Matematica_para_Administradores_Impresso

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Disciplina 
Matemática para Administradores 
 
 
Coordenador da Disciplina 
Prof. João Mário Santos da França 
 
 
8ª Edição
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, 
transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores. 
 
Créditos desta disciplina 
 
Realização 
 
 
Autor 
 
Prof. João Mário Santos da França 
 
Autor (es) 
 
Prof. Fabrício Linhares 
Prof. Ricardo Brito Soares 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 01: Introdução à Geometria Analítica ........................................................................................... 01 
 Tópico 01: Conjuntos Numéricos .......................................................................................................... 01 
 Tópico 02: O Sistema de Coordenadas Cartesianas ............................................................................... 05 
 Tópico 03: A Equação da Reta ............................................................................................................... 08 
 
Aula 02: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares ............................................................................. 14 
 Tópico 01: Noção de Matriz ................................................................................................................... 14 
 Tópico 02: Operações Matriciais e Tipos Especiais de Matrize ............................................................ 16 
 Tópico 03: Matriz inversa ...................................................................................................................... 23 
 
Aula 03: Álgebra Linear e Sistemas de Equações Lineares .................................................................. 27 
 Tópico 01: Posto de uma Matriz ............................................................................................................ 27 
 Tópico 02: Sistema de Equações Lineares ............................................................................................. 29 
 Tópico 03: Resolução de Sistemas de Equações Lineares Homogêneos ............................................... 33 
 
Aula 04: Funções ....................................................................................................................................... 35 
 Tópico 01: Funções ................................................................................................................................ 35 
 Tópico 02: Funções Elementares ........................................................................................................... 39 
 
Aula 05: Derivadas .................................................................................................................................... 43 
 Tópico 01: Incremento e taxa média de variação ................................................................................... 43 
 Tópico 02: Definição de derivada .......................................................................................................... 46 
 Tópico 03: Cálculo de derivadas para funções ....................................................................................... 49 
 Tópico 04: Derivadas sucessivas e diferencial ....................................................................................... 52 
 Tópico 05: Funções Marginais ............................................................................................................... 54 
 
Aula 06: Aplicações de Derivadas ........................................................................................................... 57 
 Tópico 01: Teorema do valor médio ...................................................................................................... 57 
 Tópico 02: Regra de L’Hôpital .............................................................................................................. 59 
 Tópico 03: Máximos e mínimos de uma função .................................................................................... 61 
 Tópico 04: Teste da derivada segunda para extremos relativos ............................................................. 64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 01: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Nesta unidade você vai recordar e aplicar conceitos sobre conjuntos 
numéricos e geometria analítica; e identificar a equação da reta.
OBSERVAÇÃO
Para auxiliar na resolução de exercícios propostos durante o curso, 
sugerimos que seja instalado um editor de fórmulas matemáticas que 
possibilita, com facilidade, a inserção das mesmas no Word. Clique aqui 
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para 
visualização do passo a passo de como instalar esta ferramenta.
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a 
preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de 
pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que 
procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de 
quantidades. Essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a 
evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos.
CONJUNTOS
Um conjunto é uma coleção de objetos ou entidades bem definidos. Os 
objetos ou entidades que pertencem a um conjunto são chamados de 
elementos do conjunto. Um conjunto está determinado por uma lista de 
seus elementos ou pela especificação de uma regra que determine se um 
dado objeto ou entidade pertence ou não a ele. Tal regra é denominada 
uma propriedade característica. Para representar um conjunto, escrevemos 
os seus elementos ou a sua propriedade característica entre chaves. 
EXEMPLOS DE CONJUNTOS
A = {a, b, c} significa que o conjunto A é formado pelos elementos a, b 
e c. 
B = {x: x é um inteiro ímpar} significa que o conjunto B é constituído 
de todos os inteiros ímpares. 
C = {l, 2, 3, 4, 5, 6} significa que o conjunto C é formado pelos 
números 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
D = {y: y é um inteiro} significa que o conjunto D se compõe de todos 
os números inteiros.
OBSERVAÇÕES SOBRE CONJUNTOS
A. A notação X ∈ S significa que a entidade ou objeto x é um elemento do 
conjunto S. A notação X ∉ S significa que x não é um elemento do conjunto 
S. 
B. Se todo elemento do conjunto S é também um elemento do conjunto T, 
dizemos que S é um subconjunto de T (representado pela notação S ⊂ T).
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 01: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
1
C. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves 
(o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes 
exemplos: 
W = {1, 2, 3} 
H = {1, 2, 2, 1, 3, 2} 
P = {x: x é um número inteiro tal que 0 < x < 4} 
Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o 
mesmo conjunto. 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os 
números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos 
números 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {1; 2; 3; …} 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, 
o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o 
conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração P/Q, 
com P e Q inteiros quaisquer e Q diferente de zero:
Como todo número inteiro pode ser escrito na forma P/1, então Z é 
um subconjunto de Q.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número 
não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma 
fração P/Q, onde P e Q são inteiros e Q diferente de zero. 
São exemplos de números irracionais √2 , 31/3, Π = 3,14159 e = 
2,718282, ou seja, nenhum deles pertence a Q. 
2
OLHANDO DE PERTO
A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que 
√2 não pertence a Q. Suponhamosque raiz quadrada de 2 é racional e 
admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível A/B, B
diferente de zero: 
Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, 
portanto, a é par. Logo A=2M , com M inteiro. Substituindo o valor de A
na expressão anterior vem que: 
(2M)2 = 2B2 ⇒ 4M2 = 2B2 ⇒ B2 = 2M2
Da mesma forma obtemos que B também é par, o que é um absurdo 
pois A/B é irredutível, ou seja, A e B são primos entre si, e portanto têm 
como divisor comum apenas o número 1. 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado 
por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
R = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o 
conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R. É importante 
observar que sempre que falarmos em número, sem qualquer qualificação, 
entenderemos tratar-se de um número real.
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi 
criado para dar sentido às raízes de índice par de números negativos, com a 
definição da unidade imaginária I igual a raiz quadrada de -1, e são 
constituídos de elementos na forma A + BI, onde A e B são reais. Desse fato 
temos que R está contido em C. 
LEITURA COMPLEMENTAR
Como a matemática elementar envolve números reais, devemos estar 
familiarizados com algumas propriedades fundamentais do sistema de 
números reais. Para conhecer mais sobre propriedades dos números reais, 
leia as páginas 18-19 do arquivo "LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF". 
3
Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo 
ou clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
4
TÓPICO 02: O SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
GEOMETRIA ANALÍTICA, também chamada GEOMETRIA DE
COORDENADAS, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. 
Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular 
equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas 
dimensões, também em três ou mais dimensões. Fonte: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica.
O sistema de coordenadas cartesianas é constituído de duas retas 
perpendiculares ao plano (plano cartesiano). Uma é escolhida como sendo 
horizontal e a outra como vertical. Essas retas interceptam num ponto 0, 
chamado de origem. A reta horizontal é chamada eixo x, e a reta vertical é 
chamada eixo y. Uma escala numérica é colocada ao longo dos eixos x e y. 
Um ponto no plano cartesiano pode ser representado de modo único no 
sistema de coordenadas por um par ordenado (x, y), onde x é o primeiro 
número e y é o segundo. O primeiro número é representado no eixo x e o 
segundo no eixo y. No par ordenado (x, y), o x é chamado de abscissa ou 
coordenada x, o y é chamado de ordenada ou coordenada de y, x e y 
conjuntamente são chamados de coordenadas do ponto P. Veja os pontos P 1
(x1, y1) e P2(x2, y2) no gráfico ao lado.
Caso não visualize as animações abaixo, clique aqui [1] para realizar a 
instalação do plugin Flash Player. Quando a página for carregada clique 
em "Instale agora". 
De forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada 
ponto é representado por um único par ordenado (x, y), x e y números reais. 
A recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (x, y) 
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 01: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
5
representa um único ponto no plano cartesiano. Por fim, o plano cartesiano é 
obtido associando-se a cada um dos eixos o conjunto dos números reais. 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
DISTÂNCIA é o espaço entre dois corpos. Segundo a geometria, é o 
comprimento do segmento de reta que liga dois pontos. Definido um 
sistema de eixos coordenados, cada ponto do plano está associado a um par 
ordenado. Dados dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2). Então, a distância entre 
esses dois pontos pode ser calculada mediante o uso da seguinte fórmula: A 
distância d entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) no plano é dada por 
Observação
Para calculo da distância entre dois pontos, temos por referencial 
um triângulo retângulo. O valor da distância entre os pontos é igual ao 
comprimento da hipotenusa. Sendo d a hipotenusa e b e c os catetos, 
temos pelo teorema de Pitágoras, d2 = b2 + c2.
Exemplo: À distância (d) entre os pontos (-2, -1) e (3, 2) é
6
EXERCITANDO
Represente graficamente no plano os pares ordenados (-3,4) e (2,-5) e 
encontre a distância entre eles 
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/shockwave/download/download.cgi?
P1_Prod_Version=ShockwaveFlash&promoid=BIOW
2. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
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7
TÓPICO 03: A EQUAÇÃO DA RETA
O sistema de coordenadas no plano pode ser usado para representar 
qualquer figura geométrica que corresponda a uma equação em duas 
variáveis (por exemplo, uma equação em x e y). A figura geométrica 
correspondente de uma equação é constituída de todos os pontos e somente 
daqueles pontos cujas coordenadas satisfazem a equação; em particular, para 
cada reta do plano coordenado existe única equação correspondente em duas 
variáveis e vice-versa.
Uma equação da foram Ax+By+C=0, onde A, B e C são constantes e pelo 
menos um dos dois, A ou B, é não nulo, diz-se linear em x e y e tal equação 
tem uma reta como sua representação geométrica. 
As coordenadas x e y de cada ponto (x, y) sobre uma dada reta 
satisfazem a equação correspondente da reta. Reciprocamente, a reta que 
passa por todos os pontos e somente por aqueles pontos cujas coordenadas 
satisfazem a equação é chamada de gráfico ou lugar geométrico da equação. 
