Distribuicoes_de_Probabilidade

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Distribuições de Probabilidade
Profa. Gecynalda Gomes
25 de outubro de 2017
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 1 / 59
Sumário
1 Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Modelos probabilísticos discretos
Distribuição Bernoulli
Distribuição binomial
Distribuição Poisson
Modelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Distribuição gama
Distribuição Weibull
Distribuição normal (ou Gaussiana)
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Sumário
1 Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Modelos probabilísticos discretos
Distribuição Bernoulli
Distribuição binomial
Distribuição Poisson
Modelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Distribuição gama
Distribuição Weibull
Distribuição normal (ou Gaussiana)
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Existem modelos probabilísticos que ocorrem com frequência na prática.
Serão definidos alguns modelos, apresentando as condições que devem
ser satisfeitas e algumas características, tais como, esperança, variância e
como calcular probabilidade.
Principais modelos para variáveis aleatórias discretas: Bernoulli,
binomial e Poisson.
Principal modelo para variáveis aleatórias contínuas: normal (ou
Gaussiana).
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos discretos
Distribuição Bernoulli
Muitos experimentos são tais que os resultados possíveis apresentam ou
não uma determinada característica.
Exemplos:
Uma peça é escolhida, ao acaso, de um lote contendo 500 peças:esta peça
é defeituosa ou não.
Uma pessoa é escolhida, ao acaso, entre os moradores de uma cidade, e
pergunta-se se ela diz SIM ou NÃO a um projeto governamental.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos discretos
Distribuição Bernoulli
Em um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis
podemos associar o valor 1, se sucesso ocorre e o valor 0, se fracasso
ocorre.
Um experimento deste tipo é chamado de ensaio de Bernoulli.
Suponha que um sucesso ocorra com probabilidadep.
SejaX uma v.a. definida para este experimento. Então,
x 1 0
P(X = x) p 1− p
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos discretos
Distribuição Bernoulli
Esperança deX:
E(X) = p
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos discretos
Distribuição Bernoulli
Esperança deX:
E(X) = p
Variância de X:
V(X) = p(1− p)
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 7 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos discretos
Distribuição binomial
Consideremosn repetições independentes de ensaios de Bernoulli
(n ≥ 2).
O modelo binomial fundamenta-se nas seguintes hipóteses:
n ensaios independentes e idênticos são realizados;
A probabilidade de “sucesso” é igual a “p” em cada ensaio eq é a
probabilidade de fracasso, sendop+ q = 1.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Seja a variável aleatóriaX o número de sucessos nosn ensaios.
Nestas condições dizemos queX tem distribuição binomial com
parâmetrosn ep, onde os valores possíveis dex são{0,1,2, . . .}:
n = número de repetições do experimento
p = probabilidade de sucesso em cada repetição
Notação:X ∼ B(n, p)
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exemplo: Jogar 8 vezes um dado.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exemplo: Jogar 8 vezes um dado.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso (não sair6);
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 10 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exemplo: Jogar 8 vezes um dado.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso (não sair6);
P(sucesso) =P(sair 6) = 1/6
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exemplo: Jogar 8 vezes um dado.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso (não sair6);
P(sucesso) =P(sair 6) = 1/6
P(fracasso) =P(não sair 6) = 5/6
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 10 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exemplo: Jogar 8 vezes um dado.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso (não sair6);
P(sucesso) =P(sair 6) = 1/6
P(fracasso) =P(não sair 6) = 5/6
Os ensaios são independentes.
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 10 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exemplo: Jogar 8 vezes um dado.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso (não sair6);
P(sucesso) =P(sair 6) = 1/6
P(fracasso) =P(não sair 6) = 5/6
Os ensaios são independentes.
Determine a probabilidade de saírem 3 faces 6, em 8 jogadas deum dado.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Uma das possibilidades é:{s, s, s, f , f , f , f , f }. Portanto,
Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8
Resultados s s s f f f f f
Probabilidade 1/6 1/6 1/6 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6
A probabilidade de ocorrer essa possibilidade é dada por
(
1
6
)3
·
(
5
6
)5
= 0.173 · 0.835 = 0.0049· 0.3939= 0.0019
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Se os 3 sucessos caírem em qualquer um dos 8 ensaios, deve-se obter
todas as combinações possíveis de se obter 3 faces 6, em 8 jogadas.
Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8
Resultados s s s f f f f f
Resultados s f s f s f f f
Resultados s f f f s s f f
...
...
O que resulta em uma combinação de 8, 3 a 3;
(
8
3
)
=
8!
3! · (8− 3)! =
8 · 7 · 6 · 5!
