complexos 1

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Complexos na Forma Algébrica – 2019 - GABARITO
1. Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i + 1)8 é: 
a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i
Solução. Considerando que (i + 1)2 = i2 + 2i + 1 = -1 + 2i +1 = 2i, temos:
(i + 1)8 = [(i + 1)2]4 = (2i)4 = (2)4.(i)4 = (16).(1) = 16.
2. Sendo i a unidade imaginária dos números complexos, obtenha:
a) b) c) 
Solução. Resolvendo as operações e utilizando as propriedades das potências de i, temos:
a) .
b) .
c) .
3. (UERJ) João desenhou um mapa do quintal da sua casa onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos Ox e Oy com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x,y), nesse sistema, e a representação de um numero complexo z = x + iy, x є IR, y є IR e i2 = – 1. 
Para indicar a posição (x1, y1) e a distancia d do cofre a origem, João escreveu a seguinte observação no canto do mapa: x1 + iy1 = (1 + i)9.
a) Calcule as coordenadas (x1, y1). b) Calcule o valor de d.
Solução. A distância “d” será do ponto (x1, y1) até (0,0). Temos:
a) .
b) A distância é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 16 e 16. Logo, 
.
4. O número complexo em que i2 = -1 é igual a:
a) b) c) d) e) 
Solução. Multiplicando e dividindo os termos pelo conjugado do denominador, temos:
.
5. Encontre os resultados:
a) i2007 + i2009 + i2006 + i2008 = b) i-343 = c) 
Solução. Aplicando as propriedades das potências de i, vem:
a) i2007 + i2009 + i2006 + i2008 = i3 + i1 + i2 + i0 = - i + i - 1 + 1 = 0.
b) .
c) .
6. (FUVEST) Sabendo que a é um número real e que a parte imaginária do número complexo é zero, então a é:
a) – 4 b) – 2 c) 1 d) 2 e) 4
Solução. Multiplicando e dividindo os termos pelo conjugado do denominador, temos:
.
7. (MACKENZIE) Se i2 = – 1, então (1 + i).(1 + i)2.(1 + i)3.(1 + i)4 é igual a: 
a) 2i b) 4i c) 8i d) 32i
Solução. Utilizando as propriedades das operações e potências de i, temos:
.
8. Resolva, em C, as equações:
a) 3x + 3i = 11 + 2xi b) x2 – 10x + 29 = 0
c) , em que representa o conjugado de z.
Solução. Considerando z = a + bi, quando necessário e utilizando as fórmulas de resolução de equações quadráticas, temos:
a) .
b) .
c) .
9. (UNESP) Considere os números complexos w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a e um numero real positivo e i indica a unidade imaginaria. Se, em centímetros, a altura de um triangulo é e a base é a parte real de z.w, determine a de modo que a área do triangulo seja 90cm2.
Solução. Calculando os valores da base e altura do triângulo, temos:
.
10. (UNESP) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então o conjugado de z, será dado por
a) – 3 – i b) 1 – 3i c) 3 – i d) – 3 + i e) 3 + i 
Solução. Calculando a multiplicação, temos:
.
11. (UNESP) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são , e . O quarto número tem as partes real e imaginária positivas. Esse número é:
a) 2 + 3i b) c) 3 + 5i d) e) 4 + 5i
Solução. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. As coordenadas do ponto médio entre dois pontos são as médias aritméticas das coordenadas desses pontos. Identificando as coordenadas dos complexos, temos:
.
O ponto médio entre Z2 e Z3 é o mesmo entre Z1 e Z4.
.
Logo, .
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