No entanto, como há uma infinidade de pontos sobre cada reta ou curva 
dada, é claramente inviável estabelecer a correspondência entre equações e 
suas representações geométricas ponto a ponto. É objetivo da geometria 
analítica desenvolver métodos para, usando o menor número de pontos, 
estabelecer esta correspondência. Em geral, quanto mais simples a equação 
(e assim o seu gráfico correspondente) menos pontos são necessários para se 
estabelecer uma correspondência significativa.
DECLIVIDADE DE UMA RETA
A declividade de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação 
usualmente denotada por m. A tangente é uma das seis funções 
trigonométricas de um ângulo, que são definidas em termos de um 
triângulo retângulo, formado pelo ângulo e, por uma perpendicular a um 
dos lados adjacentes. 
Suponha que 0° < θ < 180° e considere uma reta que tem ângulo de 
inclinação θ e interpreta o eixo X em P1. De qualquer outro ponto da reta, 
por exemplo, P2, baixe uma perpendicular que corta o eixo X. Agora, a 
tangente de θ, detonada por tan θ ou tg θ, é definida por tan θ = (y2-y1)/
(X2-X1). De modo geral, se (X1, y1) e (y2, X1) são dois pontos distintos sobre 
uma reta, então a declividade da reta é m = tg θ = 
A direção de uma reta é determinada por sua declividade, que é definida 
em termos do ângulo entre a reta e o eixo x. Quando uma reta intercepta o 
eixo x, o seu ângulo de inclinação é o ângulo , mostrado na figura, medido 
no sentido anti-horário, desde o sentido positivo do eixo x até a reta, estando 
assim sempre entre 0° e 180°. Se uma reta é paralela ao eixo x, o seu ângulo 
de inclinação é definido como sendo 0°.
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 01: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
8
*Caso não visualize as animações abaixo, clique aqui [1] para realizar a 
instalação do plugin Flash Player. Quando a página for carregada clique em 
"Instale agora".
EQUAÇÃO DA RETA
Uma reta, a mais simples das curvas, pode ser determinada unicamente 
por qualquer dos seguintes dados: dois pontos que estão sobre a reta ou a 
declividade da reta e um ponto que está sobre a reta. Há diversasfórmulas 
para se obter a equação da reta; as condições que são dadas para se obter a 
reta determinam que fórmula seja a mais conveniente para um problema 
particular. A forma "dois pontos" determina uma reta por dois pontos que 
estão sobre ela; a forma "ponto-declividade" determina uma reta, quando é 
dado um ponto que está sobre ela e a sua declividade. Estas fórmulas são 
todas equivalentes à equação geral da reta, Ax+By+C=0, e são, em geral, 
facilmente transformadas uma na outra. 
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA DOIS-PONTOS
Uma das propriedades fundamentais da reta é a sua declividade 
constante; a declividade pode ser determinada usando-se dois pontos 
distintos quaisquer da reta. Estes dois fatos podem ser usados para se 
desenvolver uma fórmula que dê a equação de uma reta não vertical, 
quando as coordenadas de dois pontos da reta são conhecidas.
Se (x1, y1) e (x2,y2) são dois pontos distintos de uma reta não vertical, 
então a declividade da reta é dada por:
Se (x, y) é qualquer outro ponto da reta (isto é, um ponto genérico), 
então pode ser usado, juntamente com o ponto (x1, y1) para determinar a 
declividade da reta
9
e, como a declividade é constante, 
ou , onde , e 
EXEMPLO
EXEMPLO
Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-1,-2) e (3,3).
Representação Gráfica 
EQUAÇÃO DA RETA NA FORMA PONTO-DECLIVIDADE
Considere uma reta com declividade (inclinação) m e que passa pelo 
ponto P0(x0,y0). Seja (x, y) qualquer ponto da reta (Figura abaixo). Como a 
declividade de uma reta não-vertical é , a equação da reta pode ser 
escrita:
 ou 
A equação acima, denominada na forma ponto-declividade da reta, é 
em geral, a mais conveniente para se encontrar a equação da reta, quando 
são dados um dos pontos da reta e a sua declividade. 
EXEMPLO
EXEMPLO
Determine a equação da reta com declividade (5/4) que passa pelo 
ponto (3,3).
10
EXERCITANDO
Investigue os seguintes resultados. Sejam m1 e m2 declividade de duas 
retas, então: 
(a) As retas são paralelas quando m 1 = m2 . 
(b) As retas são perpendiculares quando m1 x m2 = -1.
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
Dada à reta y = mx + b e o ponto P0(x0, y0) que não passa pela reta. 
Precisamos encontrar a distância do ponto P0(x0, y0) à reta y = mx+ b. Veja 
a figura ao lado. 
Distância do ponto P0(x0, y0) até a reta L, é dada por:
EXEMPLO
EXEMPLO
Calcular a distância do ponto (4,3) à reta y=1+2x.
11
INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Sejam L1: y = b1 + m1x e L2: y = b2 + m2x duas retas com m1 ≠ m2. 
Vamos supor que estas retas interceptam-se no ponto P. Para encontrar as 
coordenadas do ponto P, simplesmente precisamos encontrar x e y no 
seguinte sistema de equações:
EXEMPLO
EXEMPLO
Encontrar o ponto de interseção entre as retas y=1+2x e y=5-2x.
Queremos encontrar um ponto (x0, y0) que seja comum as duas retas. 
No ponto (x0, y0) temos y0=1+2x0 e y0=5-2x0. Então, resolvendo para 
x0,
12
y0 = y0 ⇒ 2x0 + 1 = - 2x0 + 5 ⇒ 40 = 4 ⇒ x0 = 1
Utilizando esse resultado em qualquer uma das equações 
encontraremos y0,
y0 = -2(1) + 5 = 3 
ou 
y0 = 2(1) + 5 = 3 
O ponto de interseção é (1,3)
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva os exercícios propostos 2 no arquivo 
"exercicio_aula01_top03_equacao_da_reta.doc" e publique seu 
documento através do seu portfólio TÓPICO 3 no ambiente SOLAR.
Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo 
"exercicio_aula01_top03_equacao_da_reta.doc" (Visite a aula online 
para realizar download deste arquivo.).
FÓRUM
Participe do fórum “AULA 01 - A EQUAÇÃO DA RETA” para 
esclarecer suas dúvidas em relação a esse tópico e discuta com seus 
colegas possíveis soluções para os exercícios propostos.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/shockwave/download/download.cgi?
P1_Prod_Version=ShockwaveFlash&promoid=BIOW
2. http://www.denso-wave.com/en/
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13
TÓPICO 01: NOÇÃO DE MATRIZ
1.1 DEFINIÇÃO DE VETORES
Vetores = “Coleções” de números reais (escalares)
Vetor coluna n x 1: 
Vetor linha 1 x n: 
Convenciona-se que os vetores são colunas. Daí o sinal de transposição 
no vetor linha acima.
As duas operações elementares são: 
SOMA E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
◾ OPERAÇÃO SOMA:
◾ OPERAÇÃO MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR:
A adição vetorial e a multiplicação por escalares devem satisfazer às 
seguintes regras:
1. X + Y + X
2. X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
3. X + 0 = X ∀X
4. X + (-X) = 0
5. 1X = X
6.(C1C2)X = C1(C2X)
7.C(X + Y) = CX + CY
8. (C1 + C2)X = C1X + C2X
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 02: MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
14
1.2. MATRIZES: DEFINIÇÃO
Se vetores são “coleções” de escalares, matrizes podem ser entendidas 
como coleções de vetores. 
A matriz 3 x 2:
É o “empilhamento” de três vetores linha:
ou o agrupamento de dois vetores coluna:
FONTES DAS IMAGENS
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15
TÓPICO 02: OPERAÇÕES MATRICIAIS E TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZE
Se matrizes são coleções de vetores, as operações válidas para estes 
valem também para aquelas:
LEITURA COMPLEMENTAR
Caro cursista,
Para você saber mais sobre propriedades da adição, leia a pág. 81 da 
apostila. Da mesma forma, para aprofundar as informações sobre 
multiplicação de uma matriz por um escalar, veja a pág. 82. 
PRODUTO DE MATRIZES
É o produto interno de todos os vetores linha de uma por todos os 
vetores coluna da outra.
Como só se podem calcular produtos internos entre dois vetores de 
mesma dimensão, segue que o número de colunas da matriz "à esquerda" 
deve ser igual ao número de linhas da matriz "à direita".
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 02: MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
16
Note que não é possível calcular B.A para essas matrizes, pois nesse 
caso a dimensão dos vetores linha de B (3) é diferente da dimensão dos 
vetores coluna de A (2).
Propriedades da multiplicação de matrizes:
1. Não comutativa: em geral, AB ≠ BA, mesmo que ambos os produtos 
existam.
2. AX = B, onde X e B são ambos os vetores coluna.
3. XA = C, onde X e C são ambos vetores linha.
4. Associativa: (AB)C = A (BC).
5. Distributiva: A (B + C) = AB + AC.
6. XX' = X, X é um vetor n x 1 e X uma matriz n x n.
TRANSPOSIÇÃO DE MATRIZES
Propriedades da transposição:
1. (A')' = A
17
2. (A + B)' = A' + B'
3. (AB)' = B'A'
4. (A1A2...AN-1AN)' = AN'AN-1'...A2'A1'
5. O transposto de um escalar é o próprio escalar.
6. (cA)' = A'c' = A'c = cA'
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES
MATRIZ LINHA: número de linhas igual a um
Exemplo 
Por exemplo
A = [2 3 4 9]1x4
MATRIZ COLUNA: número de colunas igual a um
Exemplo 
Por exemplo
MATRIZ QUADRADA: números de linhas e colunas iguais.
Exemplo
Por exemplo
, B é uma matriz quadrada de ordem 3.
MATRIZ DIAGONAL: matriz quadrada com ao menos um elemento 
não nulo na diagonal entre o elemento superior esquerdo e o inferior 
direito, e todos os elementos fora dessa diagonal iguais a zero.
Exemplo
Por exemplo
MATRIZ TRIANGULAR: matriz cujos elementos abaixo ou acima da 
diagonal são todos nulos.
