ET75H_questoes_prova1

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ET75H - SINAIS E SISTEMAS 1 - Prof.: Rafael Souto
Questões Anteriores - Prova 1
Esse documento apresenta todas as questões que já foram cobradas em semestres anteriores para a primeira prova.
Em cada questão, indica-se o ano em que ela foi cobrada, bem como o aproveitamento percentual de pontos por
parte dos alunos que fizeram a prova. Note que algumas questões foram cobradas mais de uma vez.
2013 (94,74%) : Considere o sinalx(t) mostrado na Fig. 1 abaixo.
Figura 1: Sinalx(t).
Trace o gráfico dos seguintes sinais:
a) xa(t) = x(−t).
b) xb(t) = x(t+ 6).
c) xc(t) = x(3t).
d) xd(t) = x(6− t).
2013 (85,26%) : Considere o sinalx(t) mostrado na Fig. 2 abaixo.
Figura 2: Sinalx(t).
Trace o gráfico dos seguintes sinais:
a) xa(t) = x(−t).
b) xb(t) = x(t− 4).
c) xc(t) = x(2t).
d) xd(t) = x(4− t).
2014 (44,38%) : Considere o seguinte sinal discreto
x[n] = 2
(
(n2 + 1)δ[n] + u[n− 2]− u[n− 5]
)
− δ[n− 5] + u[n− 7]− u[n− 6]− δ[n− 8]−
n
9
δ[n− 9].
a) Escreva o sinalx[n] como uma soma de impulsos e esboce seu gráfico.
b) Calcule a energiaEx do sinalx[n].
c) Esboce os sinaisx1[n] = x[−n], x2[n] = x[n + 4], x3[n] = x[−n + 4], x4[n] = x[4n], x5[n] = 2x[n] e
x6[n] = 2x[4t].
d) A partir dos sinais determinados no item anterior, calcule suas respectivas energiasE1, E2, E3, E4, E5 eE6.
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Figura 3: Sinal contínuox(t).
2014 (48,25%) : Considere o sinalx(t) mostrado na Fig. 3.
a) Esboce o gráfico do sinaly(t), sendoy(t) = d
dt
x(t). Em seguida, expresse o sinaly(t) por uma única expressão
para todot.
b) Esboce os gráficos dos sinaisy1(t) = y(−2t+ 4) ey2(t) = −2y(t) + 4.
c) Considerando os sinaisy1(t) e y2(t) determinados no item anterior, calcule suas respectivas energias (caso
sejam finitas).
d) Expresse o sinalz(t) = d
2
dt2
x(t) = d
dt
y(t) por uma única expressão para todot e, em seguida, esboce o seu
gráfico.
2014 (32,31%) : Considere o sinalx(t) mostrado na Fig. 4.
Figura 4: Sinal contínuox(t).
a) Esboce o gráfico do sinaly(t), sendoy(t) = d
dt
x(t). Em seguida, expresse o sinaly(t) por uma única expressão
para todot.
b) Esboce os gráficos dos sinaisy1(t) = y(−2t+ 4) ey2(t) = −2y(t) + 4.
c) Considerando os sinaisy1(t) e y2(t) determinados no item anterior, calcule suas respectivas energias (caso
sejam finitas).
d) Expresse o sinalz(t) = d
2
dt2
x(t) = d
dt
y(t) por uma única expressão para todot e, em seguida, esboce o seu
gráfico.
2014 (55,65%) : Escreva o sinalx(t) mostrado na Fig. 5 como uma soma de funções do tipoAu(t + B), A e B
constantes, em queu(t) é a função degrau unitário. Em seguida, determine e esboce o sinal y(t) = d
dt
x(t).
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Figura 5: Sinal contínuox(t).
2014 (67,66%) : Considere o sinalx(t) mostrado na Fig. 5.
a) Calcule a energiaEx do sinalx(t).
b) Esboce os sinaisx1(t) = x(−t), x2(t) = x(t + 4), x3(t) = x(−t + 4), x4(t) = x(4t), x5(t) = 2x(t) e
x6(t) = 2x(4t).
c) A partir dos sinais determinados no item anterior, calcule suas respectivas energiasE1, E2, E3, E4, E5 eE6.
2013 (15,79%) : Simplifique as expressões abaixo:
a) e−t cos(t+ 3)δ(t+ 3).
b)
(
1 + sin(ω)
ω2+4
)
δ(ω).
2013 (64,10%) : Simplifique as expressões abaixo:
a) et+1(sin(2t− 2) + 1)δ(t− 1).
b)
(
cos(ω)
ω3+2
)
δ(ω).
2013 (19,74%) : Calcule:
a)
∫
∞
−∞
(
t3 + 4
)
cos [π (t− 2)] δ(1− t)dt.
b) u(t) ∗ u(t).
