Circuitos Lógicos - Sistemas de Numeração

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Universidade Federal de Campina GrandeUniversidade Federal de Campina Grandepp
Engenharia ElétricaEngenharia Elétrica
Ci i Ló iCi i Ló iCircuitos LógicosCircuitos Lógicos
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Contexto/Motivação
Exemplo de Sinal Analógico (contínuo em amplitude)Exemplo de Sinal Analógico (contínuo em amplitude)
Ex. :
Sinal elétrico na 
saída de um 
microfonemicrofone
Contexto/Motivação
Como “tratar” os sinais à nossa volta?
Ex. : Como multiplicar por 
2 (amplificar) o sinal ( p )
anterior?
????????
S l ã A ló i
Contexto/Motivação
Solução Analógica
Exemplo de circuito de um 
amplificador analógico
M “ ” i i d í i di i l??Mas como “tratar” sinais no domínio digital??
Contexto
Primeiramente, é necessário saber representar (atribuir valores a) a 
li d d i iamplitude dos sinais em questão.
CONVERSOR
ANALÓGICO
Como representar 
valores?ANALÓGICO
DIGITAL
(ADC)
valores?
C/ os algarismos
indo-arábicos(ADC)
(ex. 123 0.45 ...)??
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Tipos de grandezasTipos de grandezas
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Tipos de grandezasTipos de grandezas
♦♦ AnalógicaAnalógica ≡ contínua♦♦ AnalógicaAnalógica ≡ contínua
♦♦ DigitalDigital ≡ discreta (passo a passo)
6
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Representações de informaçõesRepresentações de informações
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
7
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
♦ Código mais comum ⇒ BINÁRIO
Por que é utilizado o sistema binário ?Por que é utilizado o sistema binário ?
8
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
♦ As informações podem ser representadas com
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
♦ As informações podem ser representadas com
apenas dois estados possíveis - eles são totalmente
adequados para números binários.adequados para números binários.
O O –– desligadodesligado
bitbit
1 1 –– ligadoligado
♦ Número binário: bitbit [de “BBinary digITIT”]
9
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
♦ Um bit pode representar apenas 22 símbolos (0 e 1);
♦♦ NecessidadeNecessidade - unidade maior, formada por um
conjunto de bits, para representar números e outrosj , p p
símbolos.
10
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Capacidade de representação:Capacidade de representação:
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Capac dade de ep ese taçãoCapac dade de ep ese tação
BitsBits SímbolosSímbolos
2 42 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
88 256256
9 512
11
10 1024
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
♦♦ BYTE BYTE ((BInaryBInary TErmTErm))
Grupo ordenado de 8 bits para efeito de manipulação– Grupo ordenado de 8 bits, para efeito de manipulação 
interna mais eficiente
– Tratado de forma individual, como unidade de ,
armazenamento e transferência. 
– Unidade de memória usada para representar um 
tcaractere.
12
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Partes do conjunto de caracteres ASCIIPartes do conjunto de caracteres ASCII
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
BinárioBinário CaractereCaractere
0100 0001 A
0100 0010 B
0110 0001 a
0110 0010 b
0011 1100 <
0011 1101 =
0001 1011 ESC
0111 1111 DEL
13
Sistemas de Numeração
Um sistema de numeração propicia contar, e atribuir um conjunto deUm sistema de numeração propicia contar, e atribuir um conjunto de
símbolos ou algarismos a uma determinada quantidade.
Coleção Representação 
DecimalDecimal
* 1
** 2
Exemplo:
2
***** 5
Sistemas de NumeraçãoSistemas de NumeraçãoSistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
SistemaSistema dede NumeraçãoNumeração
♦ Conjunto de símbolos utilizados para representação♦ Conjunto de símbolos utilizados para representação
de quantidades e de regras que definem a forma de
representação.
♦ A quantidade de algarismos disponíveis em um dado
sistema de numeração é chamada de basebasesistema de numeração é chamada de basebase.
♦ Representação numérica mais empregada: notaçãonotação♦ Representação numérica mais empregada: notaçãonotação
posicionalposicional.