18
TRIANGULAR SUPERIOR : É o triângulo da matriz quadrada onde
aij = 0 para todo i > 0.
Exemplo
Por exemplo
TRIANGULAR INFERIOR : É o triângulo da matriz quadrada onde
aij = 0 para todo i < j.
Exemplo 
Por exemplo
MATRIZ IDENTIDADE (ou unidade): matriz diagonal cujos elementos 
na diagonal são todos iguais a um.
Exemplo
Por exemplo
MATRIZ SIMÉTRICA: uma matriz quadrada que não muda se 
transposta. Os elementos acima da diagonal "espelham" os elementos 
abaixo dela.
Exemplo
Por exemplo
MATRIZ NULA: todos os elementos são iguais a zero.
Exemplo
Por exemplo
19
MATRIZES PARTICIONADAS
Vimos que matrizes podem ser encaradas como coleções de vetores. 
Podemos ir um passo além e encará-las também como coleções de 
MATRIZES.
As regras de adição e multiplicação de matrizes aplicam-se 
diretamente às matrizes particionadas, se as submatrizestiverem as 
dimensões corretas.
O número de colunas de A é igual ao número de linhas de B e o 
mesmo particionamento é aplicado às duas:
MATRIZ AUMENTADA
Sejam A e B duas matrizes com mesmo número de linhas, ou seja,
A matriz aumentada é a matriz [ A : B ] obtida colocando lado a lado 
as matrizes A e B, de modo a se constituírem numa matriz de ordem m x (n 
+ k). Então
A matriz aumentada, geralmente, é utilizada no cálculo da inversa de 
uma matriz, na resolução de sistema de equações lineares, etc
DETERMINANTES
Dúvida
20
Como calcular o determinante de uma matriz A?
onde aij é o elemento da matriz A na interseção da i-ésima linha com a 
j-ésima coluna.
◾ O somatório indica a soma de todos os produtos possíveis dos elementos de 
A, tomados n a n, com o primeiro índice na ordem natural e o segundo na 
permutação.
◾ O sinal de um termo da soma vem do número de permutações dos segundos 
índices. Se o número é par, o sinal é positivo; se ímpar, o sinal é negativo.
EXEMPLOS: 
◾ Determinante de uma matriz 2 x 2:
O primeiro termo do somatório, a11a22 , tem sinal positivo porque o 
número de inversões na ordem dos segundos índices é zero, portanto, par.
O segundo termo do somatório, a12a21 , tem sinal negativo, porque o 
número de inversões na ordem dos segundos índices é 1, portanto, ímpar.
◾ Determinante de uma matriz 3 x 3:
O segundo termo do somatório, a12a23a31 , tem sinal positivo, porque o 
número de inversões na ordem dos segundos índices é 2, portanto, par.
O quarto termo do somatório, a11a23a32 , tem sinal negativo, porque o 
número de inversões na ordem dos segundos índices é 1, portanto, ímpar.
Seja
então,
LEITURA COMPLEMENTAR
Para aprofundar seus conhecimentos sobre a temática que estamos 
estudando, leia propriedades dos determinantes nas págs. 79 e 80 do 
arquivo "LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF". (Visite a aula online para 
realizar download deste arquivo.)
21
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva os exercícios propostos 1 do arquivo 
"EXERCICIOS_AULA02_TOP02_MATRIZES.DOC" (Visite a aula online 
para realizar download deste arquivo.) e envie as respostas através do seu 
portfólio no SOLAR. 
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
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TÓPICO 03: MATRIZ INVERSA
Seja A uma matriz m x n qualquer. Chamamos a matriz C n x m de 
“inversa à esquerda de A” se existe uma C tal que:
CA = INXN
Similarmente, chamamos a matriz D n x m de “inversa à direita de A” se 
existir uma D tal que:
AD = IMXM
É fácil mostrar que, se A é uma matriz quadrada n x n, então sua inversa 
à esquerda é igual à sua inversa à direita, e ambas são matrizes quadradas:
CA = INXN ⇒ (CA)D = INXND ⇒ (CA)D = INXND ⇒ C(AD) = D ⇒ C = D
AD = INXN
Neste caso, a matriz A tem uma, e no máximo uma, matriz inversa, a 
qual indicaremos por A-1. Se a matriz não possui inversa, ela é dita singular.
OBSERVAÇÃO
Esse é o caso que vai nos preocupar de agora em diante: a existência 
ou inexistência de uma matriz inversa única de A.
Há uma relação direta entre a inversa de uma matriz e a solução de 
sistemas lineares:
Ax = b ⇒ x = A-1b se a inversa existe.
PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA
A seguir apresentamos algumas propriedades da matriz inversa.
(i) Se A e B são inversíveis, então (AB) = B -1 A-1. 
(ii) Se A é inversível, então (A-1)-1 = A.
(iii) Se A não é singular, então A-1 também não é singular.
(iv) Se A não é inversível, então (A1)-1 = (A-1)1.
(v) Se A é inversível, então A.A-1=In2, onde n é a ordem da matriz e 
vice-versa. 
DÚVIDA
Como obter a inversa de uma matriz quadrada A?
Exemplo 1:
Calcular a inversa da matriz
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 02: MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
23
SOLUÇÃO
RESOLUÇÃO: Temos
 existe a inversa de A.
Sabemos que
Seja
Então
ou
MANEIRA 2: MÉTODO DE JORDAN
O médoto para calcular a inversa da matriz A, usando as operações 
elementares é o seguinte:
1º PASSO: Calcular det(A). Se det(A) ≠ 0, então existe a inversa da matriz, se 
det(A) = 0 , então não existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir o 
próximo passo.
2º PASSO: Escrever a matriz aumentada n x 2n na forma [A ⋮ In], onde A é a 
matriz, se det(A) = 0, então não existe a inversa. Caso exista a inversa, seguir 
o próximo passo.
3º PASSO Transforma a matriz A, escrita no segundo passo, em matriz 
identidade, usando as operações elementares nas linhas, e aplicando as 
mesmas operações em In, dadas no segundo passo, nas linhas 
correspondentes. Assim obtemos [In ⋮ A-1].
OBSERVAÇÃO: A mesma seguência de operações que leva a matriz A à 
sua identidade faz com que a identidade chegue à inversa, ou seja, formando 
a matriz aumentada [A ⋮ In], e aplicando as operações elementares chegamos 
a [In ⋮ A-1], isto é,
24
[ A ⋮ In ] ~ ~ ~ ... ~ [In ⋮ A-1] 
SOLUÇÃO
MANEIRA 3: UTILIZANDO A MATRIZ ADJUNTA
- Calcule det(A) , como mostrado anteriormente, 
Cosntrua a matriz adjunta de A:
onde Cij são os "cofatores" de A:
CIJ = (-1)I+J MIJ
onde agora Mij são os "menores" de A. Mij é o determinante da matriz (n 
- 1)x(n - 1) formada quando se apaga a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
Clique aqui para ver o exemplo 3 (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.)
LEITURA COMPLEMENTAR
Caso deseje conhecer mais sobre o assunto, veja o exemplo resolvido 
2.6 e 2.7 das páginas 96, 97, 98 e 99 do arquivo
"LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF" (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.). 
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
25
Encontre as inversas das matrizes pela maneira 3 e envie as respostas 
através do seu portfólio no SOLAR.
FÓRUM
Vá ao Fórum “AULA 02 - MATRIZ INVERSA” para esclarecer suas 
dúvidas em relação a esse tópico e discutir com os colegas possíveis 
soluções para os exercícios propostos.
 REFERÊNCIAS
CHIANG, Alpha C. MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS. São Paulo: 
Mc Graw – Hill do Brasil/ Ed Da Universidade de São Paulo ,1982.
GUERRA, Fernando; TANEJA, Inder J. Florianópolis, SEAD/UFSC, 
2006. (Livro Texto do Curso de Graduação em Administração a 
Distância).
HADLEY, G. ÁLGEBRA LINEAR. Rio de Janeiro: Forense 
Universitária, 1979.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
26
TÓPICO 01: POSTO DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem mxn. Define-se como posto da matriz A, P
(A), como sendo a mais alta ordem de determinante diferente de zero que 
pode ser calculado a partir das submatrizes de A.
Através do posto da matriz podemos identificar se uma matriz quadrada 
é singular ou não singular, isto é, se A é uma matriz quadrada de ordem n, 
então:
(i) A é singular, se e somente se, P(A) < n 
(ii) A é não singular, se e somente se, P(A)= n 
A seguir veja os exemplos propostos:
EXEMPLO 1
Seja a matriz A abaixo: 
Como o determinante de A (|A|) = 2 (verifique).
Logo P (A) = 3. 
EXEMPLO 2
Seja a matriz A abaixo:
Como |A| = 0 (verifique),
P(A) não pode ser 3.
Se existir alguma submatriz de A de ordem 2x2 com determinante 
diferente de zero, então P(A) Será igual a 2. 
De fato a submatriz 
Possui determinante igual a 14 (verifique).
Logo P(A) = 2
EXEMPLO 3
Seja a matriz A abaixo:
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
27
Como o determinante da submatriz 
É igual a 4≠0
P(A) = 2
EXEMPLO 4
Seja a matriz A abaixo:
Como qualquer submatriz de ordem 2x2 construída a partir de A terá 
determinante igual a zero (verifique) se existe pelo menos um número na 
matriz diferente de zero, P(A)=1. 
EXEMPLO 5
Seja a matriz A abaixo:
O posto de uma matriz nula é zero (este é o único caso de posto nulo). 
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Calcule o Posto das seguintes matrizes e envie as respostas através do 
seu portfólio no SOLAR.
FONTES DAS IMAGENS
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28
TÓPICO 02:SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas:
O sistema S pode ser representado pela equação matricial AX=B, onde:
Sendo A, a matriz coeficientes, X a matriz das incógnitas e B, a matriz 
dos termos independentes.
2.1. EXISTÊNCIA DA SOLUÇÃO
O conceito de posto de uma matriz é muito importante para a resolução 
de sistemas de equações lineares. 
(i) Se P(A) = P(A: B) = n, onde n é o nº de variáveis, então o sistema será 
possível (compatível) e determinado, isto é, o sistema terá uma única 
solução.