2013 (32,69%) : Calcule:
a)
∫
∞
−∞
(t− 1) cos [π (t− 2)] δ(3− t)dt.
b) u(t) ∗ u(t).
2014 (49,42%) : Simplifique as seguintes expressões:
a) [e−t cos(3t− 60◦)] δ(t).
b)
[
sen(ω−1)
ω−1
]
δ(1− ω).
Em seguida, calcule as seguintes integrais:
c)
∫
∞
−∞
δ(t)e−jωtdt.
d)
∫
∞
−∞
δ(2t− 3) sen(πt)dt.
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Questões Anteriores - Prova 1
2013 (53,95%)-(69,87%) : Considere um sistema LIT cujas respostas aos sinais de entradax1(t) ex2(t) correspondem
aos sinais de saíday1(t) ey2(t), respectivamente, conforme ilustrado na Fig. 6. Trace o gráfico da resposta desse sistema
aos seguintes sinais de entrada
a) f(t) ilustrado na Fig. 7.
b) g(t) ilustrado na Fig. 7.
Figura 6: Sinais de entrada e de
saída de um sistema LIT. Figura 7: Sinais de entrada.
2014 (51,67%) : Considere um sistema contínuo linear e invariante no tempo cuja resposta ao sinalx1(t) seja o sinal
y1(t), ambos ilustrados na Fig 8.
Figura 8: Sinais de entrada e saída de um determinado sistemacontínuo LIT.
a) Determine e esboce a respostay2(t) desse sistema à entradax2(t) ilustrada na Fig 9.
b) Determine e esboce a respostay3(t) desse sistema à entradax3(t) ilustrada na Fig 9.
Figura 9: Novos sinais de entrada para o sistema.
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Figura 10: Sinal contínuox(t). Figura 11: Sinaisx1(t) ex2(t) formados a partir dex(t).
2014 (57,56%) : Expresse os sinaisx1(t) ex2(t), mostrados na Fig. 11, em termos do sinalx(t), mostrado na Fig. 10,
e de suas versões deslocadas no tempo, escalonadas no tempo ou revertidas no tempo.
2013 (15,79%)-(9,83%) ; 2014 (39,68%) : Considere o seguinte sistema
y(t) =
∫ t
−∞
x(τ)dτ
a) Classifique-o quanto à BIBO estabilidade. Justifique sua resposta.
b) Classifique-o quanto à casualidade. Justifique sua resposta.
c) Esse sistema possui memória? Justifique sua resposta.
2014 (68,75%) : Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por umafunçãor(t) = (t + 1)u(t), ou
seja,y(t) = x(t)r(t). Classifique-o quanto à linearidade, memória, causalidadee invariância no tempo. Justifique suas
classificações.
2014 (49,04%) : Considere um sistema que multiplica uma dada entrada por umafunçãor(t) = (t − 1)u(t), ou
seja,y(t) = x(t)r(t). Classifique-o quanto à linearidade, memória, causalidadee invariância no tempo. Justifique suas
classificações.
2014 (47,09%) : Considere os sinaisx1[n] e x2[n] mostrados na Fig. 12. Esboce o grafico dex3[n], tal quex3[n] =
x1[n] ∗ x2[n].
Figura 12: Sinais discretosx1[n] ex2[n].
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Figura 13: Sistema discreto LIT.
2014 (60,00%) : Considere um sistema discreto LIT cuja reposta ao impulso seja dada porh[n]. Considere ainda um
sinal de entradax[n] aplicado a esse sistema. A Fig. 13 ilustra esses sinais e a situação descrita.
a) Esboce o gráfico do sinal de saíday[n] correspondente a essa entradax[n].
b) A partir do item anterior, esboce o gráfico do sinalz[n] = y[−3n+ 4].
2014 (58,97%) : Considere os sinaisx1[n] ex2[n] mostrados na Fig. 14.
Figura 14: Sinais discretosx1[n] ex2[n].
a) Esboce o gráfico do sinaly[n], tal quey[n] = x1[n] ∗ x2[n].
b) Esboce o gráfico do sinalz[n] = y[−3n+ 4] e calcule sua energiaEz.
2014 (31,40%)-(43,16%) : Considere um sistemaS contínuo LIT constituído por dois subsistemasS1 eS2 em cascata,
conforme apresentado na Fig. 15.
Figura 15: SistemaS constituído por dois subsistemasS1 eS2 em cascata.
As respostas ao impulso destes sistemasS1 eS2 são, respectivamente,
h1(t) = δ(t)− 2e
−tu(t) e h2(t) = e
tu(t).
a) Determine a resposta ao impulsoh(t) do sistemaS.
b) Classifique os sistemasS, S1 eS2 quanto à estabilidade. Justifique sua resposta.
OBS.: Para esta questão, considereetu(t) ∗ e−tu(t) =
[
et−e−t
2
]
u(t).
