Gabarito APX2 MD2 ADM 2020.1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX2 � MÉTODOS DETERMINÍSTICOS II - 2020-01
Questão 1 [2,0 pts] Marque o item correto. Uma empresa tem o lucro para produzir x bens dado
por L(x) = 300x2 − 30x4. Podermos dizer que a derivada L′(x) com x = 5 pode ser interpretada
como:
a) A quantidade de dinheiro necessária para produzir 5 itens.
b) A quantidade de dinheiro que se lucra ao produzir 5 itens.
c) A receita média por unidade, quando são produzidas 5 unidades.
d) A quantidade de dinheiro que se lucra ao produzir um item a mais quando se produziram exata-
mente 5 itens.
Resposta: d) Por de�nição da derivada
L′(5) = lim
x→5
L(x)− L(5)
x− 5
,
então, temos que a derivada é o limite de uma fração, quando este limite existir.
Repare que a fração é L(x)−L(5)
x−5 e divide a variação do lucro L(x) − L(5) pela variação x − 5 da
quantidade de bens produzidos. Então... a fração representará quanto varia o lucro para produzir
uma unidade de bem a mais. Como a variação é dada em torno do x = 5, dizemos que ela só vale
quando se tem exatamente 5 itens fabricados. Não poderíamos, por exemplo, utilizar essa variação
quando temos 10 itens fabricados.
Na prática, você como administrador, vai utilizar a derivada L′(5) quando quiser avaliar a variação
de lucro por item no momento que sua fábrica produziu exatamente 5 itens. Você deve perceber
que o lucro por unidade varia de acordo com a quantidade produzida. Produzir uma unidade a mais
depois de produzir 5 unidades não vai te dar o mesmo valor que se você produzir uma unidade a
mais depois de produzir 50.
Questão 2 [2,0 pontos] Uma empresa tem o lucro para produzir x bens dado por L(x) = 300x2−
30x4. Podemos dizer que o lucro máximo e o número de bens que fornece o lucro máximo são,
respectivamente:
f(x) = x− 1 e g(x) = x2.a)
1, 01 e 5, 62.b)
750 e
√
5.c)
5, 62 e 1, 01.d)
Resposta: c) Buscaremos o máximo local da função pelo teste da derivada primeira. Provaremos
que ele é máximo global pela análise do crescimento e decrescimento da função. Como x representa
a quantidade bens,só faz sentido fazer o estudo com x > 0. Faria sentido produzir −5 bens numa
fábrica? Não.
Se calcularmos a derivada primeira da função obtemos
L′(x) = −120x3 + 600x = x(−120x2 + 600).
MÉTODOS DETERMINÍSTICOS II APE 2
Logo, L′(x) = 0 nos fornece as raízes x = 0 e x =+−
√
5. Como não estamos buscando soluções
negativas, nossos candidatos são x = 0 e x =
√
5.
Voltando a analisar a derivada L′(x) = −120x3 + 600x = x(−120x2 + 600) observamos que o
sinal da derivada quando x > 0 é o mesmo que o de −120x2 + 600, portanto faremos o estudo
de sinais desta parábola. Encontramos anteriormente as raízes x =+−
√
5. Como a concavidade é
para baixo, devido ao coe�ciente negativo acompanhando o termo x2, temos que esta parábola tem
sinal positivo em 0 < x <
√
5 e negativo para x >
√
5. Lembramos que, conforme apontamos no
início da resolução, estamos estudando apenas o caso x > 0, pela restrição que a interpretação da
quantidade de bens impõe.
Observe que podemos concluir que a derivada L′(x) é positiva em 0 < x <
√
5 e portanto o lucro
L(x) é crescente. Por outro lado, a derivada do lucro L′(x) é negativa em x >
√
5 e portanto o lucro
L(x) é decrescente. Você deve perceber, como futuro administrador, que se o lucro cresce antes da
produção de x =
√
5 e decresce depois dessa produção, então ela alcança o máximo exatamente em
x =
√
5.
Se substituirmos x =
√
5 na equação de L(x), obtemos que
L(
√
5) = 750.
Questão 3 [2,0 pontos] Calcule a derivada da seguinte função:
2x2 + 1
x2 + 6x− 4
.
Resposta: Temos pela fórmula da derivada de uma franção(
2x2 + 1
x2 + 6x− 4
)′
=
(2x2 + 1)′(x2 + 6x− 4)− (2x2 + 1)(x2 + 6x− 4)′
(x2 + 6x− 4)2
,
portanto, se calcularmos as novas derivadas acima obtemos(
2x2 + 1
x2 + 6x− 4
)′
=
(4x)(x2 + 6x− 4)− (2x2 + 1)(2x+ 6)
(x2 + 6x− 4)2
,
donde encontramos o resultado:
(
2x2+1
x2+6x−4
)′
= 12x
2−18x−6
x4+12x3+28x2−48x+16 .
[Utilize esta redação nas questões 4 e 5] O lucro( ou prejuízo) médio por caneta, em reais, que
a empresa Canetas XYZ tem ao fabricar x canetas é dado aproximadamente pela seguinte função:
L(x) = 2− 3
x
.
Questão 4 [2,0 pontos] Calcule o valor de
∫
L(x)dx.
Resposta: Calculamos da seguinte forma
∫
L(x)dx =
∫
2− 3
x
dx =
∫
2dx−
∫
3
x
dx = 2x−3 log x+C.
Questão 5 [2,0 pontos] Calcule o valor de
∫ 20
10
L(x)dx.
Resposta: Reaproveitando o cálculo da questão anterior, temos
∫ 20
10
L(x)dx = (2x− 3 log x)2010 =
20− 3 log 20 + 3 log 10 = 20 + 3 log(10
20
) = 20 + 3 log(1
2
).
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