Cálculo Financeiro

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Aula 07
Matemática Financeira para concursos - Com Videoaulas - Curso Regular
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
CURSO REGULAR DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 07 – CÁLCULO FINANCEIRO 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 38 
3. Questões apresentadas na aula 101 
4. Gabarito 130 
 
Olá! 
 Nesta aula trabalharemos os seguintes tópicos de Matemática 
Financeira: 
Fluxo de caixa, VPL, taxa interna de retorno do acionista e do projeto, 
payback, custo efetivo de empréstimos, avaliação de alternativas de 
investimentos, índices de preços, indexadores, correção monetária 
Tenha uma ótima aula! 
 
 
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1. TEORIA 
1.1 FLUXO DE CAIXA 
 Uma aplicação útil dos cálculos de valor atual e de anuidades que 
vimos na aula passada é a análise de fluxos de caixa. Um fluxo de caixa é 
formado por todas as saídas (pagamentos, desembolsos) e todas as 
entradas de capital (recebimentos) ao longo de um período, associados a 
certo projeto ou negócio. 
Imagine que você é um empreendedor, e planejou abrir um 
negócio. Fazendo seus cálculos, percebeu que precisaria gastar, na data 
de hoje, R$7000,00 para abrir o negócio e colocá-lo para funcionar. A 
partir daí, sua estimativa é de que nos próximos 4 anos você lucre 
R$2.000,00 ao final de cada ano com o seu negócio. O gráfico abaixo 
representa o desembolso de 7000 reais e os ganhos de 2000 reais 
distribuídos ao longo do tempo: 
 
 
Esse esquema onde temos desembolsos e ganhos distribuídos ao 
longo do tempo é o chamado de Fluxo de Caixa de um projeto. Ele nos 
permite, entre outras coisas, fazer uma análise importante: vale a pena 
investir nesse negócio? 
 A uma primeira vista, talvez você respondesse: “sim, afinal serão 
investidos 7000 reais e, ao longo dos 4 anos, ganharei 8000 reais, 
resultando num saldo positivo de 1000 reais”. Muito cuidado nessa hora. 
Você deve se lembrar que o valor do dinheiro se altera no tempo. Isto é, 
2000 reais de hoje não valem a mesma coisa de 2000 reais no final do 4º 
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ano. Exemplificando, considere a taxa de juros de 10% ao ano. Se temos 
o valor futuro VF = 2000 reais daqui a 4 anos, o valor presente 
correspondente é: 
4
(1 )
2000
1366,02
(1 0,1)
t
VF
VP
j
VP


 

 
 
 Isto é, os 2000 reais ganhos ao final do 4º ano correspondem ao 
valor atual de apenas 1366,02. De fato, se você aplicar hoje 1366,02 num 
investimento que pague juros compostos de 10% ao ano, verá que, ao 
final de 4 anos, terá o montante de 2000 reais. Vejamos quanto valem, 
na data de hoje, os 2000 reais ganhos ao final do 3º ano: 
3
(1 )
2000
1502,62
(1 0,1)
t
VF
VP
j
VP


 

 
 
 Podemos fazer essa mesma conta para os 2000 ganhos ao final do 
2º e do 1º anos: 
2
1
2000
1652,89
(1 0,1)
2000
1818,18
(1 0,1)
VP
VP
 

 

 
 
 Somando o valor presente de cada recebimento futuro, temos que o 
Valor Atual dos recebimentos futuros é VP = 6339,71. Apesar de, a uma 
primeira vista, o nosso negócio ter um ganho de 8000 reais, devemos 
considerar que, para uma taxa de juros de 10% ao ano, o valor atual dos 
recebimentos é de apenas 6339,71. 
 Comparando este valor com o total investido (7000 reais), vemos 
que o negócio não compensa. Vale mais a pena você pegar os 7000 reais 
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que dispõe, aplicar num investimento bancário que renda 10% ao ano, e 
ficar em casa descansando! 
Isto se a taxa de juros for mesmo 10% ao ano. Se ela fosse de 
apenas 1% ao ano, o valor presente dos recebimentos futuros seria de: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)
1980,19 1960,59 1941,18 1921,96
7803,92
VP
VP
VP
   
   
   

 
 
 Assim, valeria a pena investir no negócio, afinal o valor presente 
dos recebimentos futuros (7803,92) é superior ao valor investido (7000). 
 Antes de trabalharmos uma questão sobre fluxo de caixa, é 
importante conhecermos o conceito de valor presente líquido, taxa interna 
de retorno e taxa mínima de atratividade. 
 
1.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) E TAXA INTERNA DE 
RETORNO (TIR) 
 Quando analisamos um determinado projeto, a diferença entre o 
valor dos recebimentos (entradas) e o valor investido (desembolsos), 
todos trazidos a valor presente pela taxa “j”, é chamada de Valor 
Presente Líquido (VPL) do negócio, também conhecido pela sigla em 
inglês NPV (Net Present Value): 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
 
 Em nosso exemplo anterior, vimos que o valor atual dos 
desembolsos era de R$7.000,00, enquanto o valor atual dos recebimentos 
era de R$7.803,92, considerando para isso a taxa j = 1% ao ano. 
Portanto, o VPL deste projeto é: 
VPL = 7803,92 – 7000 = 803,92 reais 
 
 O VPL pode ser interpretado como o acréscimo de riqueza obtido ao 
desenvolver um determinado projeto. Se o VPL for maior que zero, o 
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valor atual das entradas é maior que o dos desembolsos, portanto 
podemos dizer que vale a pena investir no negócio. Caso contrário, não 
vale a pena. Lembrando da primeira simulação, onde encontramos VP = 
6339,71, teríamos VPL = 6339,71 – 7000 = -660,29. Portanto, 
considerando a taxa de 10% ao ano, não vale a pena investir no negócio, 
apesar de valer a pena para a taxa de 1%. 
 
Veja que, dependendo da taxa de juros, a decisão quanto a investir 
ou não no negócio pode variar. Na vida real, o investidor normalmente 
utiliza como taxa de juros aquele percentual que ele ganharia se 
investisse seu dinheiro em uma aplicação financeira. Essa taxa é 
normalmente chamada de taxa mínima de atratividade, pois é aquela 
taxa mínima para que o investidor prefira investir no negócio (“se sinta 
atraído”) ao invés da aplicação financeira. Mas você não precisa se 
preocupar com isso, pois nos exercícios de fluxo de caixa a taxa de juros 
será dada pelo enunciado. 
 
Mais um detalhe: imagine ainda que, além da opção de investir no 
negócio acima, com VPL = 803,92 (taxa de 1% ao ano), você também 
vislumbre a oportunidade de investir em outro negócio. Entretanto, você 
só tem recursos para investir em um dos dois negócios. Analisando o 
fluxo de caixa previsto para o segundo investimento, você verifica que 
VPL = 950 reais (também com a taxa de 1%). Em qual negócio vale mais 
a pena investir? Obviamente, no segundo. Isto é, comparando duas 
possibilidades de investimento, aquela com maior VPL é a mais 
interessante. 
 
