2015 2-AP2-PC-Gabarito

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AP 02 – 2015-2 GABARITO Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
GABARITO da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
_________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,5 pontos]: 
(a) [1,0] Se sec 𝑥 = 3, quais são os possíveis valores de sen𝑥 e de cos(2𝑥)? 
Justifique suas respostas. 
(b) [1,2] Encontre o domínio de 𝑔(𝑥) = csc2(2𝑥) e resolva a equação csc2(2𝑥) = 2. Justifique todas 
as suas respostas. 
(c) [1,3] Considere a função 𝑓(𝑥) = arctan(3𝑥2 − 4𝑥). 
Encontre o domínio da função 𝑓. Resolva a equação arctan(3𝑥2 − 4𝑥) = −
𝜋
4
. Justifique todas as suas 
respostas. 
RESOLUÇÃO 
(a) Por definição, sec 𝑥 =
1
cos𝑥
 logo 
1
cos𝑥
= 3 e portanto, cos 𝑥 =
1
3
. 
Pela identidade trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, temos que sen2 𝑥 +
1
9
= 1. 
sen2 𝑥 +
1
9
= 1 ⟺ sen2 𝑥 = 1 −
1
9
=
8
9
 ⟺ sen 𝑥 = ±√
8
9
= ±
2√2
3
 
Portanto, sen 𝑥 =
2√2
3
 ou sen 𝑥 = −
2√2
3
. 
Pela identidade, cos(2𝑥) = cos2 𝑥 − sen2 𝑥, temos que cos(2𝑥) =
1
9
−
8
9
= −
7
9
 . 
Portanto, cos(2𝑥) = −
7
9
. 
 
(b) Por definição, csc(2𝑥) =
1
sen(2𝑥)
 , logo 𝑔(𝑥) = csc2(2𝑥) =
1
sen2(2𝑥)
=
1
(sen(2𝑥))2
 só pode ser calculada se 
sen(2𝑥) ≠ 0., Para isso, 2𝑥 ≠ 0, 2𝑥 ≠ 𝜋 e de todos os congruentes. ou seja, 2𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
2𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 2 
⇔ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ . 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Resolvendo csc2(2𝑥) = 2. 
Como por definição, csc(2𝑥) =
1
sen(2𝑥)
, temos que csc2(2𝑥) =
1
sen2(2𝑥)
 
Logo, 
csc2(2𝑥) = 2 ⟺ 
1
sen2(2𝑥)
= 2 ⟺ sen2(2𝑥) =
1
2
 ⟺ sen(2𝑥) = ±
1
√2
= ±
√2
2
. 
As soluções de sen(2𝑥) =
√2
2
 para 2𝑥 na primeira volta do círculo trigonométrico, no sentido anti-horário, 
são: 2𝑥 =
𝜋
4
 ou 2𝑥 =
3𝜋
4
. 
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As soluções de sen(2𝑥) = −
√2
2
 para 2𝑥 na primeira volta do círculo trigonométrico, no sentido anti-horário, 
são: 2𝑥 =
5𝜋
4
 ou 2𝑥 =
7𝜋
4
. 
Considerando todos os ângulos congruentes aos citados aqui, 
2𝑥 =
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 ou 2𝑥 =
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 ou 2𝑥 =
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋 ou 2𝑥 =
7𝜋
4
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Para encontrar as soluções em 𝑥, dividimos tudo por 2 e concluímos que as soluções são: 
𝑥 =
𝜋
8
+ 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
3𝜋
8
+ 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
8
+ 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
7𝜋
8
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Outra forma de resolução: 
Se observamos que 
𝜋
4
+
𝜋
2
=
3𝜋
4
, 
𝜋
4
+ 2 ∙
𝜋
2
=
5𝜋
4
 e 
𝜋
4
+ 3 ∙
𝜋
2
=
7𝜋
4
, 
podemos obter outra forma mais simples de representar as soluções de sen(2𝑥) = ±
√2
2
, 
2𝑥 =
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ. 
Para encontrar as soluções em 𝑥, dividimos tudo por 2 e concluímos que as soluções são: 
𝑥 =
𝜋
8
+
𝑘𝜋
4
, 𝑘 ∈ ℤ. 
 
