AD1-Q2-2020-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2020-2
Questão 2 (2,5 pontos) Considere a seguinte proposição:
p: ”Em todas as cidades da Região do Médio Rio Calmo, todos os habitantes maiores de idade
possuem contas em atraso”.
(a) Escreva a negação de p.
Solução: A negação de p é dada por
∼ p: “Em pelo menos alguma das cidades da Região do Médio Rio Calmo, algum dos
habitantes maiores de idade não possui contas em atraso.”
ou ainda, em outras palavras,
∼ p: “Existe alguma cidade da Região do Médio Rio Calmo, tal que existe algum habitante
maior de idade nesta cidade que não possui contas em atraso.”
Para justificar isto, podemos pensar da seguinte forma. Considere a seguinte notação:
C : conjunto das cidades da Região do Médio Rio Calmo
Mc : conjunto dos habitantes maiores de idade da cidade c
Assim, p pode ser escrita como
p : ∀c ∈ C, ∀m ∈Mc,m possui contas em atraso.
Vamos também escrever
q(c) : ∀m ∈Mc,m possui contas em atraso.
Assim,
p : ∀c ∈ C, q(c)
Como foi visto no EP3, a negação de p é dada por
∼ p : ∃c ∈ C | ∼ q(c).
Por outro lado, a negação de q(c) é
∼ q(c) : ∃m ∈Mc | m não possui contas em atraso.
Assim,
∼ p : ∃c ∈ C | ∃m ∈Mc | m não possui contas em atraso.
Em palavras, isto corresponde às duas formas apresentadas acima:
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∼ p: “Em pelo menos alguma das cidades da Região do Médio Rio Calmo, algum dos
habitantes maiores de idade não possui contas em atraso.”
ou
∼ p: “Existe alguma cidade da Região do Médio Rio Calmo, tal que existe algum habitante
maior de idade nesta cidade que não possui contas em atraso.”
Achou complicado? Acreditamos, isto realmente não é simples. Mas, exatamente para que você
consiga chegar à negação correta, ainda que não da maneira mais formal apresentada aqui, é
que existem os itens de (b) a (e).
(b) Sabe-se que a Região do Médio Rio Calmo possui 3 cidades, todas com habitantes maiores de
idade. Imagine que uma pesquisa tenha constatado que:
• Na primeira e na segunda cidade, todos os habitantes maiores de idade possuem contas em
atraso.
• Na terceira cidade, 5 habitantes maiores de idade não possuem contas em atraso.
A proposição p é verdadeira ou falsa nesta situação? A negação que você escreveu no item (a)
é verdadeira ou falsa nesta situação?
Solução: A proposição p é falsa neste caso, pois, em pelo menos alguma cidade da Região do
Médio Rio Calmo, não aconteceu de todos os habitantes possúırem contas em atraso. Repare
que poderiam ter sido 3 habitantes, mil habitantes ou apenas um, concorda?
Por outro lado, a negação ∼ p escrita acima é verdadeira.
(c) Imagine agora que uma pesquisa tenha constatado que, nas três cidades,:
• Na primeira e na segunda cidade, todos os habitantes maiores de idade possuem contas em
atraso.
• Na terceira cidade nenhum habitante maior de idade possui contas em atraso.
A proposição p é verdadeira ou falsa nesta situação? A negação que você escreveu no item (a)
é verdadeira ou falsa nesta situação?
Solução: A proposição p é falsa neste caso, pois, em pelo menos alguma cidade (a terceira), não
aconteceu de todos os habitantes possúırem contas em atraso. Neste caso, ∼ p seria verdadeira.
(d) Imagine agora que uma pesquisa tenha constatado que, nas três cidades,:
• Na primeira cidade, 1 habitante maior de idade não possui contas em atraso.
• Na segunda cidade, 3 habitantes maiores de idade não possui contas em atraso.
• Na terceira cidade nenhum habitante maior de idade possui contas em atraso.
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A proposição p é verdadeira ou falsa nesta situação? A negação que você escreveu no item (a)
é verdadeira ou falsa nesta situação?
Solução: A proposição p é falsa neste caso, pois, em pelo menos alguma cidade (primeira e
segunda cidades), não aconteceu de todos os habitantes maiores de idade terem contas em atraso.
Note que ∼ p é verdadeira.
(e) Imagine agora que uma pesquisa tenha constatado que, nas três cidades,:
• Na primeira cidade, nenhum habitante maior de idade possui contas em atraso.
• Na segunda cidade, nenhum habitante maior de idade possui contas em atraso.
• Na terceira cidade nenhum habitante maior de idade possui contas em atraso.
A proposição p é verdadeira ou falsa nesta situação? A negação que você escreveu no item (a)
é verdadeira ou falsa nesta situação?
Solução: A proposição p é falsa neste caso, pois, não terá acontecido de todos os habitantes
maiores de idade possúırem contas em atraso.
(f) Depois de responder a algum dos itens (d) a (e), você alterou a resposta que havia dado ini-
cialmente no item (a) ? Em caso afirmativo, escreva a resposta inicial e diga o motivo de ter
mudado de ideia. Seja sincero, você não será penalizado, de forma alguma.
Solução: Esta é a questão mais interessante!
É posśıvel que você, ou um colega seu, tenha negado p da forma
∼ p: “Em nenhuma das cidades da Região do Médio Rio Calmo, nenhum habitante maior de
idade possui contas em atraso.”
É normal confundirmos negação com oposição ou com o conceito de antônimo. Negação, em
lógica, é a ideia do complementar lógico, isto é, a negação de p, denotada ∼ p, é verdadeira
sempre que p é falsa, e é falsa sempre que p for verdadeira.
Um exemplo simples: a negação de “João é muito alto”não é “João é muito baixo”. Para ser
mentira que “João é muito alto”, é necessário e suficiente que ele seja baixo, mediano ou até
razoavelmente alto. Ou seja, que “João não é muito alto”.
Outro exemplo, este com quantificadores e mais relacionado a esta questão: a negação de “todos
desta turma usam óculos”não é “ninguém desta turma usa óculos”. Para ser mentira que “todos
desta turma usam óculos”, bastaria e seria necessário que “pelo menos uma pessoa da turma
não usa óculos”, ou seja, “existe pessoa desta turma que não usa óculos”.
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Imagine a negação de um “para todo”como uma situação de cumprimento de lei. Pense no
seguinte exemplo, absolutamente cotidiano: “em todos os turnos de uma obra, todos os traba-
lhadores devem utilizar equipamento de proteção individual (EPI)”.
Se você fosse um fiscal do Ministério do Trabalho, em que situação autuaria a construtora? Bom,
bastaria existir um turno da obra no qual exista algum trabalhador que não esteja usando seu
EPI. Mesmo que todos os outros trabalhadores, deste turno ou de todos os outros, estivessem
utilizando seu EPI, uma única ocorrência já feriu a lei. Certo? Pense com calma!
Portanto, resumindo esta questão:
• A negação de
p : ∀x ∈ X, q(x)
é
∼ p : ∃x ∈ X | ∼ q(x).
• A negação de
p : ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, q(x, y)
é
∼ p : ∃x ∈ X | ∃y ∈ Y | ∼ q(x, y).
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