 Como vimos no exemplo anterior, dependendo da taxa de juros 
considerada o VPL tem valor positivo ou negativo. Existe, portanto, umataxa de juros que torna o VPL igual a zero. Esta taxa é chamada de taxa 
interna de retorno (TIR). Ela é a taxa de juros real do investimento, 
também conhecida pela sigla em inglês IRR (Internal Return Rate). A 
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título de exemplo, veja o que aconteceria no exemplo acima se 
tivéssemos considerado a taxa de juros de 5,564% ao ano: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564)
1894,58 1794,72 1700,13 1610,52
7000
VP
VP
VP
   
   
   

 
 
 Ou seja, o valor presente dos recebimentos futuros seria 7000 
reais. Portanto, o valor presente líquido do investimento seria: 
 
VPL = 7000 – 7000 = 0 
 
 Isso nos mostra que a taxa interna de retorno do investimento é de 
5,564% ao ano. O que a TIR nos diz? Simples: se temos a possibilidade 
de colocar o dinheiro em uma aplicação financeira que pague mais do que 
a TIR, isto é, que tenha um rendimento superior a 5,564% ao ano, é 
melhor deixar o dinheiro na aplicação financeira. Caso contrário, vale a 
pena investir no negócio. Isto é, às vezes, mesmo quando o VPL é 
positivo (valor atual das entradas é maior que o das saídas), pode ser que 
a rentabilidade do negócio seja inferior à que seria obtida na aplicação 
financeira, sendo mais interessante deixar o dinheiro investido no banco. 
 Verifique se você entendeu os assuntos acima resolvendo essas 
questões: 
 
1. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa deverá escolher um 
entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os 
seguintes fluxos de caixa: 
 
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A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e 
verifica-se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são 
iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a 
(A)) R$ 30 000,00 
(B) R$ 40 000,00 
(C) R$ 45 000,00 
(D) R$ 50 000,00 
(E) R$ 60 000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para o projeto Y, temos o fluxo de caixa abaixo: 
 
 Calculando o valor presente líquido deste investimento, utilizando a 
taxa de atratividade j = 8%, temos: 
 
1 2
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
16200 17496
VPL = 40000
(1 8%) (1 8%)
15000 15000 40000
10000
VPL
VPL
VPL

 
 
  
 
 
 
 O segundo projeto tem o mesmo valor atual líquido, isto é, tem VPL 
= -10000. Além disso, o seu fluxo de caixa pode ser visto no esquema 
abaixo: 
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Portanto, para o segundo investimento: 
1 2
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
10800 11664
-10000= 
(1 8%) (1 8%)
10000 10000 10000
30000
VPL
D
D
D

 
 
   

 
Resposta: A 
 
2. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Uma empresa realizou a projeção 
dos fluxos de caixa de um determinado projeto, conforme a tabela 
abaixo: 
 
Sabendo-se que a Taxa Interna de Retorno para esse projeto é de 3%, o 
valor do 2º fluxo será referente a: 
A) R$ 21.218,00 
B) R$ 22.732,00 
C) R$ 23.426,00 
D) R$ 24.980,00 
E) R$ 25.619,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a TIR é j = 3% ao período, sabemos que o VPL será igual a zero 
se utilizarmos essa taxa. 
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VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
 
 Chamando de X o valor do 2º fluxo na tabela dada, temos: 
Valor atual das saídas = 60000 
Valor atual das entradas = (10300 / 1,031 + X / 1,032 + 32781 / 1,033) 
 
 Considerando VPL = 0, temos: 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
0 = (10300 / 1,031 + X / 1,032 + 32781 / 1,033) – 60000 
X = 21218 reais 
Resposta: A 
 
1.3 AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTOS 
 Quando um empreendedor / investidor se depara com a 
oportunidade de ingressar em um novo projeto, ele faz uma avaliação 
sobre a viabilidade / rentabilidade desta decisão. Ao longo da aula de hoje 
já vimos alguns conceitos utilizados pelos investidores, como o fluxo de 
caixa, o VPL, a TIR, a taxa mínima de atratividade etc. Nesta seção 
vamos conhecer algumas formas de análise de investimentos e sintetizar 
o que vimos nas seções passadas. Você deve ter em mente que 
normalmente o investidor: 
- possui mais de uma alternativa de projeto no qual ele pode ingressar; 
- sempre tem a possibilidade de deixar o dinheiro investido em alguma 
aplicação financeira “segura”, como a poupança ou títulos do governo. 
 
1.3.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
 Como já vimos ao tratar sobre o VPL, se estivermos comparando 
dois negócios diferentes, vale a pena escolher aquele que apresente o 
maior VPL. Da mesma forma, se estamos olhando um projeto 
isoladamente, caso o VPL deste projeto seja negativo, não vale a pena 
investir nele. Isto porque o VPL mede a diferença, em valor presente, 
entre todos os recebimentos e pagamentos associados ao projeto. Assim, 
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se o VPL é negativo, então o valor presente dos pagamentos é superior ao 
dos recebimentos, de modo que o projeto trará uma redução de riqueza / 
valor de mercado para a empresa. Por outro lado, um VPL positivo indica 
que o projeto trará um aumento da riqueza / valor de mercado da 
empresa. 
 Assim, o VPL pode ser utilizado na decisão do investidor das 
seguintes formas: 
- entre dois projetos distintos, aquele com maior VPL é o mais 
interessante; 
- olhando um projeto isoladamente, se o seu VPL for positivo o negócio é 
viável, isto é, gera um acréscimo de riqueza. 
 
 É preciso tomar cuidado ao utilizar o método do VPL para comparar 
projetos com durações diferentes. Imagine que temos que escolher entre 
os dois projetos a seguir: 
 
 
 
 
 
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 O primeiro projeto tem duração de 2 anos, e o segundo tem 
duração de 3 anos. Fazendo um cálculo simples do VPL de cada projeto, à 
taxa de 5% ao ano, temos: 
VPL1 = 550 / 1,051 + 550 / 1,052 – 1000 = 22,67 reais 
VPL2 = 560 / 1,051 + 560 / 1,052 + 560 / 1,053 – 1500 = 25,01 reais 
 Assim, a uma primeira vista o projeto 2 é mais atrativo, pois tem 
VPL maior. Mas veja que, em um período de 6 anos, podemos executar 3 
vezes o projeto 1 (pois ele dura apenas 2 anos), e podemos executar 
apenas 2 vezes o projeto 2 (que dura 3 anos). 
 Por isso, é mais adequado compararmos a realização sucessiva dos 
projetos por um mesmo período. Trata-se do MÉTODO DO MÍNIMO 
MÚLTIPLO COMUM. Como o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 anos é 
igual a 6 anos, devemos comparar os dois projetos num horizonte de 6 
anos. 
 Veja na tabela abaixo a realização sucessiva do primeiro projeto, ao 
longo de 6 anos. São 3 ciclos de projeto: 
 
1º 
ciclo 
2º 
ciclo 
3º 
ciclo TOTAL 
0 -1000 -1000 
1 550 550 
2 550 -1000 -450 
3 550 550 
4 550 -1000 -450 
5 550 5506 550 550 
 
 O VPL será dado por: 
6 5 4 3 2 1
550 550 450 550 450 550
1000
(1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%)
VPL      
     
 
61,89VPL reais 
 
 Veja na tabela abaixo a realização sucessiva do segundo projeto, ao 
longo de 6 anos. São 2 ciclos de projeto: 
 
1º 
ciclo 
2º 
ciclo TOTAL 
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0 -1500 -1500 
1 560 560 
2 560 560 
3 560 -1500 -940 
4 560 560 
5 560 560 
6 560 560 
 
 O VPL será dado por: 
6 5 4 3 2 1
560 560 560 940 560 560
1500
(1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%)
VPL      
     
 
46,63VPL reais 
 
 Portanto, ao longo do mesmo período (6 anos), o primeiro projeto 
gera um acréscimo de riqueza (VPL) de 61,89 reais, e o segundo projeto 
gera um acréscimo de riqueza (VPL) de 46,63 reais. 
 Podemos dizer que o primeiro projeto é o mais atrativo, pelo 
método do mínimo múltiplo comum. 
 
