AULA_PILARES

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UNESP. l/a11rn!SP - Pilares de Co 11 crc10 Armado 
r 
1 
V 1 ( 19 x 50) 
r 
r:i ~ 
1 I' 1 
191-#9 
1 
1 
o 
00 
sr 
o 
v-, 
V'l 
o 
N 
V'l 
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_ L 
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I, 
1 
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V) 
1 
,,. 
. 1 
.1 
·7, 
\ ' 2 (1 4 x6ll) 
-
P 4 
l 91-f9 
V J ( l4 x60J 
P7 
19/,/9 
V4 
) 1 10 
19/ ,19 
( 19 X 50) 
500 
h = 12 cm 
h = 12 cm 
500 
1'2 
19/{J,5 
h = 12 ç 111 
õ 
'° K 
sr 
\Q 
;.,. 
1'5 
,H/f;o 
1 
1 
1 
1 
1 
PS 
1,14/50 
1 
1 
1 
1 
1 
1 ,. 
' 1 11 
1 191,19 
500 
h = 12 cm 
h = 12 mi 
~ºº 
Figura - Plu111u dejüm1u tlu p111 ·i111 c11tu tiµu clu l'Cli/i,·io
. 
1 
1 
1 
-
l i ( ) J 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
- =, 
1 
1 
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1 
1 
1 
11 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
2 
V) 
>< 
=-
<-
> 
• 1 
1 91,19 
PG 
191,19 
P9 
19/ -19 
P 12 
11J' IS 
UNESP. l/n11m!SP - Pilares de Concr<'IO .fr11indo 
6 Elementos Isolados ( PÍLA. RE 5) 
A NBR 61 18 (i tem 15.4.4) deline que são "considerados elementos isolados os seguintes: 
a) ele111entos estrnturnis isostáticos; 
b) ele111entos contrm·entados: 
e) ele111e11tos q11efa=e111 parte de estruturns de contrave111an1e1110 de nósjixos; 
d) ele111entos das subestruturns de contrnve11 ta111e11to de nós 1/'/Óveis, desde que, aos esforços nas 
extre111idades, obtidos em 11111a análise de J" ordem, sejall'I acrescentados os determinados por análise 
global de 2ª ordem." 
Nesta :ipostila s:io apresentados somente os clrnm:idos elementos (pil ares) contraventados. 
7 ÍNDICE DE ESBELTEZ 
O indice de esbe ltez I! a rnz?io entre o comp rimento de ílambagem e o ra io ele giração, nas direções 
a serem consider:id:is (NBR 6 11 8, 15.8.2): 
com o ra io de giração sendo: i=ff 
Para seção retangular o indice de esbeltez é: 
), = 3,46 f. e 
h 
onde: C, = comprimento de ílambagem; 
Eq. 22 
Eq. 23 
= raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal de concreto, não se 
considera ndo a presença de armadura); 
= momento de inércia; 
A= área da seção; 
h = di mensão do pilar na direção considerada. 
O comprimento ele ílambagem ele uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo, 
conforme os esquemas mos trados na Figura 14. 
F 
1/ 
1 
e. = L 
_j 
A. Simp 
e. = 0,7 L 
i 
1 e,= 0,5 L 
A. Simples Engasle Engasle E. Elas1ico 
Fig11rn 14 - Ca111pri111ento de Jla111bage111. 
Em função cio índice ele esbeltez máximo, os pila res poclern ser classi lic:iclos corno: 
a) Curto: se 1, ~ 35; 
F 
Eq. ~..i 
01 
UNESP, Ra11rn!SP Pilares de Co11crr10 Armado 
b) Médio se 35 < À $ 90; 
c) Mediannmente esbelto: se 90 < À $ 140; 
d) Esbelto: se 140 < À$ 200. 
Os pil :nes curtos e médios representnm a grande maioria cios pilares elas ed ilicações. Os pi lares 
rnedic111c1111ente esbeltos e esbeltos são muito menos frequentes. 
Em edilieios, a linhn clelormnclíl cios pilmes contrave11tc1dos apresenta-se como mostrncla na Figurn 
15a. Uma sirnplific:içào pode ser feit:i como indicada na Figura 15b. 
n' TETO n' TETO 
~ 
~ ~ __::z::-' 
( e e ) = e n \ fn 
11 
·1 n r, 
2" TETO 2' TETO 
!~ 
_x:::- ~ ~ 
1 
e2 fe2 = e2 11 
t~ 1 1' TETO (4 1' TETO ----.:sr::: ~ 
\ \ 
1 1 
(1 1 ee1 =d e1 1 
1 ,1 
I FUNDAÇÃO I FUNDAÇÃO 
~ 
1 .__t- ' 
I V--
'l777 7774 
a) situação real: b) situação simplificada. 
Fig11m 15 - Situação real e simplifrcndn de pilares contra ventados de edificios (SÜSSEKJND, 198-1). 
