Aula 02 - Separatrizes (Decis)

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Metódos Quantitativos II
2º Aula
Separatrizes (Decis)
Já ouviram falar em decis? 
Vamos conferir?!
Boa aula!
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• compreender sobre a organização dos dados – Decis;
• conhecer os tipos de decis;
• saber como fazer o cálculo para determinar valores de decis.
13
1 - Noções de Decis
2 - Aplicações de Decis
Seções de estudo
1 – Noções de decis
Para Refl etir
Importante observar que a posição do quinto decil é a mesma posição 
da mediana, pois podemos simplifi car na expressão 5 por 10. Vejam as 
fórmulas a seguir:
Observação: Os decis são representados: primeiro decil (D1), segundo 
decil (D2) e assim por diante.
Segundo Crespo (2002), além das medidas de posição 
que estudamos (médias), há outras que, consideradas 
individualmente, não são medidas de tendência central, mas 
estão ligadas à mediana, relativamente à sua característica de 
separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número 
de valores. Essas medidas são os quartis, os decis e os percentis. 
Vejamos agora os Decis:
Conceito
DECIS
Crespo (2002) defi ne decis que obedece ao mesmo princípio dos 
quartis, com a modifi cação da porcentagem de valores que fi cam 
aquém e além do decil que se pretende calcular.
Toda distribuição pode ser dividida em dez partes iguais. 
A estas divisórias damos o nome de DECIS. Portanto, temos 
D1 (decil 1), D2 (decil 2), D3 (decil 3), D4 (decil 4), D5 (decil 
5), D6 (decil 6), D7 (decil 7), D8 (decil 8), D9 (decil 9). 
Saber Mais
Se um conjunto de dados é organizado em ordem de grandeza que 
divide o conjunto em duas partes iguais, damos o nome de MEDIANA. 
Se seguirmos com esse conceito, podemos pensar nos valores que 
podem ser divididos em QUATRO partes iguais, para eles damos o 
nome de QUARTIL, ou seja, primeiro quartil (Q1), segundo quartil (Q2 ou 
mediana) e terceiro quartil (Q3).
Prosseguindo com este raciocínio, temos as sequências que podem ser 
divididas em 10 partes iguais, os DECIS, e para eles temos: D1, D2, D3, 
D4, D5, D6, D7, D8, D9. 
Se observarmos atentamente, temos que o D5 é a mesma coisa que Q2 
que é a mesma coisa que mediana.
2 - Aplicações de decis
Nessa seção, vamos ver a aplicação da teoria de Decis, ou 
seja, como podemos encontrar os valores dos D1, D2, D3, D4, 
D5, D6, D7, D8, D9.
→ Dados agrupados sem intervalos de classe:
Agora, vejamos um exemplo de cálculo de decil quando 
temos os valores repetidos, disponibilizados em tabela.
Exemplo 1: Vejamos a tabela a seguir, que apresenta 
valores de idade com suas respectivas repetições. 
Idade fi 
15 2
16 3
17 5
18 4
19 3
20 1
Total 18
Primeiramente, temos que montar a FAC, pois é ela que 
vai nos indicar em qual classe está localizado o decil desejado.
Considerando os valores da tabela anterior, vamos 
calcular a FAC.
Idade fi FAC
15 2 2
16 3 5
17 5 10
18 4 14
19 3 17
20 1 18
Total 18 -
Após o cálculo da FAC, vamos verificar quais são as 
posições dos decis que queremos calcular.
Por exemplo, se tivermos que calcular o valor do decil 1, 
D1, temos que encontrar qual a posição que esse decil está, 
considerando a fórmula a seguir:
Sx = x. ∑ fi
10
Percebam que a fórmula é para localizarmos a posição 
do decil, por isso, adotaremos S para posição do decil a ser 
calculado e x será adotado para qual decil se quer encontrar. 
Percebam que é a mesma fórmula utilizada em quartil, sendo 
que no quartil a divisão é por 4 e no decil a divisão é por 10.
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do primeiro decil, teremos x = 1, desta maneira teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S1 = 1. ∑ fi
10
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição do 
segundo decil, teremos x = 2. Desse modo, teremos a seguinte 
disponibilização dos valores na fórmula:
S2 = 2.∑ fi
10
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição do 
terceiro decil, teremos x = 3. Dessa forma, teremos a seguinte 
disponibilização dos valores na fórmula:
S3 = 3. ∑ fi
10
E, assim por diante. 
