aula-2

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Produto vetorial

onde eijk é o tensor de Levi-Civita:
se houver um índice repetido
se i,j,k for uma permutação par de 1,2,3
se i,j,k for uma permutação ímpar de 1,2,3
Por exemplo:
Aplicando a fórmula acima:
e, do mesmo modo:
𝐶 = Ԧ𝐴 × 𝐵
Notação de Einstein:
Para simplificar a notação devido a presença de vários símbolos matemáticos como 
somatórias por exemplo, no caso de
dentro do somatório, os índices que se repetem são j e k. Logo, nesta notação,
𝐶𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝐴𝑗𝐵𝑘
Fica implícito que temos uma somatória em j e outra em k, tornando mais fácil uma 
manipulação algébrica.
Propriedade importante do tensor de Levi-Civita:
Mostre que:
Solução:
O produto vetorial do lado esquerdo da expressão fica
Logo,
Ԧ𝐴. 𝐵 × 𝐷 =෍
𝑖
𝐴𝑖෍
𝑗𝑘
𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐵𝑗𝐷𝑘 =෍
𝑖𝑗𝑘
𝐴𝑖𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐵𝑗𝐷𝑘
que, na notação de Einstein:
Ԧ𝐴. 𝐵 × 𝐷 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝐴𝑖𝐵𝑗𝐷𝑘
Fazendo uma permutação par no tensor de Levi-Civita:
𝜀𝑖𝑗𝑘𝐴𝑖𝐵𝑗𝐷𝑘 = 𝜀𝑘𝑖𝑗𝐷𝑘𝐴𝑖𝐵𝑗 = 𝐷𝑘𝜀𝑘𝑖𝑗𝐴𝑖𝐵𝑗
que, reescrevendo:
෍
𝑘
𝐷𝑘෍
𝑖𝑗
𝜀𝑘𝑖𝑗 𝐴𝑖𝐵𝑗 =෍
𝑘
𝐷𝑘 Ԧ𝐴 × 𝐵 𝑘 = 𝐷.
Ԧ𝐴 × 𝐵
cqd
Algumas regras:
1. O produto vetorial não é comutativa:
2. O produto vetorial, em geral, não é associativa:
Exercícios: Usando a propriedade do tensor de Levi-Civita,
1. Mostre que:
2. Calcule:
Diversos:
1. Se o nosso sistema de coordenadas é constituído por 3 vetores ortogonais entre si, i.e.
Tal que
então
Que, em termos de matrizes é:
Propriedades:
Desafio: Demonstre a última propriedade.
Derivada de um vetor por um escalar
Se uma função escalar f = f(s) é diferenciada em relação à variável escalar s, então,
porque nenhuma parte da derivada pode mudar sob uma transformação de
coordenadas, a própria derivada não pode mudar e deve, portanto, ser um escalar.
Assim, nos sistemas de coordenadas xi e xi’,
E, então:
Agora, as componentes de um vetor se transformam como:
assim
como
temos que
Logo, as quantidades dAj/ds se transformam como os componentes de um vetor e,
portanto, são os componentes de um vetor, que podemos escrever como dA/ds
Exemplo: a velocidade (e a também a aceleração), onde A é r e s é t, tal que v = dr/dt.
Notação: cada ponto em cima do vetor
é uma derivada no tempo
Propriedades:
Coordenadas polares:
Para a velocidade: Para a aceleração:
Usando a relação acima,
Resumindo:
Velocidade angular:
Uma partícula que se move arbitrariamente no espaço pode sempre ser considerado, em
um dado instante, como se movendo em um caminho plano e circular em torno de um
determinado eixo; isto é, o caminho que uma partícula descreve durante um intervalo de
tempo infinitesimal pode ser representado como um arco infinitesimal de um círculo. A
linha que passa pelo centro do círculo e perpendicular à direção instantânea do
movimento é chamada de eixo instantâneo de rotação. Conforme a partícula se move no
caminho circular, a taxa de mudança da posição angular é chamada de velocidade
angular, i.e.
Para o movimento em um círculo de raio R, a 
magnitude instantânea da velocidade linear é 
dada por: 
como
então
ou seja