(c) Como 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 está definido para todos os reais e 3𝑥2 − 4𝑥 também está definido para todos 
os reais, concluímos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ . 
Resolvendo a equação arctan(3𝑥2 − 4𝑥) = −
𝜋
4
 : 
arctan(3𝑥2 − 4𝑥) = −
𝜋
4
 ⟺ 3𝑥2 − 4𝑥 = tan (−
𝜋
4
 ) ⟺ 3𝑥2 − 4𝑥 = −1 ⟺ 
 3𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−4) ± √(−4)2−4⋅3⋅1
2⋅3
 ⟺ 𝑥 =
4 ± √16−12
6
 ⟺ 
𝑥 =
4 ± 2
6
 ⟹ 𝑥 =
1
3
 ou 𝑥 = 1 
O conjunto solução é 𝑆 = { 
1
3
 , 1 }. 
 
 
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2ª. Questão: [4,0 pontos] 
(a) [0,8] Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 . Diga qual é o domínio da função 𝒇 e esboce o seu gráfico. 
Identifique, no gráfico da função 𝑓, através das suas coordenadas, os pontos onde o gráfico dessa função 
corta os eixos coordenados, quando existirem. Justifique! 
(b) [0,8] Considere a função 𝑔(𝑥) = | 4 − 𝑒𝑥 | . Encontre o domínio da função 𝑔 . Dê alguma justificativa. 
Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝒈 corta os eixos coordenados, se existirem. Justifique! 
(c) [1,6] Esboce, no mesmo par de eixos, o gráfico da função 𝒈 e a reta de equação 𝑦 = 4 . Explique a 
construção do gráfico da função 𝑔 através de transformações (translações, etc.) no gráfico da função 
 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 . Identifique, no gráfico da função 𝑔 , através das suas coordenadas, os pontos onde o gráfico 
dessa função corta os eixos coordenados. 
(d) [0,8] Resolva a equação | 4 − 𝑒𝑥 | = 4 . Assim, você estará encontrando os pontos onde a reta 
 𝑦 = 4 corta o gráfico da função 𝑔(𝑥) = | 4 − 𝑒𝑥 | . 
Resolução: 
(a) A função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ . Assim 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ . 
Se 𝑥 = 0 , então 𝑓(0) = 𝑒0 = 1, portanto, o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 corta o eixo 𝒚 no ponto (𝟎 , 𝟏). Como 
 𝑒𝑥 > 0 para ∀ 𝑥 ∈ ℝ então o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 não corta e nem toca o eixo 𝑥 . 
O gráfico da função 𝑓 é: 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(b) Como 𝑒𝑥 está definida para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então 𝑔(𝑥) = | 4 − 𝑒𝑥 | também está definida para ∀ 𝑥 ∈
ℝ , pois polinômios e o valor absoluto estão definidos para ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
Assim 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ . 
Se 𝒙 = 𝟎 , então 𝑔(0) = | 4 − 𝑒0 | = | 4 − 1 | = 3 , portanto, o gráfico de 𝒈(𝒙) = | 𝟒 − 𝒆𝒙 | corta o eixo 
𝒚 no ponto (𝟎 , 𝟑). 
𝑔(𝑥) = | 4 − 𝑒𝑥 | = 0 ⟺ 4 − 𝑒𝑥 = 0 ⟺ 4 = 𝑒𝑥 ⟺ 𝑙𝑛(4) = 𝑙𝑛(𝑒𝑥) ⟺ 𝑥 = 𝑙𝑛(4) , então o gráfico 
de 𝒈(𝒙) = | 𝟒 − 𝒆𝒙 | toca o eixo 𝒙 no ponto (𝒍𝒏(𝟒) , 𝟎). O gráfico da função 𝑔 toca o eixo 𝑥, não corta 
esse eixo, pois | 4 − 𝑒𝑥 | ≥ 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
 
 
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(c) 
𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 𝑦 = −𝒆𝒙 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑐𝑖𝑚𝑎
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = 4 − 𝒆𝒙 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 
𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑔(𝑥) = | 𝟒 − 𝒆𝒙 | 
 