1.3.2 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO 
 A TIR nos diz qual é a taxa de rentabilidade do projeto. Assim, é 
interessante saber como comparar a TIR com o custo de oportunidade, o 
custo de capital e a taxa mínima de atratividade. Vejamos como: 
 
 TIR x custo de oportunidade: 
 Imagine que alguém te peça um dinheiro emprestado. Qual taxa 
você vai cobrar? Bom, o seu dinheiro está aplicado na poupança, 
rendendo juros de 6% ao ano. Se você tirar o dinheiro da poupança para 
emprestá-lo, o seu objetivo é ganhar mais do que isto, concorda? Se for 
para ganhar menos, é melhor deixar o dinheiro onde está. E se for para 
ganhar o mesmo, talvez ainda assim seja melhor deixar o dinheiro na 
poupança, uma vez que este investimento é mais seguro (afinal, 
emprestando o dinheiro a alguém você sempre corre o risco de não ser 
pago). Assim, para você a taxa de 6% é chamada de “custo de 
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oportunidade”. Isto porque, ao retirar o dinheiro da poupança e colocar 
em outro negócio, você está “deixando de ganhar” 6% ao ano. Desta 
forma, é preciso que este outro negócio tenha um rendimento, que é 
medido pela taxa interna de retorno (TIR), superior ao custo de 
oportunidade. 
 Como você observa, chamamos de “custo de oportunidade” a taxa 
de rendimento de um investimento seguro que você poderia efetuar. Um 
critério para a decisão de fazer ou não um investimento é comparar TIR e 
Custo de Oportunidade. Neste caso, se: 
- TIR > Custo de Oportunidade  vale a pena investir no negócio 
- TIR < Custo de Oportunidade  não vale a pena investir no negócio (é 
melhor 
deixar o dinheiro onde ele está) 
 
 Observe que o cálculo do custo de oportunidade para uma empresa, 
ou mesmo para um investidor, pode ser bem mais complexo. Isto porque 
podem existir 
várias opções de negócio, cada uma com níveis de rentabilidade 
diferentes e níveis 
de risco diferentes. Em regra, utiliza-se como base para o custo de 
oportunidade o rendimento de um investimento seguro – no caso, o 
investimento em títulos do governo (taxa SELIC). 
 
 TIR x custo de capital: 
 No tópico anterior estávamos preocupados em retirar um dinheiro 
da nossa poupança e emprestá-lo a alguém. E se não tivermos este 
dinheiro na poupança e, mesmo assim, alguém estiver nos solicitando um 
empréstimo? Pode ser que façamos o seguinte: contratamos um 
empréstimo junto ao banco, obtendo o dinheiro 
necessário, e o emprestamos ao nosso “cliente”. Quando o cliente nos 
pagar, pagaremos o banco. Repare que isto só vale a pena se a taxa de 
juros da nossa captação de recursos (empréstimo junto ao banco) for 
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MENOR do que a taxa de juros do nosso negócio (empréstimo para o 
nosso “cliente”). 
 Casos como este, onde estamos trabalhando com recursos de 
terceiros (do 
banco), chamamos de custo de capital o valor da taxa de juros que 
pagamos para 
ter acesso aos recursos necessários para efetivar nosso negócio. Isso é 
bem comum na vida real, pois em muitos casos as empresas precisam 
pegar empréstimos para financiar seus novos negócios. 
 Este custo de capital deve ser inferior ao rendimento proporcionado 
pelo negócio, que é dado pela TIR. Desta forma, temos um outro critério 
de decisão: 
- se TIR > Custo de capital  compensa investir no negócio 
- se TIR < Custo de capital  não compensa investir no negócio 
 
 O cálculo do custo de capital também é bem complexo em se 
tratando de uma grande empresa. Normalmente ele é obtido através da 
média ponderada dos inúmeros empréstimos de curto, médio e longo 
prazo que a empresa contrata, além de levar em conta valores que 
normalmente ela paga, como dividendos e debêntures ao emitir ações e 
outros títulos. Mas fique tranquilo: as suas questões serão bem mais 
simples e diretas, como veremos. 
 
 TIR x taxa mínima de atratividade: 
 Pode ser que, em determinado projeto, a TIR seja superior ao custo 
de capital (ou custo de oportunidade) de determinado projeto e, ainda 
assim, o investidor não se interesse pela empreitada. Isto porque pode 
ser que a TIR seja inferior à taxa mínima de atratividade, que é aquela 
taxa abaixo da qual o investidor não se interessa pelo negócio, por razões 
de riscos, condições de mercado etc. 
 Assim, sabendo-se qual é a taxa mínima de atratividade para um 
determinado investidor ou empresa, temos que: 
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- se TIR > Taxa mínima de atratividade  vale a pena investir no 
negócio. 
- se TIR < Taxa mínima de atratividade  não vale a pena. 
 
1.3.3 MÉTODOS DO PAYBACK SIMPLES E DO PAYBACK 
DESCONTADO 
Imagine que você esteja pensando em adquirir uma franquia 
de loja em shopping center. Avaliando uma franquia de loja de 
artigos esportivos, você estima que inicialmente precisará 
desembolsar R$100.000,00, e que ao longo dos anos seguintes 
você deve ter um fluxo positivo (entradas – saídas) de R$50.000,00 
por ano. Já ao avaliar uma loja de brinquedos, você estima que 
precisará desembolsar R$130.000,00 e que terá um fluxo positivo de 
R$35.000 no primeiro ano, R$40.000 no segundo e R$65.000 por ano 
a partir do terceiro ano. 
Considerando que você tenha o dinheiro necessário para 
adquirir apenas uma dessas lojas, em qual delas vale mais a pena 
investir? Um cálculo simples é o seguinte: 
- na loja de artigos esportivos, você paga 100mil e recebe 
50mil por ano. Logo, ao final de 2 anos já terá recebido os mesmos 
R$100.000 que investiu. Em outras palavras, o prazo de retorno do 
seu investimento é de 2 anos. 
- na loja de brinquedos, você paga 130mil, e somando as 
receitas dos 2 primeiros anos temos apenas R$75.000. Só ao 
longo do terceiro ano é que ultrapassamos os 130mil. 
 