(ii) Se P(A) = P(A: B) < n, então, o sistema será possível (compatível) e 
indeterminado, isto é, o sistema terá infinitas soluções.
(iii) Se P(A) P(A: B) o sistema será impossível (incompatível), isto é, o 
sistema não terá solução. 
2.2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.2.1. Utilizando o conceito de Posto de uma Matriz e a Regra de Cramer 
EXEMPLO 1
Pode-se mostrar que o determinante de A (matriz dos coeficientes) é 
igual a zero, mas existe pelo menos uma matriz de ordem dois cujo 
determinante é diferente de zero. Já A: B (matriz ampliada) pode formar 
determinante diferente de zero quando se forma uma matriz 3x3 
desconsiderando-se a segunda ou terceira coluna da matriz A. Logo, 
teremos que P(A) = 2 P(A: B) = 3. Portanto, o sistema não tem solução.
EXEMPLO 2
EXEMPLO : Resolvar o sistema abaixo
x + 2y + z + t = 0
x + 3y - z + 2t = 0
Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma 
submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. 
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
29
Então P(A) = P(A: B) = 2. Mas o número de variáveis (n) é igual a quatro. 
Logo, teremos que P(A) = P(A: B) = 2 < n = 4, ou seja, o sistema será 
indeterminado (terá infinitas soluções).
A resolução dos sistemas determinados (P(A) = P(A : B) = n) e, 
portanto, podemos aplicar a Regra de Cramer.
Esta regra consiste em determinar o valor das variáveis do sistema 
através de uma razão de determinantes. Como denominador teremos o 
determinante da matriz dos coeficientes (A) e no numerador teremos o 
determinante da matriz A modificada. Esta matriz modificada nada mais é 
que a matriz A com uma de suas colunas substituídas pela matriz B. A 
coluna apropriada deverá ser substituída de acordo com a variável que se 
quer calcular. Assim, para se calcular a primeira variável do sistema, deve-
se substituir a primeira coluna da matriz A e assim sucessivamente.
EXEMPLO 3
EXEMPLO :
2x - 3y + 7z = 1
x + 3z = 5
2y - z = 0
|A| = -1 ≠ 0 ⇒ P(A) = P(A:B) = n ⇒ o sistema determinado (tem 
solução única) e portanto podemos aplicar a Regra de Cramer.
A seguir, apresentaremos duas outras formas diferentes de resolver 
um sistema de equações lineares. Uma se dá com a utilização de matriz 
escalonada, que é conhecido como processo de eliminação de Gauss-
Jordan, e a segunda forma se dá com o uso de matriz inversa.
PROCESSO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN
Podemos resolver um sistema de equações lineares aplicando as 
operações elementares dadas anteriormente, pois sabemos que aplicando 
operações elementares sobre uma matriz obtemos sempre uma matriz 
equivalente. Nesse caso, as operações elementares transformam o sistema 
30
original em um sistema equivalente. Esse processo é conhecido como 
processo de eliminação de Gauss-Jordan. 
Seja AX = B o sistema dado. Para resolver esse sistema devemos seguir 
os seguintes passos:
1º Passo: Formar a matriz aumentada [A ⋮ B ]
2º Passo: Levar a matriz aumentada [A ⋮ B ]à forma escalonada, 
usando operações elementares sobre as linhas
EXEMPLO 4
(Exemplo 2.9 do livro texto págs. 107 e 108) - Resolver o sistema 
abaixo:
Aplicando as operações elementares,
L2 → L2 + 2L1; L3 →L3 + (-3)L1 ; L2 → (-1) → L2; L3 )-(1/19)L3
L1 → L2 + 2 L2 ; L2 → + (-3)L3 ; L1 → L1 + (-4)L3,
obtemos
Isto implica que P(A)= P(A : B) = n = 3 
Logo, o sistema é consistente e determinado. E sua solução é:
LEITURA COMPLEMENTAR
Para que você saiba mais sobre este assunto que tal ver exemplos 2.10 
e 2.11 do livro arquivo “LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF” (Visite a aula 
online para realizar download deste arquivo.), (págs 108, 109 e 110). 
USANDO A MATRIZ INVERSA
Dado um sistema de equações lineares na forma matricial AX = B. Se a 
matriz A é quadrada e possui inversa, então, X = A-1 . B. 
EXEMPLO 5
31
Exemplo: (Exemplo 2.12 do livro texto págs. 110 e 111)
Resolver o sistema abaixo:
Calculamos a inversa da matriz A, Aplicando as operações 
elementares:
L2 → L2 + (-2)L1 ; L3 → L3 + 5 L1 ; L2 → (-1)L2;
L3 → L3 + (-12)L2 ; L1 → L1 + (-2) L2 ; L3 → -(1/63)L1;
L2 → L2 + (-6)L3 ; L1 → L1 + 10L3;
Obtermos
Logo, 
Temos:
LEITURA COMPLEMENTAR
Para que você possa aprofundar ainda mais os seus estudos, 
recomendamos que veja o exemplo 2.13 do arquivo 
“LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF” (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.), nas páginas 110 e 111. 
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
32
TÓPICO 03: RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEOS
Um sistema linear na forma AX = 0 é dito um sistema homogêneo.
A solução x1= x2 = ... = xn = 0 é chamada de solução trivial. 
Uma solução x1,x2,....,xn, de um sistema homogêneo em que nem todos 
os x1 são nulos, é chamado de não trivial.
EXEMPLO
Resolver o sistema abaixo:
Note que a imagem |A| = -15 ⇒ P(A) = P(A : B) = n = 3
Portanto, podemos aplicar a Regra de Cramer:
LEITURA COMPLEMENTAR
Consulte o livro texto e veja outra maneira de resolver esse problema. 
Para aprofundar-se neste tema veja os exemplos 2.14 e 2.15 nas páginas 
113 e 114 do arquivo “LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF” (Visite a aula 
online para realizar download deste arquivo.).
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Classifique e resolva os sistemas abaixo; em seguida envie as 
respostas através de seu portfólio no ambiente SOLAR. 
FÓRUM
Vá ao Fórum “Resolução de Sistemas de Equações Lineares” para 
esclarecer suas dúvidas em relação a esse tópico e discutir com os colegas 
possíveis soluções para os exercícios propostos.
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
33
 REFERÊNCIAS
CHIANG, Alpha C. Matemática para Economistas. São Paulo: Mc 
Graw – Hill do Brasil/ Ed Da Universidade de São Paulo, 1982.
GUERRA, Fernando; TANEJA, Inder J. Florianópolis, SEAD/UFSC, 
2006. (Livro Texto do Curso de Graduação em Administração a 
Distância).
HADLEY, G. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 
1979.
FONTES DAS IMAGENS
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Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
34
TÓPICO 01: FUNÇÕES
Um dos conceitos mais importantes da Matemática é o conceito de 
função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode 
depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por 
exemplo, pode depender do seu preço atual no mercado. A quantidade de ar 
poluído, numa área metropolitana, depende do número de veículos na rua. O 
valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. 
Essas relações são matematicamente representadas por funções. 
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada 
elemento de A, se associa um único elemento de B, e é indicada por f : A →
B.
X – variável independente – DOMÍNIO 
Y – variável dependente – IMAGEM 
EXEMPLO
Empregando a linguagem das funções:
◾ O conjunto A é o domínio da função. 
◾ O conjunto B é o contradomínio da função. 
◾ O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x.
◾ O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos 
de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função.
EXEMPLO 1
EXEMPLO 1A
PERGUNTA: EXISTE FUNÇÃO NESSE ITEM? 
EXEMPLO 2B
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 04: FUNÇÕES
35
PERGUNTA: EXISTE FUNÇÃO NESSE ITEM? 
EXEMPLO 3CPERGUNTA: EXISTE FUNÇÃO NESSE ITEM? 
A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de 
associação expressa na forma y = f (x).
Essa regra diz que o elemento x ∈ A, chamado de variável independente, 
está relacionado de modo único ao elemento y = f (x) ∈ B, chamado de 
variável dependente. O conjunto A é chamado de domínio e indicamos A = 
Dom( f ) e o conjunto B , de contradomínio. O conjunto imagem, indicado 
como Im( f ) é o conjunto dos elementos de B aos quais foram associados 
elementos de A isto é: 
Im( f ) = {y ∈ B | y = f (x) para algum x ∈ A}.
O número y ∈ B, y = f (x) recebe o nome de valor da função f no ponto x.
EXEMPLO 2
A função indicada por f: [0,10] → R tal que, y = f (x) = x 2 + 1, é a 
relação cujo domínio é [0,10] e contradomínio é o conjunto R dos 
números reais. A regra que associa a todo ponto x ∈ [0,10] um único 
número real f (x) = x 2 + 1. O conjunto imagem é o conjunto dos números 
reais não negativos. Deste modo:
f (0) = 02 + 1 = 1,
f (1) = 12+ 1 = 2 ,
f (6) = 62+ 1 = 37 ,
f (10) = 102 1 = 101.
EXEMPLO 3
As funções f: R → R, f (x) = x 2 , e g: (-1, 1) → R, g(x) = x 2 , 
têm domínios Dom( f ) = R e Dom(g) = (-1, 1) . Essas funções são 
distintas, pois têm domínios diferentes, apesar de terem a mesma regra de 
36
1ª DEFINIÇÃO
Soma das funções
A função s definida em A, tal que s(x) = f (x) + g(x) recebe o nome de 
função SOMA de f e g. 
Exemplo
Se f (x) = x3 e g(x) = 3x2 + 2, com x ∈ R, então a função s definida em 
R, 
tal que s(x) = x3 + 3x2 + 2 é a soma de f e g.
2ª DEFINIÇÃO
Produto de funções
A função p definida em A, tal que p(x) = f(x). g(x) recebe o nome de 
função produto de f e g.
Exemplo
Se f (x) = x3 e g(x) = 3x2+ 2, com x ∈ R, então a função p definida em 
R, tal que p(x) = x3. (3x2 + 2) = 3x5 + 2x3 é o produto de f e g.