 
 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑐𝑖𝑚𝑎
4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑟 
𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 
𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
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(c) Resolvendo a equação | 𝟒 − 𝒆𝒙 | = 4 : 
| 4 − 𝑒𝑥 | = 4 ⟺ 4 − 𝑒𝑥 = 4 ou 4 − 𝑒𝑥 = −4 ⟺ 𝑒𝑥 = 0 ou 𝑒𝑥 = 8 
Temos que 𝑒𝑥 = 8 ⟺ 𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑙𝑛(8 ) ⟺ 𝑥 = 𝑙𝑛(8 ) . 
Esta é a única solução da equação | 4 − 𝑒𝑥 | = 4 , pois não existe 𝑥 ∈ ℝ , tal que 𝑒𝑥 = 0 , já que 
 𝑒𝑥 > 0 , para todo 𝑥 ∈ ℝ . 
Portanto, o gráfico de 𝑔(𝑥) = | 4 − 𝑒𝑥 | corta a reta de equação 𝒚 = 𝟒 somente no ponto (𝒍𝒏(𝟖) , 𝟒). 
 
3ª. Questão [2,5 pontos]: 
Considere a função 𝑓(𝑥) = √𝑥2
5
. 
(a) [0,3] Dê o domínio da função 𝑓, justificando a sua 
resposta. 
(b) [0,5] Decida se a função 𝑓 é par, ímpar ou nenhuma 
delas. Para justificar sua conclusão, use a definição de 
função par ou de função ímpar. 
(c) [0,4] Transforme a função 𝑓 para a forma 𝑦 = 𝑥
𝑝
𝑞, onde 
𝑝
𝑞
 é um número racional irredutível e decida se a função 𝒇 é 
crescente ou é decrescenteno intervalo [0,∞]. Justifique a sua conclusão. 
(d) [0,6] Para 𝒙 ∈ (𝟏,∞), escreva a seguinte lista em ordem crescente: 𝑥; 1; √𝑥2
5
 e para 
𝒙 ∈ (𝟎, 𝟏) também escreva a mesma lista em ordem crescente. Justifique essas listas. 
(e) [0,7] Na figura ao lado estão esboçadas as retas de equações 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = 1, 𝑦 =
−1, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1. Copie essa figura para a sua prova e acrescente na figura o gráfico da função 
𝑦 = 𝑓(𝑥). Use os itens anteriores para justificar esse gráfico. 
 
RESOLUÇÃO 
(a) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ porque como o índice da raiz é ímpar, o radicando pode ser qualquer número real. 
(b) O domínio da função 𝑓 é simétrico em relação à origem 0 e 𝑓(−𝑥) = √(−𝑥)2
5
= √𝑥2
5
= 𝑓(𝑥). 
Portanto, a função 𝑓 é par. 
(c) 𝑓(𝑥) = √𝑥2
5
= 𝑥
2
5. 
Como 
2
5
> 0, a função 𝑓 é crescente no intervalo [0,∞). 
(d) Para 𝑥 ∈ (1,∞), vale a seguinte propriedade: 𝑥𝑎 < 𝑥𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏. 
Como 𝑥 = 𝑥1 e 1 = 𝑥0, a lista de potências de 𝑥: 𝑥1; 𝑥0; 𝑥
2
5. 
Ordenando os expoentes em ordem crescente, temos 0 <
2
5
< 1. 
Aplicando a propriedade citada acima, 𝑥0 < 𝑥
2
5 < 𝑥1. 
Portanto, para 𝑥 ∈ (1,∞), a lista em ordem crescente é: 1 < √𝑥2
5
< 𝑥. 
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Para 𝑥 ∈ (0,1), vale a seguinte propriedade: 𝑥𝑎 < 𝑥𝑏 ⟺ 𝑎 > 𝑏. 
Ordenando os expoentes em ordem decrescente, temos 1 >
2
5
> 0. 
Aplicando a propriedade citada acima, 𝑥1 < 𝑥
2
5 < 𝑥0. 
Portanto, para 𝑥 ∈ (0,1), a lista em ordem crescente é: 𝑥 < √𝑥2
5
< 1. 
(e) Para esboçar o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), usamos os seguintes fatos: 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) é crescente no intervalo [0,∞). 
 No intervalo (1,∞), o gráfico está acima 
da reta 𝑦 = 1 e abaixo da reta 𝑦 = 𝑥. 
 No intervalo (0, 1), o gráfico está acima da 
reta 𝑦 = 𝑥 e abaixo da reta 𝑦 = 1. 
 No intervalo (−∞, 0), como a função é 
par, o gráfico é simétrico em relação ao 
eixo 𝑦.