PC_2015-1_AP01_GABARITO

Prévia do material em texto

AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
1 de 7 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
_______________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,5 pontos]: 
Considere a função 𝑓(𝑥) = {
|𝑥 + 4 | − 2 , − 10 ≤ 𝑥 < 1
𝑥2 − 6𝑥 + 8, 1 ≤ 𝑥 < 6
 
(a) [3,0] Esboce o gráfico da função 𝒇 . Para isso: 
A parte do gráfico relativa à função 𝑦 = |𝑥 + 4 | − 2 deve ser explicada por transformações em 
gráficos, a partir da função mais elementar 𝑦 = |𝑥 |. Esboce o gráfico dessa função mais elementar e 
diga quais transformações devem ser feitas em seu gráfico. Encontre os pontos onde o gráfico da 
função 𝑦 = |𝑥 + 4 | − 2 encontra os eixos coordenados. Esboce o gráfico da função 𝑦 =
 |𝑥 + 4 | − 2 no intervalo [−10 , 1). 
Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 encontra o eixo 𝒙. Esboce o gráfico 
da função 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 para 1 ≤ 𝑥 < 6. Justifique! 
(b) [0,5] Diga qual é o domínio da função 𝑓 . Justifique. Observe o gráfico da função 𝑓 , que você 
encontrou no item (a) e dê a imagem da função 𝑓 . Preste atenção, pois para isso você terá que 
calcular o valor da função 𝒇 em alguns pontos. 
RESOLUÇÃO: 
(a) Analisando a função 𝑦 = |𝑥 + 4 | − 2 
 
 
 
 
 
 
Uma possível sequência de transformações é a seguinte: 
𝑦 = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑦 = |𝑥 + 4 | 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒ 𝒚 = |𝑥 + 4 | − 2 
Encontrando os pontos onde a função 𝑦 = |𝑥 + 4 | − 2 encontra os eixos coordenados: 
Eixo 𝒙 : 
|𝑥 + 4 | − 2 = 0 ⟺ |𝑥 + 4 | = 2 ⟺ 𝑥 + 4 = −2 𝑜𝑢 𝑥 + 4 = 2 ⟺ 
𝑥 = −6 ou 𝑥 = −2 e −6 ∈ [−10,1) e −2 ∈ [−10,1). 
AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
2 de 7 
Eixo 𝒚: 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑦 = |𝑥 + 4 | − 2 , obtemos 𝑦 = |0 + 4 | − 2 = 2 Observe que 𝑥 = 0 ∈ [−10,1). 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒ 
 
 
Observe que, o gráfico da função 𝑦 = |𝑥 + 4 | , −10 ≤ 𝑥 < 1 , não foi pedido na questão. 
Encontrando os pontos onde a função 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 encontra o eixo 𝒙 : 
Para isso temos que encontrar as raízes do trinômio de 2º grau 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 , isto é, resolver a 
equação 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0: 
𝑥 = 
6±√(−6)2−4.1.8
2.1
 = 
6±√36−32 
2
= 
6±√4 
2
=
6±2
2
 ⟹ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 4. 
 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 é uma parábola de 
concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do termo 
 𝑥2 é 1 > 0 . Suas raízes são 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 4 , como 
calculamos acima. 
A abscissa do vértice dessa parábola é 𝑥 = 
4+2
2
= 3 . A 
ordenada do vértice é 𝑦 = 32 − 6.3 + 8 = 9 − 18 + 8 =
 −1 . Portanto, o vértice dessa parábola é o ponto ( 3 , −1). 
Para 𝑥 = 1 , 𝑦 = 12 − 6.1 + 8 = 1 − 6 + 8 = 3 
Para 𝑥 = 6 , 𝑦 = 62 − 6.6 + 8 = 36 − 36 + 8 = 8 
AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
3 de 7 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = {
|𝑥 + 4 | − 2 , − 10 ≤ 𝑥 < 1
𝑥2 − 6𝑥 + 8, 1 ≤ 𝑥 < 6
 é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−10 , 1) ∪ [1 , 6) = [−10 , 6) 
Analisando o gráfico da função, vemos que temos que calcular os seguintes valores: 
𝑓 (−10) , 𝑓(−4) , 𝑓(1) , 𝑓(3) , 𝑓(6) 
𝑓 (−10) = |−10 + 4 | − 2 = |−6 | − 2 = 6 − 2 = 4 
𝑓 (−4) = |−4 + 4 | − 2 = 0 − 2 = −2 
𝑓(1) = 12 − 6.1 + 8 = 1 − 6 + 8 = 3 
𝑓(3) = 32 − 6.3 + 8 = 9 − 18 + 8 = −1 
𝑓(6) = 62 − 6.6 + 8 = 36 − 36 + 8 = 8 
Concluímos então que 𝐼𝑚(𝑓) = [−2 , 8) . Lembre que 𝑥 = 6 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). 
_______________________________________________________________________________________ 
2ª. Questão [2,0 pontos]: 
Considere as funções ℎ(𝑥) =
√5−|𝑥|
 𝑥3−3𝑥−2 
 e 𝑔(𝑥) =
12
𝑥+1
 