15
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Notação PosicionalNotação Posicional
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Notação PosicionalNotação Posicional
♦ Valor atribuído a um símbolo dependente da posição♦ Valor atribuído a um símbolo dependente da posição
em que ele se encontra no conjunto de símbolos que
representa uma quantidade.
♦ O valor total do número é a soma dos valores
relativos de cada algarismo (decimal).
Sistema de numeração Sistema de numeração decimaldecimal
735 573735 573
16
700 30 5 500 70 3
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Notação Não PosicionalNotação Não Posicional
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Notação Não PosicionalNotação Não Posicional
♦ Valor atribuído a um símbolo é inalterável,
independente da posição em que se encontre no
conjunto de símbolos que representam uma
tid dquantidade.
Sistema de NumeraçãoSistema de Numeração RomanoRomanoSistema de Numeração Sistema de Numeração RomanoRomano
XXI XIXXXI XIX
10 10 1 10 1 10
17
10 10 1 10 1 10
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema de NumeraçãoSistema de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
♦ Sistema de numeração – códigocódigo
Sistema de NumeraçãoSistema de Numeração
♦ Sistema de numeração códigocódigo
♦ Operação básica – contagemcontagem
♦ Grupo com um determinado número de objetos –♦ Grupo com um determinado número de objetos –
base (raiz)base (raiz)
♦♦ Sistemas de numeração básicos:Sistemas de numeração básicos:
– Decimal
– Binário
– Octal
18
– Hexadecimal
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Contagem
1 3
Dividi-se em grupos de elementos iguais a baseDividi-se em grupos de elementos iguais a base.
Sistema decimal base =10
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Exemplos de Sistemas de NumeraçãoExemplos de Sistemas de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
e p os de S ste as de u e açãoe p os de S ste as de u e ação
Sistema Base AlgarismosSistema Base Algarismos
Binário 2 0,1
Ternário 3 0,1,2
Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
20
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema de NumeraçãoSistema de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Padrões de RepresentaçãoPadrões de Representação
Sistema de NumeraçãoSistema de Numeração
p çp ç
♦ Letra após o número para indicar a base;
Nú t ê t b♦ Número entre parênteses e a base como um
índice do número.
♦ Exemplo:
Sistema Decimal: 2763D ou (2763) ou 2763– Sistema Decimal: 2763D ou (2763)10 ou 276310
21
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Decimal (Base 10)Sistema Decimal (Base 10)
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
♦ Sistema mais utilizado.
Sistema Decimal (Base 10)Sistema Decimal (Base 10)
♦ S ste a a s ut ado
♦ 10 símbolos para representar quantidades.
00 1 21 2 33 4 5 64 5 6 77 8 98 9
♦♦ PesoPeso – representar quantidades maiores que a base.
♦ Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades),( )
centena (cem unidades), milhar (mil unidades),
dezena de milhar, centena de milhar, etc.
22
♦♦ ExemploExemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5
centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574
Revisitando o Sistema de Base 10 (decimal)Sistema posicional: cada posição está associada à uma potência da 
2 1 0365 3 100 6 10 5 1 3 10 6 10 5 10= × + × + × = × + × + ×
base:
Ex:
Ex. hodômetro decimal
Principais representações: 36510 , 365d 
00000
Ex. hodômetro decimal
dígito mais
significativo
dígito menos
significativo (dms)
Número de unidades (1=10 )0
Número de dezenas (10=10 )1
Número de centenas (100=10 )2
(dMs)
g ( )
( )
Número de milhares (1000=10 )3
Número de dezenas de milhares (10000=10 )4
Revisitando o Sistema de Base 10 (decimal)
E os números decimais fracionários?
2 1 0 1 2 3375,628 3 10 7 10 5 10 6 10 2 10 8 10d − − −= × + × + × + × + × + ×
representaçãorepresentação
ãã
p çp ç
posicionalposicional representaçãorepresentação
polinomialpolinomial
Observe: Num sistema de base 10 (B=10), temos 10 símbolos
(algarismos) para representar as quantidades de 0 a 9, ou seja 0 a B-1.( g ) p p q , j
A posição de um símbolo representa uma potência de 10 (de B) que
deve ser multiplicada pela quantidade representada pelo símbolo.
