Apostila_Matematica_2017-1 ciencias contabeis unihorizonte

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APOSTILA DE MATEMÁTICA 
 
PROFA. DRA. LOUSANNE CAVALCANTI 
BARROS RESENDE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO(A): 
 
 
 
 
 
1 
 
APOSTILA DE 
MATEMÁTICA 
PROFA. DRA.LOUSANNE CAVALCANTI BARROS 
RESENDE 
 
 
A disciplina Matemática tem como um dos seus objetivos revisar 
aspectos importantes da Matemática básica, tornando, dessa 
forma, mais fácil sua aplicação ao longo do curso de 
Administração e Ciências Contábeis. 
 
O primeiro tópico inicia com uma revisão de conceitos 
elementares da Matemática como operações com frações, 
simplificação, fatoração, potenciação, valor numérico de 
expressões algébricas, operações com expressões algébricas, 
produtos notáveis e equações do 1º. Grau, por exemplo. 
Continuamos com regra de três, Sistema linear, matrizes e 
conjuntos. Depois, resgatamos as funções de 1o. e 2º. Graus. 
E, finalizamos com aplicações das funções através do estudo de 
demanda e oferta de mercado. 
 
Na disciplina de matemática, diferentemente das disciplinas da 
área de humanas, o aluno só aprende resolvendo exercícios. 
Por mais que você preste atenção das aulas é resolvendo, 
quebrando a cabeça, que o processo se torna mais agradável. 
 
Então: 
 
 
 
Bons Estudos!!!! 
 
 
 
IMPORTANTE 
 
Esta apostila é 
utilizada 
exclusivamente para 
fins didáticos na 
Graduação da 
Faculdade Novos 
Horizontes. 
 
 
Não deve ser 
considerada como 
base para consulta 
bibliográfica, mas 
como material 
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2 
CRONOGRAMA DE AULAS 
 
Aula Data Conteúdo 
1-2 
3-4 
5-6 
7-8 
9-10 
11-12 
13-14 
15-16 
17-18 
19-20 
21-22 
23-24 
25-26 
27-28 
29-30 
31-32 
33-34 
35-36 
37-38 
39-40 
41-42 
43-44 
45-46 
47-48 
49-50 
51-52 
53-54 
55-56 
57-58 
59-60 
61-62 
63-64 
65-66 
67-68 
69-70 
71-72 
 
 
 
 
3 
SUMÁRIO 
 
1. REVISÃO _____________________________________________________________ 4 
1.1. Revisão 1 ________________________________________________________________ 4 
1.1.1. Fração ________________________________________________________________________ 4 
1.1.2. Simplificação ___________________________________________________________________ 6 
1.1.3. Potenciação ___________________________________________________________________ 10 
1.1.4. Produtos Notáveis ______________________________________________________________ 10 
1.1.5. Fatoração _____________________________________________________________________ 11 
1.1.6. Sistema Linear _________________________________________________________________ 12 
1.1.7. Valor Numérico de Expressões Algébricas ___________________________________________ 14 
1.1.8. Operações com expressões algébricas ______________________________________________ 15 
1.1.9. Equações de 1º. Grau ___________________________________________________________ 15 
1.2 Exercícios de treino para casa __________________________ Erro! Indicador não definido. 
2. MATRIZ E DETERMINANTE _____________________________________________ 18 
2.1. Matriz __________________________________________________________________ 18 
2.2. Determinante ____________________________________________________________ 21 
2.3 Exercícios de treino para casa __________________________ Erro! Indicador não definido. 
3. CONJUNTOS_________________________________________________________ 24 
3.1 Subconjuntos ____________________________________________________________ 24 
3.2 Operações com conjuntos __________________________________________________ 25 
3.3 Exercícios de treino para casa __________________________ Erro! Indicador não definido. 
4. FUNÇÃO DO 1º. GRAU_________________________________________________ 28 
4.1 Contextualização _________________________________________________________ 28 
4.2 Exercícios de treino para casa __________________________ Erro! Indicador não definido. 
5. FUNÇÃO DO 2º. GRAU_________________________________________________ 32 
5.1 Contextualização _________________________________________________________ 32 
5.2 Exercícios de treino para casa __________________________ Erro! Indicador não definido. 
6. DEMANDA E OFERTA DE MERCADO ____________________________________ 37 
6.1. Demanda de mercado _____________________________________________________ 37 
6.2. Oferta de mercado ________________________________________________________ 39 
6.3. Preço e quantidade de equilíbrio ____________________________________________ 41 
REFERÊNCIAS _________________________________________________________ 42 
 
 
 
 
4 
1. REVISÃO 
 
1.1. Revisão 1 
1.1.1. Fração 
Neste tópico vamos relembrar as regras para uso das operações básicas (somar, 
subtrair, multiplicar e dividir) com frações. Mas, você se lembra do quê é uma fração? Pois bem, 
fração é um número escrito na forma 
 
𝑎
𝑏
 
em que, 
𝑎 = numerador; 𝑏= denominador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somar e subtrair 
Na soma de frações vamos, inicialmente, identificar os denominadores das frações. No 
exemplo abaixo, as duas frações apresentam o mesmo denominador. 
 
2
3
+
4
3
 
 
Neste caso, para somar frações com denominadores iguais, vamos conservar o 
denominador e somar os numeradores. Reparem que, nessa etapa, a soma de duas (ou mais) 
frações resulta em uma única fração. 
 
2
3
+
4
3
= 
2 + 4
3
 
 
Após esse procedimento, o próximo passo é identificar o resultado da soma, no 
numerador, e dividir, quando for o caso, pelo denominador. 
 
2
3
+
4
3
= 
2 + 4
3
= 
6
3
= 2 
 
No caso de subtração de frações, o processo é o mesmo. Vejam: 
 
7
5
−
1
5
= 
7 − 1
5
= 
6
5
 
 
Mas, e se os denominadores forem diferentes? Se forem diferentes então você deve 
calcular o mínimo múltiplo comum, também conhecido por MMC, dos denominadores. Vamos analisar 
a seguinte situação: 
 
2
3
+
1
5
 
Lembramos que o denominador 
não pode ser zero, já que não 
existe divisão por zero. 
 
 
5 
 
O MMC de 3 e 5 é 15 (verifique utilizando a regra). Esse número 15 será o denominador 
da nossa nova fração. Para encontrar o numerador vamos proceder da seguinte forma: 
 
“dividir o 15 pelo 3 e o resultado encontrado (5) vamos multiplicar pelo 2. 
Vamos repetir esse procedimento com o 5”. 
 
5.2 + 3.1
15
 
 
Agora, basta resolvê-la da seguinte forma: 
 
5.2 + 3.1
15
= 
10 + 3
15
= 
13
15
 
 
Multiplicação 
Para multiplicar frações o procedimento é simples, basta multiplicar os numeradores, 
multiplicar os denominadores e depois, se for o caso, dividir os resultados encontrados. Vejamos: 
 
6
7
 .
5
2
= 
6 . 5
7 . 2
= 
30
14
 
 
As frações apresentadas acima são positivas, mas e se alguma delas fossem 
negativas? 
 
3
2
 .
−1
4
 
 
O procedimento é o mesmo. Ao multiplicar os numeradores, multiplicaremos também 
os sinais. Reparem: 
 
3
2
 .
−1
4
= 
3 . (−1)
2 . 4
= 
−3
8
 
 
Divisão 
Na divisão de frações temos: 
 
2
3
2
4
 𝑜𝑢 
2
3
 ÷
2
4
 
Observem que este número apresenta uma fração no numerador (
2
3
) e outra no 
denominador (
2
4
). A regra para resolver essa divisão é a seguinte: conserva-se a primeira fração (que 
está no numerador) e multiplica pelo inverso da segunda fração (que está no denominador). Assim 
temos: 
 
2
3
 .
4
2
 
 
Se vocês notaram, a divisão de frações resulta em uma multiplicação, operação que 
nós acabamos de estudar. Assim, basta aplicar a regra: 
 
2
3
 .
4
2
= 
2 . 4
3 . 2
= 
8
6
 
 
 
 
6 
Quando nos depararmos com um exercício que apresente mais de uma operação, 
devemos resolvê-los considerando a sequência das operações: 1º.) divisão; 2º.) multiplicação. 
 
