GEOMETRIA ANALITICA P4

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Envios de Questionário - Parada para a Prática – Aula 04
Angelino Gonsalves (nome de usuário: 2017085)
Tentativa 1
Por Escrito: ago 30, 2020 20:57 - ago 30, 2020 20:58
Exibição do Envio
liberado: ago 31, 2020 23:59
Pergunta 1 0.2 / 0.2 pontos
Leia atentamente o excerto a seguir:
 
“A expressão geral de uma função quadrática é
 
As superfícies de nível chamam-se quádricas. Quando , temos a
forma quadrática
 
cujas superfícies de nível chamam-se quádricas centrais. O adjetivo ‘central’ provém de que, sendo
 o ponto pertence à superfície S de equação 
 se, e somente se, o ponto também pertence a S; logo a
origem é um centro de simetria de S.”
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2015, p. 286, grifos nossos.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A superfície de revolução é obtida por meio da rotação da parábola em torno do
eixo Ox.
II. Dados eixos coordenados e uma hipérbole construída no plano formado pelos eixos x e z, com focos sobre o
eixo x, o hiperboloide de duas folhas é obtido ao rotacionar a hipérbole em torno do eixo y.
III. Ao rotaciona a elipse em torno do eixo Ox, obtém-se o elipsoide
IV. Dados eixos coordenados e uma hipérbole construída no plano formado pelos eixos y e z, com focos sobre o
eixo z, o hiperboloide de uma folha é obtido ao rotacionar a hipérbole em torno do eixo y.
 
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar Comentários
ψ : → RR3
ψ (x, y, z) =  A + B + C + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Iz + Jx2 y2 z2
ψ(x, y, z)  =  d G = H = I = J = 0
φ(x,  y,  z)  = A + B + C +  2Dxy  +  2Exz  +  2Fyz,x2 y2 z2
φ(x, y, z)  =  d
φ(−x,   − y,   − z)  =  φ(x,  y,  z), P  =  (x,  y,  z)
φ(x,  y,  z)  =  d P '  =  (−x,   − y,   − z)
0  =  (0,  0,  0)
+ = 2xy2 z2 { = 2xz
2
y = 0
x, y, z
{ + = 1
x2
a2
z2
c2
y = 1
+ + = 1.x
2
a2
y2
c2
z2
c2
x, y, z
a) I, III e IV.
b) I e II.
c) I e IV.
d) II e III.
e) III e IV.
A afirmativa I está correta, pois, para obter a equação do paraboloide com rotação em torno do eixo x, basta substituir a
variável z da parábola por . Com efeito:+y2 z2
− −−−−−√
javascript://
Pergunta 2 0 / 0.2 pontos
A imagem a seguir ilustra um plano e suas três possibilidades de iteração com retas: uma reta e um plano podem ser
concorrentes em um único ponto, concorrente em infinitos pontos ou paralelos (não concorrentes).
Com base nessas informações e no conteúdo estudados, considere o plano ,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
 
 
A afirmativa II está incorreta, pois, como a hipérbole está no plano formado pelos eixos coordenados x e z, ao rotacionar
a hipérbole em torno do eixo y, todos os pontos da hipérbole continuarão no mesmo plano e não formarão o hiperboloide
de duas folhas, como mostra a figura a seguir.
O hiperboloide de duas folhas poderá ser formado, nesse caso, ao rotacionar a mesma hipérbole em torno do eixo Ox. A
afirmativa III está correta, pois, para obter a equação do elipsoide com rotação em torno do eixo Ox, basta substituir a
variável z da parábola por . Com efeito:
 
 
A afirmativa IV também está correta, pois, pela definição do hiperboloide de uma folha, ele é obtido por meio da rotação
da hipérbole em torno do eixo em que ela é definida e que não contém seus focos, como mostra a figura a seguir.
= 2x ⇒ = 2x ⇒ + = 2xz2 ( )+y2 z2
− −−−−−√ 2 y2 z2
+y2 z2
− −−−−−√
+ = 1 ⇒ + = 1 ⇒ + + = 1x
2
a2
z2
c2
x2
a2
( )+y2 z2√
2
c2
x2
a2
y2
c2
z2
c2
π :   − x − − + = 0
y
2
z
2
1
2
I. ( ) A reta é paralela ao plano
II. ( ) A reta tem infinitos pontos em comum com o plano 
III. ( ) A reta tem apenas um ponto em comum com o plano e é ortogonal a ele.
IV. ( ) O plano intercepta os eixos e nos pontos 
 respectivamente.
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar Comentários
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = t
y = 1
z = 3t
4
π.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = t
2
y = 0
z = 1 − t
π.
⎧
⎩
⎨
⎪⎪
⎪⎪
x = −t
y = − t
2
z = 1 − t
2
 π
 π Ox,  Oy Oz
A ( , 0 ,0),   B (0 ,1, 0), C (0,  0, ),1
2
1
2
a) F, V, F, V.
b) F, V, V, F.
c) V, F, F, V.
d) V, F, V, V.
e) V, F, F, V.
A afirmativa I é falsa, pois ao substituirmos as equações paramétricas da reta na equação do plano, obtemos:
 
