GEOMETRIA ANALITICA P4

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Envios de Questionário - Parada para a Prática – Aula 04
Angelino Gonsalves (nome de usuário: 2017085)
Tentativa 2
Por Escrito: ago 30, 2020 20:59 - ago 30, 2020 20:59
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liberado: ago 31, 2020 23:59
Pergunta 1 0.2 / 0.2 pontos
Leia atentamente o excerto a seguir:
 
“[...] se dois vetores num plano são não-colineares então todo vetor 
 desse plano se escreve como combinação linear , com
os números univocamente determinados (a partir de ). [...]
Diremos que os vetores são coplanares quando, escrevendo-os sob a
forma e (com a mesma origem A), os
pontos estiverem no mesmo plano.”
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e
Aplicada, 2015, p. 185.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, a equação vetorial do
plano que passa pelos pontos 
 é dada por:
Ocultar Comentários
u, v
w w  =  xu  +  yv
x,  y u, v e w
u, v e w
u  =   ,  v  =AB
−→−
AC
−→−
w  =  AD
−→−
 A,  B,  C e D 
A = (−1 ,2, 0), B = (3, −2 ,1), C = (−1 ,1, −3)
a) (x, y, z) = (1, −2 ,0) + h (−1, −4 ,0) + t (−1, −1 ,0),   h, t ∈ R
b) (x, y, z) = (1, −2 ,1) + h (3 ,1, 3) + t (0 ,1, −2),   h, t ∈ R
c) (x, y, z) = (−1 ,2, 0) + h (4, −4 ,1) + t (0, −1, −3),   h, t ∈ R
d) (x, y, z) = (−1 ,2, 0) + h (−4 ,4, 2) + t (3 ,1, 0),   h, t ∈ R
e) (x, y, z) = (−3, −1 ,0) + h (−2, −, 4 ,1) + t (1 ,0, 3),   h, t ∈ R
javascript://
Pergunta 2 0 / 0.2 pontos
Leia atentamente o excerto a seguir:
 
“Quando se deseja caracterizar analiticamente os pontos de uma reta no espaço,
tem-se duas opções: ou as equações paramétricas daquela reta ou o sistema de
duas equações com três incógnitas, representando dois planos cuja interseção é
a reta dada.”
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e
Aplicada, 2015, p. 170.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, considere a reta r que
passa pelo ponto A = (‒1,2,‒3) e tem vetor diretor A
equação reduzida da reta r em função da variável z é dada por:
Para resolvermos essa questão, escolhemos um dos pontos dados como ponto
inicial para os vetores diretores e construímos os vetores usando como ponto
inicial o ponto escolhido. Isto é, se escolhermos o ponto A como ponto inicial dos
vetores diretores, obteremos os vetores
 Assim, podemos encontrar a
equação vetorial do plano que passa pelos pontos A, B e C, fazendo 
 ou seja, a equação do
plano que procuramos é:
 
= (4, −4 ,1),   = (0, −1, −3).AB
−→−
AC
−→−
(x, y, z) = A + h + t ,  h, t ∈ R,AB
−→−
AC
−→−
(x, y, z) = (−1 ,2, 0) + h (4, −4 ,1) + t (0, −1, −3),   h, t ∈ R.
= (− , 3, − ).v→ 12
2
5
a) 
{ , ∀z ∈ R
x = 3z − 11
4
y = − 13z+393
b) 
{ , ∀z ∈ R
x = 4z+7
2
y = − 13z−314
c) 
{ , ∀z ∈ R
x = 5z+11
4
y = − 15z+412
Ocultar Comentários
d) 
{ , ∀z ∈ R
x = 2z−9
4
y = 4z−452
e) 
{ , ∀z ∈ R
x = − 2z+13
4
y = 3z−373
Para resolvermos essa questão, vamos encontrar a equação paramétrica da reta.
Sabemos que ela passa pelo ponto A e tem vetor diretor Logo, a equação
paramétrica da reta segue diretamente da definição, isto é:
 
 
Isolando o t em cada uma das coordenadas, obtemos a relação:
 
Comparando a 1.ª expressão com a última, obtemos:
 
 
Comparando a 2.ª expressão com a última, obtemos:
 
 
Portanto, a equação reduzida da reta em função de z é:
.v
→
, ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x = −1 − t12
y = 2 + 3t
z = −3 − t25
−2 (x + 1) = = −
y−2
3
5(z+3)
2
−2 (x + 1) = −
5(z+3)
2
x + 1 =
5(z+3)
4
x = − 1 = =
5(z+3)
4
5z+15−4
4
5z+11
4
= −y−2
3
5(z+3)
2
y − 2 = −
15(z+3)
2
y = 2 − = = −
15(z+3)
2
4−15z−45
2
15z+41
2
javascript://
Pergunta 3 0 / 0.2 pontos
Um segmento de reta no espaço é um pedaço de uma reta com comprimento
finito. Isto é, em um segmento de reta, é possível determinar dois pontos A e B no
espaço, que pertencem à reta, nas quais o segmento começa em A e termina em
B.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, a equação do segmento
de reta que liga A(0,2,3) e B(‒2,1,‒1) é:
 
{ , ∀z ∈ R
x = 5z+114
y = − 15z+41
2
a) 
, ∀t ∈ [−1 ,1]
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 2t
y = 2 (t − 1) + t
z = 3 (1 − t) + t
b) 
, ∀t ∈ [0 ,1]
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 3(1 − t) − 2t
y = 4 (1 − t) − t
z = −t
c) 
, ∀t ∈ [0 ,1]
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = −2t
y = 2 (1 − t) + t
z = 3 (1 − t) − t
d) 
, ∀t ∈ [0 ,1].
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = (1 − t) − 2t
y = t
z = 3 (1 − t) + 2t
e) 
, ∀t ∈ [−1 ,2]
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = −3t
y = 2 (1 − t) + 2t
z = 2 (1 − t) + t
javascript://
Ocultar Comentários
Pergunta 4 0.2 / 0.2 pontos
Leia atentamente o excerto a seguir:
 