··},:as estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elem ento 
comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que 
ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efe!uada segundo a teoria de 
J" ordem .. , (NBR 6118, 15.6). Para casos de determinação do comprimento de ílambagem mais complexos 
recomenda-se a lein1ra de SÜSSEKTND ( 1984, v.2). 
Assim, o comprimento equivalente Cfc), de fl ambagem, "do elemento comprimido (pila,) , suposto 
vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: (Figura 16) 
I_J_ 
__ __, 1 ..__ ______ _ 
- -
1 
' 
1 
1 
h ,. 
Eq. 25 J 
, 
Ro Íot-h .e 
1 
1 
1 
1 
' 1 / 
1 '. 
Figura 16 - 1 ·ulurt!S clt' r., e (. 
0/h 
UNES?, Bn11m!S P - Pilnres rle Concreto Am1ndo 
O projeto de pilares de ve se basear sobre uma excentricidade 
mínima". dada pelo momento fletor mínimo. 
Na versfio de 20 14 da NI3R G 11 8 ( 11.3 .3.4.3), co mo na versão de 2003 , consta que o "efeito das 
i111pe1f eições locnis nos pilares e pilares-parede pode ser substituído, em estruturas retiwladas, pela 
consideração do momento 111ini1110 de / º orde111 dado a seguir" (item 1 1.3 .3 .4.3): 
Mld.m in = Nd (0,0 15 + 0,03 h) Eq. 34 
com h sendo a altura total da seção transversal na direção considerada, em metro (111) . 
"Nas estn1t11ras reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais es teja a/endido 
se fo r respeitado esse \'0/or de 1110111e1110 total 111í11i1110. A es te 1110111ento devem ser acrescidos os momentos 
de :!" ordem definidos na Seção 15 ." Portanto, ao se considera r o momento íl etor mínimo pode-se 
desconsiderar a excentricidade acidental ( e, - ve r Figura 18) ou o efe ito das imperfeições loca is. 
O mome nto fletor total máximo deve ser calculado para cada direção principal do pilar Ele leva 
em conta que, numa seção intermediária onde ocorre a exce ntricidade máxima ele 2ª ordem, o momento 
fletor máximo de 1 ª ordem seja corrigido pelo fator a.1,. Isto é semelhante ao que se encontra no item 7.5.4 
de FUSCO ( 198 1 ), com a diferença de que novos parâmetros foram es tabelecidos para O.b. Se o momento 
fletor de 1 ª ordem for nul o ou menor que o mínimo , então o momento tletor mínimo, constante na altura do 
pilar, deve ser somado ao momento tletor de 2ª ordem. 
Ainda no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118: "Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma 
envoltória mínima de 1 º ordem, tomada a favor da segurança," conforme mostrado na Figura 19. 
( 
Mld. m in, x ]
2 +( l\~ ld,min,v ) 2 = I 
M ld ,min,xx M ld,min,yy 
M 1ct.111ín.xx = N ct (0,015 + 0,03h) 
M 1ct,mín ,yy = N ct (0,01 5 + 0,03b) 
sendo: M 1ct. min ,xx e M 1t1.min,yy = componentes em flexão composta normal ; 
M 1ct.min,x e M 1ct. 111i n,y = componentes em flexão composta oblíqua . 
~ ,m,owª N0 (0,015 • 0.03b( 
/JLT MlCJ. rriri .n ~ N,,(0.015 • 0 .03h) 
b 
(SE,Ção transvcr S<.1 1) 
2 2 
( 
M 1 ,1.in ,11 ' ) 1_ ( M 1 d.rn in.y_) = 1 
M, d.rn,n ..... ;t' fvl \ ó, rn /n,yy 
(Envo ltória mfnlrna cJe 1 • ord c rn) 
My 
M,d.m;n,w 
Figura 19 - Envoltório míninw de 1 º urdem (N BR 611 8). 
Eq. 35 
"Neste caso, a verificação do n10111 e11to mínimo pode ser co11sidf!'c'1du atendida q11 ,wdo, no 
dim ensionamento adotado. obtém-se 11111(1 em 10/tória resislente q11e englobt! ( t enl'Olrúriu 111 íni111u clt· /-' 
ordem. Q11ondo ho11 ver a necessidade de calc11/ar os efei tos locais dt> 2'' ordem e111 ulg11111e1 clus direçães do 
pilar, a 1•erificaçao do 111omenta 111ini11w cle l'e considerar ainclu o enl'Oltúriu 111í11i11w cu111 }, ·' orclt·11 1, 
conforme 15.3.2 .'' 
03 
UNCSP. /lr, 111·11/SP - Pilnres c/c Co11cre10 .·lr111ndo 
10 SITUAÇÕES BÁS ICAS DE PROJETO 
Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser class ifi cados nos seguintes tipos: pilares 
intermediários, pi lares de extremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos básicos corresponde uma 
sitt1:iç:'lo de projeto dife rente. 