 
(a) [1,2] Fatore em ℝ o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2, isto é, escreva 𝑝(𝑥) com produto de fatores 
lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes 
reais). Justifique sua fatoração, mostrando com encontrou as raízes desse polinômio. 
Dê o domínio da função 𝑦 = ℎ(𝑥). Justifique. Dê a resposta em forma de intervalo ou união de 
intervalos disjuntos. 
(b) [0,8] Calcule, se possível, 𝑔(ℎ(1)) e ℎ(𝑔(1)) . Se não for possível calcular, justifique. 
AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
4 de 7 
RESOLUÇÃO: 
(a) 
Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 2 . Vamos buscar inicialmente as possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) , que estão entre 
os divisores do termo independente −2 . As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são: ±1 , ±2. 
Testando as possíveis raízes: 
𝑝(−1) = (−1)3 − 3(−1) − 2 = −1 + 3 − 2 = 0 , logo 𝑥 = −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1. Usando Briot-Ruffini: 
Portanto, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 − 2). 
Buscando as raízes do trinômio de 2º grau 𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 : 
𝑥 = 
1±√(−1)2−4.1.(−2)
2.1
 = 
1±√1+8 
2
= 
1±√9 
2
=
1±3
2
 ⟹ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 2. 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = (𝑥 + 1)2 (𝑥 − 2). 
Calculando o domínio da função ℎ(𝑥) =
√5−|𝑥|
 𝑥3−3𝑥−2 
 = 
√5−|𝑥|
 (𝑥+1)2 (𝑥−2).
 
Para que a fração possa ser calculada é preciso que: 
 O denominador (𝑥 + 1)2 (𝑥 − 2) não se anule e para isso temos ter 𝑥 ≠ −1 𝑒 𝑥 ≠ 2 
 O radicando 5 − |𝑥| seja positivo ou nulo para que possamos calcular √5 − |𝑥| 
Mas, 
5 − |𝑥| ≥ 0 ⟺ |𝑥| ≤ 5 ⟺ −5 ≤ 𝑥 ≤ 5 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = [−5 , −1) ∪ (−1 , 2) ∪ (2 , 5] 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 
𝑔(ℎ(1)) = 𝑔( 
√5 − |1|
 (1 + 1)2 (1 − 2).
) = 𝑔 ( 
√4
 (2)2 (−1).
) = 𝑔 ( 
2
 −4.
) = 𝑔 ( − 
1
 2 
) = 
12
− 
1
 2 + 1
 = 
 12 
 
1
 2 
= 2 × 12 = 24 
ℎ(𝑔(1)) = ℎ (
12
1+1
) = ℎ(6). Como 𝑥 = 6 ∉ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) , então não é possível calcular ℎ(𝑔(1)). 
________________________________________________________________________________ 
 1 0 −3 −2 
−1 1 −1 + 0 = −1 1 − 3 = −2 +2 − 2 = 0 
AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
5 de 7 
3ª. Questão [2,5 pontos]: 
Considere as funções: 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥 e 𝑔(𝑥) =
1
2
(𝑥4 − 5𝑥2 + 4). 
Faça o que se pede em cada item: 
(a) [1,0] Diga se cada função 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) é par, ímpar ou nenhuma delas. Justifique sua resposta 
usando a definição de função par ou de função ímpar. 
(b) [0,5] Nas figuras 1 e 2 estão esboçados os gráficos das funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). O gráfico da Figura 1 
é de qual das duas funções, 𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥)? Justifique sua resposta usando a propriedade de gráfico de 
função par e de função ímpar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
(c) [1,0] Observe o gráfico da função 𝑓, o gráfico da função 𝑔, extraia desses gráficos o sinal de cada 
função e analise o sinal de ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
. 
Lembre que analisar o sinal de uma função significa determinar os valores do domínio para os 
quais a função se anula, os intervalos do domínio em que a função é positiva e os intervalos do 
domínio em que é negativa. 
RESOLUÇÃO 
(a) O domínio das duas funções são todos os reais, pois são funções polinomiais. Logo a primeira condiçãoda definição de função par ou de função ímpar, a saber, domínio simétrico em relação à origem da reta 
numérica está satisfeita tanto para a função 𝑓(𝑥) quanto para a função 𝑔(𝑥). 
Verificando a segunda condição de função par e de função ímpar, 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)5 − (−𝑥) = −𝑥5 + 𝑥 = −(𝑥5 − 𝑥) = −𝑓(𝑥). Portanto, a função 𝑓 é ímpar. 
𝑔(−𝑥) =
1
2
((−𝑥)4 − 5(−𝑥)2 + 4) =
1
2
(𝑥4 − 5𝑥2 + 4) = 𝑔(𝑥). Portanto, a função g é par. 
 