3 · 2 · 5! = 8 · 7 = 56
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Portanto, unindo as duas partes, temos
(
8
3
)
·
(
1
6
)3
·
(
5
6
)5
= 56 · 0.0019= 0.1064
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Fórmula geral
Probabilidade dex sucessos emn ensaios é
(
n
x
)
· px · (1− p)n−x
onde
(
n
x
)
=
n!
x! · (n− x)!
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Visualizando:
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Binomial(10, 0.1)
x
P(X
=x)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Binomial(10, 0.9)x
P(X
=x)
0 2 4 6 8 10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Binomial(10, 0.5)
x
P(X
=x)
0 5 10 15 20
0.00
0.05
0.10
0.15
Binomial(20, 0.5)
x
P(X
=x)
Figura :Gráficos da distribuição binomial para valores específicos den e p.Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 15 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Esperança deX:
E(X) = np
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Esperança deX:
E(X) = np
Variância de X:
V(X) = np(1− p)
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 16 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exercício 1:
Uma usina hidroelétrica tem 5 geradores que funcionam
independentemente, cada um com probabilidade 0,98 de estarem
operação. Qual a probabilidade de que exatamente dois estejam
em funcionamento em determinado instante?
Resolução:
Y = número de geradores em funcionamento
p = 0,98 = probabilidade de um gerador estar em funcionamento
(a probabilidade de sucesso)
n = 5
P(X = 2)?
P(X = 2) =
(
5
2
)
· 0,982 · (1− 0,98)3 = 10 · 0,982 · 0,023 =
0,000077
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição binomial
Exercício 2:
Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de
suas peças conterá, no máximo, 2 defeituosas. Se a caixa contém
18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo de
fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a
probabilidade de que:
(a) nenhuma peça seja defeituosa?
(b) uma peça seja defeituosa?
(c) uma caixa satisfaça a garantia?
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, porém se torna
difícil e, às vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos ou o
número total de provas.
Por exemplo: automóveis que passam numa esquina.
A distribuição de Poisson é largamente usada quando de deseja contar o
número de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um intervalo de
tempo, superfície, ou volume.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Aplicações:
número de falhas de um computador em um dia de operação;
número de defeitos num pneu;
número de buracos por quilometro em uma rodovia;
número de clientes que chegam a uma determinada agência bancária
durante o expediente;
número de chegadas em um servidor em 1 hora;
o número de queries que chegam a uma máquina de busca em 1 minuto;
número de pacotes que chegam num roteador em 1 segundo.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de usuários
servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, e-mail
Sessões são iniciadas por usuários
Chegada de duas sessões tendem a ser independentes: Poissoné uma boa
aproximação.
Contra-exemplo:
Chegada de requisições em um servidor Web
Premissa de independência não é válida: existe dependênciaentre
requisições para o arquivo HTML e as imagens embutidas nele.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Seja a v.a.X o número de eventos de um certo tipo, que ocorrem em um
intervalo de tempo, ou superfície, ou volume. Suponha que estes eventos
ocorrem em instantes aleatórios de tempo ou de espaço e que as
hipóteses abaixo sejam válidas:
o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo,ou
superfície, ou volume é independente do número de ocorrências do evento
em qualquer outro intervalo disjunto;
a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente
zero;
o número médio de ocorrências por unidade de tempo, ou superfície, ou
volume,α, é constante ao longo do tempo, ou superfície, ou volume.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Nestas condições dizemos queX tem distribuição Poisson com
parâmetroλ = αt, com distribuição de probabilidade dada por
P(X = x) =
e−λλx
x!
, x = 0,1,2, . . . .
Notação:X ∼ Poisson(λ)
SeX tem distribuição Poisson com parâmetroλ
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Visualizando:
0 5 10 15 20
0.0
0.1
0.2
0.3
x
P(
X=
x)
λ = 1
λ = 4
λ = 10
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Esperança deX:
E(X) = λ
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Esperança deX:
E(X) = λ
Variância de X:
V(X) = λ
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Exercício 1:
Considere que o número de emails que chegam a um servidor de
emails no intervalot segundos é distribuído como Poisson com
parâmetro 0,3t. Calcule a seguintes probabilidades:
(a) Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de
10 seg.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Exercício 1:
Considere que o número de emails que chegam a um servidor de
emails no intervalot segundos é distribuído como Poisson com
parâmetro 0,3t. Calcule a seguintes probabilidades:
(a) Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de
10 seg.
P(X = x) =
e−0,3t(0,3t)x
x!
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 26 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Exercício 1:
Considere que o número de emails que chegam a um servidor de
emails no intervalot segundos é distribuído como Poisson com
parâmetro 0,3t. Calcule a seguintes probabilidades:
(a) Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de
10 seg.
