A2 é muito maior do
que A1, então a v2 é desprezível, em comparação com a velocidade v1. Portanto:
 
 
 
Adotando g = 10 m/s², obtém-se:
 
Exercício 1:
A caixa de água de um prédio é alimentada por um cano com diâmetro interno de 20 mm. A
caixa está 30 m acima do nível da rua, de onde sai o cano. A vazão no cano é de 2,5 litros
por segundo. Determine a diferença de pressão entre as duas extremidades do cano, em Pa. 
 
Dados: g = 10 m/s² e γ água = 10000 N/m³
A)
ΔP = 27 x 106 Pa
B)
ΔP = 2,7 x 106 Pa
C)
ΔP = 0,27 x 105 Pa
D)
ΔP = 27 x 105 Pa
E)
ΔP = 2,7 x 105 Pa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 2:
Água se move com uma velocidade de 5 m/s em um cano com seção reta de 4 cm². Ela
desce gradualmente 10 m, enquanto a seção reta aumenta para 8 cm². Sabendo que a
pressão antes da descida é de 1,5 x 105 Pa, determine:
 
a) a velocidade da água depois da descida (em m/s); e
b) a pressão depois da descida (em Pa).
A)
a) 0,25 m/s
b) 0,26 x 105 Pa
B)
 a) 25 m/s
b) 26 x 105 Pa
C)
a) 2,5 m/s
b) 2,6 x 105 Pa
D)
a) 5,0 m/s
b) 5,2 x 105 Pa
E)
a) 50 m/s
b) 52 x 105 Pa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 3:
Abaixo é representado um sifão com diâmetro de 1 cm, por onde escoa água. Conhecendo-
se os valores de Z1 = 60 cm, Z2 = 25 cm, Z3 = 90 cm e Z4 = 35 cm, determine a velocidade
da água na saída do sifão (em m/s) e sua vazão (em m³/s).
 
A)
a) v2 = 8,2 m/s
b) Q = 6,4 x 10-4 m³/s
B)
a) v2 = 2,65 m/s
b) Q = 2,1 x 10-4 m³/s
C)
a) v2 = 2,05 m/s
b) Q = 1,6 x 10-4 m³/s
D)
 a) v2 = 1,03 m/s
b) Q = 0,8 x 10-4 m³/s
E)
a) v2 = 0,51 m/s
b) Q = 0,4 x 10-4 m³/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 4:
Em uma determinada instalação industrial, escoa água com velocidade de 2 m/s e
pressão de 300 kPa no ponto (1). Sabe-se que no ponto (2) a velocidade é de 4
m/s e a pressão de 200 kPa. Determine a altura h (em m).
Dados: g = 10 m/s² e γ? água = 10000 N/m³
 
A)
h = 2,35 m
B)
h = 3,13 m
C)
h = 4,7 m
D)
h = 9,4 m
E)
h = 14,1 m
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 5:
No conduto representado abaixo, sabe-se que a velocidade do fluido no
ponto (1) é de 2 m/s, que a pressão no ponto (2) é de 5 x 105 Pa e que
a área do conduto no ponto (2) é a metade da área do conduto no ponto
(1). Determine a pressão manométrica no ponto (1) (em Pa).
Dados: g = 10 m/s² e γ água = 10000 N/m³
 
A)
P1 = 1,5 x 105 Pa
B)
P1 = 3,1 x 105 Pa
C)
P1 = 4,5 x 105 Pa
D)
P1 = 6,1 x 105 Pa
E)
P1 = 7,5 x 105 Pa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 6:
Água escoa em um conduto horizontal a 3 m/s, com uma pressão de 200 kPa. O conduto
estreita-se para metade do seu diâmetro original. Determine a velocidade (m/s) e a pressão
da água (kPa) na seção de área reduzida.
Dados: g = 10 m/s² e γ? água = 10000 N/m³
A)
v = 0,0012 m/s
P = 0,01325 kPa
B)
v = 0,012 m/s
P = 0,1325 kPa
C)
v = 0,12 m/s
P = 1,325 kPa
D)
v = 1,2 m/s
P = 13,25 kPa
E)
v = 12 m/s
P = 132,5 kPa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 7:
Um reservatório possui diametro interno de 3 m e próximo a sua base um orifício com
diâmetro de 21 mm, por onde escoa água. Sabendo que esse orifício encontra-se a 5 m da
superfície de água, determine a velocidade (em m/s) do jato de água que escoa do orifício.
Dados: g = 10 m/s² e g água = 10000 N/m³
 
A)
v1 = 10 m/s
B)
v1 = 5 m/s
C)
v1 = 15 m/s
D)
v1 = 7,5 m/s
E)
v1 = 12,5 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A)