3ª DEFINIÇÃO
Divisão de funções
Se g(x) ≠ 0 para todo x ∈ A, a função q definida em A, tal que 
é o quociente de f e g. 
Exemplo
Sejam (x)=x4 e g(x)= 4 + 2, com X ∈R. A função q definida em R, tal 
que q (x)= é o quociente das funções f e g
associação e o mesmo contradomínio. Os conjuntos imagem de ambas são 
também distintos: Im( f ) = [0, +∞) e Im(g) = [0, 1) .
Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para 
assumir qualquer valor do domínio e chamar y de variável dependente, 
porque o seu valor depende da escolha de x. 
Quando o domínio e o contradomínio de uma função estão contidos no 
conjunto dos números reais, a função é chamada de uma função real de 
variável real. 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Sejam f e g duas funções definidas num mesmo conjunto A. Podemos 
definir como: 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
O gráfico de uma função f: A ∈ B , dada como y = f (x), é o conjunto dos 
pontos do plano, cujas coordenadas no sistema cartesiano retangular são 
37
dadas por (x, f (x)), onde x ∈A. Para isto, construímos um quadro (x, f (x)), 
atribuindo a x valores convenientes. Vejamos alguns exemplos de gráficos:
PROBLEMA
Representar graficamente a função
y = f (x) = 3 - x , x ∈ [0,3]
RESOLUÇÃO
Temos o seguinte quadro:
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva as Questões 1,2 e 3 contidas no arquivo 
“Livro_texto_Matematica.pdf (Visite a aula online para realizar download 
deste arquivo.)”, página 131 e envie as respostas através do seu 
PORTFÓLIO no SOLAR. 
FONTES DAS IMAGENS
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38
TÓPICO 02: FUNÇÕES ELEMENTARES
GRÁFICO
O gráfico da função do 1º grau é representado por uma reta não 
paralela ao eixo x nem ao eixo y, onde a é o coeficiente angular e b o 
coeficiente linear. Quando a > 0 a função é crescente e quando a < 0 a 
função é decrescente.
ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO
O zero da função é o valor de x quando f(x)=0
F(x) = ax + b
0 = ax + b
X = - b/a
Dado um número real k, chama-se função constante a função f: R → R, 
definida por f(x) = k. O gráfico é uma reta paralela ao eixo x que passa pelo 
ponto de ordenadas y = k.
O domínio da função é D(f) = R e a imagem é Im(f) = {k}
FUNÇÃO DO 1° GRAU OU AFIM
Denomina-se função do 1o grau toda função f : R → R definida por f(x) = 
ax + b, com a e b pertencente aos R e a diferente de zero.
EXEMPLO A
a) f(x)=3x+2, calcule f(5) 
f(5)=3(5)+2=17
EXEMPLO B
b) f(x-1)=x, calcule f(2)
para x-1=2, temos x=3, 
assim: f(3-1)=f(2)=3
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 04: FUNÇÕES
39
ESTUDO DO SINAL
Para fazer o estudo do sinal da função do 1º grau y = ax + b, é preciso 
determinar os valores de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y >0. O 
valor de x é zero da função (x = - b/a)
FUNÇÃO CRESCENTE (A > 0)
x > -b/a
y > 0
FUNÇÃO DECRESCENTE (A < 0)
x > -b/a
y <0
FUNÇÃO MÓDULO
É a função definida por f (x) = | x | =
EXEMPLO
O gráfico da função módulo é o seguinte: 
FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
◾ Função Exponencial 
Termos da potenciação: an = b, onde a é a base, n o expoente e an ou b a 
potência.
Potência com expoente natural: an = a.a.a. ... .a (n fatores)
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
40
A função f: R R*, definida por f (x)=a*, com a∈ R* + e a ∈1 e x ∈R, é 
denominada função exponencial de base a. Exemplo: f(x) =3*x (a base é 3).
◾ Gráficos
Quando a > 1 função crescente; D = R; Im = R*+. 
Quando 0 < a < 1 função decrescente; D = R; Im = R*+
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Seja a um número positivo e a ≠ 1. A função definida por y = f (x) = loga
x, x > 0, recebe o nome de função logarítmico de base a.
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Para x, y > 0, valem as seguintes propriedades.
• Propriedade do produto loga (xy) = loga x + loga y. 
• Propriedade do quociente loga = loga x - loga y. 
• Propriedade da potenciação: loga (yx) = x loga y.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolver as Questões abaixo e envie as respostas através do seu 
PORTFÓLIO no SOLAR. 
1 – Seja a função f(x) = 4x-3, calcule: 
1. f(-2)
2. f(a+1) 
2 – Esboce o gráfico da função f(x) = -x2 +2 com o Dom (f) = {-3,-2, 
-1,0,1,2,3}
3 – Determine o domínio e a imagem das funções abaixo:
a) f(x) = |4-x|
g(x) = 
FÓRUM
41
Acesse o Fórum “Aula 4 - Funções Elementares e Função 
Exponencial” (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e 
tire suas dúvidas sobre o Tópico II.
 REFERÊNCIAS
GUERRA, Fernando; TANEJA, Inder J. Florianópolis, SEAD/UFSC, 
2006. (Livro Texto do Curso de Graduação em Administração a 
Distância).
LEITHOLD, Louis. O CALCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA. 3ª ed. 
São Paulo: Harbra, 1994.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
42
TÓPICO 01: INCREMENTO E TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO
Fonte [1]
A derivada de uma função é um conceito primordial dentro do cálculo 
diferencial. Este conceito está historicamente ligado ao estudo das tangentes 
que foi utilizado por Isaac Newton, por exemplo, para analisar os 
movimentos dos planetas no século XVII. Conta-se que Newton teria se 
perguntado por que as órbitas dos planetas eram curvas, pois se fossem retas 
seria mais fácil estudar seus movimentos. O passo seguinte, então, foi 
investigar a possibilidade de se usar um conjunto de pequenas retas para 
representar e aproximar os movimentos de curvas. Esta simples ideia de 
aproximação deu início a uma longa produção científica de grande relevância 
para o desenvolvimento da matemática. 
INCREMENTO E TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO
Para se estudar o conceito de derivadas de funções é preciso primeiro 
entender o que é um incremento e uma taxa média de variação. 
Consideremos uma função f, dada por y = f (x) . Quando x varia de um valor 
inicial de x para um valor final de x, temos o incremento em x. O símbolo 
matemático para a variação em x, chamada incremento em x, será Δ x (leia-
se delta x). Logo, Δ x = valor final de x – valor inicial de x.
Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para um valor final 
2,5, o incremento em x será Δ x = 2,5 - 2 = 0,5. Da mesma forma, o 
incremento emy, Δ y (leia-se delta y), será Δ y = valor final de y – valor 
inicial de y. Portanto, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor 
final 7,25, o incremento em y será Δ y = 7,25 - 5 = 2,25 .
Consideremos agora a função y = f(x) = x2 + 1. Vamos calcular Δx 
quando x varia do valor x = 1 para x = 3 e também calcular Δy. Inicialmente 
temos Δx = 3 - 1 = 2. Para calcularmos o valor de Δy, temos:
para x = 1 → y = f(1) = 12 + 1 = 2
para x = 2 → y = f(2) = 22 + 1 = 5
Assim, Δy = 5 - 2 = 3. Portanto, Δx = 2 e Δy = 3.
De um modo geral, temos:
Valor inicial de x = x0 e valor final de x = x0 + Δx,
Valor inicial de y = f(x0) e valor final de y = f(x0 + Δx).
Assim, Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).
Usando estas expressões para a função y = f(x)= x2 + 1, temos:
Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 05: DERIVADAS
43
= [(x0 + Δx)2 + 1] – [(x20 + 1)]
= x20 + 2x0Δx + (Δx)2 + 1 – x20 – 1
= 2x0Δx + (Δx)2
Seja f(x) uma função definida em um intervalo [a,b] e x0 [a,b], com 
qualquer que seja x [a,b] com x x0. Quando a variável x passa do valor x 
= x0 para o valor x = x0 + Δx sofrendo uma variação Δx, Δx = x - x0, o 
correspondente valor da função passa de f(x0) para o valor f(x0 + Δx) 
sofrendo, portanto, uma variação Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).
As variações Δx e Δy podem ser visualizadas no seguinte gráfico:
DEFINIÇÃO:
O quociente , recebe o nome de taxa 
média de variação da função f(x) quando x passa do valor x0 para o valor x 
= x0 +Δx, e expressa a variação média sofrida pelos valores da função f(x) 
entre esses dois pontos
EXEMPLO 1
Seja a função f, tal que f(x) = 2x + 1, para x ∈ R. Determine a taxa 
média de variação de f, quando x passa de x 0 = 1 para x 0 + Δx = 4
Resolução: Como x 0 + Δx = 4 temos que 1 + Δx = 4. Logo, Δx = 4 
- 1 = 3, f(x 0) = f(1) = 2.1+1=3 e f(x 0 + Δx) = f(4) = 2.4+1=9
EXEMPLO 2
Seja a função f, tal que f(x) = x 2 + 4, para x ∈ R. Determine a taxa 
média de variação de f, quando x passa de x 0 = 2 para x 0 + Δx = 5.
Resolução: Como x 0 + Δx = 5 temos que 2 + Δx = 5. Logo Δx = 5 - 
2 = 3, f(x 0) = f(2) = 2 2 + 4 = 8 e f(x 0 + Δx) = f(5) = 5 2+ 4= 29
44
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Determine a taxa média de variação das funções seguintes entre os 
pontos indicados abaixo e envie suas respostas através do seu PORTFÓLIO
no SOLAR.
a) f(x) = 3; entre os pontos x = 2 e x = 4.
b) f(x) = x2 + x; entre os pontos x= -2 e x = 2.
c) f(x) = 1 - 1/x; entre os pontos x = 3 e x = 6.
d) f(x) = -x2; entre os pontos x = -4 e x = -1.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
2. http://www.denso-wave.com/en/
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45
TÓPICO 02: DEFINIÇÃO DE DERIVADA
No tópico anterior desta aula compreendemos o significado de taxa 
média de variação.Na aula anterior entendemos o conceito de limite. Estes 
dois conceitos serão utilizados na definição de derivada.
