Lista de exercícios 2bim_Equipe Suelen

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTRUTURAS DE MADEIRA (2° bimestre) - 9º período Data: 21/05/2020 
Professor: Vander Alkmin dos Santos Ribeiro Valor 40 pontos 
Nome: Aline Pereira, Gabriela Siqueira, Ingrit Ribeiro, Rafaela Oliveira e Suelen Apa-
recida. 
Nota: 
INSTRUÇÕES GERAIS 
1. Esta avaliação é constituída de 03 questões. 
2. O valor total desta atividade é 40 pontos. 
3. Para responder as questões atente para: organização de parágrafos; correção gramatical; letra legível e sem rasuras; 
ideias logicamente encadeadas; reflexão crítica. 
4. Serão permitidas consulta do material. 
5. Resolva os exercícios em uma folha A4, tire fotos da resolução e anexe na prova para cada questão correspondente. 
6. Data de entrega: 15/06/2020 
Exercício 1)Verificar a segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas 
figuras:(Valor: 15 pontos) 
Considerar: 
1- Critério da NBR-7190/1997. 
2- Dimensões indicadas em cm. 
3- ELU - Combinação normal. 
4- Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40, 
5- 2a. categoria, qualidade estrutural. 
6- classe de umidade 1 / madeira serrada. 
7- classe de carregamento: longa duração / madeira serrada. 
5- Esforços atuantes: Nk =133 kN 
NGk = 15 kN (permanente), NQk = 80 kN (sobrecarga). 
6- Vinculação dos extremos da barra: Eixo X e Y: 2 extremos indeslocáveis 
 SEÇÃO: 
 
a) Momento de inércia (Ix e Iy) 
2 
 
𝐼𝑥 =
𝑏 𝑥 ℎ3
12
=
15 𝑥 153
12
= 4218,8 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦 =
𝑏3𝑥 ℎ
12
=
153𝑥 15
12
= 4218,8 𝑐𝑚4 
 
b) Raio de giração (rx e ry) 
→ 𝐴 = 15 𝑥 15 = 225 𝑐𝑚² 
 
𝑟𝑥 = √
𝐼𝑥
𝐴
 = √
4218,8
225
 = 4,33 cm 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴
= √
4218,8
225
 = 4,33 cm 
 
c) Índice de esbeltez (𝜆𝑥 𝑒 𝜆𝑦) 
𝜆𝑥 =
𝑙𝑜
𝑟𝑥
=
380
4,33
= 87,8 
𝜆𝑦 =
𝑙𝑜
𝑟𝑦
=
380
4,33
= 87,8 
 
→ 80 > 87,8 > 140, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑝𝑒ç𝑎 𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎. 
Será verificado apenas um eixo, pois se trata de compressão simples (𝜆𝑥 = 𝜆𝑦). 
 
d) Excentricidade inicial (ei) 
→ 𝑁𝑑 = 1,4 𝑥 (15 + 80) = 133 𝑘𝑁 
 
𝑒𝑖 =
𝑀1𝑑
𝑁𝑑
=
0
133
= 0 ≥
ℎ
30
=
15
30
= 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎 
e) Excentricidade acidental (ea) 
 
𝑒𝑎 =
𝑙𝑜
300
=
380
300
= 1,27 𝑐𝑚 ≥
 ℎ
30
=
15
30
= 0,5 𝑐𝑚 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒𝑎 = 𝟏, 𝟐𝟕 𝒄𝒎 
 
f) Cálculo da carga crítica (NE) 
→ Da tabela (Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40), tem-se: Ec0,m = 19500 MPa = 1950 kN/cm² 
→ 𝐸𝑐𝑜, 𝑒𝑓 = 𝐾𝑚𝑜𝑑 𝑥 𝐸𝑐0, 𝑚 = 0,56 𝑥 1950 = 1092 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝑁𝐸 =
𝜋2𝑥 𝐸𝑐𝑜, 𝑒𝑓 𝑥 𝐼
𝑙𝑜2
=
𝜋2𝑥 1092 𝑥 4218,8
3802
= 314,9 𝑘𝑁 
3 
g) Cálculo de c 
→ Da tabela, ø = 0,8 
 
→ 𝑁𝑔𝑘 = 15 𝑘𝑁 ; 𝑁𝑞𝑘 = 80 𝑘𝑁 
→ 𝐷𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎, ψ1 = 0,3 e ψ2 = 0,2 
 
