substituições trigonométricas - ITA

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OSG.: 15285/09 
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO 
 
TC 
MATEMÁTICA TURNO DATA
ALUNO(A)
 TURMA
Nº
SÉRIE
PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS 
ITA/IME 
SEDE
___/___/___ 
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
A substituição trigonométrica é uma técnica muito 
utilizada nas integrações algébricas como também nas 
resoluções de equações e inequações algébricas no ensino 
médio. Ela se baseia no fato que as identidades 
trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de 
uma função ou expressão algébrica por uma função 
trigonométrica, que levará a uma solução muito mais simples. 
Antes de resolvermos alguns problemas envolvendo 
substituição trigonométrica, é bom saber quais são as 
possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de 
descobrir tais substituições, consiste no uso das seguintes 
fórmulas abaixo. 
 
Algumas propriedades trigonométricas úteis 
 
1. 1xcosxsen 22 �� 
 
2. 2 2tg x 1 sec x para x k , k Z
2
π+ = ≠ + π ∈
 
 
3. 2 2cotg x 1 cossec x para x k , k Z+ = ≠ π ∈ 
 
4. 
2
2
2 2
2cos x 1
cos 2x 1 2sen x
cos x sen x
⎧ −
⎪
= −⎨
⎪ −⎩ 
 
5. 3 3cos3x 4cos x 3cos x e sen3x 3sen x 4sen x= − = − 
 
6. 
3
2 2
2tg x 3tg x tg x
tg 2x e tg3x
1 tg x 1 3tg x
−= =
− − 
 
7. 
2
2 2
x x
2tg 1 tg
2 2
sen x e cos x
x x
1 tg 1 tg
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
8. 
Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então:
tan A tan B tan C tan A tan B tan C+ + = ⋅ ⋅
 
 
9. 
Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então:
A B B C C A
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + ⋅ = 
 
10. 1 sen x 1 e 1 cos x 1− ≤ ≤ − ≤ ≤ 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine todas as soluções de 38x 6x 1 0− − = . 
 
2. Determine todas as soluções reais de: 
 ( )26x 8 1 x 5 1 x 1 x+ − = + + − . 
 
3. Determine o menor valor da expressão: 
 
2 2 2 2xy x 1 y y 1 x (1 x )(1 y )+ − + − − − − 
 
4. Determine para quais valores de a a inequação 
21 x a x− ≥ − admite solução. 
 
5. Se a e b são números reais não nulos tais que a2 + b2 = 4. 
Então, prove que 
a.b
2 1
a b 2
≤ −
+ +
. 
 
6. Se a, b e c são números reais e distintos que satisfazem 
as seguintes equações 
( )
( )
( )
3 2 2
3 2 2
3 2 2
a 3 b c 25
b 3 c a 25
c 3 a b 25
⎧ = + −
⎪⎪ = + −⎨
⎪
= + −⎪⎩
. Então, o 
valor de a.b.c é igual a: 
a) 1 d) 4 
b) 2 e) 5 
c) 3 
 
7. Determine todas as soluções reais de 
( )
2
2
2
x
x 3
x 1
+ =
+
. 
 
8. Resolva o sistema: 
 
1 1 1
3 x 4 y 5 z
x y z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
, xy + yz + zx = 1. 
 
9. Seja a uma constante real positiva. Resolva a equação 
2 2 2 2a. a a x 3a. a a x 2 2.x+ − + − − = , para 
x e 0 x a∈ℜ ≤ ≤ . 
 