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO
O quociente , recebe o nome de taxa 
média de variação da função f(x) quando x passa do valor x0 para o 
valor x = x0 + Δx, e expressa a variação média sofrida pelos valores da 
função f(x) entre esses dois pontos.
LIMITE
O limite é usado para descrever o comportamento de uma função 
na medida em que seu argumento se aproxima de um determinado 
valor, assim como o comportamento de uma sequência de números 
reais (R),na medida em que o índice da sequência vai crescendo, ou 
seja, tende para o infinito. A noção de limite fornece um caminho 
preciso para distinguir o comportamento de algumas funções que 
variam continuamente, assim como o comportamento de outras 
funções que podem variar independente do modo como se controla as 
variáveis.
DEFINIÇÕES
DERIVADA DA FUNÇÃO
A derivada de uma função f em relação à variável x do domínio de f é a 
função f '(x), dada por:
se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em 
x.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NO PONTO X0
Se x0 for um número particular no domínio f, então a derivada da função 
f no ponto x0, denotada por f '(x0), é dada por: 
se este limite existir. Diz-se, nesse caso, que a função f(x) é derivável em 
x0, ou seja, existe f '(x0).
Pela definição acima, podemos dizer então que a derivada de uma 
função no ponto x0 é a taxa média de variação da função neste ponto, quando 
ocorre uma variação muito pequena em x (Δx ⇒ 0).
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 05: DERIVADAS
46
EXEMPLO
Dada f(x) = 4x2 + 2, calcular a derivada de f.
RESOLUÇÃO
Se x é algum número no domínio de f, então pela definição acima 
temos que:
Portanto, a derivada de f(x) = 4x2 + 8, em relação a x, é 8x, ou seja, f 
'(x) = 8x.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
A derivada de uma função em um ponto, se existir, tem um significado 
geométrico muito importante que está relacionado à tangente das curvas 
neste ponto. O gráfico abaixo ajudará na compreensão desta informação.
Vemos que a função y = f(x) é uma 
curva. A reta secante s corta esta função 
em dois pontos (P e Q) e sua inclinação é 
igual a α. Podemos então observar que a 
tangente de α é dada por:
A medida que traçamos outras 
secantes que estejam localizadas entre s e 
t, observamos que a cada nova secante 
mais próxima de t temos:
x ⇒ x0 (x fica cada vez mais próximo 
de x0). Como Δx = x - x0, então quando x ⇒ x0 implica que Δx ⇒ 0.
A reta t é tangente à função y no ponto P. Isso quer dizer que a tangente 
de β deve ser dada por:
Mas o lado direito desta equação é conhecido. Ele é a definição da 
derivada de uma função no ponto x0 (f '(x0)). Portanto, tangente β = f '(x0) 
OBSERVAÇÃO
Podemos então dizer que:
47
A derivada de uma função f(x) quando existe, assume em cada ponto 
x0, um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
de f(x), no ponto de abscissa x0.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Dada f(x) = 5x2 + 3, calcule a derivada de f no ponto x0 = 2, ou seja, f 
'(2). Em seguida envie as respostas para o seu PORTFÓLIO no SOLAR
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48
TÓPICO 03: CÁLCULO DE DERIVADAS PARA FUNÇÕES
O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da 
função, pode ser bastante complicado. Contudo, com base na definição de 
derivada da função, é possível obter várias regras que facilitam muito o 
trabalho. São as chamadas regras de derivação para soma, produto e 
quociente de funções. Elas são importantes no cálculo de derivadas de 
qualquer função. A seguir, apresentaremos alguns exemplos de cálculo de 
derivada, usando a definição de derivada da função. Posteriormente, estes 
exemplos vão ser utilizados como regras de derivação. 
REGRAS DE DERIVAÇÃO
DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE
Se f(x) = k, onde k é uma constante, então f´(x) = 0.
De fato,
Logo, se f(x) = k, então f´(x) = 0. 
Exemplo: Se f(x) = 4, então f'(x) = 0
DERIVADA DA FUNÇÃO AFIM
Se f (x) = ax + b , onde a e b são constantes e a ≠ 0 , então f'(x) = a.
De fato,
Logo, se f(x) = ax + b, então f´(x) = a.
Exemplos:
Se f(x) = 5x + 4, então f'(x) = 5.
Se f(x) = 2 – 7x, então f'(x) = -7.
DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Se f(x) = x n , onde n pertence ao conjunto de números naturais, 
então f'(x)= nx n-1.
EXEMPLOS: Se f(x) = x 4, então f'(x) = 4x 3.
Se f(x) = x 2, então f'(x) = 2x.
DERIVADA DA FUNÇÃO SOMA
Sejam g(x) e h(x) duas funções deriváveis no ponto x , então f(x) = g
(x) + h(x) também é derivável no ponto x e f'(x) =g'(x) + h'(x) .
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 05: DERIVADAS
49
EXEMPLO: Se f(x) = x 4 + 3x 2, podemos considerar g(x) = x 4 e h
(x) = 3x 2. Seguindo a derivada da função soma temos que f'(x) = g'(x) + 
h'(x), então, f'(x) = 4x 3 + 6x. 
DERIVADA DA FUNÇÃO PRODUTO
Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis em x, então f(x) = u
(x).v(x) também é derivável em x, e f'(x) = u(x).v'(x) + u'(x).v(x) . Se f (x) 
for o produto de várias funções iguais (u(x)), tal que f (x) = (u(x)) n,então 
f'(x) = n(u(x)) n-1.u'(x). 
EXEMPLOS: Se f(x) = (x 2 + 3)(3x + 1), podemos considerar u(x) = 
(x 2 + 3) → u'(x) = 2x e v(x) = (3x + 1) → v'(x) = 3, então f '(x) = u
(x).v'(x) + u'(x).v(x) = 3(x 2 + 3) + 2x(3x + 1).
Se f(x) = (x 2 + x + 1) 5, podemos considerar u(x) = (x 2 + x + 1), 
fazendo então f (x) = (u(x)) 5. Podemos agora aplicar a regra f'(x) = n(u
(x)) n-1.u'(x) e econtramos que f'(x) = 5(x 2 + x + 1)4(2x + 1). 
DERIVADA DA FUNÇÃO QUOCIENTE
Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis no ponto x. Seja f(x) = u
(x)/v(x), com v(x) ≠ 0. Então,
EXEMPLO:
DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Seja f (x) = a x, a pertencente ao conjunto dos números reais 
positivos, e a ≠ 1, então f'(x)= (a x)'= a x lna . Em particular, quando a 
= e, temos que, f (x) = e x → f'(x) = e x.
DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Seja f(x) = log aX com a pertencente ao conjunto dos números reais 
positivos, e a ≠ 1, então em particular quando a = e temos 
que f(x) = log eX = ln X, consequentemente, .
DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA (OU REGRA DA CADEIA)
Sejam y = f (x) e u = g(x) duas funções, tais que suas derivadas 
existam e exista a derivada da função y = f(g(x)) , que indicaremos por 
dy/ dx , então
50
ou ainda
A derivada da função composta obtida acima é conhecida como regra 
da cadeia. Exemplo: Se, y = e 4x, podemos considerar y = e u, com u = 
4x. Temos então que: e . Aplicando a regra da cadeia: 
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva as Questões abaixo e envie as respostas através do seu 
PORTFÓLIO no SOLAR. 
Obtenha a derivada de cada função a seguir:
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51
TÓPICO 04: DERIVADAS SUCESSIVAS E DIFERENCIAL
DERIVADAS SUCESSIVAS
Suponha que f é uma função derivável em certo intervalo. Se a função f´
(x), chamada de derivada primeira de f (x), é derivável neste mesmo 
intervalo, então existe a função derivada de f´(x), indicada como f´´(x), que é 
chamada de derivada segunda de f (x). Diz-se, então, que f (x) é duas vezes 
derivável. Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que f (x) é 
n vezes derivável, obtém-se a função derivada n–ésima, ou derivada de 
ordem n, de f (x) indicada como f(n)(x). As funções f ´(x) , f ´´(x) ,..., f(n)(x) , 
são as derivadas sucessivas de f (x). 
EXEMPLO 1
Determinar todas as derivadas da função f ( x ) = x 3 + 2 x 2
+ 1
RESOLUÇÃO: Aplicando as regras de derivação estudadas no tópico 
anterior, temos:
f' ( x ) = 3 x 2 + 4 x , (primeira derivada, ou derivada de primeira 
ordem)
f'' ( x ) = 6 x + 4 , (segunda derivada, ou derivada de segunda 
ordem)
f''' ( x ) = 6 , (terceira derivada, ou derivada de terceira ordem) 
f iv ( x ) = 0 , (quarta derivada, ou derivada de quarta ordem) 
f n ( x ) = 0 , para qualquer n = 4 . 
EXEMPLO 2
Determinar a derivada de terceira ordem da função f(x) = e -2x
RESOLUÇÃO: A derivada de primeira ordem é igual a: f '( x ) = - 
2 e -2x , a derivada segunda é igual a: f ''( x ) = 4 e -2x , portanto a 
derivada terceira (ou de terceira ordem) será: 
f '''( x ) = - 8 e -2x 
EXERCITANDO
Encontre a derivada de terceira ordem da seguinte função:
f(x) = 1/x.
DIFERENCIAL
Suponha que a função f seja definida por y = f (x) e f seja derivável em 
x0. A variação sofrida por f, quando se passa do ponto x0 ao ponto x0 + Δx é:
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 05: DERIVADAS
52
Usando o símbolo ≈, significando “é aproximadamente igual a”, 
dizemos que:
se Δx for suficientemente pequeno. O lado direto da expressão acima é 
definido como a diferencial de y. Isto nos motiva a seguinte definição:
OBSERVAÇÃO
Se a função f é definida por y = f (x), então a diferencial de y, no ponto 
x0, denotada por dy ou df é dada por
df = f’ ( x0) Δ x
onde x 0 está no domínio de f’ e Δ x é um incremento arbitrário de x 0 .
Portanto, para pequenos valores de Δ x, a diferencial de uma função 
pode ser usada para calcular aproximadamente variações da função f.