𝑐 =
ø 𝑥 [ 𝑁𝑔𝑘 + (ψ1 + ψ2)𝑥 𝑁𝑞𝑘]
𝑁𝐸 − [𝑁𝑔𝑘 + (ψ1 + ψ2)𝑥 𝑁𝑞𝑘]
 
𝑐 =
0,8 𝑥 [ 15 + (0,3 + 0,2)𝑥 80]
314,9 − [15 + (0,3 + 0,2)𝑥 80]
= 0,169 
 
h) Excentricidade suplementar de 1° ordem (Ec) 
 
→ 𝐷𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑙𝑎, 𝐸𝑥𝑝 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟) = 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 2,72 (𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜). 
𝐸𝑐 = (𝑒𝑖𝑔 + 𝑒𝑎) 𝑥 (𝐸𝑥𝑝𝑐 − 1) = (0,5 + 1,27) 𝑥 (2,720,169 − 1) = 0,33 𝑐𝑚 
 
i) Excentricidade efetiva de 1° ordem (e1,ef) 
 
𝑒1, 𝑒𝑓 = 𝑒𝑖 + 𝑒𝑎 + 𝑒𝑐 = 0,5 + 1,27 + 0,33 = 2,1 𝑐𝑚 
 
j) Cálculo do momento fletor (Md) 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑 𝑥 𝑒1, 𝑒𝑓 𝑥 (
𝑁𝐸
𝑁𝐸 − 𝑁𝑑
) = 133 𝑥 2,1 𝑥 (
314,9
314,9 − 133
) = 483,52 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
4 
k) Determinação das tensões (σ) 
→ 𝑤 =
𝑏 𝑥 ℎ2
6
=
15 𝑥 152
6
= 562,5 𝑐𝑚³ 
 
𝜎𝑁𝑑 =
𝑁𝑑
𝐴
=
133
225
= 0,59 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
𝜎𝑀𝑑 =
𝑀𝑑
𝑤
=
483,52
562,5
= 0,86 𝑘𝑁/𝑐𝑚2 
l) Verificação da segurança 
→ 𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,7 𝑥 1,0 𝑥 0,80 = 0,56 
→ 𝐹𝑐0, 𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝑥 
𝑓𝑐0, 𝑘
𝛾𝑐
= 0,56 𝑥
4,0
1,4
= 1,6 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝜎𝑁𝑑
𝐹𝑐0, 𝑑
+
𝜎𝑀𝑑
𝐹𝑐0, 𝑑
< 1 →
0,59
1,60
+
0,86
1,60
= 0,91 < 1 
 
Verifica! 
 
Exercício 2: Verificar pilar de peroba rosa da Figura, sabendo que a ação permanente vale Ngk = 2080 daN e 
a ação variável causada pelo efeito do vento vale Nqk = 520 daN. Considere que o carregamento é de longa 
duração, a madeira é usual e de 2a. categoria, a classe de umidade do local da construção é 2 e as cargas per-
manentes são de grande variabilidade.A resistência e a rigidez da madeira são: fc0,k = 295 daN/cm
2 Ec0,m = 
146.740daN/cm2 
Esforços atuantes: Nk =3458daN(Valor: 15 pontos)
 
 
 
5 
a) Momento de inércia (Ix e Iy) 
 
𝐼𝑥 =
𝑏 𝑥 ℎ3
12
=
7,5 𝑥 7,53
12
= 263,7 𝑐𝑚4 
𝐼𝑦 =
𝑏3𝑥 ℎ
12
=
7,53𝑥 7,5
12
= 263,7 𝑐𝑚4 
b) Raio de giração (rx e ry) 
 
→ 𝐴 = 7,5 𝑥 7,5 = 56,25 𝑐𝑚² 
 
𝑟𝑥 = √
𝐼𝑥
𝐴
 = √
263,7
56,25
 = 2,17 cm 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴
= √
263,7
56,25
 = 2,17 cm 
c) Índice de esbeltez (𝜆𝑥 𝑒 𝜆𝑥 = 𝑦) 
 
𝜆𝑥 =
𝑙𝑜
𝑟𝑥
=
160
2,17
= 73,7 
𝜆𝑦 =
𝑙𝑜
𝑟𝑦
=
160
2,17
= 73,7 
 
→ 40 > 73,7 > 80, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑝𝑒ç𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑏𝑒𝑙𝑡𝑎. 
Será verificado apenas um eixo, pois se trata de compressão simples (𝜆𝑥 = 𝜆𝑦). 
 
