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SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GERENCIAIS MODELAGEM MATEMATICA E RESOLUCAO DE PROBLEMAS Copyright © Todos os direitos desta obra são da Escola Superior Aberta do Brasil. www.esab.edu.br Diretor Geral: Nildo Ferreira Secretário Geral: Aleçandro Moreth Diagramadores Felipe Silva Lopes Caliman Rayron Rickson Cutis Tavares Produção do Material Didático-Pedagógico Escola Superior Aberta do Brasil www.esab.edu.br 3 Sumário 1. APRESENTAÇÃO 1............................................................... .8 2. UNIDADE 1: O papel da Matemática na Sociedade............................................................................9 3. UNIDADE 2:Educação Matemática Crítica, EtnoMatemática e Modelagem Matemática.........................................................20 4. UNIDADE 3: A Origem da Modelagem Matemática na Escola....................................................................................29 5. UNIDADE 4: Conceitos e Concepções de Modelo e Modelagem Matemática............................................................................40 6. UNIDADE 5: Modelagem Matemática como estratégia de ensino- aprendizagem.............................................................51 7. RESUMO...............................................................................6 3 8. APRESENTAÇÃO 2.............................................................64 9. UNIDADE 6: A Resolução de Problemas nos PC N... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 10. UNIDADE 7: As Concepções de Resolução de Problemas................................................................77 11. UNIDADE 8: Resolução de Problemas como Metodologia...........................................................................87 12. UNIDADE 9: Resolução de Problemas no âmbito das tecnologias...........................................................99 13. UNIDADE 10: Resolução de Problemas & Modelagem Matemát ica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 14. RESUMO 2..........................................................................122 www.esab.edu.br 4 15. APRESENTAÇÃO 3............................................................123 16. UNIDADE 11: Modelação M a t e m á t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 17. UNIDADE 12: Técnicas de Modelagem................136 18. UNIDADE 13: Modelagem Matemática na Educação Básica .....................................................................................148 19. UNIDADE 14: Modelagem Matemática nas Modalidades de EJA e Educação Profissional..............................................161 20. UNIDADE 15: Modelagem Matemática no Ensino Superior...............................................................................172 21. RESUMO 3 .........................................................................183 22. GLOSSÁRIO.......................................................................184 23. BIBLIOGRAFIA...................................................................186 www.esab.edu.br 5 Palavras do Tutor Neste módulo serão introduzidos os fundamentos da Modelagem Matemática, concepções, evolução e técnicas ao longo dos últimos anos. A modelagem Matemática é uma área da Matemática que expressa situações reais em linguagem Matemática e que tem como principal ferramenta a Resolução de Problemas. Ter a compreensão da Modelagem como representação possibilita entender, predizer e simular eventos por meio de formulação problemas. Com este conhecimento aplicado, decisões podem ser tomadas, ocorrências podem ser antecipadas e alteradas nos mais variados acontecimentos. Para o ensino da Matemática, cenários investigativos que apresentem elementos reais são o marco da Resolução de Problemas e favorecem o aprendizado. Mas atingir o principal objetivo do ensino que é aprender pode ser potencializado com a modelagem Matemática que ainda é uma abordagem curricular recente. Este módulo pretende auxiliar docentes na elaboração de próprios modelos matemáticos para seus alunos ou ainda colaborando na modelagem Matemática de seus alunos. Vale ressaltar que os pré-requisitos matemáticos para modelar matematicamente são simples e de fácil compreensão e passam pela formulação de problemas. Nesse sentido, o módulo está dividido em três eixos. O primeiro eixo – Modelagem Matemática: conceitos e possibilidades – apresenta a evolução de modelos, as concepções da Modelagem Matemática já em uma perspectiva de possibilidades para a melhoria do ensino e do desenvolvimento de aprendizado de Matemática na escola. O segundo eixo – Metodologia da Modelagem Matemática e a Resolução de Problemas – trata de www.esab.edu.br 6 técnicas de modelagem fazendo uma inter-relação com os saberes produzidos ao se resolver problemas de situações reais. Ao final, o terceiro eixo – Modelagem Matemática para o ensino de Matemática – traz modelos matemáticos para discussão e aprimoramento, com a intenção de orientar o trabalho do docente que quer explorar a modelagem Matemática como estratégia de ensino. Além deste material básico, outras fontes complementares serão usadas no desenvolvimento deste módulo, assim como também outros recursos didáticos. Sua dedicação aos estudos lhe levarão a maior aprofundamento sobre este tema. Sucesso! www.esab.edu.br 7 OBJETIVO Esclarecer o que é Modelagem Matemática e a implicação da Resolução de Problemas para modelar, apontando a conexão de ambos os temas com a formação de professores que ensinam Matemática. EMENTA • Considerações e conceitos iniciais sobre a Modelagem Matemática. • A Modelagem Matemática e Educação Matemática Crítica. • Principais Perspectivas e Discussões. • Estratégias no ensino-aprendizagem. • Exemplos de aplicação da Modelagem Matemática ao Ensino. • Resolução de Problemas. • Concepções da Modelagem Matemática associadas à Educação Matemática. • Abordagem sócio-crítica da Modelagem Matemática. • Projetos de Modelagem Matemática. • Modelagem Matemática, EtnoMatemática e Educação Matemática Crítica. • O papel da Matemática na sociedade. • Formas de organização e condução da Modelagem Matemática. • A Modelagem Matemática e Ambientes de Aprendizagem. • A relação do professor com a Modelagem Matemática. • A Modelagem e os Modelos Matemáticos na Educação Científica. www.esab.edu.br 8 CONCEITOS E POSSIBILIDADES O primeiro eixo deste módulo apresenta a importância da Matemática, os fundamentos da Educação Matemática Crítica, a evolução de modelos e as concepções da Modelagem Matemática. Estes assuntos são abordados em cinco unidades. A primeira unidade aborda a história da Matemática e seu papel social, a segunda unidade traz a fundamentação da Educação Matemática Crítica, recortando a EtnoMatemática e a Modelagem Matemática nesse contexto. Nas terceira e quarta unidades, localizamos a Modelagem Matemática dentro do cenário de nova abordagem curricular e encontramos uma visão mais conceitual de modelo e modelagem Matemática e na quinta unidade temos a modelagem como estratégia de ensino e de aprendizagem. Objetivos: Conhecer as conexões entre a reflexão da prática docente e as mudanças curriculares que apontam a Modelagem Matemática, contextualizar modelos matemáticos e o surgimento da Modelagem Matemática e caracterizá-la. www.esab.edu.br 9 O papel da Matemática na Sociedade Objetivos: Identificar a importância de se estudar Matemática para melhor compreender a realidade. Nesta unidade você compreenderá a necessidade e a importância da Matemática no contexto social. Breve evolução da Matemática A Matemática pode ser observada nas mais diversas situações que nos envolvem. Nos contornos de objetos e edificações, nas medidas de comprimento e massa. Em casa,na escola, no trabalho. Enquanto área de conhecimento, a Matemática se desenvolve pela argumentação, curiosidade, investigação e pesquisa. A arqueologia pode nos ajudar sobre a origem da Matemática. Registros da Antiguidade, já apontavam a necessidade do homem em relacionar acontecimentos naturais à sua vida. A divisão do tempo, mudanças de estações, estudo dos corpos celestes. Os primeiros textos matemáticos que se tem notícia foram escritos na Mesopotâmia enquanto os chineses inventavam o ábaco. Isso se deu entre 3000 a.C a 2500 a.C. Mais tarde, por volta de 1600 a. C. foi escrito o papiro de Rhind, considerado o principal texto matemático do Egito. A importância deste papiro está que nele se encontram regras para o cálculo de operações de frações, equações, problemas de aritmética, cálculo de áreas e volumes. A Matemática estava presenta para resolver problemas reais como contagem de rebanho, cálculo de área e valoração de objetos. Nos escritos, já se encontravam relações de grandezas e formatos www.esab.edu.br 10 geométricos ao se descriminar diferenças entre animais, diferenças de tamanhos de um mesmo objeto, forma redonda da lua e a forma retilínea observada em algumas árvores. Por muito tempo, a Matemática foi definida como ciência dos números, grandezas e forma. Eram estes conceitos que ocupavam a mente dos estudiosos mais antigos e fundamentaram o raciocínio matemático. A investigação Matemática tinha como foco o mundo perceptível aos olhos. Sobre avanços da geometria elementar, a era Pitagórica, entre 550 a 450 a. C. foi marcante. Foram os pitagóricos que analisaram primeiro a noção de número, definiram os números primos, progressões e teoria das proporções. Também foram os pitagóricos que fizeram a relação de correspondência entre a aritmética e a geometria como o teorema de Pitágoras. Ao povo hindu devemos a criação do sistema decimal, que se deu entre 300 e 600. Entre 1100 e 1620, muitos são os eventos marcantes na história da Matemática como método de desenho para segmento no qual a