 
Logo, você levará mais tempo para recompor o seu capital se 
investir na loja de brinquedos. Em um exame simples, poderíamos 
responder que vale mais a pena investir na loja de artigos esportivos, 
pois ela apresenta um menor prazo de retorno do investimento 
(prazo de payback). 
Este é o conhecido método do payback simples. Trata-se de 
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um método muito útil para análises rápidas / simplificadas / 
preliminares, mas não para verdadeiras tomadas de decisão. Isto 
porque este método possui várias falhas, dentre as quais destaco: 
- ele compara entradas e saídas de capital com meras 
somas/subtrações, sem levar em conta o fato de que estas 
entradas e saídas se dão em datas variadas, de modo que seria 
necessário levá-las à mesma data com o auxílio de uma taxa de 
juros; 
- ele não leva em conta todos os fluxos de recebimentos 
futuros. Veja que, apesar de a loja de brinquedos começar dando 
um retorno baixo (75 mil em dois anos, enquanto a loja de 
esportivos gera 100mil neste período), a partir do 3º ano a loja de 
brinquedos tem um fluxo positivo significativamente maior que 
a de esportivos (65mil por ano x 50mil por ano). Assim, talvez 
fosse mais interessante adquirir a loja de brinquedos, ainda que 
demorasse mais para recompor o capital inicialmente investido. 
 
Para corrigir a primeira falha apontada acima, há uma variação 
deste método que é conhecida como Payback Descontado. Neste 
método, a diferença é que será utilizada uma taxa de juros para 
trazer todos os recebimentos futuros ao valor presente. Ou seja, 
você deve utilizar os conceitos de fluxo de caixa vistos acima. Assim, 
olhando apenas a loja de artigos esportivos, sabemos que os 
R$50mil recebidos ao final do 1º e 2º anos representam, na verdade, 
menos de R$100mil em termos de valor presente. Desta forma, o 
prazo de payback deste investimento é, na verdade, maior do que 2 
anos. O prazo calculado desta forma dirá em quanto tempo o 
equilíbrio financeiro da empresa foi reestruturado. 
Algumas empresas utilizam o método do payback (em fases 
preliminares da análise). Para isto, a empresa define qual é o prazo 
de retorno que ela considera “aceitável” para o seu tipo de negócio. 
Pode ser que uma empresa hipotética entenda que é aceitável ter 
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retorno do investimento em até 5 anos. Desta forma, calcula-se o 
prazo de payback de um certo investimento, e, com isso, as decisões 
possíveis são: 
- se Prazo de payback > 5 anos: rejeita-se o projeto; 
- se Prazo de payback < 5 anos: aceita-se o projeto. 
 
1.3.4 FLUXO DE CAIXA DO ACIONISTA E FLUXO DE CAIXA DO 
PROJETO. TIR DO ACIONISTA E TIR DO PROJETO. 
 Agora que já conhecemos bem os conceitos básicos de fluxo de 
caixa e taxa interna de retorno, vamos trabalhar um exemplo que nos 
permite entender a diferença entre a ótica do PROJETO e a ótica do 
ACIONISTA (investidor). 
 Suponha que você é convidado a participar de um projeto no qual é 
preciso ser feito um investimento inicial de 2000 reais. No final do 
primeiro ano espera-se um retorno líquido de 1050 reais, e no final do 
segundo ano 1102,50 reais. Estamos diante do seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 
 Este é o fluxo de caixa do PROJETO (e, a princípio, também é o 
fluxo de caixa do acionista). Sendo j a taxa de juros considerada, o VPL é 
dado por: 
1 2
1050 1102,50
2000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
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 A taxa interna de retorno deste PROJETO é igual a 5%, pois: 
1 2
1050 1102,50
2000 0
(1 5%) (1 5%)
  
 
 
 
 A princípio esta também é a taxa interna de retorno para o 
acionista/investidor. 
 Agora suponha que o investidor preferiu não desembolsar os 2000 
reais no início, pois isso o obrigaria a entregar todo o dinheiro que ele 
possuía. Ao invés disso, o investidor desembolsou apenas 1000 reais de 
seus recursos próprios, e os 1000 reais restantes ele obteve contratando 
um empréstimo bancário a ser amortizado em 2 parcelas iguais de 515 
reais (taxa implícita de 2%am). Assim, na prática o ACIONISTA: 
- investiu 1000 reais próprios no momento inicial; 
- recebeu 1050 no final do primeiro mês, pagando 515 para o banco, ou 
seja, ficando com 535 reais; 
- recebeu 1102,50 no final do segundo mês, pagando 515 para o banco, e 
ficando com 587,50 reais. 
 
 Na ótica do ACIONISTA, temos o seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 O VPL, na ótica do acionista, é: 
1 2
535 587,50
1000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
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 A TIR na ótica do acionista é aproximadamente 7,9%am, pois: 
1 2
535 587,50
1000
(1 7,9%) (1 7,9%)
VPL  
 
 
 
 Repare que a TIR do acionista foi MAIOR do que a TIR do projeto. 
Isto porque, além de se beneficiar com os resultados do projeto, o 
acionista também se beneficiou do fato de ter aplicado uma porção menor 
de seu capital (apenas 1000, ao invés de 2000). Assim, mesmo tendo que 
pagar juros ao banco que emprestou a outra metade do investimento, o 
retorno sobre o capital empregado foi maior. Isto faz sentido porque a 
taxa de juros cobrada pelo banco (2%am) era menor do que a TIR do 
projeto (5%). O procedimento efetuado pelo acionista é conhecido como 
alavancagem. Isto é, ele pegou dinheiro emprestado no banco por uma 
taxa (2%) para aplicá-lo num projeto que renderia uma taxa maior (5%). 
 
1.3.5 INVESTIMENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E 
INVESTIMENTOS INDEPENDENTES 
 Frequentemente o investidor depara-se com mais de uma 
alternativa de investimento, ambas atrativas e rentáveis. Em alguns casos 
essas alternativas podem ser implementadas simultaneamente, porém 
limitações técnicas ou financeiras podem tornar impossível essa execução 
concomitante, “obrigando” o investidor a escolher apenas uma das 
alternativas: trata-se de investimentos mutuamente excludentes. Assim, 
em resumo temos: 
 - investimentos independentes: aqueles cujos fluxos de caixa não se 
relacionam, sendo independentes entre si, de modo que a aceitação ou 
rejeição de um projeto não influencia na aceitação ou rejeição do outro. 
Ex.: adquirir títulos da dívida pública e abrir uma loja de sapatos – desde 
que eu possua capital suficiente para ambos. 
- investimentos mutuamente excludentes: aqueles projetos que 
competem entre si, por restrições de ordem técnica ou financeira, de 
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modo que a aceitação de um inviabiliza a aceitação do outro. Ex.: adquirir 
títulos da dívida pública ou abrir uma loja de sapatos, quando não possuo 
capital suficiente para investir em ambos. 
 
