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Fundamentos em
Finanças
Fundamentos em
Finanças
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s
Edson Carlos Chenço
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-3048-4
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Edson Carlos Chenço
Fundamentos em Finanças
IESDE Brasil S.A.
Curitiba
2012
Edição revisada
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ 
________________________________________________________________________________
C447f
 
Chenço, Edson Carlos.
 Fundamentos em finanças / Edson Carlos Chenço. - 1.ed. rev. - Curitiba, PR : IESDE 
Brasil, 2012. 
 338p. : 24 cm
 
 Inclui bibliografia
 ISBN 978-85-387-3048-4
 
 1. Administração financeira. I. Título. 
12-6160. CDD: 658.15
 CDU: 658.15
27.08.12 05.09.12 038529 
________________________________________________________________________________
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e 
do detentor dos direitos autorais.
Capa: IESDE Brasil S.A.
Imagem da capa: Shutterstock
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
Todos os direitos reservados.
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Edson Carlos Chenço
Mestre em Metrologia para a Qualidade Indus-
trial pela Pontifícia Universidade Católica do Rio 
de Janeiro. MBA em Estatística e Pesquisa de 
mercado pela Universidade Estadual do Rio de 
Janeiro. Especialista em Ensino a Distância pela 
Universidade Federal de Minas Gerais (em an-
damento). Graduado em Matemática pela Uni-
versidade Metodista do Paraná. Professor das 
disciplinas Finanças e Estatística nos cursos de 
MBA do Instituto Brasileiro de Mercados de Ca-
pitais no Rio de Janeiro e professor de Estatística 
e Pesquisa de Mercado e Gestão Financeira na 
Escola Superior de Marketing do Rio de Janeiro.
Professor de Gestão Financeira e Sistemas de 
Preços e Custos no MBA em Gestão Empresa-
rial da Universidade Federal do Rio de Janeiro. 
Professor dos MBAs das parcerias do Ibmec em 
todo o Brasil. Instrutor de finanças, estatística 
e pesquisa de mercado para profissionais de 
grandes empresas em cursos in Company, como 
Companhia Vale do Rio Doce, Eletrobras, Ampla, 
Globo.com e Bahiense.
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Finanças – importância e aplicabilidade 
11
11 | O que é a gestão financeira?
11 | Qual a função do gestor financeiro?
12 | Sobrevivência no mercado
12 | Cálculos ágeis e precisos são fundamentais
12 | A calculadora HP-12C
21 | Juros simples
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
37
37 | Capitalização composta
38 | Descontos compostos
48 | Taxas
Séries uniformes, 
antecipadas, postecipadas e diferidas 
65
65 | Prestações iguais
70 | Séries antecipadas e postecipadas
76 | Perpetuidades
77 | Séries diferidas
Estudo dos fluxos de caixa 
95
96 | Planos equivalentes de financiamento
Valor presente líquido e taxa de desconto 
119
119 | Complemento
120 | Valor presente líquido (NPV)
120 | Valor presente e valor futuro
121 | Taxa de juros
123 | Anuidade
127 | Limitações ao VPL
128 | Taxa interna de retorno (IRR)
131 | A taxa interna de retorno modificada
135 | O payback
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Finanças – importância e aplicabilidade 
11
11 | O que é a gestão financeira?
11 | Qual a função do gestor financeiro?
12 | Sobrevivência no mercado
12 | Cálculos ágeis e precisos são fundamentais
12 | A calculadora HP-12C
21 | Juros simples
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
37
37 | Capitalização composta
38 | Descontos compostos
48 | Taxas
Séries uniformes, 
antecipadas, postecipadas e diferidas 
65
65 | Prestações iguais
70 | Séries antecipadas e postecipadas
76 | Perpetuidades
77 | Séries diferidas
Estudo dos fluxos de caixa 
95
96 | Planos equivalentes de financiamento
Valor presente líquido e taxa de desconto 
119
119 | Complemento
120 | Valor presente líquido (NPV)
120 | Valor presente e valor futuro
121 | Taxa de juros
123 | Anuidade
127 | Limitações ao VPL
128 | Taxa interna de retorno (IRR)
131 | A taxa interna de retorno modificada
135 | O payback
Fluxos de caixa e inflação 
151
151 | Conceituando inflação
Administração financeira 
171
171 | Administração de finanças empresariais
172 | Organização das empresas – modalidades
176 | Demonstrações financeiras
Estrutura financeira da empresa 
203
203 | Captação de recursos no mercado
218 | Mercado de obrigações
222 | Alavancagem financeira
223 | Mercado de ações
Administração de caixa 
229
229 | Mercado e avaliação de ações
239 | Mercado de ações
Análise de investimentos 
253
253 | Fluxos de caixa relevantes
254 | Custos irrecuperáveis
255 | Custos de oportunidade
256 | Efeitos colaterais
256 | Capital de giro líquido (CGL)
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257 | Demonstrações financeiras
260 | Projeção do fluxo de caixa e valor
262 | Risco de previsão
262 | Defesa contra erros de previsão
263 | Análise de cenários
269 | Opções gerenciais
271 | Racionamento de capital
Risco e retorno 
283
283 | Medidas de Avaliação de Riscos
288 | Carteiras
298 | Retorno exigido e custo de capital
Custo de capital 
311
311 | Custo do capital próprio
313 | O que é o risco Brasil?
314 | Modelo de crescimento de dividendos
324 | Política de pagamento de dividendos
324 | Forma de incidência de impostos nos dividendos
325 | Financiamentos a longo prazo
325 | Financiamentos a curto prazo
326 | Aplicação de fundos ociosos
327 | Risco operacional, econômico e financeiro
329 | Custos da falência
330 | Liquidação e reorganização
Referências 
335
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Apresentação Fundam
entos em
 Finanças
Este livro reúne os conceitos e práticas essen-
ciais utilizados em matemática financeira básica 
e princípios de gestão financeira, cada vez mais 
relevantes no competitivo ambiente dos ne-
gócios. Por se tratar de um texto aplicativo, os 
objetivos e tópicos abordados nos capítulos 
tentam ilustrar o uso da matemática e da gestão 
financeira no processo de tomada de decisões e 
soluções que envolvam o valor do dinheiro no 
tempo.
Cada vez mais, torna-se importante conhecer as 
técnicas e fórmulas para resolução de proble-
mas financeiros. Calculadoras eletrônicas, como 
a HP-12C, e softwares computacionais cuidam 
de muitas etapas que há poucos anos eram ma-
nuais e demandavam um tempo enorme.
Por se tratar de um livro direcionado a todos os 
profissionais, que atuam na área de negócios ou 
não, a abordagem do livro é sempre muito deta-
lhada e algumas ferramentas auxiliares sempre 
são citadas, com o objetivo de facilitar o enten-
dimento e as aplicações.Foi possível reunir neste livro, também, uma 
série de exercícios práticos aplicados à realidade 
do mercado financeiro. Todos os capítulos estão 
estruturados em conceitos, exercícios resolvidos 
de fixação, exercícios propostos com gabarito e 
texto complementar sobre os temas abordados.
Não se pode desvincular hoje o estudo de fi-
nanças de outras áreas importantes da gestão 
empresarial. A matemática e gestão financeira 
vêm se tornando uma especialidade que liga 
marketing, vendas, alta gerência e demais áreas 
e competências das empresas. Logo, todas as 
decisões financeiras impactam em praticamen-
te todos os setores da empresa.
Portanto, independentemente da área de atua-
ção, é necessário que todos os profissionais de 
gestão conheçam fundamentos básicos, como 
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Fundam
entos em
 Finanças
análise de investimentos, análise de cenários e 
oportunidades, custo e orçamento de capital, 
mercado de capitais, processos e modelos de 
capitalização e amortização, taxas, entre outros 
temas muito importantes.
Os capítulos iniciais do livro apresentam os con-
ceitos básicos de matemática financeira, com 
ênfase nos modelos e sistemas de amortização 
e nos juros e descontos compostos. Os demais 
capítulos apresentam tópicos básicos de gestão 
financeira, em uma linguagem simples e estru-
turada, com ênfase na aplicabilidade prática dos 
conceitos.
A complexidade e a globalização dos mercados 
financeiros fizeram com que tenhamos de convi-
ver com conceitos que, às vezes, parecem contra-
riar o senso comum, pois, um evento inesperado 
no Japão, por exemplo, pode causar impactos 
enormes no Brasil, na China ou em qualquer 
outro país. Portanto, hoje, muitos dos conceitos 
habitam somente o universo das probabilidades 
e das correlações matemáticas. Sendo assim, am-
pliou-se a necessidade de maior compreensão 
e uso instrumental da matemática e da gestão 
financeira, pois vivemos intensamente a Era 
das finanças.
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11
Finanças – 
importância e aplicabilidade
A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os 
curiosos, como também para auxiliar e poupar trabalho aos homens.
Descartes
Podemos dizer que finanças é a arte e a ciência de gerenciar recursos. Por-
tanto, os mercados financeiros, as instituições financeiras e toda a estrutura de 
funcionamento desses sistemas, em nosso país, bem como, no mercado inter-
nacional formam um campo de estudos muito importante conhecido como 
finanças. Quando estudamos finanças, percebemos a importância e aplicabi-
lidade dos conceitos financeiros no dinheiro ao longo do tempo. Fazer o pla-
nejamento financeiro, gerenciar os ativos, captar fundos, aplicar e fazer inves-
timentos no mercado financeiro e na bolsa de valores, emitir obrigações, fazer 
operações de descontos de títulos, gerenciar e controlar a aplicação de recur-
sos e avaliar projetos são algumas das muitas aplicabilidades de finanças.
O que é a gestão financeira?
Para a maioria dos autores, define-se gestão financeira como um conjun-
to de ações e procedimentos administrativos que envolvem planejamento, 
análise e controle de todas as atividades financeiras empresariais, para que 
se obtenha uma maximização dos resultados econômico-financeiros pró-
prios de suas atividades operacionais.
Qual a função do gestor financeiro?
É necessário que o gestor da área de finanças tenha um conjunto de fer-
ramentas essenciais e informações gerenciais organizadas e eficientes para 
compreender o momento financeiro da empresa e tomar decisões que sejam 
as melhores e mais adequadas para maximizar os resultados. Portanto, uma 
das funções principais do gestor de finanças é aumentar o patrimônio líqui-
do da empresa, gerando lucro líquido a partir das atividades operacionais 
desenvolvidas por ela.
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12
Finanças – importância e aplicabilidade
Sobrevivência no mercado
Todas as decisões empresariais devem estar apoiadas em um conjunto de 
informações precisas e muito atuais. A implantação de relatórios gerenciais, 
definição de alguns indicadores de desempenho, estatísticas operacionais, 
análises históricas de desempenho e performance colaboram para que a em-
presa sobreviva e mantenha-se em um mercado cada vez mais competitivo 
e globalizado. Pode-se então gerenciar, por exemplo: apuração dos resulta-
dos da empresa, controle de vendas e estoques, movimento de caixa, grau 
de endividamento, fluxos de caixa, grau de lucratividade, balanço gerencial, 
entre outros elementos.
Cálculos ágeis e precisos são fundamentais
Na prática, o profissional que trabalha com finanças precisa de algumas 
ferramentas que deem agilidade e muita precisão nos cálculos financeiros. 
Qualquer desprezo, às vezes de uma casa decimal, pode significar, depen-
dendo do valor, uma quantia considerável. Por isso, é muito comum o uso de 
calculadoras financeiras, em especial, a calculadora HP-12C, que vamos utili-
zar inúmeras vezes no decorrer das operações. Muitos profissionais também 
se utilizam da planilha eletrônica Microsoft Excel. Na prática, tanto a HP como 
o Excel são utilizados de forma análoga.
A calculadora HP-12C
A calculadora HP-12C é utilizada na solução de problemas de matemá-
tica financeira e gestão financeira envolvendo os parâmetros n, i, PV, PMT 
e FV. Dispõe também de funções especiais para cálculos estatísticos. É de 
grande utilidade na solução de problemas relacionados a cálculos no mer-
cado financeiro.
Operações básicas
 Memórias transitórias 
 Quatro memórias transitórias (X, Y, Z e T) operam como se fossem uma 
pilha de quatro valores, com as seguintes características:
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Finanças – importância e aplicabilidade
13
 a memória X é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor;
 as demais estão empilhadas, em cima da memória X, na ordem se-
quencial Y, Z e T;
 as operações aritméticas são efetuadas com os conteúdos das me-
mórias X e Y;
 os conteúdos das quatro memórias são movimentados nos seguin-
tes casos:
 quando a tecla enter é acionada;
 quando são efetuadas as operações +, –, e ÷;
 quando são acionadas as teclas R , ou X >< Y.
 Tecla enter
 Ao ser digitado um número, ele passa a ocupar a memória, que é a 
única cujo conteúdo aparece no visor. Ao acionar enter, são desenca-
deadas as seguintes transferências de valores entre as memórias:
 o conteúdo da memória X é copiado para a memória Y, mas perma-
nece na memória X;
 o conteúdo da memória Y vai para a memória Z;
 o conteúdo da memória Z vai para a memória T;
 o conteúdo da memória T é perdido.
 Teclas CHS e CLX
 A tecla CHS troca o sinal do conteúdo da memória X, isto é, do número 
que aparece no visor. A tecla CLX limpa o conteúdo da média X.
 A tecla R
 Faz uma troca nos conteúdos das quatro memórias transitórias: Y vai 
pra X; X vai para T; T vai para Z e Z vai para Y.
 As teclas +, –, × e ÷
 Efetuam operações aritméticas com o conteúdo das memórias X e Y.
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14
Finanças – importância e aplicabilidade
Exemplo 1: 
Calcular a expressão 3 + 7 – 1 
3 enter
 7 +
 1 –
Com resultado no visor igual a 9.0
Exemplo 2: 
Calcular a expressão 3 × 10
5
Fazemos:3 enter
 10 ×
 5 ÷
Com resultado igual a 6.0
 As teclas amarela (f) e azul (g)
 Uma tecla na calculadora HP pode realizar inúmeras funções, como 
por exemplo:
 função normal, escrita em cor branca na face superior da própria 
tecla;
 função amarela, escrita em cor amarela no corpo da calculadora, na 
parte superior da tecla;
 função azul, escrita em cor azul na face lateral inferior da calculado-
ra, na parte superior da tecla.
Para usarmos as funções amarela ou azul de cada tecla, é importante que 
as teclas amarela f ou azul g sejam acionadas imediatamente antes de pres-
sionar a tecla que se deseja. Quando as teclas f e g são acionadas, o visor 
mostra as letras f e g, respectivamente, para indicar que essas teclas estão 
ativas, como prefixos para qualquer tecla que for acionada em seguida.
Se, após o acionamento de qualquer uma dessas duas teclas, houver a 
necessidade de eliminar sua atuação, basta acioná-la novamente e observar 
que o visor deixou de apresentar os prefixos f e g.
Exemplo:
Uso da tecla azul g
Usamos 1/x para calcular o inverso de um número 
colocado no visor. Acionando a tecla azul g e em seguida 
a tecla 1/x, essa tecla passará a executar a função azul ex.
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Finanças – importância e aplicabilidade
15
 Número de casas decimais
 O número de casas decimais que é mostrado no visor pode ser fixado 
bastando acionar a tecla amarela f e, em seguida, o número de casas 
decimais desejadas (0 a 9).
Exemplo:
Efetuar a divisão de 4/7
4 enter (4 nas memórias X e Y)
7 (7 na memória X – visor)
÷ (efetua a divisão X/Y)
 A calculadora mantém internamente o resultado dessa divisão com 
um número de casas decimais bem superior. Se quisermos ver o resul-
tado com quatro casas decimais, basta pressionar a tecla amarela f, e 
em seguida, o número 4, no visor teremos 0,5714.
 A função RND
 Permite eliminar as casas decimais da memória X que não serão mos-
tradas no visor, através do arredondamento matemático.
Exemplo:
Dividir 8/3 com duas casas decimais
f 2 (fixando 2 casas decimais)
8 enter (8 nas memórias X e Y)
3 (3 na memória X – visor)
÷ (efetua a divisão X/Y)
 Executamos a função RND (pressionando as teclas f e RND): o visor es-
tará indicando 2,67, mas as demais casas decimais se transformaram 
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Finanças – importância e aplicabilidade
em zeros. Para isso ser confirmado, basta aumentarmos o número de 
casas decimais a serem mostradas no visor. Logo, se acionarmos as te-
clas f e 4, o visor mostrará 2,6700.
 Funções ΔDYS e DATE
 Funções do calendário.
 As funções do calendário fornecidas pela HP-12C – DATE e ADYS 
– trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de no-
vembro de 4046. Para todas as funções do calendário, a calculadora 
utiliza um de dois formatos de data. Eles são utilizados tanto para 
interpretar datas quando são digitadas quanto para exibi-las.
 Mês-Dia-Ano: para configurar o formato para M-D-A, aperte g e, em 
seguida, M.DY; logo, para entrar uma data com esse formato ativado:
 digite o mês, com um ou dois dígitos;
 aperte a tecla de ponto decimal;
 digite os dois dígitos do dia;
 digite os quatro dígitos do ano.
 As datas são exibidas no mesmo formato. Por exemplo, para di-
gitar o dia 7 de março de 2008 – Teclas: 3.072008
 Dia-Mês-Ano: para configurar o formato para D-M-A, aperte g D.MY. 
Para entrar com uma data com esse formato ativado:
 digite o dia, com um ou dois dígitos;
 aperte a tecla do ponto decimal;
 digite o mês, com dois dígitos;
 digite os quatro dígitos do ano.
 Por exemplo: para digitar 7 de março de 2008 – Teclas: 7.032008
 Quando o formato está D-M-A, o indicador de estado D.MY está 
presente no mostrador. Se isso não ocorrer, o formato será automa-
ticamente o anterior.
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Finanças – importância e aplicabilidade
17
 Para calcular datas futuras ou passadas, use os seguintes argumentos:
 digite a data fornecida e aperte ENTER;
 digite o número de dias;
 se a outra data estiver no passado, aperte CHS;
 aperte g DATE.
 A resposta calculada pela função DATE é exibida em um formato 
especial. Os números do mês, dia e ano são separadores de dígitos, 
e o dígito ao lado direito da resposta no mostrador indica o dia da 
semana: 1 para segunda-feira a 7 para domingo.
 Exemplo:
 Se você comprasse uma opção para um terreno em 14 de maio de 
2008, válida por 120 dias, qual seria a data de vencimento? Supo-
nha que o formato será D.MY.
Teclas Mostrador Orientação
g D.MY 7.04
Configura o formato para dia-mês-ano. O mostrador exibido pres-
supõe que a data da última utilização ainda está presente. A data 
inteira não é exibida agora porque o formato do mostrador é con-
figurado para mostrar apenas casas decimais.
14.052008
120 g DATE
14.05
11.09.2008 6
Registra a data, separando-a do número de dias a entrar.
A data de vencimento é 11 de setembro de 2008, um sábado.
 Ponto decimal por vírgula:
 desligue a calculadora pressionando ON;
 pressione em seguida ao mesmo tempo ON e a tecla do ponto 
decimal;
 solte primeiro ON e depois a tecla do ponto decimal.
 As teclas STO e RCL
 A tecla STO serve para armazenar (store) e operar valores nas 20 me-
mórias fixas da calculadora HP-12C. As memórias são indexadas de 0 a 
9 e de .0 a .9;
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18
Finanças – importância e aplicabilidade
Exemplo:
20 STO 1 (número 20 guardado na memória 1).
80 STO + 3 (soma 80 ao conteúdo da memória 3 e guarda o resultado na própria me-mória 3).
 A tecla RCL serve para chamar (recall) os valores das 20 memórias fixas 
para o visor da HP-12C. É também utilizada para chamar para o visor o 
valores contidos nas 5 memórias financeiras (n, i, PV, PMT e FV), o que 
permite uma revisão de todos os parâmetros usados na solução dos 
problemas.
 A tecla RCL, se utilizada em conjunto com as funções Cfo, CFj e Nj , per-
mite a revisão dos valores dos fluxos de caixa não homogêneos que 
estão registrados na calculadora.
 Aplicação:
 RCL 1 (coloca no visor o conteúdo da memória 1)
 RCL i (coloca no visor o valor da taxa)
Exemplo:
Resolver a expressão: (5 + 4)2 / (2 + 1)2
5 ENTER
4 +
2 yx
 STO (guarda na memória 1)
 ENTER
1 +
2 yx
 STO 2 (resultado do denominador na memória 2)
 RCL 1 (chama o resultado do numerador para o visor)
 RCL 2 (chama o resultado do denominador para o visor e
 e coloca numerador na memória Y)
 ÷ (efetua a divisão)
 Resultado igual 9,00.
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Finanças – importância e aplicabilidade
19
 Limpeza da calculadora
 Tecla CLX: limpa apenas a memória X, isto é, o visor.
 Tecla amarela FIN: limpa apenas as cinco memórias financeiras.
 Função amarela REG: limpa de uma só vez, as seguintes memórias:
 transitórias: X,Y, Y e T;
 fixas: 0 a 9 e .0 a .9;
 financeiras: n, i, PV, PMT e FV.
 A função amarela PRGM limpa os programas que estão gravados. É 
necessário que a HP-12C seja previamente colocada em fase de pro-
gramação, com o acionamento da função amarela P/R.
Teclas Financeiras n, i, PV, PMT e FV
n = número de período de capitalização de juros, expresso em anos, semestres, 
trimestres, meses e dias. Os valores de n podem ser inteiros ou fracionários.
i = taxa de juros por período de capitalização, expressa em percentuais.
PV = valor presente(present value) – valor do capital aplicado.
PMT = valor de cada parcela da série uniforme (Periodic PayMenT) que ocorre a cada 
período de tempo nas séries postecipadas e antecipadas.
FV = valor futuro (future value) – valor do montante acumulado no final de n perío-
dos de capitalização.
 Observações:
 END – para calcularmos séries postecipadas é preciso ativar a fun-
ção azul END.
 BEG – para calcularmos séries antecipadas é preciso ativar a função 
azul BEG.
 As funções BEG ou END só têm interferência na série uniforme 
PMT, não causando alteração nas relações entre PV e FV.
 A HP-12C sempre interliga os cinco elementos financeiros. Os 
problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser 
resolvidos com a anulação do quinto elemento, que não partici-
pa da operação.
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20
Finanças – importância e aplicabilidade
 PV, FV e PMT são valores monetários que devem ser registra-
dos sempre de acordo com a conversão do sinal, isto é, os rece-
bimentos sempre com sinal positivo e os pagamentos sempre 
com sinal negativo.
 As unidades de taxa e tempo devem estar sempre na mesma 
unidade de referência.
Exemplos resolvidos de aplicação
1. Determinar o valor da parcela mensal de um financiamento de 
R$10.000,00 com uma taxa de 1,5% ao mês, juros compostos, num 
prazo de 24 meses.
 Obs: antes de PV, acionar CHS para trocar de sinal.
 n = 24 PV = 10.000,00 i = 1,50% ao mês FV = 0,00 elimina PMT = ?
 Na calculadora HP-12C:
 ENTER
 CHS PV
 24 n
 1,5 i
 10.000,00 (CHS) PV
 0,00 FV
 PMT – valor da parcela igual a R$499,24.
2. Um financiamento utiliza o multiplicador de R$90,00 para cada 
R$1.000,00 de principal financiado, num prazo de 12 meses. Determi-
ne a taxa de juros.
 Obs: antes de PV, acionar CHS para trocar de sinal.
 n = 12 PV = 1.000,00 PMT = 90,00 FV = 0,00 i = ?
n i PV PMT FV
12 1,20 –1.000,00 90,00 0,00
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Finanças – importância e aplicabilidade
21
3. Qual o valor principal que, aplicado a uma taxa de juros de 1,5% ao 
mês, produz um montante de R$10.000,00 em 105 dias?
 n = 3,5 meses (105d) i = 1,50 PMT = ? FV = –R$10.000,00 PV = ?
n i PV PMT FV
3,5 1,50 R$9.492,24 0,00 –R$10.000,00
Juros simples
Quando usamos juros 
simples e juros compostos?
A quase totalidade das operações envolvendo dinheiro utiliza juros com-
postos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão 
de crédito, empréstimos bancários, aplicações financeiras usuais, como Ca-
derneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa etc. Raramente 
encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de 
curtíssimo prazo e do processo de desconto simples de duplicatas.
De fato, o fenômeno de capitalização ocorre no regime de juros compos-
tos, em que os juros se transformam em capital e passam a render novos 
juros. O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, como 
vimos, normalmente nas operações de curto prazo, em razão da simplicida-
de de cálculo e para reduzir ou aumentar ficticiamente a verdadeira taxa de 
juros das operações, facilitando assim, a tarefa de colocação dos produtos 
junto aos investidores e/ou tomadores de recursos financeiros.
Só o regime de juros compostos permite uma avaliação correta dos fluxos 
de caixa nas operações financeiras. Logo, os juros simples só devem ser utili-
zados na obtenção do fluxo de caixa da operação.
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22
Finanças – importância e aplicabilidade
Quais são os elementos?
Capital
O capital é o valor inicial aplicado através de alguma operação financeira. 
Também conhecido como: principal, valor atual, valor presente ou valor apli-
cado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras 
financeiras).
Juros
Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade 
produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples 
ou compostos.
Logo, o juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe 
porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato e está disposta a 
pagar um preço por isso. Em contrapartida, as pessoas que foram capazes de 
esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seus desejos, e nesse ín-
terim, estiverem dispostas a emprestar essa quantia a alguém menos pacien-
te, devem ser recompensadas por essa abstinência na proporção do tempo 
e risco que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro 
disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remu-
neração, mais conhecida como taxa de juros.
Taxa de juros e tempo
A taxa de juros indica que remuneração será paga ao dinheiro empresta-
do por um período determinado e vem expressa geralmente na forma rela-
tiva ou percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que 
se refere:
 5% a.a. – a.a. significa ao ano.
 11% a.q. – a.q. significa ao quadrimestre.
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária ou relativa, que 
é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
 0,28 a.m. – a.m. significa ao mês.
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Finanças – importância e aplicabilidade
23
 0,14 a.s. – a.s. significa ao semestre.
As fórmulas mais utilizadas são:
Valor futuro:
FV = PV. (1 + i . n)
Juros:
J = PV . i . n
Valor Presente:
PV = 
FV
1 + i . n
Taxa de juros
i FV
PV
n= 

 −




1 1. /
Exemplos resolvidos para fixação
1. Determinar o valor do montante acumulado em 12 meses, a partir de 
um principal de R$20.000,00, aplicado com uma taxa de 15% ao ano, 
no regime de juros simples.
 Solução
 n = 12 meses
 PV = R$20.000,00
 i = 15% ao ano = 15%/12 = 1,25% ao mês = 0,0125
 FV = ?
 FV = PV. (1 + i . n) = R$20.000,00 . (1 + 0,0125 . 12) = R$23.000,00
 Na calculadora HP-12C:
 f 2
 20000 ENTER
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24
Finanças – importância e aplicabilidade
 0,0125 ENTER 12 ×
 1 + X
 Visor: R$23.000,00
2. Determinar o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa 
de juros de 3,5% ao mês, para produzir um montante de R$10.000,00 
no prazo de três semestres, no regime de juros simples.
 Solução:
 n = 3 semestres = 18 meses
 FV = R$10.000,00
 i = 3,5% ao mês = 0,035
 PV = ?
 PV = FV
1 + i . n
 = R$10.000,00
1 + 0,035 . 18
 = R$6.134,97
 Na HP-12C:
 f 2
 0,035 ENTER 18 x
 1 +
 10000 X><Y :
 Visor: 6.134,97
3. Determinar o número de meses necessários para um capital dobrar de 
valor, com uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
 Solução:
 Imaginando que o valor de PV é igual a R$100,00, logo FV ao dobrar 
seria R$200,00 e os dados do problema poderiam ser:
 PV = R$100,00
 FV = R$200,00
 i = 2% ao mês = 0,02
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Finanças – importância e aplicabilidade
25
 n = ?
 FV = PV . (1 + i . n)
 R$200,00 = R$100,00 . (1 + 0,0 2 . n)
 R$200,00 = 100 . 2n
 R$200,00 – R$100,00
2
= n
 n = 50 meses
 Na HP-12C:
 200 ENTER
 100 –
 2 ÷
 Visor: 50
4. Determinar o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um 
principal de R$2.000,00 se transformar num montante de R$2.500,00, 
num prazo de 20 meses.
 Solução:
 PV = R$2.000,00
 FV = R$2.500,00
 n = 20 meses
 i = ? (% ao mês)i FV
PV n
= 

 −




= 

 −




1 1
2 500 00
2 000 00
1 1.
R$
R$
. ,
. ,
.
220
0 0125= ,
 Na HP-12C:
 f 4
 2500 ENTER
 2000 ÷
 1 –
 1 ENTER
 20 ÷
 X
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26
Finanças – importância e aplicabilidade
 Visor: 0,0125
 Transformando em porcentagem:
 100 x = 1,25%
Desconto no regime de juros simples
Aplicação
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos 
pela aplicação da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou 
montante, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos 
os períodos. Logo:
Desconto de cada período: FV . d
Desconto de n períodos: n . FV . d
Desconto “por dentro” e “por fora”
Observa-se que a taxa de desconto d é aplicada sobre o valor futuro FV 
para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por 
dentro”) também chamada taxa de rentabilidade, é aplicada sobre o valor 
presente PV para produzir o valor futuro FV.
Portanto, o valor do desconto “por fora” ou comercial é obtido multipli-
cando-se o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse pro-
duto pelo número de períodos correspondentes de desconto, isto é:
Dc = FV . d . n
Onde: Dc = desconto comercial.
O valor presente PV, ou principal, que resulta do desconto obtido sobre o 
montante FV, é obtido pela expressão:
PV = FV . (1 – d . n)
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Finanças – importância e aplicabilidade
27
Para obtenção da taxa de desconto d teremos:
d PV
FV n
= −

1
1.
Exemplos resolvidos de aplicação
1. Um título com 130 dias a decorrer de seu vencimento está sendo ne-
gociado, a juros simples, com uma taxa de desconto comercial de 20% 
ao ano. Assumindo o ano comercial com 360 dias, determinar o valor 
da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$1.000,00.
 Solução:
 FV = R$1.000,00
 n = 130 dias
 d = 20% a.a. = 20% / 360 a.d. = 0,05556% a.d. = 0,0005556 a.d.
 PV = ?
 Logo,
 PV = FV . (1 – d . n) =
 PV = R$1.000,00 . (1 – 0,20 ÷ 360 . 130) =
 R$1.000,00. (1 – 0,0005556 . 130) = R$927,78
 Na HP-12C:
 1000 ENTER
 0,20 ENTER
 360 ÷
 130 ×
 1 –
 X
 No visor: –R$927,78
 A HP-12C entende que o valor é negativo porque todo PV é uma saída 
de caixa.
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28
Finanças – importância e aplicabilidade
2. Determinar o valor do desconto simples de um título de R$3.000,00, 
com vencimento para 75 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por 
fora” é de 2,0% ao mês.
 Solução:
 FV = R$3.000,00
 n = 75 dias
 d = 2,0% a.m. = 2,0% / 30 a.d. = 0,06667% a.d. = 0,0006667 a.d.
 PV = FV . (1 – d . n) =
 R$3.000,00 . (1 – 0,02/30 . 75)
 R$3.000,00 . (1 – 0,0006667 . 75) = R$2.850,00
 Logo:
 Desconto = FV – PV = R$3.000,00 – R$2.850,00 = R$150,00
 Na HP-12C:
 3000 ENTER
 0,02 ENTER
 30 ÷
 75 ×
 1 –
 X
 Visor: – 2.850,00
 3000,00 +
 Visor: R$150,00
3. Determinar o valor da taxa mensal de desconto comercial usada numa 
operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de 
R$20.000,00 e com valor principal igual a R$19.500,00.
 Solução:
 PV = R$20.000,00
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Finanças – importância e aplicabilidade
29
 FV = R$19.500,00
 n = 60 dias = 2 meses
 d = ? (% ao mês)
 d = (1 – PV / FV) . 1 / n =
 d = (1 – R$19.500,00 / R$20.000,00) . 1
2
 = 0,0125, ou seja, 1,25% ao mês.
 Na HP-12C:
 19.500 ENTER
 20000 :
 1 X >< Y –
 2 ÷
 1 ×
 Visor: 0,0125 ou 1,25% ao mês
IOF – Imposto sobre Operações Financeiras 
e Despesas Administrativas
Nas operações com descontos, os bancos costumam cobrar o Imposto 
sobre Operações Financeiras (IOF), que é um tributo federal com alíquota de 
1,5% mais as despesas administrativas. Com isso o valor de resgate do título 
diminui ainda mais um pouco, pois esses descontos incidem sobre o valor 
de face do título.
Vamos ver um exemplo de aplicação:
 Determinar o valor atual de um título de R$3.000,00, com vencimento 
para 75 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 2,0% 
ao mês. O banco cobra ainda 1,5% de IOF e 2% de taxas administrati-
vas sobre a operação financeira.
 Solução:
 FV = R$3.000,00
 n = 75 dias
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30
Finanças – importância e aplicabilidade
 d = 2,0% a.m. = 2,0% / 30 a.d. = 0,06667% a.d. = 0,0006667 a.d.
 PV = FV . (1 – d . n) = 
 3.000,00 . (1 – 0,02/30 . 75)
 3.000,00 . (1 – 0,0006667 . 75) = R$2.850,00
 IOF = 3.000,00 . 0,015 = R$45,00
 TA = 3.000,00 . 0,02% = R$60,00
 Logo:
 Desconto = FV – PV = 3.000,00 – 150,00 – 45,00 – 60,00 = R$2.745,00
Ampliando seus conhecimentos
A Matemática Financeira
(TAHAN, 1984)
Na época em que o comércio começava a chegar ao auge, uma das ativida-
des do mercador foi também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. 
Nos diversos países eram cunhadas moedas de ouro e prata.
Com a expansão das formas de comércio, assim como durante as guerras de 
conquista de territórios, as moedas dos países eram trocadas, mas o pagamento 
só podia ser efetuado com dinheiro do país específico. Logo, dentro das frontei-
ras de cada país, as moedas estrangeiras eram trocadas por dinheiro deste país. 
Os comerciantes e algumas pessoas que possuíam muito dinheiro e que viaja-
vam ao exterior precisavam de dinheiro de outros países, que compravam com 
a moeda nacional. Os tempos foram passando e alguns comerciantes ficaram 
conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em 
grandes quantidades. Desta forma, dedicaram-se exclusivamente ao câmbio 
de dinheiro, isto é, a comercializar dinheiro.
Havia a divisão de trabalho dentro do campo do comércio: paralelamente 
aos comerciantes que se ocupavam com a troca de artigos comuns, surgiram 
os cambistas, isto é, comerciantes dedicados ao intercâmbio de uma mercado-
ria específica: o dinheiro.
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Finanças – importância e aplicabilidade
31
Num espaço de tempo relativamente curto, acumularam-se fantásticas 
somas de dinheiro nas mãos dos cambistas. Com o tempo, foram se ocupan-
do de uma nova atividade: guardar e emprestar dinheiro. Naquela época, e 
devido à deficiente organização das instituições responsáveis pela segurança 
social do indivíduo, não era recomendável que tivesse em sua casa muitas 
moedas de ouro e prata. Estas pessoas entregavam seu dinheiro à custódia do 
cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. Ima-
ginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, desta forma, em seus 
cofres, imensa quantidade de dinheiro.
Era natural que a seguinte ideia ocorresse: “Por que estas grandes somas 
de dinheiro haverão de permanecer em meu poder sem qualquer lucro para 
mim? – Aí então se percebe que a palavra “lucro” está diretamente interligada 
com o conceito de finanças – É pouco provável que todos os proprietários, ao 
mesmo tempo e num mesmo dia, exijam a devolução imediata de todo seu 
dinheiro. Emprestarei parte deste dinheiro a quem pedir, sob a condição de 
que seja devolvido num prazo determinado. E como meu devedor empregará 
o dinheiro como quiser durante este é natural que eu obtenha alguma van-
tagem. Por isso, além do dinheiro emprestado deverá entregar-me, no venci-
mento do prazo estipulado, uma soma adicional”.
Vimosque neste pensamento do mercador a ideia de lucro já aparece 
fortemente.
Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma 
razão, se encontravam sem dinheiro – comerciantes, senhores feudais e não 
raras vezes o próprio rei ou o erário nacional –, recorriam ao cambista que lhes 
emprestava grandes somas de dinheiro a juros “razoáveis”.
O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais propriamente, 
era a “compensação pelo temor” de quem dava dinheiro emprestado e assim 
se expunha a um grande risco. Entretanto esses juros alcançaram, em alguns 
casos, quantias incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100 por 
cento e na Idade Média, de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação 
direta com a necessidade do solicitante ou do montante da soma.
Estes juros foram chamados – com toda justiça – de usurário, o dinheiro 
recebido emprestado, de capital usurário e o credor, de usureiro. O cambista 
exercia sua profissão sentado num banco de madeira em algum lugar do mer-
cado. Daí a origem da palavra “banqueiro” e “banco”. Os primeiros bancos de 
verdade da História foram criados pelos sacerdotes.
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32
Finanças – importância e aplicabilidade
No mundo antigo, entre os egípcios, babilônios e mais tarde entre os gregos 
e romanos, estava amplamente difundido o costume segundo o qual os cida-
dãos mais abastados deviam confiar a custódia de seu ouro aos sacerdotes.
A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações credití-
cias dos antigos sacerdotes, que considerava pagãos, mas desenvolveu-as em 
grande escala. A Igreja Católica criou o “Banco do Espírito Santo”, corria um 
fabuloso capital inicial. Seu verdadeiro propósito era tornar mais expedita a 
exação, aos fiéis, dos chamados “denários de São Pedro” destinados a satis-
fazer as frugalidades do Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e in-
dulgências, assim como para a realização de transações relacionadas com os 
empréstimos, em outras palavras, com a usura.
Ao mesmo tempo lançou um anátema e condenou às masmorras da in-
quisição os cidadãos que emprestavam dinheiro a juros, mesmo que este juro 
fosse menor do que aquele que ela exigia por seu dinheiro. A Igreja proibia a 
seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro, invocando como autoridade a 
Sagrada Escritura, onde se lê: “Amai pois vossos inimigos e fazei o bem, e em-
prestai, nada esperando disso” (São Lucas, 6,35). Na realidade, esta proibição 
era motivada por um interesse econômico muito “mundano”: a Igreja ambi-
cionava assegurar para si o monopólio absoluto na exação de juros.
Apesar das maldições e ameaças com o fogo eterno, a Igreja não pôde 
conter a avidez por ganhos e lucros das pessoas, tanto mais que o próprio 
desenvolvimento do comércio exigia a criação de uma ampla rede bancária. 
As iniciadoras desta atividade foram as cidades-estado da Itália, que tinham 
um vasto comércio, cujo raio de ação se estendia aos mais distantes confins 
do mundo conhecido.
O primeiro banco privado foi fundado pelo duque Vitali em 1157, em 
Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. 
A Igreja não teve alternativa senão aceitar a realidade dos fatos. Assim, os 
bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Mate-
mática Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. Pois 
sem essa motivação para o aprimoramento dos cálculos, talvez, essa área de 
Matemática não estivesse tão avançada atualmente.
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Finanças – importância e aplicabilidade
33
Atividades de aplicação
1. Calcular o juro de uma operação com 45 dias de prazo, sabendo-se 
que o capital é de R$1.000,00 e a taxa de juros é de 48% ao ano.
2. Calcular o valor dos juros de uma operação com cinco anos de prazo, sa-
bendo-se que o capital é de R$300,00 e a taxa de juro é de 25% ao ano.
3. Calcular o valor do capital, sabendo-se que o juro é de R$80,00, a taxa 
de juro é de 120% ao ano e o prazo é de 60 dias.
4. Calcular a taxa de juro mensal de uma operação, cujo capital é de 
R$400,00, o juro é de R$160,00 e o prazo é de 4 meses.
Gabarito
1. 48 / 360 = 0,1333% ao dia ou 0,001333
 J = PV . i . n = R$1.000,00 . 0,001333 . 45 = aproximadamente R$60,00
 Na HP-12C:
 48 ENTER
 360 ÷
 100 ÷
 45 ×
 1000 ×
 Visor: R$60,00
2. J = PV . i . n
 J = R$300,00 . 0,25 . 5
 J = R$375,00
 NA HP-12C:
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34
Finanças – importância e aplicabilidade
 25 ENTER
 100 ÷
 5 ×
 300 ×
 Visor: R$375,00
3. Se J = PV . i . n
 Então:
 PV = J / i . n
 Como i = 120 / 360 = 0,3333 ou 0,00333
 PV = R$80.000,00 / 0,00333 . 60
 PV = R$80.000,00 / 0,1999
 PV = R$400,00
 NA HP-12C:
 120 ENTER
 360 ÷
 100 ÷
 60 ×
 80
 X<>Y
 ÷
 Visor: R$400,00
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Finanças – importância e aplicabilidade
35
4. J = PV . i . n
 R$160,00 = R$400,00 . i . 4
 R$160,00 = R$1.600,00 i
 R$160,00 / R$1.600,00 = i
 i = 0,10 ou 10% ao mês
 NA HP-12C:
 400 ENTER
 4 ×
 160
 X<>Y
 ÷
 Visor: 0,10 ou 10
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37
Juros compostos – 
capitalização, desconto e taxas
Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser 
aplicado aos fenômenos do mundo real.
Nicolai Ivanovich
Capitalização composta
Na capitalização composta ou regime de juros compostos, os resultados 
dos juros de cada período de tempo são obtidos aplicando-se a taxa de juros 
i sobre o investimento inicial (capital), no início do período referente à capi-
talização. Para melhor entendimento, observe os dados e a tabela a seguir:
FV = PV . (1 + i)n
Valor Presente PV = R$2.000,00
n = número de períodos de tempo: 4 anos
Taxa: 5% ao ano
Final do Valor de n Valor de FV (R$)
1.º ano 1 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)1 = R$2.100,00
2.º ano 2 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)2 = R$2.205,00
3.º ano 3 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)3 = R$2.315,00
4.º ano 4 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,05)4 = R$2.431,01
A partir da expressão geral temos:
PV = FV
(1 + i)n
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38
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Início do Valor de n Valor de FV (R$)
1.º ano 1 FV = 2.431,01 / (1 + 0,05)1 = 2.315,00
2.º ano 2 FV = 2.431,01 / ( 1 + 0,05)2 = 2.205,00
3.º ano 3 FV = 2.431,01 / ( 1 + 0,05)3 = 2.100,00
4.º ano 4 FV = 2.431,01 / ( 1 + 0,05)4 = 2.000,00
Descontos compostos
Entender o que são o desconto racional e o desconto comercial é muito 
importante para quem faz negócios. A definição de cada um dos dois é, em 
um primeiro momento, difícil de entender, mas ao avaliarmos as aplicações, 
perceberemos que é muito simples e fácil.
Exemplo
Você tem uma fatura de R$100,00 e deverá pagá-la daqui 60 dias. Essa 
fatura foi calculada com uma taxa de juros de 10% ao mês. Então qual será o 
valor justo para pagá-la?
A empresa detentora desse crédito informa que utiliza o “desconto racio-
nal” e oferece para você pagar R$83,33.
Será que é uma boa proposta? Será que vale a pena aceitá-la? Ou é melhor 
refletir mais um pouco?
Então você faz a primeira análise:
 Se você calcular 10% de R$100,00 vai verificar que corresponde a R$ 
10,00. Em dois meses, seriamR$20,00. Logo, você chega a conclusão 
que deve pagar R$80,00.
 Avalia também, numa segunda análise, qual é o valor que emprestado 
hoje a 10% ao mês dará R$100,00 daqui a dois meses ou 60 dias? É só 
você calcular qual valor que com 20% de juros equivale a R$100,00. 
Você faz as operações e encontra 100/1,20 com resultado igual ao va-
lor de R$83,33 proposto pelo emprestador.
 Em uma terceira análise você verifica que R$83,33 daqui a um mês 
equivalerá a R$91,67, isto é, (R$83,33 . 1,10), e com mais um mês será 
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
39
R$100,83. Faz a conferência de suas operações e percebe que ao dividir 
R$100,83 pelo fator 1,10 duas vezes encontrará R$83,33. Logo, o valor 
está “batendo”. E se você dividir R$100,00 por 1,10 também duas vezes, 
vai encontrar R$82,64.
E aí, temos a pergunta que não quer calar:
Você pagará R$80,00 ou R$83,33 ou R$82,64? O que é mais justo?
Todas as três formas de cálculo são utilizadas normalmente. A correta será 
aquela negociada e aceita entre as duas partes. Para entendermos melhor as 
três análises, podemos dizer que a análise 1 é um raciocínio de desconto co-
mercial simples; na análise 2 o raciocínio é de desconto racional simples; e na 
última análise vemos o funcionamento do desconto racional composto, que é 
objeto de nosso estudo neste capítulo.
Desconto comercial “por fora”
O desconto comercial não é utilizado no Brasil e é semelhante ao cálculo 
de juros compostos, substituindo-se o valor principal pelo valor nominal do 
título.
Desconto racional “por dentro”
Modelo utilizado no Brasil.
D = N – A, sendo A o valor atual e N = A (1 + i)n, portanto:
Dr = N[1 – (1 + i)
–n]
Onde:
A = Valor atual
N = Valor nominal
Dr = Desconto racional composto
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40
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
É interessante observar que no desconto racional composto é necessário 
considerar o valor atual A como o capital inicial de uma aplicação e o valor no-
minal N como o montante dessa aplicação, levando-se em consideração que 
as taxas e os tempos funcionam de forma muito semelhante nos dois casos.
Df = PV . [(1 + i)
n – 1 / (1 + i)n ]
Descontar títulos de crédito é uma operação feita pelos agentes bancá-
rios, em que somente uma pessoa jurídica tem o direito de crédito sobre 
outra, para resgate de uma nota promissória, duplicata etc., e “vende” esse 
dinheiro aos bancos. Logo, para melhor entendimento, uma pessoa jurídica 
tem uma duplicata de R$1.000,00 que vai vencer no mês seguinte, então faz 
uma operação de desconto e “vende” ao banco esse título e recebe o valor 
nominal dessa duplicada menos os juros cobrados pelo banco.
Se na transação realizada o banco cobrar 20%, quem vendeu o título re-
ceberá a importância de R$800,00 e o banco fica na obrigação de cobrar da 
pessoa que lhe devia. É importante observar que o banco, nesse caso, tem 
direito de regresso, isto é, se a pessoa não pagar ao banco, o banco tem o di-
reito de cobrar da pessoa jurídica que vendeu o título, o valor original dele.
Existem empresas que fazem uma operação muito semelhante chamada 
factoring. Nesse caso, essas empresas se especializaram em comprar títulos 
com risco de crédito. Elas compram esses títulos e cobram no lugar dos juros, 
o chamado deságio. As empresas que operam com factoring são diferentes 
dos bancos nas operações de descontos de títulos, pelo fato de não possu-
írem direito de regresso, isto é, a partir do momento em que se vende o di-
reito de crédito, caso o cliente não honre o pagamento, não poderá cobrá-lo 
da pessoa jurídica.
Classificação dos títulos de crédito
 Ordem de pagamento: nos títulos que contêm ordem de pagamento, 
a obrigação deverá ser cumprida por terceiros. Exemplo desses títulos: 
cheque e letra de câmbio. Na ordem de pagamento são identificados 
três componentes essenciais. Vamos analisar um dos títulos, que é o 
cheque:
 emitente – é a pessoa responsável, que assina o cheque, logo, au-
toriza a ordem de pagamento;
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
41
 sacado – é o banco, isto é, a pessoa jurídica que cumprirá a ordem 
de pagamento expressa no cheque. É do banco que será retirado 
(sacado) o valor escrito no título de crédito;
 beneficiário ou tomador – quem se beneficia da ordem de paga-
mento. É quem recebe o valor expresso no cheque.
 Promessa de pagamento: os títulos que apresentam promessa de 
pagamento mostram que a obrigação deverá ser cumprida pelo pró-
prio emitente e não por terceiros. Um exemplo desse tipo de título é 
a nota promissória. Na nota promissória, não vem escrito pague, mas 
pagarei: o verbo está na primeira pessoa do singular.
 Na promessa de pagamento identificamos a indicação de dois 
elementos:
 emitente – que emite a promessa de pagamento em nome pró-
prio, isto é, na primeira pessoa do singular (eu pagarei). O emitente 
é o devedor da obrigação;
 beneficiário – quem se beneficia da promessa de pagamento. É o 
credor do título.
Existem ainda outros títulos de crédito muito interessantes, como a dupli-
cata e a letra de câmbio. 
Exemplos resolvidos de aplicação
1. Determinar o valor do investimento inicial (principal) que deve ser rea- 
lizado no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao 
mês, para produzir um montante acumulado de R$1.000,00 no final 
de 12 meses.
 Solução:
 n = 12 meses
 i = 1% ao mês ou 0,01
 FV = R$1.000,00
 PMT = R$0,00
 PV = ?
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42
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
 PV = FV
(1 + i)n
 = PV = R$1.000,00
(1 + 0,01)12
 = R$887,45
 Na HP-12C:
 1000 CHS FV
 1 i
 12 n
 PV
 Visor: R$887,45
2. Obtenha o valor hoje de um título de R$10.000,00 de valor nominal, 
vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% a.m., conside-
rando um desconto racional composto e desprezando os centavos.
 Solução:
 N = R$100.00,00
 n = 3 meses
 i = 0,03 a.m.
 Dr = N . [ ((1+i)
n – 1) / (1+i)n]
 (1 + 0,03)3 = 1,092727 – 1 / 1,092727
 Dr = R$10.000,00 . 0,092727 / 1,092727
 Dr = R$848,58
 Dr = N – A
 R$848,58 = R$10.000,00 – A
 A = R$10.000,00 – R$848,58
 A = R$10.000,00 – R$848,58
 A = R$9.151,42
 Na HP-12C:
 1 ENTER
 0,03 +
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
43
 3 yx
 1 –
 10000 ×
 1,092727 ÷
 Visor: R$848,58
 10000 ENTER
 848,58 –
 Visor: R$9.151,42
3. Um título foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu 
vencimento. Calcule o desconto obtido, considerando um desconto 
racional composto a uma taxa de 3% a.m.
 Solução:
 n = 4 meses
 i = 0,03 a.m.
 A = R$840,00
 Dr = N – A
 Dr = N – R$840,00
 Dr = N . [ ((1 + i)
n – 1) / (1 + i)n]
 (1 + 0,03)4 = R$1,12550881
 (1 + 0,03)4 –1 = R$0,12550881
 Dr = N . R$0,12550881 / R$1,12550881
 N . R$0,12550881 / R$1,12550881 = N – R$840,00
 N . R$0,12550881 = R$1,12550881 . N – R$945,4274004
 N = R$945,4274004
 Dr = R$945,4274004 – R$840,00
 Dr =
~ R$105,43
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
4. Um título sofre um desconto composto racional de R$6.465,18 quatro 
meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do va-
lor descontado do título, considerandoque a taxa de desconto é de 
5% a.m.:
 Solução:
 Dr = R$6.465,18
 n = 4 meses
 i = 0,05 a.m.
 Dr = N . [ ((1 + i)
n – 1) / (1 + i)n]
 (1 + 0,05)4 = 1,21550625
 (1,21550625)4 – 1 = 0,21550625
 R$6.465,18 = N . [0,21550625 / 1,21550625]
 N = R$36.465,14
 Na HP-12C:
 F8
 1 ENTER
 0,05 +
 4 yx
 1 –
 Visor: 0,21550625
 0,21550625 ENTER
 1,21550625 ÷
 Visor: 0,1772975
 6.465,18
 X<> Y ÷
 Visor: R$36.465,14
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
45
5. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional 
composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o 
valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$200.000,00, então o va-
lor nominal da dívida, sem considerar os centavos é igual a:
 Solução:
 N = 5 . Dr
 n = 10 meses
 A = R$200.000,00
 Dr = N – A
 Dr = 5 . Drc – R$200.000,00
 4 . Drc = R$200.000,00
 Dr = R$50.000,00
 Dr = N – A
 R$50.000,00 = N – R$200.000,00
 N = R$250.000,00
Atividades de fixação
1. Determinar o valor acumulado no final de 24 meses, com juros com-
postos de 1% ao mês, a partir do investimento inicial de R$2.000,00.
 FV = PV. (1 + i)n
 FV = R$2.000,00 . (1 + 0,01)24
 FV = R$2.539,46
 Na HP-12C:
 2000 CHS PV
 24 n
 1 i
 FV
 Visor: R$2.539,46
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46
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
2. Determinar o valor do investimento inicial que deve ser realizado no 
regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1,25% ao mês, 
para produzir um valor acumulado de R$1.000,00 no final de dois anos.
 PV = FV / (1 + i) n
 Taxa ao mês: 1,25%
 Período: 2 anos = 24 meses
 PV = R$1.000,00/(1 + 0,0125)24
 PV = R$742,20
 Na HP-12C:
 1000 FV
 1,25 i
 24 n
 PV = Visor: – R$742,20 (em função de ser um investimento – “saída de 
dinheiro”).
3. Considerando o regime de juros compostos e uma taxa de juros de 
2,5% ao mês, quanto deve ser aplicado hoje se desejar possuir daqui a 
dois anos R$60.000,00?
 PV = FV / (1 + i)n
 PV = R$60.000,00 / (1 + 0,025)24
 PV = R$33.172,52
 Na HP-12C:
 60000 CHS FV
 2,5 i
 24 n
 PV
 Visor: R$33.172,52
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
47
4. Um título inicial de R$4.000,00 produz um valor acumulado de 
R$4.380,00 no fim de 10 meses. Determinar a taxa de rentabilidade 
mensal desse investimento no regime de juros compostos.
 FV = (PV . i)n
 R$4.380,00 = (R$4.000,00 . i)10
 i = (R$4.380,00 / R$4.000,00)1/10 – 1
 i = 0,911%
 Na HP-12C:
 Como estamos buscando taxa, é sempre interessante aumentar o nú-
mero de casas decimais. Vamos trabalhar com 6 casas, portanto, f6.
 f6
 f fin
 4380 FV
 4000 CHS PV
 10 n
 Visor: 0,911
5. Determinar o número de meses necessários para fazer um capital do-
brar de valor, sendo a taxa de juros de 6% ao ano, no regime de juros 
compostos.
 FV = PV . (1 + i)n
 R$200,00 = R$100,00 . (1 + 0,06)n
 (R$200,00 / R$100,00)1 . 0,06
 n = 12 meses
 Na HP-12C:
 Como queremos tempo, vamos manter a calculadora em f6.
 f 6
 f fin
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
 200 FV
 100 CHS PV
 6 i
 n
 Visor: 12
Taxas
Taxa é definida como um índice numérico relativo cobrado sobre um 
capital ou valor principal para a realização de alguma operação financeira. 
A taxa é fundamental no processo de capitalização e amortização. As taxas 
mais importantes são:
Taxa efetiva
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exem-
plos de taxas efetivas:
 7% ao mês, capitalizados mensalmente.
 1% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.
 10% ao ano, capitalizados anualmente.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras, nas funções finan-
ceiras das planilhas eletrônicas e nos fatores das tabelas financeiras.
Taxas proporcionais – juros simples
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao 
serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produ-
zem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de 
juros simples. O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente 
ligado ao regime de juros simples, e é esclarecido através dos exemplos nu-
méricos e das fórmulas desenvolvidas nos próximos itens.
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49
Taxa real
Taxa real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação.
Exemplo
Determinar a taxa semestral e mensal que são proporcionais à taxa de 
12% ao ano.
Solução:
ia = 12% ao ano
 taxa semestral
 is . 2 = ia = is = ia / 2 = 12% / 2 = 0,12 / 2 = 0,06, isto é, 6% ao semestre.
 taxa mensal
 im . 12 = ia = im = ia / 12 = 12% / 12 = 0,12 / 12 = 0,01 isto é, 1% ao mês.
Conexão entre as taxas real, 
efetiva e de inflação
Exemplo
Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do 
mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então 
o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, 
a variação real no final desse mês, será definida por:
vreal = 1 + ireal
que pode ser calculada por:
vreal = resultado / (1 + iinflação)
logo:
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02
ireal = 2%
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Taxas equivalentes – juros compostos
São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao 
serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem 
um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros 
compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao 
regime de juros compostos.
Logo, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende 
exclusivamente ao regime de juros considerado.
Exemplo
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de 
um principal de R$100,00, no regime de juros compostos, com as seguintes 
taxas de juros:
 12,6825% ao ano;
 6,1520% ao semestre;
 1,00% ao mês.
Solução:
 Taxa anual
 FV = PV . (1 + i)n = R$100,00 . (1 + 0,126825)4 = R$100,00 . 1,6122 = 
R$161,22
 Na HP-12C:
 100 CHS PV
 4 n
 12,6825 i
 FV
 Visor: R$161,22
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51
 Taxa semestral
 FV = R$100,00 . (1 + 0,06152)8 = R$100,00 . 1,6122 = R$161,22
 Na HP-12C:
 100 CHS PV
 8 n
 6,1520 i
 FV
 Visor: 161,22
 Taxa mensal
 FV = R$100,00 . (1 + 0,01)48 = R$161,22
 Na HP-12C:
 100 CHS PV
 48 n
 1 i
 FV
 Visor: R$161,22
Situações possíveis com taxas equivalentes
Fórmula Taxa Período Número de vezes
1+ia = (1+isem)
2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)
3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)
4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)
12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)
52 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)
24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)
365 idias dia 365
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52
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Relação entre taxas equivalentes
Exemplo 1
Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada 
mês a mês?
Solução:
Vamos entender a frase: “12% ao ano capitalizada mês a mês”. Ela significa 
que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a 
cada 1 mês.
Se estivesse escrito “12% ao ano, capitalizada trimestralmente” deve-
ríamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 
(número de trimestres de 1 ano) que é 3%.
Vamos observar o fluxo de caixa da situação.
Observação: S neste fluxo representa o montante final da operação e C 
representa o capital.
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
S
A taxa mensal é i1 = 12% / 12 = 1% = 0,01, assim, a taxa efetiva pode ser 
obtida por 1 + i2 = (1,01)
12 = 1,1268247
Logo:
i2 = 0,1268247 = 12,68247%
Exemplo 2
Determinar as taxas anual e semestral equivalentes à taxa de juros de 1% 
ao mês.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
53
Solução:
 Taxa anual
 (1 + ia ) = (1 + im )
12 = (1 + 0,01)12 = (1,01)12 = 1,126825
 Logo: ia = 1,126825 – 1 = 0,126825, ou seja, 12,6825% ao ano.
n i PV PMT FV
12 1,00 – R$100,00 0,00 R$112,68
 A célula em destaque (abaixo de FV) mostra o valor de R$112,68 obti-
do para FV, em relação ao valor principal de R$100,00, indicando uma 
taxa de 12,6825% ao ano.
 Taxa semestral
 (1 + is )
2 = (1 + im)
12 = (1 + is) = (1 + im)
6, portanto,
 is = (1 + im)
6 – 1 = (1,01)6 – 1 = 1,061520 – 1 = 0,061520, ou seja, 6,1520% 
ao semestre.
 Podemos obter esse valor com a calculadora HP-12C.
n i PV PMT FV
6 1,00 – R$1.00,00 0,00 R$106,15
Taxa nominal
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo 
não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa 
nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitaliza-
ção podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. A taxa nominal é 
bastante utilizada no mercado, mas não representa uma taxa efetiva e, por 
isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de capitalização 
de juros compostos.
Apresenta em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de 
juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implí-
cita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
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54
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar os cál-
culos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efe-
tivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao ano, e assim por diante.
As taxas efetivas que são implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas 
em função do número de períodos de capitalização da taxa nominal, confor-
me demonstração na tabela a seguir.
Período de 
capitalização em IN
Número de períodos de 
capitalização ao ano Taxa efetiva implícita
Diária 360 id = iN / 360
Mensal 12 im = iN / 12
Trimestral 4 it = iN / 4
Exemplo
Determinar as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 
9% ao ano, com o período de capitalização mensal.
Solução:
iN = 9% ao ano
Capitalização mensal taxa efetiva mensal
im = 9% / 12 = 0,75% ao mês ou 0,0075
Logo:
(1 + ia) = (1 + im)
12 = (1 + 0,0075)12 = (1,0075)12
Ia = (1,0075)
12 – 1 = 1,093807 – 1 = 0,0938007 ou 9,3807% ao ano.
n i PV PMT FV
12 0,75 – R$100,00 0,00 R$109,38
Complemento
A Tabela Price, que tem grande aceitação no mercado, é utilizada princi-
palmente para calcular o valor das prestações de financiamentos imobiliários. 
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
55
Sua grande característica consiste em ter a taxa nominal como elemento de 
entrada para obtenção dos fatores. Entretanto, os fatores são calculados com 
a taxa efetiva decorrente da taxa nominal, em função do número de perío-
dos de capitalização. Assim, por exemplo, uma Tabela Price de 12% ao ano, 
capitalizados mensalmente, tem as seguintes características:
 a taxa de entrada, para a obtenção dos fatores, é de 12% ao ano, capi-
talizados mensalmente;
 os períodos dessa tabela correspondem a meses;
 a taxa utilizada no cálculo dos fatores é a taxa efetiva de 1% ao mês.
Taxa bruta e taxa líquida
Costuma-se denominar taxa bruta de uma aplicação financeira, a taxa de 
juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, 
sem levar em consideração o desconto do imposto de renda, que é retido 
pela instituição financeira e recolhido ao Bacen.
Por outro lado, denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a 
taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e do resgate líquido, 
já levando em conta o desconto do Imposto de Renda.
Exemplo
Um investidor aplicou R$10.000,00, durante 6 meses, contratando uma 
taxa de 12% ao ano capitalizados mensalmente. Sabendo-se que sobre o ren-
dimento auferido incide uma tributação a título de Imposto de Renda com 
uma alíquota de 25%, determinar a taxa líquida do investimento.
Solução:
PV = R$10.000,00
n = 6 meses
in = 12% a.a. ou seja 1 % a.m.
IR = 25% sobre o rendimento (isto é, sobre os juros)
iliq = ?
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56
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
n i PV PMT FV
6 1,00 – R$10.000,00 0,00 R$10.615,20
Sabendo-se que J = FV – PV
J = R$10.615,20 – R$10.000,00 = R$615,20
IR = 25%, logo IR = 0,25 . 615,20 
IR = R$153,80
 Dessa forma, o valor bruto (FV) sofrerá um desconto de R$153,80, logo 
Fvliq = R$10.461,40.
Passa-se então à seguinte condição:
PV = R$10.000,00
n = 6 meses
Fvliq = R$10.461,40
PMT = 0
iliq = ?
n PV PMT FV i
6 – R$10.000,00 0,00 R$10.461,40 0,75462
Na HP-12C:
10000 CHS PV
6 n
10 461,40 FV
i
Visor: R$0,75462
Logo, a taxa líquida da operação é de 0,75462% ao mês ou 9,05544% ao 
ano capitalizados mensalmente.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
57
Relação entre taxa real e taxa nominal
Essas duas denominações estão diretamente ligadas ao fenômeno da 
inflação. Costuma-se denominar taxa real aquela obtida após se eliminar o 
efeito da inflação, e taxa nominal aquela que inclui a inflação. Assim, a taxa 
nominal é sempre maior do que a taxa real.
i
i
ir
n
i
=
+
+
−
1 
1
1
Onde in = taxa nominal, ii = taxa de inflação.
As taxas deverão, para determinação da taxa real, estar indicadas na 
mesma unidade de tempo.
Exemplo
Sabendo-se que um investimento é contratado à taxa nominal de 12% ao 
ano e que no mesmo período a taxa de inflação é de 3%, determinar a taxa 
real que incidirá sobre o investimento.
Solução:
in = 12% ao ano
ii = 3%
ir = ?
 
