AD2_2020_1_Solucao ALGEBRA 1 Cederj

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AD2
{Álgebra 1}
Universidade do Federal Estado do Rio de Janeiro
Professor: Gladson Antunes – 2020.1
Questão 1. (2, 5 pontos) Utilize as propriedades de congruências para determinar a solução da equação
47x120 + 7x100 + 54x20 + 25x+ 2 ≡ 0(mod 101)
Solução: Em primeiro lugar vejam que x ≡ 0(mod 101) não é solução uma vez que não vale
2 ≡ 0(mod 101); pois 101 não divide 2. Por outro lado, como 101 é primo, então pelo Pequeno Te-
orema de Fermat temos que
x100 ≡ 1(mod 101)
Logo,
47x120 ≡ 47x20(mod), e 7x100 ≡ 7(mod 101)
e, portanto
47x120 + 7x100 + 54x20 + 25x+ 2 ≡ 0(mod 101)⇐⇒
47x20 + 7 + 54x20 + 25x+ 2 ≡ 0(mod 101)⇐⇒
101x20 + 25x+ 9 ≡ 0(mod 101)⇐⇒
25x ≡ −9(mod 101)⇐⇒
100x ≡ −36(mod 101)⇐⇒
−x ≡ −36(mod 101)⇐⇒
x ≡ 36(mod 101).
Ou seja, x = 36 + 101k, com k ∈ Z.
Critério de correção
• 0,5 ponto se percebeu que x ≡ 0(mod 101) não é solução da equação dada.
• 0,5 se aplicou corretamente o Teorema de Fermat e obteve x100 ≡ 1(mod 101)
• 1,5 distribuido pelo restante do desenvolvimento.
Questão 2. (3, 0 pontos)
(a) (1, 5 ponto) Prove que podemos determinar os algarismos da dezena e da unidade de um número N
qualquer representado na base 10 efetuando a divisão de N por 100.
(b) (1, 5 ponto) Qual é o algarismo das unidades de 7888? E o das dezenas? Justifique sua resposta.
Solução:
(a) Seja N = an10n + an−110n−1 + ...+ a2102 + a110+ a0, com a0, a1, ..., an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a representação do número N na base 10. Se colocarmos 100 = 102 em evidência, exceto nas duas
primeiras parcelas que aparecem do lado direito da igualdade, vamos obter:
N = 102(an10
n−2 + an−110
n−3 + ...+ a2) + a110 + a0.
Isto nos mostra que o resto da divisão de N por 100 é igual a a110 + a0 - veja que o maior valor
possível assumido por a110 + a0 é 99)- ou seja, determinamos desta forma os algarismos da dezena
e da unidade na representação de N na base 10.
(b) Devemos determinar o resto da divisão de 7888 por 100. Notemos que 74 = 2401 e, portanto
74 ≡ 1(mod 100),
donde vem que
7888 = (74)222 ≡ 1(mod 100).
Conclusão: O algarismo das unidades é 1 e o das dezenas é 0.
Critério de correção
(a)
• 0,5 ponto se representou N na base 10 por N = an10n + an−110n−1 + ...+ a2102 + a110 + a0;
• 0,5 se evidenciou 102 na representação anterior para N ;
• 0,5 ponto pela conclusão correta.
(b)
• 0,5 ponto se obteve uma boa congruência inicial, como por exemplo 74 ≡ 1(mod 100);
• 0,5 ponto se concluiu que 7888 = (74)222 ≡ 1(mod 100);
• 0,5 ponto pela conclusão correta.
Questão 3. (2, 5 pontos) Determine o resto da divisão de
2 00...00︸ ︷︷ ︸ 5
3n
por 37.
Solução: Devemos notar que 2 00...00︸ ︷︷ ︸ 5
3n
= 2×103n+1+5 = 20×103n+5. Agora 103 = 1000 ≡ 1(mod 37)
e, portanto, 103n ≡ 1(mod 37). Daí concluimos que
(20× 103n + 5) ≡ 25(mod 37),
o que nos mostra que o resto procurado é 25.
Critério de correção
• 1,0 ponto se notou que 2 00...00︸ ︷︷ ︸ 5
3n
= 2× 103n+1 + 5 = 20× 103n + 5.
• 0,5 se percebeu que 103n ≡ 1(mod 37)
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• 1,0 distribuído pelo restante do desenvolvimento.
Questão 4. (2, 0 pontos) Sejam a, b e c inteiros não nulos, d = mdc(a, b) ≥ 1, e S o conjunto solução
da equação diofantina linear
ax+ by = c.
(a) (1, 0 ponto) Prove que:
S 6= ∅ se, e somente se d é divisor de c.
(b) (1, 0 ponto) Seja (x0, y0) ∈ S uma solução particular de ax + by = c. Prove que S possui infinitas
soluções (x, y) ∈ Z2, e todas as soluções podem ser descritas em equações paramétricas inteiras do
seguinte modo
x = x0 − (
b
d
)t e y = y0 + (
a
d
)t,
em que t ∈ Z.
Solução:
(a) Este é um caso particular (n = 2) da Proposição 1 (página 20) da Aula 15, volume 3, do material
didático da disciplina.
(b) Esta é a Proposição 2 (página 22) da Aula 15, volume 3, do material didático.
Critério de correção
(a) 1,0 distribuído ao longo do desenvolvimento;
(b) 1,0 distribuído ao longo do desenvolvimento;
Atenção: Entrega da AD2 exclusivamente via postagem pela Plata-
forma até o dia 17 de maio.
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