 Existe ainda uma terceira classificação, os chamados investimentos 
dependentes entre si. Em alguns casos, é possível efetuar dois 
investimentos ao mesmo tempo, mas eles não são totalmente 
independentes entre si: o fluxo de caixa de um deles influencia positiva 
ou negativamente o fluxo de caixa do outro, porém não chegando a 
inviabilizá-lo. Ex.: posso ser capaz de adquirir títulos da dívida pública e 
também abrir a loja de sapatos, porém abrindo uma loja menor e 
adquirindo uma menor quantidade de títulos. Neste caso, o fluxo de caixa 
de um investimento influenciou negativamente o outro, mas não chegou a 
inviabilizá-lo (o que os tornaria mutuamente excludentes). 
 Na existência de investimentos mutuamente excludentes ou com 
algumgrau de influência entre si, a decisão do investidor deve ser 
tomada utilizando algum ou alguns dos critérios que estudamos acima. 
Em outras palavras, ele deve buscar o investimento que: 
- tenha maior VPL; 
- apresente maior TIR; 
- tenha prazo de payback (simples ou descontado) mais curto; 
 
 É muito frequente que um dos projetos seja escolhido por alguns 
dos critérios, e o outro projeto seja escolhido pelos demais critérios. 
Nesta situação o investidor pode lançar mão de outros critérios, como, 
por exemplo, a análise de risco dos projetos, que foge do escopo deste 
curso. 
 
1.4 CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE EMPRÉSTIMO 
Imagine que você vá ao banco e solicite um empréstimo de 
R$1000. O gerente do banco informa que é possível efetuar a operação, 
mas com as seguintes 
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condições: 
- pagamento em duas parcelas iguais, semestrais, vencendo a primeira ao 
final do 1º semestre; 
- taxa de juros nominal de 10% ao ano; 
- tarifa fixa de 25 reais em cada parcela; 
 
A pergunta é: qual é a taxa que exprime o verdadeiro custo desta 
transação? 
É realmente 10% ao ano? 
Para responder a esta pergunta, o primeiro passo é montar o fluxo 
de pagamentos correspondente a este empréstimo. Veja que, como as 
parcelas tem base semestral, então a taxa de juros nominal de 10% ao 
ano deve corresponder à 
taxa de juros efetiva j = 5% ao semestre. 
Chamando de P o valor de cada prestação, sabemos que o valor 
presente da 
soma das prestações, na data de contratação do empréstimo, deve ser 
igual a R$1000. Ou seja, 
 
 
 Obs.: você poderia ter utilizado a fórmula da tabela price para 
calcular o valor da prestação. 
 
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Além dos R$537,80 de cada parcela, você precisa somar mais R$25 
em cada 
uma, correspondentes às tarifas. Assim, cada prestação terá o valor de 
R$562,80. 
Em resumo, você pegou R$1000 reais hoje e pagará 2 parcelas 
semestrais de R$562,80. Vejamos qual é a taxa “j” que faz com que estas 
2 prestações tenham 
o valor presente do empréstimo, isto é, 1000 reais: 
 
 
Um artifício para facilitar a resolução é multiplicar todos os termos 
desta equação por (1 + j)2. Com isso retiramos a variável j do 
denominador: 
 
 
 Veja que temos uma equação de segundo grau, onde “j” é a 
variável que queremos descobrir. Em uma equação do segundo grau, 
chamamos de “a” o número que multiplica j2, de “b” o número que 
multiplica “j”, e de “c” o número isolado. Neste caso, a = 1000, b = 
1437,2, e c = -125,6. A fórmula de Báskara nos permite obter o valor de 
j: 
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 O sinal ± significa que existem dois valores possíveis para j: um 
deles utilizando o sinal +, e o outro obtido utilizando-se o sinal -. 
Substituindo os valores de a, b e c, temos: 
 
 
 Não se preocupe com os cálculos. Obviamente, estou utilizando 
uma calculadora. Em sua prova os números serão menores e mais fáceis 
de se trabalhar 
manualmente. Veremos questões sobre isto ainda hoje. Continuando: 
 
 Utilizando o sinal positivo, temos: 
 
 
 Utilizando o sinal negativo, temos: 
 
 
 
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 Nem precisamos finalizar esta última conta. Isto porque já dá para 
perceber que o resultado será um número negativo, e a taxa de juros 
precisa ser um número positivo. Portanto, a taxa que buscamos é j = 
8,26% ao semestre. A taxa de juros anual equivalente a 8,26% ao 
semestre é: 
 
 
 Assim, apesar de o gerente do banco ter oferecido uma taxa de 
“apenas” 10% ao ano, em realidade você está pagando uma taxa de 
17,2% ao ano! Infelizmente esta é a prática do mercado. Mas há algum 
tempo os bancos passaram 
a ser obrigados a informar o “Custo Efetivo Total”, conhecido pela sigla 
CET. Assim, 
em letras miúdas você certamente encontrará a informação no contrato: 
“CET = 17,2% ao ano”. 
Recapitulando, o custo efetivo total é a taxa de juros que exprime o 
verdadeiro custo de um financiamento. E o seu cálculo é feito desta 
forma: você deve escrever todo o fluxo de pagamentos das prestações (já 
incluindo as taxas avulsas, tarifas e qualquer outro valor envolvido), e a 
seguir encontrar a taxa de juros que leva a soma de valores pagos ao 
valor inicial do financiamento contratado. Prosseguindo, imagine que, 
neste período de 2 anos do financiamento, a inflação foi de 4% ao ano. 
Assim, o custo efetivo real (isto é, descontando o efeito da inflação) é 
dado por: 
 
 
 Nesta fórmula, ctotal é o custo efetivo total do financiamento (no 
caso, ctotal = 
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17,2%), i é a taxa de inflação do período, e creal é o custo efetivo real. 
Portanto: 
 
 
 Repare que o custo efetivo real do financiamento é MENOR do que o 
custo efetivo total. Isto porque a inflação joga a favor de quem está 
tomando o empréstimo. Como você está pegando o dinheiro hoje e só vai 
começar a devolver daqui a 1 ano, quando você devolver o dinheiro ele já 
estará valendo menos, devido 
à inflação do período. Veja que esta fórmula é análoga à relação entre as 
taxas de juros reais, nominais e inflação que vimos ao falar de 
investimentos. 
 Veja essa questão: 
 
3. CESPE – BRB – 2010) Julgue os itens a seguir, acerca de custo 
efetivo, taxas 
de retorno e rendas. 
( ) Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a 
taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o 
custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%. 
( ) Considere que uma empresa tenha feito um investimento de R$ 
20.000,00, para 
obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectivamente, 
ao final de 
cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de 
mercado for 
inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável. 
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RESOLUÇÃO: 
( ) Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a 
taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o 
custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%. 
Aqui basta lembrar que: 
 
 
 Sendo o custo real igual a creal = 15% e a inflação i = 8%, então o 
custo total 
da operação é: 
 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Considere que uma empresa tenha feito um investimento de R$ 
20.000,00, para 
obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectivamente, 
ao final de 
cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de 
mercado for 
inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável. 
 Vejamos qual é o VPL deste investimento, considerando a taxa de 
mercado 
j = 9% ao ano: 
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VPL = valor presente das entradas – valor presente das saídas 
 