10. 1 Pil ar Intermediário 
Nos pi !:ires intermediários (Figura 21) considera-se a compressão centrada na si tuação de projeto, 
pois como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos íleto res 
transmitidos ao pi lar sejam pequenos e desprezíveis. Não existem, portanto, os momentos fl etores M,\ e M8 
de I O ordem nas extremidades do pi lar, como descritos _ 
PLANTA 
.... .. . 
SITUAÇÃO DE PROJ ETO 
Figura 2 / - Arrnnjo estmt11ra/ e situnçao de projeto dos pilares i11rcm1cdi,ír ios. 
04 
UNESP. nnuru/SP - Pilares rle Co11crC10Ar111nrlo 
10.2 Pilar de Extrrmidade 
Os pik1res de extremidc1cle, de modo gemi, encontram-se posicionc1dos nc1s bordc1s clc1s ecl ifi cc1ções, 
sendo também chc1mados pilares latera is ou de borda. O termo " pilar ele extremiclacle·' advém do foto do 
pilar ser ex tremo para uma viga, aquela que não tem continuidc1 cle sobre o pilar, como mostrnclo nc1 Figura 
22. Na situa,·ào de projeto ocorre a fl exão composta normal, decorrente da não cont inuidade dc1 vigc1 . 
Existem, port;-into, os momentos tletores M A e M li ele I " ordem em uma di reçào cio pi lar, como descritos . 
O pilar de ex tremidade não ocorre necessariamente na borclc1 clc1 edificação, ou seja, pode ocorrer 
na zona interior de uma edil'íca,·ão, desde que uma viga não apresente continuidade no pi lar. 
Nas seções de topo e base ocorrem excentri cidades e1 de I " ordem, na direção principa l x ou y cio 
pilar 
M e - A 
l ,A - N 
d 
e 
PLANTA 
y 
e, J, 
'! 
Nd 
SITUAÇÃO DE PROJETO 
Figura 22 - Arranjo estrutural e situaçiío de projeto dos pilares de extremidade. 
Eq. 42 
X 
Os momentos fl etores M A e M il são devidos aos carregamentos vert icais sobre as vigas, e obtidos 
calculando-se os pilares em conjunto com as vigc1s, formando pórticos planos, ou, de uma maneira mais 
simples e que pode ser fei ta manualmente, com a aplicação das equações já c1presentadc1s em BASTOS 
(2015).6 Conforme a Figura 23, os momentos fletores, nos lances inferior e superior do pilar, são: 
M;,,f = M eng ___ r""'in-'--f __ _ 
rinf + rsup + rviga 
fsup 
M sup = M eng ____ _____ _ 
1inf + 1sup + fviga 
com: M011g = momento lletor ele engc1s tamento perl'e ito na ligação entre a vig.a e 0 piL1r: 
Eq. 43 
Eq-+4 
6 BASTOS, P.S.S. Vigos de Co11cre10 Ar111rulo. Disciplina 2 12J - Es1rn1ur:1s de ( '011 .:re1,, l l. ll:1u,u SP. Dq>.11 t:1 111,·111u Ens,·nh:Ht.1 
Civi l, Facu ldade de Engc:nlmia - Universidade Es1:1du:d l\ 1ulis1a, j1111/~0 15, ~6p. 
ht I p://wwwp. frb. un<:sp . br/pbaslos/p:1g_ rnnerelu2 .hl 111 
05 
UNES?. Baum!SP - Pi/ar fs de Concreto Armado 
r = 1/e = índi ce de rigidez relati va; 
1 = momento de inércia da seção transversa l do pi lar na direção co nsicleracla ; 
pil;ir. 
e = vão efetivo do tramo adjacente da vi ga ao pilar ex tremo, ou comprimento de tl am bagem cio 
Na determinação dos momentos fl etores de 1 ª ordem que ocorrem nos pilares de eclificios de 
pavimentos deve-se considerar a superposição dos efeitos elas vigas cios diferentes níveis (Figura 23 ). 
Considerando-se por exemplo o lance (tramo) do pilar co mpreendido entre os pavimentos i e i + 1, os 
momentos tlctorcs na base e no topo do lance são : 
MbJse = M sup ,í + 0,5 M ínf.í + I 
Eq . 45 
M = M 1- + OS M topo 111 ,1+ ! , sup ,i 
Se os pavimentos i e i + 1 forem pavimentos tipo, ou seja, idênti cos, os momentos fl etores na base 
e no topo serão iguais e: 
M sup., = M ,nf,i+I 
M hase = M 1opo = 1,5 M ,up,i = 1,5 M ,nf,i+I 
i M sup 
M viga 
M inr 
' 
pilar de extremidade 
tramo extremo 
inf 
Eq.46 
M inf,i+1 + f M sup,i nível (i + 1) 
M sup,i + f M inf,i+1 nivel i 
M inf,i + ~ M sup.i-1 
M sup,i-1 + ~ M inf, i nível (i - 1) 
Figura 23 - Momentosjletores nos pilares de extremidade provenientes da ligação com a 
viga nào contínua sobre o pilar (FUSCO, 1981). 