longitude fosse a raiz real positiva de um polinômio cúbico, a aplicação da álgebra à geometria, a invenção dos logaritmos e a criação da geometria analítica por Descartes. No período de 1640 a 1750, Pascal construiu a primeira máquina de calcular com números de até 6 dígitos. Logo em seguida, foi criado o cálculo infinitesimal e um pouco mais adiante surge o enunciado e demonstração parcial de que qualquer polinômio de grau n tem n raízes reais. Em um período curto e muito intenso para a Matemática, entre 1760 e 1895, se provou que o número PI (π) é irracional, surgiu a letra i para imaginário e Laplace apresenta a Teoria Analítica das Probabilidades e a aplica em problemas demográficos, jurídicos e astronômicos. Surge também a teoria dos conjuntos. www.esab.edu.br 11 O século XX é marcado pela descoberta de modelo matemático que descreve a transição da ordem ao caos e a tecnologia é um dos principais recursos na investigação e aplicação dos conhecimentos matemáticos. Hoje, ainda temos a Matemática presente em situações rotineiras do nosso cotidiano e muitas vezes são realizados por calculadoras e computadores como saldo no banco e pagamentos realizados virtualmente. Mas com a evolução da humanidade, a reflexão sobre o mundo e sobre o homem se ampliou e hoje a Matemática permite relacionar a compreensão coerente e reflexiva com a realidade por meio de representações encontradas na linguagem Matemática. Observa-se que há uma tendência mundial de “matematizar” o mundo. Empiricamente, pensamos que qualquer problema em nossa vida pode ser equacionado, pode ser expresso na forma de ax + by = c ou outro tipo de representação Matemática. As questões são, como surgiu a, x, b, y, e, c ? o que são? o que representam? quem os inventou? por que foram inventados? Existe alguma relação entre eles? A elaboração dessa representação vale para todas as situações reais que a originaram? São muitas as indagações, mas podemos afirmar que no percurso da história da Matemática, ela passou e continua passando por aperfeiçoamento. Suas teorias são usadas para exploração e avanço de diversas áreas de conhecimento, por meio de estudos e pesquisas sobre situações conhecidas e novas, mas sempre fazendo relações com a realidade que vivemos. A Matemática que hoje temos, com certeza é muito mais sofisticada do que a conhecida pelos egípcios. www.esab.edu.br 12 Matemática no Cotidiano Para muitos, a Matemática é considerada complicada e difícil e por isso ela merece ser desmistificada. Na verdade, usamos de vários conceitos matemáticos em diversas situações do dia a dia e não pode ser entendida apenas como pré-requisito de conhecimentos futuros. A Matemática está em nosso cotidiano e seu ensino contribui na formação do cidadão. Também podemos destacar que atualmente, muitas profissões de destaque necessitam de conhecimento matemático e que os avanços tecnológicos e científicos impactam a sociedade atual, exigindo do processo de aprendizagem, maneiras inovadoras de se construir e aplicar conhecimentos. A Matemática está na nossa vida quando fazemos compras em um supermercado; a soma do caixa, no cálculo do troco e do desconto. Quando cozinhamos e calculamos quantidade, unidade e peso de cada item. Quando nos locomovemos e calculamos tempo de percurso, distância, gasto de combustível. Quando calculamos nossas despesas em relação ao nosso pagamento, aposentadoria, férias, décimo terceiro e tantos outros exemplos. Japiassu (1985) cita uma famosa frase do físico Galileu Galilei (1564 – 1642): “As leis da natureza estão escritas na linguagem da Matemática”. Com esta afirmação, Galileu diz que a realidade pode ser descrita e compreendida pela Matemática. Elaborar uma representação Matemática da realidade, demanda conhecer a linguagem e dominar seus conceitos, ou seja, é preciso aprender Matemática. Podemos observar a Matemática quando organizamos informações e a expressamos em forma de funções, gráficos e tabelas. A representação dessas informações por meio da linguagem Matemática amplia as formas de representação de uma situação www.esab.edu.br 13 e contribui na análise de uma realidade, de um problema, a partir do estudo de fatos. Não há dúvida das relações entre conhecimentos matemáticos e situações reais como podemos exemplificar: fazer cálculos estatísticos e saber como interpretá-los em análise de eventos; entender o uso e a aplicação de razão, proporção, porcentagem em Matemática financeira; compreender e usar os diferentes tipos de média, desvio padrão, juros para tomada de decisões; saber ler e interpretar tabelas e gráficos para fazer previsões de fenômenos, entre outros. Como ação de popularização da Matemática, o biênio 2017- 2018 foi direcionado para promoção de eventos em todos país, com a proposta de mostrar como a Matemática faz parte do cotidiano das pessoas, envolvendo empresas, organizações da sociedade civil e acadêmicos, conforme orientação do Ministério de Ciência, Tecnologia, Inovações e Comunicações - MCTIC A relação e integração entre Ciência, Tecnologia e Comunicação fica evidente, quando pensamos em instrumentos tecnológicos como computadores. São máquinas que trabalham com cálculos e equações, coletando e processando dados em larga escala. Para isso, utilizam algoritmos e modelos complexos, também matemáticos, sendo ambos a base da inteligência artificial. Esta última é usada para definir quais das informações deverão ser consideradas e como elas se relacionam na realidade estudada. Podemos afirmar que a Matemática é um conhecimento atemporal que auxilia no pensamento analítico e lógico, refinando o julgamento sobre determinada realidade. www.esab.edu.br 14 Estudo da Matemática Somente com o que foi explanado, já haveria o suficiente para compreender a importância da Matemática em nossas vidas, porém ainda se observa uma resistência na aprendizagem. Algunsapontam que a dificuldade acontece pela grande quantidade de conteúdo, outros que o problema está na formação do professor. Há ainda os que indicam que seu ensino deveria ser mais lúdico, com menos conceitos e mais práticas, porém há um consenso que a Matemática está presente no cotidiano e merece ser compreendida sobre a perspectiva de necessidade social. Como desafio ao ensino, o professor deve ter claro que existem muitos e diferentes tipos de linguagem para descrever e explicar a realidade, porém a Matemática tem ferramentas muito específicas e apropriadas para isso. Usar dessas ferramentas favorece a valorização da Matemática pela sua compreensão em situações do dia a dia. Assim o estímulo a leitura e interpretação de textos; observando a análise de informações que podem ser encontradas como números, grandezas, tabelas ou gráficos; em jornais, revistas, livros, na plataforma impressa ou eletrônica; revelam o potencial transdisciplinar da Matemática. De forma significativa, propor soluções para problemas que envolvam conteúdos matemáticos, em questões que abordem ambiente, cultura, política e sociedade, também ressaltam importância da Matemática na vida do indivíduo e, por consequência impactam na realidade educacional, transformando-a a partir do enfoque dado a temas interessantes e atuais da sociedade. É importante que os alunos […] saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do cotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento; compreendam que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social www.esab.edu.br 15 e historicamente construído; saibam apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico (BRASIL, 2006, p. 69). O professor pode auxiliar no entendimento da Matemática e qual seu papel na sociedade quando explora a contextualização desenvolvendo junto com os alunos, competências, habilidades e técnicas que levem à todos a descrição, compreensão e interpretação de situações já conhecidas e por conhecer. O entendimento da Matemática pode se dar no âmbito escolar, na interação social, por meio de vivências, observações e diálogos. O fato é que usamos a Matemática na vida diária e há interesse cada vez maior dos matemáticos profissionais em aperfeiçoar os conhecimentos matemáticos de maneira que, através dela, numa visão reflexiva sobre a realidade, seja mais fácil compreender o mundo e transformá-lo. Assim, a Matemática pode ser considerada como conhecimento fundamental que promove o pensamento crítico por meio do raciocínio perante as situações encontradas no cotidiano. Ensino e Aprendizagem da Matemática Somente com o que já foi exposto sobre a presença da Matemática em nossas vidas, não deve haver dúvida sobre as razões pelas quais se ensina Matemática e a necessidade de sua aprendizagem, mas essa aprendizagem deve ter sentido para o aluno. Chama a atenção que muitas pessoas dominam conhecimentos de Matemática que encontramos no cotidiano, mas não conseguem relacionar o que aplicam com os conteúdos trabalhados na escola. Isso leva a reflexão que a forma como a Matemática está sendo ensinada precisa ser revista. www.esab.edu.br 16 A aprendizagem significativa da Matemática passa pela aproximação de conteúdos matemáticos com situações reais, interessantes aos alunos. Quando temas expressivos da sociedade atual são abordados, a Matemática surge contextualizada, promovendo a apreensão de conceitos, mudanças atitudinais e procedimentais. Dessa forma, se desenvolve a autonomia do aluno no exercício da cidadania, promovendo sua participação na comunidade de maneira mais crítica e ativa. Para nós, contextualização dos conceitos matemáticos significa valorização dos conhecimentos prévios dos alunos, articulando experiências concretas e diferenciadas com a percepção, reconhecimento, estudo e interpretação da Matemática presente e inserida na vivência estudada, promovendo que em situações futuras os alunos usem o