P(X = x) =
e−0,3t(0,3t)x
x!
P(X = 3) =
e−0,3·10(0,3 · 10)3
3!
= 0,224
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 26 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Exercício 1:
Considere que o número de emails que chegam a um servidor de
emails no intervalot segundos é distribuído como Poisson com
parâmetro 0,3t. Calcule a seguintes probabilidades:
(a) Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de
10 seg.
P(X = x) =
e−0,3t(0,3t)x
x!
P(X = 3) =
e−0,3·10(0,3 · 10)3
3!
= 0,224
(b) No máximo 20 mensagens chegarão num período de 20
seg.
(c) O número de mensagens num intervalo de 5 seg está
entre 3 e 7 mails.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias
Distribuição Poisson
Exercício 2:
Em média há duas chamadas por hora num certo telefone.
Calcule:
(a) a probabilidade de se receber no máximo 3
chamadas em duas horas.
(b) a probabilidade de nenhuma chamada em 90
minutos.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Modelos probabilísticos contínuos
As distribuições contínuas que veremos são:
Distribuição exponencial
Distribuição Weibull
Distribuição gama
Distribuição normal (ou Gaussiana)
Profa. Gecynalda Gomes Distribuiçõesde Probabilidade 25 de outubro de 2017 28 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Modelos probabilísticos contínuos
As distribuições exponencial, gama e Weibull tem aplicaçãoem “Teoria
de Confiabilidade”.
As funções densidades destas distribuições também são do tipo
assimétrico positivo.
A confiabilidade de um componente na épocat, denotada porR(t), é
definida comoR(t) = P(T > t), em queT é duração de vida do
componente eRé denominada de função de confiabilidade.
Esta definição simplesmente afirma que a confiabilidade de um
componente é igual à probabilidade de que o componente não falhe
durante o intervalo[0, t].
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 29 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Modelos probabilísticos contínuos
Visualizando:
0 1 2 3 4 5
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
f(
x)
gamma(3,3)
gamma(4,3)
gamma(1,1)
0 1 2 3 4 5
0.
0
0.
2
0.
4
0.
6
0.
8
1.
0
x
f(
x)
Weibull(2,1)
Weibull(3,2)
Weibull(1,1)
Figura :Gráficos das distribuições gama e Weibull para valores específicos de
seus parâmetros.
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 30 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Em geral este modelo probabilístico é também utilizado paramodelar:
os tempos de espera entre ocorrências de eventos em um Processo de
Poisson,
tempo de espera em uma fila,
tempo de sobrevivência de um grupo de pacientes após o iníciode um
tratamento e
tempo de vida de material eletrônico, etc.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Histogram of x
x
De
ns
ity
0 2000 4000 6000 8000
0e
+0
0
2e
−0
4
4e
−0
4
6e
−0
4
8e
−0
4
1e
−0
3
Figura :Gráfico da função densidade da distribuição exponencial comparâmetro
α = 1000.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Uma variável aleatória contínuaX, que assume valores não-negativos,
terá uma distribuição exponencial com parâmetroα > 0, se sua fdp for
dada por:
f (x) =





1
α
e−
1
α
x , x ≥ 0
0 , caso contŕario
Notação:X ∼ exp(α)
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 33 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Propriedades:
A função de distribuição é dada por:
F(x) = P(X ≤ x) =
∫ x
0
1
α
e−
1
α
sds=



0 , x < 0
1− e− xα , x ≥ 0
Portanto,P(X > x) = e−(1/α)x
E(X) =
∫
∞
0 x
1
α
e−
1
α
xdx= α
V(X) = E(X2)− E2(X) = 2α2 − α2 = α2 em que
E(X2) =
∫
∞
0 x
2 1
α
e−
1
α
xdx= 2α2
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 34 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Propriedades:
P(X > s+ t|X > s) = P(X > s+ t eX > s)
P(X > s)
=
P(X > s+ t)
P(X > s)
=
e−
1
α
(s+t)
e−
1
α
s
= e−
1
α
t
para quaisquers, t > 0.
Este resultado mostra que a distribuição exponencial apresenta a
propriedade de “não possuir memória”.
Isto significa que a probabilidade de “sobreviver” maist unidades de
tempo é a mesma, quer já se tenham passadosunidades de tempo, ou 0
unidades.