d) Excentricidade inicial (ei) 
 
𝑒𝑖 =
𝑀1𝑑
𝑁𝑑
=
0
3458
= 0 ≥
ℎ
30
=
7,5
30
= 𝟎, 𝟐𝟓 𝒄𝒎 
 
e) Excentricidade acidental (ea) 
 
𝑒𝑎 =
𝑙𝑜
300
=
160
300
= 0,53 𝑐𝑚 ≥
ℎ
30
=
7,5
30
= 0,25 𝑐𝑚, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒𝑎 = 𝟎, 𝟓𝟑 𝒄𝒎 
 
 
f) Excentricidade de 1° ordem 
 
6 
𝑒1 = 𝑎𝑖 + 𝑒𝑎 = 0,25 + 0,53 = 0,78 𝑐𝑚 
 
g) Cálculo da carga crítica (NE) 
 
→ Dado Ec0,m = 146740 daN/cm² 
→ 𝐸𝑐𝑜, 𝑒𝑓 = 𝐾𝑚𝑜𝑑 𝑥 𝐸𝑐0, 𝑚 = 0,56 𝑥 146740 = 82174,4 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝑁𝐸 =
𝜋2𝑥 𝐸𝑐𝑜, 𝑒𝑓 𝑥 𝐼
𝑙𝑜2
=
𝜋2𝑥 82174,4 𝑥 263,7
1602
= 8354,2 𝑑𝑎𝑁 
 
h) Excentricidade não prevista do projeto (Ed) 
 
𝑒𝑑 = 𝑒1 𝑥 (
𝑁𝐸
𝑁𝐸 − 𝑁𝑑
) = 0,78 𝑥
8354,2
8354,2 − 3458
= 1,33 𝑐𝑚 
 
 
i) Cálculo do momento fletor de 2° ordem (Md) 
 
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑 𝑥 𝑒𝑑 = 3458 𝑥 1,33 = 4599,14 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚 
 
j) Cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor (𝜎𝑀𝑑) 
 
𝜎𝑀𝑑 =
𝑀𝑑 𝑥 𝑥𝑐
𝐼
=
4599,14 𝑥(
7,5
2
)
263,7
= 65,40 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚² 
 
k) Verificação da segurança a estabilidade 
→ 𝐾𝑚𝑜𝑑 = 0,7 𝑥 1,0 𝑥 0,80 = 0,56 
→ 𝐹𝑐0, 𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝑥 
𝐹𝑐0, 𝑘
𝛾𝑐
= 0,56 𝑥
295
1,4
= 118 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚² 
→ 𝜎𝑁𝑑 =
3458
7,52
= 61,5 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 
 
𝜎𝑁𝑑
𝐹𝑐0, 𝑑
+
𝜎𝑀𝑑
𝐹𝑐0, 𝑑
< 1 →
61,5
118
+
65,40
118
= 1,08 < 1 
 
Não verifica, para que a coluna atenda ao critério de segurança é preciso aumentar a seção transversal. 
7 
 
Exercício 3: Determinar o valor mínimo de “h” (múltiplo de 2,5 cm) e a flecha máxima, na seção transversal 
da viga de madeira indicada nas figuras, atendendo às condições de segurança previstas na NBR-
7190:1997.(Valor: 10 pontos) 
 
1) Critério da NBR-7190/1997; 
2) Dimensões em centímetros; 
3) longa duração / madeira serrada; 
4) classe de umidade 1 / madeira serrada; 
5) Madeira Mogno, de 2a. categoria, qualidade estrutural: fc,0,m = 53,6 MPa , fv,0,m = 10,0 MPa , Ec,0,m = 
14.487 Mpa; 
6) ELU = Combinação Normal; 
7) Cargas aplicadas: 
 gk = 1 kN/m (permanente), Qk = 2 kN (sobrecarga). 
 