10.3 Pilar de Canto 
De modo geral , os pilares de canto enco ntrnm-se posicionados nos ca ntos dos edificios, vindo daí o 
nome, como mostrado na Figura 24. Na situação ele projeto ocorre a fl exão composta ob líqua, decorrente 
da não continuidade dils vigas apoiadas no pilar. Ex istem, portanto, os momentos tl etores M., e i'vl l! ele !·' 
ordem, nas suas duas direções cio pi lar, ou seja, e1x e e1 y. Esses momentos podem ser ca lculados cl:\ m,•s m:i 
fo rma como apresentado nos pi lares de extremidade. 
06 
UNES?, /l(lllrtt/SP - Pilares rle Co11cre10 Ar111nrlo 
PLANTA 
y 
X 
SITUAÇÃO DE PROJETO 
Figura 24 - Arranjo estrutural e situaçc10 de projeto dos pilares de canto. 
UNESP. lln11m/SP Pi!nres d<' Concreto Armado 
12 SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO 
O dlculo dos pilares pode ser feito diretamente dos valores da força normal e do momento íletor total máximo solicitante no pilar, sem se explicitar as excentricidades da força Nu . Por outro lado, o cálculo também pode ser fei to explicitando as excentricidades, que são funções dos momentos íletores. No dimensionamento dos pilares, conforme a antiga NB 1 /78 , o cá lculo era feito considerando-se as excentricidades. Já a NBR 611 8 de 2003 introduziu o momento lletor míni mo e a equação do momento íletor total ( M ct.101), direcionando de certa forma o cálculo via momentos íletores e não via as excentricidades. Claro que o cálculo correto, em função dos momentos íletores ou das excentricidades, conduz aos mesmos resultados. 
08 
- - -----para ),mh $; 90. 
As excentri cidades a serem consideradas são as seguintes: 
a) Excentricidade de r ordem 
M1d,A 
é!A = ---
' Nct 
b) Excentricidade minima 
e1 .11 11 n = 1,5 + 0,03 h 
c) Excentricidade de 2" ordem 
? 
0,0005 e e-
e2 = (v+0,5)h 
com v délínido 
Mld, 13 
e1 ,B =-N-
u 
, com hem cm 
Eq. 50 
Eq. 51 
Eq. 52 
UNESP. !Jn 11m/SP Pi/ores de Concreto Ar111ndo 
13 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 
No di111ensionamento dos pilares fei to manualmente, os ábacos são imprescindíveis, porque 
permitem a rápida deter111i nação da taxa de armadura, sem necessidade de aplicar as equações teóricas da 
Flexão Composta Normal ou Oblíqua. Além disso, os ábacos proporcionam a fác il esco lha de diferentes 
arranjos de ar111adura na seção transversal. 
Nesta apostila serào aplicados os ábacos de YENTU RJNI (1987)
7 para a Flexão Composta Normal 
e de PINHEIRO (1994)R para a Flexão Composta Oblíqua Esses ábacos devem ser aplicados apenas no 
dimensionamento de pilares com concretos do Grupo I de resistência u:k ~ 50 M Pa) , porque foram 
desen\·olvidos com alguns parâmetros numéricos que não se apli cam aos concretos do Grupo 11 . 
Para cada caso de solicitação, ábacos diferentes podem ser uti lizados, no entanto, o ábaco deve ser 
escolhido de modo a resultar na menor armadura, e assim a mais econômica. 
13. 1 Flexão Composta Normal 
A Figura 3 1 mostra a notação aplicada na utili zação dos ábacos de VENTURTN I ( 1987) para a 
Flexão Composta Normal (ou Reta). A distância d' é paralela à excentricidade (e), entre a face <la seção e o 
centro da barra do canto. De modo geral tem-se d' = c + ~. + ~1/2, com c = cobrimento de concreto, ~. = 
diâmetro do estribo e ~ 1 = diâmetro da barra longitudinal. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
1 
1 
h/21 
h/2 
.__ _ _ b _ _ ~ d' 
Figura 31 - Notaçr7o para a Flexão Co111pos1a Nor111al (VENTUR!NI. I 987). 