Exemplo: 
 
1
4
÷
3
7
 .
2
5
+ 
1
3
 
 
Antes de resolvermos vamos reescrever essa equação, substituindo o símbolo ÷, pela 
fração.1
4
3
7
 .
2
5
+ 
1
3
 
 
Agora, vamos aplicar a regra para a divisão: 
 
1
4
 . 
7
3
 .
2
5
+ 
1
3
 
 
Notem que após aplicação da regra para a divisão, nós temos agora uma multiplicação 
de 3 frações. O procedimento, vocês já sabem, é simples: 
 
1 . 7 . 2
4 . 3 . 5
+ 
1
3
= 
14
60
+ 
1
3
 
 
Toda vez que encontrarmos uma soma (ou subtração) de frações devemos continuar. 
Nesse caso, como os denominadores são diferentes, precisamos calcular o MMC. 
 
1 .14 + 20.1
60
= 
14 + 20
60
= 
34
60
 
 
1.1.2. Simplificação 
A ideia por trás da simplificação, no caso de fração, consiste em reduzir o numerador 
e o denominador pelo máximo divisor comum desses números. Reduzir significa que você vai dividir 
o numerador e denominador por um número que representa o maior divisor entre eles. Ao final, vamos 
observar que essa redução não altera o resultado matemático da fração. Antes, é preciso que você 
saiba identificar, inicialmente, os termos de uma fração. Vejamos: 
 
Exemplos: 
1) Observem que na fração 2 4⁄ , o numerador e denominador apresentam dois termos que são 
múltiplos de 2. Assim, podemos dividir ambos por 2. 
 
2
4
=
2 ÷ 2
4 ÷ 2
=
1
2
 
 
Importante observar que simplificando uma fração encontraremos uma fração 
equivalente, ou seja, com mesmo resultado final. Assim, 
2
4
= 0,5 e 
1
2
= 0,5. 
 
2) Agora pode acontecer, também, que apareça uma soma no numerador ou denominador, ou em 
ambos, como em 
2𝑥+6
4
. Nesse caso, a soma (ou também no caso de subtração) separa os termos no 
numerador. Dessa forma, essa fração apresenta 3 termos (2𝑥, 6 𝑒 4). Para simplificar esse tipo de 
fração é preciso que o número seja comum a todos os termos. Observem que o número 2 será 
este número. Assim, tem-se: 
 
 
7 
 
2𝑥 + 6
4
=
2𝑥(÷ 2) + 6(÷ 2)
4(÷ 2)
=
𝑥 + 3
2
 
 
3) Observem essa fração 
3𝑦−4𝑥𝑦
15𝑦
. Nesse exemplo continuamos identificando 3 termos (3𝑦, 4𝑥𝑦 𝑒 15𝑦). 
Os números dos três termos não apresentam divisor em comum, apenas o 3 com o 15. E dessa forma 
não vale, já que para simplificarmos precisamos dividir todos os termos pelo mesmo número. Todavia, 
podemos utilizar o procedimento para a letra 𝑦, comum a todos os três termos. Vamos simplificar da 
mesma forma que aprendemos anteriormente. 
 
3𝑦 − 4𝑥𝑦
15𝑦
=
3𝑦(÷ 𝑦) − 4𝑥𝑦(÷ 𝑦)
15𝑦(÷ 𝑦)
=
3 − 4𝑥
15
 
 
4) Nosso último exemplo será 
20𝑥𝑦2
15𝑥2𝑦
. Nesse caso há apenas dois termos (20𝑥𝑦2 𝑒 15𝑥2𝑦). Bem, já 
estudamos que para simplificar uma fração podemos fazê-la pelo número e por letra, ou por ambos. 
Para melhorar a visualização podemos reescrever essa fração da seguinte forma: 
20𝑥𝑦2
15𝑥2𝑦
=
4.5𝑥𝑦𝑦
3.5𝑥𝑥𝑦
 
 
Ou seja, fatoramos os números e as letras. Agora para simplificar fica mais fácil. 
Podemos cortar o número 5 do numerador com o denominador, e fazer o mesmo com as letras 𝑥 e 
𝑦. Assim, tem-se: 
4.5𝑥𝑦𝑦
3.5𝑥𝑥𝑦
=
4𝑦
3𝑥
 
 
Exercícios de fixação 
 
Lembre-se: toda vez que você for efetuar cálculo com fração, pense na operação (somar, 
subtrair, multiplicar ou dividir) e na regra para resolução com essa operação. 
 
1) Encontre o resultado dos cálculos abaixo, com apenas uma operação: 
 
a) 
8
2
8
4
 
 
b) 
2
5
5
3
 
 
c) 
5
3
5
7
x 
 
d) 
3
2
5
4

x 
 
e) 
12
5
4
3 
 
 
 
 
8 
 
2) Encontre o resultado dos cálculos abaixo que utilizam várias operações simultaneamente: 
 
a) 
3
1
5
3
7
2
x 
 
 
 
b) 












10
1
6
1
3
1
2
1
 
 
 
 
 
 
3) Simplifique as expressões: 
 
a) 
6𝑥+3
3
 
 
 
 
c) 
3𝑥4−10𝑥2
𝑥5−𝑥2
 
 
 
 
 
Exercícios para treino em casa 
 
1) Encontre o resultado dos cálculos abaixo, com apenas uma operação: 
a) 
5
3
5
7
 
 
b) 
12
5
4
3
 
 
c) 
3
5
5
6 
x 
 
d) 
3
2
5
4



 
 
 
9 
 
 
2) Encontre o resultado dos cálculos abaixo que utilizam várias operações simultaneamente: 
a) 
7
3
.
4
)5(
4
3 
 
 
 
 
b) 
4
1
2
1
5
3
7
2
 x 
 
 
 
c) 
2
1
5
2
12
7
.
7
2







a
 
 
 
 
 
3) Simplifique as expressões: 
 
a) 
3x2+9x
3x
 
 
 
 
 
b) 
2𝑥+8
𝑥+4
 
 
 
 
c) 
da
adda
2
23
15
123 
 
 
 
 
 
 
 
10 
1.1.3. Potenciação 
A potenciação é a operação de elevar um número a uma certa potência, ou seja, 62. 
Nesse caso, o número 6 é chamado de base, enquanto que o 2 de expoente. Algumas regras 
facilitam o cálculo:
 
a) 𝑏0 = 1 
Qualquer número elevado a zero é um. 
 
b) 𝑏1 = 𝑏 
Qualquer número elevado a um será ele mesmo. 
 
c) 
1
𝑎2
= 𝑎−2 
No caso de uma potência no denominador, para transformar essa fração em um número inteiro vamos 
apenas trocar o sinal do expoente. 
 
d) 𝑏3. 𝑏2 = 𝑏3+2 = 𝑏5 
Na multiplicação de dois números de mesma base, vamos conservá-la e somar os expoentes. 
 
e) (𝑏3)2 = 𝑏3.2 = 𝑏6 
Em uma potência elevada a um número, a regra é multiplicar os números. 
 
f) (
𝑎
𝑐
)
2
=
𝑎2
𝑐2
, 𝑐 ≠ 0 
Uma fração elevada a um número é o mesmo que elevar cada termo da fração a esse número. 
 
g) 42 = 4.4 
O expoente de uma potência significa a quantidade de vezes que iremos multiplicar a base. Por 
exemplo, 𝑥3 = 𝑥. 𝑥. 𝑥 ou (−2)4 = (−2)(−2)(−2)(−2). 
 