que foi aprendido. Contextualização nos PCN (BRASIL, 1999) é: configura-se em uma forma de abordar a ciência num âmbito social, econômico e cultural.” Dessa maneira, a contextualização não pode ser sinônimo apenas de cotidiano, mas sim o campo no qual, acontecem as relações da teoria científica com a realidade do aluno. (p.9) Para ensinar Matemática, o professor deve propor atividades que levem o aluno a vincular os conhecimentos matemáticos que já tem, a um contexto no qual o estudante entenda. Assim, este contexto deve estar a um nível cognitivo alcançável, facilitando a aprendizagem. De forma específica, contextualizar Matemática mobiliza competências e habilidades de raciocínio logico, análise e síntese. Amplia para o aluno, a capacidade de crítica, intervenção e transformação social, exercitando a autonomia. Micotti (1999) diz: A aplicação dos aprendizados em contextos diferentes daqueles em que foram adquiridos exige muito mais www.esab.edu.br 17 que a simples decoração ou a solução mecânica de exercícios: domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, capacidade de analise e abstração. Essas capacidades são necessárias em todas as áreas de estudo, mas a falta delas, em Matemática, chama a atenção (MICOTTI, 1999, p.154). Na perspectiva de significação do que se aprende, os conteúdos matemáticos devem ser vistos como algo já conhecido, presente nas diversas áreas de conhecimento e trabalhados muito além das aulas expositivas que predominam definições, explanações e aplicações de fórmulas e exercícios. Estamos falando da viabilização em desenvolver trabalhos, de cerne político-social, a partir de mudanças de paradigma, nos qual a Matemática se dá de forma transversal no currículo, colaborando para a formação crítica dos alunos. Os avanços tecnológicos trouxeram novas propostas didáticas em relação ao ensino da Matemática, uma vez que a Matemática aplicada para resolver e explicar problemas diários também se transformou. Consideramos que o aluno, indivíduo; é um ser social que integra uma cultura e que usa a Matemática e, por isso deve conhecê-la também na perspectiva de relações interpessoais, trazendo à consciência, por meio da sistematização trabalhada nas salas de aula; sua utilização. Sobre isso D’Ambrósio (2001, p.22) diz: O cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura. www.esab.edu.br 18 Podemos afirmar que o conhecimento matemático, devido a sua importância, interfere na formação social e também intelectual. Isso já seria o bastante para justificar a relevância do ensino da Matemática. No processo de escolarização formal, muitos alunos avançam sem perceber a relação entre conteúdos matemáticos e aplicações da Matemática no dia a dia. É preciso atentar e rever como se dá a abordagem e exploração de conhecimentos matemáticos de forma que sejam aprendidos significativamente. A Matemática deve ser compreendida pelos alunos mais que uma necessidade cientifica, mas como necessidade natural e social. O espaço escolar é o lugar no qual conhecimento e sistematização devem estar presentes. Isso exige que o professor, como mediador do processo de ensino, estimule e provoque no aluno, o reconhecimento dos conteúdos matemáticos com a vida diária, promovendo a aprendizagem. O planejamento das atividades deve considerar entre outros aspectos; o conhecimento prévio dos alunos, o grupo social e cultural no qual eles estão inseridos e desenvolver a aplicação dos conteúdos matemáticos em situações problemas encontradas no cotidiano que os cerca. Ao promover a aprendizagem, dando significado à produção do conhecimento matemático,pela sua contextualização; o professor potencializa o entendimento de diferentes etapas da aprendizagem vividas pelos seus alunos. Desse modo é possível enfatizar conteúdos e promover sua aplicação em situações reais. Dúvidas serão esclarecidas e a participação dos alunos é mais intensa e pertinente na solução de problemas trazidos de sua vida diária. Cenários como esse, promovem novos questionamentos e investigações. O professor deve estar pronto para esta situação e ajudar o aluno a recuperar suas vivências e aplicá-las em novas situações. www.esab.edu.br 19 Vemos que o professor que se preocupa com a contextualização, que explora a Matemática encontrada no cotidiano, não se esquece que cada aluno tem sua própria realidade e que há diferentes níveis de dificuldades na aprendizagem em função disso. O importante é proporcionar oportunidades que ajudem na superação das mesmas. É preciso enfatizar que o ensino da Matemática deve ser visto como compromisso social e que professores devem valorizar os conteúdos matemáticos que se manifestam no âmbito escolar, considerando o contexto social e cultural no qual o aluno está inserido, facilitando então o entendimento e uso da Matemática na solução de cálculos e equações que podem representar, na linguagem Matemática os problemas expostos na realidade vivida. Leia o texto “Contextualização no Ensino-Aprendizagem da Matemática: Princípios e Práticas” de Anderson Oramísio Santos e Guilherme Saramago de Oliveira. Os autores procuram responder as seguintes questões: Quais as possibilidades de aprendizagem da Matemática por meio da Contextualização dos conteúdos matemáticos? Conteúdo não contextualizado, pode ser aplicado em aulas? ESTUDO COMPLEMENTAR www.esab.edu.br 20 No início do século XX, na década de 30, um grupo de pensadores estava incomodado com aspectos sociais que ampliavam o aumento das desigualdades em diferentes aspectos. Alguns acumulavam riqueza enquanto outros, viviam uma crescente pobreza. As discussões sobre liberdade e participação politica não eram temas comuns em todos os grupos sociais e na educação, os contrastes eram gritantes. Este incomodo toma forma e assim surge a Teoria Crítica na Escola de Frankfurt. Esta Teoria se contrapõe a formação capitalista e especificamente ao conservadorismo teórico encontrado na Educação. Teve com maiores representantes Habermas na Alemanha e Paulo Freire na América Latina. Mais adiante, na década de oitenta no século XX, alguns pensadores demostravam preocupação com o ensino e aprendizagem da Matemática na escola na perspectiva da Teoria Crítica. A preocupação originou reflexão e questionamentos críticos sobre a Educação Matemática considerando aspectos sociais, econômicos, políticos e culturais da época. Como um dos principais proponentes da Educação Crítica no processo de ensino e Matemática, temos Skovsmose (2007) que enfatiza o diálogo, o exercício da cidadania, o esvaziamento do poder entre professor e aluno. [...] para que a educação, tanto como prática quanto como pesquisa, seja crítica, ela deve estar a par dos problemas sociais, das desigualdades, [...] e deve tentar fazer da educação uma força social progressivamente ativa [...]. Para ser crítica, a educação deve reagir às contradições sociais. Para Skovsmose, o processo educacional na Educação Matemática Crítica deve priorizar problemas que a comunidade encontra no seu cotidiano. Na perspectiva da criticidade, professor e aluno assumem a postura de investigadores da realidade, oportunizando e promovendo a produção de conhecimento por meio de atividades intelectuais que envolvam pesquisa, diálogo e pensamento crítico. Assim como Freire, Skovsmose acredita que as reflexões sobre as práticas sociais se transformam em ações gerando possíveis impactos positivos ao grupo social envolvido. www.esab.edu.br 21 A Educação Crítica proposta por Skovsmose discute as relações sociais vigentes quando questiona as relações de poder e as desigualdades encontradas na sociedade. O autor vê que a Matemática pode contribuir neste debate quando desloca o sentido do ensino da Matemática como proposta libertadora sócio-crítica e não como mais uma área de conhecimento que no âmbito escolar, ajuda na estratificação social. Os estudos de Skovsmose identificam na Educação Matemática concepções pedagógicas, que tem como objetivo formar e preparar indivíduos passivos para o mercado de trabalho, submissos a hierarquia sem contestação. Traz em suas pesquisas temas e conceitos interessantes como a democracia e o papel sócio político da Educação Matemática, a ideologia da certeza, o paradigma do exercício, o poder de formatação, as relações de poder. Quando se refere a democracia, Skovsmose (2001, p. 70) diz: [...]democracia refere-se às condições formais relativas a algoritmos de eleição, condições materiais relativas a distribuição, condições éticas relativas à igualdade e, finalmente, condições relativas à possibilidade de participação e reação. O conceito apresentado é bastante amplo e tem relação sobre os possíveis papéis sociais e políticos da Educação Matemática Crítica, Skovsmose aponta a Educação Matemática Crítica como espaço de representação dos conflitos que envolvem a cidadania crítica, discriminação por classificação e diferenciação, filtragem ética e submissão a ordens. O autor está se referindo a competência democrática que precisa ser desenvolvida para que se possa analisar criticamente modelos em nossa sociedade. Ele acredita que atitudes críticas podem ser tomadas com contribuição da Matemática ponderando e reavaliando as bases de sustentação de modelos e seus impactos na sociedade. O desenvolvimento da capacidade democrática fortalecida pela Educação Matemática Crítica se traduz em relações igualitárias entre docentes e alunos, desalienação em relação currículo, valorizando o que ele traz de oculto e uso de propostas, estratégias e materiais “libertadores”. O ensino promoverá o entendimento de processos sociais a partir de estudo de modelos reais, nos quais a Matemática pode estar presente. Tais modelos serão relevantes para o aluno e portanto significativo no seu processo de aprendizagem. www.esab.edu.br 22 Pode-se