 
Portanto, a reta dada intercepta o plano quando , isto é, no ponto A afirmativa II é verdadeira,
pois, se tomarmos os pontos da reta , obtidos tomando e ,
respectivamente, e substituirmos na equação da reta, obtemos:
 
 
Portanto, como 2 pontos distintos da reta pertencem ao plano temos que a reta pertence ao plano e,
consequentemente, tem infinitos pontos em comum com o plano A afirmativa III também é verdadeira, pois, ao
substituirmos as equações paramétricas da reta na equação do plano, obtemos:
 
 
Logo, para , a reta e o plano têm um ponto em comum. Para verificarmos a ortogonalidade, notemos que o
vetor diretor da reta e a normal ao plano são o mesmo vetor, a saber Portanto, a
reta é ortogonal ao plano. A afirmativa IV é falsa, pois ao substituirmos o ponto C na equação do plano, obtemos 
−t − − + = 0 ⇒ − = 0 ⇒ t = 012
3t
8
1
2
11t
8
π t = 0 P (0 ,1, 0).
(0 ,0, 1), (1 ,0, −1)P1 P2 t = 0 t = 2
0 + 0 − + = 0  1
2
1
2
−1 + + = −1 + 1 = 012
1
2
π
π
t + − + = 0t4
(1− )t
2
2
1
2
− + + = 05t4
1
2
t
4
1
2
= 06t
4
t = 0
t = 0 π
= = (−1, − , − ).v→ n→ 12
1
2
javascript://
Pergunta 3 0 / 0.2 pontos
Leia atentamente o excerto a seguir:
 
“No espaço E, onde se escolheu um sistema de coordenadas OXYZ, seja um plano. Tomemos a reta , que passa
pela origem, pelo ponto e ́é perpendicular ao plano . Afirmamos que existe um número real tal
que a equação do plano é:
 
 
Isto é, o ponto pertence ao plano se, e somente se, suas
coordenadas satisfazem a relação acima.”
LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2015, p. 188.
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
 
I. ( ) O vetor é ortogonal ao plano
II. ( ) Os pontos e pertencem ao plano
III. ( ) A equação geral do plano que passa pelo ponto A(0,‒1,2) e é normal ao vetor é 
IV. ( ) O valor de da equação do plano para que o ponto A(‒1,3,5) pertença a
esse plano é .
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar Comentários
 Portanto, o ponto C não pertence ao plano e, consequentemente, o plano não
intercepta o eixo no ponto C.
0 + 0 − + = − ≠ 0.14
1
2
1
4
Oz
Π OA
A  =  (a,  b,  c) Π d
Π
ax  +  by  +  cz  =  d
P  =  (x,  y,  z) Π
= (−1 ,3, 2)v
→
3x − 9y − 6z − 2 = 0.
A (1, −3, −3) B (5 ,2, −2) 2x − 3y + 5z + 4 = 0.
= (−1 ,2, −3)n
→
−x + 2y − 3z + 7 = 0.
d ∈ R x + 2y + 3z + d = 0
d = −20
a) F, V, V, F.
b) V, V, F, F.
c) F, V, V, V.
d) V, F, F, V.
e) F, F, V, V.
A afirmativa I é verdadeira, pois o vetor normal ao plano da equação dada é
. Logo, o vetor dado e o vetor normal à reta são linearmente
dependentes e, portanto, é ortogonal ao plano dado. A afirmativa II é falsa e, para verificarmos, basta substituirmos
os valores das coordenadas dos pontos na equação do plano. Com efeito:
 
 
Portanto, o ponto B não pertence ao plano dado. A afirmativa III também é falsa e, para verificarmos, basta substituirmos
o ponto A na equação do plano. Com efeito:
 
