aula_9_Transm_Vibracao_rv (1)

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Transmissão de Vibrações Aleatórias 
1. Relações entrada-saída (excitação-resposta) para sistemas lineares 
1.1 Introdução 
Um dos principais objetivos do estudo de processos estocásticos 
aplicados a vibrações estruturais é conseguir caracterizar a resposta 
de um sistema estrutural, através do conhecimento das 
características desse sistema e das características das ações 
(entrada) que atuam sobre ele. 
Neste caso, se considera que o sistema têm comportamento físico 
geometricamente linear e invariável com o tempo. 
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
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
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No caso de se estar frente uma excitação aleatória, a solução da equação diferencial 
do modelo não será em princípio possível, já que a excitação não pode ser expressa 
através de uma equação matemática. 

Define-se então, “função de transferência” como a razão entre amplitude do movimento 
(saida) e a amplitude da força (entrada) e fase entre a excitação e a resposta, a qual é 
usada para definir as características do sistema para uma dada frequência ” ” 
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Valor médio de resposta 
Considere um sistema sujeito uma excitação aleatória x1(t) e x2(t), ambas aleatória e 
estacionarias. A resposta para o par de excitação é dada por 
Dada a estacionaridade da excitação, tem-se: 
Portanto, conclui-se que resposta y(t) também é estacionário. 
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Valor médio de resposta 
 
 
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1
1
 constante de y
(0)
nível constante de x
nível
H 
2
2
 constante de y
(0)
nível constante de x
nível
H 
 Desta forma, utilizando o principio da superposição, facilmente se determina os valores 
H1(0) e H2(0) 
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Função de autocorrelação de Saida 
A função de autocorrelação de um processo estocástico é definida como o valor 
esperado (ou média para todas as realizações do processo) do produto {x(t)*x(t+)}. 
Para obter essa função, obtém-se o valor de cada registro num dado instante t e 
outra vez num dado instante t+. Seguidamente calcula-se, para cada uma das 
realizações do processo, o produto desses dois valores (em função de ). 
Finalmente obtém-se (também em função de  ) a média desses produtos 
para todas as realizações do processo. A função assim obtida é geralmente 
função das variáveis t e  , mas, caso o processo seja estacionário, não 
depende do instante t, e consequentemente, é denominada uma função 
apenas de  , ou seja, Rx( ). 
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A Figura 1.3 ilustra também a forma como um valor específico da função de 
autocorrelação (para um dado valor de  ) pode ser obtido. 
Fig. 1.3 – Múltiplas realizações de um processo estocástico estacionário. 
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Função de autocorrelação de Saída 
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Função de autocorrelação de Saída 
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Função de autocorrelação de Saída 
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Consequentemente, a autocorrelação de saída Ry( ), é uma expressão 
em função das autocorrelações de entrada Rx1( ) e Rx2( ) e respectivas 
funções de resposta ao impulso. 
Função de autocorrelação de Saída 
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Uma vez definida a função de autocorrelação, a densidade 
espectral da saída pode ser obtida a partir da TF. 
Densidade Espectral da Saída 
I1 
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Valor Médio Quadrático da Resposta 
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CORRELAÇÃO CRUZADA 
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DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA 
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É evidente que se torna muito mais simples analisar relações excitação-resposta 
no domínio da freqüência do que no domínio do tempo. A tarefa de determinar as 
características de uma resposta (através da sua densidade espectral) reside, 
portanto na determinação das características da densidade espectral das 
excitaçãoes e na determinação das propriedades da função H(). É este último 
objetivo que se ilustrará em seguida. 
Aplicação para um sistema de 1GL 
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Imagine um sistema estrutural composto por 
um sistema de um grau de liberdade, tal 
como representado na Figura 1.4. 
Fig. 1.4 – Sistema de um grau de liberdade 
Imagine ainda que o sistema seja sujeito a uma força externa F(t) ou a um 
movimento da base, xs(t). 
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As equações de movimento para cada uma das situações descritas são 
As equações são equações diferenciais lineares, que permitem 
determinar x(t), conhecidas as condições iniciais do movimento e as 
excitações F(t) ou xs(t). 
No entanto, no caso de se estar perante uma excitação aleatória, a resolução da 
equação não será em princípio possível, já que a excitação não pode ser expressa 
através de uma equação matemática. 
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Considerem-se então as equações reescritas sob a forma 
Onde, 
Escrevendo f(t) sob a forma 
A função será 
descrevendo a resposta do sistema, em que x0 e f 
são respectivamente a amplitude e a fase da 
resposta. 
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Suponha que esse sistema é sujeito a 
uma excitação correspondente a uma 
força F(t) com conteúdo espectral 
correspondente a um ruído branco. 
Nesse caso Sx=S0 e, portanto 
Para determinar H(), considere-se que a excitação é da forma x(t)= eit 
e que a resposta é portanto y(t)= H() eit. 
A equação de equilíbrio dinâmico pode assim ser rescrita 
OU 
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Podendo então calcular a densidade espectral, tendo em conta que 
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A densidade espectral da saida é apresentada na Figura 1.5, para 
valores genéricos de m, k e c. 
Fig. 1.5 – Densidade espectral da resposta de um sistema a uma excitação ruído branco 
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Fig. 1.5 – Densidade espectral da resposta de um sistema a uma excitação ruído branco 
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Uma vez calculada a densidade espectral, pode, por 
exemplo, calcular-se o valor médio quadrático, o qual é está 
relacionado com a variância do processo e é igual a: 
resultando 
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Como pode se observar, a função é simétrica, pelo que se poderiam analisar 
apenas os valores correspondentes ao eixo positivo de “w”. Apresenta 
máximos para valores de “w”que correspondem à freqüência própria do 
sistema estrutural. 
 Da equação 
pode-se também verificar que o valor quadrático médio da resposta é 
proporcional ao valor da densidade espectral da excitação (S0) e inversamente 
proporcional à rigidez e ao amortecimento dosistema. 
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O processo que se acaba de analisar corresponde à 
“filtragem” de um ruído branco através de um sistema de 
um grau de liberdade com freqüência “p”. 
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Fig. 1.6 |H()|2 de um sistema em função do amortecimento