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Questões Anteriores - Prova 1
2013 (93,42%) : SejaD(p) =
∑m
k=0 αkp
k, αm = 1, com o operadorp definido da seguinte maneira:
pkx[n] = x[n+ k]
Considere então a equação a diferenças
(p− 2)(p2 − 2p+ 1)y[n] = 0, y[0] = 2, y[1] = 5, y[2] = 9.
Obtenhay[n] pelo Método dos Coeficientes a Determinar.
2013 (54,17%) : SejaD(p) =
∑m
k=0 αkp
k, αm = 1, com o operadorp definido da seguinte maneira:
pkx[n] = x[n+ k]
Considere então a equação a diferenças
(p2 − 4p+ 4)(p− 1)y[n] = 0, y[0] = 4, y[1] = 8, y[2] = 18.
Obtenhay[n] pelo Método dos Coeficientes a Determinar.
2013 (81,58%) : Considere a seguinte equação a diferenças
y[n+ 1]− 3y[n] = 0, y[0] = 1.
Obtenhay[n] utilizando a TransformadaZ.
2013 (70,51%) : Considere a seguinte equação a diferenças
y[n+ 1]−
4
5
y[n] = 0, y[0] = 1.
Obtenhay[n] utilizando a Transformada Z.
2014 (19,05%) : Determine a transformada Z do sinalx[n] = cos[βn]u[n].
2014 (27,86%)-(19,77%) : Um pai, preocupado com o futuro financeiro de seu filho, decideabrir uma conta de aposen-
tadoria privada em um grande banco nacional. Assim, desde que seu filho nasceu, ele faz mensalmente um depósito (sinal
de entrada) nessa conta. O banco paga0, 5% de juros ao mês nessa modalidade de conta bancária e envia periodicamente
uma correspondência com o saldo (sinal de saída) ao depositante.
a) Determine a equação que relaciona a saíday[n] (o saldo) com a entradax[n] (o depósito).
b) Considere que a conta possa ser aberta sem nenhum investimento inicial (y[0] = 0 ex[0] = 0). Considere ainda
que esse pai faça um depósito mensal de R$ 50 e que o primeiro depósito ocorreu quando seu filho completou1
mês de vida (instanten = 1). Quanto será o saldo dessa conta quando o filho completar55 anos?
c) Suponha agora um outro cenário em que o pai decida abrir a conta no dia do nascimento de seu filho com um
investimento inicial de R$ 10.000 (y[0] = 10.000). Por outro lado, ele não fará os depósitos mensais. Quanto será
o saldo dessa conta quando o filho completar55 anos?
OBS.: Para esta questão, considere a seguinte aproximação:1, 005660 = 26.
2014 (51,00%) : Sejay[n] a quantidade de peixes existentes em um certo lago no começo do n-ésimo ano. Sabe-se que
as taxas de natalidade e mortalidade dessa população de peixes durante qualquer ano são30% e 10%, respectivamente.
Por fim, suponha que sempre na última semana do ano ocorra uma temporada de pesca, de modo que nenhum peixe é
pescado fora da temporada. Definax[n] como sendo a quantidade de peixes pescados non-ésimo ano.
a) Escreva a equação a diferenças que relacionay[n], y[n− 1] ex[n].
b) Considere uma quantidade inicial de mil peixes. Quantos peixes haverá nesse lago após 15 anos, caso a pesca
seja sempre proibida? Assuma que o lago não possua uma capacidade máxima de peixes.
c) Ainda considerando uma quantidade inicial de mil peixes, caso se pesque 250 peixes por temporada (mas note
quex[0] = 0), podemos afirmar que essa população de peixes estará completamente extinta após 10 anos? Justifique
sua resposta.
OBS.: Para esta questão, considere a seguinte aproximação:1, 215 = 15, 4 e1, 210 = 6, 2.
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2014 (43,59%) : Sejay[n] a quantidade de peixes existentes em um certo lago no começo do n-ésimo ano. Sabe-se que
as taxas de natalidade e mortalidade dessa população de peixes durante qualquer ano são30% e 10%, respectivamente.
Por fim, suponha que sempre na primeira semana do ano ocorra uma temporada de pesca, de modo que nenhum peixe é
pescado fora da temporada. Definax[n] como sendo a quantidade de peixes pescados non-ésimo ano.
a) Escreva a equação a diferenças que relacionay[n], y[n− 1] ex[n].
b) Considere uma quantidade inicial de mil peixes. Quantos peixes haverá nesse lago após 15 anos, caso a pesca
seja sempre proibida? Assuma que o lago não possua uma capacidade máxima de peixes.
c) Ainda considerando uma quantidade inicial de mil peixes, caso se pesque 250 peixes por temporada (mas note
quex[0] = 0), podemos afirmar que essa população de peixes estará completamente extinta após 5 anos? Justifique
sua resposta.
OBS.: Para esta questão, considere a seguinte aproximação:1, 215 = 15, 4 e1, 25 = 2, 5.