1.1.4. Produtos Notáveis 
Um produto notável é representado na forma (𝑥 + 2)2 e apresenta como característica 
uma soma (ou subtração) de dois termos elevado a um número. Para resolvê-lo sugiro utilizar a 
fatoração. 
(𝑥 + 2)2 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) 
 
Observem que cada parêntese apresenta dois termos. Para resolvermos vamos 
multiplicar cada termo do primeiro parêntese com todos do segundo parêntese. Iniciamos com o 
primeiro parêntese, multiplicando o 1º. termo 𝑥 com os termos do 2º. parêntese, o 𝑥 (seta *)e o 2 (seta 
**). Para finalizar, realizaremos o mesmo procedimento com o 2º. termo, do 1º. parêntese, com os 
termos do 2º. parêntese. 
 
 ** 
 
(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = 𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥 + 4 
 
 * 
 
Após a multiplicação, somaremos os termos iguais. O resultado final será 
 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 
 
Podemos ter, também, um produto notável com sinal negativo. O procedimento será o 
mesmo, contudo, devemos nos preocupar também com a multiplicação de sinais. Refaça o exemplo 
abaixo e verifique o resultado. 
 
(𝑦 − 3)2 = (𝑦 − 3)(𝑦 − 3) = 𝑦2 − 6𝑦 + 9 
 
 
11 
Gostaria que vocês visualizassem que (𝑥 − 1)2 ≠ 𝑥2 − 12 e as regras também são 
diferentes. 
 
(𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) 
𝑥2 − 12 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 
 
1.1.5. Fatoração 
Fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto 
desses termos, que vamos chamar, no caso de multiplicação, de fatores. Vamos observar alguns 
exemplos: 
 
a) 10𝑥 − 10𝑤 = 10. (𝑥 − 𝑤) 
 
O número 10 é comum aos dois termos, por isso ficará em evidência. Para encontrar os termos que 
ficarão dentro do parêntese o procedimento é dividir cada termo por 10. Assim tem-se (
10𝑥
10
= 𝑥) e 
(
10𝑤
10
= 𝑤). Reparem que o sinal permanece o mesmo da expressão. 
 
b) 𝑥𝑦 + 𝑥𝑎 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑎 
 
Nesse caso, os termos não apresentam letras em comum, mas, se observarem melhor, os dois 
primeiros termos apresentam a letra 𝑥 e os dois últimos termos a letra 𝑏. Então, uma boa sugestão 
para iniciarmos os trabalhos é colocar em evidência cada letra em comum. 
 
 
𝑥𝑦 + 𝑥𝑎 + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑎 = 𝑥. (𝑦 + 𝑎) + 𝑏. (𝑦 + 𝑎) 
 
 
Só que ainda não terminamos. Os dois termos ainda apresentam “algo” em comum, 
ou seja, o (𝑦 + 𝑎) , que vamos colocar em evidência e proceder da mesma forma explicada 
anteriormente. 
 
𝑥. (𝑦 + 𝑎) + 𝑏. (𝑦 + 𝑎) = (𝑦 + 𝑎). (𝑥 + 𝑏) 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Desenvolva os produtos notáveis abaixo: 
 
a)  243 x 
 
 
 
 
 
b) 
2
3
2
5
4







yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
c) (3𝑥 + 4𝑦)2 
 
 
 
 
 
2) Fatore as expressões abaixo: 
 
a) 2𝑥 + 4𝑥𝑦 
 
 
 
 
b) 7𝑥𝑦 + 21𝑥𝑧 
 
 
 
 
c) 4𝑥𝑦 − 3𝑥2𝑦2 + 10𝑥3𝑦 
 
 
 
 
3) Calculeo valor das expressões abaixo: 
 
a) 23 
 
b) (−2)3 
 
c) 20 
 
d) (
2
5
)3 
 
e) (23)4 
 
 
 
 
1.1.6. Sistema Linear 
No sistema linear precisamos encontrar os valores das letras do sistema. Para isso, 
você pode utilizar dois métodos: substituição ou soma das equações. Você escolhe. Considere o 
seguinte exemplo:
{
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = 4
 
 
 
 
13 
Método da substituição 
Inicialmente vamos identificar cada equação. 
{
𝑥 + 2𝑦 = 5 (1)
2𝑥 + 𝑦 = 4 (2)
 
 
Agora, vamos isolar uma letra (𝑥 ou 𝑦). Por exemplo, vamos isolar o 𝑥 da equação (1). 
Assim temos: 
 
𝑥 = 5 − 2𝑦 (3) 
 
Vamos substituir esse valor, da equação (1), na equação (2). Assim, 
 
2𝑥 + 𝑦 = 4 
2. (5 − 2𝑦) + 𝑦 = 4 
10 − 4𝑦 + 𝑦 = 4 
−3𝑦 = 4 − 10 
−3𝑦 = −6 
 
Multiplicaremos ambos os lados por (−1), para que o termo com letra fique positivo. 
 
3𝑦 = 6 
𝑦 = 2 
Agora, para encontrar o valor de 𝑥, podemos substituir o valor encontrado de 𝑦 em 
qualquer equação. Vamos, por exemplo, substituir na equação (3). Assim, 
 
𝑥 = 5 − 2𝑦 = 5 − 2.2 = 5 − 4 = 1 
 
Portanto, o resultado será 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 . O outro método, soma das equações, 
faremos em sala. 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Calcule os valores de 𝑥 e 𝑦, no sistemas 
a) 





532
54
yx
yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
b) 





83
63
yx
yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.7. Valor Numérico de Expressões Algébricas 
O objetivo desse tópico é substituir o valor da letra e calcular o valor da expressão, 
respeitando os sinais, parêntese, multiplicação, potenciação e divisão.
 
Exercícios de fixação 
 
1) Calcule o valor numérico das expressões: 
a) 142)1(2 233  ababa , para 2a e 3b 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 + 1; 𝑥 = −1 
 
 
 
 
 
c) 𝑦 =
1
𝑥
+
2
3−𝑥
4𝑥−3
+ 2; 𝑥 = 1
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
1.1.8. Operações com expressões algébricas 
Nesse tópico, o objetivo é lembrar que vamos realizar as operações conforme 
apresentadas, respeitando a formação. Se for para somar (ou subtrair), então realizaremos essa 
operação somente com as letras iguais. Em caso de multiplicação, você deve-se lembrar que vamos 
trabalhar primeiro com os sinais, depois você pode utilizar os números e finalizar com as letras. 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Efetue as operações indicadas em cada um dos casos seguintes: 
 
a) (4𝑏 + 3𝑐 − 𝑎) + (4𝑎 − 3𝑏 − 2𝑐) 
 
 
 
 
 
 
 
b) (𝑥𝑦 − 3𝑥2 + 1) + (3 + 5𝑥2 − 3𝑥𝑦) 
 
 
 
 
 
 
c) (
4𝑥𝑦
5
)
2
. 4𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.9. EQUAÇÕES DE 1º. GRAU 
Quando trabalhamos com equações, reparem que nos exercícios aparecerá o sinal da 
igualdade, sugerindo que devemos encontrar o valor da letra. Uma regra importante e que pode ser 
utilizada aqui nesse tópico, surge com a igualdade de fração. 
𝑥 + 1
2
=
3
5
 
 
 
 
16 
Nesse caso, a regra é multiplicar cruzado, ou seja, numerado de uma fração com 
denominador da outra. Assim, 
 
𝑥 + 1
2
=
3
5
 
5. (𝑥 + 1) = 2.3 
5𝑥 + 5 = 6 
5𝑥 = 6 − 5 
5𝑥 = 1 
𝑥 =
1
5
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Resolva as equações abaixo: 
a) 3𝑥 = 9 
 
 
 
 
b) 𝑥. [1 + 2(3 − 1)] = 4𝑥 − 7 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
2𝑥+4
9
=
1
6
 
 
 
 
 
 
2) Dê o conjunto solução da equação 4
2
25
3
52



 xx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
3) Resolva as equações abaixo: 
 
a) 
2
2
1
2
3
3
1
2
3
1
3
2
2
1





xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 4𝑥 = −27 
 
 
 
 
 
c) 
−𝑥
2
=
4
7
 
 
 
 
 
 
4) Dê o conjunto solução da equação 3
3
1
2
73
5
32



 xx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
2. MATRIZ E DETERMINANTE 
 
2.1. Matriz 
Matrizes são tabelas de números reais utilizadas em diversas áreas da Ciência e 
Engenharia. Considere a tabela abaixo, que indica o número de vendas realizadas por um produtor 
durante três meses. 
 