S5 = 5. ∑ fi
10 S5 =
∑ fi
2
Somente depois da posição calculada é que encontramos 
o valor do decil, disponibilizada na coluna da esquerda, da 
mesma forma que foi feito com o quartil.
Vamos praticar?!
Voltamos à tabela anterior, aquela que calculamos a FAC.
Metódos Quantitativos II 14
Idade fi FAC
15 2 2
16 3 5
17 5 10
18 4 14
19 3 17
20 1 18
Total 18 -
D1
D2
D3
Vamos calcular os valores de D1, D2 e D3...
 
→ Calculando D1.
Primeiro, vamos calcular a posição do D1.
Sx = x. ∑ fi
10
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 18. Desta maneira, 
teremos:
S1 = 1. 18
10
Dividindo 18 por 10 teremos 1,8:
 S1=1.(1,8)
O que resulta em:
 S1=1,8
Encontrando a posição de D1 (1,8), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado na primeira classe, ou seja, na 
primeira linha, pois temos até a primeira classe 2 elementos, 
2 valores distribuídos. Portanto, se a posição do primeiro 
decil, D1, está na primeira classe, o VALOR de D1 é 15, valor 
correspondente à primeira classe.
→ Calculando D2...
Primeiro, vamos calcular a posição do D2...
Sx = x. ∑ fi
10
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 18. Dessa maneira, 
teremos:
S2 = 2. 18
10
Dividindo 18 por 10 teremos 1,8.
 S2=2.(1,8)
O que resulta em:
 S2=3,6
Encontrando a posição de D2 (3,6), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos podemos 
verificar que está localizado na segunda classe, ou seja, na 
segunda linha, pois temos até a segunda classe 5 elementos, 
5 valores distribuídos. Portanto, se a posição do segundo 
decil, D2, está na segunda classe, o VALOR de D2 é 16, valor 
correspondente à segunda classe.
→ Calculando D3
Primeiro, vamos calcular a posição do D3:
Sx = x. ∑ fi
10
Vejam que temos para x = 1, ∑fi = 18. Desta maneira, 
teremos:
S3 = 3. 18
10
Dividindo 18 por 10 teremos 1,8.
 S3=3.(1,8)
O que resulta em:
 S3=5,4
Encontrando a posição de D3 (5,4), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado na terceira classe, ou seja, na terceira 
linha, pois temos até a terceira classe 10 elementos, 10 valores 
distribuídos. Portanto, se a posição do terceiro decil, D3, está 
na terceira classe, o VALOR de D3 é 17, valor correspondente 
à terceira classe.
→ Dados agrupados com intervalos de classe:
Agora, vejamos um exemplo de cálculo de decil quando 
temos os valores repetidos, disponibilizados em tabela.
Exemplo 2: Vejamos a tabela a seguir, que apresenta 
valores de idade com suas respectivas repetições. 
Gasto fi 
40 80 10
80 120 89
120 160 206
160 200 219
200 240 155
240 280 78
280 320 30
320 360 18
360 400 11
816
Primeiramente, como foi feito em quartil, temos que 
montar a FAC, pois é ela que vai nos indicar em qual classe está 
localizado o decil desejado.
Considerando os valores da tabela anterior, vamos calcular a FAC...
Gasto fi FAC
40 80 10 10
80 120 89 99
120 160 206 305
160 200 219 524
200 240 155 679
240 280 78 757
280 320 30 787
320 360 18 805
360 400 11 816
 816
15
Após o cálculo da FAC, vamos verificar quais são as 
posições dos decis que queremos calcular.
Por exemplo, se tivermos que calcular o valor do decil 1, 
D1, temos que encontrar qual a posição que esse quartil está, 
considerando a fórmula a seguir:
Sx = x. ∑ fi
10
Percebam que a fórmula é para localizarmos a posição 
do decil, por isso adotaremos S para posição do decil a ser 
calculado e x será adotado para qual decil se quer encontrar.
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição 
do primeiro decil, teremos x = 1. Desta maneira, teremos a 
seguinte disponibilização dos valores na fórmula:
S1 = 1. ∑ fi
10
** Se tivermos, por exemplo, que encontrar a posição do 
segundo decil, teremos x = 2. Deste modo, teremos a seguinte 
disponibilização dos valores na fórmula:
S2 = 2. ∑ fi
10
** Se tivermos, por exemplo, que encontrara posição do 
terceiro decil, teremos x = 3. Desta maneira, teremos a seguinte 
disponibilização dos valores na fórmula:
S3 = 3. ∑ fi
10
E, assim por diante.