7 VENTURI NI, W.S. Di111e11sio11ame11to de peças reto11g11/ore.1· de concretu ar111aclo solicitadas â jl<'xcio reta . S3,, Carlo
s, 
Departa111c1110 de Engenharia ele Eslrut uras, Es,ola ck Engenharia d~ S:)o Carlos - USP, 1 '.1~7. Disp@
í\·t'I t'rn 
h11p·//wwwp. leb un~sp.br/pbastos/pag_concreto2 ht,n 
x PI NHEI RO, L.M. ; l:lA IZALDI, L.T. ; POIZEM, M.E. Cu11cretu .·lm1aclo · .-i'lmcos µarc1jl,·x110 obliqua . S:i,, Carlus, D<.'p:t
rt.HnL'nt,1 
de Engênharí a de Es1rut uras, Eswla de Engenharia d~ S:)u C~rlus - USP, 19'.i-l Dispu11
1 \"~I enr 
h11p.//w,~,wp. l.:b.unesp. br/pbastos/p~g_ rnnrn:!02. hlm 
09 
UNESP, Ra1111t!SP- Pilares de Concreto Amrado 
As equnções µnrn n construção cios úbacos foram apresentadas na publ icação de VENTURINI 
( 1987). A detenninnç,1o da armndurél longitudinél l é iniciadél pelo cá lculo dos es forços éldimensionc1 is v (ni) 
e ~l (mi). O valor adimensional v fo i definido nél Eq. 20: 
O valor de p, em 11.mção do momento íletor ou da excentricidélde, é: 
e 
p =\'-
h 
, Oll 
com: Nd = força normal de cálculo; 
Ac = área da seção transversal do pilar; 
fcd = resistência de cálculo do concreto à compressão (fcklYc); 
M ct.101 = momento íletor total de cálculo; 
h = dimensão do pilar na direção consideradél ; 
e=excentricidade na direção considerada. 
Eq. 54 
Eq. 55 
Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar, determina-se o ábaco a ser 
utilizado, em função do tipo de aço e do valor da relação d'/h. No ábaco, com o par v e p, obtém-se a taxa 
mecânica w. A armadura é calculada pda expressão: 
A = _w_A_c _fc_·d 
s f yd 
Eq. 56 
,1 0 
UNHSP. /1n111·11ISP P,/nres de Concreto Armado 
14 RELAç.~O ENTRE r\ DIMENSÃO MÍNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO 
Os pilares com seção transversal retangular são diferenciados cios pilares-parede em função ela 
relação entre os belos, conforme a regra (Figura 33): 
hs5b ➔ pilar Eq 59 
h > 5b ➔ pilar-parede 
~[I 
/ / 
1 
/ / / / 
/ 
/ / 
1~ h -~ 
Figura 33 - Classificação dos pilares e pilares-parede de seção retangular. 
A NBR 61 I 8 (item 13.2.3) impõe que ''A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, 
qualquer que seja a sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais. 
permite-se a co11sideraçüo de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se m11/tipliq11e111 os esforços 
solicitantes de dtlcu/o a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional y,, , d1: 
acordo com o indicado na Tabela 13. 1 e na Seção 11 . Em qualquer caso, não se permite pilar com seçâo 
transversal de área inferior a 360 cm
2
.", o que representa a seção mínima de 14 x 25,7 cm. A Tabda 4 
apresenta o coeficiente adicional. É importante salientar que o texto indica que todos os esforços 
solicitantes atua ntes no pi lar devem ser majorados por Yn , ou seja, a força normal e os momentos tkroro:-s 
que existirem. 
Tabela 4 - C oe[tcie11te adicional r,, parn pi/ares e pilares-parede (Tabela / 3. 1 da 1\BR 6118). 
b ~ 19 18 17 16 15 14 
Yn 1,00 1,05 1,10 1, 15 1,20 1,25 
Not~: O coclicicntc Yn deve 111~,iornr os esfo r\'.OS solicit:inks r,n:iis d,' ' 
cálculo quando d-: Sl.! ll di111 i.!nsiona111ento. 
Yn = 1,95 - 0,05 b 
b = 1m:nor di111ensào d:1 set;~o transversal (ern). 
UNESP. llr111rn!SP - Pilares de Co 11 CJ'C' IO Armado 
IS CÁ LCU LO DOS PILARES INTERM EDIÁRIOS 
JS .. 1 Roteiro d(' Cálrnlo 
No pil:1r int ermedi:\rio, dev ido à continuidade das vigas e laj
es sobre o pi lar, tem-se gue os 
momentos tletores de 1 ª ordem s~o nulos c 111 ambas as direções d
o pilar (M A= Mu = O) , portanto, e1 = O. 
:1) Esfor~'OS sol icit:1ntes 
A força norm:1I de dlcul o pode ser determinada como : 
;s,J d = Yn • Y1 . N, 
onde: ~k = força norma l c:iracterística do pilar; 
Yn = coefic iente de majoração d:1 fo rça normal (Tabela 4) ; 
Eq . 60 
yr = coeficiente de ponder:1ção das ações no ELU (definido na Ta
bela 11 . 1 ela NBR 6 11 8). 
b) Índice de esbeltez (Eq. 22 e Eq. 23) 
. [f l= -
A 
➔ para seção retangular: À 
3,46 e e 
h 
c) Momento fletor mínimo (Eq 34) 
M,ct.min = Nct ( 1,5 + 0,03 h) , com h = dimensão do pilar, em cm, n
a direção considerada. 
d) Esbeltez limite (Eq. 28) 
25 + 12 5 ~ 
1 _ ' h 
/1.1 -
, com 35 S ),1 S 90 
e, = O para pilar intermediário. 