Produtos Maio Junho Julho 
Maçã 150 125 135 
Melancia 120 121 122 
Laranja 98 100 105 
 
Dessa forma, se quisermos saber a quantidade de Melancia vendida em Julho, iremos 
procurar o número que estão registrados na linha da Melancia (3ª. Linha) com a coluna de Julho (3º. 
Coluna). Podemos representar uma matriz colocando seus elementos entre colchetes da seguinte 
forma: 
[
150 125 135
120 121 122
98 100 105
] 
 
Nesse exemplo, essa matriz apresenta uma ordem 3x3, ou seja, 3 linhas e 3 colunas. 
 
[
150 125 135
120 121 122
98 100 105
] 
 
Mas, uma matriz pode ter ordens diferentes. Vejamos os exemplos abaixo: 
 
a) 𝐵 = [
1 −1
2 0
] N° linhas: ______ N° colunas: ______ Ordem: __________ 
b) 𝐶 = [
1
0
5
] N° linhas: ______ N° colunas: ______ Ordem: __________ 
c) 𝐷 = [−1 −2 7] N° linhas: ______ N° colunas: ______ Ordem: __________ 
d) 𝐸 = [
0 9
0 5
2 −3
] N° linhas: ______ N° colunas: ______ Ordem: __________ 
 
Podemos representar uma matriz com letras maiúsculas e seus elementos com letras 
minúsculas. Genericamente temos: 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
em que, 
𝑎11 = elemento da 1ª. Linha com a 1ª. Coluna; 𝑎12 = elemento da 1ª. Linha com a 2ª. Coluna; 
𝑎13 = elemento da 1ª. Linha com a 3ª. Coluna; 𝑎21 = elemento da 2ª. Linha com a 1ª. Coluna; 
𝑎22 = elemento da 2ª. Linha com a 2ª. Coluna; 𝑎23 = elemento da 2ª. Linha com a 3ª. Coluna; 
𝑎31 = elemento da 3ª. Linha com a 1ª. Coluna; 𝑎32 = elemento da 3ª. Linha com a 2ª. Coluna; 
𝑎33 = elemento da 3ª. Linha com a 3ª. Coluna; 
Assim, uma matriz que apresente o mesmo número de linhas e colunas é denominada 
de Matriz Quadrada. Nesta matriz é possível identificar dois tipos de diagonais: principal e secundária. 
 
 
 
 
19 
 
 Diagonal secundária 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
 
 Diagonal principal 
 
Percebe-se que os elementos da diagonal principal apresentam o mesmo número de 
linhas e colunas: 𝑎11, 𝑎22 e 𝑎33. Uma matriz muito utilizada na matemática é a matriz identidade 
representada por 
 
[
1 0
0 1
] ou [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
A matriz identidade é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal 
principal são iguais a 1 (um) e os demais são iguais a 0 (zero). Além da matriz identidade destaca-
se, também, a matriz transporta indicada por 𝐴𝑡. Para encontrá-la vamos trocar (inverter) a ordem da 
matriz dada. Por exemplo: 
 
a) 𝐴 = [
1 −1 3
0 2 7
] 𝐴𝑡 = [
1 0
−1 2
3 7
] 
b) 𝐵 = [
2
4
8
] 𝐵𝑡 = [2 4 8] 
 
Por fim, tem-se a igualdade de matrizes. Neste caso, as matrizes precisam apresentar 
a mesma ordem. Com isso, a igualdade ocorrerá quando cada elemento de uma matriz for igual ao 
elemento correspondente da outra matriz. 
 
Exemplo – Sejam as matrizes 𝐵 = [
1 −1
0 1
] e 𝐷 = [
𝑥 −1
𝑦 + 1 1
]. Calcular os valores de 𝑥 e 𝑦 de forma 
que 𝐵 = 𝐷. 
 
Para resolvermos vamos igualar os termos correspondentes, como o elemento da 1ª. 
Linha da matriz 𝐵 com o da matriz 𝐷. Assim, 𝑥 = 1. Já encontramos o valor de 𝑥. Agora vamos igualar 
os elementos que estão na2a. linha com a 1ª. Coluna, ou seja, 𝑦 + 1 = 0 . Dessa igualdade 
encontramos que 𝑦 = −1. Dessa forma, encontramos os valores das variáveis. 
Para finalizar esse tópico vamos estudar as operações (soma, subtração e 
multiplicação) com Matrizes. Na soma de duas matrizes (ou subtração) ocorre quando as duas 
apresentam a mesma ordem. 
 
Exemplos: 
a) 𝐴 = [1 2] e 𝐵 = [−1 0]. Assim, 𝐴 + 𝐵 = [1 + (−1) 2 + 0] = [0 2] 
 
b) 𝐵 = [
−1 2
0 3
] e 𝐶 = [
1 7
1 2
]. Assim, 𝐵 − 𝐶 = [
−1 − 1 2 − 7
0 − 1 3 − 2
] = [
−2 −5
−1 1
] 
Antes de multiplicar duas matrizes é preciso identificar a ordem de cada matriz. A 
multiplicação só será possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de 
linhas da segunda matriz. Vejamos: 
 
a) 𝐴 = [
1 7 1
2 4 3
]
2𝑥3
 e 𝐵 = [
0 2
1 3
1 4
]
3𝑥2
. 
 
 
 
 
20 
 
Dessa forma, a matriz 𝐴. 𝐵 apresentará2 linhas e 2 colunas, ou seja, 𝐴. 𝐵2𝑥2 
 
b) 𝐴 = [1 0 1]1𝑥3 e 𝐵 = [
−1
0
2
]
3𝑥1
. 
 
 
 
Dessa forma, a matriz 𝐴. 𝐵 apresentará 1 linha e 1 coluna, ou seja, 𝐴. 𝐵1𝑥1 
 
c) 𝐴 = [
1 7 1
2 4 3
]
2𝑥3
 e 𝐵 = [
1 5 1
0 1 3
]
2𝑥3
. 
 
 
 
Quando esses números forem diferentes não poderemos efetuar a multiplicação das 
matrizes. Após encontrarmos a ordem do produto das matrizes, vamos multiplicar sempre linha por 
coluna. Antes montaremos os elementos dessa matriz, para que tenhamos um direcionamento das 
multiplicações. 
 
Exemplo: 
a) 𝐴 = [
1 7 1
2 4 3
]
2𝑥3
 e 𝐵 = [
0 2
1 3
1 4
]
3𝑥2
. O produto das duas matrizes apresentará a seguinte ordem: 
𝐴. 𝐵2𝑥2. Assim, tem-se 
 
𝐴. 𝐵 = [
𝑎𝑏11 𝑎𝑏12
𝑎𝑏21 𝑎𝑏22
] 
 
Então, para encontrarmos, por exemplo, o número que representa o elemento 𝑎𝑏11, 
vamos multiplicar os elementos da 1ª. Linha da matriz 𝐴 com os elementos da 1ª. Coluna da matriz 
𝐵, e somando os resultados de cada multiplicação. Realizaremos esse procedimento para todos os 
elementos da matriz 𝐴. 𝐵. 
 