ir =
+
+
− =1 0 12
1 0 03
1 0 087379
,
,
, a.m.
ou 8,7379% a.m.
Na HP-12C:
1,12 ENTER
1,03 ÷
1 –
100 ×
Visor: 8,7379% ao mês
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58
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Resumindo, podemos dizer que:
 a taxa efetiva é a utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos;
 a taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita em seu enunciado, que 
depende do número de períodos de capitalização.Essa taxa efetiva 
deve ser utilizada nos cálculos financeiros, a juros compostos;
 taxas proporcionais são taxas de juros que permitem o mesmo cresci-
mento do dinheiro, no regime de juros simples;
 taxas equivalentes são taxas de juros que permitem o mesmo cresci-
mento do dinheiro, no regime de juros compostos;
 taxa bruta e taxa líquida estão ligadas ao desconto ou não do imposto 
de renda;
 taxa real e taxa nominal estão ligadas ao fenômeno da inflação.
Ampliando seus conhecimentos
Vamos fazer uma viagem pela história das taxas de juros brasileira:
Taxas referenciais
 TBC – Taxa básica do Banco Central – era usada pelo BC como base 
inicial (piso) de negócio na captação de recursos, através da venda de 
títulos federais em seus leilões semanais.
 TBAN – Taxa de Assistência do Banco Central – era usada para con-
cessão de assistência financeira aos bancos comerciais; servia como 
“taxa teto” para os negócios do mercado interbancário.
 TBF – Taxa Básica Financeira – correspondente à média das taxas de 
juros dos certificados de depósitos bancários das trinta maiores institui-
ções financeiras do país, sendo que as duas taxas extremas, a maior e a 
menor, eram excluídas do cálculo.
 TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo – aplicada às operações finan-
ceiras de longo prazo realizadas pelo BNDES. Sempre é calculada para 
o trimestre seguinte, utilizando a média ponderada do trimestre ante-
rior, das taxas dos títulos da dívida externa federal, com peso de 0,75, e 
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
59
também dos títulos da dívida interna, com peso de 0,25. Entre as aplica-
ções está a correção do PIS/PASEP.
 TR – Taxa Referencial – é uma taxa básica, criada no governo Collor 
com o objetivo de estabelecer um parâmetro móvel, para fundamentar 
as demais taxas de juros. Corresponde à média móvel ponderada das 
taxas de captação dos certificados de depósitos bancários praticadas 
pelas 20 principais instituições financeiras. Sua fórmula é determinada 
pelo Ministério da Fazenda e tem variado ao longo desses anos.
Taxas do mercado monetário
 Taxa Over/Seliq – é a taxa de um dia “overnight” do Seliq – Sistema Cus-
tódia e Liquidação de Títulos, onde são realizadas as operações envol-
vendo títulos públicos federais. É a taxa aplicável a operações interban-
cárias, de empréstimos de reservas, lastreados em títulos federais.
 Taxa Over/CDI – É a taxa referente a transações de um dia com o certifica-
do de depósito bancário através do Cetip – Centro de Custódia e Liquida-
ção de Títulos, onde são negociados os títulos privados. 
Taxas de empréstimos
 Desconto de duplicatas – aplicada a empréstimos conseguidos por 
descontos de duplicatas de empresas, mediante contrato prévio deter-
minando saldo médio, percentual de desconto (entre 70% e 85%) e dé-
bito automático de duplicatas vencidas e sem pagamento.
 Capital de giro – taxa aplicada aos empréstimos de capital de giro ga-
rantida por contrato e emissão de nota promissória.
 Cheque especial – taxa aplicada ao saldo devedor de conta de depósi-
to, funcionando como empréstimos de emergência e de curto prazo. É 
acompanhada de taxas de serviço altas, principalmente se os cheques 
não apresentarem fundos suficientes para cobertura.
 Hot money – taxa incidente sobre empréstimos individuais concedidos 
mediante notas promissórias avalizadas por terceiros.
(IstoÉ, São Paulo, n. 43, 2007.)
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60
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
Atividades de aplicação
1. Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 
24% ao ano.
2. Determinar a taxa mensal proporcional à taxa de 7,5% ao semestre.
3. Determinar a taxa diária proporcional à taxa de 1,5% ao mês.
4. Determinar as taxas mensal e semestral que são equivalentes à taxa de 
3% ao trimestre.
5. Determinar a taxa diária que é equivalente à taxa de 1,5% ao mês.
6. Um investidor aplicou R$12.000,00. Após 7 meses efetuou o resgate 
integral de R$20.565,89. Qual é a taxa anual equivalente à taxa contra-
tada no investimento?
7. Se uma instituição bancária deseja ganhar 30% ao ano como taxa efe-
tiva, que taxa nominal anual deverá pedir, caso adote capitalização 
mensal?
8. O Banco Alfa cobra, em suas operações de crédito pessoal, uma taxa 
de juros de 45% ao ano com capitalização diária. Considerando um 
empréstimo de R$10.000,00, com prazo contratado de 3 meses, qual 
será o valor devido pelo tomador?
Gabarito
1. taxa semestral = 0,12; mensal = 0,02 e diária igual a 0,000667.
 
is = =
24
12
% a.a.
2
 a.s.%
 
im = =
24
2
% a.a.
12
 a.m.%
 
id = =
24
0 06667
% a.a.
360
 a.d., %
2. 0,0125
 
im = =
7,5% a.s.
6
 a.m.1 25, %
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
61
3. 0,0005
 
id = =
1,5% a.m.
30
 a.d.0 05, %
4. taxa anual = 0,125509 ou 12,5509% ao ano e 0,060900 ou 6,09% ao 
semestre.
 1 trimestre = 3 meses
 (1 + im)
3 = (1 + it)
1
 (1 + im)
3 = (1 + 0,03)1
 1 + im = (1 + 0,03)
1/3
 im = 1,009902 – 1 = 0,009902 ou 0,99% a.m.
 2 trimestres = 1 semestre
 (1 + is)
1 = (1 + it)
2
 (1 + is)
1 = (1 + 0,03)2
 1 + is = 1,0609
 is = 1,0609 – 1 = 0,0609 ou 6,09% a.s.
 4 trimestres = 1 ano
 (1 + ia)
1 = (1 + it)
4
 (1 + ia)
1 = (1 + 0,03)4
 1 + ia = 1,125509
 ia = 1,125509 – 1 = 0,125509 ou 12,5509% a.a.
5. 1 mês = 30 dias
 (1 + id)
30 = (1 + im)
1
 (1 + id)
30 = (1 + 0,015)1
 (1 + id) = (1 + 0,015)
1/30
 1 + id = 1,000496
 id = 1,000496 – 1 = 0,000496 ou 0,0496% a.d.
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62
Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
6. i = 151,81701% ao ano
 Com uso do formulário:
 FV = PV . (1 + i)n
 R$20.565,89 = R$12.000,00 . (1 + i)7
 
R
R
i
$ . ,
$ . ,
( )
20 565 89
12 000 00
1
7= +
 1 713750 1
7 77, ( )= + i
 1,079993 = (1 + i) 7,9993% a.m. É a taxa efetiva mensal.
 1 ano = 12 meses
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12
 (1 + ia )
1 = (1 + 0,079993)12
 1 + ia = 2,517974
 ia = 2,517974 – 1 = 1,517974 ou 151,7974% a.a.
 Com HP-12 C:
 (f ) (FIN)
 12000 (CHS) (PV) 
 20565,89 (FV)
 7 (n)
 (i) 7,99% a.m.
 100 ( ÷ )
 1 (+)
 12 ( yx )
 1 ( – )
 100( × )
 Visor: 151,82 a.a.
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Juros compostos – capitalização, desconto e taxas 
63
7. i = 26,53 % ao ano
 1 ano = 12 meses
 (1 + ia)
1 = (1 + im)
12
 (1 + 0,3)1 = (1 + im)
12
 1 + im = 1 30
1
12,
 im = 1,022104 – 1 = 0,022104 ou 2,2104% a.m. Taxa mensal efetiva
 ia nom = taxa efetiva mensal . 12 
 ia nom = 2,2104% a.m. . 12 = 26,53% a.a., capitalizado mensalmente.
8. id = =
45
0 125
%
, %
 a.a.
360
 a.d.
 FV = PV . (1 + id)
90
 FV = R$1.000,00 . (1 + 0,00125)90
 FV = R$1.000,00 . 1,118994
 FV = R$11.189,94
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Séries uniformes, antecipadas, 
postecipadas e diferidas
Os números governam o mundo.
Platão
Prestações iguais
Essa modalidade de prestações (pagamentos ou recebimentos) é conhe-
cida mundialmente como sistema ou modelo Price. A característica princi-
pal nesse modelo é o fato de que todas as prestações ou parcelastêm va-
lores iguais, que são representadas em finanças genericamente como PMT 
(payment).
Como todas as prestações têm um mesmo valor, isso permite a obten-
ção de fórmulas para a capitalização e para desconto das parcelas de forma 
muito objetiva, como se faz com a expressão para soma de termos de uma 
progressão geométrica.
Nesses conceitos de séries uniformes se vê a força do estudo de sequên-
cias geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente sem a 
aplicação a situações práticas. Como a maioria dos indivíduos estão envolvi-
dos com compras de bens de consumo no seu dia a dia, esse ponto se torna 
fundamental pois transforma o estudo de progressões geométricas em algo 
extremamente útil.
O sistema Price foi desenvolvido por Richard Price, economista que, em 
1758, na Inglaterra, tinha o objetivo de estabelecer os valores de pensões e 
aposentadorias. O método corresponde a um financiamento ou pagamento 
em que todos os pagamentos são iguais. Esse modelo também é chamado 
de sistema francês, pois foi a França o primeiro país que utilizou esse sistema 
do ponto de vista comercial.
O objetivo principal deste capítulo é construir um fluxo de caixa e desco-
brir o valor atual ou valor presente de uma série uniforme de pagamentos.
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66
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
Definidas as parcelas PMT, achar FV
Determina o montante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da 
capitalização de n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo 
valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros 
compostos.
Assim, o montante FV é obtido pela soma das parcelas, isto é:
FV = PMT . [(1 + i)
n – 1]
i
Exemplo
Determinar o valor do montante FV de um fluxo de caixa com parcelas 
iguais de R$1.000,00, com uma taxa de 10% ao ano, durante cinco anos, no 
regime de juros compostos.
Solução:
n = 5 anos
i = 10% ao ano
PMT = R$1.000,00
PV = R$0,00
FV = ?
FV = PMT . [(1 + i)
n – 1]
i
FV = R$1.000,00 . [(1 + 0,10)
5 – 1]
0,10
FV = R$6.105,10, para o valor futuro no final do 5.º ano, imediatamente 
após a efetivação do último depósito.
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PMT
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
67
5 n
10 i
FV
Visor: R$6.105,50
Definido o valor futuro FV, achar PMT
Obtém o valor PMT de cada prestação, a partir do valor futuro FV.
PMT = i
(1 + i)n – 1
FV . 
Exemplo
Determinar o valor de quatro depósitos trimestrais capazes de gerar um 
montante de R$10.000,00 no final do quarto trimestres, com uma taxa efeti-
va de 3% ao trimestre, em regime de capitalização composta.
Solução:
n = 4 trimestres
i = 3% ao trimestre
FV = R$10.000,00
PV = R$0,00
PMT = ?
PMT = i
(1 + i)n – 1
FV . 
PMT = 0,03
(1 + 0,03)4 – 1
R$10.000,00 .
PMT = R$2.390,27
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68
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
Na HP-12C:
f fin
10 000 (CHS) FV
4 n
3 i
PMT
Visor: R$2.390,27
Definido o valor das prestações PMT, achar PV
Mostra o valor presente PV (principal), a partir do desconto de n presta-
ções de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual à PMT, com 
uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos.
PV = (1 + i)
n – 1
i . (1 + i)n
PMT . 
Exemplo
Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com taxa 
efetiva de 1% ao mês, no regime de juros compostos, que deve ser liquidado 
em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a R$1.000,00.
Solução:
n = 12 meses
i = 1% ao mês
PMT = R$1.000,00
FV = R$0,00
PV = ?
 
PV = (1 + i)
n – 1
i . (1 + i)n
PMT . 
PV = (1 + 0,01)
12 – 1
0,01 . (1 + 0,01)12
R$1.000,00 .
PV = R$11.255,08
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
69
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PMT
12 n
1 i
PV
Visor: R$11.255,08
Conhecendo o valor 
presente PV, é possível determinar PMT
Envolve a obtenção do valor PMT de cada prestação, a partir do valor 
futuro FV.
PMT = i . (1 + i)
n
(1 + i)n – 1
PV .
Exemplo
Determinar o valor das prestações anuais de um financiamento realizado 
com a taxa efetiva de 8% ao ano, no regime de juros compostos, sabendo- 
-se que o valor do principal é de R$1.000,00 e que o prazo da operação é de 
quatro anos.
Solução:
n = 4 anos
i = 8% ao ano
PV = R$1.000,00
FV = R$0,00
PMT = ?
 
PMT = i . (1 + i)
n
(1 + i)n – 1
PV .
PMT = 0,08 . (1 + 0,084)
4
(1 + 0,08)4 – 1
R$1.000,00 .
PMT = R$301,92
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70
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PV
4 n
8 i
PMT
Visor: R$301,92
Séries antecipadas e postecipadas
O pagamento seriado caracteriza-se por uma série de parcelas compos-
tas de quotas de amortização e juros, referentes à amortização de emprés-
timos ou de financiamento. Normalmente o pagamento seriado apresenta 
parcelas periódicas, ou seja, com intervalos iguais de tempo entre elas. Pode, 
também, ser composto por parcelas não periódicas, que se caracteriza pela 
existência de pelo menos um intervalo de tempo diferente.
As séries podem apresentar-se com valor de parcelas constantes (iguais) 
ou com valor de parcelas variáveis. Quanto ao momento em que é verificado 
o efetivo pagamento (ou vencimento) das parcelas, as séries podem ser pos-
tecipadas, ou seja, o vencimento dá-se ao final do período de capitalização 
ou antecipadas, quando as parcelas possuem vencimento no início do perío- 
do de capitalização.
Em casos mais complexos, pode-se falar em parcelas diferidas, ou seja, há 
um período de carência entre a data base e o vencimento da primeira parce-
la ou entre as parcelas.
Exemplo
Um financiamento de R$1.000,00 do principal deve ser amortizado em 
cinco prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efeti-
va de juros é de 1% ao mês, no regime de juros compostos, e admitindo-se 
meses com 30 dias, determinar o valor da prestação mensal desse financia-
mento, nas seguintes hipóteses:
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
71
 pagamento da primeira prestação ocorrendo um mês após a liberação 
dos recursos (série postecipada);
 pagamento da primeira prestação ocorrendo no ato da liberação dos 
recursos (série antecipada).
Solução:
 Série postecipada
 n = 5 meses
 i = 1% ao mês
 PV = R$1.000,00
 FV = R$0,00
 PMT = ?
 
PMT = i . (1 + i)
n
(1 + i)n – 1
PV .
PMT = 0,01 . (1 + 0,01)
5
(1,01)5 – 1
R$1.000,00 .
PMT = 0,01051
0,05101
R$1.000,00 .
 PMT = R$206,03
 Na HP-12C:
 f fin
 1000 CHS PV
 1 i
 5 n
 PMT
 Visor: R$206,04
n i PV PMT FV
5 1,00 – R$1.000,00 R$206,04 0,00
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72
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
 Série antecipada
 Inicialmente, o principal de R$1.000,00 deve ser “trazido” um mês para 
trás, com a taxa de juros de financiamento de 1% ao mês obtido com 
a operação:
 PV = R$1.000,00 / 1,01 = R$990,10
 
PMT = i . (1 + i)
n
(1 + i)n – 1
PV . 
PMT = 0,01051
0,05101
R$990,10 .
 PMT = R$204,00Na HP-12C:
 f fin
 1000 CHS PV
 1 i
 5 n
 g BEGIN
 PMT
 Visor: R$204,00
n i PV PMT FV
5 1,00 – R$990,10 R$204,00 0,00
Exemplo
Uma empresa anuncia que seus financiamentos são concedidos com uma 
taxa de juros de 1,5% ao mês.
Assumindo os meses com 30 dias, determinar o valor das parcelas mensais 
desses financiamentos, sabendo-se que o valor presente do financiamento 
é de R$2.000,00 para pagamento no prazo de quatro meses, nas seguintes 
hipóteses:
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
73
 pagamento da primeira prestação ocorrendo um mês após a liberação 
dos recursos (série postecipada);
 pagamento da primeira prestação ocorrendo no ato da liberação dos 
recursos (série antecipada).
Solução:
 Série postecipada
 
PMT = i . (1 + i)
n
(1 + i)n – 1
PV . 
 
PMT = 0,015 . (1,015)
4
(1,015)4 – 1
R$2.000,00 .
 
PMT = 0,0159205
0,0613636
R$2.000,00 .
 PMT = R$518,89
 Na HP-12C:
 f fin
 2000 CHS PV
 1,5 i
 4 n
 PMT
 Visor: R$518,89
n PV PMT FV i
4 – R$2.000,00 R$518,89 0,00 1,5
 Série antecipada
 PV = R$2.000,00 / 1,015 = R$1.970,44
 
PMT = 0,0159205
0,0613636
R$1.970,44 .
 PMT = R$511,22
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74
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
 Na HP-12C:
 f fin
 1970,44 CHS PV
 1,5 i
 4 n
 g BEGIN
 PMT
n PV PMT FV i
4 – R$1.970,44 R$511,22 0,00 1,5
Casos Especiais
 Exemplo de tempo
Durante quanto tempo um investidor deve manter um capital de R$3.000,00 
aplicado a uma taxa de 5% a.m., para obter um resgate de R$3.828,84?
Solução:
FV = PV . (1 + i)n
Utilizando as propriedades fundamentais de logaritmos, tem-se que:
n = log . FV – log. PV / log . (1 + i)
 
n = log 3.828,84 – log 3.000,00
log . (1 + 0,05)
 n = 
3,583 – 3,477
0,021
n = 5, 048 m ou
n = 5 meses
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
75
Na HP-12C:
f fin
3000 CHS PV
3828,84 FV
5 i
n
Visor: 5
 Exemplo de taxa
A que taxa de juros mensal deve ser aplicado um capital de R$1.000,00, 
para que após três meses, seja possível efetuar um resgate de R$1.076,89?
FV = PV . (1 + i)n
Utilizando as propriedades fundamentais de logaritmos, tem-se que:
 i
FV PV
n=




−10 1
log log– 
 
i =




−10 1
R$1.076,89 – R$1.000,00
3
i = (1025,63) –1
i = 0,0249
i 0,025 a.m.
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PV
1076,89 FV
3 n
i
Visor: R$2,49
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76
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
Perpetuidades
Calcula-se o valor das prestações PMT quando o número de períodos n 
tende para o infinito, isto é, para o cálculo de prestações perpétuas, ou per-
petuidades. Quando n tende para o infinito, o principal PV passa a ser equi-
valente a uma série perpétua de prestações PMT = PV . i , e são válidas as
 
relações:
 Valor presente de prestações perpétuas com valor PMT.
 PV = PMT . (1 / i)
 Valor das prestações perpétuas para um principal PV.
 PMT = PV . i
Exemplo 1
Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebi-
mento anual de R$5.000,00, de forma perpétua, sabendo-se que esse inves-
timento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% ao ano, no regime de 
juros compostos.
Solução:
PV = PMT. (1 / i)
PV = R$5.000,00 / 10% = R$5.000,00 / 0,1
PV = R$50.000,00
Exemplo 2
Determinar o valor da prestação mensal perpétua que remunera um in-
vestimento de R$80.000,00 com taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros 
compostos.
Solução:
PMT = PV . i = R$80.000,00 . 1,2% =
PV = R$80.000,00 . 0,012
PV = R$960,00
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
77
Exemplo 3
As ações preferenciais da JJ do Brasil S.A. pagam um dividendo anual de 
R$9,00/ação. Determinar o valor da ação preferencial dessa empresa saben-
do-se que a taxa de desconto utilizada no mercado é de 6% ao ano.
Solução:
Assumindo que essas ações preferenciais pagam regularmente esses 
dividendos anuais, e como as ações preferenciais não têm data de resgate, 
podemos considerar os dividendos pagos por essa ação como sendo uma 
perpetuidade. Dessa forma, o valor dessa ação preferencial é obtido por:
 
PV = PMT. (1 / i )
PV = R$9,00 / 6% = R$9,00 / 0,06 = R$150,00
Séries diferidas
Séries diferidas antecipadas em relação a um valor atual são aquelas em 
que a primeira parcela vence juntamente com a carência, enquanto séries 
postecipadas são aquelas em que a primeira parcela vence em um período 
após a carência.
Fórmula para o valor atual da renda diferida de termos postecipados:
PV = ?
0 1 2 k k + 1 k + 2 k + n......
PMT
PMT PMT... ...
Onde: 
n = número de termos
k = diferimento ou prazo de carência
Exemplo
Aproveitando a promoção comercial: “Compre hoje e somente comece 
a pagar depois de quatro meses”, uma pessoa adquire uma mercadoria 
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78
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
mediante seis prestações mensais e iguais a R$1.200,00, vencendo a primeira 
prestação 30 dias após o vencimento da carência. Considerando que há no 
mercado de capitais uma taxa de juros compostos de 4,5% a.m., qual o valor 
máximo que estaríamos dispostos a pagar à vista pela referida mercadoria?
Solução:
PMT = R$1.200,00
i = 4,5% a.m.
n = 6 depósitos mensais
k = 4 meses de carência
PV = ?
Primeiro, vamos ver quanto representam seis parcelas para o momento 
n = 0.
 
PV = 
i . (1 + i)n
(1 + i)n – 1PMT . 
 
PV = (1 + 0,045)
6 – 1
0,045 . (1,045)6
R$1.200,00 . 
 
PV = 0,3022601
0,0586017
R$1.200,00 . 
PV n = 0 será R$6.189,44
Agora que descapitalizamos as seis parcelas para o momento 0, onde 
terminou a carência, descapitalizamos o novo total do financiamento em k 
períodos igual a 4.
PV k = 0 será: R$6.189,44/(1,045)4= R$5.190,23
Podemos utilizar a relação matemática abaixo chamada relação direta, e 
chegaremos também ao mesmo valor.
 
PV = PMT . 1 + i . 
1 + i( ) − ( )








k
n
i
1
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
79
PV .+.= R$ 0 . 1 
1 + 0-41 200 0 0 045 1
045
0 045
6
, ,
,
,
( ) −
( )






−

=
R$1.200,00 . 0,838561343 . 5,157872483 = R$5.190,23
Utilizando a calculadora financeira HP-12C:
f FIN
1200 CHS PMT
6 n
4,5 i
PV
CHS FV
CLX PMT
4 n
PV
Visor: R$5.190,23
Vamos a mais uma sequência de exercícios resolvidos para fixação.
Exemplo 1
Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico 
postecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros 
compostos) de R$1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante três anos:
Depósito Taxa
(a) Mensal 3,5% a.m.
(b) Trimestral 28% a.a. capitalizada trimestralmente
(c) Semestral 21% a.a.
(d) Bimestral 3% a.m.
Solução:
PMT = R$1.000,00
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80
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
Duração = 3 anos
(a)n = 3 . 12 = 36 depósitos mensais
i = 3,5% a.m.
FV PMT
i
i
n
=
+( ) −
.
1 1
FV = R$1.000,00 . = R$1.000,00 . 70,007
1 0 035 1
0 035
36+( ) −,
,
660318 = R$70.007,60
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PMT
3,5 i
36 n
FV
Visor: R$70.007,60
(b) n = 3 . 4 = 12 depósitos trimestrais
i = 28
4
 = 7% a.t.
FV =
+( ) −
=R$ 0 . R$1 000 0
1 0 07 1
0 07
1 000 00
12
. ,
,
,
. , . 7,8884512 = R$17.888,45
Utilizando a calculadora financeira HP-12C:
f fin
1000 CHS PMT
7 i
12 n
FV
Visor: R$17.888,45
(c) n = 3 . 2 = 6 depósitos semestrais
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
81
i = 21% a.a. = (1 + 0,21)1/2 – 1 = 10% a.s. ou 0,10% a.s.
FV =
+( ) −
=R$ 0 . R$1 000 0
1 0 1 1
0 1
1 000 00
6
. ,
,
,
. , . 7,7156 = R$7.715,61
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PMT
10 i
6 n
FV
Visor: R$7.715,61
(d) n = 3 . 6 = 18 depósitos bimestrais
i = 3% a.m. = (1 + 0,03)2 –1 = 6,09% a.b. ou 0,0609% a.b.
FV ( )R$ 0 . R$1 000 0
1 0 0609 1
0 0609
1 000 00
18
. ,
,
,
. , . 1,17041589
FV = R$31.170,42
Na HP-12C:
f fin
1000 CHS PMT
6,09 i
18 n
FV
Visor: R$31.170,42
Exemplo 2
Uma pessoa deposita mensalmente no início de cada mês R$5.000,00 
numa caderneta de poupança e, no momento em que efetua seu 5.º depó-
sito, seu saldo na conta é de R$28.753,70. Determinar a taxa de juros paga 
pelo banco.
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82
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
Note que, nesse exemplo, não utilizaremos o cálculo convencional, pois 
demanda a utilização de tabelas financeiras ou cálculos logarítmicos.
Na HP-12C:
f fin
28753,70 ENTER
5000 –
23753,70 CHS FV
5000 PMT
4 n
g BEGIN
i
Visor: 7% a.m.
Observação importante: se estiver visível na parte inferior do visor a ex-
pressão begin na HP-12C, pressione g end antes de solicitar o resultado i (taxa), 
quando for postecipado.
Ampliando seus conhecimentos
A moeda
A moeda, como meio de troca, é a melhor maneira para adquirirmos os 
bens e serviços para suprir as nossas necessidades, uma vez que nós, indiví-
duos de uma coletividade, proprietários dos recursos de produção de uma 
economia, também chamados de fatores de produção, recebemos um deter-
minado tipo de remuneração, quantificada através da moeda, por vendermos 
tais fatores de produção, e, de posse desta, adquirimos, no mercado, os bens 
e serviços que precisamos.
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
83
Os fatores de produção, considerados por alguns autores como sendo os 
recursos humanos (trabalho e capacidade empresarial), terra, capital e tecnolo-
gia, são remunerados da seguinte forma:
Fator de produção Tipo de remuneração
Trabalho Salário
Capital Juro
Terra Aluguel
Tecnologia Royalty
Capacidade Empresarial Lucro
Assim, o proprietário, digamos, do fator de produção trabalho, que chama-
mos de trabalhador, vende a sua capacidade física e intelectual, durante um 
determinado mês, e recebe uma remuneração, denominada de salário, que é 
quantificada através da moeda.
Acontece que o trabalhador recebe a sua quantidade de moeda corres-
pondente ao seu salário e não gasta de imediato o que recebeu, ficando, por-
tanto, com parte de seu salário retido, em seu poder, por algum tempo.
É lúcido, então, fazermos as seguintes indagações: Por que as pessoas não 
gastam toda a sua renda no momento em que é recebida? Por qual motivo 
esta quantia que não é gasta não é, automaticamente, aplicada em títulos que 
rendam juros?
Temos três respostas para estas perguntas, que compreendem as razões 
pelas quais fazem as pessoas demandarem (procurarem) e reterem a moeda.
A primeira razão é que não ocorre uma sincronização entre os recebimen-
tos e os pagamentos das pessoas, isto é, os dias de recebimentos não coinci-
dem com os dias dos pagamentos. Na realidade, grande parte dos trabalha-
dores recebe os seus salários, no início de cada mês, e vão gastando, durante 
o mesmo, à medida que vão fazendo frente a certas despesas que, na prática, 
não ocorrem simultaneamente, tais como alimentação, transportes, aluguel, 
mensalidades escolares, materiais de limpeza, remédios, lazer, entre outras. 
Assim, para poderem atender a essas despesas, precisam reter dinheiro, ou 
moeda, em seu poder, no decorrer do mês. A esta razão, para a retenção da 
moeda, dá-se o nome de Demanda por moeda para transações.
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84
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
A segunda razão que induz as pessoas a reterem a moeda em seu poder, a 
título de reserva, é que acontecimentos inesperados ocorrem nas suas vidas, 
tais como problemas de saúde, acidentes, viagens não programadas, danos 
em imóveis e eletrodomésticos, entre outros, não podendo, portanto, os indi-
víduos previdentes ficarem de mãos atadas, diante de alguma surpresa, por 
conta da falta de dinheiro para solucioná-la. Assim, a esta razão que leva as 
pessoas a procurarem e reterem a moeda em seu poder, para atender a certos 
imprevistos, denomina-se de Demanda por moeda para precaução.
A terceira razão está associada ao fato de que a moeda funciona, também, 
como reserva de valor e é denominada de Demanda por moeda para espe-
culação ou demanda especulativa. Esta ocorre em virtude de que as pessoas, 
após terem separado de sua renda as parcelas destinadas às transações e à 
precaução, são levadas a aplicarem o restante em títulos que rendam juros, 
uma vez que o dinheiro em casa, ou simplesmente depositado numa conta 
corrente de um banco, não sofre nenhuma remuneração e a moeda tem a 
propriedade de reservar valor. Vale ratificar o que foi dito no artigo anterior 
sobre esta função da moeda, que é o aspecto de que, na existência da infla-
ção, esta função de reserva de valor da mesma é bastante prejudicada, pois a 
moeda terá o seu valor corroído, isto é, perderá o seu poder aquisitivo, com o 
decorrer do tempo.
Vale frisar que as pessoas têm um maior interesse em investir em títulos 
quando a taxa de juros, que é o preço da moeda, isto é, o preço do dinheiro no 
mercado financeiro, está elevada, pois, assim, terão uma melhor remuneração 
e agem no sentido contrário quando a taxa está baixa. Daí, pode-se afirmar 
que a demanda especulativa é inversamente proporcional à taxa de juros. Em 
outras palavras, à medida que a taxa de juros sobe, as pessoas aplicam o seu 
dinheiro, diminuindo, assim, a demanda especulativa, ao passo que a taxa de 
juros desce, as pessoas preferem reter a moeda, na expectativa de futuros au-
mentos na taxa de juros, aumentando, deste modo, a quantidade de moeda 
em seu poder.
Por outro lado, as duas primeiras razões (transações e precaução) depen-
dem diretamente do nível de renda nominal, isto é, quanto maior for a renda, 
maior será o volume de moeda para transações e precaução. Isso é bastante 
lógico, pois quanto maior o nível de renda, seja pessoal ou nacional, maior 
será a necessidade de moeda para transações e por precaução.
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
85
Mediante tais observações, é, portanto, bastante coerente afirmar-se que 
a Demanda por Moeda depende de duas variáveis, que são o nível de renda e 
a taxa de juros, sendo, no entanto, diretamente relacionada com a primeira e 
inversamente com a segunda.Oferta de moeda
A oferta de moeda numa economia é feita através do Governo, por inter-
médio de suas autoridades monetárias, e pelos bancos comerciais, fazendo 
uso do mecanismo da multiplicação da moeda no sistema bancário.
a) Oferta de moeda através das autoridades monetárias
A emissão de moeda é da competência exclusiva do governo, através de 
suas autoridades monetárias. Esta não depende, por conseguinte, da taxa de 
juros, mas da política econômica do governo, que estabelece a quantidade de 
moeda a ser emitida por período de tempo, normalmente um período de um 
ano civil.
No entanto, a quantidade de moeda a ser emitida, por um período de 
tempo, deverá ser condicionada ao crescimento do produto nacional, uma 
vez que, se num determinado período, a quantidade de moeda em circulação 
for superior ao valor do produto, ou seja, da quantidade de bens e serviços 
produzidos na economia, ocorrerá um excesso de moeda, ou excesso de liqui-
dez, podendo, então, surgir um processo inflacionário. Por outro lado, quando 
a oferta de moeda for menor que o valor do produto, poderá ocorrer dificul-
dades nas transações, vindo a prejudicar o sistema econômico, por conta da 
falta de moeda ou liquidez, levando, por conseguinte, a uma queda na ativi-
dade econômica. O fato é que nenhuma das duas situações é ideal para nin-
guém, motivo pelo qual todo Governo se preocupa, significativamente, com 
essa questão da manutenção do volume de moeda em circulação no sistema 
econômico.
No nosso país, o Banco Central é o órgão que tem a incumbência de exe-
cutar as políticas monetária e cambial, que objetivam regular o volume de 
moeda em circulação, o crédito, a taxa de juros e o câmbio de uma forma com-
patível com as necessidades da atividade econômica e a manutenção do equi-
líbrio do balanço de pagamentos. Em outras palavras, cabe ao Banco Central 
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86
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
do Brasil a responsabilidade de buscar sempre manter um volume de moeda 
em circulação, de maneira que venha atender às necessidades de transações 
do sistema econômico, sem a existência de excesso ou falta de moeda.
É importante esclarecer que a Lei 4.595, de 31 de dezembro de 1964, criou 
o Banco Central do Brasil (Bacen) e o Conselho Monetário Nacional (CMN), 
com o objetivo de desempenharem as funções de autoridades monetárias no 
país, cabendo a este as principais funções decisórias na área monetária, en-
quanto que o primeiro encarregar-se-á das funções executivas de supervisão 
e fiscalização na área bancária, além de cumprir e fazer cumprir as decisões 
tomadas pelo Conselho Monetário Nacional.
b) Oferta de moeda pelos bancos comerciais por intermédio do mul-
tiplicador monetário
Os bancos comerciais podem, também, expandir os meios de pagamentos 
(moeda), ou seja, aumentar a oferta de moeda na economia através de um 
mecanismo chamado de multiplicação da moeda escritural ou depósitos à 
vista em seus cofres.
A referida multiplicação se processa de uma maneira muito simples. Os 
depósitos à vista, ou em conta corrente, num banco comercial, constituem um 
fundo disponível em que, através do cheque, os seus titulares poderão, a qual-
quer momento, fazer uma movimentação (retirada de moeda). Considerando 
que no desenvolvimento da atividade bancária é gerado um volume muito 
grande de entradas (depósitos) e saídas (saques) de dinheiro, os bancos não 
precisam manter em seus cofres a totalidade dos recursos que foram captados 
dos seus clientes, através de depósitos à vista, para atender as suas eventuais 
retiradas através da emissão de cheques, pois a probabilidade de todos os 
clientes virem a retirar o seu dinheiro de uma vez só, na prática, não existe. Na 
realidade, os bancos precisam manter em seus cofres, apenas, um percentual 
dos depósitos à vista que seja necessário para garantir as suas reservas técni-
cas ou de caixa para honrar os pagamentos dos cheques de seus correntistas 
que vão sendo, paulatinamente, apresentados para retirada de dinheiro e os 
depósitos compulsórios e voluntários (cheques de compensação), podendo, 
folgadamente, utilizar o restante do volume dos depósitos à vista para em-
prestar aos seus clientes efetivos e potenciais.
Assim, se um cliente toma emprestada determinada quantia de dinheiro 
em um banco, normalmente, em seguida, faz um depósito à vista no mesmo 
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
87
ou em outro banco, ficando, desta forma, o dinheiro no sistema bancário. 
Deste depósito, o banco que o recebeu mantém em seus cofres um valor em 
moeda necessário para a manutenção dos depósitos compulsório e voluntá-
rio no Banco Central, bem como para as suas reservas técnicas, e o restante, 
novamente, empresta para outro cliente, que, também, realiza outro depósito 
à vista e, assim, este procedimento vai ocorrendo cliente após cliente, expan-
dindo-se, assim, a moeda escritural, através de operações contábeis de crédi-
to nas contas correntes dos clientes, para um valor além do valor inicialmente 
depositado nos cofres dos bancos.
Vale frisar que este mecanismo é efetivamente controlado pelo governo, 
através do Banco Central, que estabelece, de acordo com a sua política mo-
netária, o percentual dos depósitos à vista dos bancos comerciais que deverá 
ser retido (encaixe), isto é, a quantidade de moeda que os bancos não podem 
lançar mão para emprestar aos seus clientes, justamente para limitar o poder 
destes no sentido de expandir a oferta de moeda.
(Disponível em: <www.investshop.com.br/artigos10222>. Acesso em: 22 fev. 2008.)
Atividades de aplicação
1. Determinar o valor de oito depósitos mensais, iguais e sucessivos, ca-
pazes de produzir um montante de R$7.000,00 no final do oitavo mês, 
imediatamente após a realização do oitavo depósito, sabendo-se que 
esses depósitos são remunerados com uma taxa de 18% ao ano, capi-
talizados mensalmente.
2. Determinar o valor do investimento necessário para garantir um rece-
bimento anual de R$15.000,00 no final de cada um dos próximos 10 
anos, sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa 
efetiva de 12% ao ano, no regime de capitalização composta.
3. Uma loja de departamentos financia a venda de equipamentos num 
prazo de três anos, com uma taxa efetiva de 4% ao trimestre, no regi-
me de juros compostos. Determinar o valor da prestação trimestral de 
um equipamento cujo valor a vista é de R$25.000,00.
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88
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
4. Uma concessionária financia automóveis em 24 prestações mensais de 
R$62,27 para cada R$1.000,00 de principal. Determinar a taxa efetiva 
mensal cobrada nesse financiamento, no regime de juros compostos.
5. Um automóvel usado é vendido, à vista, por R$15.800,00. A revenda 
o está anunciando por R$1.800,00 de entrada e mais quatro parcelas 
trimestrais de R$3.727,73. Determinar a taxa efetiva trimestral de juros 
cobrada na parte financiada.
6. A Loja Bom Preço oferece seu plano de Natal, no qual as vendas de 
dezembro podem ser financiadas com o primeiro pagamento só ocor-
rendo em maio. A taxa de juros efetiva cobrada nesse financiamento 
é de 2,5% ao mês, no regime de capitalização composta, e os cálculos 
são feitos considerando-se que os meses têm 30 dias. Um cliente re-
alizou, em 15 de dezembro, compras no valor de R$3.000,00 e deseja 
pagá-las em cinco prestações mensais, iguais e sucessivas. Determinar 
o valor dessas prestações mensais, nas seguintes hipóteses:
a) Pagamento da primeira parcela ocorrendo em janeiro.
b) Pagamento da primeiraparcela ocorrendo em maio, aproveitando 
a oferta do plano de Natal.
7. Marcus Valérius tem um contrato de edição, de caráter perpétuo, com 
uma editora que paga direitos autorais anualmente, na base de 10% 
do preço de capa de cada livro vendido. O volume de vendas da obra 
é de 8 000 exemplares por ano e seu preço de capa é de R$70,00. De-
terminar o valor presente desse contrato, assumindo uma taxa de des-
conto de 10% ao ano.
Gabarito
1. Com uso do Formulário:
 FV PMT
i
i
n
=
+( ) −
.
1 1
 