Ou seja, não há envelhecimento. Esta hipótese é frequentemente razoável
para a vida de materiais eletrônicos.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição exponencial
Exercício:
Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade
exponencial comα = 1000. Determinar:
(a) a probabilidade de que essa lâmpada queime antes de
1000 horas;
(b) a probabilidade de que ela queime depois de sua
duração média;
(c) a variância da distribuição do tempo de duração dessa
lâmpada.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição gama
Uma variável aleatória contínuaX, que assume valores não-negativos,
terá uma distribuição gama com parâmetrosα > 0 eβ > 0, se sua
função densidade de probabilidade for dada por:
f (x) =







1
αβΓ(β)
xβ−1e−
x
α , x ≥ 0
0 , caso contŕario
Na densidade acima, o símboloΓ denota a função gama, que é dada por:
Γ(k) =
∫
∞
0
xk−1e−xdx,
definida parak > 0.
Pode-se mostrar que sek for um número inteiro positivo, obtém-se que
Γ(k) = (k− 1)!
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 37 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição gama
Gama(3, 2)
x
De
ns
ida
de
0 1 2 3 4 5
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
0.
5
0.
6
Figura :Gráfico da função densidade da distribuição gama com parâmetrosα = 2 e
β = 3.
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 38 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição gama
Notação:X ∼ Gama(β, α)
Propriedades:
Seβ = 1 tem-sef (x) =
1
α
e−
x
α . Portanto, a distribuição
exponencial é um caso particular da distribuição gama.
E(X) = βα
V(X) = βα2
Um caso particular muito importante da distribuição gama será
obtido seβ = n/2 eα = 2, em quen é um inteiro positivo. Esta
distribuição é denominada qui-quadrado comn graus de
liberdade.
Profa. Gecynalda Gomes Distribuições de Probabilidade 25 de outubro de 2017 39 / 59
Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição gama
Exercício:
Os tempos de resposta em um terminal de computador online
têm aproximadamente uma distribuição gama com média de 4
segundos e variância de 8 segundos ao quadrado. Escreva a
função de densidade de probabilidade para o tempo de resposta.
Qual a probabilidade de o tempo de resposta exceder 5 segundos?
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição Weibull
Uma variável aleatória contínuaX, que assume valores não-negativos,
terá uma distribuição Weibull com parâmetrosα > 0 eβ > 0, se sua
função densidade de probabilidade for dada por:
f (x) =





β
αβ
xβ−1e−(
x
α
)β , x ≥ 0
0 , caso contŕario
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição Weibull
Weibull(2, 2)
x
De
ns
ida
de
0 1 2 3 4 5 6
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Figura :Gráfico da função densidade da distribuição Weibull com parâmetrosα = 2
eβ = 2.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição Weibull
Notação:X ∼ Weibull(β, α)
Propriedades:
Seβ = 1 tem-sef (x) =
1
α
e−
x
α . Portanto, a distribuição
exponencial é também um caso particular da distribuição
Weibull.
E(X) = αΓ
(
1
β + 1
)
V(X) = α2
{
Γ
(
2
β + 1
)
−
[
Γ
(
1
β + 1
)]2
}
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição Weibull
Propriedades:
F(x) = P(X ≤ x) =



0 , x < 0
1− e−( xα )β , x ≥ 0
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição Weibull
Exercício:
O tempo de vida, em horas,de um componente eletrônico segue
a distribuição Weibull comα = 0,4 eβ = 0,5.
(a) Qual é a vida média do componente?
(b) Calcule a variância do tempo de vida desse
componente.
(c) Qual é a probabilidade do tempo de vida desse
componente ultrapassar 30 horas?
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Existem várias distribuições teóricas que podem ser usadaspara
representar fenômenos reais.
Dentre estas, uma das mais importantes é a distribuição normal.
Importância da distribuição normal:
1. Representa com boa aproximação as distribuições de
frequências observadas de muitos fenômenos naturais e
físicos;
2. Distribuições importantes, como por exemplo, a binomial
e Poisson, podem ser aproximadas pela normal,
simplificando o cálculo de probabilidades;
3. A distribuição amostral das médias (e proporções) em
grandes amostras se aproxima da distribuição normal, o
que nos permite fazer estimações e testes estatísticos.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Uma variável aleatóriaX, que assume valores emR, tem distribuição
normal com parâmetrosµ eσ2 se sua função de densidade probabilidade
é dada por:
f (x) =
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
,
em que−∞ < x < ∞,−∞ < µ < ∞, σ > 0.
Notação:X ∼ N (µ, σ2)
O histograma a seguir foi construído a partir de dados provenientes de
uma distribuição normal.