= (3, −9, −6) = −3 (−1 ,3, 2) = −3n
→
v
→
v
→
2x − 3y + 5z + 4 = 2 − 3 (−3) + 5 (−3) + 4 = 2 + 9 − 15 + 4 = 0,
2x − 3y + 5z + 4 = 2 (5) − 3 (2) + 5 (−2) + 4 = 10 − 6 − 10 + 4 = −2 ≠ 0
−x + 2y − 3z − 2 = −x (0) + 2 (−1) − 3 (2) + 7 = −2 − 6 + 7 = −1 ≠ 0
javascript://
Pergunta 4 0 / 0.2 pontos
Dados dois pontos distintos quaisquer no , é sempre possível construir uma
reta no espaço e sua equação paramétrica, a partir desses dois pontos. Considerando o vetor 
, um ponto qualquer da reta pode ser determinado
fazendo , originando aequação paramétrica da reta:
 
 
Com base nessas informações e no conteúdo estudado, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação paramétrica da reta que passa pelos pontos e é
II. As equações paramétricas
representam a mesma reta.
III. O ponto pertence à reta
IV. A reta cuja equação paramétrica é tem um ponto em comum com o eixo z.
 
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar Comentários
 
Portanto, o ponto A não pertence ao plano dado. A afirmativa IV é verdadeira, pois, se substituirmos as coordenadas do
ponto A na equação dada, obtemos:
 
x + 2y + 3z + d = 0
−1 + 2 (3) + 3 (5) + d = 0
−1 + 6 + 15 + d = 0
d = −20
A ( , , ),  B ( , , ) xa ya za xb yb zb R
3
= = ( − , − , − )v
→
AB
−→−
xb xa yb ya zb za P (x, y, z)
P = A + t v
→
A (1, −2 ,0) B (3 ,2, 4)
,  ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 1 + 2t
y = 2 (t − 1) + 2t
z = 4t
 e  ,  ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 1 + 3t
y = 2 + 5t
z = 3 − t
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 4 + 6t
y = 7 + 10t
z = 2 − 2t
P (1 ,1, 1) . ∀t ∈ R.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 2 − 3t
y = (1 − t) + 5t
z = 3t + 1
,  ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 2t
y = 1 − 3t
z = 4
a) I e II.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I e IV.
e) I e III.
javascript://
Pergunta 5 0.2 / 0.2 pontos
As equações dos elipsoides e dos hiperboloides são muito parecidas, porém cada uma delas, em suas formas reduzidas,
tem um fator que permite sua identificação precisa. Caso a equação reduzida da quádrica seja da forma:
então a equação representa um elipsoide. Caso a equação reduzida da quádrica seja da forma:
então a equação representa um hiperboloide de uma folha. Caso a equação reduzida da quádrica for da forma:
então a equação representa um hiperboloide de duas folhas.
 
Considerando as informações apresentadas e o conteúdo estudado, analise as quádricas a seguir e as associe com as
equações que elas representam:
 
A afirmativa I está correta e, para verificarmos, vamos construir a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos
dados. Com efeito, a reta no espaço que passa pelos pontos A e B é dada pela equação:
 
 
Manipulando a equação das coordenadas x e y, obtemos:
 