Sistemas de Numeração
Num sistema de base B temos B símbolos para representar asNum sistema de base B, temos B símbolos para representar as
quantidades de 0 a B-1. A posição de um símbolo representa uma
potência de B que deve ser multiplicada pela quantidadepotê c a de que deve se u t p cada pe a qua t dade
representada pelo símbolo.
E se quizéssemos criar um novo sistema de Base B=4?
Sistemas de Numeração
E se quizéssemos criar um novo sistema de Base B=4?
Temos que criar B símbolos! Adotemos:
0 = “ ”
α = “ * ”
β “ ** ”β = “ ** ”
θ = “ *** ”
Lembrete (exemplo):
2 1 0 2 1 00 0 4 4 0 4B B Bαβ α β α β= × + × + × = × + × + ×
( p )
Questão: Como representar neste sistema a
quantidade 610? E 2310? Quanto vale β0α04?q 10 10 Q β 4
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Binário (Base 2)Sistema Binário (Base 2)
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
♦ Utiliza dois símbolos para representar quantidades.
Sistema Binário (Base 2)Sistema Binário (Base 2)
00 ee 11
♦ Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos 
de pesopeso e posiçãoposição. Posições não têm nome específico.
♦ Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: 1012
– Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit - “MSBMSB”.Caractere mais à esquerda Most Significative Bit MSBMSB .
– Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit - “LSBLSB”.
27
Sistema de Base 2 (Binário)
Mesmos princípios, com os símbolos: 0 e 1
Bit = contração de BInary digiT
1101 Principais representações: 11012, 1101b11012
Peso 2
Peso 2
0
1
Principais representações: 11012, 1101b
Peso 2
Peso 2
Peso 2
2
3
Valor = 13
10
Ex. hodômetro binário
Bit mais
significativo( bMs)
Bit menos
significativo (bms)00000significativo( bMs) g ( )
Número de unidades (2 )0
Número de grupos de 2 (2 )1
Número de grupos de quatro (4=2 )2
Número de grupos de oito (8=2 )3Número de grupos de oito (8=2 )
Número de grupos de 16 (16=2 )4
Sistema de Base 2 (Binário)
E os números binários fracionários?
2 1 0 1 2 3110,011 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2b − − −= × + × + × + × + × + ×
E os números binários fracionários?
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Octal (Base 8)Sistema Octal (Base 8)
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
♦ Utiliza 8 símbolos
Sistema Octal (Base 8)Sistema Octal (Base 8)
♦ Utiliza 8 símbolos.
00 1 21 2 3 3 4 5 6 74 5 6 7
♦ Exemplo: 5638
30
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistema Hexadecimal (Base 16)Sistema Hexadecimal (Base 16)
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
♦ Possui 16 símbolos (algarismos) para
Sistema Hexadecimal (Base 16)Sistema Hexadecimal (Base 16)
( g ) p
representar qualquer quantidade.
00 11 22 33 44 55 66 77
88 99 AA BB CC DD EE FF
♦ Uso das letras - facilidadefacilidade dede manuseiomanuseio.
♦ Exemplo: 5A316
31
Sistema de Base 16 (Hexadecimal)
Mesmos princípios, com os símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,
7,8,9,A,B,C,D,E,F
10C
16
Principais representações: 10C16 , 10Ch
Peso 16
Peso 16
P 16
0
1
2
Valor = 268
10Peso 16
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
0 0 0 0 
1 1 1 1 
2 10 2 2 
3 11 3 3
4 100 4 4 
5 101 5 5 
6 110 6 66 110 6 6
7 111 7 7 
8 1000 10 8 
9 1001 11 99 1001 11 9
10 1010 12 A 
11 1011 13 B 
12 1100 14 C
13 1101 15 D 
14 1110 16 E 
15 1111 17 F 
33
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
Lembrete
• Sistema Decimal: intuitivo (afinal temos 10Sistema Decimal: intuitivo (afinal temos 10 
dedos nas mãos!)