Às; 'A, ➔ não considera-se o efei to local ele 2ª ordem na direção co
nsiderada; 
À> 'A, ➔ considera-se o efeito local ele 2ª ordem na direção consid
erada. 
e) Momento de 2ª ordem 
e 1) Método do pi lar-padrão com curvatura aproximada 
Determina-se Mct,101 com a Eg. 33 : 
? iM _ €; 1 ld ,A 
Md ,101 - ª ·b · M1 d,A + Nd -- ::::>: 
10 r M1d ,111in 
, e M 1d.A ::::>: M1 c1 .11, 11, 
-1c2 
LINESP. lln11ni!SP - Pilares d<' Concn •io .1rlllndo 
Os seguintes tfadus s~o comuns c 111 tudus us exemplos : concreto C20; aço C A-50 : 
d' = 4.0 crn : codicientes de ponderação: Yr = yr = 1,4 e y, = 1, 15. 
1 ~.2 Exemplo 1 
Di mensionar a anrndura longitudinal verti ca l do pi lar mostrado na Figura 34, sendo conhecidos: 
N, = 785.7 kN seção transversal 20 x 50 (A, = 1 000 cm~) 
1.·omprimento equivalente (de tb mbagern): e,.,= ecy= 280 cm 
' y 
E E 
(,) (,) 
I 
-1 o o O'.) O'.) 
N N 
• 
>- Nd ., s3 "-' 
1~ hx = 50cm ,., 
Figura 34 - Posição do pilar em relaçiio ás vigas, vinculas na base e no topo nas direções x e y, 
dimensões da seção transversal e situação de projeto. 
RESOLUÇÃO 
X 
Embora a armadura longitudinal resul tará do cálculo segundo a direção de menor rigidez do pilar 
( dir y), a título de exemplo será demonstrado também o cálculo segundo a direção x. 
a) Esforços solicitantes 
A força normal de cn lculo é (Eq. 60) : Nt1 = Yn. yr. Nk = 1,0. 1,4. 785,7 = l .100 kN 
com 'Yn determinado na Tabela 4, em função da largura da seção transversal do pi lar. Tratando-se de um 
pilar intermediário, não ex istem momentos íletores e excentricidades de 1 ª ordem em ambas as direções do 
pilar. 
b) Índice de esbeltez (Eq. 23) 
O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e y, conforme os eixos mostrados na 
Figura 34. A fim de padroni zar e simplificar a notação, aqui considera-se a direção, e não o ei.\o do pi lar, o 
que pode ser diferente de considerações adotadas em outras disc iplinas . 
10 
= 3,46 e~x = 3,46 -280 = 19 4 
x h x 50 ' 
3,46 e~y 3 46. 280 
À =-~ = ' =48 4 
y h 20 ' 
y 
13 
UNCSP, ll r1111·11/SP Pilnrc>.1· de Co11crr 10 Ar111ndo 
,) Momen to tlctur rnlni1110 
O momento llctor mín i1110, cm cada direção, 0 ca lcu lado com a Eq. 34: 
M ltl,min = Nd ( 1,5 + 0,03 h) , Cü lll h Clll C111 . 
( ) 
3300 
Di1 . x. M1.i.111111., = 11 00 l.5+ 0,03 . 50 = 3.300kN.cm , e1,.11110 = --= 3,00cm 11 00 
( ) 
23 10 
Di r. y: M1<1,111in.)= 1100 l.5+ 0,0J . 20 = 2.3 10kN.cn1 , e1y,m;11 = --=2,IOcm 11 00 
Esbeltez limik (Eq. 28 ) 
25 + l2,5 el 
À.1 = h , com 35 :::: À. 1 :::: 90 
ª11 
Nos pilares intermedi6rios não ocorrem momentos íletores e excentri cidades de 1 ª or
dem, daí e, = 
O e ah= 1,0 (ver item 8.3 ) Assim: 
À.1 ., = À.1 ,v = 25 ~ 35 ➔ ,', À.1 ,x = À.1 ,y = 35 
Desse modo: 
À.,= 19 ,4 < À.1 ., ➔ :. não são considerados os efeitos locais de 2" ordem na direção 
x; 
À.)= 48 ,4 > À.1 .1 ➔ :. são considerados os efeitos locais ele 2" ordem na dir
eção y. 