[
1.0 + 7.1 + 1.1 1.2 + 7.3 + 1.4
2.0 + 4.1 + 3.1 2.2 + 4.3 + 3.4
] = [
0 + 7 + 1 2 + 21 + 4
0 + 4 + 3 4 + 13 + 12
] = [
8 27
7 29
] 
 
Uma matriz muito comum é a matriz inversa, representada por 𝐴−1 . Esta matriz 
apresenta a seguinte característica: 
 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 
 
Ou seja, a multiplicação de uma matriz com sua inversa resulta em uma matriz 
identidade. Vamos resgatar agora como encontrar uma matriz inversa da matriz 𝐴 = [
2 4
1 5
] . 
Inicialmente, vamos denominar a matriz inversa como 𝐴−1 = [
𝑥 𝑧
𝑦 𝑤]. Substituindo na fórmula temos: 
 
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 
[
2 4
1 5
] . [
𝑥 𝑧
𝑦 𝑤] = [
1 0
0 1
] 
 
O próximo passo é efetuar a multiplicação. 
 
[
2. 𝑥 + 4. 𝑦 2. 𝑧 + 4. 𝑤
1. 𝑥 + 5. 𝑦 1. 𝑧 + 5. 𝑤
] = [
1 0
0 1
] 
 
 
 
21 
Nesta etapa vamos igual os resultados, respeitando os elementos correspondentes em 
cada matriz. 
 
2𝑥 + 4𝑦 = 1 
𝑥 + 5𝑦 = 0 
2𝑧 + 4𝑤 = 0 
𝑧 + 5𝑤 = 1 
 
Observando os resultados percebemos que as duas primeiras equações apresentam 
as mesmas letras, da mesma forma que as duas últimas equações. Com as equações iremos utilizar 
o procedimento do sistema linear para encontrar os valores das letras. Após cálculos o resultado será: 
 
𝐴−1 = [
5
6⁄
−2
3⁄
−1
6⁄
1
3⁄
] 
 
Aplique os conhecimentos já estudados anteriormente e verifique a resposta 
apresentada. 
 
 
2.2. Determinante
Determinante é um número real que ser associa a uma matriz quadrada. Na disciplina 
de Matemática vamos trabalhar com matrizes até ordem 3. O procedimento para cálculo do 
determinante da matriz de ordem 2 é: 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐵 = [
4 3
1 2
] = 4.2 − 1.3 = 8 − 3 = 5 
 
No exemplo de matriz de ordem 3, o procedimento é um pouco diferente: 
 
det 𝐷 = [
1 0 0
1 1 2
4 2 1
] 
Para iniciar o cálculo do determinante dessa matriz vamos repetir as duas primeiras 
colunas, nessa ordem. 
 
det 𝐷 = [
1 0 0
1 1 2
4 2 1
]
1 0
1 1
4 2
 
 
O próximo passo é multiplicar as diagonais, que contemplem 3 elementos. O sentido é 
importante aqui. Na multiplicação com seta para baixo somaremos os resultados. Para as setas para 
cima, diminuiremos os resultados. 
 
det 𝐷 = [
1 0 0
1 1 2
4 2 1
]
1 0
1 1
4 2
 
 
Assim, tem-se: 
 
1.1.1 + 0.2.4 + 0.1.2 − 4.1.0 − 2.2.1 − 1.1.0 
1 + 0 + 0 − 0 − 4 − 0 
1 − 4 = −3 
 
Logo, det 𝐷 = −3 
 
 
 
22 
Exercícios de fixação 
 
1) Sejam 𝐴 = [
1 2 3
2 1 −1
], 𝐵 = [
−2 0 1
3 0 1
], 𝐶 = [
−1
2
4
] e 𝐷 = [2 −1], encontre: 
 
a) A + B 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A.C 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) B.C 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre os valores de x, y e z considerando que [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] . [
2 3
3 4
] = [
1 0
0 1
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
3) Calcule 𝑥 e 𝑦, sabendo que [
2𝑥 + 3𝑦
3𝑥 − 𝑦
] = [
7
16
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 4? 
 
 
 
 
5) Qual a matriz inversa de [
4 3
1 1
]? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
3. CONJUNTOS 
 
Neste tópico vamos resgatar alguns aspectos sobre conjuntos: representação, 
elementos e operações. Um conjunto tem um sentido de coleção ou totalidade de elementos. 
Os objetos desse conjunto são chamados de elementos (SILVA, SILVA e SILVA, 2009). Os 
elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒𝑡𝑐 … ) ou números, 
enquanto que os conjuntos por letras maiúsculas (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑒𝑡𝑐 … ). A representação de um 
conjunto é dada por elementos entre “chaves” { }, separados por vírgula. 
 
a) 𝐴 = {𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜, 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎, 𝑡𝑒𝑟ç𝑎, 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎, 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑎, 𝑠á𝑏𝑎𝑑𝑜} 
b) 𝐷 = {0, 14, √10, 𝑎, −1} 
 
É possível, também, representar um conjunto por um diagrama. Nesse caso, os 
elementos são identificados por um ponto. 
 .................................................. A 
 
 
 
 Para indicar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto, 
utilizamos o símbolo ∈ ou ∉ , respectivamente. Considere o conjunto 𝑊 = {10,1, 𝑎, {1}} . 
Baseado nesse conjunto podemos dizer que 10 ∈ 𝑊 ou {1} ∈ 𝑊 . Alguns conjuntos 
numéricos se destacam no estudo como: 
 
 ℕ = {0,1,2,3, … } Conjunto dos números inteiros naturais; 
 ℤ = {… . , −2, −1,0,1,2,3, … } Conjunto dos números inteiros; 
 ℚ = {
𝑎
𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0} Conjunto dos números racionais; 
 𝕀 = conjuntos dos números irracionais composto por números que não podem ser 
representados na forma de fração como 𝜋 ou √3; 
 ℝ = ℚ ∪ 𝕀. 
 
 Quando um conjunto não apresenta elementos chamamos de conjunto vazio, 
sendo representado por ∅ ou { }. 
 
3.1 Subconjuntos 
 Considere dois conjuntos 𝐻 e 𝑀. Dizemos que um conjunto 𝐻 é subconjunto de 
𝑀 quando todos os elementos de 𝐻 também são de 𝑀. Matematicamente, essa relação é 
representada pelo símbolo ⊂, que significa está contido. 
 
Exemplos: 
a) 𝐴 = {1,2,3,10,15} e 𝐵 = {1,2,3,4,6,8,10,12,14,15} 
Para verificar se a afirmativa “está contido” é verdadeira, precisamos verificar dois pontos: 
 se a relação “está contido” está sendo utilizada entre dois conjuntos; 
 se todos os elementos do conjunto 𝐴 também são de 𝐵. 
 
 Podemos, então, concluir que 𝐴 ⊂ 𝐵. Todavia, reparem que o contrário não é 
verdadeiro, ou seja, 𝐵 ⊄ 𝐴 . 
 
b) 𝐷 = {𝑎, −1,5} e 𝐻 = {𝑎, −1,4,15} 
.1 
.2 
.3 
 
 
25 
Nesse exemplo verificamos que 𝐷 ⊄ 𝐻, pois há elementos em 𝐷 que não fazem 
parte do conjunto 𝐻. 
 
 
3.2 Operações com conjuntos 
Em operações com conjuntos vamos rever: união, interseção e diferença. Considerem 
dois subconjuntos 𝐷 e 𝐹 do conjunto ℝ. A união desses dois conjuntos formam um novo conjunto com 
elementos que pertencem a 𝐷 ou a 𝐹. Matematicamente, representamos o conjunto união como 
 
𝐷 ∪ 𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∈ 𝐷 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐹} 
 
Nas figuras abaixo indique, hachurando, a área que representa a união dos conjuntos 
𝐵 e 𝐶. 
 
a) b) 
 
A interseção de dois conjuntos também é um conjunto com elementos que pertencem 
a 𝐷 e a 𝐹, ao mesmo tempo. Matematicamente, representamos o conjunto interseção como 
 
𝐷 ∩ 𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∈ 𝐷 𝑒 𝑥 ∈ 𝐹} 
 
Nas figuras abaixo indique, hachurando, a área que representa a interseção dos 
conjuntos 𝐵 e 𝐶. 
 
a) b) 
 
Por fim, na diferença de conjuntos, 𝐷 − 𝐹 , desejamos encontrar elementos que 
pertençam a 𝐷 e não pertençam a 𝐹. Matematicamente, esse conjunto é representado por 
 
𝐷 − 𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∈ 𝐷 𝑒 𝑥 ∉ 𝐹} 
 
Na figura abaixo indique, hachurando, a área que representa a diferença dos conjuntos 
𝐵 e 𝐶. 
 