 Observe que o VPL foi positivo. Isto significa que, mesmo 
considerando a 
taxa de juros do mercado, o valor presente das entradas foi maior do que 
o valor presente das saídas, gerando um acréscimo de riqueza à empresa. 
Logo, o investimento é considerado rentável. Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
1.5 ÍNDICES DE PREÇOS E CORREÇÃO MONETÁRIA; ATUALIZAÇÃO 
DE VALORES ATRAVÉS DE INDEXADORES 
 Chamamos de números-índices a razão entre o valor de certa 
variável em um momento e o valor desta mesma variável em outro 
momento. Desta forma, em regra um número índice é calculado assim: 
 
valor da variável na data t
100
valor da variável na data base

 
 
 Os números índices mais cobrados em provas de concurso são os 
índices de preços de Laspeyres e de Paasche. Vamos conhecê-los 
utilizando, para isso, o exemplo abaixo. 
Produtos 2010 2011 
Preço Quantidade Preço Quantidade 
Arroz 2,00 100 1,80 150 
Feijão 1,50 150 1,75 75 
Farinha 2,50 50 2,60 80 
 
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 Faça uma breve análise da tabela acima. Veja que ela apresenta os 
preços e as quantidades de 3 produtos (arroz, feijão e farinha) em dois 
anos (2010 e 2011). O preço do arroz diminuiu, mas o preço dos demais 
produtos aumentou. Por outro lado, a quantidade de arroz e farinha 
aumentaram, enquanto a de feijão diminuiu. Queremos saber se, como 
um todo, houve um aumento ou diminuição (e de quanto) do custo destes 
produtos. Assim, fica a seguinte dúvida: que quantidades devemos 
considerar? As de 2010, as de 2011, a média entre elas, ou mesmo outra 
opção? 
 O índice de Laspeyres considera como base as quantidades de cada 
produto na data inicial (neste caso, as quantidades em 2010). Assim, a 
cesta de produtos em 2010 custava: 
 
Custo em 2010 = 2,00 x 100 + 1,50 x 150 + 2,50 x 50 = 550 
 
 Veja que o que fizemos foi multiplicar o preço unitário de cada 
produto pela sua respectiva quantidade, e a seguir somar os custos. Para 
calcular o custo da cesta em 2011, devemos considerar os novos preços 
(de 2011), porém as mesmas quantidades adquiridas em 2010. Assim, 
temos: 
 
Custo em 2011 = 1,80 x 100 + 1,75 x 150 + 2,60 x 50 = 572,5 
 
 Portanto, houve um aumento do custo da cesta de produtos. O 
índice de Laspeyres é a relação entre os custos em cada ano: 
 
2010,2011
2011 572,5
1,04
2010 550
Custo
L
Custo
  
 
 
 Repare que o índice de Laspeyres apresentou um valor superior a 1, 
o que indica que houve um aumento geral dos preços. 
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 Na metodologia de Paasche, as quantidades na data final é que são 
relevantes. Assim, devemos refazer os cálculos dos custos de 2010 e de 
2011 de acordo com as quantidades de cada produto neste último ano, 
mas considerando os preços de cada produto em cada ano, ou seja: 
 
Custo em 2010 = 2,00 x 150 + 1,50 x 75 + 2,50 x 80 = 612,5 
Custo em 2011 = 1,80 x 150 + 1,75 x 75 + 2,60 x 80 = 609,25 
 
 Assim, o índice de Paasche é: 
 
2010,2011
2011 609,25
0,99
2010 612,5
Custo
P
Custo
  
 
 
 Veja que o índice de Paasche indica uma ligeira redução nos preços 
(pois é inferior a 1), ao contrário do de Laspeyres! Resumindo, seguem 
abaixo as fórmulas para o cálculo destes dois índices. Repare nas 
diferenças sutis: 
 
1 0
0, 1
0 0
data data
p q
L
p q




 
 
1 1
0, 1
0 1
data data
p q
P
p q




 
 
 Nestas fórmulas, p1 representa o preço de cada produto na data 
final, p0 o preço de cada produto na data inicial (ou data-base), q1 é a 
quantidade de cada produto na data final e q0 a quantidade na data 
inicial. 
 
 Comece a praticar os números-índices resolvendo a questão abaixo: 
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4. CESGRANRIO – IBGE – 2010) A tabela abaixo apresenta as 
quantidades e os preços unitários de 4 produtos vendidos, em uma 
mercearia, durante o 1o trimestre de 2009. 
 
Para o conjunto dos 4 produtos apresentados, o índice de preços de 
Laspeyres referente ao mês de março, tendo como base o mês de janeiro, 
vale, aproximadamente, 
(A) 79 
(B) 81 
(C) 108 
(D) 123 
(E) 127 
RESOLUÇÃO: 
 Por se tratar do índice de Laspeyres, devemos trabalhar com as 
quantidades da data inicial, isto é, Janeiro. Assim, temos: 
,
março janeiro
janeiro março
janeiro janeiro
p q
L
p q





 
,
2,50 5 4,00 4 2,75 3 2,00 2
1,23
2,50 5 3,00 4 2,00 3 1,25 2janeiro março
L
      
 
      
 
 Portanto, temos um índice de 1,23, ou seja, o índice de Março é 
igual a 123% o índice de janeiro. Nestas questões de números índices 
usualmente omite-se o símbolo de porcentagem, pois se considera que os 
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preços na data base valem 100, de modo que os preços na data final 
valem 123. 
Resposta: D 
 
Até aqui conhecemos os índices de preços, assim chamados 
justamente porque medem a variação de preços entre dois períodos. 
Além deles, é importante você conhecer os índices de quantidades de 
Laspeyres e Paasche: 
0 1
0 1
0 0
p q
Laspeyres
p q





 
1 1
0 1
1 0
p q
Paasche
p q





 
 
 Por fim, podemos definir um índice de valor da seguinte maneira: 
1 1
0, 1
0 0
data data
p q
V
p q





 
 
 Este índice mede a variação do valor total de cestas de produtos na 
data inicial e na data final. O valor total de cada cesta é dado pela 
multiplicação dos preços pelas quantidades nas mesmas datas. 
 Veja que o índice de valor pode ser obtido de duas formas: 
multiplicando o índice de preços de Laspeyres pelo índice de quantidades 
de Paasche, ou multiplicando o índice de preços de Paasche pelo índice de 
quantidades de Laspeyres: 
1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0
( ) ( )
p q p q p q
L preço P quantidade
p q p q p q
  
   
  
  
   
1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0
( ) ( )
p q p q p q
P preço L quantidade
p q p q p q
  
   
  
  
  
 
 
 Além destes índices, vale a pena você conhecer os “relativos de 
preço”, “relativos de quantidade” e “relativos de valor”. Trata-se 
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simplesmente da razão entre uma grandeza (ex.: preço unitário do arroz) 
em uma data base e uma data final. Assim, usando ainda o mesmo 
exemplo da tabela acima, temos: 
 
Relativo de preço do arroz (entre 2010 e 2011): 
 
2010,2011
preço unitário em 2011 1,80
0,90
preço unitário em 2010 2,00
p    
(o que indica redução de 10% no preço do arroz) 
 
Relativo de quantidade do arroz (entre 2010 e 2011): 
 
2010,2011
quantidade do produto em 2011 150
1,50
quantidade do produto em 2010 100
q    
(o que indica aumento de 50% na quantidade de arroz) 
 
 
Relativo de valor do arroz (entre 2010 e 2011): 
 
