ESTUDO DIRIGIDO CALCULO II

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SEGUNDA GRADUAÇÃO EM FÍSICA PARA LICENCIADOS 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
TUTOR: VANESSA LUZ 
ALUNO: DAVID MACCALIKES MARQUES MONTEIRO 
 
A INTEGRAL DEFINIDA 
 
Vamos então para o conceito de integral definida: 
 
Se f é integrável em [a,b], então 

b
a
dxxf )( 
Isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente. Quando a 
função f é contínua e não negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a 
definição de área. Nesse caso a integral definida 
b
a
dxxf )( é a área da região sob o gráfico de f de a 
até b 
Definição: 
 Se a > b, então 
b
a
dxxf )( = - 
b
a
dxxf )( , se a integral existir, 
 Se a=b 
b
a
dxxf )( = 0 
Teorema: Se f é contínua sobre [a,b] então f é integrável em [a,b]. 
Para integral definida temos várias aplicações dentro do campo da matemática como o cálculo 
de áreas, assim como também dentro da física no cálculo de Centro de Massa e o calculo do 
Trabalho realizado por uma força. Dentre os exemplos de aplicações citados acima vamos 
verificar o cálculo do Centro de Massa ( Centroide). 
A integral definida para cálculo do Centroide 
 O problema de determinar o centroide de uma região planar (R) é definido como o centro 
de massa da região. O centro de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem 
girar. As coordenadas ( x , y ) do centroide são dadas por 
 
 
  
2
1
)]()([
1
x
x
dxxxgxf
A
x 
  
2
1
)]()([
2
1 22
x
x
dxxgxf
A
y 
Exemplo: Achar as coordenadas do centroide da região limitada pela curva y
2
 = 2x e o eixo 
x, no intervalo [0,3]. 
 
 
 
 
 
 
Solução: Acha-se a área A 
62
3
33
22
3
27
22
23
222
3
0
233
0
21
3
0
























 
/
/ xdxxdxxA 
    
3
0
3
0
23
6
5
18
202 dxxdxxxAx / 
 y A = 
3
0
dx
y
x2
0
2
2






 = 
2
1

3
0
2 dxx = 
2
1
 . 2 . 
3
0
2
2
x
 = 
2
9
 
 
 
 
 
 
 
Percebemos então a importância que os conhecimentos sobre integração definida tem para a 
matemática assim como para a física. Esta importância pode ser percebida nos cursos de 
engenharia, onde tais conhecimentos se fazem necessários para o exercícios de função. 
x = 
62
6
5
18
 = 
10
18
 = 1,8 
y = 
62
2/9
 = 
64
9
 = 0,92 
 y = x2 (só a parte positiva) 
 
 1 2 3 
x 
y
2
 = 2x
 y