“O terno chama-se uma solução do sistema
 
quando suas coordenadas x, y, z satisfazem ambas equações. [...] Os planos 
e podem ser paralelos, podem coincidir ou podem intersectar-se
Para resolvermos essa questão, basta encontrar a equação da reta que passa
por A e B e limitar o domínio da parametrização de t, fazendo com que a reta
esteja limitada pelo intervalo em que o t varia. Assim, qualquer reta que passe por
A e B poderá ter como vetor diretor o vetor . Logo, pode-se
considerar o segmento de reta como o conjunto dos pontos , tais que:
 
 
para , pois, quando t = 0, teremos X = A; quando t = 1, teremos X = B
e quando t estiver entre 0 e 1, teremos um vetor que é a combinação linear de A
e B. Coordenada a coordenada, temos:
 
 
para . Portanto, a equação paramétrica do segmento de reta que
passa por A e B é:
 
= B−AAB
−→−
X ∈ R3
X = A + t = A + t (B − A) = A + tB − tA = A (1 − t) + BtAB
−→−
t ∈ [0 ,1]
= (1 − t) + t =
⎛
⎝
⎜
x
y
z
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
0
2
3
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
−2
1
−1
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
−2t
2 (1 − t) + t
3 (1 − t) − t
⎞
⎠
⎟
t ∈ [0 ,1]
, ∀t ∈ [0 ,1]
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = −2t
y = 2 (1 − t) + t
z = 3 (1 − t) − t
(x, y, z) ∈ R3
(*){ x  +   y  +   z  =    a1 b1 c1 d1
x  +   y  +   z  =  a2 b2 c2 d2
 Π1  Π2 
javascript://
segundo uma reta. Correspondentemente a estas alternativas, o sistema 
 pode ser impossível (sem solução) no primeiro caso ou indeterminado (com
uma infinidade de soluções) no segundo caso.”
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e
Aplicada, 2015, p. 198.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudados, considere os planos 
 e . A
equação reduzida da reta , oriunda da intersecção entre os planos e , em
função da variável y, é:
Ocultar Comentários
(*)
: 3x + 2y − 3z − 4 = 0π1 : −x + 3y − 2z + 6 = 0π2
r π1 π2
a) 
{
x =
2y+7
5
z =
6y−11
7
b) 
{
x =
5y+26
9
z =
11y+14
9
c) 
{
x =
y+21
8
z =
−3y+14
9
d) 
{
x =
3y−14
7
z =
8y+11
6
e) 
{
x =
−y+12
5
z =
7y−2
5
Para resolvermos esse problema, vamos resolver o sistema linear dado pelas
equações das retas e . Assim:
 
  π1 π2
{ 3x + 2y − 3z − 4 = 0 
−x + 3y − 2z + 6 = 0
javascript://
Pergunta 5 0 / 0.2 pontos
Leia atentamente o excerto a seguir:
 
“Seja qual for o número real , as equações e 
 definem o mesmo plano. Reciprocamente,
se as equações e 
definem o mesmo plano [isto é, têm as mesmas
soluções ] então existe tal que 
 e ”
 
Multiplicando a 2.ª equação por 3, obtemos:
 
 
Somando as equações, temos:
 
 
Substituindo na 1.ª equação, obtemos:
 
 
Portanto, a equação reduzida, em função de y, da reta oriunda da intersecção
entre os 2 planos dados é:
 
{ 3x + 2y − 3z − 4 = 0 
−3x + 9y − 6z + 18 = 0
11y − 9z + 14 = 0
z = 11y+14
9
3x + 2y − 3( ) − 4 = 011y+14
9
3x + 2y − − − 4 = 011y
3
14
3
3x =
5y+26
3
x = .5y+26
9
{
x =
5y+26
9
z =
11y+14
9
k ≠ 0 ax + by + cz  =  d
kax  +  kby  +  kcz  =  kd
ax + by + cz  =  d
a'x + b'y + c'z  =  d' 
(x, y, z) k ≠ 0
a'  =  ka,  b'  =  kb,  c'  =  kc d'  =  kd.
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e
Aplicada, 2015, p. 189.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudados, considere a reta:
 
 
ortogonal ao plano , em que se interceptam no ponto com A equação
geral de é:
Ocultar Comentários
r :   , ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = −3 + 2t
y = 1 + t
2
z = t
π t =2.
π
a) 2x + + z − 5 = 0
y
2
b) x + + − 2 = 0
y
4
z
2
c) 2x + y + + 5 = 0z
3
d) + y + 2z + 5 = 0x
2
e) + 2y + z − 3 = 0x
2
Para resolvermos essa questão, notemos que, como a reta r é perpendicular ao
plano , o vetor diretor da reta também é. Logo, se tomarmos o vetor 
 como vetor normal ao plano, temos que a equação do plano
será Para encontrarmos o valor de d, basta
substituirmos as coordenadas do ponto em comum dado para . Com
efeito:
 
Assim, substituindo x, y e z na equação do plano, temos:
 
Portanto, a equação do plano é:
 
π
= (2, , 1)v→ 1
2
2x+ + z+ d = 0.
y
2
t = 2
x = −3 + 4 = 1,  y = 1 + 1 = 2,  z = 2
2 + 1 + 2 + d = 0 ⇒ d = −5
javascript://
Pontuação da Tentativa: 0.4 / 1 - 40 %
Nota Geral (maior tentativa): 0.4 / 1 - 40 %
Concluído
2x + + z − 5 = 0
y
2