R$7 000 00
1
0 18
12
1
0 18
12
8
. , .
,
,
=
+

 −
PMT
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
89
 R$7.000,00 = PMT . 8,432839
 
PMT = =R$7.000,00
8,432839
R$830,09
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 7 000 (CHS) (FV)
 18 enter 12 ÷
 1,5 i 
 8 (n) 
 PMT
 Visor: R$830,09
2. Resolução:
 Com uso do Formulário:
 PV PMT
i
i
n
n
=
+( ) −
+( )
.
1 1
1i . 
 
PV =
+( ) −
+( )
R$15.000,00 . 
2 . 
1 0 12 1
0 1 1 0 12
10
10
,
, ,
 PV = R$15.000,00 . 5,650223 = R$84.753,35
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 15000 (CHS) (PMT)
 12 (i)
 10 (n) 
 PV 
 Visor: R$84.753,35
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90
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
3. Com uso do Formulário:
 
PV PMT
i
i
n
n
=
+( ) −
+( )
. 
i . 
1 1
1
 
R$25.000,00 . 
4 . 
=
+( ) −
+( )
PMT
1 0 04 1
0 0 1 0 04
12
12
,
, ,
 R$25.000,00 = PMT . 9,385073
 
PMT = =R$25.000,00
9,385073
R$2.663,80
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 25000 (CHS) (PV)
 4 (i)
 12 (n) 
 PMT
 Visor: R$2.663,80
4. Taxa efetiva de juros de 3,50% ao mês.
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 1000 (CHS) (PV)
 62,77 (PMT)
 24 (n)
 ( i ) 
 Visor: 3,5% a.m.
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
91
5. A taxa efetiva de juros é de 2,57003%.
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 15800(enter) 
 1800 (–) 
 14000 (CHS) (PV)
 3727,73 (PMT)
 4 (n)
 (i)
 Visor: 2,57003% a.t.
6. 
a) Pagamento da primeira parcela ocorrendo em janeiro.
 Com uso do Formulário:
 
PV PM
i
i
n
n=
+ −
+
T . 
i . (
( )
)
1 1
1
 
R PM$ . ,
( , )
, , )
3 000 00
1 0 025 1
0 02 1 0 025
5
5=
+ −
+
T . 
5 . (
 R$3.000,00 = PMT . 4,645828
 
PMT
R
R= =$ . ,
,
$ ,
3 000 00
4 645828
645 75
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 3 000 (CHS) (PV)
 2,5 (i)
 5 (n)
 PMT
 Visor: R$645,75
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92
Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
b) Pagamento da primeira parcela ocorrendo só em maio, aprovei-
tando a oferta do Plano de Natal.
 Com uso do Formulário:
 FV = PV . (1 + i)n
 FV = R$3.000,00 . (1 + 0,025)5 = R$3.394,22
 
PV PMT
i
i
n
n
=
+( ) −
+( )
. 
i . 
1 1
1
 PMT = R$692,71
 Com HP-12C:
 (f ) (FIN)
 3 000 (CHS) (PV)
 2,5 (i)
 5 (n) 
 FV 
 Visor: R$3.394,22
 (f ) (FIN)
 (CHS) (PV)
 2,5 (i)
 5 (n)
 g BEGIN 
 PMT
 Visor: R$692,71
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Séries uniformes, antecipadas, postecipadas e diferidas
93
7. PV = R$560.000,00
 Preço de capa: R$70,00
 10% do preço de capa: R$7,00
 Total de uma edição: 8 000
 PV = PMT . (1 / i)
 PV = 8000 . 7,00 / 0,10
 PV = R$560.000,00
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Estudo dos fluxos de caixa
Se A é o sucesso, então é igual a X mais Y mais Z. 
O trabalho é X; Y é o lazer e Z, é manter a boca fechada.
Albert Einstein
Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa importância é 
emprestada por um certo prazo de tempo. Quem assume a dívida obriga-se 
a pagá-la da seguinte forma: o valor tomado emprestado mais os juros devi-
dos, no prazo estipulado no acordo inicial.
Os empréstimos classificam-se em:
 curto e médio prazos – caracterizam-se por serem saldados em até 
três anos;
 longo prazo – sofrem um tratamento especial por existirem várias 
modalidades de restituição do principal e dos juros. tais empréstimos 
têm suas condições previamente estipuladas por contrato entre as 
partes, ou seja, entre o credor e o devedor;
 conceito – ato de pagar as prestações que foram geradas mediante 
tomada de empréstimo;
 período de amortização – é o intervalo de tempo existente entre 
duas amortizações sucessivas;
 prazo de amortização – é o intervalo de tempo, durante o qual são 
pagas as amortizações;
 parcelas de amortização – corresponde às parcelas de devolução do 
principal, ou seja, do capital emprestado.
Nos sistemas de amortização, os juros serão sempre cobrados sobre o 
saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não 
houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo devedor maior, calcu-
lando juro sobre juro.
Saldo devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um determina-
do instante de tempo.
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96
Estudo dos fluxos de caixa
Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa 
de juros, se seus valores presentes (PV), calculados com essa mesma taxa de 
juros, forem iguais. A equivalência de fluxos de caixa é sempre analisada no 
regime de juros compostos.
A equivalência dos fluxos de caixa depende da taxa de juros usada para 
descontar os fluxos a fim de se obter seus valores presentes. Logo, se dois ou 
mais fluxos de caixa são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, essa 
equivalência deixará de existir se a taxa de juros for alterada.
Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada 
taxa de juros, então seus valores futuros (FV) após n períodos, obtidos com 
essa mesma taxa de juros, são necessariamente iguais.
Planos equivalentes de financiamento
Para efeito de estudo desse capítulo, vamos considerar os seguintes dados:
 Principal – R$1.000,00.
 Taxa de juros – 8% ao ano.
 Prazo – 4 anos.
Vamos avaliar quatro planos equivalentes para amortizar esse financia-
mento de acordo com os dados definidos.
Apresentação 1
Nessa apresentação, o financiamento é liquidado mediante o pagamento 
de uma única parcela no final do quarto ano, havendo capitalização de juros 
no final de cada ano.
Anos
Saldo no 
início do 
ano (R$)
Juros 
do ano 
(R$)
Saldo no 
final do ano, 
antes do 
pagamento 
(R$)
Pagamento no final do ano Saldo no final 
do ano, após 
o pagamento 
(R$)
Total 
(R$)
Juros 
(R$)
Amortização 
(R$)
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00
2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40
3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1.259,71
4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 0,00
Soma dos pagamentos 1.360,49 360,49 1.000,00
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Estudo dos fluxos de caixa
97
Observando o quadro acima, vemos que o financiamento de R$1.000,00 
é liquidado com um único pagamento de R$1.360,49, realizado no final do 
quarto ano, sendo R$1.000,00 de amortização do principale R$360,49 de 
juros acumulados ao longo do período de tempo.
Esse tipo de modalidade é aplicado a diversas operações de mercado, tais 
como operações de capital de giro e de desconto de títulos e aplicações em 
títulos de renda fixa.
Apresentação 2
Neste exemplo, o financiamento é liquidado da seguinte forma:
 no final de cada ano, são pagos juros do respectivo ano;
 no final do quarto ano, além dos juros anuais, é efetuado o pagamento 
integral do principal.
Anos
Saldo 
no início 
do ano
(R$)
Juros 
do 
ano 
(R$)
Saldo no 
final do ano, 
antes do 
pagamento
(R$)
Pagamento no final do ano Saldo no 
final do ano, 
após o 
pagamento 
(R$)
Total 
(R$)
Juros 
(R$)
Amortização 
(R$)
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
4 1.000,00 80,00 1.080,00 1.080,00 80,00 1.000,00 0,00
Soma dos pagamentos 1.320,00 320,00 1.000,00
No exemplo anterior, o financiamento de R$1.000,00 é liquidado com 
quatro prestações anuais de R$80,00, correspondentes aos juros de cada ano, 
e mais um pagamento de R$1.000,00 no final do quarto ano, para amortizar 
integralmente o principal do financiamento. Esse modelo recebe o nome de 
Sistema Americano de Amortização (SAM).
Apresentação 3
Nessa apresentação, as prestações de cada ano são subdivididas em duas 
parcelas:
 juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano;
 amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da pres-
tação e o valor dos juros do ano.
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98
Estudo dos fluxos de caixa
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price e é muito 
utilizada em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao 
consumidor.
Anos
Saldo 
no início 
do ano
(R$)
Juros 
do 
ano 
(R$)
Saldo no 
final do ano, 
antes do 
pagamento 
(R$)
Pagamento no final do ano Saldo no 
final do ano, 
após o 
pagamento 
(R$)
Total
(R$)
Juros
(R$)
Amortização
(R$)
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08
2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40
3 538,40 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56
4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00
Soma dos pagamentos 1.207,68 207,68 1.000,00
Vimos no quadro anterior que a primeira prestação contém R$80,00 de 
juros, correspondentes a 8% do saldo no início do ano. A amortização da 
primeira parcela é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor 
dos juros do primeiro ano. E assim por diante.
Logo, os juros de cada ano vão diminuindo de valor ao longo do tempo e 
as amortizações, inversamente, vão aumentando de forma exponencial.
O Modelo Price mostra que as amortizações são obtidas a partir dos valo-
res das prestações e dos juros, portanto:
Amortização = Prestação – Juros
Apresentação 4
Sistemas de Amortizações Constantes (SAC).
O financiamento é liquidado mediante o pagamento de quatro presta-
ções linearmente decrescentes, subdivididas em duas parcelas:
 amortização do principal, obtida pela divisão entre o valor do princi-
pal do financiamento e o prazo de operação;
 juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano.
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99
Anos
Saldo 
no início 
do ano
(R$)
Juros 
do 
ano
(R$)
Saldo no 
final do ano, 
 antes do 
pagamento 
(R$)
Pagamento no final do ano Saldo no 
final do ano, 
após o 
pagamento 
(R$)
Total
(R$)
Juros
(R$)
Amortização
(R$)
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00
2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00
3 500,00 40,00 540,00 290,00 40,00 250,00 250,00
4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00
Soma dos pagamentos 1.200,00 200,00 1.000,00
Utiliza-se esse modelo nas prestações de alguns tipos de financiamentos 
imobiliários e nos financiamentos a longo prazo de um modo geral.
Vemos que as prestações e os juros de cada ano vão diminuindo linear-
mente de valor ao longo do tempo e as amortizações permanecem com o 
mesmo valor de R$250,00. No sistema de amortizações constantes, as presta-
ções são obtidas a partir dos valores das amortizações e dos juros, portanto:
Prestação = Amortização + Juros
Logo, o financiamento de um principal de R$1.000,00 pode ser amorti-
zado no prazo de quatro anos, à taxa de 8% ao ano, pelos seguintes planos 
equivalentes de pagamento:
Anos Apresentação 1 Apresentação 2 Apresentação 3 Apresentação 4
0
1 R$80,00 R$301,92 R$330,00
2 R$80,00 R$301,92 R$310,00
3 R$80,00 R$301,92 R$290,00
4 R$1.360,49 R$1.080,00 R$301,92 R$270,00
Soma R$1.360,49 R$1.320,00 R$1.207,68 R$1.200,00
Observando em uma primeira análise, a apresentação 4 aparentemente 
é a melhor opção, pois representa o plano com o menor valor a ser pago. 
Dentro desse mesmo raciocínio, a apresentação 1 seria o pior de todos, pois 
apresenta o maior valor a ser pago. O erro básico é que na apresentação 1 o 
principal financiado só foi devolvido ao financiador no final do quarto ano, e 
portanto, tem de ser remunerado durante os quatro anos, juntamente com 
os juros que são capitalizados.
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100
Estudo dos fluxos de caixa
Na apresentação 4, o principal é amortizado ao longo do prazo da ope-
ração, e, portanto, apenas o principal remanescente (saldo) é que deve ser 
remunerado, produzindo consequentemente um menor valor de juros a ser 
pago pela “estadia” do principal que ficou à disposição do financiado.
Os planos são equivalentes a 8% ao ano, pois apresentam o mesmo valor 
presente de R$1.000,00 com essa taxa de desconto, e não são equivalentes 
com qualquer outra taxa de desconto. Somar as prestações de cada plano 
corresponde a calcular seus valores presentes com a taxa de desconto de 0% 
ao ano e, por isso, são diferentes os valores obtidos para o total de pagamen-
tos de cada uma das apresentações.
Uma outra maneira de avaliar a situação é usar o cálculo das reaplicações, 
com taxa de 8% ao ano, dos valores que ficaram disponíveis em cada apre-
sentação, antes do final do quarto ano. As possibilidades de reaplicações em 
cada apresentação estão definidas a seguir:
 apresentação 1 – nenhum valor a reaplicar;
 apresentação 2 – reaplicação das três primeiras parcelas de juros de 
R$80,00, até o final do quarto ano;
 apresentação 3 – reaplicação das três primeiras parcelas de R$301,92, 
até o final do quarto ano;
 apresentação 4 – reaplicação das três primeiras parcelas (R$330,00, 
R$310,00 e R$290,00), até o final do quarto ano.
As diferenças entre os totais nos quatro planos são compensadas pelas 
receitas de reaplicações, a 8% ao ano, das parcelas recebidas antes do final 
do quarto ano, conforme quadro a seguir:
Apresentação Total pago (R$)
Receitas de 
reaplicações a 
8% ao ano 
(R$)
Montante acumulado 
no final do 4.º ano 
(R$)
1 1.360,49 0,00 1.360,49
2 1.320,00 40,49 1.360,49
3 1.207,68 152,81 1.360,49
4 1.200,00 160,49 1.360,49
Podemos verificar a equivalência das quatro apresentações de pagamen-
tos, com taxa de 8% ao ano, no final de qualquer período, desde que seja o 
mesmo para todos os planos:
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Estudo dos fluxos de caixa
101
 todas as quatro apresentações são equivalentes, porque têm o mesmo 
valor presente, quando seus valores são descontados à mesma taxa;
 as quatro apresentações depagamentos são equivalentes, porque 
têm o mesmo valor futuro no final do quarto ano, quando seus valores 
são capitalizados para essa mesma data;
 na apresentação 4, todas as amortizações têm o mesmo valor, que é 
obtido pela divisão do principal do financiamento pelo prazo da ope-
ração, e por essa razão, a apresentação é conhecida como sistema de 
amortizações constantes;
 na apresentação 3 – modelo Price – as prestações são iguais e as amor-
tizações crescem exponencialmente com a mesma taxa de juros do 
financiamento. Logo, todas as amortizações são equivalentes, na taxa 
de juros do contrato, pois têm o mesmo valor presente ao ser des-
contadas com essa mesma taxa. Logo, o Modelo Price é um sistema de 
amortizações equivalentes.
Exercícios resolvidos para fixação
1. Considere um empréstimo de R$100.000,00 feito à taxa de 10% a.m. 
pelo prazo de três meses, pelo SAM. Qual será o desembolso mensal 
do devedor se o empréstimo for feito pelo sistema americano com os 
juros pagos mensalmente?
 Solução:
 Vamos observar como se obtém a primeira amortização.
 J = R$100.000,00 . (0,10)1= R$10.000,00
 Como em todos os períodos o principal de R$100.000,00 é corrigido 
pela mesma taxa, temos a tabela a seguir:
n Prestação (R$) Juros (R$) Taxa
Amortização 
(R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 ----- ---- ----- 100.000,00
1 10.000,00 10.000,00 0,10 ----- 100.000,00
2 10.000,00 10.000,00 0,10 ----- 100.000,00
3 110.000,00 10.000,00 0,10 100.000,00 zero
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102
Estudo dos fluxos de caixa
2. Considerando, ainda, o mesmo empréstimo de R$80.0000,00, feito à 
taxa de 15% a.m., por quatro meses, agora devendo ser pago no Siste-
ma Price, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo 
do estado da dívida nesses quatro meses.
 Solução:
 Para encontrarmos as prestações constantes, devemos fazer
 Pgto = R$80.000,00 . (1 + 0,15)
4 – 1
0,15.(1 + 0,15)4
 = R$28.021,23 (pagamento 
mensal).
 Na HP-12C temos:
 f FIN f 2
 80000 CHS PV
 15 i
 4 n
 PMT
 Visor: R$28.021,23
n Prestação (R$) Juros (R$)
Amortização 
(R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 ----- ---- ----- 80.000,00
1 28.021,23 12.000,00 16.021,23 63.978,77
2 28.021,23 9.596,82 18.424,41 45.554,36
3 28.021,23 6.833,15 21.188,08 24.366,28
4 28.021,23 3.654,95 24.366,28 zero
3. Vamos a um exemplo de tabela Price, mas com carência:
 Carência – é o período que vai da data da concessão do empréstimo 
até a data em que será paga a primeira prestação.
 Porém, se as prestações forem postecipadas (pagas no final do perío-
do) já está implícito um período de carência. Então a carência realmen-
te será o tempo dito acima menos 1. Essa prática é a mais comum no 
mercado.
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Estudo dos fluxos de caixa
103
 Um empréstimo de R$400.000,00 será pago pelo sistema Price de 
amortização em quatro parcelas mensais postecipadas, com um pe-
ríodo de carência de dois meses em que seriam pagos unicamente os 
juros contratados de 15%. Construir a planilha de amortização.
 Solução:
 Na HP-12C, temos:
 f FIN f 2
 400000 CHS PV
 15 i
 4 n
 PMT 
 Visor: R$140.106,14
n Pagamento (R$) Juros (R$) Amortização (R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 ---- ---- ----- 400.000,00
1 60.000,00 60.000,00 ----- 400.000,00
2 60.000,00 60.000,00 ----- 400.000,00
3 140.106,14 60.000,00 80.106,14 319.893,86
4 140.106,14 47.984,08 92.122,06 227.771,80
5 140.106,14 34.165,77 105.940,37 121.831,43
6 140.106,14 18.274,71 121.183,43 zero
4. Observe no exemplo a seguir, que o valor de R$400.000,00, durante 
seu período de carência, teve seus juros capitalizados normalmente e 
incorporados ao valor principal da dívida. Vamos desenvolver a plani-
lha de pagamentos, utilizando o modelo Price. A taxa continua a mes-
ma de 15%.
 Solução:
 Na HP-12C, temos:
 f FIN f2
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104
Estudo dos fluxos de caixa
 529000 CHS PV
 15 i
 4 n
 PMT 
 Visor: R$185.290,37
n Pagamento (R$) Juros (R$)
Amortização 
(R$)
Saldo Devedor 
(R$)
0 ---- ---- ---- 400.000,00
1 ---- 60.000,00 ---- 460.000,00
2 ---- 69.000,00 ---- 529.000,00
3 185.290,37 79.350,00 105.940,37 423.059,63
4 185.290,37 63.458,94 121.831,43 301.228,20
5 185.290,37 45.184,23 140.106,14 161.122,06
6 185.290,37 24.168,31 161.122,06 zero
5. Para comprar um apartamento você fez um empréstimo bancário de 
R$70.000,00 a ser pago em 60 meses, a uma taxa de 2% a.a. Calcule 
o valor das prestações, utilizando o modelo Price, dos juros e do to-
tal amortizado no primeiro, segundo e terceiro anos, separadamente, 
usando a HP-12C. A partir desse exemplo, vamos sintetizar as resolu-
ções, resolvendo apenas através da calculadora HP-12C.
 Solução:
 f FIN f 2
 70000 CHS PV
 60 n
 2 i
 PMT 
 Visor: R$2.013,76
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Estudo dos fluxos de caixa
105
 Aqui estão as prestações. Agora vem a resolução HP:
 12 f AMORT R$15.933,31 – (calcula os juros nos primeiros 12 períodos);
 x > < y R$8.231,81 – (calcula o total já amortizado nos primeiros 12 
períodos);
 12 f AMORT R$13.725,21 – (calcula os juros nos próximos 12 períodos 
(até o período 24));
 x > < y R$10.439,91 – (calcula o total já amortizado nos próximos 12 
períodos);
 12 f AMORT R$10.924,78 – (calcula os juros nos próximos 12 períodos 
(3.º ano);
 x > < y R$13.240,34 – (o total já amortizado durante o 3.º ano);
 RCL PV mostra quanto falta ainda para ser amortizado.
 Visor: R$38.088,06
6. Considerando o empréstimo de R$200.000,00, feito à taxa de 15% a.m., 
por quatro meses, agora devendo ser pago pelo sistema SAC, fazer um 
demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses.
 Solução:
 A = VP
n
 = R$200.000,00
4
 = R$50.000,00
n Prestação (R$) Juros (R$) Amortização (R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 ---- ---- ---- 200.000,00
1 80.000,00 30.000,00 50.000,00 150.000,00
2 72.500,00 22.500,00 50.000,00 100.000,00
3 65.000,00 15.000,00 50.000,00 50.000,00
4 57.500,00 7.500,00 50.000,00 zero
7. Um empréstimo de R$400.000,00 será pago pelo sistema SAC de amor- 
tização em três parcelas mensais postecipadas, com um período de 
carência de quatro meses. As amortizações serão calculadas sobre o 
valor inicial emprestado mais os juros capitalizados durante a carên-
cia. Considerando uma taxa de juros contratados de 15% a.m. Cons-
truir a planilha de amortização.
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106
Estudo dos fluxos de caixa
 Solução:
 Devemos capitalizar o saldo devedor do empréstimo até o início do 3.º 
mês, período da carência entendido no exercício. Mas esse momento 
é também o final do 2.o período. Assim:
 SD4 = R$400.000,00 . (1 + 0,15)
3 = R$608.350,00
 Lembre-se de que quando as prestações forem postecipadas, a carên-
cia na verdade são apenas três períodos, o período restante é a carên-
cia implícita numa série postecipada.
 Agora:
 
A = =R$608.350,00 R$202.783,33
3
n Prestação (R$) Juros (R$) Amortização (R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 ---- ---- ---- 400.000,00
1 ---- 60.000,00 ---- 460.000,00
2 ---- 69.000,00 ---- 529.000,00
3 ---- 79.350,00 608.350,00
4 294.035,83 91.252,50 202.783,33 405.566,67
5 263.316,41 60.533,08 202.783,33 202.783,33
6 232.898,91 30.115,58 202.783,33 zero
Outros modelos de amortização
 Sistema de Pagamento Único (SPU)
O devedor paga o montante = capital + juros compostos da dívida em um 
único pagamento ao final den = 5 períodos. O montante pode ser calculado 
pela fórmula:
M = C . (1 + i)n
Uso comum: letras de câmbio, títulos descontados em bancos, certifica-
dos a prazo fixo com renda final.
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Estudo dos fluxos de caixa
107
Exemplo
Dados: 
Valor presente do financiamento: R$300.000,00
Taxa: 4% ao mês.
Tempo: 5 anos
Sistema de Pagamento Único (SPU)
n Juros (R$) Amortização do saldo devedor (R$)
Pagamento 
(R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 312.000,00
2 12.480,00 324.480,00
3 12.979,20 337.459,20
4 13.498,37 350.957,57
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0
Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87
 Sistema de Pagamentos Variáveis (SPV)
O devedor paga periodicamente valores variáveis de acordo com a sua 
condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que 
os juros do saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.
Uso comum: cartões de crédito.
Exemplo
Neste caso também estamos considerando a taxa de 4% ao mês.
Você observa que os pagamentos são variáveis a cada mês.
Normalmente, quando se deixa acumular dívidas no cartão de crédito, os 
pagamentos serão cada vez mais crescentes caso o desejo seja saldar a dívida. 
Somente pagamentos crescentes resultarão em amortizações do saldo de-
vedor, também crescentes, e juros menores no decorrer do período.
Dado: o devedor pagará a dívida da seguinte forma:
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108
Estudo dos fluxos de caixa
 no final do 1.º mês: R$30.000,00 + juros;
 no final do 2.º mês: R$45.000,00 + juros;
 no final do 3.º mês: R$60.000,00 + juros;
 no final do 4.º mês: R$75.000,00 + juros;
 no final do 5.º mês: R$90.000,00 + juros;
Sistema de Pagamentos Variáveis (SPV)
n Juros (R$)
Amortização do 
saldo devedor 
(R$)
Pagamento 
(R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00
2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00
3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00
4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00
5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0
Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00
 Sistema de Amortização Misto (Sacre)
Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respec-
tivas no sistema Price e no sistema de amortização constante (SAC).
Uso comum: financiamento do sistema financeiro da habitação.
PSacre = (PPrice + PSAC) / 2
Essa modalidade bastante interessante e muito usada hoje no financia-
mento da casa própria pela Caixa Econômica Federal é uma média aritmética 
entre as amortizações obtidas com a Price e o SAC. Para o agente de financia-
mento, ela é muito interessante e para o mutuário, também.
A taxa de financiamento continua sendo 4% ao mês e o período de cinco 
meses.
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Estudo dos fluxos de caixa
109
Exemplo
n PSAC (R$) PPrice (R$) PSacre (R$)
1 72.000,00 67.388,13 69.694,06
2 69.600,00 67.388,13 68.494,07
3 67.200,00 67.388,13 67.294,07
4 64.800,00 67.388,13 66.094,07
5 62.400,00 67.388,13 64.894,07
Sistema de Amortização Misto (Sacre)
n
Juros
(R$)
Amortização do 
saldo devedor (R$)
Pagamento 
(R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94
2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11
3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20
4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14
5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0
Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94
 Sistema Alemão
O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida em que os juros são 
pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento, 
que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É 
necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortiza-
ções Ak, k = 1, 2, 3, ..., n.
Uso comum: alguns financiamentos.
Fórmulas necessárias: para k = 1, 2, ..., n.
A prestação mensal pode ser calculada com as fórmulas a seguir:
Continuamos com a mesma taxa de financiamento de 4% ao mês e o pe-
ríodo de cinco meses.
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110
Estudo dos fluxos de caixa
P = Ci / [ 1 – ( 1 – i)n]
A1 = P . ( 1 – i )
n – 1
Ak = A1 / ( 1 – i ) 
k – 1
P = (300.000 . 0,04) / [1–(1–0,04)5] = R$64.995,80
A1 = 64.995,80 . (1–0,04)
4 = R$55.203,96
A2 = 55.203,96 / (1–0,04) = R$57.504,13
A3 = 57.504,13 / (1–0,04) = R$59.900,13
A4 = R$59.900,13 / (1–0,04) = R$62.395,97
A5 = R$62.395,97 / (1–0,04) = R$64.995,80
Sistema Alemão
n
Juros
(R$)
Amortização do 
saldo devedor 
(R$)
Pagamento
(R$)
Saldo devedor 
(R$)
0 12.000,00 0 12.000,00 300.000,00
1 9.791,84 55.203,96 64.995,80 244.796,04
2 7.491,68 57.504,13 64.995,80 187.291,91
3 5.095,67 59.900,13 64.995,80 127.391,78
4 2.599,83 62.395,97 64.995,80 64.995,80
5 64.995,80 64.995,80 0
Totais 36.979,02 300.000,00 336.979,02
Ampliando seus conhecimentos
Estabeleça estratégia de quitação de dívidas 
e saia do vermelho
(INFOMONEY, 2008)
Liste suas dívidas, estabeleça prioridades e avalie possibilidade de quita-
ção antecipada; use recursos extras para amortização.
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Estudo dos fluxos de caixa
111
Tentar esquecer o problema não vai levá-lo a lugar algum, mas um pouco de 
planejamento pode sim ajudá-lo a recuperar a sua saúde financeira. Por mais 
que o assunto “dívidas” o desanime, é hora de arregaçar as mangas e tentar re-
solver o problema. Comece adotando uma estratégia bastante simples, mas 
muito difícil nos dias de hoje: não contrate nenhum outro tipo de dívida, até 
que tenha quitado as que já tem. Por mais que sofra pressões no emprego, 
tenha desilusões amorosas ou simplesmente acredite que merece um prêmio, 
mantenha esta estratégia e não gaste o que não pode pagar em dinheiro.
Pague em dinheiro!
Uma solução é transformar os rendimentos mensais em dinheiro. Com a 
quantia contada, você só gasta o que tem. Não é fácil, mas a situação exige 
esforços e, ao menos, você evita os gastos por impulso.
Se você já tem um bom controle orçamentário, certamente sabe o quanto 
pode dispor todos os meses para o pagamento das suas dívidas. Porém, caso 
não tenha esta informação, este é o momento de analisar os seus gastos, cor-
tando tudo o que pode, para entender o quanto dispõe todo mês para pagar 
dívidas. Compare este saldo com o total de prestações do período.
Você sabe quanto deve?
Por mais que queiram sair do vermelho, não são raros os casos de pessoas 
que não têm qualquer controle do quanto estão devendo. Se você se encon-
tra nesta situação, é hora de mudar de atitude! Como espera pagar suas dívi-
das, se não sabe o quanto deve?
Faça uma lista de todas as dívidas que possui, incluindo não apenas o saldo 
devedor, mas também o número de parcelas que restam, a taxa de juros co-
brada e, é claro, o valor da prestação. Por mais que o primeiro instinto seja o de 
priorizar o pagamento da dívida cujos juros são mais elevados, é preciso levar 
em consideração outros fatores.
O primeiro deles é o risco que você corre ao atrasar o pagamento. Ainda 
que a taxa de juros do cartão seja maior do que a taxa do seu financiamento 
imobiliário, se não efetuar o pagamento do financiamento corre o risco de 
perder o imóvel! Levando em consideração estas restrições, estabeleça uma 
linha de prioridade na quitação das dívidas.
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112
Estudo dos fluxos decaixa
Considere a quitação antecipada
Caso tenha o suficiente para arcar com todas as prestações, basta não 
levantar mais dívidas que você certamente sairá do vermelho. Porém, caso 
possa pagar integralmente as prestações, é preciso identificar fontes alterna-
tivas de renda.
Informe-se sobre a possibilidade da quitação antecipada. Talvez valha 
a pena fazer um sacrifício maior, trocar o carro por um modelo mais antigo, 
para quitar integralmente uma dívida. Como na quitação antecipada deve ser 
descontado do valor a ser pago o montante de juros embutido nas prestações 
que faltam, a economia é grande e o sacrifício pode valer a pena.
À medida que quitar uma nova dívida, você deve usar o montante que 
teria gasto com a prestação para amortizar, ainda que parcialmente, a próxi-
ma dívida da sua lista em termos de prioridade.
Renegociar exige atenção!
Por mais que não tenha sido discutido o tema, renegociar os termos da 
dívida certamente é uma opção a ser considerada. Porém, esta estratégia deve 
ser vista como uma forma de antecipar a quitação, ou de permitir o equilíbrio 
entre o que dispõe para pagar e o total das prestações.
Este caminho, contudo, só deve ser seguido uma vez que você tenha uma 
ideia clara das suas dívidas e um plano estratégico de quitação. Caso contrá-
rio, o mais provável é que utilize a renegociação apenas para adiar, e não re-
solver o problema. Infelizmente, ficar endividado é mais fácil do que sair do 
vermelho e não existem saídas simples.
No seu caminho rumo a uma vida sem dívidas, continue procurando alter-
nativas de cortar custos, ou receitas alternativas que ajudem na redução do 
saldo devedor. Seguindo estes passos, você conseguirá, com muito esforço e 
paciência, sair do vermelho.
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Estudo dos fluxos de caixa
113
Dez razões que levam as pessoas a se endividarem
(INFOMONEY, 2008)
[...]
 Perda de renda sem ajuste nas despesas
Curiosamente, pode-se observar que, quando o poder aquisitivo das pes-
soas aumenta, elas rapidamente tendem a aumentar seu padrão de gastos, 
ajustando-se à nova realidade de salário. Infelizmente, a contrapartida nem 
sempre é verdadeira, de forma que, em geral, o consumidor não ajusta seus 
gastos com a mesma rapidez diante de uma retração na renda. Acreditando 
que a situação seja temporária, muitas pessoas optam por equilibrar o orça-
mento através do levantamento de dívidas. Porém, muitas vezes o temporário 
se transforma em permanente, e abre-se a porta para uma situação de dese-
quilíbrio financeiro.
 De repente você está desempregado!
A perda do emprego pode ser vista como uma das causas para a redução 
de renda. O maior problema aqui é subestimar o tempo e os custos associados 
à recolocação profissional, que podem inclusive acabar elevando padrões de 
gastos temporariamente. Nesta hora é importante não se abalar emocional-
mente e agir rápido. Por mais que cortar gastos seja a última coisa que passe 
pela sua mente, ela deve ser, na verdade, a primeira providência a tomar. Não 
se esqueça de que muitas empresas evitam contratar pessoas com nome sujo. 
A razão por trás disso é simples: a preocupação com o gerenciamento finan-
ceiro das suas contas acaba prejudicando o desempenho do profissional.
 Despesas médicas podem acabar com sua saúde
Não são poucos os casos de pessoas que acabam sofrendo problemas de 
saúde, e por isso são forçadas a gastar com o tratamento, ou a se ausentar 
do trabalho. Por este motivo, sobretudo no caso de profissionais liberais e 
autônomos, veem-se diante de dificuldades financeiras. Nestas horas, levan-
tar um financiamento pode ser a única alternativa para fazer o tratamento 
de saúde, ou para manter o pagamento das contas em dia, e assim evitar a 
inadimplência.
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114
Estudo dos fluxos de caixa
 Divórcio: separação de bens, mas não de gastos
Mesmo que você não esteja casado, basta que se encontre em uma relação 
estável, para que possa ser atormentado pela realidade da divisão de bens, e 
até mesmo pagamento de pensão ao ex-cônjuge/companheiro. De repente a 
pessoa passa de uma situação em que podia contar com a outra para dividir 
os gastos, para a realidade de não só ter que arcar com eles sozinha, mas ainda 
ter que partilhar parte de seu rendimento, ou patrimônio. Isso sem falar, é 
claro, dos custos associados ao processo em si. Dependendo de como se deu 
a separação, além de gastar com advogado, é possível que surja a necessidade 
de outros tratamentos, para possíveis traumas psicológicos, por exemplo.
 Jogos e outros vícios
Ainda que o jogo seja ilegal no país, não há como negar sua existência. 
Infelizmente, muitas pessoas acabam viciadas, perdendo completamente o 
controle dos seus gastos. Em alguns casos, o jogo é apenas uma entre outras 
formas de vícios, que vão desde o consumo compulsivo até a dependência 
química por drogas. Os efeitos ao orçamento não precisam ser comentados.
 Gastando aquilo que não recebeu
Não são poucos os casos em que isso acontece. Englobam filhos que ante-
cipam o recebimento de bens ainda em inventário, ou profissionais que adian-
tam o recebimento de férias, décimo terceiro, ou bonificação anual extra. Em 
algumas situações, contudo, esses recursos acabam não sendo recebidos, ou 
ficam abaixo do previsto, fazendo com que seja preciso levantar dívidas para 
arcar com os gastos antecipados.
 Incapacidade de administrar dinheiro
Poucas pessoas investem tempo na gestão do seu orçamento e sabem para 
onde vai o seu dinheiro. Assim, a maioria acaba gastando mais do que pode. 
Um erro bastante frequente é incluir o limite do cartão de crédito e/ou cheque 
especial como parte integrante da renda. Não se esqueça de que, ao contrário 
do rendimento de salário, esses recursos implicam juros, e devem ser usados 
com cautela. Coloque no papel seus gastos e receitas e adote uma postura 
mais responsável com relação às suas decisões de consumo. Evite consumir 
por impulso! Você vai se surpreender ao verificar como é gratificante ter suas 
finanças equilibradas.
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Estudo dos fluxos de caixa
115
 Dificuldade de poupar
A forma mais simples de evitar o endividamento é efetivamente poupar e 
formar uma reserva para situações de emergência. Apesar disso, a maior parte 
das pessoas, independente de faixa de renda, encontra dificuldades em esta-
belecer uma estratégia de poupança. É exatamente essa reserva que permite 
que você não se endivide caso fique doente, perca o emprego ou venha a se 
separar. Lembre-se que é mais fácil encontrar pessoas arrependidas de terem 
consumido por impulso do que reclamando de que deixaram de consumir para 
poupar. Não é preciso muito para começar: sempre é possível separar 5% do 
que você ganha para investimento, basta adiar por algum tempo outro gasto 
menos essencial. É como reeducação alimentar, depois de algum tempo você 
se acostuma com os novos hábitos de consumo e se sente orgulhoso por isso.
 Quando falar sobre dinheiro é tabu
Este é um problema que aflige muitas famílias. É importante que tanto o 
casal, e eventualmente os filhos, participem, na medida do possível, do es-
tabelecimento de metas e objetivos de poupança e investimento. Se todos 
se mantiverem informados, é mais fácil comunicar quando um dos membros 
adota um padrão de gastos que não está de acordo com o orçamento! Nestes 
casos, a transparência é muito importante. Todos precisam ser honestos e ob-
jetivos, caso contrário, as chances de você se surpreender no final do mês com 
uma conta absurda de celular do seu filho, ou de cartão de crédito da sua filha, 
são enormes.
 Analfabetismofinanceiro
Essa forma de analfabetismo atinge até mesmo os países mais desenvol-
vidos, onde uma parcela significativa da população é incapaz de gerir suas 
contas. Independente do grau de instrução, muitas pessoas simplesmente 
não apreciam a importância do planejamento financeiro. No Brasil, pode-se 
dizer que existe uma herança claramente negativa do período hiper-inflacio-
nário. Isso porque, diante de uma inflação mensal que chegou a superar 50%, 
o planejamento financeiro de longo prazo se tornava impossível. Se você faz 
parte deste grupo de pessoas, está na hora de investir na sua educação. Assim 
como em qualquer outra área de ensino, o planejamento financeiro exige trei-
namento. A boa vantagem é que já existe muito material publicado sobre o 
tema, que pode ajudá-lo rapidamente a se tornar proficiente neste assunto.
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116
Estudo dos fluxos de caixa
Atividades de aplicação
1. Dado o seguinte financiamento:
 Valor presente: R$50.000,00.
 Taxa de juros: 20% ao mês.
 Tempo: 3 meses.
 Modelo de amortização: SPU.
 Apresentar uma planilha com a sequência calculada durante os três 
meses.
2. Com os mesmos valores e demais observações utilizadas no exercício 1, 
construa agora a planilha para um modelo SAM.
3. Considerando o empréstimo de R$450.000,00, feito à taxa de 20% a.m., 
por três meses, devendo ser pago pelo sistema SAC, fazer um demons-
trativo do estado da dívida nesses quatro meses.
4. Um empréstimo de R$40.000,00 será pago pelo Sistema Price de amor-
tização em três parcelas mensais postecipadas, com um período de 
carência de três meses em que seriam pagos unicamente os juros con-
tratados de 15%. Construir a planilha de amortização.
Gabarito
1.
Meses
Saldo 
no início 
do mês 
(R$)
Juros 
do 
mês 
(R$)
Saldo no 
final do mês, 
antes do 
pagamento 
(R$)
Pagamento no final do mês Saldo no 
 final do 
mês, após o 
pagamento 
(R$)
Total (R$) Juros (R$)
Amortização 
(R$)
0 50.000,00
1 50.000,00 10.000,00 60.000,00 0,00 0,00 0,00 60.000,00
2 60.000,00 12.000,00 72.000,00 0,00 0,00 0,00 72.000,00
3 72.000,00 14.400,00 86.400,00 86.400,00 36.400,00 50.000,00 0,00
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117
2.
Meses
Saldo 
no início 
do mês 
(R$)
Juros 
do mês 
(R$)
Saldo no final 
do mês, antes 
do pagamento 
(R$)
Pagamento no final do mês Saldo no final 
do mês, após o 
pagamento 
(R$)
Total (R$)
Juros 
(R$)
Amortização 
(R$)
0 50.000,00
1 50.000,00 10.000,00 60.000,00 0,00 10.000,00 0,00 50.000,00
2 50.000,00 10.000,00 60.000,00 0,00 10.000,00 0,00 50.000,00
3 50.000,00 10.000,00 60.000,00 60.000,00 10.000,00 50.000,00 0,00
3.
 Valor atual = R$450.000,00 / 3 = R$150.000,00
Meses
Saldo 
no início 
do mês 
(R$)
Juros 
do mês 
(R$)
Saldo no final 
do mês, antes 
do pagamento 
(R$)
Pagamento no final do mês Saldo no final 
do mês, após o 
pagamento 
(R$)
Total (R$) Juros (R$)
Amortização 
(R$)
0 450.000,000
1 450.000,00 90.000,00 540.000.00 240.000,00 90.000,00 150.000,00 300.000,00
2 300.000,00 60.000,00 360.000,00 210.000,00 60.000,00 150.000,00 150.000,00
3 150.000,00 30.000,00 180.000,00 180.000,00 30.000,00 150.000,00 0,00
4. Na HP-12C, temos:
 f FIN f 2
 40000 CHS PV
 15 i
 3 n
 PMT
 Visor: R$17.519,08
Anos
Saldo 
no início 
do mês 
(R$)
Juros 
do mês 
(R$)
Saldo no final 
do mês, antes 
do pagamento 
(R$)
Pagamento no final do mês Saldo no final 
do mês, após o 
pagamento 
(R$)
Total 
(R$)
Juros 
(R$)
Amortização 
(R$)
0 40.000,00
1 40.000,00 6.000,00 46.000,00 6.000,00 40.000,00
2 40.000,00 6.000,00 46.000,00 6.000,00 40.000,00
3 40.000,00 6.000,00 46.000,00 6.000,00 40.000,00
4 40.000,00 6.000,00 46.000,00 17.519,08 6.000,00 11.519,08 28.480,92
5 28.480,92 4.272,14 32.753,06 17.519,08 4.272,14 13.246,94 15.233,98
6 15.233,98 2.285,10 17.519,08 17.519,08 2.285,10 15.233,98 0,00
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119
Valor presente 
líquido e taxa de desconto
As abelhas, em virtude de uma certa intuição geométrica, sabem que o hexágono é 
maior que o quadrado e o triângulo, e conterá mais mel com o mesmo gasto de material.
Papus de Alexandria
Valor presente, taxa de desconto e equivalência de fluxos de caixa são 
conceitos absolutamente interligados.
Denomina-se valor presente de um fluxo de caixa o valor monetário (PV) 
do ponto zero da escala de tempo, que é equivalente à soma de suas parce-
las futuras, descontadas para o ponto zero, com uma determinada taxa de 
juros.
A taxa de juros utilizada para descontar as parcelas futuras do fluxo de 
caixa é denominada taxa de desconto.
A equivalência de fluxos de caixa está ligada à taxa de juros, pois pagar à 
vista uma determinada compra equivale a pagá-la a prazo, em parcelas fu-
turas, desde que se aceite uma taxa de juros no caso do parcelamento. Esses 
conceitos são muito importantes para a tomada de decisões.
Complemento
Em uma operação financeira de investimento ou financiamento, existem 
várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma 
dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da 
taxa de mercado, também conhecida como a taxa de atratividade do mercado 
e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma 
decisão.
Existem dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na aná-
lise da operação financeira de investimento ou financiamento: valor presente 
líquido (NPV) e taxa interna de retorno (TIR). Na calculadora financeira HP-12C, 
a taxa interna e retorno é mostrada como IRR (Internal Rate Return).
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120
Valor presente líquido e taxa de desconto
Valor presente líquido (NPV)
O valor presente líquido (VPL), mostrado na calculadora HP-12C como 
NPV (Net Present Value), de um fluxo de caixa de uma operação é o somatório 
de todos os valores atuais calculados no instante t = 0 para cada elemento 
isolado da operação.
Imagine a seguinte situação. Uma empresa dispõe de fundos para investir 
em determinados projetos. Dentre a gama de alternativas, uma em particu-
lar chamou a atenção da diretoria. Trata-se de um projeto que consiste no 
lançamento de um novo produto que, segundo os especialistas de mercado, 
é muito promissor para o futuro. O projeto demanda um investimento inicial 
de R$5.000.000,00. A possibilidade de retorno do investimento consiste em 
R$750.000,00 ao ano durante oito anos. Se você fosse um dos principais acio-
nistas e a decisão de investir fosse exclusivamente sua, você investiria nesse 
projeto? Seguindo um raciocínio lógico simples, qualquer um nessa situação 
seria levado a investir, pois a entrada de fundos decorrente do projeto é de 
R$6.000.000,00 enquanto a saída é de apenas R$5.000.000,00. O que geraria 
um ganho de R$1.000.000,00. No entanto, o valor de R$5.000.000,00 corres-
ponde a um desembolso hoje, enquanto as entradas futuras, além de esti-
mativas, correspondem a entradas durante oitos anos consecutivos. Dessa 
forma para se ter uma análise mais precisa sobre se o projeto deve ser feito 
ou não, precisamos conhecer uma relação entre o poder do real de hoje com 
o poder do real de amanhã (no caso daqui a oito anos). Essa relação é conhe-
cida como valor do dinheiro no tempo.
Valor presente e valor futuro
O exemplo acimaretrata que o dinheiro possui seu valor alterado confor-
me o tempo em que estamos utilizando-o. Os R$5.000.000,00 são desembol-
sados hoje para que se possa receber R$6.000.000,00 ao longo de oito anos.
O valor desembolsado ou recebido na data atual, data base ou ainda data 
zero (como é comumente conhecida) é conhecido como valor presente. No 
caso da empresa, o valor presente seria R$5.000.000,00, pois é o valor de-
sembolsado hoje. Se por um lado é necessário desembolsar um valor hoje, 
a lógica do investidor nos afirma que devemos auferir um rendimento no 
amanhã. O valor que teremos de pagar ou receber em uma data futura é 
conhecido como valor final. No caso da empresa seria de R$6.000.000,00 em 
oito anos.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
121
Taxa de juros
Como foi explicado, o dinheiro possui um determinado valor no tempo. 
Se hoje temos de sacrificar determinada quantia em um investimento es-
peramos que no futuro nos seja proporcionado um ganho por esse sacri-
fício. Quando emprestamos dinheiro a alguém, estamos sacrificando uma 
quantia atual visando um recebimento no futuro. Assim sendo, o tomador 
do empréstimo fez com que nós sacrificássemos nossas possibilidades de 
consumo e emprestássemos esse dinheiro à ele. Naturalmente esse sacrifício 
merece alguma espécie de ganho. Esse ganho é conhecido como juros. De 
certa forma poderíamos dizer que os juros correspondem ao lucro que es-
tamos determinados a ganhar para emprestar esse dinheiro. Sobre a óptica 
do tomador de empréstimo, poderíamos dizer que os juros correspondem 
ao preço que ele tem de pagar para realizar o empréstimo. Pode-se afirmar 
que a taxa de juros corresponde a esse lucro, ou a esse aluguel, ou, ainda, a 
relação entre o valor do dinheiro hoje e o valor do dinheiro amanhã.
O valor presente líquido é o valor dos fluxos financeiros trazidos à data 
zero. Pode-se visualizar melhor através da figura.
300 300
450
250
100100
350
1000
0 1 2 3 4 5 6 7
Por meio da figura, podemos visualizar algumas operações. Existem fluxos 
de caixa positivos e negativos para datas distintas. Vamos considerar que o 
fluxo de caixa seja o comportamento de consumo e ganhos de uma determi-
nada pessoa. Como saber se ela está gastando mais ou arrecadando mais?
O VPL nada mais é do que uma aplicação de juros compostos. A fórmula 
geral de juros compostos é: 
VF = VP . (1 + i)n
onde:
 VF é o valor futuro ou montante.
 VP é o valor presente ou atual.
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122
Valor presente líquido e taxa de desconto
 n são os períodos de tempo.
 i representa a taxa.
Para responder a pergunta feita anteriormente, devemos trazer todos os 
fluxos financeiros para uma data comum (que por costume é a data zero). 
Considerando uma taxa de juros arbitrária de 2% ao período e utilizando a 
fórmula, podemos resumir da seguinte forma:
VF (R$) n VP (R$) Saldo (R$)
1.000,00 0 –1.000,00 –1.000,00
300,00 1 294,11 –705,89
300,00 2 288,35 –417,54
350,00 3 –329,81 –747,35
450,00 4 415,73 –331,62
100,00 5 –90,57 –422,19
100,00 6 –88,79 –510,98
250,00 7 217,64 –293,34
Podemos ver que a soma dessas operações (todas trazidas à data zero) 
fez com que o saldo desse um valor negativo. A soma de todos esses fluxos 
trazidos a uma data comum é chamada de valor presente líquido. O valor pre-
sente líquido, nesse caso, é de – R$293,34, ou seja, a pessoa que efetuou essas 
operações gasta mais do que arrecada, ainda que as operações tenham sido 
feitas em épocas distintas.
A fórmula geral, então, para o cálculo do VPL seria:
VPL
i i i
=
+( )
+
+( )
+
+( )
+
+
Valor 1 Valor 2 Valor 3 Valor 4
1 1 1 11
1
2
2
3
3
ii
n
4
4( )
+
( )
Valor n
1+in
Logo:
VPL C Cn
i nn
= +
+( )=∑0 1 1
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Valor presente líquido e taxa de desconto
123
 C0 é o fluxo de caixa feito na data zero (que no caso acima era de 
– R$1.000,00).
 Cn é o fluxo de caixa feito no período n.
 n é o número do período em que foi feito determinado fluxo.
 i é a taxa de juros corrente ao período n.
Anuidade
Uma anuidade consiste em uma série uniforme de pagamentos regula-
res que dura um número determinado de períodos. Quando compramos um 
carro e decidimos pagar a prazo, (em 24 vezes, por exemplo) estamos lidan-
do com uma anuidade. O comportamento da anuidade pode ser descrito de 
acordo com a figura.
0
P P P P P P P P
N7654321
D
A diferença entre a anuidade e a perpetuidade está no tempo envolvido. 
Na anuidade esse tempo é limitado. A fórmula para se calcular a anuidade é 
a seguinte:
VP
i
i
t
t
=
+( ) −
+( )