Em pilares retangulares correntes, gera lmente há a necessidade ele co nsiderar a excen
tricidade de 
2º ordem na direção da largura do pilar. 
e) Momento f1eto r de 2ª ordem 
O momento de 2" ordem será ava liado pelo método do pilar-padrão com curvatura 
aproximada 
e 1) Método do pilar-padrão com curvatura aprox imada 
n2 lM te 1 ld, A 
Mt1,101 = a b M1u ,A + Nd -- ~ 
10 r M1d,111in 
, e M ld,A ~ M ld,min 
Força normal adimensional (Eq. 20): 
V=~= ]]00 =On 
Ac. fcd 1000 2,0 , 
1,4 
Curvatura na direção y suje ita aos momentos íletores ele 2" ordem (Eq. 19): 
1 0,005 
~= h(v+0,50) 
0,005 1 9685 . 10-4 cm-1 ~ O,h005 = 2,5 . 10-4 cm-1 
20 (0,77 + 0,5) ' 
-> ok 1 
A excentricidade máxima de 2ª ordem na direção y é (Eq. 17): 
? J 
e?y = iL ~ = 280 - 1,9685 . 10-4 = 1,54 cm 
- 10 r 10 
Com u.b = 1,0 e fa zendo M ld.A = M ld.mir1 em cacb direção, lem-se os momentos lletores lotai s em
 
cada direção principal do pilar: 
Dir. x: M.i,1<,1,., = M1<1 ,11,i11,x = 3.300 kN .cm 
Dir. y: Mt1 ,tu1, y = 1,0 . 23 10 + 1100 
2
~~
2 
1,9685 . 10-
4 = 4.008 kN .cm 
Mt1,1u1,y = 4.008 kN .crn ~ M 1<1.11,i11 ,y = 2.3 1 O kN .cm ➔ ok
1 
UNES?, Bauru/SP - Pilares de Co11creto Armado 
3300 = O 05 
50 . 1000
2'º , 
1,4 
ou µ = V e.., = 0 77 
3,00 = 0,05 
h ' 50 
X 
d' 4 O 
_ x = -'- = 0,08 = 0, 10 
11:,, 50 
➔ com o Ábaco A-25 : w = 0,05 
Outros ábacos di fe rentes do A-25 podem ser utili zados, no en tanto, es te ábaco é interessante 
porque n~o fixa o número de barras a serem dispostas na seção transversal, fixa apenas as faces d
o pilar 
que devem alojar as ba rras. Neste caso, o ábaco A-25 proporciona que as barras sejam di stribuídas 
no lado 
maior do pilar. 
Observe que o ábaco A-25 tem a armadura posicionada na direção paralela à excentricidade - e 
(ver figura no ábaco) da força normal N0 , portanto, na direção horizontal paralela à excentricidad
e e1,.min 
, co incidente com o lado maior do pilar. 
Dir. y: 
µ = Md,lo l y 
h y . Ac. f,d 
d' 
_ Y = 4,0 = 0 20 
hy 20 ' 
4008 
20 . 1000 
2·º 
1,40, 14 ou µ =V~ = 0 77 
3
'
64 
= 0 14 
h ' 20 ' 
y 
➔ com o Ábaco A-4: w = 0,38 
Para a so licitação na direção y o ábaco A-4 é compatível com o ábaco A-25 da direção x, pois 
proporcio na o mesmo arranjo de barras do ábaco A-25 na seção transversal, ou seja, as barras di st
ribu ídas 
ao longo do lado maior do pilar. Isso é mostrado na figura do ábaco A-4, onde a armadura é posicio
nada na 
direção perpendicu lar à excentricidade da força normal N<1 , portanto, na direção hori zo ntal perpend
icular à 
excentricidade total , e coincidente com o lado maior do pilar. 
A maior armadura resulta do maior valor de w, de 0,38 como esperado: 
O 38 1000 
2
,
0 
' . l ,4 = 12,49 cm2 
50 
1,15 
UNESP. /ln,11·11!.'SP - PilnrPs de Concrt'ro Armado 
'18. DETAL/1AM EN T O DE Pi LA RE5 
18.1 Armadura Longitudinal de l'ilan•s 
As di sposi1,·ões relativas à armadura longitudinal dos pil an:s encontram-se no item 18.4 2 da NBR 
6118. 
18.1.1 Di:1mrtro Mínimo 
O diâmetro d:is barr:is longitudinais (~>1) eleve ser: 
l~ 10 11111l ~r b <-- 8 
com b sendo :i menor dimensão da seção transversal do pilar. 
18.1.2 Distribuição Transversal 
Eq. 6 1 
NBR 6118 ( 18.4.2.2): ''As arrnad11ras /ongi!udinais devem ser dispostas na seçc10 /ransversal, de 
forma a gamntir a resistência adequada do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo 
menos 11111a barra em cada ,·értice; ern seções circulares. 110 mínimo seis barras distribuídas ao longo do 
perímetro. 
O espaçamento mínimo !i1'1'e entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seçao 
trans,·ersal, fo ra da região de emendas, deve ser igual 0 11 superior ao maior dos seguintes valores:" 
{
2 cm 
e min,l,vre ~ ~r , ~ fe ixe , ~luva 
1,2d máx. agr~g 
onde: ~' = diâmetro da barra longitudinal ; 
~ 1e ,xe = ~n = ~ );:;-, onde n é o número de barras do feixe; 
Eq. 62 
dmá,. ag« g = dimensão máxima característica do agregado graúdo ( 19 mm para brita 1 e 25 mm para 
brita 2). 