• Sistema Binário: fácil implementação
• Sistema Hexadecimal: melhor visualização• Sistema Hexadecimal: melhor visualização 
1 0 1 2
BXY ZW X B Y B Z B W B− −= × + × + × + ×
De forma genérica:De forma genérica:
... , ... ... ...BXY ZW X B Y B Z B W B= × + × + × + ×
B=base={2,8,10,16,...}B=base={2,8,10,16,...}
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
ã i d ãã i d ã
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
♦ Procedimentos básicos: divisãodivisão♦ Procedimentos básicos: -- divisãodivisão
(números inteiros) -- polinômiopolinômio
agrupamentoagrupamento dede bitsbits-- agrupamentoagrupamento dede bitsbits
OCTAL
35
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
♦♦ DivisãoDivisão (Decimal outro sistema) 
– Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela
base, até que resto seja menor do que a base.
– Valor na base = composição do últimoúltimo
i ti t (MSB) tt ( i i t équocientequociente (MSB) com restosrestos (primeiro resto é
bit menos significativo - LSB)
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A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
♦♦ DivisãoDivisão (DecimalDecimal outro sistemaoutro sistema)
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
♦♦ DivisãoDivisão (DecimalDecimal outro sistemaoutro sistema) 
♦ Dividir o número por b (base do sistema) e os 
lt d tiresultados consecutivas vezes. 
Ex.: (125)(125)10 10 = = (?(? ))22 (538)(538)10 10 = = (?(? ))1616
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A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
NotaçãoNotação PolinomialPolinomial ouou PosicionalPosicional
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
çç
♦♦ VálidaVálida parapara qualquerqualquer basebase numéricanumérica.
♦ LEI DE FORMAÇÃO
(Notação ou Representação Polinomial):
NúNú
021 babababa nnn ++++ −−Número =Número =
a = algarismo b = base do número
021 ... babababa nnn ++++ −−
38
an = algarismo, b = base do número
n = quantidade de algarismo - 1
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Ex.: 
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
a) (1111101)(1111101)2 2 = (? )= (? )1010
(1111101)2 =(1111101)2 
1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1251251010
b) (21A)(21A)16 16 = = (?(? ))1010
(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 5385381010
39
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
AgrupamentoAgrupamento dede BitsBits
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
♦♦ SistemasSistemas octaloctal ee hexahexa bináriobinário(e(e vicevice versa)versa)
i d 3 bit 4 bit ( d t l♦ associando 3 bits ou 4 bits (quando octal 
ou hexadecimal, respectivamente) e vice-versa.
Ex.: (1011110010100111)(1011110010100111)22 = ( ? )= ( ? )1616 (A79E)(A79E)1616 = ( ? )= ( ? )22
40
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
ConversãoConversão octaloctal hexadecimalhexadecimal
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
♦ Não é realizada diretamente - não há relação de
potências entre as bases oito e dezesseispotências entre as bases oito e dezesseis.
♦ Semelhante à conversão entre duas bases
q aisq er base intermediária (base binária)quaisquer - base intermediária (base binária)
♦ Conversão em duas etapas:
1 - número: base octal (hexadecimal) binária.
2 - resultado intermediário: binária hexadecimal 
(octal)
41
(octal).
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Ex.: 
Conversão entre Sistemas de NumeraçãoConversão entre Sistemas de Numeração
a) (175)(175)88 = ( ? )= ( ? )1616
(175)8 = (001111101)2 = (01111101)2= (7D)(7D)1616
b) (21A)(21A)16 16 = (?= (? ))88
(21A)16 = (001000011010)2 = (001000011010)2 = 
(1032)(1032)
42
(1032)(1032)88
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Tabelas de Conversão entre os Sistemas de Tabelas de Conversão entre os Sistemas de 
A Informação e sua RepresentaçãoA Informação e sua Representação
Numeração Binário Numeração Binário –– Octal Octal -- HexadecimalHexadecimal
Octal Binário Hexadecimal Binário Hexadecimal BinárioOctal Binário
0 000
1 001
Hexadecimal Binário Hexadecimal Binário
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 010
3 011
2 0010 A 1010
3 0011 B 1011
4 0100 C 11004 100
5 101
6 110
4 0100 C 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 111 7 0111 F 1111
43
Conversão entre bases
De uma base B para Decimal: De uma base B para Decimal: usar representação polinomialusar representação polinomiale u b se p ec :e u b se p ec : us ep ese ç o po ous ep ese ç o po o
Ex Converter 100101012 para decimalEx. Converter 100101012 para decimal
Ex. Converter 1001,01012 para decimalEx. Converter 1001,01012 para decimal
Conversão entre bases
Da base decimal para uma base BDa base decimal para uma base B Ex. PI,PFd
Parte inteira (PI): método 
das divisões sucessivas
[ ]1 2 1 0......n n BPI A A A A= [ ]1 2 1 0n n B− −
Conversão entre bases
Da base decimal para uma base BDa base decimal para uma base B Ex. PI,PFd
Parte inteira (PI): método das
di i õ idivisões sucessivas
[ ]1 2 1 0......PI A A A A= [ ]1 2 1 0......n n BPI A A A A− −
Conversão entre bases
Da base decimal para uma base BDa base decimal para uma base B Ex. PI,PFd
Parte fracionária (PF): método 
das multiplicações sucessivasdas multiplicações sucessivas
[ ]1 2...... k BPF A A A− − −=
OBS: Pode haver erro de truncagemOBS: Pode haver erro de truncagem. 