dizer que o objetivo da Educação Matemática Crítica é desenvolver a competência de interagir e agir em situações reais, político-sociais estruturadas pela Matemática. A esta competência Skovsmose dá o nome de Materacia ou Matemácia e propõe trabalhos com projetos e abordagens temáticas que envolvam a modelagem. Sobre a ideologia da certeza, o ensino tradicional da Matemática a favorece. Em sala de aula, exercícios de resposta única e exata, favorecem a crença nos números e acabam por impactar nas crenças sociais sobre a superioridade da Matemática, como ciência que que leva a verdade absoluta infalível, sem contestação. As ideias que baseiam esta ideologia são: A Matemática é perfeita, pura e geral, no sentido de que a verdade de uma declaração Matemática não se fia em nenhuma investigação empírica. A verdade Matemática não pode ser influenciada por nenhum interesse social, político ou ideológico. A Matemática é relevante e confiável, porque pode ser aplicada a todos os tipos de problemas reais. A aplicação da Matemática não tem limite, já que é sempre possível matematizar um problema. (BORBA; SKOVSMOSE, 2001, p. 130). A Educação Matemática Crítica pode desafiar esta ideologia a partir de questionamentos sobre a neutralidade da Matemática, sobre interesses e interessados na escolha de modelos, sobre as tendências ideológicas, sociais e políticas dos modelos, sobre os resultados absolutos obtidos com e pelo ensino da Matemática tradicional. Sobre o paradigma do exercício Skovsmose observa que, a maioria dos exercícios feitos pelos alunos do ensino fundamental ao ensino médio sejam baseados em comandos. Este tipo de prática é antiga e tem mais caráter de treinamento. Deve-se resolver a maiorquantidade possível de exercícios modelo aumentando as possibilidades de sucesso em avaliações escolares ou em outras situações que repetem este tipo de exercícios modelos. Dessa forma, porém, pouco se desenvolve a análise, a capacidade de resolver problemas, a criatividade e o raciocínio lógico o que vai no sentido contrário do discurso social dominante. Com um olhar crítico, o paradigma do www.esab.edu.br 23 exercício, atende uma demanda social que se beneficia de uma base social que é treinada para obedecer comandos enquanto um grupo hegemônico, define e toma decisões por todos, desenvolve a inovação, a diversidade de soluções, a capacidade criadora e o pensamento lógico, ou seja, modelos matemáticos encontrados em várias esferas de poder, são usadas para formatar condutas sociais. Com a compreensão deste cenário fica fácil entender que existe uma relação de poder e que quanto mais tecnologia se encontra em uma sociedade, mais importante é o papel da Matemática em situações de tomada de decisões. Em uma sociedade fortemente tecnológica, elimina-se o fator humano no ato da decisão através do uso contínuo e acrítico de modelos. Nos estudos de Skovsmose a Matemática e o poder está presente nos modelos matemáticos adotados pelas principais lideranças ou representantes de um grupo, podem ser governos ou empresas. As estruturas Matemáticas encontradas nos modelos gerenciais explicam e justificam as tomadas de decisões. Isso pode ser verificado quando por exemplo, se conhece os modelos de regulação de tráfego em rodovias e cidades, modelos econômicos que impactam políticas econômicas, modelos que orientam os cálculos do imposto de renda, contribuição previdenciária, seguros e outros. Skovsmose reforça que esta formatação da conduta social se dá pela crença que a Matemática gera resultados únicos e incontestáveis, assim como se verificou na sala de aula durante a vida acadêmica dos indivíduos. As práticas pedagógicas tradicionais não valorizam a busca pelo conhecimento por meio de questionamento e procedimentos inovadores e críticos promovendo a preparação de uma massa trabalhadora passiva e bastante eficaz no que compete a cumprimento de comandos ou ordens. Assim pouco ou quase nada se desenvolve a competência democrática já apontada e é por isso que de acordo com a proposição da Educação Matemática Crítica, aos professores se faz necessário buscar novas possibilidades de ensino, uma vez que há impacto na vida futura do aluno, no sentido de participação crítica e ativa na sociedade. Como resistência ao poder simbólico implícito na formatação da realidade, temos a EtnoMatemática, tema a ser abordado a seguir. www.esab.edu.br 24 EtnoMatemática Os princípios da EtnoMatemática foram construídos ao longo do tempo por meio de questionamentos e reflexões culturais, filosóficas e políticas sobre o espaço escolar, o ensino, a formação para o ensino e a aprendizagem. Quando se reflete sobre as práticas educativas que atendem as demandas reais do aluno as proposições de Freire (2011) se destacam porque ele desafia o professor a fazer uma autorreflexão crítica sobre sua prática docente. Para Freire (2011), a prática reflexiva, se dá pelo diálogo entre professor e aluno, transformando o ensino tradicional centrado no professor em ensino democrático: “o educador democrático não pode negar-se o dever de, na sua prática docente, reforçar a capacidade crítica do educando, sua curiosidade […]. Sendo assim, a EtnoMatemática tem como base a valorização da Matemá- tica encontrada em famílias, comunidades e grupos culturais, conservando suas características. Há ênfase na herança cultural do aluno na construção do seu aprendizado e o sujeito é visto como ser sociocultural no sentido mais amplo do conceito. Destaca-se como principal fonte desse tema Ubiratan D’Ambrosio (2007) que sobre EtnoMatemática diz: ...para compor a palavra etno matemá tica utilizei as raízes tica, matema e etno para significar que há várias maneiras, técnicas, habilidades (ticas) de explicar, de entender, de lidar e de conviver com (matema) distintos contextos naturais e socioeconômicos da realidade (etnos). ...busca entender a aventura da espécie humana na busca de conhecimento e na adoção de comportamentos e esta metodologia [...]é embebida de ética, focalizada na recuperação da dignidade cultural do ser humano. (D’AMBROSIO 2007, p. 70) A EtnoMatemática considera importante a valorização do aprendizado da Matemática em contextos não científicos e que contribuíram para entender e explicar as diferentes realidades em grupos sociais. Também reconhece que www.esab.edu.br 25 o aprendizado do sujeito traz de sua cultura; como ele vê e faz Matemática, como ele resolve problemas que aplicam a Matemática, como pensa a Matemática, carregada de significados próprios e raciocínios únicos. Assim, é preciso buscar o entendimento e a compreensão da realidade desses grupos para que, sem interferência da identidade cultural dos sujeitos que constituem esses grupos, apresentar algo ainda não conhecido para ser acrescido como conhecimento. Isso é um grande desafio ao professor, uma vez que a grande parte dos cursos de formação docente é extremamente científico, com carência de oportunidades em debates e questionamentos. Freire (2011) chama atenção sobre a limitação encontrada na formação que não considera aspectos sociais e culturais do docente e do aluno quando afirma: “Tenho medo, do cientista demasiado seguro da segurança, senhor da verdade e que não suspeita sequer da historicidade do próprio saber”. Skovsmose (2001) enfatiza que “a educação deve ser orientada para proble- mas, quer dizer, orientada em direção a uma situação “fora” da sala de aula” e desse modo o processo de ensino estimula o pensamento, a criatividade e a aplicação do raciocínio lógico e crítico para soluções dos problemas do dia-a-dia. Vale a pena lembrar também, como desafio ao professor, que o avanço tec- nológico próprio da sociedade atual tem impactado as relações interpessoais e a interação com o mundo real perdeu espaço. É preciso atentar que a imersão sem limites ao mundo virtual pode levar a pouco desenvolvimento do olhar crítico sobre a realidade, sobre as necessidades humanas, sobre a política. Sobre isso Freitas (2010) diz: ...o saber enciclopédico é algo do passado, porque as fontes de informações são cada vez mais acessíveis a todas as pessoas. Isto significa que é necessário um novo enfoque da educação, de acordo com as neces- sidades formativas da sociedade atual. [...] é bom co- meçar a pensar o quanto é importante os estudantes perceberem que a Matemática não está presa em livros e apenas na escola. Podemos então dizer que o foco da EtnoMatemática está nas possibilidades de ensinar a Matemática fazendo conexões com o cotidiano, valorizando cul- tura e história dos alunos, fazendo o processo de aprendizagem, significativo. www.esab.edu.br 26 D’Ambrosio (2007) reforça este conceito quando afirma que é importante resgatar reconhecer e valorizar as histórias dos sujeitos a partir de seus contexto culturais que abrange o saber/fazer dos indivíduos. O autor diz: As distintas maneiras de fazer [práticas] e de saber [teoria], que caracterizam uma cultura, são parte do conhecimento compartilhado e do comportamento compatibilizado. Assim como o comportamento e conhecimento, as maneiras de saber e fazer estão em permanente interação. (D’AMBROSIO 2007, p. 19) Se pensarmos na valorização do contexto sociocultural dos indivíduos em uma perspectiva da Educação Matemática Crítica, a EtnoMatemática já se justifica e sua inserção no ensino dos conhecimentos matemáticos representa oportunidades de distanciamento das ideais hegemônicas encontradas nos sistemas de poder que acabam por formatar e controlar os sujeitos. É preciso que fique claro também que a presença da EtnoMatemática no contexto escolar, não exclui a Matemática científica e acadêmica nemsignifica reduzir as discussões em sala de aula, somente sobre situações do cotidiano que os alunos já conheçam. Ao contrário, através da EtnoMatemática, é