'·Esses valores se aplicam /ambém ás regiões de emendas por !raspasse das barras. Quando 
estil ·er previs/o no plano de concre1age111 o adensamen/o através de abertura lateral na face da f orma, o 
espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador. 
O espaça111ento máximo enlre eixos das barrns, ou de cenlros de f eixes de barrns. deve ser: 
{
2 b 
e . . < 
lll il X,é lXOS - 40 cm 
com b sendo a menor dimensão da seção transversal do pi lar. 
18.1.3 Armadura Mín ima e Máxima 
A armadura longitudinal mínima é ca lculada por (item 17.3.5.3. 1): 
A, min = 0,15 ~ ~ 0,004 AC 
, f yd 
Eq. 63 
Eq. 64 
16 
UNESP. /ln11rn/SP - Pilares de Concrrto Ar111nrlo 
onde: N<1 = ro rçn norrnnl de cálculo; 
Í yd = res istêncin de cá lculo de início de escon mento cio aço ; 
Ar= área da seção transversal do pil nr. 
A armadura longitudinnl m~ xima (item 17.3 .5.3.2) é clacln por : 
Á s.mó,= 0,08 A c Eq. 65 
·'A 111á.Yi111a armadura JNt mitida e111 pilares de,•e considernr inclusive a sobreposir;ao de armadura 
existente em regiões de emenda, devendo ser ta111 bé111 respeitado o disposto e111 18. -1. 2.2.'' 
J 8.1 .4 Delalh~1111l'nto da Armadura 
Bioro d\.' 
Fundaç;'1u 
4° A111 l,1 r 
Jº And:ir 
2u /\miar 
Figura 7 3 -Arranjos longitudinais típicos em edijicios (FUSCO. 2000). 
18, 1.5 Proteção contra Flambagem 
No item 18. 2.4 da N13R 6 1 18 enco ntra-se : "Sempre que houver possibilidade de Jla mbage111 dos 
barras da armadura, situadas )111110 á s11pe1ftcie do elemento es trn111rnl, de1·em ser tomadas precauções 
para evitá-la. Os eslribos poligonais garantem contrn a jlambagem os bo,.,.as longit11di11ois situadas em 
seus cantos e as por eles abrangid(ls, situadas no 111 áxi111u á distância 20</>, du can to, se nesse frecho dt· 
co111pri111ento 20rp, nao houver mais de duas barms, nâo contando a de canto. Quando hu1 11 ·er mais dt' duas 
barrns nesse trecho 011 barm fora dele, de,1e ha ver estribos s11ple111 e11tores. 
Se o es tribo s11plemenlar J'or constituído por 11111 a barrn reta, term inada em ganchos (90 º a 180°). 
ele de,·e otravessar a seçüu du ele111 e11tu estrnturnl, e os seus gane/tos cle,·e111 c11 ,·u /l ·cr a ba/'/'u 
longit11di11a /." (ver Figura 74 e 1:igura 75). 
1+ 
UNES?. Bn11r11/S P - Pilares de Concreto Ar111 ndo 
L ----+---------------
e 
Figura 74 - Proteção contrajla111bage111 das barras, segundo a NBR 611 8. 
20 <l>t 
20 <l>t 1 
1 
~I 
Figura 75 - Critério para proteçao das barras longitudinais contra ajlambagem. 
"No caso de estribos cun1ilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, nao 
há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva 
de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de 
um eslribo reto ou p elo canto de um estribo poligonal." 
18.2 Armadura Transversal de Pilares 
"A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos 
suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sl!a colocação na região de 
cruzamento com vigas e lajes." (NBR 6118, 18.4.3). O diâmetro dos estribos em pilares deve obedecer a: 
{
5 mm 
~l 2 <l> e/ 4 
Eq. 66 
"O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o 
posicionamento, impedir a jlambagem das barras longitudinais e garontir a costura das c111e11das de 
barras longitudinais nos pilares l!Suais, deve ser" : 
{
20 c m 
smáx ~ b (me nor dim e nsão do pibr) 
24<!>e para CA - 25 , l 2q> e para CA - 50 
Eq. 67 
18 
CA-50A 
2,6 
- -1 
ÃBACO A-25 
ys 1 , 15 
1 
1 - -- ' 
- --i 
1 
í 
1---- -1 
1 . z 
OOM I NIO 
\ 
j_ 
d ' /h = 0 ,1 0 
1 
' __J ---
- I 
-1 -
J 
, O 
3 -' l<l: 
1 <> ·---i ~ 
: - 1 1-
ÁBA CO A-4 
CA-50A 1 , 15 d
' / h 0 , 20 
2,4 
2 ,2 
2/J 
1,8 
I_ ___ _ 
1,6 
1, 2 
o,s 
0 ,6 
º·" 
0,2 
0 , 2 
0,4 
0,6 . 
,--1- 1 ·1-i . ··-1---.J ·,-
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0,8 
1, 0 
1, 2 
1, 4 
1 ,6 
1 , o