Aula 7 - Longarinas - Armadura Longitudinal

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Armadura Longitudinal da 
Longarina
Viga “T”
Hipóteses
• Os efeitos dos esforços cortantes são considerados à parte;
• Para o dimensionamento da área de aço da armadura longitudinal é
considerado somente o momento fletor;
• Considera-se como hipóteses:
• Perfeita aderência entre armadura e concreto;
• A resistência do concreto à tração é desprezada;
• Manutenção da forma plana da seção e assim as deformações na direção 
longitudinal é proporcional a distância da Linha Neutra (LN);
Diagrama de Tensões e Domínios Possíveis
• Domínios possíveis: 2, 3 e 4:
• A linha neutra (x) estará entre zero e d.
Posição da Linha Neutra (LN)
(CARVALHO, 2015)
• Fc=(0,85. fcd).(bw).(0,8.x) = 0,68. fcd. (,08 x),
• sendo z=d-0,4x e y=0,8x
• Md= Fc . z ; logo: Md= (0,85.fcd.bw.0,8.x) . (d-0,4.x) = (0,68.x.d-0,272.x²).bw.fcd
• Portanto : 𝑥 =
0,68.𝑑± (0,68𝑑)2−4 .0,272 .
𝑀𝑑
𝑏𝑤.𝑓𝑐𝑑
0,544
= 𝟏, 𝟐𝟓𝒅 𝟏 − 𝟏 −
𝑴𝒅
𝟎,𝟒𝟐𝟓.𝒃.𝒅𝟐.𝒇𝒄𝒅
Equações de Equilíbrio
• de: Rc + R’s – Rs = 0
• 0,68b.d. βx . fcd + A’s . s’s – As . ss = 0
• de: Md = gf *Mk = Rc (d-y/2)+ R’s (d – d’)
• Md = 0,68 b.d² . βx . fcd (1- 0,4βx) + A’s . s’s (d-d’)
• Para armadura simples A’s = 0
• ℎ = 𝑑 +
∅𝑙
2
+ ∅𝑡 + 𝑐
𝛽𝑥=
𝑥
𝑑
Sendo “x” a posição da linha 
neutra e “d” a altura útil da viga
• 𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎 : é definido como o maior valor do momento fletor a ser
dimensionado com armadura simples:
• Substituindo 𝛽𝑥=
𝑥
𝑑
= 0,45 em Md = 0,68 b.d² . βx . fcd (1- 0,4βx) :
𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟖 ∗ 𝒃 ∗ 𝒅
2 ∗ 𝟎, 𝟒𝟓 ∗ 𝒇𝒄𝒅 ∗ 𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∗ 𝟎, 𝟒𝟓
𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏 ∗ 𝒃 ∗ 𝒅
2 ∗ 𝒇𝒄𝒅
• E de 0,68b.d. βx . fcd + A’s . s’s – As .ss = 0, com A’s =0 e βx =0,45
𝑨𝒔 =
0,306*b*d* fcd
ss
Momento máximo com armadura simples
𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎 𝒆 𝐴𝑠 para 𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎
Momento máximo com armadura simples
(𝑴𝒅,𝒍𝒊𝒎)- usando tabelas Kc/ Ks
• Considerando a NBR 6118:2014, adota-se armadura simples com: 
𝛽𝑥 ≤ 0,45
• Caso 𝛽𝑥 0,45 , e não for possível ou conveniente aumentar a altura da viga (h) ou o fck
do concreto, deverá ser adotada armadura dupla;
• Da equação de equilíbrio para armadura simples, temos:
• Md=0,68 b.d² . βx . fcd (1- 0,4βx) 1
0,68 βx fcd (1− 0,4βx)
=
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
= 𝑘𝑐
• Com 𝛽𝑥 = 0,45, obtemos 𝑘𝑐,𝑙𝑖𝑚 , e temos 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚 =
𝑏𝑑2
𝑘𝑐,𝑙𝑖𝑚
, como
valor limite do Momento para utilização de armadura simples.
Utilização das Tabelas para Armadura Simples
• Para 𝑀𝑑 ≤ 𝑀𝑑,𝑙𝑖𝑚 , em função da classe do concreto, da tabela kc -ks:
• 𝑘𝑐 =
𝑏𝑑2
𝑀𝑑
• Em função de kc e tipo de aço 𝑘𝑠=
𝐴𝑠𝑑
𝑀𝑑
• De onde vem ks ? Considerando A’s=0, temos as equações de
equilíbrio:
Md=0,68.b.d².x.fcd.(1-0,4x) e As.ss=0,68.b.d. x.fcd ,
e dividindo uma pela outra, chegamos a:
1
𝜎𝑠 1−0,4𝛽𝑥
=
𝐴𝑠𝑑
𝑀𝑑
= 𝐾𝑠
• Com As , na tabela de área da seção de barras, obtemos a armadura
longitudinal.