A curva desenhada sobre o histograma representa a função densidade de
uma distribuição normal.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Normal(10, 4)
x
De
ns
ida
de
−5 0 5 10 15 20 25
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
Figura :Gráfico da função densidade da distribuição normal com parâmetrosµ = 10
eσ2 = 4.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Vemos que este gráfico é do tipo simétrico.
É importante ressaltar a diferença que existe entre o histograma e a curva:
o histograma é uma representação da distribuição dos elementos (dados)
de uma amostra extraída de uma população
a curva representa a distribuição teórica que melhor se aproxima do
histograma observado.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Propriedades:
E(X) = µ e V(X) = σ2 (σ - desvio padrão);
A curva normal é simétrica com relação a sua médiaµ, ou seja
f (µ+ x) = f (µ− x);
P(µ− x ≤ X ≤ µ) = P(µ ≤ X ≤ x+ µ);
P(X > µ) = P(X < µ) = 0,5.
A moda e a mediana deX são iguais aµ;
A distância entreµ e os pontos de inflexão da curva é igual aσ;
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Figura :médias diferentes, desvios padrão iguais (σ = 10 cm).
Altura (em cm)
De
ns
ida
de
100 150 200 250
0.0
0
0.0
1
0.0
2
0.0
3
0.0
4
0.0
5
µ = 165
µ = 179
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Figura :mesma média, desvios padrão distintos (µ = 172 cm).
Altura (em cm)
De
ns
ida
de
100 150 200 250
0.0
0
0.0
2
0.0
4
0.0
6
0.0
8
σ = 5
σ = 7
σ = 12
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Uma aplicação da distribuição normal é mostrar como a média eo
desvio-padrão estão relacionados com a proporção dos dadosque se
enquadram em determinados limites.
Cerca de 68% dos valores estão a±1 desvio-padrão a contar da média;
Cerca de 95% dos valores estão a±2 desvios-padrão a contar da média;
Cerca de 99,7% dos valores estão a±3 desvios-padrão a contar da média.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Cálculo das probabilidades de uma distribuição normal:
A probabilidade de uma variável aleatória normalX assumir
valores entre dois númerosa eb (a < b) é igual à área sob a
curva no intervalo[a,b], isto é,
P(a < X < b) =
∫ b
a
1√
2πσ2
exp
[
− 1
2σ2
(x− µ)2
]
dx
Esta probabilidade pode ser obtida através de uma transformação
na variável aleatóriaX como veremos a seguir.
A distribuição normal possui um importante propriedade que
permite que qualquer variável aleatória com esta distribuição
possa ser transformada em uma outra variável com distribuição
normal com parâmetrosµ = 0 eσ2 = 1.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Teorema
Se X∼ N (µ, σ2) então a variável transformada Z= X − µ
σ
tem distribuição
N (0,1), isto é,
f (z) =
1√
2π
exp(−z2/2),−∞ < z< ∞.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Portanto,P(X ≤ a) = P
(
X − µ
σ
≤ a− µ
σ
)
= P(Z ≤ z), com
Z =
X − µ
σ
.
As probabilidades para a distribuição normal (0,1) também chamada de
Normal Padrão ou Normal Padronizada estão tabeladas.
Pelo exposto, vemos que através da tabela podemos obter as
probabilidades para qualquer outra distribuição normal.
Como a curva normal padrão é uma função simétrica em relação 0:
f (z) = f (−z);
P(−z≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ z);
P(Z > 0) = P(Z < 0) = 0,5.
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Exercício:
Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está
regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa
seja de 1000 cm3 e o desvio padrão de 10 cm3. Pode-se admitir
que a distribuição da variável seja normal.
(a) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de
líquido é menor que 990 cm3?
(b) Qual a probabilidade de garrafas em que o volume de
líquido não se desvia da média em mais que dois
desvios-padrão?
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Veja na Tabela abaixo as principais distribuições noR.
Distribuição Nome noR Argumentos
beta beta shape1, shape2, ncp
binomial binom size, prob
binomial negativa nbinom size, prob
Cauchy cauchy location, scale
qui-quadrado chisq df, ncp
exponencial exp rate
F f df1, df2, ncp
gama gamma shape, scale
geométrica geom prob
hipergeométrica hyper m, n, k
log-normal lnorm meanlog, sdlog
logística logis location, scale
normal norm mean, sd
Poisson pois lambda
t-Student t df, ncp
uniforme unif min, max
Weibull weibull shape, scale
Wilcoxon wilcox m, n
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasModelos probabilísticos contínuos
Distribuição normal
Prefixe o nome da distribuição por:
d: para avaliar a função densidade de probabilidade;
p: para avaliar a função de distribuição (acumulada);
q: para avaliar os quantis;
r : para gerar números pseudo-aleatórios.
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