Para Refl etir
Importante observar que a posição do quinto decil é a mesma posição 
da mediana, pois podemos simplifi car na expressão 5 por 10. Vejam as 
fórmulas a seguir:
S5 = 5. ∑ fi
10
S5 = ∑ fi
2
Somente depois da posição calculada é que encontramos o 
valor do decil. Para esse cálculo, no caso de dados agrupados com 
intervalos de classe, ainda é necessário adotar mais uma fórmula:
Dx = li + 
[x .∑ fi10 [fac (ant) .h
fi
→ Onde: 
li = limite inferior da classe do decil
∑ fi = total de fi
fac(ant) = frequência acumulada anterior à classe do decil
h = amplitude da classe do decil
fi = frequência da classe do decil
Vamos praticar?!
Voltamos à tabela anterior, aquela em que calculamos a FAC.
Gasto fi FAC
40 80 10 10
80 120 89 99
120 160 206 305
160 200 219 524
200 240 155 679
D4 e D5
D9
240 280 78 757
280 320 30 787
320 360 18 805
360 400 11 816
816
Vamos calcular os valores de D4, D5 e D9.
→ Calculando D4.
Primeiro, vamos calcular a posição do D4.
Sx = x. ∑ fi 
10
Vejam que temos para x = 4, ∑ fi = 816. Desta maneira, 
teremos:
S4 = 4.
10
816
Dividindo 816 por 10 teremos 81,6.
 S4=4.(81,6)
O que resulta em:
 S4=326,4
Encontrando a posição de D4 (326,4), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado na quarta classe, ou seja, na quarta 
linha, pois temos até a quarta classe 524 elementos, 524 valores 
distribuídos. Portanto, se a posição do quarto decil, D4, está 
na quarta classe.
Ao localizarmos a posição do D4, temos agora que 
colocar na fórmula a seguir:
Dx = li + [x .
∑ fi
10 [fac (ant) .h
fi
→ Onde: 
li = 160
∑ fi = 816
fac(ant) = 305
h = 40
fi = 219
Dx = 160 + 
4 .816
10 [305 .40
219
[
D4=160+3,9
Dx = 160 + 4 .(81,6) 305 .40
219
[ [
Dx = 160 + 
219
856
D4=163,9
Dx = 160 + 326,4 305 40
219
[ [.
Resumindo
Vejam que, primeiramente, substituímos os valores na fórmula. 
Em seguida, divida o valor de 816 por 10, resultando em 81,6.
O próximo passo é multiplicar o valor de x (4) por 81,6, resultando 
em 326,4.
Depois disso, temos que resolver o que está dentro do colchete, 
326,4 - 305, resultando em 21,4.
Podemos prosseguir com os cálculos, fazendo a multiplicação de 
21,4 por 40, que dá 856.a
Após isso, vamos dividir 856 por 219, resultando 3,9.
Por último, somamos 160 com 3,9, tendo com VALOR de D4 163,9.
Metódos Quantitativos II 16
** Desta maneira, podemos concluir que, para a tabela 
apresentada, D4 encontra-se na posição 326,4 e tem como 
valor 163,9.
→ Calculando D5.
Primeiro, vamos calcular a posição do D5:
Sx = x. fi∑
10
Vejam que temos para x = 5, ∑ fi = 816. Deste modo, 
teremos:
S5 = 5.816
10
Dividindo 816 por 10 teremos 81,6.
 S5=5.(81,6)
O que resulta em:
 S5=408
Encontrando a posição de D5 (408), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado, também, na quarta classe, ou seja, 
na quarta linha, pois temos até a quarta classe 524 elementos, 
524 valores distribuídos. Portanto, se a posição do quinto 
decil, D5, está na quarta classe.
Ao localizarmos a posição do D5, temos agora que 
colocar na fórmula a seguir:
Dx = li + 
[x .∑ fi10 [fac (ant) .h
fi
→ Onde:
li = 160
∑ fi = 816
fac(ant) = 305 
h = 40
fi = 219
Atenção
Podemos ter mais de uma separatriz 
(quartil, decil ou percentil) na mesma classe, 
como acaba de ocorrer com D4 e D5.