P . i . 
1 1
1
Um investimento vale a pena quando cria valor para seus proprietários. 
Por isso, as propostas de investimento ou projeto deverão valer mais do que 
seu custo, uma vez implantado. Essa diferença entre o valor do mercado de 
um investimento, descontando seus fluxos de caixa futuros e usando o custo 
de capital, é chamado avaliação de fluxo de caixa descontado.
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124
Valor presente líquido e taxa de desconto
Exemplos de fixação
1. Avalie uma proposta de investimento com valor de R$10.000,00 hoje 
para receber R$2.000,00 anuais, nos próximos 10 anos. A taxa mínima 
de atratividade é de 10% ao ano. Esse investimento é interessante?
 Resolvendo:
 Investimento – Recebimentos
 –R$10.000,00 + R$2.000,00 / (1 + 0,10)1 + R$2.000,00 / (1 + 0,10)2 + ... 
+ R$2.000,00 / (1 + 0,10)9 + R$2.000,00 / (1 + 0,10)10 = – R$10.000,00 + 
R$12.289,13 = R$2.289,13
Logo, VPL positivo. Considerando o valor presente líquido positivo o in-
vestimento é interessante.
 Vamos lá: aplicando na calculadora HP-12C temos:
 f fin
 f 2
 10000 CHS g CF0
 2000 g CFj
 10 g Nj
 10 i
 f NPV
 Visor: R$2.289,13
 Análise: o investimento é atrativo do ponto de vista do VPL. Quando 
se consideram alternativas de investimento com durações idênticas, 
escolhe-se a de maior valor presente líquido. Geralmente, a data esco-
lhida para o cálculo do valor atual é o “dia de hoje”, daí o termo “valor 
presente”, usado para designar o método. Então, qualquer que seja a 
data utilizada, a decisão será a mesma.
Observações importantes
Toda vez que se consegue investir uma quantia exatamente igual à taxa 
mínima de atratividade, o valor presente do projeto como um todo será nulo. 
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Valor presente líquido e taxa de desconto
125
Um valor atual positivo indica que se está investindo a uma taxa superior à 
taxa de atratividade. O inverso mostra valores presentes negativos. O valor 
presente de um fluxo de caixa indica a diferença entre o valor atual das quan-
tias futuras envolvidas e o investimento inicial. Isso quer dizer que um valor 
atual positivo significa que as quantias futuras, descontadas à taxa mínima 
de atratividade, superam o investimento inicial necessário, o que torna a pro-
posta atrativa. Por outro lado, um valor atual negativo significa que se está 
investindo mais do que irá obter, e isso é indesejável.
2. Uma máquina é colocada à venda para fins rentáveis. O comprador 
tem a perspectiva de uma taxa de atratividade de 10% a.a. Espera-se 
que a máquina proporcione uma receita líquida de R$20.000,00 no 
primeiro ano, diminuindo em seguida à proporção de R$1.000,00 ao 
ano por mais quatro anos. O valor estimado de revenda daqui a cinco 
anosé de R$26.000,00. Até quanto o comprador estará disposto a pa-
gar pela máquina?
 VPL = R$20.000,00 / (1 + 0,10)1 + R$19.000,00 / (1 + 0,10)2 + R$18.000,00 
/ (1 + 0,10)3 + R$17.000,00 / (1 + 0,10)4 + R$16.000,00 / (1 + 0,10)5 = 
R$68.953,93
 Logo, como valor estimado de venda daqui a cinco anos é de 
R$26.000,00, o comprador estará perdendo dinheiro se investir 
R$68.953,93 nessa máquina nesse valor presente líquido. A deprecia-
ção da máquina é muito grande ao longo do tempo.
 Vamos fazer o fluxo:
 fluxo de caixa (em R$1.000,00) : VP(1 + i)n
 f Fin
 f 2
 20000 g CFj
 19000 g CFj
 18000 g CFj
 17000 g CFj
 16000 g CFj
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126
Valor presente líquido e taxa de desconto
 10 i
 f NPV
 Visor: R$68.953,93
 Logo:
1 R$20.000,00
2 R$19.000,00
3 R$18.000,00
4 R$17.000,00
5 R$16.000,00
NPV Com taxa de 10% igual a R$68.953,93
3. Uma prefeitura está avaliando a execução de uma obra destinada à 
diversão pública; entre as possibilidades, sobressaem a construção 
de um estádio ou de um parque com jardins, lagos, viveiros etc. Os 
responsáveis se dividem sobre qual das alternativas proporcionará 
maiores benefícios, considerando-se, portanto, que sejam equivalen-
tes sob esse aspecto. O investimento inicial do projeto do parque é de 
R$6.000.000,00, sendo os benefícios perpétuos. Gastos anuais de cerca 
de R$60.000,00 serão necessários para manutenção; de 20 em 20 anos, 
estima-se, seriam necessários gastos da ordem de R$1.500.000,00 para 
dragagem do lago e reforma dos jardins e edifícios. Considerando-se 
uma taxa de 5% ao ano, qual o custo capitalizado dessa obra?
 Vamos à resolução:
 Custo anual de manutenção: R$60.000,00.
 Custo equivalente aos gastos de 20 em 20 anos.
 Pelo método convencional:
 PMT = FV . i / ((1 + i)n – 1)
 PMT = R$1.500.000 . 0,05 / ((1+0,05)20 – 1)
 PMT = R$75.000.000,00
1,653298
 PMT = R$45.363,88
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Valor presente líquido e taxa de desconto
127
 Na HP-12C:
 f Fin
 1500000 (CHS) FV
 20 n
 5 i
 PMT
 Visor: R$45.363,88
 Usando a perpetuidade, temos:
 VP para a perpetuidade = 
PMT
i
 