Tabela Kc x Ks
Tabelas de Aço
Seção “T”
• As lajes contiguas às vigas, nas regiões onde a tensão é de
compressão, colaboram com a resistência a essas solicitações e dessa
forma pode-se considerar essas vigas, inicialmente definidas como
retangulares, como vigas de seção “T”;
• Temos na figura:
• bw – largura da nervura ou da alma
• bf - largura da mesa
• hf - altura da mesa
• b1 e b3 – distância da face da nervura às bordas da mesa
Largura Colaborante
• A largura colaborante, bf, será dada pela largura
da viga bw, acrescida de 10% da distância “a”
(entre os pontos de momento fletor nulo) ao longo
da viga, do lado em que houver laje colaborante;
• A distância “a”, para compor a largura colaborante, pode ser estimada em função
do tramo “L” considerando:
• Viga simplesmente apoiada: a = 1,00 L
• Tramo com momento em uma só extremidade:
a = 0,75 L
• Tramo com momentos nas duas extremidades:
a = 0,60 L
• Tramo em balanço: a = 2,00 L
Limites da Largura Colaborante
• Devem ser verificados também
os limites:
b1≤ 0,5 b2 , b3≤ b4
• Quando a laje apresentar aberturas,
essa mesa só poderá ser considerada com
largura efetiva no limite dessa abertura:
Seção Retangular (falso “T”) ou “T” Verdadeira
• Primeiramente é necessário verificar a posição da linha neutra (LN) e
analisar sua profundidade (y) a partir da face comprimida da viga;
• Se y ≤ hf (espessura da laje colaborante) a seção comprimida será o
retângulo com largura bf x y (falso “T”); mas se y  hf temos a seção
“T” verdadeira, com seção comprimida sendo (bf – bw).hf + bw . y
Qual o máximo momento para falso T?
• Limite da posição da LN para considerar a seção como falso T:
𝑦 = ℎ𝑓 = 0,8 ∗ 𝑥, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑥 = ൘
ℎ𝑓
0,8
Substituindo 𝑥 = ൗ
ℎ𝑓
0,8 , na equação do equilíbrio de momentos:
Md=(0,85.fcd.bw.0,8.x) . (d-0,4.x) = (0,68.x.d-0,272.x²).bw.fcd, obtêm-se:
𝑴𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∗ 𝒉𝒇 ∗ 𝒅 − 𝟎, 𝟒𝟐𝟓 ∗ 𝒉𝒇
𝟐 ∗ 𝒃𝒇 ∗ 𝒇𝒄𝒅
Verificação do Comportamento com tabela Kc x Ks 
retangular ou “T” verdadeira
• Calcula-se:
• 𝛽𝑥𝑓 = ℎ𝑓/ 0,8 𝑑 , e
• 𝑘𝑐 = 𝑏𝑓 . 𝑑
2/𝑀𝑑 obtêm-se 𝛽𝑥 (tabela kc x ks))
(considerando uma seção retangular: bf x h)
• Se 𝛽𝑥 ≤ 𝛽𝑥𝑓 ( a LN “encontra-se na mesa”)
Calcula-se como seção retangular com seção bf.x h
mas
• Se 𝛽𝑥𝛽𝑥𝑓 ( a LN “encontra-se na alma”)
• Calcula-se como seção “T” verdadeira.
Cálculo como Seção Retangular (falso “T”)
• Calcula-se normalmente como seção retangular de largura bf x h e
utiliza-se 𝛽𝑥 para obter 𝑘𝑠 e 𝐴𝑠 =
𝑘𝑠𝑀𝑑
𝑑
Cálculo como Seção “T” verdadeira
• Calcula-se primeiramente momento resistente 𝑀0 para uma seção de
concreto de largura 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 , altura ℎ𝑓 e 𝛽𝑥 = 𝛽𝑥𝑓;
• Considerando 𝑀𝑑 = 𝑀0 + ∆𝑀 , calcula-se ∆𝑀 como uma seção
retangular comum 𝑏𝑤 𝑥 ℎ;
Deve-se considerar também uma
armadura transversal com área mínima de
1,5 cm²/m para solidarizar mesa e alma.
Espaçamento entre as barras
• Espaçamento mínimo entre as barras: para garantir a aderência,
manutenção da altura útil e proporcionar condições adequadas de
execução em relação ao lançamento e adensamento do concreto:
• Horizontal: 𝑎ℎ ≥20mm;  da barra, feixe ou luva; 1,2 ∗ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
• Vertical: 𝑎𝑣 ≥ 20mm;  da barra, feixe ou luva; 0,5 ∗ 𝑑𝑎𝑔𝑟𝑒𝑔𝑎𝑑𝑜
• Obs: nas barras com mossas ou saliências considerar ∅𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = ∅ + 0,04∅
• Diâmetro considerado para agregado graúdo:
A tabela A-4 (Bastos, FEC,UNESP) relaciona a largura da viga (bw) com a
armadura que garanta o espaçamento horizontal mínimo (ah )
Armadura distribuída em várias camadas
• Distribuindo a armadura em camadas múltiplas para garantir o
espaçamento vertical mínimo, será alterado o valor real da altura útil
(“d”);
• Dessa forma é necessário verificar a nova altura útil real e a área de
aço (As) a ser adotada;
• Para essa verificação deve ser considerado o centro de gravidade da
nova disposição: 𝑑𝑟𝑒𝑎𝑙 = ℎ − 𝑦𝑐𝑔, sendo:
𝑦𝑔 =
σ𝐴𝑖 . 𝑦𝑖
σ𝐴𝑖
Armadura Mínima
• Armadura mínima: para evitar a ruptura frágil considera-se, para o cálculo
da armadura, um momento mínimo dado pela expressão:
• 𝑀𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,8 ∗ 𝑊0 ∗ 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 , 
• com W0 = módulo de resistência da seção bruta, 𝑊 =
𝐼
𝑦
, e 
𝑓
𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝
= 1,3 ∗ 0,3 ∗ 𝑓𝑐𝑘
Τ2 3 = 0,39 ∗ 𝑓𝑐𝑘
Τ2 3
Tabela: NBR 6118-2014
Taxa de armadura:
𝜌𝑚𝑖𝑛 =
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐
Armadura Máxima
• Armadura Máxima: A soma das armaduras de tração e compressão
𝐴𝑠 + 𝐴′𝑠 não deve ser maior que 4% da área de concreto 𝐴𝑐 ,
calculada fora da região de emendas.