(b) Podemos observar que o gráfico da Figura 1 é simétrico em relação ao eixo 𝑦, e isso é uma propriedade 
de função par. Como no item (a) verificamos que a única função par é a função 𝑔, podemos concluir 
que: O GRÁFICO DA FIGURA 1 É DA FUNÇÃO 𝑔(𝑥). 
 
(c) No item (b) já concluímos que o gráfico da Figura 1 é da função 𝑔. Logo, pelo enunciado do item (b), 
concluímos que o gráfico da Figura 2 é da função 𝑓.. 
 (−∞,−2) −2 (−2,−1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2,∞) 
𝑓(𝑥) − − − 0 + 0 − 0 + + + 
𝑔(𝑥) + 0 − 0 + + 0 − 0 + 
ℎ(𝑥) − 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 + 0 − 𝑛𝑑 − 𝑛𝑑 + 
AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
6 de 7 
 
Concluindo o sinal de ℎ(𝑥): 
ℎ(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 
ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 0 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 1 < 𝑥 < 2 
ℎ(𝑥) > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < −1 𝑜𝑢 − 1 < 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2 
Se quisermos, podemos escrever em forma de união de intervalos disjuntos: 
ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2) 
ℎ(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−2,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (2,∞) 
________________________________________________________________________________ 
4ª. Questão [2,0 pontos]: 
(a) [1,2] Resolva a equação 2 sen2 𝑥 = 3 cos𝑥 para 𝑥 ∈ ℝ. 
(b) [0,8] Resolva inequação sen(2𝑥) > 0 para 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. 
RESOLUÇÃO 
(a) Sabemos que sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, logo podemos substituir na equação dada, sen2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥. 
2 sen2 𝑥 = 3 cos𝑥 
2 (1 − cos2 𝑥) = 3 cos 𝑥 
2 − 2 cos2 𝑥 = 3 cos 𝑥 
2 cos2 𝑥 + 3 cos𝑥 − 2 = 0 
Fazendo 𝑦 = cos𝑥 na equação anterior, obtermos a equação de segundo grau 2𝑦2 + 3𝑦 − 2 = 0. 
Resolvendo essa equação, 𝑦 =
−3±√32−4∙2∙(−2)
2∙2
=
−3±5
4
 ⟺ 𝑦 =
2
4
=
1
2
 ou 𝑦 =
−8
4
= −2. 
Voltando à variável original 𝑥, obtemos: 
cos 𝑥 = −2 ou cos 𝑥 =
1
2
. 
Mas cos 𝑥 = −2 é impossível porque sabemos que −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1. 
Resolvendo cos𝑥 =
1
2
: 
Sabemos que as duas soluções não congruentes na primeira volta do círculo trigonométrico são: 
𝑥 =
𝜋
3
 e 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
. 
Portanto as soluções para 𝑥 ∈ ℝ são todos os valores de 𝑥 congruentes com esses dois valores. 
Assim, as soluções são: 
𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
 
(b) Substituindo 2𝑥 por outra variável, por exemplo, fazendo 𝑡 = 2𝑥, queremos resolver a inequação: 
sen(𝑡) > 0 
AP 01 – 2015-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
7 de 7 
Sabemos que a função seno é positiva no primeiro e segundo quadrantes da primeira volta do círculo 
trigonométrico e todos os ângulos congruentes com esses ângulos. 
No primeiro e segundo quadrantes da primeira volta do círculo trigonométrico: 
0 < 𝑡 < 𝜋 
Em todos os ângulos congruentes com esses ângulos, para 𝑘 ∈ ℤ: 
0 + 2𝑘𝜋 < 𝑡 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 
2𝑘𝜋 < 𝑡 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 
Voltando à variável 𝑥, 
2𝑘𝜋 < 2𝑥 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 
Dividindo tudo por 2, 
𝑘𝜋 < 𝑥 <
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
Como foi pedido 𝑥 ∈ [0, 𝜋], é preciso atribuir valores para 𝑘 e verificar se 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. 
𝑘 = 0: 
0 < 𝑥 <
𝜋
2
, satisfaz 
𝑘 = 1: 
𝜋 < 𝑥 <
𝜋
2
+ 𝜋 não satisfaz 
Portanto a solução é { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 0 < 𝑥 <
𝜋
2
 } = (0 ,
𝜋
2
 ).