VP =
R$60.000,00 (manutenção) + R$45.363,88 (outras obras)
0,05
 VP = R$2.107.277,60
 R$6.000.000,00 + (R$60.000,00 + R$45.363,88) / 0,05 = R$8.107.277,60
Logo, nessas condições, o estádio só será interessante se o custo capitali-
zado for menor que o valor acima.
Limitações ao VPL
Embora o VPL seja um processo matemático muito eficiente, assim como 
quase todos os modelos em finanças, ele é limitado quando aplicado a situa- 
ções reais. Suas principais limitações são:
 não se importa com o tempo de duração do projeto seja ele de um, de 
mil ou de infinitos períodos. Seu enfoque é apenas no valor presente 
do montante resultante dos descontos dos pagamentos futuros;
 não é muito indicado em ambientes de risco. Alguns autores defendem 
que o VPL pode ser trabalhado com risco, para tanto basta embutir 
na taxa de juros um prêmio para esse risco, mas avaliar esse prêmio 
torna-se impraticável uma vez que o VPL não considera o tempo da 
aplicação.
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128
Valor presente líquido e taxa de desconto
Taxa interna de retorno (IRR)
A taxa interna de retorno (TIR) – também chamada de Internal Rate Return 
(IRR) – de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação 
financeira.
Os investidores dispõem de diversos métodos para a análise de um in-
vestimento. Cada um desses enfoca uma variável diferente. O payback, que 
veremos neste capítulo, é extremamente voltado para a variável tempo, en-
quanto o valor presente líquido volta-se para o valor dos fluxos de caixas 
obtidos na data-base. A idéia da TIR surgiu como mais um modelo de análise 
de investimento, dessa vez voltada para a variável taxa. A utilização da TIR 
tenta reunir em apenas um único número o poder de decisão sobre determi-
nado projeto. Esse número não depende da taxa de juros de mercado vigen-
te no mercado de capitais (daí o nome taxa interna de retorno). A TIR é um 
número intrínseco ao projeto e não depende de nenhum parâmetro a não 
ser os fluxos de caixa esperados desse projeto.
A TIR é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa 
igual ao valor do presente das saídas de caixa do investimento. Isso quer 
dizer que a TIR é a taxa que “zera” o seu investimento. É uma taxa tal que, se 
utilizada, fará com que o lucro do seu projeto seja nulo ou VPL = 0.
Cálculo da TIR
Vamos utilizar um exemplo para descrever como a TIR é calculada. Supo-
nha que a empresa WYS necessita investir R$30.000.000,00 para obter fluxos 
futuros de R$11.000.000,00, R$12.100.000,00 e R$13.310.000 ao longo de 
três anos. Vejamos agora como seria calculada a TIR.
VP
i
= − +
+( )
+R$30.000.000,00 R$11.000.000,00 R$12.100.000,00
1 11 ++( )
+
+( )
≅
i i2 31
0
R$13.310.000,00
Visualizando as operações da empresa teríamos a seguinte equação. Para 
que seja calculada a TIR devemos considerar que VP seja igual a zero. Se VP 
for igual a zero, a única resposta seria 0,1. Concluímos que a taxa interna de 
retorno do projeto é de 10% ao ano.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
129
Se substituirmos i por 0,1 veremos que VP = – R$30.000.000,00 + 
R$10.000.000,00 + R$10.000.000,00 + R$10.000.000,00. O VP portanto será 
igual a zero.
Utilização da TIR
Fizemos o cálculo da TIR e encontrarmos 10%. Mas o que isso quer dizer? 
Quer dizer que, à taxa de 10%, esse projeto é economicamente indiferente, 
pois não trará lucro nem prejuízo. O uso da TIR deve servir para comparações 
com a taxa de juros do mercado.
O que aconteceria se a taxa de juros do mercado fosse de 6%? Subs-
tituindo 6% na equação acima acharíamos um VP de R$2.321.648,00 
( – R$30.000.000,00 + R$10.377.358,00 + R$10.768.957,00 + R$11.175.333,00).
Agora vamos supor que a taxa de juros do mercado seja de 15%. Subs-
tituindo 15% na equação acima acharíamos um VP de – R$2.533.903,00 
( – R$30.000.000,00 + R$9.565.217,00 + R$9.149.338,00 + R$8.751.541,00).
Através de nossos cálculos chegamos a seguinte conclusão:
 Se a taxa de retorno for maior que a taxa de juros do mercado, é rentá-
vel fazer o investimento.
 Se a taxa de retorno for menor que a taxa de juros do mercado, não é 
rentável fazer o investimento.
 Quando a taxa de retorno se equivale à taxa de juros do mercado, o 
investimento é indiferente, pois a rentabilidade é nula.
Quanto maior for a taxa de retorno, maior será o número de possibilida-
des de um investimento ser lucrativo. No exemplo, a taxa de juros é de 10%. 
Isso quer dizer que o projeto será lucrativo a qualquer taxa menor que 10%. 
Se a taxa de juros fosse de 20%, as possibilidades de lucros seriam duas vezes 
maior, pois o projeto seria lucrativo a qualquer taxa de juros desde que esta 
não ultrapassasse 20%.
Problemas com a TIR
Até o presente momento, a TIR parece ser um modelo de análise de inves-
timento eficaz, pois utiliza-se de um único número para análise.
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130
Valor presente líquido e taxa de desconto
Se fizermos uma análise mais apurada do cálculo da TIR, iremos perce-
ber uma enorme dificuldade matemática para seu cálculo, caso o número 
de períodos seja maior que dois. Uma outra curiosidade é que o denomina-
dor dos fluxos de caixa é representado por (1+i)t. Assim sendo, se tivermos 
uma quantidade de fluxosigual a 10, por exemplo, iremos nos deparar com 
um denominador representado por um polinômio de décimo grau que seria 
(1+i)10. Assim sendo, a TIR admite a hipótese matemática de se encontrar até 
10 valores para i, inclusive valores negativos. Interpretar o significado finan-
ceiro de número enorme de soluções para a TIR é um tanto trabalhoso, fato 
esse que faz com que a TIR seja um método difícil de se calcular e, dependen-
do das respostas encontradas, difícil de se avaliar.
Outra desvantagem é que, embora a taxa de juros do mercado não afete 
o cálculo da TIR, a TIR depende dos fluxos de caixa futuros. Como determi-
nar com exatidão os fluxos de caixa esperados? E se houver risco? Questões 
como essas fazem com que os investidores muitas vezes desmeresçam o 
método da TIR e procurem outros métodos de avaliação.
Conexão entre NPV e IRR
Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que 
as considerações sobre eles devem resultar de análises invertidas quando se 
tratar de investimentos ou financiamentos.
A razão dessa inversão é que alguém, ao realizar um investimento de 
capital espera ampliá-lo, ao passo que ao realizar um financiamento de um 
bem espera reduzir a aplicação.
Em um investimento, se NPV for positivo, a taxa real (IRR) é maior do que 
a taxa de mercado.
Se NPV for negativo, a taxa real (IRR) é menor do que a taxa de mercado e 
se NPV = 0, então, a taxa de mercado coincide com a taxa real (IRR).
Conclusão: em um investimento, se NPV é maior, então, a taxa (IRR) 
também é maior.
Em um financiamento, se NPV for positivo, a taxa real IRR é menor do que 
a taxa de mercado.
Se NPV for negativo, a taxa real (IRR) é maior do que a taxa de mercado e 
se NPV = 0, então, a taxa de mercado coincide com a taxa real (IRR).
Conclusão: em um financiamento, se NPV é maior, então a taxa (IRR) é menor.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
131
A taxa interna de retorno modificada
Existem diversos métodos para análise de investimento utilizados no or-
çamento de capital. Cada um possui seu ponto forte e suas aplicações, bem 
como suas possíveis falhas. Imagine agora a utilização do método da TIR.
O método da TIR tem uma vantagem substancial em relação aos outros 
métodos: ela consegue reunir em um único número o poder de decisão. 
Claro que o melhor projeto é aquele que tem a taxa de retorno mais elevada. 
Mas para uma visão inicial temos o seguinte:
 TIR > 0 (há retorno) – projeto economicamente satisfatório.
 TIR < 0 (há prejuízo) – projeto economicamente insatisfatório.
 TIR = 0 (não há retorno nem prejuízo) – projeto economicamente indi-
ferente.
Claro que a forma descrita acima é uma visão um tanto míope. Para uma 
visão mais apurada devemos considerar o custo do capital. A análise pode 
ser melhorada se pensarmos da seguinte forma:
 TIR > k (há retorno) – projeto economicamente satisfatório.
 TIR < k (há prejuízo) – projeto economicamente insatisfatório.
 TIR = k (não há retorno nem prejuízo) – projeto economicamente indi-
ferente.
 k = custo do capital.
Considerando ainda a taxa de juros de mercado, podemos chegar a mais 
uma conclusão. Como é o comportamento da TIR levando-se em conta o 
retorno proporcionado pela taxa de juros do mercado?
 TIR > i (há retorno) – projeto economicamente satisfatório.
 TIR < i (há prejuízo) – projeto economicamente insatisfatório.
 TIR = i (não há retorno nem prejuízo) – projeto economicamente indi-
ferente.
 i = taxa de juros do mercado.
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132
Valor presente líquido e taxa de desconto
As empresas, antes de se utilizarem da metodologia da TIR, devem antes 
considerar o custo do capital e a taxa de juros do mercado. Se a empresa 
possui um custo de capital de 10% e a taxa de juros do mercado é de 5%, 
significa que seu capital tem um custo alto se comparado ao mercado. Nesse 
caso, suas análises, utilizando-se do método da TIR, devem ser feitas com 
base no custo do capital. Na situação inversa, quando a taxa de juros é maior 
que o custo de capital da empresa, as análises devem ser feitas levando-se 
em conta a taxa de juros do mercado, pois se o projeto tiver um rendimento 
menor que a taxa de juros do mercado, seria mais proveitoso para a empresa 
aplicar seus recursos no mercado do que em seu projeto. A metodologia da 
TIR deve ser então aplicada à maior taxa, seja ela o custo do capital ou taxa 
de juros do mercado. Se a taxa de juros do mercado é menor que o custo de 
capital, a empresa deve usar a TIR levando-se em conta o custo do capital. 
Se a taxa de juros é maior que o custo do capital, a empresa deve usar a TIR 
levando-se em conta a taxa de juros do mercado.
Deixando um pouco o mercado de lado e utilizando a metodologia da TIR 
descrita no primeiro caso, vejamos como ela se aplica a uma pequena situa-
ção hipotética. Vamos supor o seguinte: você está em uma aula de finanças 
e o professor lhe faz as seguintes propostas.
 Proposta 1 – Dê-me agora um real e ao fim da aula eu lhe retornarei 
dois reais.
 Proposta 2 – Dê-me agora dez reais e ao fim da aula eu lhe retornarei 
quinze reais.
É bem certo que a maioria das empresas não se depara com situações tão 
simples assim. Mas observe agora a análise através do método da TIR.
Ambas as propostas possuem uma duração de um período (a aula). Para 
encontrar a TIR, basta dividir o valor do fim da aula pelo valor no início da aula 
e subtrair do resultado uma unidade. No primeiro caso há uma TIR de 100% 
enquanto no segundo caso há uma TIR de 50%. Seguindo o método da TIR, 
a primeira proposta é muito superior à segunda. Agora analise o retorno em 
termos brutos ou se preferir use o VPL. O que é melhor? Ganhar um real ou 
cinco reais? Essa é uma das falhas da TIR, pois ela considera um valor relativo 
e não um ganho absoluto. Assim sendo, o uso da TIR pode levar a decisões 
que contrastam com o VPL.
Voltando um pouco para o ambiente financeiro. Vamos novamente anali-
sar mais duas propostas de projeto.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
133
Investimento inicial Taxa interna de retorno Duração do projeto
R$11.000,00 2,6% a.m. 12 meses
R$12.000,00 3,0% a.m. 7 meses
Analisando a lógica da TIR, o projeto mais indicado seria o de R$12.000,00, 
pois ele possui um retorno mais elevado. Analisando agora os dois projetos 
em datas distintas teríamos:
Investimento inicial Valor ao fim de 7 meses Valor ao fim de 12 meses
R$11.000,00 R$11.886,85 R$14.967,90
R$12.000,00 R$14.758,48 R$14.758,48
Se obtivermos os valores futuros dos investimentos, veremos que o pro-
jeto de R$11.000,00, embora possua uma taxa interna de retorno menor, 
possui um tempo de capitalização maior, o que fez com que seu valor futuro 
fosse superior ao projeto de R$12.000,00. Se calculássemos o valor presente 
líquido de ambos os projetos ao fim de 12 meses e descontássemos a qual-
quer taxa, certamente encontraríamos um VPL maior se investíssemos no 
projeto um e não no dois. A TIR tem uma falha em relação ao VPL por não 
considerar o tempo do investimento.
Existe ainda uma última consideração a se fazer sobre a TIR. Como no 
exemplo acima obtivemos uma TIR de 2,6% a.m. e 3,0% a.m., o método da 
TIR pressupõe que o investimento inicial será reinvestido a essa taxa até o 
fim do projeto. Nesse caso, as taxas de juros encontradas estão compatíveis 
com diversos títulos e aplicações do mercado. Imagine agora se o valor da 
TIR fosse de 30% a.m. Será que o mercado financeiro iria proporcionar um 
projeto em que se conseguisse reinvestir o seu capital a uma taxa de 30% 
a.m. durantetodos os meses do projeto? É muito provável que não, pois 
trata-se de um retorno absurdo. Um dos grandes conflitos entre a TIR e o 
VPL consiste nessa taxa de reinvestimento. Foi justamente desse impasse 
que surgiu a ideia de se modificar a TIR para suprir essa falha. Embora o 
meio acadêmico prefira o uso do VPL, a TIR é uma medida mais comum 
entre os investidores, pois é mais cômodo avaliar um investimento em 
taxas de juros do que em milhões de reais.
Veja um pequeno fluxo de caixa convencional do qual iremos aprender a 
calcular a taxa Interna de retorno modificada (TIR). 
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134
Valor presente líquido e taxa de desconto
0
R$500,00 R$1.000,00 R$800,00
4321
R$2.000,00
R$600,00
O fluxo de caixa acima representa um típico investimento convencional. A 
TIR do projeto descrito é de 16% ao período.
A taxa interna de retorno modificada deverá levar em conta uma taxa de 
reinvestimento mais realista que a TIR. É um tanto difícil de se imaginar qual 
será a taxa de juros proporcionada pelo mercado, assim sendo, podemos ima-
ginar que a taxa de reinvestimento poderia ser igual ao custo do capital. Essa 
hipótese seria válida, pois dificilmente a empresa iria investir a uma taxa mais 
baixa que o custo de seu próprio capital. Supondo que o custo de capital da 
empresa seja de 10%, o fluxo de caixa ficaria estruturado da seguinte maneira:
R$1.000,00
R$500,00 R$800,00 R$600,00
R$2.000,00
0 1 2 3 4
10%10%
10%
VF
Observe que as entradas de caixa estão sendo reinvestidas ao custo do 
capital que no exemplo é de 10%. Essas entradas irão gerar um valor futuro 
no último período (o quarto ano). Para calculá-lo, basta uma pequena apli-
cação da fórmula do valor futuro e chegaríamos ao valor final que seria igual 
R$1.331,00 + R$605,00 + R$880,00 + R$600,00 = R$3.416,00. Assim sendo, um 
desembolso de R$2.000,00 nos faz conseguir um valor futuro de R$3.416,00. 
A que taxa isso é possível? Se você resolver essa equação, irá encontrar a cha-
mada taxa interna de retorno modificada. Usando novamente a fórmula do 
valor futuro teríamos que VF = VP . (1+ TIRM)n. Logo TIRM = 14,32%.
Considerações sobre a TIRM
 A TIRM resolve alguns dos conflitos entre a TIR convencional e o VPL 
como a taxa de reinvestimento.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
135
 A TIRM levará às mesmas decisões que o VPL, independente do tem-
po de duração do projeto, bastando colocar os fluxos de caixa igual a 
zero, no caso de não haverem fluxos até o final do projeto.
 A TIRM continua sendo um dado relativo. Sendo que depende do 
tamanho do investimento, a TIRM pode levar a decisões conflitantes 
com a metodologia do VPL. 
 Não está limitada a investimentos convencionais como a TIR comum.
O payback
O payback é uma das técnicas de análise de investimento mais comuns 
que existem. Consiste em umas das alternativas mais populares ao VPL. Sua 
principal vantagem em relação ao VPL consiste no fato de que a regra do 
payback leva em conta o tempo do investimento e consequentemente é 
uma metodologia mais apropriada para ambientes com risco elevado. Esse 
método visa calcular o número de períodos ou quanto tempo o investidor 
irá precisar para recuperar o investimento realizado. Um investimento signi-
fica uma saída imediata de dinheiro e. em contrapartida, espera-se receber 
fluxos de caixa que visem recuperar essa saída. O payback calcula quanto 
tempo isso irá demorar. A conclusão lógica é que a fórmula do payback é:
Payback = valor do investimento / valor do fluxo periódico esperado
Veremos mais sobre o payback no capítulo que trata do tema: orçamento 
de capital.
Ampliando seus conhecimentos
Relação entre TMA e TIR
(BACEN, 2008)
A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é uma taxa de juros que representa o 
mínimo que um investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento, 
ou o máximo que um tomador de dinheiro se propõe a pagar quando faz um 
financiamento.
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136
Valor presente líquido e taxa de desconto
Essa taxa é formada a partir de três componentes básicos:
 custo de oportunidade: remuneração obtida em alternativas que não 
as analisadas. Exemplo: caderneta de poupança, fundo de investimen-
to etc;
 risco do negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma 
nova ação. Quanto maior o risco, maior a remuneração esperada;
 liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posi-
ção no mercado para assumir outra.
A TMA é considerada pessoal e intransferível pois a propensão ao risco 
varia de pessoa para pessoa, ou ainda a TMA pode variar durante o tempo. 
Assim, não existe algoritmo ou fórmula matemática para calcular a TMA.
Ao se utilizar uma TMA como taxa de juros de referência, aplica-se métodos 
como o Valor Presente Líquido ou o Custo Anual Uniforme para se determinar 
a viabilidade financeira de um investimento ou empréstimo. Caso o resultado 
seja positivo, a taxa interna de retorno supera a TMA e o investimento é inte-
ressante. O contrário ocorre caso o resultado seja negativo.
Vamos observar alguns exemplos práticos resolvidos:
Exemplo 1
Considerar os fluxos de caixa indicados a seguir:
Ano Valor (R$)
0 (–) 11.500,00
1 (+) 2.350,00
2 (+) 1.390,00
3 (+) 3.350,00
4 (+) 4.275,00
5 (+) 5.350,00
Soma (+) 5.215,00
Determinar:
a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto 
de 0,00%, 10,00% ao ano e 12,00% ao ano;
b) determinar a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
137
Solução através do método convencional de fórmulas:
a) VPL = – R$11.500,00 + R$2.350,00 / (1 + 0)1 + R$1.390,00 / (1 + 0)2 + 
R$3.350,00 / (1 + 0)3 + R$4.275,00 / (1 + 0)4 + R$5.350,00 / (1 + 0)5
 VPL = + R$5.215,00, que é a própria soma dos fluxos de caixa, confor-
me a tabela.
 VPL = – R$11.500,00 + R$2.350,00 / (1 + 0,10)1 + R$1.390,00 / (1 + 0,10)2 
+ ... + R$5.350,00 / (1 + 0,10)5
 VPL = + R$543,84
 VPL = – R$11.500,00 + R$2.350,00 / (1 + 0,12)1 + R$1.390,00 / (1 + 0,12)2 
+ ... + R$5.350,00 / (1 + 0,12)5
 VPL = – R$156,65
b) Para podermos obter a TIR ou IRR pelo método convencional precisa-
mos ir por tentativa e erro, o que torna o cálculo bastante demorado 
e inviável do ponto de vista de gestão. Vamos imaginar que tentamos 
com várias taxas diferentes até chegar à taxa 11,537%:
 TIR = – R$11.500,00 + R$2.350,00 / (1 + 0,1153)1 + R$1.390,00 / (1 + 
0,1153)2 + ... + R$5.350,00 / (1 + 0,1153)5
 – R$11.500,00 + R$11.500,00 = zero
 Solução através da calculadora HP-12C:
 Inicialmente devemos registrar o fluxo de caixa na calculadora HP-12C 
com as seguintes operações:
f REG (limpeza dos registros)
11500 CHS g CF0 (parcela do ano 0) = (–) R$11.500,00
2350 g CFj (parcela do ano 1) = R$2.350,00
1390 g CFj (parcela do ano 2) = R$1.390,00
3350 g CFj (parcela do ano 3) = R$3.350,00
4275 g CFj (parcela do ano 4) = R$4.275,00
5350 g CFj (parcela do ano 5) = R$5.350,00
 Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo do 
valor presente líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas 
de desconto, logo:
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138
Valor presente líquido e taxa de desconto
 Continua a resolução:
a) Cálculo do valor presente líquido.
0 i (taxa de desconto de 0,00% a.a.)
f NPV (NPV = R$5.215,00 = soma das parcelas)
10 i (taxa de descontode 10,00% a.a.)
f NPV (NPV = (+) R$543,84)
12 i (taxa de desconto de 12,00% a.a.)
f NPV (NPV = (–) R$156,65)
 O fluxo de caixa continua registrado na HP-12C, sem qualquer altera-
ção, e podemos calcular sua taxa interna de retorno com a função IRR, 
logo:
b) f IRR (IRR = 11,537% ao ano).
Observações:
 Houve apenas uma inversão de sinal nos valores do fluxo de caixa, que 
são os coeficientes da equação do valor presente líquido. Essa inversão 
ocorreu na passagem do coeficiente CF0 = (–) R$11.500,00 para o coefi-
ciente CF1 de R$2.350,00. Temos, então, uma única raiz real positiva que 
corresponde a 11,537% ao ano.
 O valor presente líquido para 0,00% corresponde à soma algébrica de 
todas as parcelas do fluxo de caixa. Esse cálculo serve para verificar se os 
valores do fluxo de caixa estão registrados corretamente na calculadora.
Exemplo 2
Considerar o fluxo de caixa a seguir:
Mês Valor (R$)
0 (–) 30.000,00
1 0,00
2 (+) 10.350,00
3 0,00
4 (+) 10.350,00
5 0,00
6 (+) 10.350,00
Soma (+) 1.050,00
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Valor presente líquido e taxa de desconto
139
Determinar:
a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto 
de 0,00%, 0,50% ao mês e 1,00% ao mês;
b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao mês.
Solução:
Vamos registrar o fluxo de caixa na HP-12C:
f REG (limpeza dos registros)
30 0000 CHS g CF0 (parcela do mês 0) = (–) R$30.000,00
0 g CFj (parcela do mês 1) = R$0,00
10350 g CFj (parcela do mês 2) = R$10.350,00
0 g CFj (parcela do mês 3) = R$0,00
10350 g CFj (parcela do mês 4) = R$10.350,00
0 g CFj (parcela do mês 5) = R$0,00
10350 g CFj (parcela do mês 6) = R$10.350,00
Com o fluxo de caixa registrado, podemos fazer o cálculo do valor presente 
líquido com o auxílio da função NPV, para diversas taxas de desconto, logo:
a) Cálculo do valor presente líquido:
0 i (taxa de desconto de 0,00%)
f NPV (NPV = R$1.050,00 = soma das parcelas)
0,50 i (taxa de desconto de 0,50% a.m.)
f NPV (NPV = (+) R$437,70)
1,00 i (taxa de desconto de 1,00% a.m.)
f NPV (NPV = (–) R$157,62)
 A taxa interna de retorno pode ser calculada com a função IRR, logo:
b) Cálculo da taxa interna de retorno:
f IRR (IRR = 0,866% ao mês)
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140
Valor presente líquido e taxa de desconto
Observações:
 Houve apenas uma inversão de sinal nos valores do fluxo de caixa, o 
que assegura a existência de apenas uma raiz real positiva, que corres-
ponde a 0,866% ao mês.
 A calculadora HP-12C registra os valores de caixa na ordem sequencial 
de entrada de suas parcelas. Assim, os valores que são iguais a zero 
também devem ser registrados, para que seja mantida a sequência de 
entrada de dados.
Exemplo 3
Considerar o fluxo de caixa a seguir:
Ano Valor (R$)
0 (–) 40.000,00
1 (+) 3.500,00
2 (+) 7.500,00
3 (+) 7.500,00
4 (+) 7.500,00
5 (+) 15.000,00
6 (+) 15.000,00
Soma (+) 16.000,00
Determinar:
a) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto 
de 0,00%, 8,00% ao ano e 9,00% ao ano;
b) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa em % ao ano.
 Alterar o valor do investimento inicial de (–) R$40.000,00 para 
(–) R$ 38.000,00 e determinar:
c) o valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto 
de 0,00%, 9,00% ao ano e 10,00% ao ano;
d) a taxa interna de retorno desse fluxo de caixa em % ao ano.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
141
Solução:
Inicialmente, devemos registrar os fluxos de caixa:
f REG (limpeza dos registros)
40000 CHS g CF0 (parcela do ano 0) = (–) R$40.000,00
3500 g CFj (parcela do ano 1) = R$3.500,00
7500 g CFj (parcela do ano 2) = R$7.500,00
3 g Nj (repetir R$7.500,00 três vezes)
15000 g CFj (parcela do ano 5) = R$15.000,00
2 g Nj (repetir R$15.000,00 duas vezes)
a) Com o fluxo de caixa registrado faz-se o cálculo do valor presente 
líquido:
0 i (taxa de desconto de 0,00%)
f NPV (NPV = R$16.0000,00 = soma parcelas)
8 i (taxa de desconto de 8,00% ao ano)
f NPV (NPV = (+) R$798,54)
9 i (taxa de desconto de 9,00% ao ano)
f NPV (NPV = (–) R$678,84)
b) Taxa interna de retorno em % ao ano:
f IRR (IRR = 8,534% ao ano)
 O valor do investimento inicial é guardado na memória 0 (zero) e pode 
ser alterado para R$38.000,00 com as seguintes operações:
38000 CHS STO 0 [(–) R$38.000,00 registrado na memória 0]
 Podemos agora realizar os cálculos do VPL e da TIR.
 Cálculo do valor presente líquido:
0 i (taxa de desconto de 0,00%)
f NPV (NPV = R$18.000,00 = soma parcelas)
9 i (taxa de desconto de 9,00% ao ano)
f NPV (NPV = (+) R$1.321,16)
10 i (taxa de desconto de 10,00% ao ano)
f NPV (NPV = (–) R$81,44)
 Cálculo da taxa interna de retorno em % ao ano:
f IRR (IRR = 9,941% ao ano)
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142
Valor presente líquido e taxa de desconto
Exemplo 4
Um título é emitido pelo prazo de um ano, com um valor de R$100.000,00, 
e paga juros trimestralmente com uma taxa efetiva de 12% ao ano, no regime 
de juros compostos.
Considerando o ano com quatro trimestres de 90 dias, determinar:
a) o valor dos juros impresso nos cupons e que será pago no final de cada 
um dos quatro trimestres;
b) o percentual de deságio no preço de emissão de R$100.000,00, para 
que os investidores tenham uma rentabilidade efetiva de 13% ao ano, 
no caso de realizarem a compra na data da emissão e conservarem o 
título até seu vencimento, no final de um ano;
c) a rentabilidade efetiva, em % ao ano, dos investidores que comprarem 
esse título, na data da emissão, com um deságio de 1,5%, e o conser-
varem até seu vencimento, no final de um ano.
Solução:
a) Valor dos cupons trimestrais de juros:
 É necessário calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 
12% ao ano, com as operações indicadas a seguir:
 PV = – R$100.000,00 PMT = 0,00 FV = R$112.000,00 n = 4 i = ?
 Visor: 2,873734%
 que fornece a taxa de 2,873734% ao trimestre.
 Assim, o valor dos cupons trimestrais de juros é igual a:
 R$100.000,00 . 2,873734% = R$2.873,73
 O fluxo de caixa desse título no momento de sua emissão é:
Trimestre Valor (R$)
0 (–) 100.000,00
1 (+) 2.873,00
2 (+) 2.873,00
3 (+) 2.873,00
4 (+) 102.873,73
Soma (+) 11.492,73
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Valor presente líquido e taxa de desconto
143
b) Percentual de deságio para rentabilidade de 13% ao ano:
 É necessário calcular a taxa efetiva trimestral equivalente à taxa de 
13% ao ano:
 PV = – R$100.000,00 PMT = 0,00 FV = R$113.000,00 n = 4 i = ?
 Visor: 3,102598
 que fornece a taxa de 3,102598% ao trimestre.
 O registro do fluxo de caixa será:
f REG (limpeza dos registros)
0 g CF0 (parcela do trimestre 0 = R$0,00)
2873,73 g CFj (parcela do trimestre 1 = R$2.873,73)
3 g Nj (repetir R$2.873,73 três vezes)
102873,73 g CFj (parcela do trimestre 4 = R$102.873,73)
 Observar que o valor CFO foi colocado como sendo igual a zero para 
que o valor presente líquido do fluxo de caixa (NPV) represente o pre-
ço de venda do título para a taxa de desconto desejada.
 Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo 
do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 
3,102598 ao trimestre, conforme veremos a seguir:
3,102598 i (taxa de desconto de 3,102598% ao trimestre)
f NPV (NPV = R$99.151,36)
 Assim, para se obtera taxa de 13% ao ano, que é equivalente a 
3,102598% ao trimestre, é necessário que o preço de venda seja igual 
a R$99.151,36, e, portanto, o percentual de deságio sobre o preço de 
emissão de R$100.000,00 é obtido pela relação a seguir:
 % de deságio = (R$100.000,00 – R$99.151,36) / R$100.000,00 = 0,849%
c) Rentabilidade efetiva anual para deságio de 1,5%.
 Com o deságio de 1,5% o preço de venda do título é obtido pela 
relação:
 Preço de venda = R$100.000,00 – R$100.000,00 . 1,5% = R$98.500,00
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144
Valor presente líquido e taxa de desconto
 Como o fluxo de caixa do título já está registrado na HP-12C, temos 
apenas que introduzir o valor de R$98.500,00 para o preço de venda:
98500 CHS STO 0 [(–) R$98.500,00 registrado na memória 0]
 Podemos realizar o cálculo da taxa interna de retorno:
f IRR (IRR = 3,279976% ao trimestre)
 A taxa efetiva, portanto, será:
 PV = – R$100.000,00 PMT = 0,00 FV = R$113.779,62 n = 4 i = ?
 Visor: 3,2799%, que fornece a rentabilidade de 13,779% ao ano.
(Disponível em: <www.bacen.gov.br>. Acesso em: 20 jan. 2008.)
Atividades de aplicação
1. Um investidor comprou 100 ações por R$3.500,00. Recebeu os primei-
ros dividendos de R$2,00 por ação no final do ano três e continuou a 
receber a mesma quantia por mais três anos. Após esse período, pas-
sou a receber em dobro por mais três anos. Após os nove anos, vendeu 
as ações por R$7.500,00. Qual a taxa interna de retorno da operação?
2. Um veículo, com o valor à vista de R$20.600,00, é vendido a prazo, no 
dia 1.º de março, com três pagamentos mensais, sucessivos e iguais a 
R$7.000,00, que devem ser efetuados a partir do 30.º dia da data da 
venda. Cada prestação vence 30 dias após a prestação anterior.
 Determinar:
a) o fluxo de caixa do financiador;
b) a taxa de juros diária, que é equivalente à taxa de 9% ao ano, con-
siderando o ano com 365 dias;
c) a taxa de juros mensal, que é equivalente à taxa diária do item b, 
considerando o mês com 30 dias;
d) o valor presente das três prestações mensais de R$7.000,00, atra-
vés do desconto individual de cada prestação, utilizando a HP-12C, 
e a taxa diária obtida no item b;
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Valor presente líquido e taxa de desconto
145
e) o valor presente das três prestações mensais de R$7.000,00, atra-
vés da função PMT da calculadora HP-12C, e a taxa mensal, obtida 
no item c. Comparar esse resultado com o obtido no item d;
f) o valor presente das três prestações mensais de R$7.000,00, atra-
vés da função NPV da HP-12C, com a taxa mensal obtida no item c. 
Comparar esse resultado com os obtidos nos itens d e e;
g) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando 
a função i da HP-12C;
h) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao mês, usando 
a função IRR da HP-12C;
i) o valor presente das três prestações mensais de R$7.000,00, atra-
vés da função NPV da HP-12C, com taxa diária obtida no item b. 
Comparar esse resultado com os obtidos nos itens d, e e f;
j) a taxa interna de retorno do financiamento, em % ao dia, usando a 
função IRR da HP-12C;
k) a taxa interna de retorno, em % ao mês, que é equivalente à taxa 
diária obtida no item j, assumindo o mês com 30 dias. Comparar 
esse resultado com a taxa mensal obtida nos itens g e h;
l) a taxa interna de retorno, em % ao ano, que é equivalente à taxa 
diária obtida no item j, assumindo o ano com 365 dias.
Gabarito
1. f Fin
 3500 CHS g CF0
 g CFj
 0 g CFj
 2 g CFj
 4 g Nj
 4 g CFj
 3 g Nj
 7500 g CF1j
 f IRR
 Visor = 7,96
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Valor presente líquido e taxa de desconto
2. 
a) Fluxo de caixa do financiador:
Datas Dia Mês Valor (R$)
1.º março 0 0 (-) 20.600,00
31 de março 30 1 (+) 7.000,00
30 de abril 60 2 (+) 7.000,00
30 de maio 90 3 (+) 7.000,00
Soma (+) 400,00
 Observe que, como as prestações ocorrem a cada 30 dias, podemos 
também realizar os cálculos com os períodos medidos em meses, e 
usar a taxa mensal equivalente à taxa fornecida. Dessa forma, enqua-
dramos o problema nas condições adotadas pelas funções NPV e IRR. 
Com a taxa mensal podemos, ainda, considerar as três prestações de 
R$7.000,00 como um parâmetro PMT.
b) Taxa de juros diária equivalente a 9% a.a. assumindo o ano com 365 dias.
n i PV PMT FV
365 0,02361312 – R$100,00 0,00 R$109,00
 Que fornece a taxa de 0,02361312% ao dia.
c) Taxa de juros mensal equivalente à taxa diária do item b.
n i PV PMT FV
30 0,02361312 – R$100,00 0,00 R$100,7108244
 Que fornece a taxa de 0,7108244% ao mês.
d) Valor presente das prestações mensais de R$7.000,00. Desconto indi-
vidual das parcelas com taxa diária do item b.
 Os dados para o desconto individual das prestações mensais de 
R$7.000,00 usando a taxa de 0,02361312% ao dia, estão a seguir:
n i PV PMT FV
30 0,02361312 R$6.950,59 0,00 – R$7.000,00
60 0,02361312 R$6.901,54 0,00 – R$7.000,00
90 0,02361312 R$6.852,82 0,00 – R$7.000,00
Soma R$20.704,95
 Que fornece o valor presente de R$20.704,95.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
147
e) Valor presente das três prestações mensais de R$7.000,00 – desconto 
com função PMT e taxa mensal do item c;
n i PV PMT FV
3 0,7108244 R$20.704,95 – R$7.000,00 0,00
 Que fornece o valor presente de R$20.704,9.
f) Valor presente das prestações mensais de R$7.000,00 – desconto com 
função PMT e taxa mensal do item c;
f REG (limpeza dos registros)
0 g CF0 (parcela do mês 0 = R$0,00)
7000 g CFj (parcela do mês 1 = R$7.000,00)
3 g Nj (repetir R$7.000,00 três vezes)
 Com o fluxo de caixa registrado na HP-12C, podemos fazer o cálculo 
do valor presente líquido, com o auxílio da função NPV, para a taxa de 
0,7108244% ao mês:
0,7108244 i (taxa de desc. de 0,7108244 ao mês)
f NPV (NPV = R$20.704,95)
 Que fornece o valor presente de R$20.704,95, idêntico ao obtido nos 
itens d e e.
g) Taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função i da HP-12C.
n i PV PMT FV
3 0,96776693 – R$20.600,00 R$7.000,00 0,00
 Que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês.
h) Taxa interna de retorno, em % ao mês, usando a função IRR da HP-12C.
 f REG (limpeza dos registros)
 20600 CHS g CF0 (parcela do mês 0 = R$ (–) 20.600,00)
 7000 g CF1 (parcela do mês 1 = R$7.000,00)
 3 g Nj (repetir R$7.000,00 três vezes)
 Com o fluxo já registrado, podemos fazer o cálculo da taxa interna de 
retorno, em % ao mês, com o auxílio da função IRR.
 f IRR (IRR = 0,96776693% ao mês)
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148
Valor presente líquido e taxa de desconto
i) Valor presente das prestações mensais de R$7.000,00, através da fun-
ção NPV da calculadora HP-12C, com taxa diária obtida no item b.
 Para usarmos a função NPV com os períodos medidos em dias preci-
samos de um artifício simples, que é colocar zeros entre as parcelas do 
fluxo de caixa.
 f REG (limpeza dos registros)
 0 g CF0 (parcela do dia 0 = R$0,00)
 0 g CF1 (parcela do dia 1 = R$0,00)
 29 g Nj (repetir R$0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 30 = R$7.000,00)
 0 g CFj (parcela do dia 31 = R$0,00)
 29 g Nj (repetir R$0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 60 = R$7.000,00)
 0 g CFj (parcela do dia 61 – R$0,00)
 29 g Nj (repetir R$0,00 29 vezes)
 7000 g CFj (parcela do dia 90 – R$7.000,00)
 Com o fluxo registrado, pode-se fazer o cálculo do NPV para a taxa de 
0,02361312% ao dia.
 0,02361312i (taxa de desc. de 0,02361312 ao dia)
 f NPV (NPV = R$20.704,95)
j) Taxa interna de retorno, em % ao dia usando a função IRR.
 20600 CHS STO 0 [(–) R$20.600,00 para CF0 na memória 0)]
 f IRR (IRR = 0,032108956% ao dia)
k) Taxa interna de retorno, em % ao mês, equivalente à taxa diária do 
item j.
n i PV PMT FV
30 0,032108956 – R$100,00 0,00 R$100,96776693
 Que fornece a taxa interna de retorno de 0,96776693% ao mês, idênti-
ca às obtidas nos itens g e h.
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Valor presente líquido e taxa de desconto
149
l) Taxa interna de retorno, em % ao ano, equivalente à taxa diária obtida 
no item j, assumindo o ano com 365 dias.
n i PV PMT FV
365 0,032108956 – R$100,00 0,00 R$112,4320528
 Que fornece a taxa interna de retorno de 12,4320528% ao ano.
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Fluxos de caixa e inflação
Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. 
Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso!
Gallagher
Conceituando inflação
A inflação é um fenômeno muito importante, quando se avalia fluxos de 
caixa. Nós que vivemos no Brasil, sentimos de perto seu impacto em nosso 
dia a dia. Na década de 1980 e início da década de 1990, os índices mensais 
de inflação ultrapassaram a casa dos 40% ao mês.
Podemos dizer de forma simples que a inflação é um aumento geral, con-
tínuo e persistente dos preços e, assim, uma diminuição constante do poder 
aquisitivo dos trabalhadores.
O dicionário Michaelis define inflação como sendo “a emissão excessiva 
de papel-moeda, provocando a redução do valor real de uma moeda em 
relação a determinado padrão monetário estável ou ao ouro “.
A partir dos anos 1980, o fenômeno inflação também passou a ser cha-
mado de monetarismo. A inflação acaba obrigando uma quantidade cada 
vez maior de emissão de moeda para o pagamento de um serviço ou de 
um bem, mas isso ocorre sem que haja produção maior de riqueza. Portan-
to, quanto mais se aumenta a quantidade de moeda, maior também será a 
perda de poder aquisitivo dessa moeda.
A inflação acontece em função de vários fenômenos, entre eles: desequi-
líbrio da balança de pagamentos, taxas altas de juros, déficit público elevado 
exigindo emissão de moeda, aumento de preços e de salários, mas sem uma 
melhora na produção ou na qualidade, dificuldade de percepção do valor 
real do dinheiro, entre outros.
É muito difícil controlar a inflação depois que o processo inflacionário 
está presente, formando um ciclo vicioso que obriga o reajuste de salários e 
preços de forma contínua, e assim, agravando cada vez mais a situação.
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152
Fluxos de caixa e inflação
Índices de inflação
São chamados de índices de inflação os mecanismos e instrumentos 
usados para avaliar a variação dos preços dos produtos e serviços e quanto 
essas variações impactam no custo de vida de toda a população e no merca-
do. A maioria dos índices surgiram a partir da década de 1950 com a implan-
tação do primeiro salário mínimo nacional.
Vários índices são utilizados para medir os efeitos da inflação, sendo o 
Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), o mais importante. Ele é cal-
culado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), e a coleta 
de dados é realizada entre o dia 1 e 30 de cada mês. Onze cidades formam a 
base de dados da pesquisa: Rio de Janeiro, Belo Horizonte, São Paulo, Curi-
tiba, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Brasília, Belém, Goiânia e Recife. Os 
parâmetros que comporão o IPCA são obtidos a partir dos preços cobrados 
ao consumidor, obtidos nos estabelecimentos comerciais, a partir de paga-
mentos realizados à vista, valores de aluguéis, serviços públicos e prestado-
res de serviços, refletindo o custo de vida das famílias que recebem entre 1 e 
40 salários mínimos, aproximadamente.
Outros indicadores importantes são calculados no Brasil, pelo IBGE, pela 
Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo 
(Fipe) e também pela Fundação Getulio Vargas (FGV).
O IBGE também utiliza um outro índice chamado Índice Nacional de 
Preços ao Consumidor (INPC), que utiliza uma faixa de consumidores cujas 
famílias recebem até no máximo seis salários mínimos, sendo o peso do 
índice de preços dos alimentos maior que IPCA.
O principal índice calculado pela Fundação Getulio Vargas é o IGP-M. Esse 
índice tem duas variações importantes: o IGP10 e o IPGDI. No primeiro, a 
coleta de preços e dados é feita do dia 11 de um mês até o dia 10 do mês 
sequente. O segundo mede o período normal que vai do dia 1.o até o dia 30 
ou 31 do próprio mês. No cálculo dos dois, três parâmetros são utilizados: o 
Índice de Preços ao Consumidor (IPC), o Índice de Preços no Atacado (IPA) e 
o Índice Nacional de Custo da Construção Civil (INCC).
A Fundação Getulio Vargas utiliza ainda uma pesquisa adicional de 456 
itens chamada de Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF), na avaliação da 
inflação.
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Fluxos de caixa e inflação
153
A Fipe faz uma pesquisa para medir a inflação na cidade de São Paulo e 
considera sete grupos de análise, com pesos diferentes: habitação, alimenta-
ção, transportes, despesas pessoais, saúde, vestuário e educação, sendo os três 
primeiros os que apresentam os maiores pesos, correspondendo a, pratica-
mente, 70% da soma dos pesos.
O processo inflacionário
Avaliar o impacto da inflação na tomada de decisões de investimentos 
e financiamentos é bastante complexo. À medida que a inflação acelera, 
os valores de lucro, rentabilidade e custos ficam mais divergentes. Muitos 
mecanismos foram criados para diminuir o impacto da inflação, no entanto, 
apresentam imperfeições e, por isso, minimizam mas não eliminam a infla-
ção. Esses elementos são chamados de indexadores, e para saber utilizá-los 
faz-se necessário conhecer o significado dos valores nominais, das taxas de 
juros reais e aparentes, dos custos efetivos dos financiamentos, da rentabili-
dade efetiva e da taxa de crescimento. Esses conceitos serão o nosso objeto 
de estudo a partir de agora.
Em conjunturas inflacionárias, são muito usadas as expressões “a preços 
constantes” e “a preços correntes”. A primeira expressão corresponde a preços 
de uma única data, normalmente da data inicial do fluxo de caixa, enquanto 
a segunda corresponde a preços das respectivas datas em que ocorrem os 
valores de fluxo de caixa. Na omissão dessa informação, os valores na moeda 
R$ sempre correspondem a preços correntes.
A conversão de preços constantes para preços correntes é feita, como 
vimos, através de índices ou indexadores, que refletem a perda do poder 
aquisitivo da moeda provocada pela inflação.
Vamos a um exemplo prático:
O salário nominal recebido por um empregado da Empresa ABC no último 
dia de cada mês, nos últimos três meses foi:
Mês Valor
Outubro R$1.200,00
Novembro R$1.380,00
Dezembro R$1.650,60
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154
Fluxos de caixa e inflação
Calcular a taxa de crescimento real do salário do empregado da Empresa 
ABC considerando-se que o índice de preços escolhido teve as seguintes va-
riações: em novembro, 19% e em dezembro, 22%.
Solução:
O primeiro passo é deflacionarmos os salários, isto é, colocá-los em moeda 
de outubro. Normalmente, utiliza-se um deflator que assume o valor 1,0000 
nomês de origem do período observado, isto é, outubro.
Logo:
 Em outubro, o valor será 1,0000.
 Em novembro, o valor será 1,0000 . 1,19 = 1,1900.
 Em dezembro, teremos: 1,1900 . 1,22 = 1,4518.
Vamos construir nossa primeira tabela:
Fim do 
mês
Salários em 
valores nominais
Variação do 
indice de preços
Deflator preço 
 de outubro
Salário 
deflacionado
Outubro R$1.200,00 - 1,0000 R$1.200,00
Novembro R$1.380,00 19% 1,1900 R$1.159,66
Dezembro R$1.650,60 22% 1,4518 R$1.136,93
Chegamos aos valores, fazendo:
R$1.380,00/1,1900 = R$1.159,66
R$1.650,60/1,4518 = R$1.136,93
Agora que colocamos os salários dos três meses na moeda do mês de 
outubro ( moeda constante de outubro) já podemos calcular o valor do cres-
cimento real nos meses de novembro e dezembro.
Novembro
1 + Cr = R$1.159,66 / R$1.200,00 =
1 + Cr = 0,9663
Cr = 0,9663 – 1
Cr = – 0,0336 ou – 3,36%
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Fluxos de caixa e inflação
155
Dezembro
1 + Cr = R$1.136,93 / R$1.159,66 =
1 + Cr = 0,9803
Cr = 0,9803 – 1
Cr = – 0,0197 ou – 1,97%
Podemos concluir, então, que houve uma perda em novembro de 3,36% 
em termos reais de salário com relação ao mês de outubro e, no mês de de-
zembro, a perda real foi de 1,97% em relação ao mês de dezembro.
Portanto, para sabermos a perda no período considerado (de outubro a 
dezembro), a perda real de salário foi de:
1 + Cr = R$1.136,93 / R$1.200,00
1 + Cr = 0,94744
Cr = 0,94744 – 1
Cr = – 0,0525 ou – 5,25%
Logo, houve uma perda real de 5,25% na capacidade de compra do salá-
rio desse funcionário.
Taxa de juros aparente e taxa de juros real
No cálculo de fluxos de caixa e inflação, temos duas taxas que precisam 
ser correlacionadas:
 A taxa aparente denominada taxa nominal nas transações comerciais 
e financeiras, que é a taxa de vigora em todas as operações correntes. 
Vamos chamá-la apenas de taxa aparente, para diferenciar da taxa no-
minal estudada até aqui, que é a taxa com períodos referenciais de 
capitalização diferentes.
 A taxa real, que se difere da taxa aparente, pois considera a depuração 
da taxa aparente no efeito geral de aumento de preços.
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156
Fluxos de caixa e inflação
Essas taxas correlacionam-se fazendo:
(1 + i) = (1 + ir) . (1 + I)
onde:
i = taxa aparente
ir = taxa real
I = taxa de inflação
Portanto, a taxa real é o rendimento ou custo de uma operação após 
serem expurgados os efeitos inflacionários.
Vamos a exemplos de aplicação.
1. Um investimento de R$1.000,00 apresenta um retorno de R$350,00. 
Sendo a inflação do período de 30%, determine a taxa de rentabilida-
de aparente e real dessa operação.
 Solução:
 P = R$1.000,00 I = 30% Rendimento = 35%
 Taxa aparente i = ?
 Taxa real ir = ?
 Taxa aparente:
 i = Rendimento aparente / Aplicação = R$350,00 / R$1.000,00 = 35%
 Taxa real:
 (1 + i) = (1 + ir)/(1 + I)
 i
i
I
ir r=
+( )
+( ) − = − = − =
1
1
1
1 35
1 30
1 1 003846 1
,
,
, = 0,0384 ou 3,84%
 ou detalhadamente
 ir = Rendimento real / Aplicação atualizada =
(Montante – Aplicação atualizada) / Aplicação atualizada =
[(P + rendimento) – P(1 + I)] / P(1 + I) = 3,84%
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Fluxos de caixa e inflação
157
2. Um investidor adquire um commercial paper em uma época X e faz o 
resgate numa época Y. A taxa de juros aparente foi de 24%. Determinar 
a taxa de juros real, sendo a taxa de inflação nessa mesma época igual 
a 13%.
 Solução:
 (1 + i) = ( 1 + ir) . (1 + I)
 (1 + 0,24) = (1 + ir) . (1 + 0,13)
 1,24 = (1 + ir) . 1,13
 1,24 / 1,13 = (1 + ir)
 ir = 1,09734 – 1
 ir = 0,097 ou 9,7%
3. Maurício teve seu salário corrigido por um período de 12 meses em 
3,2%. Considerando que a inflação nesse mesmo período foi de 5,4%, 
qual a queda no poder de compra do salário de Maurício?
 Solução:
 Vemos que a taxa que faz a correção do salário de Maurício é a taxa 
aparente que chamamos de ganho nominal. Imaginando-se que Mau-
rício tenha um salário de R$2.000,00, com a correção passará a ser de 
R$2.064,00. Mas se o seu salário tivesse sido corrigido pela inflação es-
taria recebendo o equivalente a R$2.108,00.
 Logo, sua perda real foi de R$2.108,00 – R$2.064,00 = R$44,00
 Vamos calcular essa perda real:
 Perda real → ( taxa real = taxa aparente / taxa de inflação) . 100
 Logo: (R$44,00 / R$2.108,00) . 100 = 2,0872%
 Portanto, essa foi a perda salarial real de Maurício.
4. O valor de um aluguel era de R$400,00 no dia 1.º de julho de 2007 e foi 
reajustado para R$410,00 no dia 1.º de agosto de 2007. Considerando 
que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, qual a taxa real de 
juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel?
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158
Fluxos de caixa e inflação
 Solução:
 Bem, sabemos que a taxa real é aquela taxa obtida pelo expurgo da in-
flação do período, isto é, devemos considerar o efeito da inflação para 
determinar uma taxa real de ganho ou de perda. Logo, se a inflação de 
um período foi de 10% e a rentabilidade de uma aplicação financeira 
também foi de 10%, a taxa real de rendimento terá sido nula, visto que a 
inflação corroeu o rendimento, ou melhor, o rendimento se traduziu em 
atualização do poder aquisitivo.
 Agora vamos à resolução da questão.
 O valor de um aluguel passou de R$400,00 para R$410,00 num perío-
do em que a inflação foi de 1%. Quer se saber o percentual de aumen-
to real desse aluguel.
 Observe que para não haver perdas com a inflação o aluguel teria que 
ser reajustado de R$400,00 para R$404,00 (R$400,00 mais inflação de 
1%). Assim, na análise do ganho real devemos considerar o valor de 
R$404,00 como sendo o elemento de comparação.
 R$404,00 → 100%
 R$410,00 → x%
 x% . R$404,00 = R$410,00 . 100%
 x% = R$410,00 . 100% / R$404,00
 x% = 101,48%
 O valor de R$410,00 é maior do que o valor de R$404,00 em apenas 
1,48%, que é o aumento real do aluguel no período.
5. O índice de preços ao consumidor de famílias de renda baixa sofreu 
um aumento de 11,61% em um semestre e 12% no semestre seguinte. 
Calcule a perda do poder aquisitivo da renda dessas famílias no ano 
em questão.
 Solução:
 Os índices de inflação são sempre calculados com capitalização do 
índice anterior e, sobre o valor assim encontrado, aplica-se o índice do 
próximo período. Assim, a perda do poder aquisitivo coincide com o 
percentual de inflação acumulado.
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Fluxos de caixa e inflação
159
Considerando que o índice inicial tenha sido de 100 e se somarmos a ele 
o valor de 11,61%, teremos o índice de 111,61. Sobre esse valor deve incidir 
a inflação de 12%, o que nos dará o valor de R$125,00. Isto é, a inflação cres-
ceu em 25% no período. Agora, voltando ao poder aquisitivo podemos fazer 
a seguinte interpretação: se antes as famílias compravam 100 unidades de 
determinado produto, agora, com a indexação do preço pela inflação, elas 
podem comprar apenas 80 unidades desse mesmo produto, isto é, compra-
rão 20% menos. Então, a perda do poder aquisitivo da renda dessas famílias 
no ano em questão foi de 20%.
Rentabilidade real e rentabilidade aparente
Para facilitar o entendimento desses conceitos, vamos partir para uma 
situação prática: uma pessoa aplicou R$1.000.000,00 na aquisição de um 
composto de ações e vendeu depois de um ano, esse mesmo composto por 
R$2.500.000,00. Desse modo,em termos de unidades monetárias aplicadas 
e recebidas, e ainda considerando que não houve distribuição de dividendos 
ao longo daquele ano, temos condições de estruturar um fluxo de caixa a 
preços correntes:
R$2.500.000,00
1 ano
R$1.000.000,00
Como neste momento estamos ignorando o efeito da inflação que tenha 
ocorrido no ano em análise, podemos dizer que a taxa de rentabilidade ob-
tida nessa aplicação, chamada de taxa aparente será:
Taxa aparente = (R$2.500.000 / R$1.000.000 ) – 1 = 150% ao ano.
Quando observamos a taxa aparente, nossa primeira avaliação parece 
mostrar uma aplicação interessante e de ótimo resultado.
Mas, imaginando-se que certo índice de preços ao consumidor mostre 
que a cesta básica no momento da aplicação fosse de R$11.527,34 e um ano 
depois tivesse ido para R$53.025,76, se observarmos o avanço da inflação no 
período teremos:
Inflação = (R$53.025,76 / R$11.527,34) – 1 = 360% ao ano.
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160
Fluxos de caixa e inflação
Como vimos, o aumento do valor da cesta básica, mostrado por um índice 
de preços foi muito maior do que a valorização das ações no mercado. E aí, 
fica evidente que o investidor não fez um bom negócio. Logo, sua rentabili-
dade foi negativa.
Sendo R a rentabilidade real, em um primeiro momento podemos ima-
ginar que seu valor será igual à diferença entre a taxa de inflação e a taxa 
aparente. Mas, essa primeira conclusão não está correta. Pois nesse caso, 
chegaríamos a um valor de perda absurdo de – 210% ao ano, ou seja, houve 
muito mais que perda total.
Para se estabelecer o cálculo da rentabilidade real, é importante racionar 
não em valores monetários aplicados e recebidos, mas sim avaliar o poder 
de compra.
Bem, em nosso caso, o valor aplicado em ações possibilitaria comprar-
mos na data do investimento o equivalente a R$1.000.000,00 / R$11.527,34 = 
86 750 cestas básicas, aproximadamente. Na data da venda, poderíamos 
comprar: R$2.500.000,00 / R$53.025,76 = 47 146 cestas iguais. Portanto, defi-
nindo a taxa real de rentabilidade, temos:
R = (47 146 / 86 750) – 1 = – 0,4565 ou – 45,65% ao ano.
Modelos prefixados e pós-fixados
A diferença fundamental entre esses modelos se concentra na forma de 
compor a taxa: enquanto o crédito prefixado opera com juros estáveis, que 
considera a inflação, o ganho da loja ou financeira e mais uma margem de 
garantia para qualquer eventualidade, o pós-fixado conta com taxas meno-
res, que equivalem apenas aos juros (ou lucro) cobrados por quem concedeu 
o crédito. Os outros dois componentes (risco da economia e inflação) ficam 
por conta do devedor, que, além do juro, arca com a correção por um indica-
dor de inflação, como TR ou variação cambial.
Portanto, aí está centrado o risco do negócio: mesmo com a estabilidade 
econômica, tanto o dólar quanto a inflação podem apresentar variações, o que 
pode transformar os financiamentos pós-fixados em operações perigosas.
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Fluxos de caixa e inflação
161
O consumidor pode sair ganhando na parte fixa da taxa de juros, mas, em 
caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, pode acabar pagan-
do mais pelo crédito pós-fixado.
Quando um agente econômico fechar um negócio com juros pós-fixados, 
ele terá que estar seguro quanto à estabilidade do indexador escolhido para 
o financiamento porque, se este se elevar acima do normal, apesar da taxa 
pré-fixada ser maior (juros fixos) a variação da parte variável pode suplantá- 
-la. Nessa situação, é importante considerar o prazo do negócio (quanto mais 
longo mais perigoso) e a situação do indexador na economia.
Segundo os especialistas relacionados ao setor, a melhor maneira é não 
comprar a crédito, considerando que as taxas cobradas no financiamento 
são sempre superiores às das aplicações. Todos reconhecem que as compras 
a crédito deveriam ser limitadas em apenas dois casos:
 quando é necessário adquirir um produto essencial, mas não há 
recursos; 
 nos casos em que o bem financiado vai propiciar uma renda capaz de 
compensar os juros.
 No mais, deve-se observar os seguintes pontos:
 se não for possível contestar a documentação exigida pela finan-
ceira, é interessante pesquisar o preço à vista e a taxa de juros;
 verifique, além dos juros, o custo da taxa de cadastro e impostos, que 
podem pesar bastante no preço final;
 em diversos segmentos, quanto maior o número de prestações, 
mais elevada será a taxa de juros, porque a empresa correrá risco 
de inadimplência por um período maior;
 quanto maior o risco, maior deverá ser o juro a ser pago a quem 
se arriscou, ou seja, as taxas e os juros serão sempre proporcionais 
ao perfil do cliente que a loja ou financeira está atraindo – nessa 
situação, as firmas que operam com faixas de clientes de maior po-
tencial de inadimplência e exigem poucas garantias são as que co-
bram maiores taxas de juros.
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Fluxos de caixa e inflação
Quais são os títulos prefixados e pós-fixados?
Título público prefixado
 LTN – Letras do Tesouro Nacional
 São títulos prefixados que possuem um único fluxo de pagamento no 
valor de R$1.000,00 no vencimento. São contados sempre 252 dias 
úteis como prazo.
Títulos públicos pós-fixados
 LFT – Letra Financeira do Tesouro
 Papéis corrigidos diariamente pela taxa Selic e com valor nominal de 
R$1.000,00 na data de emissão. O resgate do capital aplicado mais os 
juros se dá na data de vencimento, e não há pagamentos intermedi-
ários. A contagem de dias também está baseada em 252 dias úteis. A 
taxa Selic é divulgada pelo Comitê de Política Monetária (Copom). Ela 
tem vital importância na economia, pois baliza as taxas de juros cobra-
das pelo mercado. A taxa overnight do Sistema Especial de Liquidação 
e Custódia, Selic, expressa na forma anual, é a taxa média ponderada 
pelo volume das operações de financiamento por um dia, lastreadas 
em títulos públicos federais e realizadas no Selic, na forma de opera-
ções compromissadas. É a taxa básica utilizada como referência pela 
política monetária. No espaço “ampliando seus conhecimentos” você 
terá mais informações muito interessantes sobre a taxa Selic.
 NTN-D – Nota do Tesouro Nacional Série D
 Esses papéis estão indexados ao dólar americano com pagamentos se-
mestrais de juros e resgate do valor principal na data de vencimento. 
O valor nominal é de R$1.000,00 na emissão e atualizada diariamente. 
É utilizada a contagem de 360 dias.
 NTN-C – Nota do Tesouro Nacional Série C
 Esses papéis estão indexados ao IGPM com pagamentos semestrais de 
juros e resgate do principal na data de vencimento. O valor nominal 
do papel também é de R$1.000,00 e é atualizado mensalmente pelo 
IGPM. Contam-se 252 dias úteis.
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Fluxos de caixa e inflação
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 NTN-B – Nota do Tesouro Nacional Série B
 Esses papéis estão indexados ao IPCA com pagamentos ao semestre 
de juros e resgate do valor aplicado na data de vencimento. Também 
têm valor nominal de R$1.000,00 com atualização mensal e contam-se 
252 dias úteis.
Títulos privados
Esses títulos são emitidos por instituições financeiras e também por em-
presas privadas que precisam captar recursos e assim emitem títulos de 
dívida no mercado financeiro, comprometendo-se a comprá-los de volta no 
futuro, pagando uma remuneração aos seus compradores. Os títulos mais 
comuns colocados no mercado pelas empresas são os commercial papers, 
as debêntures e os CDBs, que normalmente rendem mais que outros títu-
los bancários, mas os prazose riscos são maiores. Esses títulos normalmente 
estão direcionados a grandes compradores, como os fundos de investimen-
tos e as instituições financeiras de grande porte.
Os commercial papers são notas promissórias emitidas em curto prazo 
pelas empresas, no período máximo de um ano. A remuneração é estabe-
lecida utilizando-se um indexador estabelecido em contrato. As empresas 
que emitem esses títulos têm liberdade de estabelecer suas condições. Esses 
títulos podem oferecer juros prefixados ou pós-fixados.
Debêntures são títulos privados também emitidos por empresas. Normal-
mente isso ocorre quando elas precisam de recursos do mercado. Mas so-
mente empresas abertas, chamadas sociedades por ações, podem oferecer 
esses papéis. Todos os que compram esses papéis passam a ser credores da 
empresa e recebem juros periódicos pelo valor de aquisição. Logo, quem 
comprou esses papéis de certa forma está investindo nessa empresa. As 
condições são estabelecidas pela escritura de emissão de debêntures, com 
prazos, condições de remuneração e garantias predeterminadas.
A debênture emitida passa a representar uma fração do total da dívida da 
empresa no ato de emissão. Logo, os investidores, que também são chama-
dos de debenturistas, são representados normalmente por um agente fidu-
ciário que irá defender seus interesses junto a empresa emissora. Um agente 
fiduciário é o responsável pelo relacionamento entre os investidores que 
compraram debêntures e as empresas que fizeram a emissão desses papéis 
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Fluxos de caixa e inflação
e deve zelar para que ambos estejam satisfeitos nessa aplicação. É papel do 
agente, também, escriturar oficialmente esses papéis junto à Comissão de 
Valores Mobiliários (CVM).
É a CVM e demais órgãos de fiscalização do mercado financeiro que 
fiscalizam esse processo.
Quando ocorre o pagamento dos juros das debêntures, há a incidência 
de 20% de imposto de renda.
Os Certificados de Depósitos Bancários (CDB) são títulos que represen-
tam depósitos a prazo e são emitidos por bancos de investimentos e bancos 
comerciais. Os rendimentos desses papéis podem ser prefixados ou pós-fixa-
dos e estão relacionados sempre à variação de um indexador ou a um índice 
de preços oficial, acrescido de uma taxa de juros prefixada e flutuante. É cha-
mada de flutuante porque está atrelada a uma porcentagem de variação do 
Certificado de Depósito Interbancário (CDI) ou taxa Selic.
Nesse tipo de investimento, incidia a CPMF (2007) toda vez que era neces-
sária uma renovação do título, e isso levava muitos investidores a optarem 
por outros tipos de investimentos.
O risco de adquirir esses papéis é do banco. Se o banco vier a falir, o 
investidor do título perde o dinheiro aplicado, se esse valor for superior a 
R$20.000,00 (2008).
Uma desvantagem de se aplicar no CDB, principalmente para os peque-
nos investidores, é que os bancos costumam remunerar com taxas bem me-
nores as aplicações de baixo valor. Incidem sobre os investimentos em CDB, 
o imposto de renda de 20%, calculado sobre o rendimento bruto e o IOF. A 
partir do 30.º dia de aplicação, o IOF passa a ser isento.
Ampliando seus conhecimentos
A taxa Selic é publicada pelo Comitê de Política Monetária (Copom). Ela é 
muito importante e fundamental na economia, pois as taxas de juros cobra-
das pelo mercado são referenciadas por ela.
 Também chamada de taxa overnight do Sistema Especial de Liquidação 
e Custódia (Selic), ela é sempre expressa na forma anual e representa a taxa 
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Fluxos de caixa e inflação
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média ponderada pelo volume das operações de financiamento por um dia. É 
a taxa básica utilizada como referência pela política monetária.
O método usado no cálculo da taxa overnight Over/Selic pode ser encon-
trado nas normas publicadas pelo Banco Central, disponíveis na internet no 
endereço: <www.bcb.gov.br>.
 Essas séries são divulgadas em base mensal (a taxa overnight acumulada 
e a taxa mensal) para os dados do ano atual e anterior, e em base anual para 
os três anos anteriores. As seguintes taxas são também divulgadas: CDI (Cer-
tificados de Depósito Interbancário), TR (Taxa Referencial) e TBF (Taxa Básica 
Financeira).
 Todos esses dados estão baseados nos títulos do governo federal de curto, 
médio e longo prazo, emitidos pelo Tesouro ou pelo Banco Central, negocia-
dos e registrados no Selic.
De forma simples, podemos dizer que esta taxa é utilizada para as ope-
rações financeiras de curto e curtíssimo prazo entre os bancos, que, quando 
precisam tomar recursos emprestados de outros bancos em um dia, oferecem 
títulos públicos do governo com lastro, isto é, garantia. E assim visam redu-
zir os riscos e a remuneração dessa transação. Esta taxa é calculada na forma 
anual, considerando-se 252 dias úteis.
Logo, como esse risco acaba sendo basicamente do governo, pois são seus 
títulos que servem de lastro para a operação e o prazo é sempre o mais curto 
possível, às vezes, apenas de um dia, esta taxa acaba sendo referência para 
todas as demais taxas de juros de economia.
A taxa Selic não é fixa e varia praticamente todos os dias, mas sempre 
dentro de um intervalo bastante pequeno, pois, na maioria das vezes, tende 
sempre a se aproximar da meta da Selic, que é determinada oito vezes por 
ano. Sempre que você ouvir que o Copom vai se reunir e isso normalmente 
acontece 8 vezes por ano, essa taxa estará em discussão.
Exemplos de aplicação de taxa over/Selic
1. Suponha que a taxa over em determinado momento esteja defini-
da em 7,4% a.m. No período de referência da taxa, estão previstos 
22 dias úteis. Qual a taxa efetiva do período?
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Fluxos de caixa e inflação
 Solução:
 A taxa over ou Selic é normalmente obtida por juros simples (taxa 
nominal), logo:
 i = 7,4% / 30 = 0,246% ao dia (taxa nominal)
 Período de incidência: 22 dias úteis, logo:
 i = (1 + 0,00246)22 – 1
 i = 0,0556 ou 5,56% ao mês.
 Logo, esta é a taxa efetiva para 22 dias úteis.
 Sabemos a taxa efetiva, agora, para comprovar nosso cálculo, cal-
culamos a taxa over/Selic.
 i = 5,56% ao mês
 dias úteis = 22 dias úteis
 i = (1,0556) 1/22 – 1
 i = 0,002462 ou 0,2462% ao dia útil
 Taxa over/Selic = 0,2462 . 30 = 7,4% ao mês
2. Uma taxa over está definida em 4,8% a.m. Para um mês de 23 dias 
úteis, determinar a taxa efetiva.
 Solução:
 i efetiva( ) = +