possível promover reflexões e avaliações sobre significado de conteúdos para o aluno, auxiliando o professor na definição das estratégias de abordagem curricular. Tais questionamentos e análises potencializam a aprendizagem, uma vez que considera os conhecimentos produzidos pelo aluno a partir do seu contexto histórico, social e cultural. De forma agregadora, a EtnoMatemática dá voz ao saber e fazer dos sujeitos em seus contextos sociais e culturais, considerando seu cotidiano. Modelagem Matemática em conexão com a EtnoMatemática e Educação Matemática Crítica A Etnomatemática pode ser entendida como um conjunto de saberes e formas de fazer, de um grupo cultural específico, diante de determinada realidade ou fenômeno. A Modelagem Matemática busca modelar este fenômeno ou situação real com o objetivo de melhor compreender, representar e se for necessário, interferir na realidade estudada. www.esab.edu.br 27 Quando trabalhamos com a Modelagem Matemática partimos de temas relevantes da realidade do aluno e dos conhecimentos produzidos no contexto social e cultural no qual ele está inserido. Observamos então que a Modelagem Matemática envolve acontecimentos diários que podem ser desde escolher como fazer um pagamento que envolva acréscimo de juros, escolher um caminho com menos tráfego, conferir contas de consumo, como elaborar um modelo de previsão de crescimento populacional. Na análise de situações comuns do dia a dia, numa visão crítica, se observam várias conexões entre Educação Matemática Crítica, Etnomatemática e Modelagem Matemática, uma tríade. Como aspectos comuns vemos, o envolvimento do aluno em seu cotidiano durante o processo de ensino, desenvolvendo a crítica e, o raciocínio. Vemos também, a importância da investigação reflexiva e avaliativa de problemas reais que podem definir decisões a serem tomadas sobre a situação estudada, considerando costumes, crenças e valores da sua comunidade. Essa tríade da Matemática permite uma postura reflexiva e crítica e foge do ensino tradicional ao trabalhar com projetos de modelagem, expandindo a sistematização da teoria, descartando as sessões de exercícios e adotando a abordagem de temas que permitam aos alunos a discussão de problemas que sejam de interesse deles. Bassanezi afirma (2013, p. 38), “com a modelagem o processo de ensino-aprendizagem não mais se dá no sentido único do professor para o aluno, mas como resultado da interação do aluno com seu ambiente natural” A Modelagem Matemática, em uma proposta de Etnomatemática e embebida da Educação Matemática Crítica deve discutir a presença da Matemática na sociedade, pensando os problemas criados por ela promovendo por meio de um pensamento reflexivo ideias emancipatórias ao aluno durante sua formação acadêmica, contribuindo para sua formação enquanto cidadão ativo e atuante na sociedade na qual pertence. Podemos finalizar esta unidade afirmando que cada uma destas tendências levam ao ensino que faz pensar e questionar, analisando a realidade de uma forma diversa, extrapolando o espaço escolar e levando o conhecimento matemático produzido para a vida diária . www.esab.edu.br 28 Por que é importante conhecer os fundamentos da Educação Matemática Crítica e sua relações com a Etnomatemática e a Modelagem Matemática na perspectiva do processo de aprendizagem? REFLEXÃO www.esab.edu.br 29 Surgimento da Modelagem Matemática Assim como Barbosa (2001), em vez de “Modelagem Matemática” vamos usar somente a palavra “Modelagem” sem o adjetivo “Matemática” evitando assim repetições do termo. A Modelagem Matemática e suas aplicações se destacam no cenário internacional da Educação Matemática no século XX mais especificamente na década de 1960 quando matemáticos aplicados discutem novas formas de se ensinar a Matemática. Segundo Barbosa (ibid), este movimento aponta para uma Matemática escolar que deve transpor as fronteiras vigentes daquele momento, de caráter pragmático no que tange ao conhecimento da Matemática e na formação Matemática das pessoas . Essa perspectiva impactou os currículos de formas diferentes, uma vez que aplicações do cotidiano foram incorporadas nos anos iniciais da escola, mas sem continuidade nos anos seguintes da educação básica. Em 1968, o Lausanne Symposium que tem como tema “Como ensinar Matemática de modo que seja útil”, a Modelagem se projeta como estratégia de desenvolvimento da habilidade de matematizar situações da vida por meio de elaboração de modelos. A proposta de modelar problemas seria um atrativo ao estudo da disciplina, facilitando a aprendizagem da mesma. No cenário nacional, na década de 70, surgem trabalhos de um grupo de professores vinculados a Matemática Aplicada na UNICAMP dirigidos por Ubiratan D’Ambrósio. Meados desta www.esab.edu.br 30 década, na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ), liderados pelo professor Aristides Camargo Barreto acontecem estudos que tem a estratégia de ensino de Matemática a partir de modelos envolvendo alunos de Engenharia. Estes estudos levam a elaboração de modelos em áreas específicas como Biologia, Ecologia, Linguística entre outras. No começo da década de 80, as pesquisas de D’Ambrosio de viés sociocultural, somadas as investigações de Bassanezi ascende a Modelagem à Etnomatemática, ou seja, do ponto de vista do currículo, o ensino da Matemática deveria ser a partir do contexto sociocultural dos alunos. Barbosa (ibid) assinala o Curso de Pós-Graduação – lato sensu –, na Universidade Estadual de Guarapuava, em Modelagem Matemática, para professores de Matemática, coordenado por Bassanez e o curso de Pós Graduação em Educação Matemática pela UNESP em Rio Claro. Para Silveira (2007), os trabalhos desenvolvidos contribuíram para a expansão da Modelagem no Brasil. Em paralelo, no mesmo período, Berticelli (1999, apud QUARTIERI, 2012) esclarece que estudos sobre currículos e programas levam a uma reforma curricular na qual as disciplinas e os conteúdos abarcam atividades que fazem a aprendizagem mais significativa aos alunos e a escola, espaço social crítico perante o currículo vigente. Assim, o uso da Modelagem por meio de situações problema, propunha liberdade de criar, estimar, raciocinar podendo inclusive determinar o conteúdo a ser estudado. Este é um ponto positivo para Burak (1987 apud QUARTIERI, 2012), uma vez que resolução de situações problemas a partir da vivência da elaboração de modelos, contribuem para criticidade. www.esab.edu.br 31 Ao fim da década de 80, vivemos a explosão da sociedade da informação e as exigências profissionais estão ainda mais focadas no conhecimento das ciências, Matemática e tecnologia. O avanço tecnológico pede alterações curriculares que levam a introdução do uso da Modelagem Matemática na Educação Básica. Com este contexto, chegamos na década de 90, com grande expansão da Modelagem no ensino da Matemática em diferentes níveis de escolaridade, porém Barbosa (Ibid) observa que há um distanciamento entre os estudos realizados e o currículo de Matemática executado na Educação Básica. O autor ainda pontua a carência de referencias teóricos e práticos que geram resistência da efetivação da modelagem no currículo da Matemática. Vale lembrar também que transformações na área tecnológica e de informação, principalmente pelo advento do computador, exigem como diz Oliveira (2001 apud QUARTIERI, 2012) novas habilidades cognitivas e atitudinais. Esta situação faz com que a Modelagem passe a ser associada com desenvolvimento tecnológico e econômico contribuindo para o desenvolvimento do pensamento analítico e sintético, assim como para interpretação e comunicação clara e precisa de variadas formas de linguagem. As habilidades cognitivas ficam mais evidentes quando o indivíduo sedepara com situações complexas que demandem múltiplas estratégias, mais de uma solução, necessitem de avaliação e interpretação. Situações que exijam domínio da linguagem Matemática e desenvoltura na resolução de novos problemas por meio do saber matemático. As habilidades atitudinais tem a ver com o reconhecimento da Matemática como instrumento para Resolução de Problemas. Ambas habilidades aliadas aos recursos tecnológicos permitem uma abordagem nova no tratamento dos problemas e a Modelagem enriquece as metodologias do ensino da Matemática. www.esab.edu.br 32 A velocidade de execução de cálculos realizados pelo computador transformam o antigo cenário científico e pesquisas relacionadas a elaboração e análise de modelos se dão em cada vez maior número impactando o perfil do trabalhador contemporâneo. Ao indivíduo que trabalha, é exigido uma escolarização mínima e sua garantia de ocupação no mercado de trabalho dependem de suas capacidades em trabalhar em grupo, de estabelecer relações, agilidade de respostas e principalmente ser criativo ao enfrentar situações desconhecidas. A criticidade e a oportunidade de modelar matematicamente promovem habilidades necessárias para tomadas de decisão, de avalição de procedimentos tendo o raciocínio lógico formal como instrumento e, seguindo a análise de Barbosa (2001) a Modelagem no Brasil, implicada na Etnomatemática, considera o entorno dos alunos nas perspectivas antropológicas, culturais, econômicas, políticas e sociais. Essa análise de Barbosa mostra o afastamento entre a proposta pragmática presente no princípio do movimento dos estudos da Modelagem, com a proposta sociocrítica presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs de 1998. O pragmatismo na Modelagem instiga habilidades na resolução de situações problemas, encontradas no dia a dia e no mercado de trabalho, ressaltando os saberes matemáticos que são aplicados para solução, mas que ainda carece de reflexão crítica sobre questões da sociedade. Os PCNs orientam para que os conteúdos curriculares sejam