 
A afirmativa II também está correta, pois, pela 2.ª equação, temos que o ponto é dado quando t = 0.
Logo, vamos verificar se esse ponto pertence à reta da 1.ª equação. Como efeito, 
 Substituindo t = 1 para y e z, obtemos e . Logo, o
ponto x pertence a ambas as equações. Além disso, os vetores diretores das duas retas são linearmente dependentes,
isto é, existe um número real que, ao multiplicarmos o vetor diretor da 1.ª equação, obtemos o vetor diretor da 2.ª. Logo,
como os vetores diretores são linearmente dependentes, então as retas são paralelas ou iguais. Como temos pelo
menos um ponto em comum entre as retas, então elas são iguais (caso contrário, não teriam pontos em comum). A
afirmativa III está incorreta, pois, substituindo a coordenada x do ponto P na equação que representa a variação de x na
reta paramétrica, obtemos Substituindo o valor de t nas
outras equações, obtemos Portanto, o ponto P
não pertence à reta dada. A afirmativa IV também está incorreta, pois os pontos do eixo z são da forma 
 Logo, como a equação paramétrica da coordenada z da reta é constante (z = 4), o único ponto
comum possível entre a reta dada e o eixo z é o ponto (0,0,4). Se x = 0, temos Substituindo t = 0
na equação da coordenada y da reta, obtemos Logo, a reta dada e o eixo z não
têm pontos em comum.
, ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = (1 − t) + 3t
y = (1 − t) (−2) + 2t
z = 4t
, ∀t ∈ R
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
x = 1 + 2t
y = 2 (t − 1) + 2t
z = 4t
x = (4 ,7, 2)
4 = 1 + 3t ⇒ t = 1. y = 2 + 5 = 7 z = 3 − 1 = 2
1 = 2 − 3t ⇒ −3t = 1 − 2 = −1 ⇒ t = .13
y = (1 − t) + 5t = (1 − ) + = + = ≠ 1.13
5
3
2
3
5
3
7
3
(0 ,0, t),  ∀t ∈ R.
0 = 2t ⇒ t = 0.
y = 1 − 3t = 1 − 0 = 1 ≠ 0.
+ + = 1,
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
+ − = 1,
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
− + = 1 ou
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
− + + = 1,
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
− − = 1,
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
− + − = 1 ou
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
− − + = 1,
(x−α)2
a2
(x−β)2
b2
(x−γ)2
c2
1) Elipsoide
2) Hiperboloide de uma folha
3) Hiperboloide de duas folhas
4) Paraboloide hiperbólico
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar Comentários
9 − 4 + 36x + 8y + 36z + 32 = 0x2 y2
3 + 4 − 6 − 12x + 16y + 16 = 0x2 y2 z2
15   −  60x  +  10   −  20y  +  6   +  12z  +  46 = 0x2 y2 z2
−6   +  24x  −  3   +  6y  +  2   +  4z  −  31 = 0x2 y2 z2
a) 3, 4, 2, 1.
b) 4, 2, 1, 3.
c) 1, 3, 4, 2.
d) 2, 1, 3, 4.
e) 1, 3, 2, 4.
Para encontrarmos a sequência correta, vamos organizar cada uma das equações dadas em suas formas reduzidas para id
superfície elas representam:
Portanto, a equação representa um elipsoide (
Portanto, a equação representa um hiperboloide de uma folha (2).
Portanto, a equação representa um hiperboloide d
15   −  60x  +  10   −  20y  +  6   +  12z  +  46 = 0x2 y2 z2
15(   −  4x)  +  10(   −  2y)  +  6(   +  2z)  +  46 = 0x2 y2 z2
15 (   −  4x) + 60  +  10 (   −  2y) + 10 +  6 (   +  2z) + 6 +  46 − 60 − 10 − 6 = 0x2 y2 z2
15 (   −  4x + 4) +  10 (   −  2y + 1) +  6 (   +  2z + 1) − 30 = 0x2 y2 z2
+ + = 1
(x−2)2
2
(x−1)2
3
(x+2)2
5
15   −  60x  +  10   −  20y  +  6   +  12z  +  46 = 0x2 y2 z2
3 + 4 − 6 − 12x + 16y + 16 = 0x2 y2 z2
3 − 12x + 4 + 16y − 6 + 16 = 0x2 y2 z2
3 ( − 4x) + 4 ( + 4y) − 6 + 16 = 0x2 y2 z2
3 ( − 4x) + 12 + 4 ( + 4y) + 16 − 6 + 16 − 16 − 12 = 0x2 y2 z2
3 ( − 4x + 4) + 4 ( + 4y + 4) − 6 − 12 = 0x2 y2 z2
+ − = 1
(x−2)2
4
(y+2)2
3
z2
2
3 + 4 − 6 − 12x + 16y + 16 = 0x2 y2 z2
−6   +  24x  −  3   +  6y  +  2   +  4z  −  31 = 0x2 y2 z2
−6 −  4x)  −  3( −  2y)  +  2(   +  2z)  −  31 = 0(x2 y2 z2
−6 −  4x)− 24  −  3( −  2y)− 3 +  2(   +  2z)+ 2 −  31 + 24 + 3 − 2 = 0(x2 y2 z2
−6 −  4x + 4)  −  3( −  2y + 1)+  2(   +  2z + 1)−  6 = 0(x2 y2 z2
− − + = 1(x − 2)2
(y−1)2
2
(z+1)2
3
−6   +  24x  −  3   +  6y  +  2   +  4z  −  31 = 0x2 y2 z2
9 − 4 + 36x + 8y + 36z + 32 = 0x2 y2
9 + 36x − 4 + 8y + 36z + 32 = 0x2 y2
javascript://
Pontuação da Tentativa: 0.4 / 1 - 40 %
Nota Geral (maior tentativa): 0.4 / 1 - 40 %
Concluído
Portanto, a equação representa um paraboloide hiperbólico (4).
9 ( + 4x) − 4 ( − 2y) + 36z + 32 = 0x2 y2
9 ( + 4x) + 36 − 4 ( − 2y) − 4 + 36z + (32 − 36 + 4) = 0x2 y2
9 ( + 4x + 4) − 4 ( − 2y + 1) = 36zx2 y2
z = −
(y−1)2
9
(x+2)2
4
9 − 4 + 36x + 8y + 36z + 32 = 0x2 y2