2011 2011
2010,2011
2010 2010preço 1,80 150
1,35
preço 2,00 100
quantidade
v
quantidade
 
  
 
 
(o que indica aumento de 35% no valor do arroz) 
 
 Generalizando, temos as seguintes fórmulas: 
 
0, 1
preço unitário na data1
preço unitário na data0data data
p 
 
 
0, 1
quantidade do produto na data1
quantidade do produto na data0data data
q  
 
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1 1
0, 1
0 0
preço
preço
data data
data data
data data
quantidade
v
quantidade


 
 
 Veja essa questão: 
 
5. ESAF – AFRFB – 2003) Dadas as três séries de índices de preços 
abaixo,assinale a opção correta. 
 
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das séries S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base 
distintos. 
RESOLUÇÃO: 
 A melhor forma de se comparar estas séries de preços é 
transformando os preços em relativos de preços. Para isto, vamos dividir 
os preços de cada coluna por um preço base, que é o preço do ano inicial 
(1999). Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 Portanto, as séries de preços S1 e S3 possuem a mesma evolução, 
que é distinta da série S2. 
Resposta: B 
Ano S1 S2 S3 
1999 1,0 1,0 1,0 
2000 1,5 1,3 1,5 
2001 2,0 1,7 2,0 
2002 3,0 2,3 3,0 
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 Para finalizar esse tópico, saiba que alguns números-índices podem 
possuir a propriedade circular. Dizemos que um índice possui a 
propriedade circular se o produto de diversos índices entre si, com data 
base móvel, é igual ao índice entre a data inicial e a data final. Isto é: 
 
0, 1 1, 2 2, 3 ( 1), ( ) 0, ( )...data data data data data data data n data n data data nI I I I I     
 
 Exemplificando, imagine que o preço do arroz em fevereiro subiu 
8% em relação a janeiro, depois subiu 5% em março em relação a 
fevereiro, e subiu 10% em abril em relação a março. Desta forma, se este 
índice possui a propriedade circular, podemos dizer que a alta do preço 
entre janeiro e abril é dada por: 
 
, , , ,
1,08 1,05 1,10 1,247
janeiro fevereiro fevereiro março março abril janeiro abrilp p p p  
   
 
 Ou seja, entre janeiro e abril o arroz subiu 24,7%. Exercite esse 
conceito com a questão a seguir: 
 
6. ESAF – AFRFB – 2001) Um índice de preços com a propriedade 
circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos 1 = 
3 %, 2 = 2% e 3 = 2%, medidos relativamente ao ano anterior, a 
partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço 
do período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 9,00 % 
b) 6,08 % 
c) 7,00 % 
d) 7,16 % 
e) 6,11 % 
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RESOLUÇÃO: 
 Se o índice possui propriedade circular, podemos simplesmente 
multiplicar os índices de preços consecutivos para chegar na variação de 
preço daquele período. Assim, 
1,03 x 1,02 x 1,02 = 1,0716  aumento de 7,16% 
Resposta: D 
 
1.5.1 CORREÇÃO MONETÁRIA; ATUALIZAÇÃO DE VALORES 
ATRAVÉS DE INDEXADORES 
 Imagine que eu alugue um apartamento para você por R$1.000,00 
por mês. Como o nosso contrato é longo (36 meses), é preciso que esse 
preço seja reajustado periodicamente. Afinal ao longo do tempo há 
inflação, ou seja, a moeda perde valor (1000 reais daqui a 1 ano 
permitem comprar menos coisas do que 1000 reais hoje, concorda?). 
 Ocorre que hoje nós não conseguimos prever de antemão qual será 
a inflação ao longo desse período. Por isso, ao invés de definir uma taxa 
fixa de reajuste (por exemplo, 5% a cada ano), nós decidimos o seguinte: 
ao final de cada ano o aluguel será reajustado pelo mesmo percentual de 
variação do Índice Geral de Preços conhecido como IGP-M naquele ano. 
Na prática o que estamos fazendo é vinculando o aumento do aluguel ao 
aumento de preços geral do mercado, que é obtido por este índice. Isto é, 
estamos indexando o valor do aluguel. Portanto, se ao final do primeiro 
ano o IGP-M acusar um aumento médio de 6% nos preços do mercado, 
devemos subir o aluguel em 6%, chegando a 1060 reais. E assim por 
diante. 
 
 Vários índices produzidos por entidades de renome, públicas (como 
o IBGE) ou privadas (como a FGV), são utilizados para indexar preços. O 
IGP-M é o índice mais utilizado nos contratos de aluguel. Já o INCC 
(índice nacional da construção civil) é muito utilizado para corrigir o preço 
de imóveis que compramos na planta, durante o período de construção. 
Por sua vez, o IPCA (índice de preços ao consumidor amplo) é muito 
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usado para corrigir a rentabilidade de títulos públicos. E a DI (depósito 
interbancário) é utilizada para remunerar investimentos como os 
conhecidos “CDBs”. 
 A maneira de trabalhar com um indexador é muito simples. Pode 
ser fornecido o valor da variação do índice (ex.: esse aumento de 6% do 
IGP-M que citei acima). Ou então pode ser fornecido o valor do índice no 
início e no final do período (ex.: no momento da contratação do aluguel o 
IGP-M valia “100 pontos”, e após um ano ele estava valendo “106 
pontos”). Imagine a seguinte situação: 
 
- valor inicial do aluguel: R$1.000,00 por mês 
- indexador: IPCA 
- valor do índice no início do contrato: 80 pontos 
- valor do índice após 1 ano: 105 pontos 
- valor do índice após 2 anos: 160 pontos 
- Perguntas: qual o valor do aluguel após 1 ano? E após 2? 
 
 Para fazer esses cálculos, basta você fazer: 
índice final
Valor final = valor inicial × 
índice inicial
 
 
 Ou seja, 
Valor após 1 ano = 1000 x 105 / 80 = 1312,50 reais 
Valor após 2 anos = 1000 x 160 / 80 = 2000 reais 
 
 A correção monetária é um processo similar ao de indexação, 
muitas vezes utilizando os mesmos índices. Na correção monetária o 
propósito é meramente repor a inflação do período, evitando a perda de 
valor da moeda. Por isso, para efetuar correções monetárias, utilizamos 
índices de medição da inflação, como é o caso do IPCA (índice de preços 
ao consumidor - amplo), o IGP-M (índice geral de preços) etc. O objetivo 
é meramente atualizar o valor. Veja o seguinte exemplo: 
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- uma empresa perdeu uma ação na Justiça Trabalhista, movida por um 
ex-funcionário da mesma. Como consequência, a empresa deverá pagar 
R$10.000,00 ao ex-funcionário, valor este relativo a uma indenização que 
deveria ter sido paga quando da demissão do funcionário, 3 anos atrás. A 
dívida será paga somente agora, e deverá ser corrigida pelo IPCA do 
período. Uma tabela do IPCA revela os seguintes índices de variação nos 
últimos 3 anos: 5%, 7% e 4%. Qual é o valor corrigido a ser pago? 
 