os meios para a aquisição das capacidades já citadas e de forma específica a Matemática deve assinalar para demandas do cotidiano oportunizando aos alunos aprendizagem contextualizada e significativa. Tais fatores são exercitados na Modelagem possibilitando a integração dos conhecimentos matemáticos com outras áreas de conhecimento. www.esab.edu.br 33 Para os dias atuais, Santos (2014) traz os dados de 2012 do Programa Internacional de Avaliação de Aluno – PISA que indica a 58ª posição do Brasil em Matemática e que 66% dos brasileiros de até 15 anos não conseguem interpretar situações nas quais seja necessário fazer deduções, calcular percentuais, expressar frações ou representar gráficos. Zulma e Madruga (2017) investigaram a Modelagem como objeto de pesquisa no âmbito dos anos iniciais da Educação Fundamental. As autoras apontam que se apresentam concepções diversas sobre Modelagem e há estudos que analisam variados aspectos como procedimentos das etapas de modelagem, pensamento matemático, vivências dos futuros docentes e do docente formador. Entre os resultados obtidos por ambas destaca-se que há maior interesse dos alunos quando há compreensão daquilo que se apresenta inicialmente, que a Modelagem promove transformações na prática docente e que as reflexões sobre o conhecimento matemático dos alunos mobilizam processos cognitivos durante a aplicação de Modelagem. Todos os autores citados até aqui concordam que a Modelagem Matemática deve estar integrada no currículo e que atividades de modelagem promovem o desenvolvimento de habilidades como saber analisar, decidir, investigar, refletir entre outras. Esses dados reforçam a importância de um ensino de excelência ainda no nível fundamental, o que nos leva a pensar sobre a busca dos professores em implantar novos métodos de abordagem para a aprendizagem de Matemática. www.esab.edu.br 34 Breve reflexão sobre a Formação de Professores e a Modelagem Matemática Segundo Santos (2014), a educação bancária criticada por Paulo Freire, ainda é muito presentes nas escolas e os motivos são diversos como falta de conhecimento dos professores, falta de condições de ensino, interpretação equivocada de que novas propostas são “modas” e que vão passar, resistência por parte da família, dos docentes e dos administradores escolares entre outras. As propostas de ensino estão muito longe da real situação das salas de aula e do professor, dificultando o trabalho do docente e por consequência, do desenvolvimento da aprendizagem do aluno, uma vez que adaptações de contextos específicos encontram obstáculos variados e já citados. Observa-se um reducionismo da prática docente que não responde as necessidades sociais atuais, com manutenção de uma escola conservadora. Quando se pensa em aplicar a Modelagem Matemática, deve-se saber que para sua efetividade no ambiente educativo exige estudo. Partir de temas que sejam interessantes para os alunos, mas que não sejam mediados pelo professor não é o suficiente. O fato é que o distanciamento apontado por Barbosa (2001) anteriormente, ocorre, dando ao professor, justificativa e argumento a não experimentação de novas formas de ensinar. A formação docente então passa a ser ação prioritária no compromisso de viabilizar processos educativos que promovam a emancipação efetiva da sociedade. É pela formação que a interpretação e implementação de propostas curriculares acontecem e neste sentido as pesquisas didáticas, voltadas para o desenvolvimento de novas de práticas pedagógicas do professor podem contribuir para transformação do ensino atual. www.esab.edu.br 35 A Modelagem pode contribuir como uma alternativa que relaciona conteúdos curriculares com situações problemas extraescolares ao abordar contextos que envolvem os setores de produção, indústria ou ainda serviços. Nos estudos de Barbosa (2001), ele já aponta algumas fragilidades na formação inicial do professor como, pouco contato com aplicações Matemáticas e métodos e pouca ou quase nenhuma incorporação de análises ou intervenções em situações de sala de aula que proponham reflexão sobre Modelagem. O autor (2001, p. 4) ainda destaca “...a formação de professores em relação à Modelagem deve se basear em duas frentes indissociáveis: a Modelagem propriamente dita e o conhecimento prático decorrente de sua abordagem na sala de aula” Ainda que nas licenciaturas aspectos específicos do conteúdo matemático devam ser trabalhados de forma integrada aos aspectos pedagógicos, a formação inicial apresenta nos dias atuais carência de vivências, de práticas sobre o contexto escolar. Para se explorar a Modelagem em sala de aula, o docente tem que estar preparado para enfocar os diferentes temas que possam surgir pela instrumentação da Matemática, que exige domínio de conteúdos, os quais serão desenvolvidos durante o processo de aprendizagem. Se a formação inicial não atende a aplicação da Modelagem na prática dos professores, o crescimento profissional deve ser aprofundado por uma reflexão permanente sobre sua práxis. Nóvoa (1995,1997) esclarece que a formação também se dá no momento do exercício da docência, ou seja, nas suas experiências, no momento que está na sala de aula, nas suas relações com seus alunos e demais professores que somam às reflexões contínuas sobre sua atuação docente, mas há que se considerar também a formação continuada. www.esab.edu.br 36 A formação continuada, apoiada pelas políticas públicas atuais, podem complementar a formação inicial, como também subsidiar e promover a melhora na qualidade de ensino. Nacarato e Paiva (2006) apontam a formação continuada como parte fundamental do processo permanente de estudos e práxis, inerentes da jornada profissional do professor e, entre as lacunas observadas nas licenciaturas, inserir alternativas metodológicas e ampliar a carga horária de atividades práticas podemcontribuir para minimizar as deficiências no ensino de Matemática. Estudos recentes (Goulart, 2015) indicam que formação continuada pode ser uma alternativa positiva para inserir a Modelagem Matemática nos currículos e dessa forma, de fato, melhorar o processo de ensino e o processo de aprendizagem da Matemática. Goulart (2015) cita Quartieri (2013) e Abreu (2011). A investigação de Quartieri identifica que os professores pesquisados, que estavam implicados em formação continuada, pouco sabiam ou desconheciam a Modelagem Matemática e que citaram a Modelagem como uma das metodologias mais produtivas dos encontros, tanto como eficácia metodológica para o ensino de Matemática, como oportunidade de troca de experiências levando à melhoria nos processos educacionais. Já a pesquisa de Abreu destaca a contextualização de conteúdos e a vivência de práticas pedagógicas sobre Modelagem. Tambarussi e Klüber (2017) discutem especificamente a formação de professores em Modelagem Matemática a partir da verificação do pouco aprofundamento teórico dada à esta estratégia nas licenciaturas e nos cursos de formação continuada. E deve-se ressaltar aqui além dos docentes que tem a oportunidade da formação, o docente formador também deve ter impregnado na sua prática a Modelagem. Ressaltam que cursos complementares precisam atentar para mudar efetivamente a prática docente, integrando a Modelagem na sala de aula. Os autores também www.esab.edu.br 37 enfatizam que duração da formação, volta à universidade e prática docente como elemento de formação não garantem o exercício da Modelagem na sala de aula ou presença nos currículos. Bueno (2011) afirma que quando nos propomos a desenvolver atividades de Modelagem devemos ter claro quais os objetivos a serem atingidos. Caso o objetivo seja ensinar conteúdos previstos nos programas curriculares, a forma de trabalho pode ser diferente se o que se quiser ensinar seja reflexões sobre questões sociais, econômicas ou políticas, porém em ambos objetivos, cabe a Matemática como instrumento para resolução dos problemas postos. A prática formativa orientada para Modelagem, portanto merece ter seu espaço e hoje se constata que ela acontece com mais frequência voltada para a Educação Básica. Oliveira (2017) explica que seja na formação inicial ou continuada, o diálogo, a discussão e o amadurecimento promovem a cada interação, produção de conhecimento socializado e compartilhado pelos professores e pelo docente formador. A reflexão pela experiência e na prática leva os professores a aprender sobre a aplicação da Modelagem no processo de ensino de conteúdos e conceitos matemáticos e do cotidiano, impactando o processo de aprendizagem, dando significado e fazendo da Matemática, recurso fundamental para compreensão e interpretação da realidade. Isso se dá quando ideias Matemáticas concebidas a partir da interpretação de resultados, possibilitam a elaborar argumentos, representados por modelos matemáticos, explicitados pela linguagem Matemática. Bisognin e Bisognin (2015) relatam que a proposição da Modelagem no processo de ensino, implica aprender para ensinar e assim possibilita revisão de conteúdos matemáticos e aprendizagem de uma abordagem metodológica que se avizinha da realidade do www.esab.edu.br 38 aluno, oportunizando ao professor estabelecer relações entre conhecimentos já estabelecidos durante seu vida profissional e sua formação, inicial e contínua. Nos estudos das autoras, os professores pesquisados concluem que a Modelagem promove a compreensão de conteúdos matemáticos pela tomada de decisões, percepção, reflexão, relações entre conceitos e produção de conhecimento significativo. No aprender para ensinar, sistematizado na prática formativa, é fundamental que os docentes vivenciem a elaboração e a aplicação de atividades de ensino e aprendizagem baseados na Modelagem, partindo de análises de conteúdos e conceitos matemáticos que serão