10. Defina ( ) x 3 1f x
x 3
−=
+
. 
 Determine ( ) ( )
2006 vezes
g x fofofo...of x=����� . 
 
11. Calcule o maior valor da expressão x 2 2 3 x− + − . 
 
12. Se x, y, z são números reais no intervalo (–1, 1) satisfazendo 
xy + yz + zx = 1, mostre que: 
 2 2 2 236 (1 x )(1 y )(1 z ) 1 (x y z) .− − − ≤ + + + 
 
TC – MATEMÁTICA 
 
 2 OSG.: 15285/09/08 
13. A raiz real da equação 2 21 x 2x 1 2x. 1 x− = − + −
possui a forma 
m n p
q
+
. Então, o valor de m + n + p 
+ q é igual a: 
a) 13 d) 16 
b) 14 e) 17 
c) 15 
 
14. Se 0 < x < 1 o valor máximo de 2x. 1 x− é igual a: 
 
15. A diferença entre a maior e a menor raiz da equação 
2 x 2 x 2
x2 x 2 x
+ + − =
+ − −
 é igual a: 
a) 1 d) 4 
b) 2 e) 5 
c) 3 
 
16. O número de raízes da equação 
( )2 29 x 2.x 10 x 1− = − − é igual a: 
a) 0 d) 3 
b) 1 e) 4 
c) 2 
 
17. Se x e 1 mx x 1 mx∈ℜ + = + − onde m é um 
parâmetro real, calcule os valores de m para os quais a 
equação admite solução não nula. 
 
18. O número de raízes reais da equação 
2 2 2 x x+ − + = é igual a: 
a) 0 d) 3 
b) 1 e) 4 
c) 2 
 
19. Determine o valor máximo do produto x ⋅ y se os 
números reais x e y satisfazem a relação: 
( ) ( )2 2y. 1 x x 1 4y 1 .+ = − − 
 
20. Determine todas as soluções reais de 
( )2 2
1 1
1
x 4 3x
+ =
−
. 
 
21. Se 3x + 4y = 5, calcule o valor mínimo de x2 + y2. 
 
22. Determine todas as soluções reais do sistema 
2 2
3
x y 1
.1 x
4x 3x
2
⎧ + =
⎪
⎨ +− =⎪
⎩
 
 
23. Determine todas as soluções de 
( )( )2 4 28x 2x 1 8x 8x 1 1− − + = . 
 
24. Sejam a, b e c números positivos tais que 
2 2 2c a ab b= − + . Prove que ( )( )a c b c 0− − ≤ . 
25. Sejam a, b e c números reais positivos tais que a + b + c = abc. 
Prove que: 
 
2 2 2
1 1 1 3
21 a 1 b 1 c
+ + ≤
+ + +
. 
 
26. Considere as sequências definidas por x1 = 2, y1 = 4, 
1
6
z
7
=
 
e nn 1 2
n
2x
x
x 1+
=
−
, nn 1 2
n
2y
y
y 1+
=
−
, nn 1 2
n
2z
z
z 1+
=
−
. 
Prove que, para todo n natural, n n n n n nx y z x y z+ + = . 
 
27. Dados x e y reais, prove que 
( )( )
( )( )2 2
x y 1 xy1 1
2 21 x 1 y
+ −
− ≤ ≤
+ +
. 
 
28. Se {xn} é uma sequência que satisfaz a recorrência 
n
n 1
n
3.x 1
x , n 1.
x 3
+
−= ≥
+
 Prove que essa sequência é 
periódica. 
 
29. Resolva o sistema de equações nos reais. 
 
1 2
1
2 3
2
3 4
3
4 1
4
1
x 2x
x
1
x 2x
x
1
x 2x
x
1
x 2x
x
⎧ − =⎪
⎪
⎪ − =⎪⎪
⎨
⎪ − =
⎪
⎪
⎪ − =
⎪⎩ 
 
30. Resolva a equação 3 23 3x 3x 9x 3 0− + − = . 
 
31. Determine todas as soluções do sistema 
3
3
3
x 3x y
y 3y z
z 3z x
⎧ − =
⎪
− =⎨
⎪ − =⎩
. 
 
32. Se x e y são números reais que satisfazem a equação 
( ) ( )2 2 2x 5 y 12 14+ + − = , então o valor mínimo de x2 + y2 
é igual a: 
a) 2 d) 2 
b) 1 e) 5 
c) 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FM – 16/03/09 
Rev.: TM