1
0 048
30
23,
– 1 = 3,75% a.m.
3. Converter a taxa efetiva de 4,1% a.m. em taxa over, sabendo que 
no período existem 21 dias úteis.
 Solução:
 over . 30 a.m.= +( ) −  =1 0 041 1 5 75
1 21, , %/
(Disponível em: <www.intermercados.com.br/Selic>.)
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Fluxos de caixa e inflação
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Atividades de aplicação
1. Consideremos que, em um determinado período, o produto da relação 
entre a taxa real de um investimento pela taxa de inflação é igual a 0,0002. 
Se, nesse período, a taxa aparente desse investimento é igual a 3,32%, en-
tão, qual é a soma da taxa real do investimento com a taxa de inflação?
2. Qual deverá ser a taxa aparente que corresponde a uma taxa real de 
0,6% ao mês, com uma inflação de 15% no período?
3. Uma aplicação pelo prazo de 35 dias corridos, que incluem 26 dias 
úteis, remunerou o capital aplicado a uma taxa over de 4,3% a.m. De-
terminar a taxa efetiva mensal de juros.
4. Determinar a taxa efetiva mensal de juros de uma aplicação com prazo 
de 76 dias, dos quais 63 são dias úteis comerciais normais que remu-
nerouum investimento em commercial papers de 5,9% ao mês.
5. Considerando um investimento no sistema financeiro em um período 
economicamente instável, em que a taxa real de juros ao mês é de 
1,4% e a taxa de inflação nesse mesmo período é de 17%, determinar 
a taxa aparente que corresponde a essa taxa real.
6. Diferencie conceitualmente o que são preços em moeda constante e 
preços em moeda corrente.
Gabarito
1. Como a taxa aparente é 3,32%, então:
 (1 + ir) . (1 + I) = (1 + i)
 (1 + ir) . (1 + I) = (1,0332)
 Sabemos, ainda, que ir . I = 0,0002.
 Para satisfazer esta segunda expressão podemos utilizar as taxas de 
0,8% e 2,5%, valores que também satisfazem a primeira expressão.
 Assim, a soma da taxa de inflação com a taxa real dará um valor de 3,3%.
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168
Fluxos de caixa e inflação
2. (1 + i) = (1 + ir) . (1 + I)
 (1 + i) = (1 + 0,006) . (1 + 0,15)
 (1 + i) = 1,006 . 1,15
 i = 1,1569 – 1
 i = 0,1569 ou 15,69% 
3. over = =4 3
30
0 1433
, %
, % ao dia
 Os juros são capitalizados somente nos dias úteis. Os 25 dias úteis con-
siderados na operação equivalem a: 25/35 = 0,714286 dos 35 dias da 
aplicação financeira, ou a: 0,714286 . 30 = 21,42858 dias do mês. Logo:
 i(efetiva) = (1+0,001433)21,42854 – 1 = 3,12% a.m.
4. Obtendo a taxa over temos: 5,9% / 30 = 0,196667% ao dia
 Logo: 63 dias / 76 dias = 0,828947 dias proporcionais de aplicação.
 Portanto: 0,828947 . 30 dias = 24,868421
 Então, a taxa efetiva será:
 i = (1 + 0,00196667)24,868421
 taxa efetiva igual a 1,05% ao mês
5. Taxa real: (1 + ir) = (1 + 0,014)
 Taxa inflacionária = (1 + I) = (1 + 0,17)
 Taxa i (aparente) = (1 + 0,014) . (1 + 0,17)
 Logo: (1 + i) = 1,186380
 Taxa aparente i = 1,186380 – 1 = 0,186 ou 18,6% ao mês.
6. Resposta mínima: uma moeda a preços constantes não sofre variação 
ao longo do tempo e, na prática, isso é quase impossível, pois existe o 
fenômeno da inflação. E a inflação em pequenos patamares pode ser 
muito boa para a economia de um país. A preços correntes, estarão 
sendo considerados os processos inflacionários.
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171
Administração financeira
Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, 
e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que 
cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.
Hermann Hankel
As atribuições do administrador financeiro estão sempre relacionadas à 
área de altos executivos da empresa, como o diretor financeiro ou vice-presi-
dente de finanças, que em inglês, significa Chief Financial Officer (CFO).
Cabe ao diretor financeiro a coordenação de todas as atividades ligadas à 
tesouraria e à controladoria.
 A tesouraria responde pela administração do caixa e dos créditos, pelo 
planejamento financeiro e por todas as despesas de capital.
 A controladoria é a responsável pela contabilidade de custos, pela 
contabilidade financeira, pelos impostos e pelo gerenciamento dos 
sistemas de informações.
Administração de finanças empresariais
 Área 1 – Orçamento de capital e investimentos
 A administração financeira procura identificar oportunidades de ne-
gócios e investimentos que tenham valor superior ao seu custo de 
aquisição. Geralmente são investimentos de longo prazo feitos pela 
empresa e investimentos de oportunidade. A administração financeira 
cuida basicamente do planejamento e gerência desses investimentos. 
O administrador financeiro precisa ficar atento com o montante do 
fluxo de caixa que espera receber, como irá recebê-lo e, ainda, com a 
probabilidade de recebê-lo. A avaliação de todos esses aspectos, como 
tamanho, tempo e risco dos fluxos de caixa é o fundamento principal 
do orçamento de capital.
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172
Administração financeira
 Área 2 – Estrutura do capital
 É uma combinação entre o capital de terceiros a longo prazo e o capi-
tal próprio com que a empresa financia suas operações. Logo, o mon-
tante que a empresa deve tomar emprestado e a fonte mais barata 
de financiamento são as duas maiores prioridades da administração 
financeira nessa área. Ela deve avaliar com cuidado onde levantará os 
recursos e escolher o tipo de empréstimo e a fonte para sua obtenção.
 Área 3 – Administração do capital de giro
 Os ativos de curto prazo, como estoques, os passivos de curto prazo, 
como pagamentos a fornecedores, são atividades cotidianas que as-
seguram o funcionamento normal da empresa. Conhecer os volumes 
de estoques e caixa, avaliar a possibilidade de vendas à crédito para os 
clientes e como obter recursos financeiros a curto prazo são atribui-
ções fundamentais da administração de capital de giro.
Organização das empresas – modalidades
As empresas podem se organizar de várias formas. Mas as três formas 
mais comuns de organização veremos a seguir.
Empresa individual
A empresa pertence a uma única pessoa. É a menos regulamentada de 
todas as modalidades, por isso, a que mais se prolifera. Muitos desses negó-
cios, no futuro, transformam-se em grandes sociedades por ações. Outras, 
simplemesmente desaparecem com a morte de seus proprietários.
O proprietário recebe integralmente todo o lucro gerado pela empresa, mas 
também tem a responsabilidade ilimitada sobre suas dívidas. Logo, os credo-
res podem recorrer aos seus bens pessoais para pagamento de seus direitos.
Como vimos, a vida de uma empresa individual está correlacionada à 
vida de seu proprietário e o montante do patrimônio líquido que pode ser 
obtido está limitado à riqueza pessoal do proprietário. Assim, a empresa 
terá maior dificuldade para explorar e expandir em novas oportunidades 
pela falta de capital.
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Administração financeira
173
Sociedade por cotas
Também chamadas de partnerships. Todos os sócios dividem os lucros e 
prejuízos do negócio. Logo, existem dois ou mais sócios. A responsabilida-
de é ilimitada para todas as dívidas contraídas pela empresa. Nesse tipo de 
sociedade, o contrato estabelece a forma como os lucros ou prejuízos serão 
divididos, não necessariamente em partes iguais.
Em uma sociedade limitada, um ou mais sócios serão os responsáveis pela 
gestão da empresa e suas responsabilidades serão ilimitadas, mas também 
haverá um ou outros sócios com responsabilidade limitada, isto é, sem par-
ticipação ativa no negócio.
Logo, as principais desvantagens da sociedade por cotas está na vida li-
mitada da empresa e na diculdade de transferência de propriedade. Além 
disso, a capacidade de crescimento fica prejudicada pela falta de levanta-
mento de recursos para novos investimentos e expansão.
Sociedade por ações
Também chamada corporation. É uma entidade legal distinta, formada 
por um ou mais indivíduos ou outras entidades. Para criá-la é necessário 
preparar um documento de incorporação e um estatuto. Os acionistas e ad-
ministradores normalmente são grupos distintos. É o conselho de adminis-
tração, eleito pelos acionistas que elege e seleciona os administradores. Os 
administradores não precisam necessariamente ser sócios da empresa. Essa 
separação entre propriedade e administração apresenta uma série de van-
tagens: a sociedade pode ser transferida rapidamente e a vida da empresa 
não está limitada a vida dos sócios. Portanto, ela pode tomar dinheiroem-
prestado em seu nome e assim os acionistas têm responsabilidade limitada 
pelas dívidas da empresa. O máximo que irão perder é o capital que foi in-
vestido. Podemos dizer, então, que em uma corporação, o dono da empresa 
são os acionistas; os gestores e proprietários são pessoas distintas, a respon-
sabilidade dos sócios é limitada e o proprietário e a empresa são tributados 
separadamente.
Com relação aos objetivos, os administradores financeiros agem de acor-
do com os interesses dos acionistas. Boas decisões resultam em aumento do 
valor das ações. Logo, o objetivo do administrador financeiro é maximizar 
o valor corrente de cada ação existente. Em grandes sociedades por ações, 
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174
Administração financeira
a propriedade pode estar repartida por grande número de acionistas. Essa 
dispersão significa na prática, que os administradores na maioria das vezes, 
controlarão a empresa. A relação entre acionistas e administradores é deno-
minada relação de representação (agency). Tal relação existe toda vez que 
um principal contrata outra pessoa (agente) para cuidar de seus interesses. 
Há ainda a possibilidade dessa relação gerar conflitos.
Vamos a uma situação prática: uma sociedade por ações está consideran-
do fazer um novo investimento. Há a expectativa de que esse novo inves-
timento afete favoravelmente o preço da ação, mas também, esse investi-
mento apresenta um grau de risco bastante elevado. Os donos da empresa 
ou acionistas querem realizar o investimento, pois o preço da ação poderá 
aumentar, mas os administradores não estão tão certos assim. Se os admi-
nistradores não realizarem o investimento, os acionistas podem ter perdido 
uma ótima oportunidade. Isso é que chamamos de custo de agency.
O controle da empresa pertence em última instância aos acionistas, pois 
são eles que elegem o conselho de administração. O mecanismo pelo qual 
os acionistas insatisfeitos podem agir para substituir os administradores é 
denominado disputa de procurações. Procuração é um documento que dá 
direito de voto à uma terceira pessoa. A disputa de procurações ocorre toda 
vez que um grupo solicita procurações para substituir o conselho existente, 
e assim, substituir a administração.
Outra maneira é por meio de takeover. As companhias malgerenciadas 
são alvos muito atrativos e interessantes para aquisições do que aquelas 
bem-gerenciadas, pois existe um potencial aumento da lucratividade. Logo, 
o desejo de evitar um takeover consiste em outro incentivo para agir de 
acordo com o interesse dos aconistas.
Nem sempre só os acionistas e seus administradores são as partes interes-
sadas nas decisões da empresa. Os empregados, clientes, fornecedores, go-
verno, todos possuem interesse financeiro na empresa. Esses vários grupos, 
em conjunto, são chamados grupos de interesse ou stakeholders associados 
à empresa. Logo, é alguém que tem interesse direto e pontencial sobre os 
fluxos de caixa da empresa e que não é acionista, nem credor.
Uma história interessante
Michael Eisner, presidente da Disney, foi um dos executivos mais bem pagos 
do mundo na década passada. Ele recebeu 230 milhões de dólares, quantia 
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Administração financeira
175
Mercado financeiro
Reunir compradores e vendedores é, em síntese, o mercado financeiro. Os 
produtos vendidos e comprados são títulos da dívida e ações. Mas os merca-
dos financeiros, em alguns detalhes, são diferentes entre si. Eles funcionam, 
tanto como mercados primários, quanto como mercados secundários para 
títulos da dívida e ações.
Mercado primário
A empresa é o vendedor e a transação leva recursos para ela. As empre-
sas envolvem-se em dois tipos de transações: ofertas públicas e colocações 
privadas. Ofertas públicas envolvem a venda de título ao público em geral e 
uma colocação privada é uma negociação que envolve um comprador espe-
cífico. O mercado primário, portanto, refere-se à venda original de títulos por 
governos e empresas.
Mercado secundário
Fornece os meios para a transferência da propriedade dos títulos de 
empresas. Existem dois tipos de mercados secundários: bolsas organizadas e 
mercados de ações. A expressão "mercado de balcão" refere-se aos tempos 
antigos, quando os títulos eram comprados e vendidos nos balcões dos 
escritórios em todo o país. A maior parte dos negócios de títulos de dívida 
acontece no mercado de balcão. Uma grande parcela do mercado de 
ações e quase todo o mercado de títulos de dívidas a longo prazo não têm 
localização central ou física. Os diversos distribuidores estão ligados e se 
muito maior que o produto interno bruto de vários países. E os acionistas da 
Disney não reclamaram da quantia paga, pois sob seu comando, os lucros da 
Disney aumentaram de 60 milhões de dólares para 2 bilhões de dólares, entre 
os anos de 1994 e 1995. Logo, o valor de mercado da empresa aumentou em 
mais de 20 bilhões de dólares, oferecendo um aumento quase 15 vezes maior 
no valor do investimento realizado pelos acionistas. Logo, os objetivos maio-
res dos administradores financeiros são a maximização dos lucros e a maximi-
zação do valor de mercado do capital dos acionistas.
(Disponível em: <www.careers.wsi.com> e <www.cob.ohio-state.edu/~fin/ 
osujobs.htm 2000>.)
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176
Administração financeira
comunicam eletronicamente. As bolsas diferem do mercado de balcão, em 
primeiro lugar, porque possuem uma localização física e porque a venda é 
feita através de distribuidores.
A maior bolsa de valores do mundo é a Bolsa de Nova York ( NYSE – New York 
Stock Exchange). No Brasil, a maior bolsa é a Bovespa (Bolsa de valores de São 
Paulo), que ja é a maior bolsa de valores da América Latina e deverá se tornar 
uma das cinco maiores do mundo, com a junção da Bolsa Mercantil e de Futuros.
Como vimos, além da bolsa de valores, existe um grande mercado de balcão 
para negociação de ações. A Nasdaq (National Association of Securities Dealers 
Automated Quotations) tem um número de empresas quatro vezes maior do 
que aquele registrado pela NYSE, mas o valor das ações da Nasdaq corres-
ponde somente à cerca de 25% do valor total das ações da NYSE.
Muitas empresas que continuam na Nasdaq já poderiam operar na NYSE, 
em função do seu crescimento acelerado nos últimos anos. Mesmo assim, 
preferiram continuar operando através da Nasdaq. Entre essas empresas 
estão aquelas na área de alta tecnologia e performance e as de sistemas de 
informática e informação.
Demonstrações financeiras
O balanço patrimonial
Podemos dizer que o balanço patrimonial é uma radiografia da empresa 
num determinado momento. É a organização e o resumo de tudo que a em-
presa possui, que são os seus ativos e ainda, de tudo que a empresa deve, 
que são os passivos. A diferença entre essas duas variáveis é o que chama-
mos de patrimônio líquido.
Os ativos
Os ativos se classificam em dois tipos: circulantes e permanentes. São 
chamados de ativos permanentes aqueles ativos que têm uma vida mais 
longa. Eles podem ser tangíveis, como um veículo ou uma impressora, 
como também podem ser intangíveis como uma marca ou uma licença ou 
patente.
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Administração financeira
177
Já os ativos circulantes têm, normalmente, uma vida menor que um ano. 
Logo, num período de 12 meses ou menos, o ativo circulante será convertido 
em caixa. Os estoques normalmente são ativos circulantes, porque são com-
prados e vendidos dentro desse prazo máximo. Contas a receber, como parce-
las devidas pelos clientese o próprio caixa da empresa são ativos circulantes.
Alguns ativos são chamados de mais líquidos, porque podem facilmente 
se transformar em dinheiro.
Os passivos
Os passivos são classificados como circulantes ou ainda, como dívidas de 
longo prazo. O passivo circulante, da mesma forma que um ativo circulante, 
tem uma vida menor que um ano. Logo, precisam ser pagos mais rapidamen-
te. Os passivos circulantes, numa demonstração financeira, são apresentados 
sempre antes das dívidas de longo prazo. Contas a pagar aos fornecedores é 
um exemplo de passivo circulante. As dívidas que não vencem num prazo in-
ferior a um ano são classificadas como exigível a longo prazo. Um exemplo de 
exigível a longo prazo podem ser os empréstimos bancários feitos pela empresa 
por diversas fontes. As dívidas de longo prazo são chamadas também de obri-
gações (bonds) e os credores de longo prazo são chamados de obrigacionistas.
A diferença que pode ser calculada entre o valor total dos ativos, circulan-
tes e permanentes e o valor dos passivos chamados circulantes e de longo 
prazo é o que denominamos patrimônio líquido ou, ainda, capital dos acio-
nistas e também de capital próprio.
O capital de giro é a diferença entre o ativo circulante e o passivo circulante 
da empresa. Ele geralmente é positivo, quando as empresas são saudáveis.
Vamos ver um exemplo:
A Empresa JJ Brasil possui um ativo circulante de R$200, um ativo per-
manente líquido de R$800, dívidas a curto prazo de R$90 e dívidas a longo 
prazo de R$400 (esses valores estão expressos em milhares de reais).
Balanço patrimonial da empresa JJ Brasil (R$ – em milhares de reais)
1 Ativo Passivo
2 Ativo circulante 200 Passivo circulante 90
3 Ativo permanente 800 Exigível a l. Prazo 400
Patrimônio líquido 600
Total 1.000 Total 600
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178
Administração financeira
Vimos, portanto, que o patrimônio líquido será de R$600.000,00 que é a 
diferença entre as contas de ativo e de passivo.
O capital de giro líquido será R$110.000,00 que é a diferença entre o ativo 
circulante e o passivo circulante.
Liquidez
Chamamos de liquidez o tempo necessário para que um ativo seja con-
vertido em caixa. A velocidade em que esse processo acontece é fundamen-
tal. Diamante e ouro são ativos relativamente líquidos, mas uma instalação 
para produção de uma fábrica não é. A liquidez está dimensionada de duas 
formas: facilidade de conversão e perda de valor. Qualquer ativo pode ser 
convertido em caixa rapidamente, desde que se reduza os preços de forma 
suficiente. Um ativo com alta liquidez é aquele que pode ser vendido rapida-
mente sem perda significativa de valor. Logo, um ativo que não seja líquido, 
não pode ser convertido rapidamente sem que haja perda de valor. Portanto, 
podemos dizer que a liquidez tem valor.
Normalmente os ativos líquidos são menos rentáveis. Quanto mais líqui-
do for o negócio, menor será a possibilidade de esse negócio entrar em si-
tuação de insolvência. O saldo de caixa é o mais líquido dos ativos, mas al-
gumas vezes ele não gera retorno algum, pois apenas está lá, parado. Existe, 
portanto, uma escolha que deve ser feita entre as vantagens da liquidez e a 
perda de lucros potenciais.
Capital de terceiros e capital próprio
Uma empresa que busca dinheiro emprestado dá preferência normal-
mente ao fluxo de caixa a ser pago aos credores. Os acionistas possuem di-
reito apenas ao valor do resíduo, isto é, ao que sobrou após o pagamento 
dos credores. É o valor desse resíduo que constitui o patrimônio líquido da 
empresa. Logo, podemos dizer que o patrimônio líquido é igual ao ativo que 
a empresa tem menos o exigível total.
Podemos dizer que isso é verdade em termos contábeis, pois o patrimô-
nio líquido é definido como sendo a parcela residual. O mais importante, 
no entanto, é que isso também é verdadeiro em termos econômicos: se a 
empresa vende seus ativos e paga suas dívidas, todo caixa fica à disposição 
dos acionistas.
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Administração financeira
179
Endividamento é a utilização de dívidas na estrutura de capital da em-
presa. Quanto mais dívida, isto é, maior percentual comprometido do ativo, 
maior o grau de endividamento. A dívida funciona como uma alavanca, no 
sentido de que utilizá-la pode aumentar, tanto os ganhos como também as 
perdas. A alavancagem financeira aumenta o potencial de remuneração dos 
acionistas, mas, ao mesmo tempo, pode aumentar o potencial de situações 
de insolvência ou falência.
Valor contábil e valor de mercado da empresa
O valor de mercado é o verdadeiro valor de ativo, isto é, a quantidade 
que recebemos se vendermos aquele ativo. Os valores dos ativos apresen-
tados no balanço patrimonial de uma empresa são valores do registro ou 
livro (book values) e nem sempre representam seus verdadeiros valores. As 
demonstrações financeiras geralmente apresentam os seus ativos a custos 
históricos, isto é, os ativos são contabilizados pelo que a empresa pagou por 
eles, não importando o quanto eles valem hoje.
Com relação aos ativos circulantes, os valores contábil e de mercado 
devem ser razoavelmente semelhantes, uma vez que os ativos circulantes 
são comprados e convertidos em caixa em um período de tempo bastante 
curto. Mas, em outras situações, eles podem divergir bastante. Quanto aos 
ativos permanentes, seria pura coincidência que o valor real de mercado fosse 
igual ao valor contábil. Um exemplo interessante para demonstrar esse con-
ceito: uma companhia de transporte ferroviário poderia ser proprietária de 
enormes lotes de terra comprados um século atrás. O valor que a companhia 
pagou pelos lotes pode ser centenas ou milhares de vezes menores do que o 
valor da terra hoje. O balanço irá, apesar disso, apresentar o custo histórico.
Frequentemente os investidores e administradores estarão interessados 
em conhecer o valor de mercado da empresa. Mas essa informação não 
consta do balanço patrimonial. O fato de que os ativos são apresentados por 
seu custo significa que não existe, necessariamente, conexão entre o valor 
total dos ativos apresentados e valor de mercado da empresa.
Muitos dos ativos mais valiosos que a empresa possui, como reputações, 
boa administração, empregados talentosos, não aparecem no balanço.
De forma semelhante, o valor do patrimônio líquido apresentado no ba-
lanço e seu valor verdadeiro não estão necessariamente relacionados. Para 
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180
Administração financeira
os gestores financeiros, o valor contábil do patrimônio líquido não é uma 
preocupação especialmente importante.
Vamos ver um exemplo:
A JJ Brasil possui um ativo permanente com um valor contábil de R$700,00 
e um valor estimado de R$1.000,00. O capital de giro líquido contábil é de 
R$400,00, mas se todos os ativos circulantes fossem liquidados, seriam reali-
zados por volta de R$600,00. A dívida a longo prazo, tanto em valor contábil 
quanto em valor de mercado é de R$500,00. Definir o valor contábil do patri-
mônio líquido e definir o valor de mercado do patrimônio líquido.
Solução:
JJ Brasil – Balanços: valor de mercado e valor contábil
Contábil Mercado
Ativo
Capital de giro líquido R$400,00 R$600,00
Ativo permanente líquido R$700,00 R$1.000,00
R$1.100,00 R$1.600,00
Passivo
Dívida a longo prazo R$500,00 R$500,00
Patrimônio líquido R$600,00 R$1.100,00
R$1.100,00 R$1.600,00
Portanto, o patrimônio líquido vale, na verdade, quase duas vezes mais 
do que o apresentado no balanço. A diferença entre o valor contábil e o valor 
do mercado é importante, porque o valor contábil pode ser muito diferente 
do verdadeirovalor econômico.
Demonstração do resultado
A demonstração do resultado mede o desempenho ao longo de um perío- 
do de tempo determinado, quase sempre um trimestre ou um ano.
A equação que representa uma demonstração de resultado (DRE) é 
dada por:
Receita – Despesa = Lucro
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Administração financeira
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Vamos ver a seguir um DRE da Empresa JJ Brasil:
JJ BRASIL – Demonstração de resultados – em milhares de reais
1
2
3
4 Vendas líquidas R$1.509
5 Custo de mercadorias vendidas R$750
6 Depreciação R$65
7 Lucro antes dos juros e impostos (LAJIR) R$694
8 Juros pagos R$70
9 Lucro tributável R$624
10 Impostos R$212
11 Lucro líquido R$412
23 Dividendos R$103
24 Adição de lucros retidos R$309
Na construção do DRE temos:
1. Receita R$1.509.000,00
2. Despesas operacionais R$750.000,00
3. Depreciação R$65.000,00
4. LAJIR (1 – 2 – 3) R$694.000,00
5. Desp. Financeira R$70.000,00
6. Lucro tributável (4 – 5) R$624.000,00
7. Impostos R$212.000,00
8. Lucro líquido ( 6 – 7) R$412.000,00
9. Dividendos R$103.000,00
10. Adição de lucros (8-9) R$309.000,00
Fluxo de caixa
Nas demonstrações financeiras, o tópico "fluxos de caixa" é o mais impor-
tante a ser extraído. Sabemos que o fluxo de caixa é o dinheiro que entrou 
no caixa, menos aquilo que saiu. O fluxo de caixa dos ativos da empresa deve 
ser igual à soma do fluxo de caixa para os credores (exigíveis) com o fluxo de 
caixa para os acionistas (patrimônio líquido). Portanto:
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Administração financeira
 Fluxo de caixa dos ativos da empresa = Fluxo de caixa aos credores 
+ Fluxo de caixa aos acionistas.
O fluxo de caixa dos ativos, também chamado de FCA envolve três ele-
mentos fundamentais:
 Fluxo de caixa operacional (FCO) – é o caixa gerado por todas as 
atividades usuais da empresa.
 Gastos líquidos de capital (GLC) – é a parte do fluxo de caixa que é rein-
vistida na empresa e consiste no desembolso em ativos permanentes.
 Variação do capital de giro líquido (∆CGL) – é o montante gasto no 
capital de giro líquido.
Fluxo de caixa operacional
O fluxo de caixa operacional é o resultado das atividades cotidianas de pro-
dução e vendas. Para que possa ser calculado, é necessário observar a diferen-
ça entre a receita e o custo, sem depreciação e sem os juros, pois são despesas 
financeiras. Os impostos estão incluídos, porque são pagos com o caixa.
Exemplo
Observando o DRE do exemplo anterior, temos:
 1. Receita R$1.509.000,00
 2. Despesas operacionais R$750.000,00
 3. Depreciação R$65.000,00
 4. LAJIR (1 – 2 – 3) R$694.000,00
 5. Desp. financeira R$70.000,00
 6. Lucro tributável (4 – 5) R$624.000,00
 7. Impostos R$212.000,00
 8. Lucro líquido ( 6 – 7) R$412.000,00
 9. Dividendos R$103.000,00
10. Adição de lucros (8-9) R$309.000,00
Encontrar o fluxo de caixa operacional da empresa.
Vimos que o Lajir da empresa foi de R$694.000,00. Precisamos adicionar 
novamente a depreciação de R$65.000,00, pois ela não corresponde a uma 
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saída de caixa, isto é, é um item não monetário. Vamos subtrair os impostos 
de R$212.000,00, pois foram pagos no caixa. Logo, a equação do FCO é:
FCO = Lajir + Depreciação – Impostos
FCO = R$694.000,00 + R$65.000,00 – R$212.000,00
FCO = R$547.000,00
Gastos líquidos de capital
É o dinheiro gasto em ativos permanentes, menos o dinheiro recebido 
com a venda dos ativos permanentes.
Exemplo
Ao final de 2001, os ativos permanentes líquidos da empresa JJ Brasil 
eram de R$1.644.000,00 e ao final de 2002, os ativos permanentes líquidos 
da empresa eram de R$1.709.000,00. Qual foi o gasto líquido de capital da 
empresa?
GLC = Ativo permanente líquido em 2002 – Ativo permanente líquido em 
2001 + Depreciação.
Logo: GLC = (R$1.709.000,00 – R$1.644.000,00) + R$65.000,00
GLC = R$130.000,00
Este valor de R$130.000,00 representa o gasto líquido de capital em 2002.
Um gasto líquido de capital pode ser inclusive negativo, se a empresa 
vender mais ativos do que comprar.
Variação do capital de giro líquido
Mesmo investindo em ativos permanentes, normalmente uma empresa 
também investe em ativos circulantes.
Exemplo
Analisando uma empresa, verificamos que ao final de 2002 tinha um 
ativo circulante de R$1.403.000,00 e ao final de 2001, o ativo circulante era 
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Administração financeira
de R$1.112.000,00. Os passivos circulantes de 2002 e 2001 foram, respecti-
vamente, R$389.000,00 e R$428.000,00. Determine a variação do capital de 
giro líquido.
O CGL no final de 2002 = R$1.403.000,00 – R$389.000,00 = R$1.014.000,00
O CGL no final de 2001 = R$1.112.000,00 – R$428.000,00 = R$684.000,00
A variação do CGL foi: R$1.014.000,00 – R$684.000,00 = R$330.000,00
Portanto, o capital de giro líquido aumentou em R$330.000,00, logo, a 
empresa realizou um investimento líquido de R$330.000,00 em CGL, durante 
o ano de 2002.
Fluxo de caixa dos ativos
Para se obter o fluxo de caixa dos ativos é só utilizar a equação:
Fluxo de caixa dos ativos = FCO – GLC – ∆CGL
Fluxo de caixa dos credores e acionistas
Representam pagamentos líquidos aos credores e aos proprietários 
durante o ano. São calculados de maneiras análogas. O fluxo de caixa dos 
credores corresponde aos juros pagos, menos novos empréstimos líquidos; 
o fluxo de caixa dos acionistas corresponde aos dividendos pagos, menos 
novos ingressos de capital. O fluxo de caixa aos credores algumas vezes é 
chamado de fluxo de caixa aos obrigacionistas.
Logo:
Fluxo de caixa dos credores = Juros – Exigível
Fluxo de caixa aos acionistas = Dividendos – Ingresso de capital
Exercício de fixação
1. Vamos observar o fluxo de caixa da Empresa JJ Brasil 2007 – em mi-
lhões de reais.
 Informações adicionais: durante o ano, a empresa JJ apresentou ven-
das no valor de R$600,00 e custos de mercadorias vendidas no valor 
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Administração financeira
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de R$300,00. A depreciação foi de R$150,00 e os juros pagos foram de 
R$30,00. Os impostos foram calculados com uma alíquota de 34%. E os 
dividendos pagos foram de R$30,00.
a) Elaborar o DRE de 2007 e demonstrar o fluxo de caixa operacional.
b) Qual foi o lucro líquido de capital, supondo que o ativo fixo líquido 
inicial foi de R$500,00 e seu valor final foi de R$750,00?
c) Suponha que a JJ tenha iniciado o ano com um ativo circulante 
de R$2.130,00 e um passivo circulante de R$1.620,00. Os núme-
ros correspondentes ao final do ano são: R$2.260,00 e R$1.710,00. 
Qual a variação do capital de giro líquido?
d) Qual o fluxo de caixa dos ativos?
e) Qual o fluxo de caixa dos acionistas se a JJ Brasil emitiu novas ações 
durante o ano?
 Solução:
a) 
DRE de 1998 – JJ Brasil
1
2
3 Receita líquida R$600,00
4 Custo de mercadoria vendida R$300,00
5 Depreciação R$150,00
6 Lajir , em inglês, EBIT R$150,00
7 Juros pagos R$30,00
8 Lucro tributável R$120,00
9 Impostos – 34% R$41,00
10 Lucro líquido R$79,00
11 Dividendos R$30,00
12 Acréscimo ao lucro retido R$49,00
 Podemos dizer que o fluxo de caixa operacional é:
 FCO = Lajir + Depreciação – Impostos
 FCO = R$150,00 + R$150,00 – R$41,00 = R$259,00
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b) ∆ (ativofixo) = R$750,00 – R$500,00 = R$250,00 (gasto com os ati-
vos fixos)
 GLC = ∆(ativo fixo) + Depreciação = R$250,00 + R$150,00 = R$400,00
c) ∆(CGL) = (R$2.260,00 – R$1.710,00) – (R$2.130,00 – R$1.620,00) = 
R$550,00 – R$510,00 = R$40,00
d) FCA = FCO – GLC – ∆CGL = R$259,00 – R$400,00 – R$40,00 = – R$181,00
 Como ocorreram grandes investimentos em ativos permanentes o 
valor ficou negativo.
e) Como não foram emitidas novas ações, o fluxo de caixa aos acio-
nistas da JJ é exatamente igual aos dividendos pagos, isto é, 
R$30,00.
2. Observemos o fluxo de caixa da Empresa ABC (todos os valores em 
milhões de reais).
2006 2007
Vendas R$3.790,00 R$3.990,00
Custo de mercadoria vendida R$2.432,00 R$2.137,00
Depreciação R$975,00 R$1.018,00
Juros R$225,00 R$267,00
Dividendos R$200,00 R$225,00
Ativo circulante R$2.140,00 R$2.346,00
Ativo permanente líquido R$6.770,00 R$7.087,00
Passivo circulante R$994,00 R$1.126,00
Exigível a longo prazo R$2.869,00 R$2.956,00
 Observando as informações sobre a ABC elabore uma demonstração 
de resultado de 2007 e os balanços patrimoniais em 2006 e 2007. Em 
seguida, calcule o fluxo de caixa aos credores e o fluxo de caixa aos 
acionistas em 2007. Use sempre a alíquota de 34% para calcular o im-
posto de renda.
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 Solução:
 O balanço patrimonial em 2006 e 2007 é:
Balanço patrimonial da empresa ABC 
2006 2007 2006 2007
Ativo circulante R$2.140,00 R$2.346,00 Passivo circulante R$994,00 R$1.126,00
Ativo permanente R$6.770,00 R$7.087,00 Exigível a l. prazo R$2.869,00 R$2.956,00
Patrimônio líquido R$5.047,00 R$5.351,00
Total R$8.910,00 R$9.433,00 R$8.910,00,00 R$9.433,00
 A DRE será:
DRE de 2007 da empresa ABC
Vendas R$3.990,00
Custo de mercadoria R$2.137,00
Depreciação R$1.018,00
Lajir R$835,00
Juros pagos R$267,00
Lucro tributável R$568,00
Imposto – 34% do lucro tributável R$193,12
Lucro líquido R$374,880
Dividendos R$225,00
Acréscimo ao lucro retido R$149,88
 O fluxo do caixa operacional é:
 FCO = Lajir + Depreciação – Impostos = R$835,00 + R$1.018,00 – 
R$193,00 = R$1.660,00
 O GLC é:
 GLC = (ativo permanente em 2007 – ativo permanente em 2006) + De-
preciação = (R$7.087,00 – R$6.770,00) + R$1.018,00 = R$1.335,00
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Administração financeira
 O ∆CGL é:
 CGL (2007) = (ativo circulante em 2007 – passivo circulante em 2007) = 
R$2.346,00 – R$1.126,00 = R$1.220,00
 CGL (2006) = (ativo circulante em 2006 – passivo circulante em 2006) = 
R$2.140,00 – R$994,00 = R$1.146,00
 Portanto:
 ∆CGL = R$1.220,00 – R$1.146,00 = R$74,00
 O fluxo de caixa dos ativos é:
 FCA = FCO – GLC – ∆CGL = R$1.660,00 – R$1.335,00 – R$74,00 = 
R$251,00
 O fluxo de caixa dos credores é:
 ∆ Exigível a longo prazo = R$2.956,00 – R$2.869,00 = R$87,00 
(aumentou)
 ∆ (juros pagos) = R$267,00 em 2007
 Fluxo de caixa aos credores = juros pagos – ∆ (exigível em longo prazo) 
= R$267,00 – R$87,00 = R$180,00
Análise baseada em índices financeiros
Normalmente, é comum fazer demonstrações financeiras de uma empre-
sa e compará-las com outras semelhantes. No entanto, encontramos um pro-
blema. É praticamente impossível comparar diretamente as demonstrações 
financeiras de duas empresas por causa da diferença de tamanho entre elas.
Uma maneira bastante comum de fazer comparações é padronizar de 
alguma maneira as demonstrações financeiras. E, sempre que possível, tra-
balhar com porcentagens e não com valores absolutos ou monetários. As 
contas do balanço patrimonial são exibidas como porcentagem do ativo e 
as contas das demonstrações de resultados como porcentagens de vendas. 
As demonstrações financeiras resultantes são chamadas de demonstrações 
financeiras de tamanho comum.
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189
Observe o seguinte DRE.
Empresa ABC – Balanço patrimonial em 2007 e 2006 (em milhões)
2006 2007
Ativo
Ativo circulante
Caixa R$84,00 R$98,00
Contas a receber R$165,00 R$188,00
Estoques R$393,00 R$422,00
Total R$642,00 R$708,00
Ativo permanente
Instalações e equipamentos R$2.731,00 R$2.880,00
Total do ativo R$3.373,00 R$3.588,00
Passivo
Passivo circulante
Fornecedores R$312,00 R$344,00
Títulos a pagar R$231,00 R$196,00
Total R$543,00 R$540,00
Exigível a longo prazo R$531,00 R$457,00
Patrimônio líquido
Capital social e reservas R$500,00 R$550,00
Lucros retidos R$1.799,00 R$2.041,00
Total R$2.299,00 R$2.591,00
Total do passivo R$3.373,00 R$3.588,00
Podemos, com base nesse balanço patrimonial, elaborar o chamado ba-
lanço patrimonial de tamanho comum em que cada uma das contas serão 
apresentadas de forma percentual. Observe que nem todos os valores são 
exatos, em função de erros de arredondamento. A variação total precisa ser 
zero, pois os números inicial e final têm de somar 100%. Vamos colocar os 
dois balanços na forma percentual:
2006 2007 Variação
Ativo
Ativo circulante
Caixa 2,5% 2,7% 0,2%
Contas a receber 4,9% 5,2% 0,3%
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2006 2007 Variação
Estoques 11,7% 11,8% 0,1%
Total 19,1% 19,7% 0,6%
Ativo permanente
Instalações e equipamentos 80,9% 80,3% -0,6%
Total do Ativo 100% 100% 0,0%
Passivo
Passivo circulante
Fornecedores 9,2% 9,6% 0,4%
Títulos a pagar 6,8% 5,5% -1,3%
Total 16,0% 15,1% -0,9%
Exigível a longo prazo 15,7% 12,7% -3,0%
Patrimônio líquido
Capital social e reservas 14,8% 15,3% 0,5%
Lucros retidos 53,3% 56,9% 3,6%
Total 68,1% 72,2% 4,1%
Total do Passivo 100% 100% 0,0%
Análise
Avaliando os dois balanços da ABC, é possível observar que os ativos cir-
culantes atingem 19,1% do total de 2006, subindo para 19,7% em 2007. Já o 
passivo circulante cai de 16% para 15,1% no mesmo período. Portanto, o ca-
pital dos proprietários ou sócios da empresa aumentou de 68,1% para 72,2%.
Logo, a liquidez da ABC, medida por ativo contra passivo circulante, au-
mentou nesse período. Ao mesmo tempo, seu grau de endividamento dimi-
nuiu proporcionalmente ao ativo total. Sendo assim, pode-se concluir que o 
balanço patrimonial está mais sólido.
Outra maneira de evitar o problema de comparação entre empresas com 
tamanhos diferentes é calcular e comparar índices financeiros. Esses índices 
consistem em ferramentas de comparação e investigação das relações entre 
diferentes informações financeiras e contábeis.
Os índices financeiros são agrupados em cinco categorias:
 índices de solvência a curto prazo ou liquidez;
 índices de solvência a longo prazo ou de endividamento;
 índices de administração de ativo ou giro;
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191
 índices de lucratividade;
 índices de valor de mercado.
Índices de solvência a curto prazo ou liquidez
É a razão entre o ativo circulante e o passivo circulante. Mostram informa-
ções de como está a liquidez da empresa. São muito importantes para os cre-
dores avaliarem a curto prazo, como os bancos. Esses índices podem ser de 
liquidez corrente, de liquidez seca e de caixa. No caso de liquidez seca devem 
levar em consideração também o estoque. Logo, temos as seguintes fórmulas:
 Índice de liquidez corrente = Ativo circulante / Passivo circulante.
 Índice de liquidez seca = Ativo circulante – Estoque / Passivo circulante
 Índice de caixa = Caixa/ Passivo circulante
Exemplo de aplicação
Com base em nossos balanços de 2006 e 2007 da Empresa ABC, determi-
ne os índices de liquidez corrente, de liquidez seca e de caixa.
Solução:
Liquidez corrente = R$708,00 / R$540,00 = 1,31 vezes
Liquidez seca = (R$708,00 – R$422,00) / R$540,00 = 0,53 vezes
Caixa = R$98,00 / R$540,00 = 0,18
Índices de solvência a longo prazo ou de endividamento
Esses indicadores têm a função de analisar a capacidade da empresa para 
saldar suas dívidas e obrigações, a longo prazo. Também são chamados de 
indicadores de alavancagem financeira ou somente alavancagem financeira 
e se subclassificam em três tipos mais importantes:
 Índice de endividamento geral, que considera todas as dívidas, de di-
ferentes prazos e de todos os credores da empresa e é dado por:
 IEG = Dívidas totais / Ativo total
 Logo: (Ativo total – Patrimônio líquido) / Ativo Total
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 Exemplo de aplicação 
 Voltando aos balanços da ABC, o IEG de 2007 foi:
 IEG = (R$3.588,00 – R$2.591,00) / R$3.588,00
 Logo IEG = 0,28 vezes
 Índice de cobertura de juros – indica como a empresa cobre suas obri-
gações de pagamento de juros e é dado por:
 ICJ = Lajir / Juros
 Exemplo de aplicação
 A cobertura de juros da Empresa ABC em 2007 foi:
 ICJ = 691 / 141 = 4,9 vezes
 Índice de cobertura de caixa – esse índice está baseado no Lajir, o que 
não corresponde na realidade a uma medida do caixa disponível para 
pagamento de juros. Isso porque a depreciação é uma despesa não 
monetária e é deduzida do lucro. Logo, ele é definido por:
 ICC = (Lajir + Depreciação) / Juros
 Exemplo de aplicação
 Determine o índice de cobertura de caixa da ABC em 2007.
 Solução:
 ICC = (R$691,00 + R$276,00) / R$141,00 = R$967,00 / R$141,00 = 6,8 
vezes
Índice de administração de ativos ou giro
Essa medida é importantíssima e mostra a eficiência com que a empresa 
utiliza seus ativos. São todos relacionados a medidas de giro e descrevem 
como a empresa utiliza seus ativos para vendas. Eles se subdividem em cinco 
indicadores:
 Giro de estoque – é calculado por:
 Giro de estoque = Custo da mercadoria vendida / Estoque
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193
 Exemplo de aplicação
 Qual foi o giro de estoque da Empresa ABC com base no balanço de 
2007?
 Solução:
 R$1.344,00 / R$422,00 = o estoque gira 3,2 vezes.
 Número de dias de vendas em estoque.
 Se for possível observar que giramos o estoque 3,2 vezes durante o 
ano, podemos estimar imediatamente quanto tempo levou, em mé-
dia, para girá-lo. O resultado é obtido por:
 Dias de venda em estoque = 365 / Giro de estoque
 Exemplo de aplicação
 O número de dias de venda em estoque da Empresa ABC em 2007 foi:
 = 365 / 3,2 = 114 dias
 Giro de contas a receber – expressa como podemos cobrar as vendas 
efetuadas, isto é, cobramos nosso saldo de contas a receber e damos 
crédito novamente para um número x de vezes durante o ano. É calcu-
lado por:
 Giro de contas a receber = Vendas / Contas a receber
 Exemplo de aplicação
 O giro de contas a receber da ABC em 2007 foi:
 = R$2.311,00 / R$188,00 = 12,3 vezes
 Número de dias de vendas em contas a receber – é definido por:
 Dias de venda a receber = 365 / Giro de contas a receber
 Exemplo de aplicação
 O número de dias de vendas em contas a receber da ABC em 2007 foi:
 = 365 / 12,3 = 30 dias
 Giro do ativo total – para cada real de ativo é possível saber o que foi 
gerado em vendas.
 Giro do ativo total = Vendas / Ativo total
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 Exemplo de aplicação
 Qual foi o giro do ativo total da ABC em 2007?
 Solução:
 = R$2.311,00 / R$3.588,00 = 0,64 vezes
Índices de medidas de lucratividade
Medem o grau de eficiência da empresa e como ela utiliza seus ativos e 
administra sua gestão de operações. Esse grupo preocupa-se com a última 
linha (bottom line) da demonstração de resultado financeiro, isto é, o lucro lí-
quido. Os subíndices são: margem de lucro, retorno do ativo (ROA) e retorno 
do capital próprio ou patrimônio líquido (ROE).
 Margem de lucro
 Definida por: Lucro líquido / Vendas
 Mostra o quanto gerou de lucro para cada real de venda.
 Exemplo de aplicação
 Determine a margem de lucro da Empresa ABC em 2007.
 Solução:
 Margem de lucro = R$363.000.000,00 / R$2.311,00 = 15,7%
 Retorno do ativo (ROA)
 Mede o lucro por real em ativos. Pode ser definida por diversas formas, 
mas a mais comum é:
 ROA = Lucro Líquido / Total do ativo
 Exemplo de aplicação
 Qual foi o retorno do ativo da ABC em 2007?
 Solução:
 ROA = R$363.000,000,00 / R$3.588,00 = 10,12%
 Retorno do capital próprio – ROE
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195
 Também chamado de retorno do patrimônio líquido (ROE), mede o 
desempenho do investimento dos acionistas durante o período de um 
ano. Como os acionistas são o principal objetivo da empresa, o ROE, 
em contabilidade, é o índice de medida de desempenho, em termos 
de lucro. É medido por:
 ROE = Lucro líquido / Patrimônio líquido
 Exemplo de aplicação
 O retorno do capital próprio da ABC em 2007 foi igual a:
 ROE = R$363.000.000,00 / R$2.591,00 = 14%
Índices de medidas de valor de mercado
Esse último grupo de medidas baseia-se nas demonstrações financei-
ras da empresa, como preço de mercado, ações etc. Logo, essas medidas 
só podem ser calculadas para empresas que têm ações na bolsa de valores. 
Imaginemos que a Empresa ABC, citada até agora como exemplo, possua 33 
milhões de ações e essas ações são negociadas a R$88,00 por ação ao final 
do ano. Vale lembrar que o lucro líquido da ABC foi de 363 milhões de reais, 
logo, é possível calcular o seu lucro por ação. O lucro por ação será:
Lucro por ação = Lucro líquido / Total de ações = R$363.000.000,00/33 = 
R$11,00.
Essa relação nos dá mais dois subíndices:
 Índice Preço/Lucro – também chamado índice P/L é definido por:
 Índice P/L = Preço por ação / Lucro por ação
 Índice Preço/Valor patrimonial – dado pela relação:
 Índice P/VP = Valor de mercado das ações / Valor patrimonial das ações
Exemplo de aplicação
Determine os índices P/L e P/VP da ABC ao final de 2007.
Solução:
Índice P/L = R$88,00/11 = 8 vezes
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196
Administração financeira
No sentido contábil, podemos dizer que as ações da ABC estão sendo vendi-
das a 8 vezes o lucro ou ainda dizer que as ações têm um múltiplo P/L igual a 8.
Índice P/VP = R$88,00 / (R$2.591,00 / 33) = 1,12 vezes
Observe que o valor patrimonial da ação não é igual ao patrimônio líqui-
do. Como o valor patrimonial de uma ação é uma medida contábil, ele reflete 
o custo histórico.
Ampliando seus conhecimentos
Capital de giro – fundamental 
e prioritário para as empresas
(SÁ; OSTENTORK; BRITO, 2006)
O conceito de capital de giro é definido também como o capital circulan-
te e corresponde a todos os recursos aplicados em ativos circulantes, que se 
transformam dentro do ciclo operacional. Esse elemento é fundamental para 
a administração financeira, devido à necessidade da empresa de recuperar 
todos os custos e despesas (inclusive financeiras) incorridos no ciclo ope-
racional e obter, assim, o lucro desejado, por meio da venda do produto ou 
prestação do serviço. O capital de giro ou circulante é constituído pelo ativo 
circulante, principalmentepelas disponibilidades, valores a receber e esto-
ques. Demonstra os recursos necessários da empresa para financiamento de 
suas atividades operacionais, desde as aquisições de insumos básicos, até o 
recebimento pela venda da produção acabada. Um dos grandes problemas 
do gerenciamento de capital de giro é a sincronização temporal entre os seus 
elementos constitutivos.
O capital de giro está diretamente associado às fontes das quais a empresa 
necessita para financiar sua operacionalização e seu crescimento. As empresas 
procuram vantagens competitivas, especialmente em condições econômicas 
desafiantes, o que torna mais evidente a importância de um gerenciamento 
eficiente do capital de giro. Cada real economizado no capital de giro pode 
contribuir para uma melhor rentabilidade do investimento. Na área financei-
ra, é evidente que se deve dar enfoque à busca permanente da eficiência na 
gestão de recursos, maximizando a rentabilidade e minimizando os custos. 
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Administração financeira
197
O capital de giro pode ser fixo, que é aquele mínimo indispensável para que 
as necessidades operacionais geradoras de dispêndios sejam atendidas, vari-
ável, que decorre de fatores adicionais verificados em determinados períodos, 
podem decorrer de crescimento de vendas, inadimplência ou atraso de rece-
bimentos de clientes, compras imprevistas ou outras necessidades adicionais 
com caráter de sazonalidade.
O conceito de capital de giro líquido revela o volume de recursos deman-
dados no longo prazo para o financiamento dos ativos a curto prazo. O ideal 
para a manutenção de um nível de liquidez compatível é que a diferença entre 
o ativo e o passivo circulante seja positiva, o que representa uma reserva fi-
nanceira. Um Capital Circulante Líquido (CCL) igual a zero submete a estrutura 
financeira da empresa a um certo grau de risco. Por outro lado, um capital de 
giro negativo submete a empresa a um grau de risco elevado e diretamente 
proporcional à magnitude desta insuficiência.
Portanto, o gerenciamento do capital de giro é um componente vital para 
a “saúde” dos negócios e, também, essencial ao crescimento e à continuidade 
das operações. Em cada uma dessas áreas encontramos diferentes desafios no 
que tange ao alcance da liquidez necessária, à obtenção do processo mais efi-
ciente, à alocação de novas tecnologias e à avaliação da qualidade do capital 
de giro no balanço patrimonial, remetendo à análise do ciclo operacional por 
constituir elementos de curto prazo e envolver o gerenciamento do capital de 
giro necessário à manutenção das atividades operacionais da empresa.
O estudo do capital de giro é fundamental para a administração financeira, 
pois a empresa precisa recuperar todos os custos e despesas incorridas 
durante o ciclo operacional e obter o lucro desejado, por meio da venda 
do produto ou da prestação do serviço. A administração eficiente dos seus 
elementos, como o caixa (disponibilidades) contribui significativamente 
para a maximização do lucro da empresa. A análise do capital de giro e, 
consequentemente, da liquidez, evidencia a grande contribuição que esta 
possibilita na administração dos recursos de curto prazo. A relevância do 
gerenciamento do capital de giro é irrefutável, de acordo com o que foi 
desenvolvido no presente artigo. Portanto, a administração do capital de 
giro e da liquidez requer um planejamento estratégico de curto prazo, com 
vistas a produzir resultados que irão refletir a saúde financeira da empresa e 
sua imagem perante o mercado.
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198
Administração financeira
Nesse sentido, referenciais como capital de giro, ciclo econômico, opera-
cional e financeiro, equilíbrio financeiro e gerenciamento das disponibilida-
des assumem papéis relevantes no processo de tomada de decisão. Uma boa 
administração de caixa pode constituir-se em fonte de melhoria da produtivi-
dade dos recursos alocados, podendo proporcionar ganhos em toda a cadeia 
de valores da organização, ou seja, em todas as fases de geração e distribuição 
dos produtos e/ou serviços, e em todos os seguimentos gerenciais.
(Texto elaborado por Adriana Boaventura Sá, Fernando Gabriel Ostentork 
e Ricardo Brito para o Sebrae MG, em agosto de 2006.)
Atividades de aplicação
1. Com base nos balanços a seguir e na demonstração de resultado es-
tudada anteriormente, calcule os seguintes índices para o exercício de 
2007.
Empresa
Balanços em 31 de Dezembro de 2006 e 2007
(em milhões de reais)
2006 2007
Ativos
Ativos circulantes
Caixa 120 88
Contas a receber 224 192
Estoques 424 368
Total 768 648
Realizável LP 0,00 0,00