Apesar de termos as separatrizes nas 
mesmas posições, não signifi cam que 
resultam nos mesmos valores.
O valor de D5 é o mesmo valor de Mediana 
e o mesmo valor de Q2, por possuir as 
mesmas posições.
D5 = 160 + 
[5 .81610 [305 .40
219
D5 = 160 + [5 . (81,6) 305 .40
219
[
D5 = 160 + [408 305 .40
219
[
D5 = 160 + 408 .40
219
D5 = 160 + 4120
219
D5=160+18,8
D5=178,8
Resumindo
Vejam que, primeiramente, substituímos os valores na fórmula. 
Em seguida, divida o valor de 816 por 10, resultando em 81,6.
O próximo passo é multiplicar o valor de x (5) por 81,6, 
resultando em 408.
Depois disso, temos que resolver o que está dentro do 
colchete, 408 - 305, resultando em 103.
Podemos prosseguir com os cálculos, fazendo a multiplicação 
de 103 por 40, que dá 4120.
Após isso, vamos dividir 4120 por 219, resultando 18,8.
Por último, somamos 160 com 18,8, tendo com VALOR de D5 
178,8.
** Dessa maneira, podemos concluir que, para a tabela 
apresentada, D5 encontra-se na posição 408 e tem como valor 
178,8.
 
→ Calculando D9.
Primeiro, vamos calcular a posição do D9:
Sx = x. ∑ fi
10
Vejam que temos para x = 9, ∑fi = 816. Deste modo, 
teremos:
S9 = 9. 816
10
Dividindo 816 por 10 teremos 81,6.
 S9=9.(81,6)
O que resulta em:
 S9=734,4
Encontrando a posição de D9 (734,4), vamos localizar na 
FAC onde esse valor se encontra. Se observarmos, podemos 
verificar que está localizado na sexta classe, ou seja, na sexta 
linha, pois temos até a sexta classe 757 elementos, 757 valores 
distribuídos. Portanto, se a posição do nono decil, D9, está na 
sexta classe.
Ao localizarmos a posição do D9, temos agora que 
colocar na fórmula a seguir:
Dx = li + [x .
∑ fi
10 [fac (ant) .h
fi
→ Onde:
li = 240
∑fi = 816
fac(ant) = 679
h = 40
fi = 78 
D5 = 240 + 
[9 . 81610 679 .40
78
[
D5 = 240 + [9 . (81,6) 679 .40
78
[
D5 = 240 + [734,4 679 .40
78
[
D5 = 240 + 2216
78
D9=240+28,4
D9=268,4
Resumindo
Vejam que, primeiramente, substituímos os valores na 
fórmula. 
Em seguida, divida o valor de 816 por 10, resultando em 
81,6.
O próximo passo é multiplicar o valor de x (9) por 81,6, 
resultando em 734,4.
Depois disso, temos que resolver o que está dentro do 
colchete, 734,4 - 679, resultando em 55,4.
Podemos prosseguir com os cálculos, fazendo a 
multiplicação de 55,4 por 40, que dá 2216.
Após isso, vamos dividir 2216 por 78, resultando 28,4.
Por último, somamos 240 com 28,4, tendo com VALOR 
de D9 268,4.
17
** Desse modo, podemos concluir que, para a tabela 
apresentada, D9 encontra-se na posição 734,4 e tem como 
valor 268,4.
 Finalizamos, assim, nossa segunda aula. 
Até a Aula 03, quando estudaremos sobre Separatrizes (Percentil)!
Retomando a aula
Antes de encerrar a Aula 02, é importante que retomemos 
os conteúdos estudados:
 1 – Noções de Decis
Nessa seção, estudamos os DECIS e suas funcionalidades.
2 – Aplicações de Decis
Nessa seção, estudamos como calcular cada um dos decis 
(D1, D2, D3...) nos seguintes tipos de distribuição: dados 
agrupados sem intervalos de classe e dados agrupados com 
intervalos de classe.
CRESPO. A. A. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 
2002.
Estatística. Disponível em: <www.amostraestatística.hpg.
ig.com.br/historia.htm>
Estatística. Disponível em: <www.esgb-antero-quental.
rcts.pt/NMAT/estatistica.htm#História>
Somatemática. Disponível em: <www.somatemática.com.
br> 
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