Conversão entre bases
E finalmente:E finalmente:PI PF -> [A A A A A A A ]E finalmente:E finalmente:PI,PFd -> [An-1 An-2... A-1 A0 , A-1 A-2 ... A-k]B
E C t 593 61 bi á i
Ex. Converter 0,625d para binário
Ex. Converter 593,61d para binário
Conversão entre bases
De binário para hexadecimal (e viceDe binário para hexadecimal (e vice--versa)versa)
grupo de 4 bits grupo de 4 bits ⇔⇔ dígito hexadecimaldígito hexadecimal
52E 16 0101 0010 1110 252E 16 0101 0010 1110 2
1001110100111 0001 0011 1010 0111 13 A 71001110100111 0001 0011 1010 0111 13 A 7
Sobre “constantes” e terminologia
bits Bytes (8 bits) Nibbles (4 bits) e Wordsbits, Bytes (8 bits), Nibbles (4 bits) e Words
1 kbps (1024=210 bits per second)
1 kB (1024 210 b )1 kB (1024 =210 bytes)
1 MB (1024 kB = 1024*1024=220 bytes)
1 GB (1024 MB = 1024*1024*1024=230 bytes)1 GB (1024 MB 1024 1024 1024 2 bytes)
1 TB (1024 GB = 1024*1024*1024*1024=240 bytes)
...
Relembrando
Primeiramente, é necessário saber representar (atribuir valores à) a 
amplitude dos sinais em questão.
CONVERSOR
ANALÓGICO
Como representar 
valores?ANALÓGICO
DIGITAL
(ADC)
valores?
C/ os algarismos
indo-arábicos(ADC)
(ex. 123 0.45 ...)??
Passando ao domínio digital
CONVERSOR
ANALÓGICO
1 0 0 1 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 1
ANALÓGICO
DIGITAL
de 8 bits
0 0 1 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0
de 8 bits ..
..
..
Bem-vindos ao 
mundo digital!mundo digital!
Exercícios :
100 = 101 = 1000 0000 =1002 _____ 10 1012 _____ 10 1000 00002 ____ 10
10002 = _____ 10 10012 = _____ 10 1111 11112 = ____ 10
100002 = _____ 10 101012 = _____ 10 10 0000 00002 = ____ 10
710 = _____ 2 3110 = _____ 2 310 = _____ 2 610 = _____ 2
1510 = _____ 2 10010 = _____ 2 3310 = _____ 2 6310 = _____ 2
0001 = 0010 = 0011 = 0100 = 0101 =00012= 16 00102= 16 00112= 16 01002= 16 01012= 16
01102 = 16 01112= 16 10002= 16 10012= 16 10102= 16
10112= 16 11002 = 16 11012= 16 11102= 16 11112= 16
116= 2 216= 2 316= 2 416= 2
516= 2 616= 2 716= 2 816= 2
9 A B C916= 2 A16= 2 B16= 2 C16= 2
D16= 2 E16= 2 F16= 2
Aritmética Binária com Números sem Sinal
Objetivos: Manipular (+,-, * / ) números binários sem sinal 
Questão: Como uma calculadora faz para processar as 
operações básicas (+, -, *, / )?p ç ( , , , )
Operação de AdiçãoOperação de Adição
♦ A operação em qualquer sistema é iniciada somando-se osp ç q q
algarismos menos significativo de cada número A0+B0..