EXEMPLO
Consideremos a função f ( x ) = 3 x 2 , x = 1 e x 0 + Δx = 1,01 , logo Δx = 
1,01 - 1 = 0,01 . Calcular Δf e df :
RESOLUÇÃO: Vamos calcular inicialmente Δf dado por Δf = f( x 0 + 
Δx) - f ( x 0 ) , assim,
Δf = f (1,01) - f (1) 
= 3.(1,01) 2 - 3.1 2
= 3.1,0201 - 3.1
= 3,0603 - 3
= 0,0603.
Para calcularmos a diferencial de f no ponto x 0 = 1 e Δx = 0,01 , temos 
f '( x ) = 6 x e f '(1) = 6.1 = 6
Assim, df = f' ( x 0 ). Δx = f '(1).0,01 = 6.0,01 = 0,06 . Não é difícil de 
observar que df é muito próximo de Δf (Δf = 0,0603 e df = 0,06).
EXERCITANDO
Calcule a diferencial de:
y = f(x) = x 2 no ponto x 0 = 2 e Δ x = 0,01.
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53
TÓPICO 05: FUNÇÕES MARGINAIS
Veremos agora alguns exemplos de como podemos utilizar derivadas 
para conceituar questões administrativas e econômicas. Em Administração 
ou Economia, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função 
marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de 
x. Chama-se função marginal de f(x) a função derivada de f(x). Assim, a 
função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita 
marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seção 
veremos algumas funções marginais.
FUNÇÃO CUSTO MARGINAL
Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de certo 
produto. A função C é chamada de FUNÇÃO CUSTO TOTAL e temos a 
seguinte definição.
OBSERVAÇÃO
Se C(x) é o custo total de produção de x unidades de um produto, 
então o CUSTO MARGINAL quando x = x0, é dado por C'(x0), caso exista. A 
função C'(x) é chamada função custo marginal.
Vimos no tópico anterior que:
C'(x0) ≅ ΔC = C (x0 + 1) - C(x0)
Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual a variação do custo 
decorrente da produção de uma unidade adicional além das x0 unidades 
produzidas. Na definição acima C'(x0) pode ser interpretada como a taxa de 
variação do custo total quando x0 unidades são produzidas.
PROBLEMA
Suponha que C(x) seja a função de custo total de fabricação de x pares 
de sapatos da marca Kchute, dado pela equação C(x) = 110 + 4x + 0,02x 2. 
Determinar o custo marginal quando x for igual a 50.
RESOLUÇÃO
Podemos utilizar as regras das derivadas da função soma e da função 
potência pra calcular a derivada desta função de custo total. Temos então 
que:
C'(x) = 4 + 0,04x. Esta é a função custo marginal. Quando x for igual a 50, 
a função de custo marginal será: C'(50) = 4 + 0,04.50 = 6. Assim sendo, a 
taxa de variação do custo total quando 50 pares de sapato da marca Kchute 
são produzidos é R$ 6,00 por par fabricado. Podemos ainda dizer que o 
custo adicional aproximado de produção do quinquagésimo primeiro par 
de sapado é igual a R$ 6,00.
FUNÇÃO RECEITA MARGINAL
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 05: DERIVADAS
54
Suponha que R(x) seja a receita total obtida pela venda de x unidades de 
um produto então têm a seguinte definição.
OBSERVAÇÃO
Se R(x) é a receita obtida quando x unidades de um produto são 
demandadas, então a RECEITA MARGINAL, quando x = x0, é dado por 
R'(x0), caso exista. A função R'(x) é chamada FUNÇÃO RECEITA
MARGINAL. R'(x0) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser 
interpretada como a taxa de variação da receita total quanto x = x0
unidades são demandadas.
Da mesma forma que no custo temos que:
R'(x0) ≅ ΔR = R (x0 + 1) - R(x0)
Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual a variação da 
receita decorrente da venda de uma unidade adicional além das x0 unidades 
vendidas. Na definição acima R'(x0) pode ser interpretada como a taxa de 
variação da receita total quando x0 unidades são vendidas.
PROBLEMA
Suponha R(x) seja a função de receita total recebida da venda de x 
unidades de cadeiras da loja BBC Móveis, e R(x) = -4x 2 + 2000x. Calcular 
a receita marginal para x = 40.
RESOLUÇÃOInicialmente calculamos a derivada da função receita total. Aplicando 
as regras conhecidas de derivação temos que: R'(x) = -8x + 2000. Então 
R'(40) = -8.40 + 2000 = 1680. Portanto, que a receita adicional 
aproximada da venda da quadragésima primeira cadeira é igual R$ 1680.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolver as Questões abaixo e envie as respostas através do seu 
PORTFÓLIO no SOLAR. 
1) Dada a função custo C(x) = 0,3x3 - 2,5x2 + 20x + 200, obtenha o 
custo marginal para x = 50. 
2) A receita total recebida da venda de x televisores em cores é dada 
por:
R(x) = 700x - x3/40. Determine a função receita marginal e a receita 
marginal quando x = 250.
FÓRUM
Participe do FÓRUM “AULA 5 - FUNÇÕES MARGINAIS" para 
esclarecer suas dúvidas em relação a esse tópico e discutir com os colegas 
possíveis soluções para os exercícios.
55
 REFERÊNCIAS
EVES, Howard W. INTRODUÇÃO À HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.
Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 
1995.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. CÁLCULO A: Funções, 
Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, 
Ermes Medeiros da. MATEMÁTICA: para os cursos de economia, 
administração e ciências contábeis. 3. Ed. São Paulo: Atlas, 1988.
FONTES DAS IMAGENS
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56
TÓPICO 01: TEOREMA DO VALOR MÉDIO
O teorema do valor médio estabelece uma relação importante entre uma 
função e sua derivada. Suponha que uma função f seja contínua e derivável 
no intervalo entre dois valores a e b. Então, existe pelo menos um valor c 
entre a e b (a < c < b), tal que:
Ou seja, a derivada da função no ponto c que se localiza entre os valores 
de a e b, é igual a razão das diferenças das funções (f (b) – f(a)) nestes pontos 
e de seus respectivos valores (b – a). Esta relação fica mais fácil de ser 
compreendida geometricamente. O teorema afirma que existe pelo menos 
um ponto c cujo valor é maior que a e menor que b, tal que a reta tangente ao 
gráfico da função no ponto (c, f(c)) é paralela a reta que passa pelos pontos A 
= (a, f(a)) e B = (b, f(b)), como indica a figura abaixo.
OBSERVAÇÃO
Podemos observar que a 
derivada da função no ponto 
(c, f(c)) é uma reta paralela a 
reta que liga os pontos A e B. 
Ou seja, f’(c) tem a mesma 
inclinação desta linha, o que 
nos leva a definição do 
teorema.
EXEMPLO 1
Seja f(x) = x 2 definida no intervalo de -1 a 3 [-1,3]. Calcular o valor 
médio de c que o Teorema do Valor Médio garante existir.
RESOLUÇÃO
Aqui temos que a = -1, e b = 3. Podemos então calcular f(a) e f(b), pela 
função dada. Substituindo a na função temos que f(-1) = (-1) 2 = 1 e f(3) = 
3 2 = 9. Como f(x) é contínua para todo x, então f(x) = 2x existe no 
intervalo entre -1 e 3. Portanto, f(c) = 2c para -1 < c < 3. Aplicando o 
teorema temos que:
Portanto, o valor de c entre -1 e 3 que o TVM garante existir é igual a 1.
EXEMPLO 2
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 06: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
57
Seja f(x) = x 3, a = -2 e b = 2. Determine os pontos desse intervalo 
onde se verifica a afirmação do teorema do valor médio.
RESOLUÇÃO
A função é um polinômio então satisfaz a condição de ser derivável 
entre os intervalos de valores definidos na questão (entre -2 e + 2). Fácil 
identificar que f(a) = 8 e f(b) = 8 (Como?). Podemos ainda verificar 
derivando a função no ponto c que f’(c) = 3c 2. Então pelo teorema 
temos que:
Logo os dois valores de c são: e eentre a = -2 e b = 2, 
que são os pontos onde se verifica TVM. Observamos, então, com esse 
exemplo, que um ou mais pontos de tangência pode existir.
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58
TÓPICO 02: REGRA DE L’HÔPITAL
Outra aplicação das derivadas consiste num modo bastante útil de 
calcular limites de formas indeterminadas, tipo e , provenientes do 
cálculo de limite do quociente de duas funções deriváveis. Esta é a chamada 
Regra (ou Teorema) de L’Hôpital, cujo nome advém de seu descobridor, 
Marquês de l’Hôpital.
REGRA DO L’HÔPITAL
Queremos calcular, então, o limite nos seguintes casos:
Em ambos os casos, podemos calcular f’(x), g’(x) e aplicar .
Se este limite existe, segue que também existe. Caso a 
indeterminação continua, isto é se f’(x) e g’(x) também gerarem a) e b), 
calcule f’’(x) e g’’(x) e , e assim por diante. 
EXEMPLO 1
Usando a regra de L’Hôpital, calcular o valor do limite: 
RESOLUÇÃO: Podemos considerar que 
Se resolvermos os limites separadamente para cada uma destas 
funções temos que:
 e 
Ficamos, então, com uma indeterminação do tipo 0/0. O que fazer?
Vamos aplicar, então, a regra de L’Hôpital. Primeiro calculamos f’(x) e 
g’(x). 
Derivando f(x) e g(x) encontra-se que: f’(x) = 2x – 1 e g’(x) = 2x – 3.
Pela regra do L’Hôpital:
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 06: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
59
Portanto, 
.
EXEMPLO 2
Calcular . 
RESOLUÇÃO: Resolução: Se resolvermos direto aplicando as regras de 
limite, encontramos uma indeterminação do tipo 0/0, dado que 
 e 
.
Calculando podemos aplicar a regra do 
L’Hôpital.
Portanto,
= -1. 
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60
TÓPICO 03: MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO
DEFINIÇÃO 01
Ponto de máximo relativo (ou local) da função, quando f(x0) ≥ f(x) 
para todos os x pertencentes a I.