desenvolvidos com os alunos de maneira que se tornem compreensíveis. Oliveira (2017), Tambarussi e Klüber (2017) concordam que os cursos de formação, iniciais ou continuados devem focar a reflexão e a práxis, para que a inserção da Modelagem se dê nos currículos e nas salas de aulas, projetando-se dos documentos oficiais e se concretize como realidade na prática pedagógica. Com o que foi exposto, a docência que incorpora a Modelagem deve estar respaldada em aspectos epistemológicos próprios, conhecimentos únicos desenvolvidos a partir de situações específicas do contexto escolar, o que nos leva a refletir sobre a concepção, estrutura e teoria que constituem o conhecimento e domínio da aplicação da Modelagem Matemática. www.esab.edu.br 39 Saiba mais: Visite os sites das entidades internacionais e nacionais de Educação Matemática: • American Mathematical Society (MAS) – http://www.ams. org/home/page • Centro de Referência de Modelagem Matemática no Ensino (CREMM) - www.furb.br/cremm • European Mathematical Society (EMIS) - http://www.emis. de/ • Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) - http://www.sbembrasil.org.br Nestes sites você vai encontrar informações sobre Matemática, modelagem Matemática, artigos, congressos notícias e outros links interessantes. http://www.ams.org/home/page http://www.ams.org/home/page http://www.furb.br/cremm http://www.emis.de/ http://www.emis.de/ http://www.sbembrasil.org.br www.esab.edu.br 40 Modelo De acordo com o dicionário do Aurélio a palavra modelo pode significar imagem, desenho ou objeto que serve para ser imitado (desenhando ou esculpindo). O conceito de modelo se constrói quando se pensa em forma ideal que tem por função a criação de outras formas, modelos, a partir da primeira. É um paradigma. Gouveia Jr (1999) diz que o modelo é uma metáfora que nos ajuda a explicar outro modelo, como quando comparamos o sistema nervoso central com um computador. Para Bassanezi (2013) modelo é a formalização de um sistema artificial no qual foi selecionado argumentos ou parâmetros consi- derados essenciais para explicação, entendimento ou intervenção na realidade. O autor destaca dois tipos de modelos: o primeiro é o modelo teórico que se constitui a partir de uma teoria existente, uma explicação, uma construção hipotética que auxilia na análise e compreensão de uma realidade tendo como base, um código de interpretação fundamentado nas principais variáveis presentes nos fenômenos, variáveis estas originadas das hipóteses ou dos experimentos. O segundo modelo destacado por Bassanezi (2013) é o modelo objeto, que representa fato ou objeto e que tem como principal característica, variáveis homogêneas e estáveis. Sua limitação é que variações individuais e detalhes do objeto ou do fenômeno podem não ser representados neste modelo. Sua representação pode ser pictórica, simbólica ou conceitual por meio de fórmulas Matemáticas. www.esab.edu.br 41 Modelo Matemático Os modelos representam, explicam e facilitam a compreensão de situações que podem ou não ser matematizadas. É muito comum no âmbito da Matemática recorrer à modelos para se comunicar e para Bean (2005) as múltiplas realidades vistas a partir de uma situação, levam a diferentes modelos, uma vez que a interpretação do problema remete aos interesses dos envolvidos. Biembengut e Heim (2014) afirmam que modelos podem ser ex- pressos em termos familiares, fórmulas, diagramas, tabelas, re- presentações geométricas, gráficos, expressões numéricas, equações, softwares e outros. Para Cristofoletti (1999) modelo matemático é “qualquer repre- sentação simplificada da realidade ou de um aspecto do mundo real que surja como de interesse ao pesquisador, que possibilite reconstruir a realidade, prever um comportamento, uma transfor- mação ou uma evolução”. A definição para Sodré (2007) de mode- lo matemático é que sua característica mais comum é a simplifica- ção da realidade com a manutenção das características do mundoreal, de forma que o comportamento do modelo seja o mais próxi- mo possível da situação real. Bassanezi (2013, p. 20) define modelo matemático como “um conjunto de símbolos e relações Matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”. Sua linguagem deve ser sucinta, objetiva, sem imprecisões, oportunizando um grande conjunto de resultados, proposições ou teoremas que levem a soluções numéricas por meio de métodos computacionais. O autor classifica os modelos matemáticos conforme a o tipo de Matemática usada: • Linear ou não linear: de acordo com as características das suas equações básicas; www.esab.edu.br 42 • Estático: lembra o modelo pictórico, traz a representação da forma do objeto; • Dinâmico: este modelo permite a simulação das alterações de cada estágio de um fenômeno; • Educacional: se baseia em número reduzido e simples de suposições e na maioria das vezes, suas soluções são analíticas. Todos estes modelos não representam fielmente a realidade e por isso não são adequados para prever uma situação futura, mas ao ser elaborado agrega experiência e novas ideias para a depuração de melhores modelos que se aproximem ao máximo da realidade em estudo. Os métodos computacionais podem ser programas ou aplicativos, partem de hipóteses reais e trabalham com as inter-relações entre as variáveis do fenômeno, gerando sistema de equações com variados parâmetros, inviabilizando tratamento analítico. Quanto mais próximo estiver o modelo da realidade, mais difícil sua validação e também mais complexo é o modelo. Quando se estuda um problema, a construção de um modelo dentro de uma teoria promove o alcance de resultados e a solução de se dá de forma simples, porém técnicas ou métodos podem ser escassos para se obter os resultados. Para se obter um modelo matemático é preciso que a linguagem utilizada, seja clara e não gere dúvidas, o que exige que a descrição do problema seja representada em símbolos e operações de uma teoria Matemática. Temos então um problema real expresso matematicamente e tratado pela Matemática, porém usando da interpretação, na mesma via temos representações Matemáticas que se aproximam de problemas reais. www.esab.edu.br 43 Com o que foi exposto até aqui, podemos afirmar que os modelos matemáticos representam a natureza de uma realidade, porém nem todas as situações reais podem ser representadas matematicamente e esta dificuldade é um limitador no uso de modelos matemáticos. Por outro lado, as possibilidades de representação da realidade fazem com que esses modelos sejam versáteis, considerando inclusive que são ajustáveis, levando a diferentes resultados para diferentes situações reais de um mesmo contexto, ou sistema. Além disso, os modelos matemáticos são fáceis de executar, apresentam baixo custo, as respostas podem ser obtidas rapidamente, facilitando a simulação de situações que não poderiam ser experimentadas na prática. Os modelos matemáticos passam por evolução assim como o a própria Matemática, evidência clara quando pensamos nos dispositivos digitais que promoveram o desenvolvimento e a aplicação da Matemática em variadas áreas de conhecimento. Seu uso é reconhecido socialmente e cientificamente devido as suas contribuições na descrição e previsão de fenômenos físicos, naturais, sociais e outros. Para Almeida (2013), a elaboração de um modelo matemático se dá a partir da representação do que se sabe sobre a situação estudada. O autor diz que professor e aluno, no início da investigação do problema, ainda não sabem bem os conceitos ou conteúdos que serão subsídios para o processo de modelação e isso leva a diversas propostas de Resolução de Problemas, com base nas mesmas informações. Assim, um mesma situação real pode ser desenvolvida a partir de um mesmo modelo, que se adapta aos diferentes níveis de escolaridade ou conhecimento o tema. O exemplo clássico é a decomposição de uma figura geométrica em figuras geométricas menores para determinar a área total da figura geométrica maior. www.esab.edu.br 44 Apresentamos então, de forma sintética a definição de modelo matemático de alguns autores já citados: Autor Modelo matemático é? Almeida; Silva; Vertuan Um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura Matemática e que tem por finalidade descrever ou explicar o comportamento de outro sistema. Barbosa O modelo matemático é qualquer representação Matemática da situação em estudo. Bassanezi Formalização de um sistema artificial no qual foi selecionado argumentos ou parâmetros considerados essenciais para explicação, entendimento ou intervenção na realidade. Bean É uma construção simbólica conceitual (construto conceitual), expressa principalmente na linguagem Matemática, que auxilia na interpretação/compreensão e/ou tomada de decisões. Biembengut É uma representação do mundo real por meio de lin- guagem Matemática. Pode ser um conjunto de expres- sões aritméticas, fórmulas, equações algébricas, gráfi- cos, representações ou pro- grama computacional que leve a solução ou permita a dedução de solução. www.esab.edu.br 45 Cristofoletti Qualquer representação simplificada da realidade ou de um aspecto do mundo real que surja como de interesse ao pesquisador, que possibilite reconstruir a realidade, prever um comportamento, uma transformação ou uma evolução. Gouveia, Jr Modelo é a forma ideal, o paradigma, tendo por função a criação de outros como ele. Sodré Simplificação da realidade com a manutenção das ca- racterísticas do mundo real, de forma que o com- portamento do modelo seja o mais próximo possível da situação real. Quadro 1: Concepção de Modelo Matemático. Fonte: Elaborado pela autora Modelagem Matemática A Modelagem Matemática pode ser entendida como um processo dinâmico, abstrato e generalista para prever tendências, traduzindo situações reais em problemas matemáticos