 
 
Para estudar vejam os exemplos do livro Silva, Silva e Silva (1999), nas páginas 54 a 
56, cuja referência consta no Plano de Ensino. Caso queiram resolver mais exercícios, no mesmo 
livro estão disponíveis vários exercícios nas páginas 59 a 61. 
 
 
26 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Sejam os conjuntos },,,{ dcbaA  , },,,,{ gfedcB e },,,{ gedbC  . Determine: 
a) (A ∩ C) – B 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A – (B ∩ C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, identifique o conjunto M, definido 
por M = B – (A  C). 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Assinale nos diagramas os conjuntos indicados 
a) 𝐴 − 𝐵 b) (𝐴 − 𝐶) ∩ 𝐵 
 
 
c) (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶 
 
 
27 
 
 
4) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas: 
 
I) {2}  {0, 1, 2} IV) 5  {3, {5, 1}, 4} 
II)   {5, 6, 7} V) {5, 6}  {5, 6, 7} 
III)   { , 4} 
 
Nesta ordem, a alternativa correta é: 
 
a) F, V, V, F, F 
b) V, F, F, V, F 
c) F, V, V, F, V 
d) V, F, F, V, V 
 
5) Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M, definido por M = 
B–(AC) é: 
 
a) {1, 3, 5} 
b) {7} 
c) {7, 5, 8, 9} 
d) {0, 8, 9} 
e) {1, 5, 7} 
 
6) Se A, A∩B e B são conjuntos com 190, 50 e 90 elementos, respectivamente, então qual o número 
de elementos do conjunto 𝐴 ∪ 𝐵? 
 
4) Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das sentenças abaixo. 
a) 0  {0, 1, 2, 3, 4} f) a ∉ {a, {a}} 
b) {a}  {a, b} g) {a}  {a, {a}} 
c) ∅  {0} h){∅, {a, {a}}}  {a} 
d) 0  ∅ i) ∅  {∅, {a}} 
e) {a}  ∅ j) {a, b}  {a, b, c, d} 
 
5) Sendo o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {2, 4, 5, 6, 7} então, determine o conjunto A∩B. 
 
 
 
 
28 
4. FUNÇÃO DO 1º. GRAU 
 
4.1 Contextualização 
As vezes os alunos se perguntam: para que estudar as funções? Essa pergunta não é 
difícil de responder, pois em nosso dia-a-dia, estamos sempre comparando e relacionando números, 
grandezas e formas. Por exemplo: 
 
• Número de questões que acertei num teste, com a nota que vou tirar; 
• Velocidade média do automóvel, com o tempo de duração de uma viagem; 
• Número de pães que vou comprar, com o preço a pagar. 
 
Vamos utilizar o exemplo do número de pães. Na padaria do seu bairro, por exemplo, 
o caixa pode ter uma tabela simples para facilitar seu trabalho. Considere que 1 pão custe R$0,20 
centavos. Para fazer esta tabela, a dona da padaria fez o seguinte cálculo: 
 
Nº de pães Preço a pagar 
1 R$0,20 
2 R$0,40 
3 R$0,60 
4 R$0,80 
5 R$1,00 
 
Observem que o preço a pagar nada mais é do que R$0,20 multiplicado pelo nº de 
pães. Como o preço a pagar depende do número de pães, podemos dizer que 
 
𝑦 = preço a pagar 𝑥 = número de pães 
 
Matematicamente, representamos essa relação como 𝑦 = 0,20. 𝑥. Nesse exemplo fica 
claro a relação entre as variáveis 𝑥 e 𝑦, ou seja, o 𝑦 é uma variável que depende do valor de 𝑥. De 
uma forma geral podemos representar uma função de 1º. grau como 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
Nessa função destaca-se as letras 𝑎 e 𝑏, que são denominadas de coeficientes angular 
e linear, respectivamente. Quando esses coeficientes são diferentes de zero, a função é chamada de 
afim, conforme exemplos abaixo. 
 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 3 Angular: _________ Linear: ________ 
b) 𝑦 = −4 − 𝑥 Angular: _________ Linear: ________ 
 
Mas, também pode acontecer de uma função apresentar um dos coeficientes. 
Considere que o coeficiente linear seja igual a zero. Dessa forma, essa função é conhecida por linear. 
 
a) 𝑦 = 5𝑥 Angular: _________ Linear: ________ 
b) 𝑦 =
2𝑥
3
 Angular: _________ Linear: ________ 
 
Considerando o coeficiente angular igual a zero, temos uma função constante. 
 
a) 𝑦 = 5 Angular: _________ Linear: ________ 
b) 𝑦 = −3 Angular: _________ Linear: ________ 
 
 
29 
 
Representar uma função do 1º. grau é simples, basta construir uma tabela, com valores 
para as variáveis, e depois inseri-las em um gráfico na forma de pontos. Lembre-se que cada ponto 
é indicado por (𝑥, 𝑦). 
 𝑦 
 
 (2,3) 
 (-1,2) 
 
 𝑥 
 (3,-1) 
 (-2,-2) 
 
Há no plano cartesiano acima 4 pontos. Observem que o sentido da reta horizontal, 
conhecido por eixo das abscissas, e vertical, conhecido por eixo das ordenadas, definem os valores 
positivos e negativo. Confiram!!! 
Vamos considerar a função 𝑦 = 𝑥 + 3. Para construir a tabela vamos partir de três 
números para 𝑥: um negativo, o zero e um positivo. Você pode escolher qualquer número, mas 
lembre-se que números menores facilitam seu cálculo. Dessa forma, sugiro os números −1, 0 e 1. 
Os valores de 𝑦 dependem da forma como a função foi apresentada. Nesse exemplo, temos: 
 
𝑥 𝑦 Ponto 
 
 
−1 −1 + 3 = 2 (−1,2) 
0 0 + 3 = 3 (0,3) 
1 1 + 3 = 4 (1,4) 
 
Bom, utilizamos, nesse exemplo, três pontos para construir uma reta, gráfico da função 
de 1º. grau. Isto para definirmos a reta com mais segurança. Todavia, sabe-se que é possível construí-
la apenas com dois pontos. 
Observem que no gráfico acima a função 𝑦 = 𝑥 + 3 toca o eixo 𝑥 . Esse ponto é 
chamado de raiz, e possui como característica não tocar o eixo 𝑦, ou seja, o valor em 𝑦 é igual a zero. 
Para encontrar essa raiz basta igualar a função a zero. 
 
𝑦 = 0 
𝑥 + 3 = 0 
𝑥 = −3 
 
Assim, a raiz será representada pelo ponto (−3,0) . Então, sempre que precisar 
encontrar a raiz de uma função basta igualá-la a zero. Mas, e se você desejasse descobrir a função, 
mas tendo disponível apenas dois pontos? Para resolver esse tipo de situação, uma sugestão é 
montar uma matriz e igualar o seu determinante a zero. Por exemplo, qual seria a função que passa 
pelos pontos (1,2) e (0,1)? 
Primeiro, vamos montar a matriz. Nas duas primeiras colunas colocamos os valores 
dos pontos e finalizamos com as variáveis 𝑥 e 𝑦. A última coluna sempre será igual a 1. 
[
1 2 1
0 1 1
𝑥 𝑦 1
] 
 
Agora, basta calcular o determinante e igualar a zero. Se você não se lembra, resgate 
a teoria no capítulo de Matrizes e Determinantes. 
 