 
 
a) Cálculo das tensões resistente paralela as fibras 
𝐹𝑐0, 𝑚 = 53,6 𝑀𝑃𝑎 = 5,36 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
𝐹𝐾
𝐹𝑀
= 0,7 → 𝐹𝑘 = 0,7 𝑥 𝐹𝑚 → 𝐹𝑘 = 0,7 𝑥 5,36 = 3,75 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
 Logo, tem-se: 
𝑘𝑚𝑜𝑑 = 0,7 𝑥 1 𝑥 0,8 = 0,56 
 
 𝐹𝑐0, 𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑 𝑥 
𝐹𝑐0, 𝑘
𝛾𝑐
 → 𝐹𝑐0, 𝑑 = 0,56 𝑥 
3,75
1,4
= 1,5 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
 
 b) Cálculo de tensão ao cisalhamento paralela as fibras: 
 
𝐹𝑣0, 𝑚 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 = 1,0 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
8 
𝐹𝑣𝑘
𝐹𝑀
= 0,54 → 𝐹𝑣𝑘 = 0,54 𝑥 𝐹𝑚 → 𝐹𝑘 = 0,54 𝑥 1,0 = 0,54 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
 
 
Logo, tem-se: 
 𝐹𝑣0, 𝑑 = 𝐾𝑚𝑜𝑑 𝑥 
𝐹𝑣0, 𝑘
𝛾𝑐
 → 𝐹𝑐0, 𝑑 = 0,56 𝑥 
0,54
1,8
= 0,17 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
 
→ 𝐸𝑐0, 𝑚 = 14487 𝑀𝑃𝑎 = 1448,7 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
𝐸𝑐0, 𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝑥 𝐸𝑐0, 𝑚 = 0,56 𝑥 1448,7 = 811,3 𝐾𝑁/𝑐𝑚² 
 
d) Altura “h” determinada pela condição de segurança á flexão 
Do site “Vigas online”, obteve-se: 
M= 3124,88 N.m 
𝑀𝑑 = 𝑀 𝑥 1,4 = 3124,88 𝑥 1,4 = 4374,84 𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 437,48 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
𝑤 =
𝑏 𝑥 ℎ²
6=
5 𝑥 ℎ2
6
= 0,83ℎ2𝑐𝑚² 
𝜎𝑐𝑜, 𝑑 =
𝑀𝑑 
𝑤
=
437,48 
0,83ℎ²
𝐾𝑁/𝑐𝑚 
 
Logo, para a condição de segurança, temos: 
 
→ 𝜎𝑐𝑜, 𝑑 ≤ 𝐹𝑐0, 𝑑
𝑀𝑑 
𝑤
=
437,48 
0,83ℎ²
 
437,48 
0,83ℎ²
 ≤ 1,5 
437,48 ≤ 1,5 𝑥 0,83ℎ² 
437,48 ≤ 1,25ℎ2 
𝒉 ≥ 𝟏𝟖, 𝟕𝟏 𝒄𝒎 
e) Altura “h” determinada pela condição de segurança ao cisalhamento 
Do site “Vigas online”, obteve-se: 
V= 3500 N= 3,5 KN 
𝑉𝑑 = 𝑉 𝑥 1,4 = 3,5 𝑥 1,4 = 4,9 𝐾𝑁 
 
 
 
9 
→ τvd ≤ Fv0, d 
τvd =
3 
2
 𝑥 
𝑉𝑑 
𝑏 𝑥 ℎ
=
3 
2
 𝑥 
4,9 
5 𝑥 ℎ
 ≤ 0,17 
14,7 
10 𝑥 ℎ
 ≤ 0,17 
 14,7 ≤ 0,17 𝑥 10 𝑥 ℎ 
𝒉 ≥ 𝟖, 𝟔𝟓 𝒄𝒎 
e) Flecha máxima 
ud =
5 𝑥 𝑔𝑥 𝑥 𝐿^4 
384 𝑥 𝐸𝑐0, 𝑒𝑓 𝑥 𝐼𝑥
+ ψ2 
𝑞𝑘 𝑥 𝐿³ 
28,2 𝑥 𝐸𝑐0, 𝑒𝑓 𝑥 𝐼
≤
𝐿 
200
 
ud =
5 𝑥 0,01 𝑥 300^4 
384 𝑥 811,3 𝑥 𝐼𝑥
+ 0,2 
2,0 𝑥 300³ 
28,2 𝑥 811,3 𝑥 𝐼
≤
300 
200
 
Logo temos que: 
Ix = 1181,4 𝑐𝑚4 
1181,4 ≤
𝑏 𝑥 ℎ3
12
 
𝒉 ≥ 𝟏𝟒, 𝟐 𝒄𝒎 
Assim os valores de “h” encontrados foram: 18,7 cm (aproximadamente 20 cm) , 8,65 cm e 14,2 cm, respectivamente. 
Para um valor de h múltiplo de 2,5 cm, h será de 20cm.