Ativo permanente
Instalações e equipam. líquidos 5.228 5.354
Total dos ativos 5.996 6.002
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199
Empresa
Balanços em 31 de Dezembro de 2006 e 2007
(em milhões de reais)
Passivo
Passivo circulante
Fornecedores 124 144
Títulos a pagar 1.412 1.039
Total 1.536 1.183
Exigível a longo prazo 1.804 2.077
Patrimônio líquido
Capital social e reservas 300 300
Lucros retidos 2.356 2.442
Total 2.656 2.742
Total do passivo 5.996 6.002
 Determinar:
a) Índice de Liquidez Corrente.
b) Índice de Liquidez Seca.
c) Índice de Caixa.
2. Nos últimos anos, a Companhia ABC tem elevado significativamente o 
seu índice de liquidez corrente. Ao mesmo tempo, porém, seu índice 
de liquidez seca tem caído. O que está ocorrendo? A liquidez da em-
presa melhorou?
3. Explique o que quer dizer o fato de uma empresa ter índice de liqui-
dez corrente igual a R$0,50. Seria melhor para a empresa ter um índice 
igual a 1,50? E se fosse 15,0? Explique suas respostas.
4. Uma empresa tem capital de giro líquido de R$500,00, passivo circu-
lante no valor de R$1.800,00 e estoques de R$600,00. Qual é seu índice 
de liquidez corrente? Qual é seu índice de liquidez seca?
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200
Administração financeira
5. As vendas de uma empresa são iguais a R$5 milhões, seu ativo total é de 
R$9 milhões, e o total do exigível é de R$3 milhões. Sendo a margem de 
lucro de 11%, qual o seu lucro líquido? Qual o seu ROA? Qual o seu ROE?
6. A companhia ABC tem um saldo de contas a receber de R$13.565,00. 
As vendas a prazo, no ano que acaba de se encerrar, atingiram 
R$94.300,00. Qual é o número de dias de venda no saldo de contas a 
receber? Quanto tempo levou, em média, para que os clientes pagas-
sem suas contas no ano passado? 
Gabarito
1. Índice de liquidez corrente
 ativo circulante / passivo circulante = R$648,00 / R$1.183,00 = 0,547
 Índice de liquidez seca:
 (ativo circulante – estoque) / passivo circulante = (R$648,00 – R$368,00) 
/ R$1.183,00 = 0,236
 Índice de caixa:
 caixa / passivo circulante = R$88,00 / R$1.183,00 = 0,07
2. Resposta mínima: do ponto de vista da liquidez corrente, o texto afir-
ma que houve melhora, contudo, considerando que a liquidez seca 
caiu, com os elementos fornecidos, podemos concluir que a liquidez 
corrente melhorou à custa do aumento dos estoques, ativo esse, de 
liquidez duvidosa, portanto, a qualidade da liquidez caiu.
3. Resposta mínima: liquidez corrente de 0,50 indica que a empresa tem 
somente 50% de capacidade de honrar seus compromissos de curto 
prazo com recursos de curto prazo. Já LC de 1,5 indica que sua capaci-
dade é 50% superior. Uma liquidez de 15, que poderia aparentemente 
indicar excelente liquidez, é preocupante, pois pode estar ocorrendo 
excesso de represamento de recursos em ativos que não permitemaumento de sua rentabilidade.
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Administração financeira
201
4. CGL = AC – PC 500 = AC – R$1.800,00 AC = R$2.300,00
 ILC = R$2.300,00 / R$1 800,00 = 1,28 
 ILS = R$2.300,00 – 600 /R$1.800,00 = 0,94
5. ML = LL / V
 0,11 = LL / 5.000.000 LL = R$550.000,00
 ROA = R$550.000,00 / R$9.000.000,00 ROA = 6,11%
 ROE = R$550.000,00 / R$9.000.000,00 – R$3.000.000,00 = 9,17%
6. GCR = R$94.300,00 / R$13.565,00 GCR = 6,95
 DCR = 51,79 dias
 Os clientes pagaram suas contas em média a cada 51,79 dias no ano 
passado.
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203
Estrutura financeira da empresa
Futebol é a habilidade matemática de jogar a bola com a 
seta virada para o gol. É uma geometria espacial de emoção.
João Saldanha
Captação de recursos no mercado
Sempre que uma empresa deseja ou precisa tomar dinheiro empresta-
do, isso implica uma avaliação de toda sua estrutura financeira. Isso também 
acontece quando o governo decide tomar dinheiro emprestado. Toda a es-
trutura financeira do país também pode ser afetada se a decisão não for a 
mais adequada.
Ao tomar dinheiro emprestado, a empresa normalmente emite ou vende 
os chamados títulos de dívida ou obrigações. As obrigações empresariais 
têm muitas características importantes, que vamos estudar neste capítulo, 
por exemplo, os fluxos de caixa que estão associados a uma obrigação e 
como essas obrigações são avaliadas por meio de descontos de fluxos de 
caixa no mercado financeiro.
Obrigação
Uma obrigação normalmente é um empréstimo com pagamento unica-
mente de juros a cada período, mas nenhuma parcela do valor principal será 
paga antes do vencimento do empréstimo.
Por exemplo, imagine que a Empresa ABC deseja emprestar R$1.000,00, 
por 30 anos. A taxa de juros de obrigações emitidas para outras empresas 
semelhantes é de 12%. Logo, a ABC irá pagar R$0,12 . R$1.000,00 = R$120,00 
de juros a cada ano. Ao final de 30 anos, a ABC irá devolver os R$1.000,00.
As obrigações são mecanismos de financiamento simples mas, no entan-
to, existe um conjunto de outros elementos que definiremos a seguir que 
estão associados a obrigações.
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204
Estrutura financeira da empresa
No nosso exemplo anterior, os juros regulares que a ABC pagou são de-
nominados cupons. Como esses cupons são constantes e pagos a cada ano, 
o tipo de obrigação que se está descrevendo se chama obrigação de cupom 
constante. O valor que será devolvido ao final do empréstimo pela ABC é 
chamado de valor de face da obrigação ou ainda de valor nominal.
Quando as obrigações são emitidas e vendida por empresas pelo seu 
valor de face, denominamos conceitualmente como obrigação de par, por 
não serem valores unitários tão altos. As obrigações do governo frequente-
mente possuem valores de face ou nominal bem maiores. E, finalmente, o 
cupom anual dividido pelo valor de face é denominado de taxa nominal da 
obrigação, que no caso da Empresa ABC é igual a 120 / 1000 = 12%, que é a 
taxa nominal.
O número de anos até que o valor de face seja pago se chama prazo de 
vencimento do título. Uma obrigação emitida por empresa normalmente 
tem um prazo de vencimento de 30 anos no momento de sua emissão ori-
ginal, mas isso varia muito, inclusive de país para país. Uma vez que a obri-
gação foi emitida, o número de anos do prazo de vencimento diminui com 
o passar do tempo.
Logo, do texto podemos tirar definições importantes:
 cupom – os juros cotados que foram pagos em uma obrigação;
 valor de face – é o valor nominal da obrigação devolvido ao final do 
prazo;
 taxa de cupom – o cupom anual dividido pelo valor de face da obri-
gação;
 vencimento – data definida em que o principal da obrigação será 
pago.
Rendimentos e valores das obrigações
À medida que o tempo passa, a taxa de juros altera-se no mercado. Contu-
do, os fluxos de caixa de uma obrigação permanecem os mesmos. Com isso, 
o valor da obrigação flutua. Quando as taxas aumentam, o valor presente 
dos fluxos de caixa remanescentes da obrigação diminui e o valor da obriga-
ção fica menor. Quando a taxa de juros cai, a obrigação acaba valendo mais. 
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Estrutura financeira da empresa
205
O valor de uma obrigação em determinado momento pode ser conhecido 
desde que tenhamos o número de períodos que restam até o vencimento, o 
seu valor de face, o cupom e a taxa de juros de mercado para outras obriga-
ções com características similares.
A taxa de juros solicitada definida pelo mercado sobre uma obrigação 
é chamada de retorno até o vencimento (YTM – yield to maturity). Também 
pode ser chamada de retorno da obrigação. Logo, com esses dados, é pos-
sível estimar o valor presente dos fluxos de caixa, isto é, uma estimativa do 
valor corrente de cada obrigação.
Por exemplo, vamos considerar que a Empresa ABC estivesse prestes a 
emitir uma obrigação com prazo de vencimento de 10 anos. A obrigação da 
ABC tem um cupom anual de R$80,00. Obrigações semelhantes no merca-
do têm um retorno até o vencimento de 8%. Com base nessas informações, 
podemos concluir que a ABC pagará R$80,00 por ano em termos de cupom 
nos próximos 10 anos. Logo, em 10 anos, a ABC deverá R$1.000,00 em obri-
gacionistas. Os fluxos de caixa da obrigação estão apresentados no fluxo de 
caixa a seguir. Qual seria o preço de venda dessa obrigação?
Conforme estamos observando no fluxo de caixa a seguir, os fluxos da 
ABC possuem um elemento importante que é a anuidade (os chamados 
cupons) e outro componente representado pelo quantia única (valor de face 
pago no vencimento).
Fluxo de caixa da empresa ABC (Valores em R$)
Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cupom 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80
Valor de face 1.000,00
Logo: 80 80 80 80 80 80 80 80 80 1.080,00
Sempre estimamos o valor de mercado de uma obrigação por meio do 
cálculo separado do valor presente de cada um desses componentes e, em 
seguida, somando os resultados. Em primeiro lugar, à taxa de 8%, o valor 
presente de R$1.000,00 no período de 10 anos será igual a:
Valor presente: 1.000 / (1,08)10 = R$463,19
Em seguida, devemos observar o valor da anuidade dessa obrigação:
Valor presente da anuidade: R$80,00 . (1 – 1 / 1,08)10 / 0,08 = R$536,81
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206
Estrutura financeira da empresa
Como já temos o valor presente e o valor presente da anuidade, somamos 
esses dois componentes e obtemos o valor da obrigação:
Portanto: valor total da obrigação = R$463,19 + R$536,81 = R$1.000,00
Podemos dizer então que essa obrigação é negociada por seu valor de 
face exatamente. Isso não é apenas uma coincidência. A taxa corrente de 
mercado é de 8%. Considerando que o empréstimo paga unicamente juros, 
qual a taxa de juros que essa obrigação teria?
Com um cupom de R$80,00 essa obrigação paga exatamente 8% de juros 
apenas quando é negociada a R$1.000,00.
Vamos avaliar o que acontece quando uma taxa se altera. Depois de um 
ano, a obrigação da ABC tem prazo de vencimento de nove anos. Sendo 
a taxa de juros de mercado uma taxa de 10%, qual será o novo valor da 
obrigação?
Valor presente = R$1.000,00 / (1.10)9 = R$424,10
Logo, o valor presente da anuidade será:
= R$80,00 . (1 – 1 / (1,109)) / 0,10 = R$460,72
Se somarmos os valores: presente e presente da anuidade teremos: 
R$424,10 + R$460,72 que resultará em R$884,82.
Logo, a obrigaçãodeveria ser negociada por aproximadamente R$885,00. 
Logo, podemos dizer que a obrigação da ABC, com seu cupom de 8% está 
cotada a R$885,00, rendendo 10%.
Percebemos então que a obrigação da ABC está sendo negociada por um 
valor menor que o da face de R$1.000,00. Isso ocorre porque a taxa de juros 
de mercado é de 10%. Considerada como um empréstimo de R$1.000,00 que 
paga somente juros e como essa obrigação paga menos que a taxa corrente, 
os investidores estarão dispostos a emprestar algum valor inferior à devolu-
ção prometida de R$1.000,00. Como a obrigação é negociada por um valor 
menor do que o valor de face, diz-se que está se obtendo um deságio.
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Estrutura financeira da empresa
207
Risco dos investidores 
– econômico e financeiro
Chama-se risco de variação de taxa de juros o risco que os investidores 
em obrigações correm em função das flutuações da taxa de juros no merca-
do. A dimensão do risco de variação da taxa depende de quanto sensível é o 
preço à mudança de taxa. Essa sensibilidade depende diretamente de dois 
fatores importantes: o prazo de vencimento e a taxa do cupom.
Logo, para analisar uma obrigação é importante verificar que:
 quanto maior for o prazo de vencimento, maior será o risco de varia-
ção da taxa de juros;
 quanto menor for a taxa do cupom, maior será o risco de variação da 
taxa de juros.
Portanto, dois riscos estão presentes nessas negociações:
 risco econômico – nem sempre a economia caminha como se deseja. As 
oscilações econômicas, e em especial atualmente, em que o mercado é 
globalizado, podem afetar de forma significa nas decisões empresariais.
 risco financeiro – esse termo de risco está relacionado à cobertura de 
uma variedade de riscos em que se incorre nas operações financeiras, 
tanto riscos de liquidez quanto riscos de crédito.
Grau de sensibilidade das obrigações
De modo geral, o motivo pelo qual as obrigações com prazos de venci-
mentos mais longos têm maior sensibilidade a mudanças da taxa de juros é 
que uma grande parcela do valor de uma obrigação vem do valor de face de 
R$1.000,00. O valor presente desse montante não é muito afetado por uma 
pequena mudança na taxa de juros caso o recebimento seja mais rápido, de 
no máximo um ano. Mas, mesmo uma pequena mudança na taxa de juros 
terá impacto substancial no preço da obrigação se ela estiver com um prazo 
de 30 anos.
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208
Estrutura financeira da empresa
Outra questão que deve ser observada: é importante conhecer o risco de 
variação da taxa de juros, como a maioria dos fatos em finanças, esse risco 
aumenta a taxas decrescentes. Isso é, se compararmos uma obrigação de 10 
anos com uma de 1 ano, vamos observar que a obrigação de 10 anos terá 
um risco de variação de taxa de juros muito maior. E se verificarmos uma 
de 20 anos com uma de 30, veremos que a de 30 anos terá uma sensibilida-
de maior a mudança da taxa de juros, mas essa diferença de risco será bem 
menor, e assim por diante.
Até pouco tempo não havia emissões de obrigações com prazos de ven-
cimento superiores a 30 anos, mas em novembro de 1995, a principal unida-
de operacional da americana Bell South emitiu 500 milhões de dólares com a 
venda de obrigações com prazo de 100 anos. A Walt Disney, Coca Cola e ABN 
Amro também emitiram obrigações com prazo de 100 anos.
Exemplo 1
Vamos avaliar duas obrigações idênticas em todos os sentidos, menos em 
relação a seus cupons, e claro, seus preços. As duas têm 12 anos até o venci-
mento. A primeira obrigação tem uma taxa de cupom de 10% e está sendo 
negociada a R$935,08. A segunda tem uma taxa de cupom de 12%. Qual 
deveria ser seu preço?
Como nossas duas obrigações têm uma série de aspectos muito seme-
lhantes, deverão ser cotadas a preços que resultem na mesma taxa de re-
torno. Portanto, precisamos calcular o rendimento da obrigação com taxa 
de cupom de 10%. Como já fizemos isso agora pouco, sabemos que a ta- 
xa precisa ser superior a 10%, pois a obrigação é vendida com deságio.
Um ponto importante a observar também é que a obrigação tem um 
prazo longo de 12 anos, e vimos que as obrigações com prazo longo são mais 
sensíveis à variação da taxa de juros. Logo, podemos imaginar que o rendi-
mento deve estar próximo de 10%. Um pouco de tentativa e erro mostra que 
a taxa é de 11%.
Então, vamos ao cálculo:
Valor da obrigação1 = R$100,00 . (1 – 1 / (1,11
12)) / 0,11 + R$1.000,00 / (1,11)12
= 100 . 6,4924 + R$1.000,00 / 3,4985
= R$649,24 + R$285,84
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Estrutura financeira da empresa
209
Logo: R$935,08
Valor da obrigação2 = R$120,00 . (1 – 1 / (1,11
12)) / 0,11 + R$1.000,00 / (1,11)12
= R$120,00 . 6,4924 + R$1.000,00 / 3,4985
= R$779,08 + R$285,84
Logo: R$1.064,92
Portanto, a uma taxa de 11% a segunda obrigação será vendida com ágio, 
pois seu cupom é igual a R$120,00.
Esse cálculo pode ser feito com a Calculadora HP-12C.
Obrigação 1 Obrigação 2
12 n 12 n
100 PMT 120 PMT
1000 FV 1000 FV
11 i 11 i 
PV PV
Visor: – R$935,08 Visor: – R$1.064,92
Exemplo 2
Analise a seguinte situação para a taxa de juros e preços das obrigações:
 Cupons = R$100,00 por ano.
 Valor de face = R$1.000,00.
 Data de vencimento = 2 anos.
Para taxa de juros = 10%, qual o valor da obrigação?
Solução:
VP = PMT / (1 + i) + (FV + PMT) / (1 + i)n
VP =
+( ) +
( )
+( )
R$100,00 R$1.000,00 + R$100,00
1 0 10 1 0 10 2, ,
VP = R$1.000,00
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210
Estrutura financeira da empresa
Exemplo 3
Vamos ver uma aplicação de retorno esperado até o vencimento.
(Yield to Maturity – YTM)
Nesse exemplo, sabemos o valor de mercado da obrigação, mas não co-
nhecemos a taxa de juros de mercado:
 Valor de mercado = R$1.035,67.
 Cupons = R$100,00 por ano.
 Valor de face = R$1.000,00.
Qual o retorno esperado até o vencimento?
PV = PMT / (1 + i) + (FV + PMT) / (1 + i)n
O retorno é a taxa da operação. É interessante observar que neste caso a 
taxa foi obtida a partir de tentativa e erro.
R$1.035,67 = R$100,00 / (1 + i) + (R$1.000,00 + R$100,00) / (1 + i)2
i (taxa de mercado) = 8% ao ano
Os títulos emitidos pelas empresas são classificados de forma mais sim-
ples como títulos de capital próprio ou títulos de dívida. Uma dívida repre-
senta um valor que precisa ser devolvido. Ela normalmente é resultado de 
um empréstimo, portanto, quando as empresas tomam valores emprestados, 
comprometem-se a fazer pagamentos regulares de juros, que é a remunera-
ção de quem emprestou, e devolver o montante, que é o valor emprestado 
mais os juros. Pessoas jurídicas que emprestam o dinheiro são denomina-
dos credores ou financiadores. Quem toma dinheiro é chamado de devedor 
ou tomador. Do ponto de vista das finanças, as diferenças principais entre 
dívida e capital próprio são:
 os dividendos pagos aos acionistas não podem ser deduzidos para cál-
culo do imposto de renda, mas os pagamentos de juros sobre a dívida 
das empresas é considerado um custo e é integralmente deduzido;
 os credores de uma empresa normalmente não possuem direito de 
voto, logo, uma dívida não representa direito de propriedade sobre a 
empresa;
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Estrutura financeira da empresa
211
 se as dívidas de uma empresa não forem pagas, os credores poderão 
legalmente tomar os ativos da empresa como pagamento. Isso nor-
malmente acaba resultandoem liquidação da empresa ou reorganiza-
ção, resultado de uma possível falência. Um dos custos de emitir dívi-
das é a possibilidade de falência. No caso de ações essa possibilidade 
não existe.
Muitas vezes se torna complicado entender se um título deve ser classi-
ficado como dívida ou capital próprio. As empresas têm uma grande habili-
dade em criar títulos que possuem muitas características de capital próprio, 
mas que são tratados como capital de terceiros. O que diferencia o capital 
próprio do capital de terceiros é muito importante do ponto de vista fiscal. 
Logo, uma das razões pelas quais as empresas procuram criar títulos da dívi-
da, que são na realidade capital próprio, é obter benefícios fiscais decorren-
tes da modalidade de capital de terceiros, aliando-se ao benefício de evitar 
a falência. O capital próprio, corresponde à participação na propriedade e 
no direito residual. Logo, isso significa que os acionistas são pagos após os 
credores. Como resultado, os riscos e benefícios associados à posse da dívida 
ou capital próprio são bastante diferentes.
Fundamentos das dívidas em longo prazo
Uma série de características distinguem os títulos de dívidas de longo 
prazo. Esses títulos são entendidos como compromissos que uma empresa 
que os emitiu tem de assumir, de pagar o valor principal no seu vencimento 
e, ainda, pagar pontualmente os juros sobre o saldo devedor.
Esses títulos da dívida são chamados de notas promissórias, obrigações 
ou debêntures. Já vimos que uma obrigação é uma dívida com alguma forma 
de garantia. Mas, o termo obrigação se designa para todos os títulos de dívi-
das, garantidos ou não.
O período de tempo pelo qual a dívida continua existindo com algum 
saldo devedor é chamado de prazo de vencimento de um instrumento de 
dívida de longo prazo.
Os formatos principais de dívidas em longo prazo são emissões públicas 
e colocações privadas.
Não existe um acordo universal sobre a distinção entre dívida em curto 
e em longo prazo. Frequentemente fala-se de dívidas a médio prazo, cujo 
vencimento é superior a um ano e inferior a três ou cinco anos.
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212
Estrutura financeira da empresa
A diferença principal entre dívidas com emissão pública e com emissão pri-
vada está no fato de que as emissões privadas são colocadas diretamente junto 
às instituições financeiras, e assim, não são ofertadas ao público em geral.
Acordo fiduciário
O acordo escrito entre a empresa que toma os recursos emprestados e 
os seus credores é chamado de escritura de emissão, ou ainda, de acordo 
fiduciário. Normalmente, um agente fiduciário, como um banco, por exem-
plo, é nomeado pela empresa para ser o representante dos portadores das 
obrigações. É papel desse agente:
 gerenciar o fundo de amortização;
 assegurar que os termos da escritura de emissão sejam cumpridos;
 representar os portadores de obrigações em caso de inadimplência, 
isto é, se a empresa não honrar os pagamentos conforme acertado.
A escritura de emissão de obrigações é um documento legal. Pode ter 
algumas centenas de páginas e, geralmente, exige uma leitura arrastada e 
muito complexa. De forma geral, ele possui as seguintes cláusulas:
 os termos básicos da obrigação;
 o valor total emitido;
 a descrição dos bens dados em garantia;
 o esquema de pagamento;
 as cláusulas de resgate antecipado, se necessário.
Termos de uma obrigação
Uma empresa tem um livro em que registra a propriedade de cada uma 
das obrigações emitidas, bem como quaisquer alterações a esse respeito. 
A empresa pagará juros e principal, enviando um documento na forma de 
cheque diretamente ao endereço do proprietário da obrigação. Uma obriga-
ção pode ser registrada e ter cupons anexados. Para receber o pagamento de 
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Estrutura financeira da empresa
213
juros, o proprietário ou titular deve destacar o cupom do certificado e enviá- 
-lo ao agente pagador da empresa.
As obrigações podem ser ao portador. Nesse caso, o certificado é a evi-
dência básica da propriedade e a empresa irá pagar ao portador. Assim, a 
titularidade não é registrada com cupons anexados.
Entretanto, existem desvantagens no caso de obrigações ao portador. 
São muito difíceis de serem recuperadas quando os certificados são perdi-
dos ou roubados e a empresa não sabe quem são os proprietários de suas 
obrigações e assim não poder notificá-los.
Garantias
Garantia é um termo que representa títulos oferecidos para garantir um 
pagamento. Logo, por exemplo, as ações ordinárias que uma empresa tem 
podem ser ofertadas em caução para garantir as suas obrigações. Mas, o 
termo é normalmente utilizado de maneira mais ampla, fazendo referência 
a qualquer tipo de garantia. Os títulos da dívida são classificados de acordo 
com as garantias e hipotecas existentes para proteger seus credores.
Os títulos hipotecários são garantidos por hipotecas sobre bens reais do 
tomador de recursos. Normalmente envolvem imóveis, como terrenos ou pré-
dios. O documento geral que descreve a hipoteca é uma escritura de hipoteca.
Mas é preciso ficar claro que as hipotecas são sobre propriedades espe-
cíficas, por exemplo, um trem. Mas, frequentemente são utilizadas hipotecas 
mais abrangentes. Uma hipoteca é abrangente quando oferece uma garantia 
sobre todos os bens reais possuídos pela empresa. Bens reais incluem terrenos 
e outros ativos permanentes. Não incluem caixa, nem estoque.
Em outros momentos, as obrigações representam compromissos não ga-
rantidos pela empresa. Uma debênture é uma obrigação não garantida, isto 
é, não há hipoteca de qualquer bens da empresa. A expressão nota promis-
sória geralmente é utilizada quando os instrumentos são inicialmente emiti-
dos com prazos de vencimento de no máximo dez anos. Os debenturistas só 
têm direito sobre os bens não hipotecados da empresa. Em outras palavras, 
seus direitos estão restritos aos bens da empresa remanescentes após levar 
em conta as garantias gerais.
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214
Estrutura financeira da empresa
Preferência
A preferência indica a superioridade hierárquica em relação a outros cre-
dores, e essa preferência às vezes é indicada pelos adjetivos preferencial ou 
subordinado para denotar a preferência. Logo, uma debênture pode ser su-
bordinada. Em caso de não pagamento, os portadores de títulos subordinados 
precisam dar preferência a outros credores especificados. Isso significa que 
os credores subordinados só receberão alguma coisa após os especificados 
serem remunerados. Porém, uma dívida não pode ser subordinada a ações.
Pagamento
As obrigações podem ser resgatadas somente na data do vencimento, 
na qual os credores recebem o valor declarado ou de face da obrigação, ou 
podem ser resgatadas parcial ou integralmente antes do vencimento. O es-
quema de pagamentos antecipados é a forma mais comum, operacionaliza-
do normalmente por meio de um fundo de amortização. Um fundo de amor-
tização é uma conta gerenciada pelo agente fiduciário com a finalidade de 
resgatar a obrigação. A empresa efetua pagamentos anuais ao agente fidu-
ciário, que então utiliza os fundos para resgatar parcelas da dívida. O agente 
faz isso comprando algumas das obrigações no mercado, ou convocando 
uma parcela das obrigações existentes para resgate. Existem diversas moda-
lidades de fundo de amortização, e seus detalhes são descritos na escritura 
de emissão, conforme já falamos anteriormente. Por exemplo:
 alguns pagamentos a fundos de amortização podem ter início 10 anos 
após a data da emissão;
 alguns fundos de amortização preveem pagamentos constantes ao 
longo davida das obrigações;
 algumas emissões de obrigações de alta qualidade preveem paga-
mentos ao fundo de amortização, que são insuficientes para resgatar a 
emissão completa. Logo, existe possibilidade de pagamento do saldo 
devedor no vencimento.
Resgate antecipado
Normalmente, o preço de resgate antecipado é superior ao valor declarado, 
isto é, ao valor nominal. A diferença entre o preço de resgate antecipado e o 
declarado é o prêmio de resgate antecipado. O tamanho do prêmio de resgate 
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Estrutura financeira da empresa
215
antecipado diminui com o passar do tempo. Uma possibilidade é estabelecer 
inicialmente um prêmio de resgate antecipado igual ao pagamento de um 
cupom, e depois reduzi-lo a zero à medida que a data de resgate de aproxima.
Essa cláusula permite à empresa recomprar parte ou toda a obrigação 
que foi emitida e, normalmente, essas obrigações são resgatáveis de forma 
antecipada. Frequentemente, as cláusulas de resgate não vigoram durante a 
primeira etapa da vida da obrigação. Isso faz com que a cláusula de resgate 
antecipado seja uma preocupação a menos para os credores nos primeiros 
anos de vida da obrigação.
Cláusulas de proteção
Podemos chamar de cláusulas de proteção, ou ainda, cláusula protetora, 
a fração da escritura de emissão do empréstimo que limita determinadas 
ações da empresa durante o período de vigência do empréstimo. São classi-
ficadas como cláusulas positivas e negativas.
As cláusulas positivas determinam algumas ações que a empresa concor-
da em fazer, por exemplo:
 apresentar em períodos regulares de tempo as demonstrações finan-
ceiras que foram auditadas para os credores;
 manter as garantias e os ativos em condições boas ou pelo menos, 
capazes de gerenciar suas atividades com certa tranquilidade;
 a empresa precisa manter seu capital de giro pelo menos nos níveis 
gerenciais administráveis.
Mas existem também as cláusulas negativas que limitam as ações da em-
presa. As mais importantes são:
 não pode haver fusões com outras empresas;
 vender ou arrendar os principais ativos sem aprovação dos credores é 
determinantemente proibido;
 limitar o montante de dividendos que pagará de acordo com uma po-
sição anteriormente determinada;
 não assumir dívidas adicionais de longo prazo.
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216
Estrutura financeira da empresa
Risco de obrigações (ratings)
As principais organizações internacionais que prestam esse serviço de 
classificação de riscos são a Moody’s e Standard and Poor’s. As classificações 
(ratings) são avaliações de risco da empresa que emitiu os títulos de dívida. 
As avaliações estão baseadas na probabilidade de que as empresas possam 
não honrar os compromissos assumidos e na proteção que os credores têm 
nesses casos de inadimplência.
Os ratings de obrigações dizem respeito somente à possibilidade de 
inadimplência, logo, são bastante limitados. Eles são constituídos com base 
em informações fornecidas pela empresa emitente. As classes de rating e 
algumas informações que dizem respeito a elas se classificam, conforme 
tabela a seguir.
O rating mais alto que uma empresa pode possuir se classifica como AAA, 
e esses títulos são considerados como tendo a qualidade mais alta e o risco 
mais baixo. Mas essa classificação não é dada com muita frequência, até 
porque, de forma concreta, as empresas nem sempre estão em excelentes 
condições. A classificação AA indica títulos de dívida de muito boa qualidade 
e esses títulos são muito mais comuns. O rating mais baixo é D e corresponde 
a dívidas de empresas inadimplentes.
Tabela 1 – Classificação dos ratings
Rating Característica
20
07
 –
 F
on
te
: M
or
ga
n 
&
 B
rit
ne
y,
 E
U
A
.
AAA Capacidade de juros e pagamentos excelente. Rating mais alto.
AA Grupo também de qualidade alta, em que a capacidade de pagamento de juros e principal é muito boa.
A Embora estejam sujeitos a efeitos adversos da economia e mercado possuem boa capacidade de pagamento dos juros e principal.
BBB
Com esse rating são considerados como tendo capacidade adequada de pagamen-
to de juros e devolução do principal. Embora apresentem, normalmente, parâme-
tros adequados de proteção, as condições econômicas adversas podem reduzir 
rapidamente sua capacidade de cumprir os compromissos. São chamados títulos 
de qualidade média.
BB, B
São chamados de investimentos muito especulativos no que se refere à capacidade 
de pagamento de juros e principal. BB e Ba indicam o nível mais baixo de especula-
ção e CC e Ca os níveis mais altos de especulação. Mesmo que esses títulos possuam 
algumas características de qualidade e proteção ao credor, acaba existindo grande 
incerteza na exposição a riscos ou situações adversas.
C Esse rating é reservado para obrigações de renda variável que no momento não estão pagando juros.
D Títulos em situação de inadimplência, com o pagamento de juros e principal em atraso. Situação bastante perigosa.
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Estrutura financeira da empresa
217
Obrigações governamentais
Os Estados Unidos são o maior emissor de obrigações governamentais. 
Em 1998, a dívida do governo americano já chegava a 5,5 trilhões de dólares. 
Quando o governo deseja tomar dinheiro emprestado no mercado pelo perí-
odo de um ano ou mais, emite notas e obrigações do tesouro público, popu-
larmente conhecido como título de dívida pública. Atualmente, nos Estados 
Unidos, os prazos de vencimento dessas obrigações variam entre 2 e 30 anos.
Na maior parte das vezes, as emissões de governo americano envolvem 
obrigações simples como pagamento de cupons. Algumas emissões mais an-
tigas possuem cláusula de resgate antecipado e outras possuem algumas ca-
racterísticas incomuns. Porém, dois aspectos devem ser levados em conside-
ração: primeiro, as emissões do governo americano, diferentemente de quase 
todas as outras obrigações, não possuem risco de inadimplência, porque se 
espera que o tesouro americano sempre obterá os recursos para fazer os pa-
gamentos devidos. Em segundo plano, as emissões do tesouro são isentas dos 
impostos estaduais, mas não dos impostos federais. Os governos estaduais e 
locais também tomam dinheiro emprestado, emitindo suas notas e obriga-
ções. Essas emissões são denominadas notas ou obrigações locais.
Obrigações de cupom zero
São chamadas de obrigações de cupom zero aquelas que não pagam 
cupom e precisam ser oferecidas a um preço bastante inferior ao valor 
declarado.
Vamos ver um exemplo:
A Companhia ABC emite uma obrigação sem cupom, com o prazo de 
cinco anos e com valor nominal de R$1.000,00. O preço inicial dessa obri-
gação é estabelecido em R$497,00. Podemos observar rapidamente que a 
esse preço o rendimento da obrigação até o vencimento é de 15%. O total 
de juros pagos ao longo do prazo da obrigação é R$1.000,00 – R$497,00 = 
R$503,00.
Para fins fiscais, o emitente de uma obrigação de cupom zero é obriga-
do a deduzir os juros de cada ano, mesmo não pagando juros algum. Pelo 
mesmo motivo, o portador precisa recolher impostos sobre juros, mesmo 
que não tenha recebido na realidade.
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218
Estrutura financeira da empresa
A maneira pela qual os juros anuais são calculados, no caso de obrigações 
de cupom zero, é regulamentada pela legislação tributária. Até 1982, nos 
Estados Unidos, as empresas podiam calcular sua dedução de juros em bases 
lineares, isto é, no caso da ABC, a dedução anual teria sido de R$503,00 / 
5 anos = R$100,60 por ano.Já algumas obrigações têm cupom zero somente em parte do prazo. 
Por exemplo, a General Motors emitiu uma debênture que é a combinação 
de uma obrigação de cupom zero com uma obrigação com pagamento de 
cupons. Essa debênture foi emitida em 15 de março de 1996, e não pagará 
cupons até 15 de setembro de 2016. Nesse momento, passará a pagar cupons 
a uma taxa de 7,75% ao ano, em pagamentos semestrais, e isso ocorrerá até 
seu vencimento final, no ano de 2036.
Ou seja, há uma carência no prazo de pagamentos de cupons, ou seja, 
num período após a emissão esses cupons pagarão zero aos seus portado-
res, mas serão compensados monetariamente após, com taxas mais altas.
Obrigações com taxas flutuantes
No caso das obrigações com taxa flutuante, os pagamentos de cupons 
são variáveis e os ajustes estão ligados a um índice de juros, por exemplo, a 
taxa de juros das letras do tesouro por um prazo normalmente de 30 anos. 
O valor de uma obrigação com taxa flutuante depende de como o ajuste do 
cupom será definido. Na maior parte dos casos, o cupom é ajustado com 
algum atraso, em relação a alguma taxa de juros. O cupom com taxa flutuan-
te tem algumas características interessantes:
 O portador tem o direito de exigir a liquidação antecipada do título, 
pelo valor de face no dia do pagamento de cupom após determinado 
prazo. Esta cláusula é chamada de termo de liquidação.
 O cupom possui um piso e um teto, o que significa que o cupom está 
sujeito a um valor máximo e um valor mínimo. Nesse caso, o cupom é 
chamado de capped e o conjunto das taxas superior e inferior é deno-
minado collar.
Mercado de obrigações
No mercado, as obrigações são diariamente vendidas e compradas num 
ritmo de grande volume. É interessante saber que o volume comprado e 
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219
vendido de obrigações em um só dia é muito maior que o volume de ações 
negociadas no mercado, talvez, umas cinco vezes. A maioria das operações 
de compra e venda de obrigações ocorrem normalmente no mercado de 
balcão. Logo, não existe uma localização física para essas negociações, ou 
seja, elas ocorrem através dos distribuidores espalhados pelo país. Hoje, 
todas essas operações se dão eletronicamente.
O número de emissões de obrigações supera em muito o de emissões 
de ações, por isso esse mercado trabalha com volume tão grande. As razões 
principais que levam a isso são, em primeiro lugar, o fato de a empresa possuir 
normalmente apenas uma categoria de ações ordinárias, ao mesmo tempo 
que uma só empresa pode possuir inúmeros títulos de dívida emitidos em 
várias categorias; e, geralmente, as dívidas públicas são muito grandes.
Praticamente todo mercado de obrigação, como já vimos, é negociado 
em balcão. Por isso existe pouca transparência nessas transações. Podemos 
dizer que um mercado é transparente quando se pode observar seus preços, 
forma e volume negociados. A diferença para a bolsa, por exemplo, é que 
lá é possível obter na hora o valor e a quantidade que foram transaciona-
dos. Já no mercado de obrigações existem tantos entraves técnicos, ope-
racionais e políticos que tornam isso praticamente impossível. Ou seja, as 
transações são negociadas entre as partes de forma privada e não há uma 
organização dessas transações e muito menos vontade política de divulgá- 
-las publicamente.
Mesmo sendo o total de obrigações muito maior que o total de ações 
negociadas, somente uma pequena parcelas dessas emissões é negociada 
de forma frequente. Isso e mais a falta de transparência do mercado de obri-
gações fazem com que fique difícil qualquer tipo de acompanhamento.
Divulgação dos preços das obrigações
Vimos que a maioria das obrigações é negociada em mercado de balcão, 
mas existe uma parte delas que é negociada e está associada à Bolsa de Va-
lores. Para essas obrigações há a divulgação correta e praticamente diária 
de todas as informações essenciais, como preço, volume negociado, ranking. 
Por estarem associados à bolsa, seguem toda uma regulamentação, em que 
conceitos éticos devem ser respeitados. Por isso, nessa fração de mercado, 
há sempre um bom nível de transparência na transação das obrigações. A 
Bolsa divulga o rendimento corrente dessas obrigações. O rendimento cor-
rente é o cupom de uma obrigação dividido por seu preço de fechamento.
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Estrutura financeira da empresa
Para entendermos o preço de fechamento é preciso conhecer dois ele-
mentos fundamentais: o preço de compra da obrigação (BID) e o preço de 
venda dessa mesma obrigação, chamado Asked. No mercado de balcão, o 
preço de compra indica o que o distribuidor está disposto a pagar pelo título 
de dívida, e o preço de venda, o que está disposto a receber. A diferença entre 
esses dois preços é o que se chama no mercado internacional de spread e re-
presenta o lucro que o distribuidor terá ao final dessa operação.
Obrigações – taxa nominal e taxa real
Primeiro, para efeito de revisão, vamos nos lembrar do que é uma taxa 
nominal e uma taxa real. A taxa nominal de um investimento é a variação 
percentual da quantidade de dinheiro que se possui. A taxa real de um inves-
timento é a variação percentual do quanto se pode comprar com seu dinhei-
ro, ou ainda, a variação percentual de seu poder aquisitivo.
Logo, as taxas são chamadas de nominais quando não são ajustadas pela 
inflação. As taxas reais consideram os efeitos inflacionários do período e 
estão ajustadas ao fenômeno da inflação.
Podemos desenvolver um exemplo, para entender o efeito da inflação:
Vamos imaginar que os preços estejam subindo neste momento à taxa 
de 5% ao ano. Logo, podemos dizer que a taxa de inflação é de 5%. Logo, um 
investimento que dentro de um ano valerá R$1.150,00 tem um custo hoje de 
R$1.000,00. Logo, podemos dizer que a taxa de retorno desse investimento 
foi de 15,5%, não levando em conta o processo de inflação. Este é o seu retor-
no nominal. Imagine que uma passagem custe R$50,00 no início do período. 
Com R$1.000,00 podemos comprar 20 passagens. Com uma taxa de inflação 
de 5%, a passagem custará 5% a mais, isto é R$52,50 ao final de um ano. Logo, 
ao fazer o investimento, vamos ver quantas passagens poderemos comprar 
ao final do ano. Essa é a taxa de retorno desse investimento, que terá implíci-
ta a taxa de inflação. Logo, essa é a taxa real. Portanto, R$1.150,00 / R$52,50 
será igual a 22 passagens. Logo, nosso retorno será igual a 10%.
Efeito Fischer
Tem esse nome em homenagem ao economista Irving Fischer e mostra a 
relação entre as taxas reais e nominais. Como em última instância o investidor 
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221
está preocupado com o que pode comprar com seu dinheiro, sempre exigi-
rão uma taxa de retorno que recompense pela inflação. Então, o efeito Fis-
cher mostra a seguinte relação:
1 + R = (1 + r) . ( 1 + h), onde h representa a taxa de inflação.
Portanto, considerando uma taxa nominal de 25,5% e uma taxa de infla-
ção de 7%, qual será a nossa taxa real do investimento?
1 + 0,2550 = (1 + r) . (1 + 0,07)
1 + r = 1,2550 / 1,07
1 + r = 1,1728
Logo: r = 1,1728 – 1
Logo: r = 0,17 ou 17%
Então, podemos admitir que a taxa nominal tem três componentes: pri-
meiro, existe uma taxa real sobre o investimento; existe também, uma com-
pensação pelo decréscimo do valor da importância original, em função da 
inflação. E, por fim, existe uma compensação pelo fato de que o dinheiro 
ganho com o investimento também vale menos devido à inflação.
Estrutura e termo da taxa de juros
É a relação entre taxas de juros nominais de títulos livres derisco de 
inadimplência, do tipo de desconto puro e o prazo de vencimento.
A taxa de juros a curto prazo e a longo prazo geralmente são diferentes. 
Em algumas vezes, as taxas de curto prazo são mais altas e em outras vezes 
mais baixas. Isso acontece também com as taxas de longo prazo. Logo, o 
mercado não é estático e suas taxas flutuam em função de cada momento. 
Quando as taxas de longo prazo são maiores que as taxas de curto prazo, 
dizemos que a estrutura da taxa de juros tem inclinação positiva, e quando 
ocorre o contrário, a estrutura da taxa de juros tem inclinação negativa.
O que determina esses comportamentos? São três os componentes bási-
cos: os dois primeiros foram aqueles vistos anteriormente: a taxa de juros e a 
taxa de inflação. A taxa real de juros é a compensação exigida pelo investidor 
para ceder o uso de seu dinheiro. Podemos considerar isso como o valor puro 
do dinheiro no tempo, após levar em consideração os efeitos da inflação.
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Por isso, os investidores exigem uma compensação por essa perda gerada 
por taxas inflacionárias mais altas. Essa compensação é chamada de prêmio 
de inflação.
O prêmio de inflação é a parcela da taxa nominal de juros que representa 
a compensação pela inflação futura esperada.
Existe ainda o prêmio pelo risco de variação da taxa de juros que é a com-
pensação exigida pelos investidores para suportar o risco de variação da taxa 
de juros.
O prêmio pelo risco de inadimplência é a porção da taxa nominal de juros 
ou do rendimento da obrigação que representa a compensação pela possi-
bilidade de inadimplência. É importante que se reconheça que os rendimen-
tos das obrigações são calculados imaginando-se que todos os pagamentos 
prometidos serão realizados. Como isso pode não acontecer, isto é, o rendi-
mento prometido pode não ocorrer, por falta de pagamento e liquidez do 
título, daí a importância do prêmio de risco por inadimplência.
Algumas obrigações, como as municipais e estaduais, normalmente 
são isentas de grande parte dos impostos e, consequentemente, oferecem 
rendimentos bem inferiores às demais, que são tributadas. Os investidores 
exigem um rendimento adicional nessas obrigações que são tributáveis por 
causa do tratamento tributário desfavorável. Essa compensação adicional se 
chama prêmio pela tributação.
E, por fim, as obrigações possuem graus diferentes de liquidez. Vimos que 
há uma grande quantidade de obrigações, sendo que a maior parte não é 
negociada em bases regulares e transparentes. Logo, se o objetivo é vender 
um título rapidamente pode-se não obter o preço que se deseja. Os investi-
dores preferem ativos com fácil liquidez, portanto, exigem um prêmio pela 
liquidez, além de todos os outros prêmios que já foram vistos. Assim, se todo 
restante permanecer constante, as obrigações menos líquidas terão maiores 
rendimentos do que as mais líquidas.
Alavancagem financeira
A alavancagem financeira representa os custos financeiros fixos nos re-
sultados da empresa. Pode ser definida como o uso dos custos financeiros 
para ampliar os efeitos de variações do lucro antes dos juros e impostos (Laji) 
sobre o lucro por ação da empresa (LPA). Normalmente, as grandes empre-
sas que emitem obrigações são sociedades por ações.
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Logo, a determinação do preço e do rendimento das obrigações está re-
lacionada quase sempre a fluxos de caixa não homogêneos. O valor de uma 
obrigação normalmente se movimenta em direção contrária ao da taxa de 
juros de mercado e isso pode levar a grandes perdas para quem investiu em 
obrigações. O LPA pode ficar muito abaixo do esperado e, assim, comprar 
obrigações se torna um investimento de risco razoavelmente elevado.
Existe ainda um fator agravante, como vimos neste capítulo, que é o nível 
de transparência na negociação de obrigações ser baixo e, por isso, muitas 
vezes torna-se difícil saber o verdadeiro Laji da empresa. Logo, a necessidade 
dos prêmios apresentados (prêmio de inflação, prêmio pelo risco de variação 
da taxa de juros, pela inadimplência, pela tributação e liquidez), pois têm a 
função de dar maior tranquilidade ao investidor.
E, também, vimos como a alavancagem financeira pode mostrar o grau 
de perda ou ganho da empresa, com base em seus custos.
Mercado de ações
É muito mais complexo avaliar ações do que obrigações, por uma série 
de razões. As ações, principalmente as ordinárias, não possibilitam conhecer 
com antecipação os fluxos de caixa que podem prometer. Existe ainda o fato 
de que como esses investimentos são normalmente eternos, eles não têm 
prazo de vencimento definido. Um outro ponto importante é que não há 
forma de observar os taxas de retorno exigidas.
Vamos ver um exemplo de aplicação:
Você pretende comprar uma ação hoje para vendê-la daqui um ano. Com 
base em dados históricos e outras informações, você presume que a ação 
valerá R$100,00 no prazo de um ano; faz uma previsão de que a ação irá 
pagar R$18,00 de dividendos neste prazo. Se você deseja uma taxa de retor-
no de 20% nesta aplicação, quanto no máximo estará disposto a pagar por 
essa ação? Isto é, qual é o valor presente do dividendo que somado com o 
valor final da ação, trará um retorno de 20%? Se você comprar a ação hoje e 
vendê-la ao final de um ano terá R$118,00 de valor final.
Valor presente = (R$18,00 + R$100,00) / 1,20
Valor presente = R$98,33
Logo, R$98,33 é o valor dessa ação hoje.
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Logo, podemos representar essa situação também através de fórmula:
P0 = o preço da ação hoje
P1 = o preço da ação daqui a um certo período
D1= dividendo pago no final de certo período.
r = taxa de retorno exigida pela mercado.
Portanto, P0 = (D1 + P1) / ( 1 + r)
P0 = (R$18,00 + R$100,00) / (1 + 0,20)
P0 = R$98,33
Logo, se quiséssemos saber o valor da ação hoje, teríamos que prever 
pelo menos esse valor em um tempo futuro, normalmente de um ano. Como 
em um tempo futuro muitas variáveis esperadas e não esperadas podem 
ocorrer, avaliar ações é muito mais complexo que obrigações.
Ampliando seus conhecimentos
Reebok – um passo atrás
A partir da década de 1980, uma parcela crescente dos empréstimos de 
empresas assumiu a forma de obrigações de baixa qualidade (junk bonds). 
Quando chegam a ser classificadas, essas obrigações sempre ficam abaixo do 
grupo de qualidade superior. Títulos de nível médio são aqueles que recebem 
rating BBB. Algumas obrigações são chamadas de crossover ou 5B. Isso se deve 
ao fato de que são classificadas como BBB por uma agência e de BB por outra. 
Por exemplo, em 1996 a TCI Communications vendeu títulos com prazo de três 
anos com rating BBB pela S&P e BB pela Moody’s. Portanto, uma agência classi-
ficou a obrigação como sendo de nível intermediário e a outra como junk.
O rating de crédito de uma obrigação pode alterar-se à medida que sua ca-
pacidade financeira melhore ou deteriore-se. Por exemplo: na segunda-feira, 
de 29 de julho de 1996, a Reebok anunciou seus planos de recomprar um 
terço de suas ações, tendo a compra o valor de 864 milhões de dólares. Logo 
em seguida, a Moody’s e a S&P anunciaram que estavam revendo as dívidas 
da Reebok para ver se as obrigações teriam seus ratings alterados em razão 
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225
da compra. As agências de rating de crédito estavam preocupadas com a pos-
sibilidade de que a recompra dificultasse aposição competitiva da empresa. 
Ainda em 1996, a Moody’s realmente rebaixou as dívidas a longo prazo da 
empresa, passando a caracterizá-la com o status de junk bond.
(The New York Times, 1 jun. 2005. In: Agência Estado, maio 1995.)
Veja que outra reportagem muito interessante que foi publicada, falando sobre 
a capacidade do Brasil de pagar suas obrigações.
Risco Brasil acumula alta 
de 25% no ano com “desova” de títulos
O risco Brasil, termômetro da desconfiança do investidor estrangeiro na ca-
pacidade de o país pagar sua dívida, acumulou uma alta de 10% nesta semana 
e de 25% no ano. Só hoje, o indicador subiu até 3,6%, atingindo máxima de 480 
pontos, o patamar mais elevado desde outubro de 2004. Essa disparada do risco 
reflete a desvalorização dos títulos da dívida externa brasileira, como o C-Bond 
e o Global 40, e as mudanças realizadas nas carteiras de grandes investidores, 
que estão preferindo comprar papéis do Tesouro dos EUA. Nas últimas sema-
nas, grandes bancos e fundos “desovaram” papéis brasileiros no mercado, que 
desabaram para o preço mais baixo desde setembro do ano passado. Por exem-
plo, as principais instituições financeiras norte-americanas como JP Morgan e 
Merrill Lynch recomendaram nos últimos dias a seus clientes que reduzam suas 
aplicações em títulos de países emergentes, como o Brasil.
(The New York Times, 1 jun. 2005. In: Agência Estado, maio 1995.)
Atividades de aplicação
1. Em uma obrigação, quais os elementos fundamentais que devem es-
tar presentes nessa modalidade?
2. Uma obrigação é emitida com valor de face de R$10.000,00. O valor 
de cada cupom é de R$90,00. O período é um ano. Determine a taxa de 
cupom dessa transação.
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Estrutura financeira da empresa
3. Como definir uma escritura de emissão e quais são as principais 
escrituras?
4. Uma operação com obrigações registra uma taxa nominal de 16,4% 
ao ano e uma taxa de inflação de 3,9% no mesmo período. Determine 
a taxa real aplicada para essa obrigação, utilizando a metodologia do 
Efeito Fischer.
5. Determinar o retorno esperado de mercado para a seguinte obrigação: 
Valor de mercado: R$2.071,34 