[
1 2 1
0 1 1
𝑥 𝑦 1
]
 1
 0
 𝑥
 2
 1
 𝑦
 
 
Assim, temos: 
 
 
 
30 
1.1.1 + 2.1. 𝑥 + 1.0. 𝑦 − 𝑥. 1.1 − 𝑦. 1.1 − 1.0.2 = 0 
1 + 2𝑥 − 𝑥 − 𝑦 = 0 
𝑥 − 𝑦 = −1 
−𝑦 = −1 − 𝑥 
𝑦 = 1 + 𝑥 ou 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
Notem que apresentamos a função na forma 𝑦 = 𝑥 + 1. Mas, como 𝑓(𝑥) = 𝑦 podemos, 
também, escrever na forma 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. Esta é uma forma muito comum de uma função. Nesse 
formato é possível trabalhar diversos exercícios como, por exemplo, encontrar o valor de 𝑦, para um 
dado 𝑥 . Vamos identificar essas possibilidades. Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 . Inicialmente, 
queremos descobrir o valor de 𝑓(−1). Nesse exemplo, para calcular 𝑓(−1) devemos substituir 𝑥 por 
−1, da seguinte forma: 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
𝑓(−1) = 2(−1) + 1 
𝑓(−1) = −1 + 1 
𝑓(−1) = 0 
 
Assim, para 𝑥 = −1, nessa função, o 𝑦 = 0. Aproveitando o exemplo, vamos fazer o 
contrário, calcular o valor de 𝑥, para 𝑓(𝑥) = 3. Logo, 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
3 = 2𝑥 + 1 
−2𝑥 = 1 − 3 
−2𝑥 = −2 
2𝑥 = 2 
𝑥 =
2
2
= 1 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Dada a função 62  xy , identifique o coeficiente angular e o intercepto do eixo OY. 
 
 
 
 
2) Sejam A = (1,3) e B = (2,4) dois pontos do gráfico de uma linear afim baxy  . Identifique o 
coeficiente angular e o coeficiente linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
3) Qual o ponto de intersecção das retas 𝑦 = 2𝑥 e 𝑦 = −𝑥 + 6? 
 
 
 
 
 
 
 
4) Qual a equação da reta que contém os pontos A = (1,1) e B = (-3,1)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Dada as funções definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
2
 e 𝑔(𝑥) =
𝑥
5
+ 1. Determine o valor de 𝑓(2). 𝑔(−3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dada a função 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2, determine: 
a) )3().1( ff  b) 
)0(
)2(
f
f
 c) x para que 9)( xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
7) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções de R em R definidas por 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1. Coloque V para 
verdadeiro e F para falso nas afirmativas abaixo: 
 
( ) a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0, 3); 
( ) – 1 e + 1 são os raizes da função 𝑓 e 𝑔, respectivamente; 
( ) 𝑓(4) + 𝑔(2) = 0.5. FUNÇÃO DO 2º. GRAU 
 
5.1 Contextualização 
 Uma função quadrática é dada na forma de 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0 e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 
números reais quaisquer. Essa função não precisa, necessariamente, ser apresentada com os três 
termos, a exceção do termo que está ao quadrado. 
 
Exemplos: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 4 𝑎: ____ 𝑏: ____ 𝑐: ____ 
b) 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 5 𝑎: ____ 𝑏: ____ 𝑐: ____ 
c) ℎ(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 𝑎: ____ 𝑏: ____ 𝑐: ____ 
d) 𝑖(𝑥) = 𝑥2 𝑎: ____ 𝑏: ____ 𝑐: ____ 
 
 Quando trabalhamos com função de 2º. Grau, nessa disciplina, o objetivo é 
normalmente construir o gráfico de sua função. Para isso, precisamos encontrar, inicialmente, sua(s) 
raiz(es), que são apresentadas por: 
 
∆ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
e 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
Assim, temos: 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √∆
2𝑎
 
𝑥′′ =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
 
 
33 
 
 Lembrando que raízes são os pontos que tocam o eixo x e que apresentam o valor no 
eixo y igual a zero. 
O gráfico de uma função de 2º. Grau será uma parábola, voltada para cima ou para 
baixo. Assim, para cima, com 𝑎 > 0. 
 
 
Para baixo, com 𝑎 < 0. 
 
 
Vamos fazer um exemplo para compreender melhor. 
 
Exemplo 1 – Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
 
Bom, primeiro vamos calcular o valor do delta (∆). Assim, 
 
∆ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
∆ = 42 − 4.1.4 
∆ = 0 
 
Agora vamos utilizar esse valor para calcular a(s) raiz(es). Vejamos, 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
𝑥 =
−4 ± √0
2.1
=
−4 ± 0
2
=
−4
2
= −2 
 
Percebem que quando o valor do delta for igual a zero, a função do 2º grau apresentará 
apenas uma raiz ou, segundo alguns autores, duas raízes reais e iguais. 
Para plotar o gráfico dessa função, vamos marcar a raiz, nesse exemplo igual a −2, e 
verificar o sinal do coeficiente que acompanha o 𝑥2, pois ele indicará se a parábola será voltada pra 
cima ou pra baixo. 
 
 
 
 
34 
Exemplo 2 – Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 
 
Bom, primeiro vamos calcular o valor do delta (∆). Assim, 
 
∆ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
∆ = (−1)2 − 4.1. (−6) 
∆ = 1 + 24 = 25 
 
Agora vamos utilizar esse valor para calcular a(s) raiz(es). Vejamos, 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−1) ± √25
2.1
=
1 ± 5
2
 
 
Assim, as raízes são: 
𝑥′ =
1 + 5
2
= 3 
𝑥′ =
1 − 5
2
= −2 
 
Dessa forma, com essas variáveis o gráfico da função ficará da seguinte forma: 
 
 
 
 Observem que, diferentemente do exemplo 1, nesse exemplo a função já apresentou 
2 raízes reais e diferentes. Por isso, que a parábola toca o eixo x em dois pontos, ou seja, nas duas 
raízes. 
 
Exemplo 3 – Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 
 
Bom, primeiro vamos calcular o valor do delta (∆). Assim, 
 
∆ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
∆ = (−4)2 − 4.1.5 
∆ = 16 − 20 = −4 
 
Como o valor do delta foi negativo, então podemos dizer que essa função não 
apresenta raízes reais. Nesse caso, quando acontecer, não precisamos construir o gráfico, apenas 
informar que esta função não apresenta raízes reais. 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Sobre o gráfico da função, definida por 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 5, a(s) alternativa(s) correta(s) é(são): 
 
 
 
35 
A) todo ponto pertencente ao gráfico possui ordenada negativa; 
B) o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo; 
C) o ponto (0, 5) pertence ao gráfico; 
D) a parábola toca o eixo OX em apenas um ponto; 
E) todo ponto da parábola pertence ao primeiro ou segundo quadrante 
 
 
2) A função quadrática 𝑦 = (𝑚2 − 4)𝑥2 − (𝑚 + 2)𝑥 − 1 está definida quando: 
 
A) m = 4 
B) m≠4 
C) m ≠ ±2 
D) m = ± 2 
E) Nenhuma das respostas anteriores 
 
3) Se a equação 3𝑥2 − 6𝑥 + (2𝑘 − 1) = 0 tem duas raízes reais e diferentes, então: 
 
A) k<2 
B) k=0 
C) k>2 
D) k ∉ ℜ 
E) Nenhuma das respostas anteriores 
 
4) Esboce o gráfico das funções abaixo: 
 
a) −2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2𝑥(5 − 𝑥) = 𝑥2 + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
c) (𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 5𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
5) Em cada função quadrática dada a seguir, calcule o valor dos coeficientes desconhecidos: 
 
a) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑏𝑥 + 7, sendo 𝑦 = −1 quando 𝑥 = 1. 
b) 𝑦 = −2𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐, sendo 𝑦 = −4 quando 𝑥 = 1 e 𝑏 + 𝑐 = 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Seja a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑐 , em que 𝑓(2) = 10 e 𝑓(−1) = 3 . Calcule 𝑏, 𝑐 e o valor da 
expressão 𝑓(3) + 2𝑓(1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
6. DEMANDA E OFERTA DE MERCADO 
 
Oferta e Demanda são, talvez, as palavras mais comuns de que as pessoas se 
recordam ao falar do estudo de Economia. No entanto, poucos sabem o seu efetivo significado. São 
conceitos simples, mas que diferem do senso comum. 
Começaremos nosso estudo pela demanda, que esta diretamente ligada aos 
consumidores, isto é, àqueles que se dirigem ao mercado para adquirir bens e serviços de que 
necessitam. 
 
