prova 3 calculo III - IFBA

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IFBA

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Priscila Abade

21/08/2020

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Cálculo III

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral III - MAT225
NOME:
TUTORES:
POLO:
SEMESTRE: 5o
PROFESSOR: Fellipe Leite
CURSO:
NOTA:
1a Prova Eletrônica - Semana 6 - Modelo 3
1. (VALOR: 3,0) Utilize os conhecimentos adquiridos para examinar se as séries a seguir são absolu-
tamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes: (VALOR: 0,5 CADA)
(a)
∞
∑
n=1
1 + sen (2n)
10n
(b)
∞
∑
n=1
(−1)n
n · (ln(n))4
(c)
∞
∑
n=1
(−1)n
5
√
n4
(d)
∞
∑
n=1
2n3 + 7
3n3 − 5
(e)
∞
∑
n=2
(−1)n · n7
7n
(f)
∞
∑
n=2
(5n2 − n
6n2 + 1
)n
2. (VALOR: 2,0) Responda: (VALOR: 1,0 CADA)
(a) Prove que sen (3x) =
∑
0
(−1)n · 32n+1 · x2n+1
(2n+ 1)!
. (VALOR: 1,0)
(b) Usando apenas a representação em séries de potências da função f(x) = cos(3x) e os conhecimentos
de Polinômio de Taylor, determine as derivadas f (2k)(0) e f (2k+1)(0). (VALOR: 1,0)
3. (VALOR: 1,5) Seja (Tn)n∈N∗ uma sequência de Triângulos de modo que
• T1 é um triângulo equilátero de lado 6
• Se n ≥ 2 o Triângulo Tn é constrúıdo de modo que seus vértices são os pontos médios do triângulo
Tn−1
Com base nessas informações:
(a) Determine a sequência (pn) dos peŕımetros dos triângulos Tn. (VALOR: 0,6 CADA)
(b) Analise o comportamento da série
∞
∑
n=1
pn e, se posśıvel, determine a sua soma. (VALOR: 0,9 CADA)
4.(VALOR: 2,0) Dada a série de potências
∞
∑
n=1
2xn
n
determine:
(a) A região de convergência. (VALOR: 0,7)
(b) Obtenha a soma dessa série de potências, aplicando a diferenciação ou integração termo a termo.
(VALOR: 0,8)
(c) Utilize os itens anteriores para calcular a soma da série
∑
n=1
1
n · 2n−1
(VALOR: 0,5)
5. (VALOR: 1,5) Considere a sequência
( n!
nn
)
n∈N∗
.
(a) Usando apenas os conhecimentos de sequência, prove que essa sequência converge. (VALOR: 0,5)
(b) Use os conhecimentos de séries para provar que lim
n→∞
( n!
nn
)
= 0. (VALOR: 0,5)
(c) Utilize esse exemplo para discutir a diferença entre o problema de decidir se uma sequência converge
e o problema de calcular o limite de uma sequência. (VALOR: 0,5)
Bom Trabalho!