DEFINIÇÃO 02
Ponto mínimo relativo (ou local) da função, quando f(x0) ≤ f(x) para 
todos os x pertencentes a I.
Em Administração ou Economia, é comum encontrarmos situações 
nas quais queremos encontrar os pontos de máximo ou mínimo de 
determinadas funções. Um administrador está normalmente interessado 
em maximizar os lucros de uma empresa quando vai decidir sobre a 
quantidade a ser produzida, por exemplo. Em outra situação, ele pode 
também querer minimizar certos tipos de custos de produção. Neste 
sentido, ele está tentando achar os pontos de máximo e mínimo das 
funções lucro e custo, respectivamente, para determinada quantidade a ser 
produzida. Neste tópico, iremos estudar aplicações da derivada para 
determinar os valores de máximo e mínimo de uma função.
EXTREMOS RELATIVOS
Para melhor entendermos como se encontra os máximos e mínimos das 
funções, necessitamos primeiro das seguintes definições:
Em algumas situações um ponto crítico também pode ser encontrando 
quando a função f não é derivável em x0. Uma função num formato de um V, 
por exemplo, com x0 determinado pela quina do V. Neste curso, no entanto, 
daremos mais importância aos pontos críticos encontrados pela derivação da 
função para certos intervalos de valores.
EXEMPLOS
EXEMPLO 1
Seja a função f(x) = x3 - 3x 2, x ∈ R. Determinar os pontos críticos 
de f. 
RESOLUÇÃO: Sabemos que f(x) = x 3 - 3x 2 é uma função 
polinomial derivável em todo x R. Calculando f'(x) = 3x 2 - 6x. Agora 
f'(x) = 0 implica que 3x 2 - 6x = 0. Podemos ainda escrever 3x.(x - 2) = 0, 
o que indica que x = 0 e x = 2 são pontos críticos da função.
EXEMPLO 2
Calcular os pontos críticos da função f(x) = x 3 + x 2 - x + 1, no 
intervalo [-2, ½ ].
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 06: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
61
RESOLUÇÃO: Encontramos primeiro a derivada: f'(x) = 3x 2 + 2x - 
1 e igualamos esta função derivada á 0. Temos que: 3x 2 + 2x - 1 = 0. 
Resolvendo esta função do segundo grau, encontramos as raízes x = -1 e x = 
1/3. Como estes pontos estão dentro do intervalo [-2, ½], então estes são 
os pontos críticos da função.
EXEMPLO 3
Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente, e f(x) = x 3
- 6x 2 + 9x + 1.
RESOLUÇÃO: Resolvendo a derivada temos que f'(x) = 3x 2 - 12x + 
9. Agora fazendo f'(x) = 0, temos 3x 2 - 12x + 9 = 0. Resolvendo esta 
equação do segundo grau encontramos as raízes: x = 3 e x= 1. Logo, 
podemos também reescrever f'(x) da seguinte forma: f'(x) = 3(x - 1)(x - 3). 
Agora utilizamos o sistema de sinais para verificar qual o valor de f'(x) para 
determinados valores de x.
e f'(x) Conclusão
x < 1 + f é crescente
x = 1 0 ponto crítico de f
1 < x < 3 - f é decrescente
x = 3 0 ponto crítico de f
x > 3 + f é crescente
Portanto, f(x) é crescente em (-∞, 1] e [3, ∞) e decrescente em [1,3]. 
Também x = 3 e x = 1 são extremos da função (pontos críticos).
Podemos ainda utilizar o conceito de derivada e de pontos críticos para 
determinar se uma função é crescente ou decrescente em um determinado 
intervalo.
OLHANDO DE PERTO
TEOREMA
Seja f(x) uma função derivável no intervalo de valores (a, b), então:
a. Se f'(x) = 0 em (a, b), então f(x) é constante em (a, b);
b. Se f'(x) > 0 em (a, b), então f(x) é crescente em (a, b);
c. Se f'(x) < 0 em (a, b), então f(x) é decrescente em (a, b);
Podemos observar melhor esta relação com o seguinte gráfico:
Notamos que para x < 0, temos que 
f'(x) < 0 (inclinação negativa), e 
consequentemente f(x) é decrescente 
para os valores de x menor que 0. 
Também temos que para x > 0, f'(x) > 0 
(inclinação positiva), e a função f(x) está 
62
crescendo. Quando x = 0, a função 
encontra um ponto crítico (neste caso um 
ponto de mínimo relativo). Neste ponto, 
f'(x) = 0.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.denso-wave.com/en/
Responsável: Prof. João Mário de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
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TÓPICO 04: TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Este teste é empregado para pesquisar os pontos de máximo e mínimo 
relativos de uma dada função. Para isto, temos a seguinte definição.
OBSERVAÇÃO
Seja x0 um ponto crítico de uma função na qual f´(x0) = 0 e f´existe 
para todos os valores de x, em algum intervalo aberto de valores que 
contenha o ponto x0. Então, f"(x0) existe e: 
(i) se f"(x0) < 0, então f tem um valor máximo relativo em x0;
(ii) se f "(x0) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em x0.
EXEMPLO 1
Pesquisar pontos de máximo e mínimos relativos da função f(x) = x3 - 
6x2 + 9x + 1, pelo teste da derivada segunda.
RESOLUÇÃO:
Pela primeira derivada temos que: f’(x) = 3x2 – 12x + 9. Então a 
segunda derivada é dada por: f’’(x) = 6x – 12. Para calcular os pontos 
críticos de f temos que igualar f’(x) a zero, encontrando 3x2 – 12x + 9 = 0. 
Podemos ainda fatorar esta equação e reescrevê-la da seguinte forma: 3(x – 
3)(x – 1) = 0. A partir desta fatoração (ou encontrando as raízes da 
expressão) fica claro que f’(x) somente irá ser igual a zero se x = 1 ou x = 3. 
Logo, x = 1 e x = 3, são pontos críticos de f. Mas estes são pontos de 
máximo ou de mínimo? Para isto, podemos utilizar o teste da derivada 
segunda. 
Para x = 1, temos f’’(1) = 6.1 – 12 = -6 < 0, logo x = 1 é um ponto de 
máximo relativo. 
Para x = 3, temos f’’(3) = 6.3 – 12 = 6 > 0, logo x = 3 é um ponto de mínimo 
relativo.
Pelo gráfico função abaixo podemos observar estes pontos extremos.
EXEMPLO 2
A função de custo mensal de fabricação de um produto é dada por:
C(x) = x3/3 – 2x2 + 10x + 1. A função de demanda (inversa) mensal, que 
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 06: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
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determina preço do produto no mercado, é dada por p(x) = 10 – x. Qual o 
preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro. 
RESOLUÇÃO:
Para resolver esta questão, primeiro temos que determinar a função 
lucro. O lucro é dado pela diferença entre as receitas de vendas mensais e o 
custo mensal de fabricação dos produtos. Portanto: Lucro (L) = Receita (R) 
– Custo (C).
A receita é dada pela multiplicação do preço do produto (p) pela 
quantidade de produtos vendidos (x). Portanto: R = p.x. Substituindo a 
função de demanda nesta equação temos:
R = (10 – x).x = 10x – x2. Temos então a função receita dada por: R(x) 
= 10x – x2. Agora podemos encontrar a função lucro L (x) que será dada 
por:
L(x) = R(x) – C(x) = (10x – x2) – (x3/3 – 2x2 + 10x + 1). 
L(x) = 10x – x2 - x3/3 + 2x2 – 10x – 1 → L(x) = x2 – x3/3 – 1
Calculando a derivada primeira e segunda da função lucro, em relação 
a x, temos
L’(x) = -x2 + 2x e L’’(x) = -2x + 2. 
Se estamos interessados em achar o ponto de produção que maximiza o 
lucro, temos que (1) igualar a derivada primeira a zero, (2) achar o valor 
crítico de x, e (3) identificar se este ponto é um máximo relativo através do 
teste da derivada segunda.
1. –x2 + 2x = 0
2. Resolvendo esta equação temos que x(2 – x) = 0. Então x = 0 e x = 2 são 
pontos críticos da função lucro L(x).
3. Para x = 0, L’’(x) = -2.0 + 2 = 2 > 0, então x = 0 é um ponto mínimo 
relativo de L.
Para x = 2, L’’(x) = -2.2 + 2 = -2 < 0, então x = 2 é um ponto de 
máximo relativo de L.
PPortanto, o nível de produção que deve maximizar o lucro será igual 
a 2. O preço cobrado, então, pode ser extraído da função de demanda p(x) 
= 10 – x. O preço a ser cobrado, então, será p(x) = 10 – 2 = 8.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva as atividades propostas abaixo e envie suas respostas através 
do seu PORTFÓLIO no SOLAR.
1. Verifique se as condições do teorema do valor médio são satisfeitas 
pela função f (x) = x3 + 3x2 - 5 em [-1,2]. Determine os pontos desse 
intervalo onde se verifica a afirmação do teorema.
2. Aplicando a regra do L´Hôpital, calcule os seguintes limites:
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3. Seja f (x) = x3 + x2 - 8x - 8, determine então:
a. Os pontos críticos de f.
b. Os intervalos onde f é crescente e decrescente.
c. Os valores de máximos e mínimos relativos de f.
4. O custo de produção de x aparelhos de certa TV Plasma por dia é 
dado por: C (x) = (1/4)x2 + 35x + 25, e o preço unitário que elas podem ser 
obtidas são dados pela função p (x) = 50 - (1/2)X. Determine:
a. A função receita.
b. A função lucro.
c. Qual deve ser a produção diária que maximiza o lucro.
d. Qual o preço cobrado.
5. A produção de bicicletas da empresa "Super Bike" é de x unidades 
por mês, ao custo dado de c (x) = 100 + 3x. Se a equação de demanda 
(inversa) for p (x) = 25 - x/3. Obtenha o número de unidades de bicicletas 
que deve ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro mensal.
FÓRUM
Participe do FÓRUM DA “AULA 06 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS"
para esclarecer suas dúvidas em relação a esta aula e discuta com os 
colegas possíveis soluções para os exercícios.
FONTES DAS IMAGENS
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