6.1. Demanda de mercado 
“A demanda ou procura pode ser definida como a quantidade de certo bem ou serviço que os 
consumidores desejam adquirir em determinado período de tempo. Essa procura depende de 
variáveis que influenciam a escolha do consumidor, são elas: o preço do bem ou serviço, o preço dos 
outros bens, a renda do consumidor e o gosto ou preferência do indivíduo”. 
 
 Demanda é tudo aquilo que um consumidor almeja adquirir em determinado espaço de tempo. 
Temos que entender que é somente o desejo de adquirir certo bem, e não a consumação de 
tal, que seria caracterizado como consumo. 
 Demanda é a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir a diversos 
níveis de preços. 
 
 
 
Então, diante do contexto apresentado existe uma relação inversa entre preço e 
quantidade demandada. Quando o preço aumenta a quantidade diminui, e vice-versa. 
 
 
* Observem os valores que tocam os eixos x (quantidade) e y (preço); 
* Demanda e preços são positivos. 
 
Exemplo 1 – A função dada por 𝐷 = 45 − 5𝑃, em que 𝑃 é o preço por unidade do bem (ou serviço) e 
𝐷 a demanda de mercado correspondente. 
 
a) Identificar o intervalo de variação de 𝑃 
Para que haja demanda, então, devemos ter que 𝐷 > 0. Assim, 
 
45 − 5𝑃 > 0 
𝑃 < 9 
 
http://www.infoescola.com/economia/lei-da-oferta-e-da-procura-demanda-e-oferta/
 
 
38 
Portanto, o intervalo de variação de 𝑃 é o intervalor ]0, 9[ 
 
b) Identificar o intervalo de variação de 𝐷 
Na equação anterior devemos ter P > 0. Assim, 
 
𝐷 = 45 − 5𝑃 
𝑃 =
45 − 𝐷
5
 
 
Portanto, 𝐷 < 45. Dessa forma, o intervalo de variação de 𝐷 é o intervalo ]0, 45[. 
 
c) Representar graficamente esta função 
 
 
d) Determinar o valor da demanda para 𝑃 = 𝑅$4,00 
𝐷 = 45 − 5𝑃 
𝐷 = 45 − 5.4 = 45 − 20 = 25 
Portanto, 𝐷 = 25 
 
e) A que nível de preço a demanda será de 35 quantidades? 
𝐷 = 45 − 5𝑃 
35 = 45 − 5𝑃 
𝑃 = 𝑅$2,00 
 
Exemplo 2 – Suponhamos que a demanda de mercado de um produto, que é vendido em pacotes 
de 10𝐾𝑔, seja dada por: 
𝐷 = 4.000 − 50𝑃 
Pede-se: 
a) Identifique o intervalo de variação de 𝑃; ]0, 80[ 
b) Identifique o intervalo de variação de 𝐷; ]0, 4.000[ 
c) Represente graficamente a função demanda de mercado. 
d) Determine o valor da demanda para 𝑃 = 𝑅$60,00 𝐷 = 1.000 
e) A que nível de preço a demanda será de 3.500 pacotes? 𝑅$10,00 𝑜 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
f) A partir de que preço a demanda será menor que 1.000 pacotes? 𝑃 < 𝑅$60,00 
 
 
 
 
39 
Exercícios de fixação 
 
1) Uma pesquisa sobre a demanda de mercado de um produto X levou à seguinte escala de demanda: 
 
P = preço 
(R$/unidade) 
D = quantidade demandada 
(em unidades) 
20 3.500 
30 2.600 
40 1.800 
50 1.000 
60 500 
Represente graficamente a escala de demanda 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Faça os exercícios sobre Demanda de Mercado disponíveis no livro Silva, Silva e Silva (1999), 
página 103 e 104. 
 
 
6.2. Ofertade mercado 
Assim, podemos ver que quanto há o aumento do preço de um produto, maior é o 
estimulo para a fabricação deste bem. Quando a quantidade deste bem se normaliza no mercado, há 
a redução de seu preço, estimulando a demanda e desestimulando a vontade dos fabricantes de 
produzi-lo. 
 
 
 
Existe uma relação direta/positiva entre preço e quantidade ofertada. Quando o preço 
aumenta a quantidade ofertada aumenta, e vice-versa. 
 
 
 
 
 
40 
Exemplo 1 – Suponha que a oferta de mercado de determinado produto seja dada por 𝑆 = −30 +
2𝑃, com 𝑃 ≤ 1.300 
a) A partir de que preço haverá oferta? 
Para que haja oferta, isto é, para que se tenha 𝑆 > 0, devemos ter 
 
−30 + 2𝑃 > 0 
𝑃 > 15 
 
b) Represente graficamente a função 
 
 
 
c) A que preço a oferta será de 1.000 unidades? R$515,00/unidade 
d) A partir de que preço a oferta será maior que 1.500 unidades? 𝑃 > 𝑅$765,00 
e) A partir de que preço a oferta será menor que 2.500 unidades? 𝑃 < 𝑅$1.265,00 
 
Exercícios de fixação 
 
1) Uma pesquisa sobre a oferta de mercado de um produto Y levou à seguinte escala de oferta: 
 
 
P = preço 
(R$/unidade) 
S = quantidade ofertada 
(em unidades/mês) 
47 34 
65 75 
80 120 
100 130 
120 170 
 
 
Represente graficamente a escala de oferta. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Faça os exercícios sobre Demanda de Mercado disponíveis no livro Silva, Silva e Silva (1999), 
página 112 e 113. 
 
 
 
 
41 
6.3. Preço e quantidade de equilíbrio 
O gráfico abaixo representa o equilíbrio de mercado. Nesta situação há uma 
"harmonia" entre oferta e demanda. Teoricamente, neste ponto, o nível de preço não está nem muito 
alto nem muito baixo, satisfazendo tanto a consumidores quanto a produtores. 
 
 
 
Exemplo 1 – Dadas as demandas de mercado D = 20 – P e a oferta 𝑆 =
20
3
+
5𝑃
3
, com P ≤ 20. 
Determinar o preço de equilíbrio e a correspondente quantidade de equilíbrio. 
Preço de equilíbrio (D = S). Logo P = 5 (Vamos resolver!!!) 
Quantidade de equilíbrio (demanda) é igual a 15. (Vamos resolver!!!) 
 
 
 
 
Todos os exercícios foram retirados do livro Silva, Silva e Silva (1999), 
também conhecido apenas por Medeiros. Dessa forma, o aluno deve 
buscar nessa referência o gabarito para as questões apresentadas. 
 
 
 
42 
REFERÊNCIAS 
 
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática 
para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 5. ed, v. 1. São Paulo: Atlas, 
1999. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Dra. Lousanne Cavalcanti Barros Resende 
 
 
 
 
Mini currículo 
 
Possui Graduação em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa (1997), Mestrado 
em Administração pelo CEPEAD/FACE/UFMG (2003), Doutorado em Administração pelo 
CEPEAD/FACE/UFMG (2014) e Pós-doutorado em Finanças e Sustentabilidade na UNIVALI, 
Santa Catarina. Foi Diretora Financeira e Administrativa do Sicoob Nossacoop. Na área 
acadêmica atua como Coordenadora do Curso de Administração e como professora da 
Faculdade Novos Horizontes lecionando as disciplinas: Matemática e Matemática Financeira 
para os cursos de Administração e Ciências Contábeis. Tem experiência na área de 
Administração, com ênfase em Administração Financeira, atuando principalmente na área de 
Análise de Crédito.