♦ Os algarismos com mesma potência são somados,♦ Os algarismos com mesma potência são somados,
considerando o transporte de entrada C0=A0+B0+Te . A
ordem é do menos significativo para o mais significativo.
♦ O transporte de entrada de uma coluna é o transporte de
saída da coluna imediatamente menos significativa.
♦ Quando o resultado da soma da coluna, por exemplo C0 é
maior ou igual a base (b) não existe símbolo paramaior ou igual a base (b), não existe símbolo para
representar a quantidade no sistema. O valor do algarismo
na coluna é então C0=A0+B0+Te-b e o transporte de saída
Ts=1Ts=1.
Adição em um Sistema HipotéticoAdição em um Sistema Hipotético
Imagine um sistema fictício de base 3 
i lcom os seguintes elementos:
{ , , }, onde =0, =1, =2{ , , }, , ,
Deseja-se realizar a seguinte operação:
+
+ = 2+1=3;
Porém não existe símbolo para representar a+ Porém não existe símbolo para representar a 
quantidade 3, logo subtrai-se a base do resultado e 
acrescenta-se 1 a coluna imediatamente mais 
significativasignificativa
AdiçãoAdição
♦ O valor do algarismo mais significativo do resultado é 
sempre o transporte de saída anterior
C0=A0+B0+Te0
C1=A1+B1+Te1
C2=A2+B2+Te22 2 2 2
C3=Ts2
T 0 T TTe0=0;Te1=Ts0; 
Te2=Ts1; 
Adição em DecimalAdição em Decimal
♦Base =10 C0=7+8=15;
C 15>10Como 15>10
C0=7+8-10=5; e Ts0=1
C1=2+4+1=7
C =1+2+0=3C2=1+2+0=3
C3=0
Te0=0;Te1=Ts0=1; 
Te2=Ts1=0;Te2 Ts1 0; 
Adição em binárioAdição em binário
♦Base =2 
0+0=0 e Ts=0
0+1=1 e Ts=0
1+0=1 e Ts=01+0=1 e Ts=0
1+1=0 e Ts=1; pois 1+1=2 mais 2 é igual 
a basea base.
Adição em BinárioAdição em Binário
E 5 3 bi á i♦Ex= somar 5 e 3 em binário.
C0=1+1=2;C0 1+1 2;
Como 2=base C0=1+1-2=0; e Ts0=1
C1=1+1+0=2; logo C1=1+1+0-2=0 e 
Ts1=1
C2=0+1+1=2; logo C2=0+1+1-2=0 e 
Ts2=1
C3=1
Te =0;Te =Ts =1; Te =Ts =1;Te0=0;Te1=Ts0=1; Te2=Ts1=1; 
S btraçãoSubtração
♦ Em qualquer que seja a base, quando a operação de subtração
A B C d l é d 0 d diA0-B0=C0 de uma coluna é menor do que 0 deve-se pedir um
emprestado à coluna da esquerda, subtraindo-se 1 do algarismo
da primeira parcela e somando-se a base a coluna em que se
á li destá realizando a operação A0-B0+b=C0 e Ts=1.
♦ Ex: Em decimal quando realizamos 24 07 na primeira coluna♦ Ex: Em decimal quando realizamos 24-07, na primeira coluna
C0=4-7=-3 que é menor do que 0. Logo pede-se 1 emprestado a
coluna da esquerda subtraindo1 do algarismo da primeira
parcela que é 2 e soma se a base que é 10 a primeira colunaparcela que é 2, e soma-se a base que é 10 a primeira coluna
que é 4:
2 4
-0 7
C CC1 C0 C0=4+10-7=7
C1=2-1-0=1
S btração em BinárioSubtração em Binário
0-0=0 e Ts=0
1-0=1 e Ts=0
1-1=0 e Ts=0
0-1=1 e Ts=1; 
C0=A0-B0=1-1=0 e Ts0=0;
C =A B Te =0 1 0=1 e Ts =1C1=A1-B1-Te1=0-1-0=1 e Ts1=1
C2=A2-B1- Te2=1-0-1=0 e Ts2=0
C3=0
Te0=0;Te1=Ts0=0; Te2=Ts1=1;Te0 0;Te1 Ts0 0; Te2 Ts1 1; 
M ltiplicação em BinárioMultiplicação em Binário
♦A multiplicação em binário é feita da 
i d i lmesma maneira que em decimal.