e assim validando os modelos matemáticos. Vale lembrar que os modelos matemáticos são aproximação da realidade que passam por depuração contínua e que podem representar parte ou todo de um sistema. A modelagem pode ser compreendida como o processo de elaboração do modelo que será usado para estudar a situação e resolvê-la. Na perspectiva da Matemática, a Modelagem Matemática é a criação de estratégias e argumentos expressos em um sistema matemático que facilite o entendimento da situação problema que está sendo estudada. www.esab.edu.br 46 [...] Parte de uma situação-problema de alguma área do conhecimento e busca solucioná-la utilizando-se das teorias Matemáticas. Trata-se de um processo que consiste em dispor os dados de um fenômeno ou da questão investigada em sintonia com alguma estrutura Matemática que possibilite representá-los e, principalmente, possibilitar uma descrição, uma resposta ou solução plausível, uma previsão. BIEMBENGUT e ZERMIANV (2011, p. 289). A Modelagem pode ser vista como método científico de pesquisa ou ainda como estratégia de ensino e aprendizagem. Sua essência é transformar problemas reais em problemas matemáticos e propor soluções em uma linguagem que possa ser compreendida facilmente. Na educação, a Modelagem Matemática facilita a aprendizagem e seu potencial pode ser ampliado quando teoria e prática se integram. Tem caráter motivacional porque auxilia na compreensão de situações reais e estimula na procura de agir e transformar a situação estudada. Seja no viés de método científico, seja no viés de estratégia de aprendizagem, a Modelagem contribui na formação do indivíduo na compreensão e domínio de recursos científicos e tecnológicos. Para Barbosa (2001) a Modelagem é uma investigação de caráter matemático e que acontece através de algoritmos, conceitos e ideias da Matemática que tem como diferencial, relação com as outras áreas de conhecimento. O autor explica que a Modelagem Matemática pode serusada em diversas situações como o crescimento de uma planta, criação de aves, fluxo escolar entre outras. Por isso, observa-se um aumento de discussões e estudos sobre o uso da Modelagem Matemática como instrumento metodológico para o ensino da Matemática. www.esab.edu.br 47 Concepções da Modelagem Matemática São muito os autores que pensam sobre Modelagem Matemática e por isso, somente alguns aqui forma citados. A escolha dos mesmos se deu em virtude do reconhecimento de seus trabalhos científicos, diferencial das concepções propostas e atuação com Modelagem no presente. A modelagem Matemática pode ser entendida como método científico e nessa visão ela pressupõe multidisciplinaridade. Observam-se avanços em várias áreas como Biologia, Física, Química e outras. Estes avanços se dão pela necessidade de buscar leis, ensaiar hipóteses, formular problemas sendo a Matemática ferramenta fundamental na compreensão de fenômenos, levando o indivíduo a exercitar a cidadania no processo de criação de um modelo. Este modelo então é testado e havendo falhas, depura-se o modelo. Pesquisas que envolvem conteúdos matemáticos e aspectos computacionais na Resolução de Problemas, nas áreas de ciências e tecnologia, buscam a Modelagem com a ideia de simular, analisar e prever. Temas como energia, fluxo de calor, processamento de sinais, automação de manufatura entre outros estão entre os que mais se destacam. A Modelagem também pode ser entendida como uma área da Educação Matemática, que apresenta variadas definições e há um grupo de autores que entendem a Modelagem como ambiente par o ensino e aprendizagem, caminho, estratégia, prática, método pedagógico. Caldeira (2009) considera que a Modelagem, é uma concepção da Educação Matemática, que se origina de projetos, sem o compromisso de abordar conteúdos curriculares, mas de explorar conceitos da Matemática. Almeida (2004) define como uma www.esab.edu.br 48 alternativa pedagógica para o ensino da Matemática, que instiga a investigação numa perspectiva socioepistemológica; Araújo (2009) afirma que é um ambiente que promove a aprendizagem sob um referencial crítico de Educação Matemática. Barbosa (2001) diz que Modelagem Matemática é um ambiente investigativo no qual se dá aprendizagem e que as atividades desenvolvidas podem ser interpretadas como um modo de educar para a cidadania. Ainda para o autor, a Modelagem promove a reflexão sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática. Também afirma que há um ganho cognitivo, quando a Modelagem leva ao contato com novos conceitos. Sobre Modelagem Matemática a visão de Barbosa (2001) é “trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem situações por meio da Matemática sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento” (BARBOSA, 2001, p. 5). Para Bassanezi (2013, p. 45), “trata-se de um processo dinâmico de busca de modelos adequados, que sirvam de protótipos de alguma entidade”. O autor diz que pela modelagem, através de cálculos, é possível validar modelos e prever comportamentos de um sistema, ligando então o mundo com as representações, “A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual” (BASSANEZI, 2013, p. 24). O autor ainda comenta que a Modelagem aprimora a forma de agir e pensar Segundo Biembengut (2014, p. 21): Modelagem é o processo envolvido na elaboração de modelo [...]. Trata-se de um processo de pesquisa. A essência deste processo emerge na mente de uma pessoa quando alguma dúvida genuína ou circunstância instigam-na a encontrar uma melhor forma para alcançar uma solução, descobrir um meio para compreender, solucionar, alterar, ou ainda, criar www.esab.edu.br 49 ou aprimorar algo. E em especial, quando a pessoa tem uma percepção que instiga sua inspiração. Os estudos de Biembengut (2014) indicam que a Modelagem pode ser desenvolvida em qualquer nível de ensino, do fundamental ao superior. Diferencia em sua concepção, os objetivos da Modelagem para a Matemática Aplicada e da sala de aula. Sobre a Matemática Aplicada, a autora aponta que o objetivo é extrair a essência da situação problema e elaborar um modelo simplificado para resolvê-la, aperfeiçoando assim técnica, tecnologia, teoria, produto e outros. Para sala de aula, o objetivo é facilitar e proporcionar o ensino e a aprendizagem de conhecimentos acadêmicos que contribuam na atuação das pessoas na sociedade na qual estão inseridas. Bassanezi (2013), Biembengut (2007) e outros autores esclarecem que há um processo de criação de modelos que passa por muitas interações. Biembengut e Hein (2014) afirmam que há passos na elaboração dos modelos como: reconhecimento da situação geradora do problema, questionamentos e investigação sobre o problema, elaboração e explicitação da proposta das hipóteses, formulação e construção Matemática do modelo e, validação do modelo pela análise das possibilidades obtidas. Burak (2004) considera que a Modelagem auxilia o aluno a elaborar condições sobre sua aprendizagem propiciando a integração da abstração vista em sala de aula com situações problemas reais, favorecendo a autonomia do indivíduo durante o processo de modelagem. Para Burak (2004) o desenvolvimento da Modelagem em sala de aula motiva o interesse dos alunos, mas exige do docente e da instituição uma nova postura em relação a organização dos conteúdos, ou seja, um re-olhar sobre aprendizagem e ensino sob uma nova perspectiva de educação. www.esab.edu.br 50 Bean (2007) entende Modelagem Matemática como adoção de premissas e formulação de hipóteses. Para o autor, Modelagem é “uma atividade, entre uma variedade de possíveis atividades, utilizada para lidar com situações problemáticas empregando a linguagem Matemática” (2007, p. 48). Ele ainda diz: A modelagem é uma atividade humana na qual uma parte da realidade está conceitualizada, de forma criativa, com algum objetivo em mente. O cerne da modelagem reside no recorte e na formulação de um isolado, ou seja, na conceitualização de um fenômeno com fundamento em premissas e pressupostos que remetem tanto ao fenômeno quanto aos objetivos do modelador. (BEAN, 2009, p. 94). O diferencial de Bean está na ênfase das expressões de premissas e pressupostos. Assim, o autor nos chama a atenção para os interesses e demandas que baseiam os pressupostos e que são os fundamentos dos algoritmos encontrados nos modelos. Sem reflexão, a compreensão e representação da realidade podem ser reproduções, acríticas e tradicionais de atividades. www.esab.edu.br 51 Conceito de Estratégia de Ensino Podemos dizer que métodos e técnicas praticadas pelos docentes em sua atuação são estratégias de ensino e tem como objetivo promover a aprendizagem. A origem da palavra estratégia está ligada ao planejamento das ações militares vistas nas guerras. Atualmente, é um vocábulo largamente usado no ambiente escolar. Petrucci e Batiston (2006) dizem que [...] a palavra ‘estratégia’ possui estreita ligação com o ensino. Ensinar requer arte por parte do docente, que precisa envolver o aluno e fazer com ele se encante com o saber. O professor precisa promover a curiosidade, a segurança e a criatividade para que o principal objetivo educacional, a aprendizagem do aluno, seja alcançada. (PETRUCCI E BATISTON 2006, p. 263). Temos então que as estratégias de ensino devem mobilizar os alunos de tal forma que eles se envolvam profundamente com o processo de aprendizagem levando o docente a uma busca contínua de estratégias alternativas que possam seduzir os alunos para o mundo do conhecimento. Nesta busca, o professor tem que ter desenvolvido a habilidade de escolher diversas atividades que possam atingir os objetivos da aprendizagem, considerando as diferenças dos alunos e as especificidades de conteúdo, selecionando, portanto a estratégia mais
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