Valor de cupons: R$200,00 
Valor de face: R$2.000,00 
Qual será o retorno até o vencimento?
6. A Empresa ABC emite uma obrigação, conforme decisão de sua 
assembleia ordinária com valor de face de R$100.000,00. O valor de 
cada cupom é de R$1.300,00. O período é o ano comercial. Nessa 
transação, determine o valor da taxa correlacionada a esse cupom.
Gabarito
1. O cupom, que representa os juros pagos em uma obrigação; o valor 
de face, que é o valor do principal de uma obrigação e é devolvi-
do no final do prazo estabelecido; taxa de cupom, que é o valor do 
cupom anual dividido pelo valor de face da obrigação; e a data de 
vencimento, que especifica o dia em que o valor do principal da obri-
gação deverá ser pago.
2. Valor do cupom / Valor de face
 R$90,00 / R$10.000,00 = 0,009 ou 0,9% ao ano
3. Podemos dizer que é um acordo entre a empresa de seus financiado-
res, detalhando os termos da emissão dos títulos da dívida. 
 Uma é chamada nominativa, que é uma emissão em que se registra a 
propriedade de cada obrigação. Seu pagamento é feito diretamente 
ao proprietário.
 A outra se chama ao portador, e essa emissão é realizada sem o re-
gistro do proprietário. O pagamento será feito a qualquer pessoa que 
apresentar o certificado de obrigação.
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Estrutura financeira da empresa
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4. 1 + R = (1 + r) . ( 1 + h)
 1 + R = (1 + 0,164) . (1 + 0,039)
 1 + r = 1,1604 / 1,039
 1 + r = 1,116 
 r = 1,116 – 1
 r = 0,116 ou 11,6% ao ano
5. VP = PMT / (1 + i) + ((FV + PMT) / (1 + i)n)
 R$2.071,34 = R$200,00 / (1 + i) + (R$2.000,00 + R$200,00) / (1 + i)2
 i = 8% ao ano
6. Valor do cupom / Valor de face
 R$1.300,00 / R$100.000,00 = 0,013% ao ano
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Administração de caixa
Matemática e língua materna. Uma correlação de existência fundamental.
Ubiratan D’Ambrosio
Mercado e avaliação de ações
Sabemos que um dos principais objetivos do administrador financeiro é 
maximizar as receitas da empresa e, assim, suprir com tranquilidade suas ne-
cessidades de caixa. Logo, como a maioria das grandes empresas são socie-
dades por ações, esse objetivo também se estende em maximizar os preços 
das ações. Quando uma empresa possui ações negociadas pelo público, 
serão vendidas e compradas nas bolsas de valores. Por isso, é importante en-
tender qual o impacto sobre o controle e gestão de caixa da empresa, todo 
esse processo de negociação de ações.
Num determinado dia de 1997, quando a Bolsa de Valores de Nova York 
encerrou suas atividades, as ações da companhia Walmart estavam cotadas 
a 35,44 dólares. Nesse mesmo dia, uma montadora de automóveis fechava 
a 37 dólares e a companhia Netscape com produtos direcionados à internet, 
como o browser, fechava a 40 dólares. Se observarmos, os preços dessas três 
companhias eram muito semelhantes, portanto, imaginamos que elas esta-
vam oferecendo dividendos (retornos) muito semelhantes aos seus acionis-
tas. Mas nem sempre isso acontece. A Walmart distribuiu dividendos anuais 
por ação de 0,27 dólares. A montadora distribuiu dividendos de 1,60 dólares 
e a Netscape não pagou nenhum dividendo.
Perceba que nem sempre há conexão entre o valor de uma ação no mer-
cado e o quanto ela distribui de dividendos para seus acionistas. E aí está 
a necessidade de entender a administração de caixa para avaliar o grau de 
disponibilidades de uma empresa.
Ações de crescimento
É muito mais complexo avaliar ações do que obrigações. Em primeiro 
lugar, no caso das ações ordinárias, nem mesmo os fluxos de caixa que são 
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Administração de caixa
prometidos aos acionistas são conhecidos com antecedência. Também pelo 
fato de a maioria desses investimentos serem perpétuos, pois não apresen-
tam prazo de vencimento. E também pelo fato de haver grande dificuldade 
de medir os retornos que esses investimentos proporcionarão no futuro.
Uma questão interessante a se observar é: como ficam as ações de em-
presas que não pagam dividendos, como a Netscape, citada anteriormente. 
É normal que empresas pequenas e com crescimento acima da média rein-
vistam todo o lucro que geram e, assim, acabam não pagando dividendos, 
pelo menos durante certo tempo. É claro que nenhum acionista vai querer 
receber dividendo igual a zero por muitos anos.
Crescimento igual a zero
Uma ação que possui dividendos com crescimento igual a zero pode ser 
avaliada como se fosse uma perpetuidade, ou seja, os dividendos são sempre 
iguais e constantes no tempo.
Exemplo:
A Companhia ABC tem uma política de pagar um dividendo por ação de 
R$10,00 a cada ano. Se essa política continuar indefinidamente, qual será o 
valor da ação se a taxa exigida de retorno for de 20%?
Solução:
P0 = Div/r ou D/r, onde o valor r é a taxa de retorno esperada.
Logo: P0 = 10 / 0,20 = R$50,00
Logo, o valor da ação será de R$50,00 e essa ação tem a forma de uma 
perpetuidade.
Crescimento constante
Vamos considerar agora que sabemos que o dividendo de uma compa-
nhia irá crescer a uma taxa constante. Podemos chamar esta taxa de cresci-
mento de g. Sabendo-se ainda que o último dividendo pago foi D0, nosso 
próximo dividendo será igual a:
D1 = D0 . (1 + g)
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Administração de caixa
231
Se forem dois períodos, teremos:
D2 = D1 . (1 + g), logo,
= [D0 . (1 + g) ] . (1 + g)
= D0 . (1 + g)
2
E assim podemos continuar esse processo para calcular qualquer dividen-
do no futuro, logo, podemos partir do seguinte raciocínio:
Dt = D0 . (1 + g)
t
Os ativos que crescem a uma taxa constante são chamados de perpetui-
dades crescentes.
Exemplo:
A Companhia ABC acaba de pagar um dividendo de R$5,00 por ação. O 
dividendo da ABC cresce a uma taxa constante de 8% ao ano, durante quatro 
anos. Qual será o valor futuro do dividendo?
Solução:
R$5,00 . (1,08)4 = R$5,00 . 1,3604 = R$6,80
Logo, o dividendo crescerá R$1,80 ao longo dos próximos quatro anos. 
Podemos também prever um número infinito de dividendos futuros a uma 
única taxa de crescimento. E aí, se D0 é o último dividendo pago e g a taxa de 
crescimento constante, podemos expressar por:
P0 = D1 / (1 + r)
1 + D2 / (1 + r)
2 + .... + Dn / (1 + r)
n, sendo r nossa taxa de 
desconto.
Observação:
Se a taxa g de crescimento for menor que a taxa r de desconto, o valor 
presente dessa série de fluxos de caixa poderá ser apresentado por:
P
D
r – g0
0
=
( ). 1 + g
Essa fórmula recebe o nome de modelo de crescimento de dividendos.
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Administração de caixa
Portanto, um modelo de crescimento de dividendos é um modelo que 
determina o preço constante de uma ação através da divisão de seu primeiro 
dividendo obtido no futuro (normalmente um ano) pela taxa de desconto 
menos a taxa de crescimento. Vamos ver um exemplo de aplicação:
Exemplo:
Considere que um dividendo no momento zero seja de R$2,80, que a taxa 
de desconto seja de 13% e a taxa de crescimento igual a 6%. Determinar o 
preço dessa ação:
Solução:
P
D
r – g0
0
=
( ). 1 + g
P0 = R$2,80 . (1 + 0,06) / (0,13 – 0,06)
P0 = R$2,80 . 1,06 / 0,07
P0 = R$42,40
Agora, vamos imaginar que estejamos interessados em calcular o preço 
da ação do exemplo anterior para daqui há cinco anos. Para isso é necessário 
em primeiro lugar determinar o dividendo no momento cinco. Como o divi-
dendo no momento zero era de R$2,80 e a taxa de crescimento era de 6%, o 
dividendo no momento cinco será:
D5 = R$2,80 . (1,06)
5
D5 = R$2,80 . 1,3382
Logo: D5 = R$3,75
Com base no modelo de crescimento de dividendos, podemos dizer que 
o preço da ação daqui há 5 anos será de:
P5 = D5 . (1 + g) / r – g
P5 = R$3,75 . (1 + 0,06) / (0,13 – 0,06)
P5 = R$3,75 . 1,06 / 0,07
P5 = R$56,78
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Administração de caixa
233
Há uma premissa que diz: se os fluxos de caixa de um investimento au-
mentarem a uma taxa constante ao longo de um período de tempo, o valor 
do investimento crescerá na mesma proporção. Logo, o modelo de cresci-
mento de dividendos contém uma premissa implícita de que o preço da 
ação crescerá à mesma taxa constante que o dividendo.
Vamos ver um exemplo para entender melhor esse conceito:
Exemplo:
A Companhia ABC pagará o próximo dividendo no valor de R$6,00 por 
ação. Seus acionistas (investidores) exigem uma taxa de retorno de 15%, que 
é o que pagam empresas semelhantes à ABC. Os dividendos da ABC aumen-
tam 6% a cada ano. Utilizando o modelo de crescimento de dividendos, vamos 
determinar qual o valor da ação da ABC hoje e o seu valor daqui a seis anos.
Solução:
Observação: como o próximo dividendo D1 já foi dado, não precisamos 
ter a preocupação de multiplicar por (1 + g). Logo, o preço da ação da ABC 
hoje é:
P0 = D1 / (r – g)
P0 = R$6,00 / (0,15 – 0,06)
P0 = R$6,00 / 0,09
P0 = R$66,66
Já sabemos o valor da ação em um ano, que é R$6,00, podemos obter o 
dividendo para daqui há seis anos, fazendo:
D1 . (1 + g)
5 =
R$6,00 . (1,06)5 = R$8,02
Logo, o preço da ação para daqui há seis anos será:
P6 = D6 . (1 + g)/ (r – g)
P6 = R$8,02 . 1,06 / (0,15 – 0,06)
P6 = R$94,45
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Administração de caixa
Existem situações em que a taxa de crescimento de dividendo g é maior 
que a taxa de desconto r. Neste caso, teríamos uma ação com preço negati-
vo, pois r – g será menor que zero. Mas, na prática não é isso que ocorre. Se a 
taxa de crescimento for maior que a taxa de desconto, o preço da ação será 
infinitamente alto, logo, o valor presente dos dividendos vai ficando cada vez 
maior. O mesmo irá ocorrer se a taxa de crescimento g e a taxa de desconto 
r forem exatamente iguais. Na prática, não tem nenhum sentido nessas duas 
situações.
Componentes do retorno exigido
Vamos examinar agora quais as consequências do modelo de crescimento 
de dividendos para o retorno exigido. Até agora, calculamos P0 como sendo:
P
D
r g0
1=
−( )
Ajustando nossa fórmula, temos:
r g
D
P
− = 1
0
Isso mostra que o retorno tem dois componentes importantes. O primeiro 
componente é 
D
P
1
0
, que é definido como taxa de dividendo (dividend yield). 
Como ele é obtido a partir do coeficiente do dividendo esperado e o preço 
corrente da ação, é semelhante ao rendimento corrente de uma obrigação.
O outro componente do retorno total é a taxa de crescimento chamada 
g. Sabemos que essa taxa mostra como o preço da ação pode crescer. Logo, 
podemos interpretá-la como a taxa de ganho de capital, isto é, a taxa que 
mostra o crescimento do valor do investimento realizado.
A seguir um exemplo de aplicação para esses conceitos.
Uma ação está sendo negociada no mercado ao valor de R 35,00. O pró-
ximo dividendo a ser pago está projetado em R$2,50. Você imagina que o 
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235
dividendo crescerá a uma taxa de 10% ao ano ou menos, indefinidamente. 
Que retorno vai oferecer a ação, se suas projeções forem acertadas?
Solução:
r (taxa de dividendo) + g (taxa de ganho de capital)
r = D1/P0 + g
logo:
r = R$2,50 / R$35,00 + 10%
r = 0,071 + 10%
r = 7,1 + 10 = 17,1%
Portanto, essa ação tem um retorno exigido de 17,1%.
É possível verificar o resultado que obtivemos a partir do cálculo do preço 
da ação daqui há um ano. É só usar o modelo de crescimento de dividendos.
P1 = D1 . (1 + g) / (r – g)
= R$2,50 . 1,10 / (0,171 – 0,10)
= R$2,75 / 0,071
= R$38,73
Características das ações ordinárias
São ações que não possuem preferência especial, em casos de pagamen-
tos de dividendos, e nem em caso de falência da empresa. Uma sociedade 
por ações normalmente define que são os acionistas que elegem o seu con-
selho de administração, e esse conselho geralmente contrata os gestores 
que colocarão em prática suas linhas de administração. Logo, são os acionis-
tas os controladores dessa sociedade, porque possuem o direito de eleger 
seus administradores. Em tese, quase sempre, somente os acionistas têm 
esse direito.
A cada ano, esses conselhos são eleitos em assembleias ordinárias e quase 
sempre cada ação dá direito a um voto. Perceba que não é um voto por cada 
acionista. E é o voto da maioria dos acionistas que elege esses conselheiros.
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Administração de caixa
Contudo, esse mecanismo de eleição pode variar de empresa para em-
presa. A distinção principal está associada entre a maioria simples e a maio-
ria cumulativa. Imagine uma sociedade com dois acionistas, Pedro e José, e 
ambos querem ser membros do conselho. José não aceita Pedro no conselho. 
Serão quatroos conselheiros eleitos nesta assembleia. A votação cumulativa 
tem um mecanismo que permite a participação de grupos minoritários. Logo, 
se for permitida a votação cumulativa, o número total de votos que cada acio-
nista poderá dar será estabelecido primeiro. Normalmente, esse cálculo se dá 
entre o número de ações que cada acionista possui ou controla e o número de 
conselheiros que serão escolhidos. Em nosso caso, são quatro.
Portanto, neste tipo de votação, todos os conselheiros são eleitos de uma 
vez. Isso mostra que os quatro mais votados serão os novos integrantes do 
conselho. Logo, um acionista poderá repartir seus votos da forma que dese-
jar, sendo o suficiente para eleger um ou mais conselheiros, se ignorarmos a 
possibilidade de empate nesta situação. Ainda em nosso caso, Pedro possui 
20 ações e José possui 80 ações.
Vamos analisar se Pedro poderá conseguir um cadeira no conselho: Pedro 
possuirá 20 . 4 = 80 votos e José terá 80 . 4 = 320 votos. Se Pedro der todos os 
seus votos a si mesmo, estará com sua eleição garantida. Pois José não será 
capaz de dividir 320 votos entre quatro candidatos de maneira a dar mais do 
que 80 votos a todos e assim, Pedro terminará em quarto lugar na pior das 
situações.
Podemos dizer que votação cumulativa é aquela em que um acionista 
direciona todos os seus votos para um único membro do conselho de admi-
nistração da empresa.
Na votação simples, tudo é mais fácil. Todos os conselheiros são eleitos, 
um de cada vez. A cada rodada de votação, José pode dar 80 votos e Pedro 
seus 20. Logo, com certeza, José elegerá todos os seus candidatos. A única 
maneira segura de conseguir um lugar no conselho é ter pelo menos 50% 
das ações mais uma.
Há ainda a possibilidade de votar por procuração. A procuração é uma 
cessão de poderes dada por um acionista que permite a um terceiro utili-
zar suas ações em uma votação. É natural que os administradores que estão 
conduzindo a sociedade procurem obter o máximo possível de procurações, 
para manterem-se na administração.
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Algumas empresas procuram manter mais de uma classe de ações ordi-
nárias. Essas classes normalmente são criadas com direito de voto diferentes. 
Há empresas que possuem uma segunda classe de ações ordinárias, que não 
são negociadas publicamente. Elas estão nas mãos de membros da família 
ou de agentes fiduciários. Esse grupo, às vezes, pode ter um poder de voto 
expressivo. Esse tipo de modelo não é bem visto em geral pelas Bolsas de Va-
lores. A Bolsa de Valores de Nova York, que é a maior do mundo, não permite 
às empresas a criação de classes de ações negociadas publicamente com 
direito de voto diferentes. Mas há exceções, por exemplo, a Ford.
Podemos relacionar ainda outros direitos relacionados aos acionistas que 
possuem ações ordinárias:
 participar proporcionalmente no pagamento de dividendos;
 no caso de ativos remanescentes, após o pagamento dos passivos, 
também participar proporcionalmente. Isso em caso de liquidação da 
empresa;
 no caso de fusões e outras decisões muito importantes, têm o direito de 
deliberar e discutir nas assembleias gerais ordinárias e extraordinárias;
 algumas vezes, têm direito à participação proporcional em qualquer 
aumento de capital, e esse direito é chamado de direito de prefe-
rência. Isso significa que se a empresa emitir novas ações precisará 
primeiro oferecê-la aos acionistas existentes, antes de abrir para o 
público em geral. Uma das razões é possibilitar aos acionistas a opor-
tunidade de se defenderem contra a fragmentação de sua participa-
ção na empresa.
Dividendos
As sociedades anônimas possuem ações e estão autorizadas por lei a pagar 
dividendos aos proprietários dessas ações. Os dividendos que são pagos aos 
acionistas representam o retorno que estarão recebendo pelo capital que in-
vestiram de forma direta ou indireta nessa empresa. Quem define os critérios 
para pagamento dos dividendos é o conselho de administração da empresa.
Mas os dividendos têm características muito importantes que precisam 
ser avaliadas:
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 o dividendo não é um passivo da empresa. As empresas não podem 
falir pelo fato de não pagarem os dividendos. O pagamento ou não de 
dividendos depende de decisão do conselho de administração;
 os dividendos não são dedutíveis no imposto de renda de pessoa jurídica, 
isto é, são pagos normalmente com base no lucro líquido da empresa;
 dividendos recebidos por acionistas individuais são em grande parte 
considerados como receitas pelas autoridades tributárias, sendo inte-
gralmente tributados.
Características das ações preferenciais
Elas se diferem das ações ordinárias porque têm preferência na distribui-
ção de dividendos e ativos que a empresa possui em caso de liquidação. Os 
portadores das ações preferenciais devem receber seus dividendos, antes 
dos acionistas ordinários. Do ponto de vista legal e tributário, a ação prefe-
rencial é uma forma de capital próprio da empresa.
Mas um dividendo de ação preferencial não é semelhante aos juros rela-
tivos a obrigações. O conselho pode resolver não pagar dividendos de ações 
preferenciais, e essa decisão não tem necessariamente relação com o lucro 
líquido corrente da empresa.
Os dividendos podem ser cumulativos ou não. Se forem cumulativos e não 
forem pagos em determinado período, serão acumulados para o período se-
guinte. Porém, independente da situação, cumulativa ou não, os dividendos 
devem ser pagos antes que os acionistas ordinários recebam algum valor.
Frequentemente, as ações preferenciais são comparadas às obrigações, 
ou seja, as ações preferenciais são dívidas da empresa, uma espécie de obri-
gação do capital próprio. Os acionistas preferenciais recebem apenas um di-
videndo fixo e, se a empresa for liquidada, receberão um valor determinado 
previamente. As ações preferenciais, algumas vezes, podem ser convertidas 
em ações ordinárias, e podem ser resgatáveis.
Nos últimos anos, muitas emissões de ações preferenciais preveem a exis-
tência de um fundo de amortização, isto é, esses fundos criam um prazo de 
vencimento e logo essa emissão será totalmente resgatada.
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Mercado de ações
As ações são compradas e vendidas em várias bolsas de valores pelo 
mundo. Atualmente, as duas bolsas mais importantes se chamam New York 
Stock Exchange (Nyse – Bolsa de Valores de Nova York) e National Associa-
tion Securities Dealers Automated Quotation System (Nasdaq). No Brasil, a 
bolsa mais importante se chama Bovespa e deve se transformar nos próxi-
mos anos em uma das cinco maiores bolsas de valores do mundo.
Divide-se em mercado primário e mercado secundário. No mercado pri-
mário, também chamado de mercado de novas emissões, as ações são apre-
sentadas pela primeira vez ao mercado e vendidas aos investidores. No mer-
cado secundário, as ações são negociadas, isto é, compradas e vendidas por 
investidores.
Distribuidores e corretores de valores
A maior parte das transações realizadas com ações envolve distribuidores 
e corretores. Um distribuidor é um agente que compra e vende títulos de 
seu próprio estoque. Já um corretor é um agente que organiza a negocia-
ção de títulos entre investidores. É importante lembrar que um distribuidor 
avalia que preço estará disposto a pagar por uma ação e recebe o nome de 
preço de oferta de compra. O preço que irá vender esse título recebe o nome 
de preço de oferta de venda. A diferença entre o preço de venda e o preço de 
compra é chamado de spread, e essa é afonte de lucro distribuidor.
Um corretor faz a transação entre investidores, juntando os investidores 
que desejam comprar títulos com os que desejam vendê-los. Uma diferença 
dos corretores para os distribuidores é que eles não compram e vendem tí-
tulos comprados com recursos próprios, mas apenas fazem a intermediação 
entre os negócios.
Organização da bolsa de valores
A Bolsa de Valores de São Paulo é o único centro de negociação de ações 
do Brasil e se destaca como a maior Bolsa de Valores da América Latina, 
concentrando cerca de 70% do volume de negócios. Ela atua também em 
renda fixa e é dotada de uma base tecnológica comparável à dos mercados 
mais desenvolvidos do mundo. A Bovespa mantém um papel de destaque 
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perante os mercados internacionais, atuando na World Federation of 
Exchanges (WFE), na Federação Ibero-americana de Bolsas (FIAB) e na 
International Organization of Securities Commission (IOSCO).
A bolsa de valores possui centenas de membros. Portanto, coletivamen-
te, os membros são os donos da bolsa. Os donos podem comprar e vender 
títulos sem pagar comissão, por isso os assentos na bolsa são ativos muito 
valorizados. A maior parte dos membros da bolsa estão cadastrados como 
corretores comissionados. Eles são membros da bolsa que executam ordem 
de compra e de venda de ações de clientes transmitidas ao pregão. O se-
gundo grupo é formado por especialistas. Os especialistas são membros da 
bolsa que atuam como distribuidores de um pequeno número de títulos no 
pregão e são chamados geralmente de formadores do mercado.
São os especialistas que fornecem os preços de compra e de venda para 
os títulos aos quais gerenciam. Em terceiro plano temos os corretores de 
pregão. A função dos indivíduos desse grupo é serem designados pelos 
corretores comissionados para que executem algumas ordens de compra e 
de venda. Nos últimos tempos, os corretores de pregão vêm se tornando 
menos importantes devido ao avanço tecnológico. Hoje, programas como o 
Designated Order Turnaround (DOT) que significa "Giro de Ordem Designa-
da" permite que a maioria das ordens de compra e venda sejam transmitidas 
eletronicamente diretamente aos especialistas.
O último grupo é formado pelos operadores de pregão, que são os mem-
bros da bolsa que negociam por conta própria, antecipando-se às flutuações 
de preços desse mercado.
Os clientes de bolsa são os milhares de investidores individuais e deze-
nas de milhares de investidores institucionais que colocam suas ordens de 
compra e de venda de ações das empresas registradas. A Bolsa de Valores 
de São Paulo tem sido muito bem-sucedida em atrair esses fluxos de ordens. 
A economia estável e positiva do mercado brasileiro nos últimos anos permi-
tiu esse aumento considerável de transações na bolsa. Em um só dia, milhões 
de ações podem mudar de mãos.
Atividades de pregão
O dia de trabalho na Bovespa recebe o nome de pregão. Ele pode ser dividi-
do em viva voz ou eletrônico. O eletrônico também é chamado de megabolsa.
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No viva voz, os corretores que são funcionários das empresas corretoras 
que intermediam os negócios entre os investidores, compram e vendem 
ações das 11h até, aproximadamente, às 18h.
No megabolsa, toda negociação de compra e venda dos títulos é feito 
eletronicamente. Claro que o avanço da tecnologia nos últimos anos fez 
com que essa área da bolsa se desenvolvesse de forma espetacular. Através 
de um programa computacional, acontece o cruzamento de informações 
e as transações são efetuadas. Logo, uma corretora, ao receber a ordem 
de um investidor, de compra ou venda, entra no software com sua senha e 
informa à bolsa que alguém quer comprar um lote de ações. O programa 
irá procurar quem está vendendo esse lote. A partir daí, as partes fazem os 
contatos e acertos finais. No sistema eletrônico são negociadas as ações 
listadas na Bovespa e no pregão viva voz apenas as 15 ações com maior 
liquidez do mercado.
Nasdaq
A Nasdaq é maior que a Nyse se considerarmos o número de ações ne-
gociadas em vários dias. O mercado da National Association of Securities 
Dealers Automated Quotations, isto é, Sistema de Cotação Automatizada 
da Associação Nacional dos Distribuidores de Títulos, foi criado em 1971 e é 
uma rede computadorizada que mostra cotações de preços online aos assi-
nantes do sistema. Os distribuidores atuam como formadores de mercado e 
oferecem os preços de venda e compra e divulgam, ainda, a quantidade de 
ações que se obrigam a comprar a cada cotação de preço. As duas principais 
diferenças entre a Nyse e a Nasdaq são: sendo uma rede computadorizada, a 
Nasdaq não tem um endereço físico de negociação e possui um sistema com 
diversos formadores de mercado, pois é um sistema de especialistas.
Retornos sobre investimentos em ações
Retorno monetário
Quando compramos um ativo de qualquer tipo, como um lote de ações, 
por exemplo, nosso ganho ou perda nesse investimento será definido como 
retorno monetário sobre o investimento.
Vamos ilustrar com um exemplo prático:
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Partimos do pressuposto que a Empresa ABC tenha milhares de ações. 
Adquirimos algumas dessas ações no início do ano. Agora que estamos no 
final do ano, desejamos determinar qual foi o rendimento, ou seja, o desem-
penho de nosso investimento. Sabemos que ao longo do ano a ABC pagará 
dividendos aos acionistas e, como somos acionistas, somos também pro-
prietários da empresa. Portanto, deveremos receber algum dinheiro e esse 
dinheiro corresponde ao componente de rendimento corrente, resultado de 
possuirmos as ações.
Além dos dividendos, o ganho ou perda de capital, como já vimos, é a parte 
restante de nosso investimento. Essa parte é decorrente das variações do valor 
de nosso investimento. Vamos aplicar agora a uma situação de cálculo.
Exemplo:
No início do ano, uma ação está sendo vendida por R$37,00. Se comprar-
mos 100 ações, faremos um desembolso total de R$3.700,00. Se no final do 
ano a ação pagar um dividendo de R$1,85 e valor R$40,33, qual será nosso 
retorno monetário?
Solução:
P1 = D1 . Q
Dividendo = R$1,85 . 100 = R$185,00
Nosso ganho de capital será:
(P1 – P0 ) . Q
(R$40,33 – R$37,00) . 100 = R$333,00
Logo, nosso retorno monetário total será:
∑ D1 + GC, que é soma de todos os dividendos relativos a 100 ações mais 
o ganho de capital:
R$185,00 + R$333,00 = R$518,00
Portanto, se vendêssemos a ação no final do ano, o volume total de caixa 
que receberíamos seria igual ao investimento inicial mais o retorno total:
Volume total de caixa = Investimento Inicial + Retorno Total
R$3.700,00 + R$518,00 = R$4.218,00
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Podemos confirmar essas operações fazendo:
Valor recebido pelas vendas + dividendos das ações
R$40,33 . 100 + R$185,00
R$4.033,00 + R$185,00
R$4.218,00
Retorno percentual
É muito mais fácil entender as informações sobre retornos, quando estão 
apresentados na forma percentual, e não monetária, porque assim, indepen-
de do valor que foi investido.
Em nosso exemplo anterior, vimos que o preço da ação no início do ano 
era de R$37,00 e que o dividendo pago por ação ao longo do ano foi de 
R$1,85. Logo:
Taxa de dividendo = D t + 1 / Pt
= R$1,85 / 37 = 0,05 ou 5%
Podemos dizer então que para cada real que investimos recebemos 5% 
de dividendos.
O segundo componente do retorno percentual é a taxade ganho de capi-
tal e ela é calculada pela variação do preço durante o ano. Logo:
Taxa de ganho de capital
= (P t + 1 – P t ) / P t
= ( R$40,33 – R$37,00) / R$37,00
= R$3,33 / 37
= 0,09 ou 9%
Logo, para cada real investido vamos ganhar nove por cento de ganho 
de capital.
Nosso retorno percentual total será: 5% + 9% = 14%
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Retornos médios
A maneira mais fácil de se obter o retorno médio é somar todos os retor-
nos periódicos e dividi-los pelo número de períodos observados. O resultado 
é chamado de média histórica dos valores individuais.
Exemplo:
Imaginamos que temos 60 retornos anuais de ações ordinárias que soma-
dos são iguais cerca de 10,28. Logo, para obter retorno médio fazemos:
∑ R/N – Somatório dos retornos / Média aritmética dos retornos
10,28 / 60 = 0,17 ou 17%
A interpretação desse valor é a mesma utilizada para interpretar qualquer 
média. Logo, se escolhêssemos um ano aleatório entre os 60 para estimar o 
retorno, a melhor resposta seria em torno de 17%.
Prêmios por risco
Normalmente, o governo vai ao mercado tomar dinheiro emprestado. 
Para isso emite obrigações, ou seja, títulos da dívida pública. As mais comuns 
são chamadas de letras do tesouro.
Essa forma de título possui o menor prazo de vencimento entre todas 
as emissões de títulos e dívidas do governo. Uma coisa que já sabemos há 
muito tempo, principalmente no Brasil, é que o governo sempre pode cobrar 
impostos para pagar suas dívidas, portanto, suas contas são teoricamente 
livres de inadimplência em curto prazo. Logo, podemos chamar essa taxa 
de retorno das dívidas do governo de retorno livre de risco e ela será usada 
como referência nas nossas observações.
Podemos fazer uma comparação bastante interessante entre a taxa de 
retorno livre de risco das letras do tesouro do governo e o retorno das ações 
ordinárias de risco elevado no mercado. A diferença entre esses dois parâ-
metros pode ser avaliado como uma medida de retorno excedente do ativo 
com risco médio. Normalmente, as ações das grandes empresas têm pratica-
mente o risco médio quando comparadas a todos os ativos com risco.
Essa diferença de retorno é chamada excedente porque é obtida a partir 
de um retorno adicional ao mudarmos uma aplicação geralmente livre 
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de risco (como comprar um título do governo) para uma ação com risco 
(de uma empresa privada). Essa recompensa que temos por assumir esse 
grau de risco é chamada de prêmio por risco.
Portanto, o prêmio por risco é o retorno excedente exigido, de uma aplica-
ção em um ativo com risco, acima do exigido de uma aplicação livre de risco.
Vamos observar um exemplo prático.
A probabilidade de que a economia alcance um crescimento moderado 
no próximo ano é de 50%. Já a probabilidade de recessão é de 20% e a pro-
babilidade de expansão rápida da economia é de 30%. Se a economia entrar 
em recessão, pode-se esperar que o retorno de sua carteira seja igual a 5%. 
Com o crescimento moderado esse retorno será de 8%. Na expansão será de 
15%. Pede-se o retorno esperado e o desvio-padrão da taxa de retorno.
Para resolvermos esse problema, precisamos de alguns conceitos impor-
tantes, como variância e desvio-padrão. 
A variância é a média do quadrado das diferenças entre o retorno efetivo 
e o retorno médio. Quanto maior esse número, mais o retorno verdadeiro 
tende a ser diferente do retorno médio.
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Utilizamos a raiz quadrada 
porque a variância é medida em percentuais ao quadrado e, portanto, muito 
difícil de ser interpretada. O desvio-padrão é uma porcentagem simples.
Vamos à resolução:
Cenário Retornos x Probabilidades Retorno Médio (R x – RM) = D D
2 x Prob.
Moderado 8% 0,50 8 . 0,50 = 4 (8 – 9,5) = –1,5 1,13
Recessão 5% 0,20 5 . 0,20 = 1 (5 – 9,5) = –4,5 4,05
Expansão 15% 0,30 15 . 0,30 = 4,5 (15 – 9,5) = 5,5 9,08
Total: 9,5% Total: 14,26
Retorno médio esperado: 9,5%
Variância: 14,26
Desvio-Padrão: 14 26 3 76, , %= , que é a taxa de risco do investimento.
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Administração de caixa
Sabemos que quanto maior a recompensa de um investimento, também 
será maior o nível de risco envolvido na operação. Em média, assumir riscos 
é muito bem recompensado, mas existe uma possibilidade significativa de 
se perder dinheiro. Se observarmos apenas um dia o comportamento das 
ações nas bolsas de valores, veremos ações com alto grau de volatilidade.
Riscos relativos ao mercado de ações
Ações são ativos de renda variável, porque não oferecem ao investidor uma 
rentabilidade garantida, consolidada e previamente definida. Por essa razão, 
este é um investimento considerado de risco. A rentabilidade dos investidores 
é composta de dividendos ou participação nos resultados e benefícios con-
cedidos pela empresa emissora, além do eventual ganho de capital quando 
da venda da ação no mercado secundário. O retorno do investimento vai de-
pender de muitos fatores como: desempenho da empresa, comportamento 
da economia brasileira e internacional etc. Por esse motivo, é aconselhável que 
o investidor não dependa do recurso aplicado em ações para gastos imediatos 
e que tenha um horizonte de investimento de médio e longo prazo, quando 
eventuais desvalorizações das ações poderão ser revertidas.
Riscos operacionais do uso de internet
Qualquer investidor está sujeito a encontrar problemas em suas cone-
xões à internet, devido à diversidade de fatores inerentes ao uso desse meio. 
Mesmo com a utilização das mais modernas tecnologias de informática, 
é importante que o usuário tenha certos cuidados básicos ao operar seus 
equipamentos domésticos, sobre os quais a instituição provedora do serviço 
não tem responsabilidade e os quais esta não tem formas de gerenciar.
Riscos relativos ao ciclo de liquidação
Integrada à Bovespa está a Companhia Brasileira de Liquidação e Custó-
dia (CBLC) que é a responsável por todas as operações realizadas no mer-
cado. Qualquer operação de venda no mercado à vista, as ações, objeto 
de negociação, deverá estar disponível na conta de custódia do vendedor, 
para entrega ao comprador até o horário limite estabelecido pela CBLC. 
Não entregar ou entregar parcialmente as ações que foram negociadas 
caracterizam a falta da entrega de ativos e isso resulta em multas altas ao 
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vendedor das ações. Se os ativos não forem entregues no mesmo dia, será 
acionado o mecanismo de tratamento de falta de entrega chamado proces-
so de recompra de ativos e será cobrada nova multa sobre o valor dos ativos 
que não foram regularizados.
Podemos avaliar, então, que os ativos com risco, em média, proporcio-
nam prêmios por risco e há uma recompensa em assumir esse risco e ainda, 
quanto maior essa recompensa em potencial por investimento com risco, 
maior é o risco. Essas considerações são muito importantes para o adminis-
trador financeiro, pois todas essas questões afetam diretamente seu caixa e 
seus excedentes de caixa, que são os investimentos.
Ampliando seus conhecimentos
Agência eleva Brasil a grau de 
investimento; Bovespa dispara 6,3%
(BARBIRATI, 2008)
A agência de classificação de risco Standard & Poor’s, uma das principais 
do mundo, anunciou nesta quarta-feira que elevou o rating soberano (nota 
de risco de crédito) do Brasil para grau de investimento, a melhor classifica-
ção para receber investimentos estrangeiros. Com isso, aBovespa (Bolsa de 
Valores de São Paulo) disparou e bateu recorde ao atingir 67.868 pontos, alta 
de 6,33%.
A elevação do rating do Brasil em moeda estrangeira em longo prazo 
passou de BB+ para BBB–, nota que já está incluída no grupo classificado 
como grau de investimento.
Entenda o que é rating ou nota de risco
O grau de investimento é a classificação dada pelas agências de rating a 
países com poucas chances de deixar de honrar suas dívidas. Com a nota, o 
Brasil poderá receber recursos de grandes fundos internacionais que só têm 
autorização para investir em mercados que já conquistaram essa chancela de 
bom pagador.
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248
Administração de caixa
A agência também elevou o rating do Brasil em moeda local de longo prazo 
de BBB para BBB+, enquanto o rating para moeda local de curto prazo foi ajus-
tado de B para A-3. Já a perspectiva para o rating brasileiro foi colocada como 
“estável”. Na metodologia da S&P, isso significa que o rating deve ser mantido 
pelos próximos dois anos, com poucas chances de ser alterado.
Em seu comunicado, a S&P afirma ainda que a revisão do rating brasileiro 
reflete “a maturidade das instituições do Brasil e da política monetária” e “a me-
lhoria das tendências de crescimento”. A S&P faz ressalvas em relação à dívida 
pública, que “permanece mais alta do que os outros com outros países BBB”.
Mesmo com essa ressalva, a agência pondera ainda que “um registro ra-
zoavelmente previsível de políticas pragmáticas de gestão fiscal e da dívida 
ameniza esse risco”.
A S&P não esquece da dívida externa, “que caiu dramaticamente”, diz. Em 
fevereiro, o governo brasileiro anunciou com estardalhaço que o país tinha 
se tornado “credor externo líquido”, isto é, que as reservas cambiais, somadas 
aos créditos privados no exterior, haviam superado o valor da dívida externa 
pública e privada.
O anúncio da S&P surpreendeu o mercado financeiro e mesmo integrantes do 
governo, que somente esperavam novidades para 2009 devido ao impacto, ainda 
desconhecido, da crise econômica americana sobre as economias emergentes.
No final de fevereiro, a presidente da agência de classificação de risco Stan-
dard & Poor’s no Brasil, Regina Nunes, havia dito que o Brasil estava no cami-
nho certo para alcançar o grau de investimento, mas antes precisava melhorar 
os números da dívida interna, reformular a legislação tributária e investir em 
infraestrutura.
Repercussão
O ministro da Fazenda, Guido Mantega, afirmou que a concessão de grau 
de investimento ao Brasil vai ajudar a reduzir o risco-país e as taxas de juros 
para os tomadores brasileiros de crédito.
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Administração de caixa
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Sobre a possível entrada maior de dólares no Brasil por conta do grau de 
investimento, Mantega disse que o governo não deve agir no curto prazo para 
conter esse movimento e reafirmou a política de câmbio livre flutuante.
O economista-chefe da UpTrend Consultoria Econômica, Jason Vieira, 
diz que a decisão abre espaço para um fluxo maior de investimentos 
internacionais.
O fluxo maior de investimentos pode afetar o câmbio, mas em um primeiro 
momento os setores exportadores não sentiriam tanto o impacto, segundo 
o economista. “Os valores do dólar para os contratos de exportação já estão 
fechados para 2008. Os efeitos ficarão, assim, para 2009”, afirmou. Vieira disse 
que o dólar agora deve buscar a marca de R$1,60 – a moeda americana encer-
rou o dia hoje cotada a R$1,664.
Já Juan Jensen, economista da Tendências e professor do Ibmec-SP, diz 
que o rating cria um momento de euforia no mercado, mas já foi “precificado” 
pelos agentes financeiros e investidores.
Entenda
O rating é uma opinião sobre a capacidade de um país ou uma empresa 
saldar seus compromissos financeiros. A avaliação é feita por empresas espe-
cializadas, as agências de classificação de risco, que emitem notas, expressas 
na forma de letras e sinais aritméticos, que apontam para o maior ou menor 
risco de ocorrência de um default, isto é, de suspensão de pagamentos. 
Ao publicar uma nota de risco de crédito, os especialistas dessas agências ava-
liam além da situação financeira de um país, as condições do mercado mun-
dial e a opinião de especialistas da iniciativa privada, fontes oficiais e acadêmi-
cas. O rating é sempre aplicado a títulos de dívida de algum emissor. Se uma 
empresa quer captar recursos no mercado e oferece papéis que rendem juros 
a investidores, a agência prepara o rating desses títulos para que os potenciais 
compradores avaliem os riscos. As agências, portanto, classificam debêntures, 
medium-term notes, títulos de dívida conversível, mas não ações.
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Administração de caixa
Atividades de aplicação
1. Suponha que você comprou no início do ano 1 000 ações de uma em-
presa de telefonia fixa ao preço de R$2,00 a unidade e que ao final des-
se ano essa ação esteja valendo R$3,50 e que distribuiu um dividendo 
de R$0,30 por ação. Qual o retorno absoluto do seu investimento?
2. Com os dados do exemplo anterior calcule o retorno percentual total.
3. Suponha que o retorno de uma ação nos meses de janeiro, fevereiro e 
março foram R$2,05; R$1,92 e R$2,35. Calcule o retorno médio dessa 
ação no trimestre em questão.
4. Considere as possíveis taxas de retorno que podem ocorrer para o pró-
ximo período, se o investidor adquirir as ações do tipo A:
Situação 
da economia
Probabilidade 
de ocorrência
Retorno da ação A se 
essa situação ocorrer
Recessão 0,2 –10%
Normal 0,5 30%
Expansão (boom) 0,3 40%
 Calcule o retorno esperado da ação A.
5. Considere as possíveis taxas de retorno que podem ocorrer para o pró-
ximo período, se o investidor adquirir as ações da empresa A, calcule o 
risco dessa ação.
Situação 
da economia
Probabilidade 
de ocorrência
Retorno da ação A se 
essa situação ocorrer
Recessão 0,2 –10%
Normal 0,5 30%
Crescimento 0,3 40%
6. Uma ação está sendo negociada no mercado ao valor de R$80,00. O 
próximo dividendo a ser pago está projetado em R$6,50. Você imagina 
que o dividendo crescerá a uma taxa de 15% ao ano ou menos, inde-
finidamente. Que retorno vai oferecer a ação, se suas projeções forem 
acertadas?
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Gabarito
1. Dividendos: R$0,30 . 1 000 = R$300,00
 Ganho de capital: (R$3,50 – R$2,00) . 1 000 = R$1.500,00
 Retorno absoluto: R$300,00 + R$1.500,00 = R$1.800,00
2. Taxa de rendimento TD
t
= +Div
P
t 1 = (0,30 / 2) = 0,15 (15%)
 Ganho de Capital GC
P
Pt+1
P
= =
Pt+1 – Pt
t t
–1 = (3,5 / 2,0) – 1= 0,75 (75%)
 Retorno total percentual = 15% + 75% = 90%
3. R
R1 + R2 + ... +Rn
Nm
=
 Rm = =
2,05 + 1,92 + 2,35
3
2 1,
4. RA = E[rA] = rA . p(rA) = 0,2 . (– 10) + 0,5 . (30) + 0,3 . (40) = 25%
5. A variância é dada pela fórmula 
 V r E r r r r P ri i( ) [( ) ] ( ) . ( )= − = −∑2 2
 Portanto, devemos primeiro calcular o retorno esperado da ação:
 RA = E[rA] = rA . p(rA) = 0,2 . (– 0,1) + 0,5 . (0,3) + 0,3 . (0,4) = 0,25
 V(rA) = (– 0,1 – 0,25)
2 . (0,2) + (0,3 – 0,25)2 . (0,5) + (0,4 – 0,25)2 . (0,3) = 
0,0245 + 0,00125 + 0,00675 = 0,0325
 DP rA( ) , , ( , %)= =0 0325 0 1803 18 03 
6. Temos então:
 r (taxa de dividendo) + g (taxa de ganho de capital)
 r = D1 / P0 + g
 logo:
 r = R$6,50 / R$80,00 + 15%
 r = 0,081 + 15%
 r = 8,1 + 15 = 23,1% 
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Análise de investimentos
Toda a educação científica que não se inicia com a 
Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base. 
Auguste Comte
Antes de tomarmos uma decisão, seja em qualquer situação, profissional, 
pessoal ou financeira, por exemplo, é muito comum avaliarmos todos os prós 
e contras dessa situação. Pelo menos isso é o que aconselha o bom senso. 
Quando uma empresa avalia uma proposta de investimentos é importan-
te observar quais são as informações mais relevantes e menos importantes 
que estão envolvidas nesta análise e projeção. Nesse aspecto, os fluxos de 
caixa descontados são fundamentais para que essa análise ocorra de forma 
correta. Portanto, todas as informações financeiras e contábeis já estudadas, 
como o valor presente líquido, a taxa interna de retorno, o payback, ROA, 
ROE e outras medidas, voltam à cena para que se possa validar ou não a im-
plantação dessa nova proposta de investimento.
A primeira etapa importante dessa análise é decidir quais são os fluxos 
de caixa que são mais relevantes e como eles podem alterar os fluxos gerais 
da empresa. Quer dizer, para aceitar um projeto é importante saber que 
ele pode alterar profundamente os fluxos gerais da empresa no momento 
atual e também no futuro, pois normalmente os projetos são pensados em 
longo prazo.
Fluxos de caixa relevantes
Um fluxo de caixa relevante em um projeto é aquele que provoca uma 
mudança no fluxo geral de caixa da empresa que está vinculado à questão 
de se aceitar ou não este projeto. E a diferença entre os fluxos de caixa futu-
ros da empresa que podem ser obtidos com o novo projeto e aqueles que 
seriam possíveis sem o projeto recebe o nome de fluxos de caixa incremen-
tais. Portanto, entender o conceito de fluxo incremental é fundamental na 
análise de implantação de um projeto.
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254
Análise de investimentos
Em termos gerais, podemos dizer que os fluxos de caixa incrementais, 
quando observados em uma avaliação de projetos de investimentos, refle-
tem toda e qualquer alteração nos fluxos futuros da empresa que serão de 
certa forma influenciados pela realização do projeto.
Exemplo:
Uma empresa de transportes aéreos muito bem posicionada no mercado, 
que paga seus credores e fornecedores em dia, tem uma situação de ativos 
excelente e um projeto de desenvolvimento futuro com compra e assinatura 
de opção firme para novas aeronaves, compra uma outra empresa em fase 
terminal. Na verdade, o que interessa a essa empresa bem posicionada são 
as linhas que a outra empresa sucateada tem. É claro que, ao incorporar essa 
outra empresa falida, cheia de problemas, insolvente, a empresa bem estru-
turada terá que avaliar quais os impactos esse novo projeto de investimento 
trará para seus fluxos de caixa futuros. E como ficaria essa empresa no futuro, 
se não incorporasse a empresa falida? Todas essas observações são muito im-
portantes. Essa é a base da razão incremental de avaliação.
Na avaliação de projetos de investimentos, portanto, se faz necessário 
avaliar quais são os custos irrecuperáveis antes da tomada de decisão.
Custos irrecuperáveis
São os custos que já estão comprometidos no passivo de uma empresa 
para serem pagos. Esses custos não podem ser alterados hoje, pela decisão 
de aceitar ou não o novo projeto. Logo, esse custo existe e a empresa terá 
que pagá-lo de qualquer forma. Portanto, considerando o fluxo de caixa in-
cremental, esse custo não está sendo considerado na decisão de investimen-
to. É necessário excluir os chamados custos irrecuperáveis da análise. Logo, 
podemos dizer que os custos irrecuperáveis não devem ser considerados na 
decisão de investimento em um novo projeto.
Vamos entender melhor o que são custos irrecuperáveis do ponto de 
vista prático.
A Empresa ABC contrata um consultor para ajudá-la na elaboração de 
um projeto em cinco fases. Esse projeto é elaborado pelo consultor e tem 
aproximadamente seis volumes de informações que mostram ser inviável a 
execução daquele projeto em curto prazo. O consultor não coloca no seu 
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Análise de investimentos
255
orçamento de avaliação os custos de suas horas de trabalho. Quando ele fizer 
a entrega de seu relatório final, irá cobrar, é claro, pelo trabalho realizado. 
Independentemente de a empresa implantar ou não este projeto, esse custo 
existirá. Portanto, os custos do consultor são custos irrecuperáveis.
Custos de oportunidade
Vamos imaginar a seguinte situação: estamos avaliando a possibilidade de 
reformar um velho galpão ferroviário, que foi comprado há muitos anos por 
uma empresa por 100 mil reais, e transformá-lo em um pequeno shopping 
de lojas e entretenimento. Geralmente, quando falamos em custos, logo vem 
a ideia de que estamos desembolsando dinheiro. São aqueles custos em que 
nós normalmente pagamos alguma coisa.
Se realizarmos a execução do projeto, não vai existir o desembolso direto 
associado à compra do galpão, pois esse galpão já é da empresa. Como a 
ideia principal é avaliar a implantação do pequeno shopping, o galpão passa 
a ser um recurso que possui valor. Se nós, por acaso, não pudéssemos trans-
formá-lo, o que iríamos fazer com ele? Uma resposta interessante talvez fosse 
a de que poderíamos vendê-lo. Logo, utilizar o galpão para a implantação do 
shopping tem, portanto, um custo de oportunidade.
Vamos analisar uma outra variável relacionada à essa questão: se concor-
darmos que a utilização do galpão tem um custo de oportunidade, quanto 
se deveria cobrar no caso do projeto do shopping? Avaliando o fato de que 
pagamos 100 mil reais pelo galpão, a primeira constatação que podemos 
fazer é a possibilidade de cobrar esse valor pelo projeto do shopping. Porém, 
isso não é correto, e podemos correlacionar essa situação ao que vimos 
antes, que são os custos irrecuperáveis.
O que pagamos muitos anos atrás passa a ser irrelevante. O que devería-
mos cobrar pelo projeto, que é o custo de oportunidade, é o preço pelo qual 
venderíamos todas as lojas do shopping hoje, pois é esse o montante que 
estamos desistindo de vir a ter, se a opção for vendê-lo.
Portanto, na avaliação de um projeto, temos que determinar qual o 
melhor custo positivo que temos antes de tomar a decisão. Logo, o custo de 
oportunidade é a alternativa mais valiosa, que é sacrificada quando se faz 
um dado investimento.
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256
Análise de investimentos
Um ponto muito importante para ser avaliado também são os efeitos co-
laterais causados pela implantação de qualquer novo projeto empresarial.
Efeitos colaterais
Já sabemos que os fluxos de caixa incrementais de um projeto consideram 
todas as mudanças que podem ocorrer nos fluxos gerais de caixa futuros da 
empresa. Por isso, é muito comum que esses projetos provoquem efeitos co-
laterais, também chamados secundários, quando passam a ser executados.
Vamos ver uma situação prática: a empresa ABC pretende lançar um novo 
modelo de computador na sua área de eletrônicos. Nesse caso, boa parte das 
vendas desse novo modelo poderá ocorrer em função de queda em vendas 
de outro modelo fabricado por ela própria. Isso se chama erosão e é muito 
comum nas empresas que produzem bens de consumo e que têm uma linha 
diversificada para produtos semelhantes. Logo, os fluxos de caixa dessa nova 
linha de computadores acabam sendo ajustados e refletidos para baixo, pois 
afetaram os lucros gerados pelas outras linhas de computadores. Portanto, 
podemos dizer que a erosão ocorre quando os fluxos de caixa de um projeto