0x0=0
0x1=0
11011=27
X 101=50x1 0
1x0=0
X 101 5
11011
1x1=1 00000
+11011
10000111=135
Di isão em BinárioDivisão em Binário
10100 101 1011011 101
-101 10010
-101 100
00000
101 10010
0001
10 91/5=18 e resta 100000 10
101
101
91/5=18 e resta 1
20/5=4 e resta 0
-101
0001
0000-0000 
0001
Adição de números
TABUADA para adição de números decimais:p
Ex: Supondo que sua calculadora tenha apenas 3
E ú bi á i l b d ?
p q p
dígitos (precisão finita), proceda à operação: 534+467
E para números binários, qual a tabuada?
Adição de números binarios
TABUADA para adição de números decimais:p
TABUADA para adição de números binários:TABUADA para adição de números binários:
Aritmética Binária: adição
Adição de inteiros binários sem sinal com n bits
Estouro precisão
transporte (“vai-um”)
An-1 An-2 An-3 ... A2 A1 A0
Cn Cn-1 Cn-2 Cn-3 ... C2 C1 C0 C0=0
números de n bits
a serem somados
resultado c/ n bits
n 1 n 2 n 3 2 1 0
Bn-1 Bn-2 Bn-3 ... B2 B1 B0
S S S S S S
++
resultado c/ n bits
Regras :
Sn-1 Sn-2 Sn-3 ... S2 S1 S0
0 + 0 = 0
0 + 1 10 + 1 = 1
1 + 1 = 0 com transporte de 1
1 + 1 + 1 = 1 com transporte de 1
Ex. Somar 01101010b e 10001110b
1 + 1 + 1 1 com transporte de 1
Aritmética Binária: subtração
Subtração de inteiros binários sem sinal com n bits
Minuendo de n bits An-1 An-2 An-3 ... A2 A1 A0
Bn-1 Bn-2 Bn-3 ... B2 B1 B0--Subtraendo de n bits
resultado c/ n bits
Empréstimo
S S S S S S
Cn Cn-1 Cn-2 Cn-3 ... C2 C1 C0=0
resultado c/ n bits Sn-1 Sn-2 Sn-3 ... S2 S1 S0
estouro
Regras : 0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
0 - 1 = 1 com empréstimo de 1
0 - 1 - 1 = 0 com empréstimo de 1
Ex. Subtrair 01101010b de 10001110b
Aritmética Binária: multiplicação
Processo similar ao decimal
números de n bits
a serem multiplicados
An-1 An-2 An-3 ... A2 A1 A0
Bn-1 Bn-2 Bn-3 ... B2 B1 B0x
resultados parciais P1n-1 P1n-2 P1n-3 ... P12 P11 P10
P2 1 P2 2 P2 3 P22 P21 P20 0P2n-1 P2n-2 P2n-3 ... P22 P21 P20 0
PNn-1 PNn-2 PNn-3 ...PN2 PN1 PN0 0 0 ... 0 0
S2n S2n-1 ... Sn Sn-1 Sn-2 Sn-3 ... S2 S1 S0
n 1 n 2 n 3 2 1 0 
Regras : 0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
Ex. Multiplicar 00000110b e 00001110b
1 x 1 = 1
Aritmética Binária: divisão
Processo similar ao decimalProcesso similar ao decimal
Exemplo: 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1
Dividendo Divisor
p
-
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1
0 0 1 0 0 
1 0 1 Quociente
(0100<1001) 
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0-
0 0 1 0 0 
( )
-
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1
0 0 0 0 Resto
Ex. Dividir 100111b por 110b