 Temos uma dívida inicial de 10000 reais. Para computar o aumento 
de 5% do primeiro ano, devemos multiplicá-la por (1 + 5%). Para 
computar o de 7% do segundo ano, devemos multiplicar o resultadopor 
(1 + 7%). E para incluir o aumento de 4% do terceiro ano, devemos 
multiplicar o resultado por (1 + 4%). Logo, 
 
Dívida corrigida = 10000 x (1 + 5%) x (1 + 7%) x (1 + 4%) 
Dívida corrigida = 10000 x 1,05 x 1,07 x 1,04 
Dívida corrigida = 11684,40 reais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
Vejamos agora uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos 
que trabalhamos na aula de hoje. 
 
 
 
7. PUC/PR – COPEL – 2009) Uma empresa decide investir R$ 
40.000,00 num projeto de ampliação da capacidade produtiva, para obter 
benefícios das entradas de caixa de R$ 15.000,00 por ano, durante os 
próximos 3 anos. Se a taxa de atratividade da empresa for 5% a.a., 
assinale o valor que mais se aproxima do valor presente líquido: 
A) R$ 849,00. 
B) R$ 1.049,00. 
C) R$ 1.149,00. 
D) R$ 549,00. 
E) R$ 1.249,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um fluxo de caixa composto por um investimento inicial de 
40.000 reais e 3 entradas anuais de 15.000 cada. Considerando a taxa de 
5%a.a., temos o seguinte VPL: 
VPL = VPentradas – VPsaídas 
VPL = 15000/1,05 + 15000/1,052 + 15000/1,053 – 40000 
VPL = 848,72 reais 
Resposta: A 
 
8. PUC/PR – URBS – 2009) A senhora Estela tem R$ 300.000,00 para 
aplicar. Pretende comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, mas na 
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concessionária escolhida o carro só poderá ser entregue daqui a dois 
meses. Como alternativa poderá comprar um carro igual em outra 
concessionária por R$ 55.500,00, e deixar o restante do dinheiro 
aplicado, ou aplicar todo o dinheiro. O pagamento do veículo será na 
entrega do mesmo. Considere juros compostos. 
A) Caso a taxa de mercado seja de 3% ao mês, a melhor opção seria a 
primeira em termos Valor Presente Líquido. 
B) Caso a taxa de mercado seja de 5% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
C) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, a melhor opção seria a 
primeira em termos de Valor Presente Líquido. 
D) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
E) Mesmo fornecendo a taxa de mercado, faltamdados para efetuar 
qualquer tipo de cálculo comparativo e determinar qual a melhor opção. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos avaliar cada alternativa: 
A) Caso a taxa de mercado seja de 3% ao mês, a melhor opção seria a 
primeira em termos Valor Presente Líquido. 
 Na primeira opção será pago 60.000 reais daqui a 2 meses. O valor 
atual deste pagamento, considerando a taxa de 3%am, é: 
VP = 60000 / 1,032 = 56555 reais 
 
 Ou seja, a segunda opção (55.500 reais à vista) tem valor atual 
inferior, sendo a mais atrativa. Alternativa FALSA. 
 
B) Caso a taxa de mercado seja de 5% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
 Neste caso, o valor atual da primeira opção é: 
VP = 60000 / 1,052 = 54421 
 Assim, esta opção é mais atrativa do que pagar 55.500 à vista. 
Alternativa FALSA. 
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C) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, a melhor opção seria a 
primeira em termos de Valor Presente Líquido. 
 Neste caso, o valor atual da primeira opção é: 
VP = 60000 / 1,062 = 53399 reais 
 Assim, esta opção é mais atrativa do que pagar 55.500 à vista. 
Alternativa VERDADEIRA. 
 
D) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
 FALSO, conforme demonstrado no item anterior. 
 
E) Mesmo fornecendo a taxa de mercado, faltam dados para efetuar 
qualquer tipo de cálculo comparativo e determinar qual a melhor opção. 
 FALSO. Como vimos, é possível comparar as duas alternativas 
tendo em mãos a taxa de mercado. 
Resposta: C 
 
9. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere as três afirmativas 
a seguir: 
I - Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos 
de capitais ao longo de um universo temporal. 
II - Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a 
qual a soma das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos 
quando a comparação é efetuada em uma mesma data. 
III - Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de 
capital. 
Está correto o que se afirma em: 
(A) II, apenas. 
(B) I e II, apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
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(E) I, II e III. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos cada item proposto. 
 
I - Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos 
de capitais ao longo de um universo temporal. 
 Verdadeiro. Lembre-se do exemplo onde analisamos qual seria o 
investimento (isto é, desembolso) necessário em um determinado negócio 
e quais seriam os recebimentos (entradas) ao longo de um determinado 
período de tempo (universo temporal). 
 
II - Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a 
qual a soma das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos 
quando a comparação é efetuada em uma mesma data. 
 Verdadeiro. A taxa interna de retorno é aquela que torna o VPL 
igual a zero. Como o VPL é a subtração entre os desembolsos e as 
entradas em uma mesma data, temos: 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
0 = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
Valor atual dos desembolsos = Valor atual das entradas 
 Ou seja, a TIR torna o VPL igual a zero e, consequentemente, a 
soma das entradas é igual à soma dos desembolsos, se comparados na 
mesma data (valor atual). 
 
III - Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de 
capital. 
 Falso. Dois fluxos de caixa com as mesmas entradas de capital, 
porém em datas diferentes, não são equivalentes. E dois fluxos de caixa 
com as mesmas entradas, porém com desembolsos diferentes, também 
não são equivalentes. O que torna dois fluxos equivalentes é possuírem o 
mesmo valor atual, a uma dada taxa de juros. 
Resposta: B 
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10. FCC – Banco do Brasil – 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa 
cuja taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 11 000,00 
(B) R$ 11 550,00 
(C) R$ 13 310,00 
(D) R$ 13 915,00 
(E)) R$ 14 520,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a TIR = 10%, então o VPL será igual a zero quando aplicarmos 
essa taxa ao fluxo de caixa esquematizado abaixo: 
 
 
 Portanto, 
1 2 3
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
0 17303
0= 25000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)
0 0 13000 25000
1,21
(25000 13000) 1,21 14520
VPL
X
X
X

  
  
   
   
 
Resposta: E 
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11. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O fluxo de caixa abaixo correspondea um 
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou 
uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 10.368,00 
(B) R$ 11.232,00 
(C) R$ 12.096,00 
(D) R$ 12.960,00 
(E) R$ 13.824,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se neste fluxo de caixa a TIR = 20%, então o VPL é zero quando 
essa taxa de juros é utilizada: 
1 2 3
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
2 3
0 = (5 13500)
(1 20%) (1 20%) (1 20%)
VPL
X X X
X

   
  
 
 
 Para facilitar as contas, podemos multiplicar todos os termos da 
equação acima por (1 + 20%)3: 
2 1 30 = X (1,2) 2 (1,2) 3 (5 13500) (1,2)
0 1,44 2,4 3 (8,64 23328)
1,8 23328
12960
X X X
X X X X
X
X
      
    


 
Resposta: D. 
 
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12. FCC – SEFIN/RO – 2010) Considere o fluxo de caixa abaixo 
referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. 
A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade do 
projeto apresenta um valor de 1,176. 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 12.000,00 
(B) R$ 13.200,00 
(C) R$ 14.400,00 
(D) R$ 15.000,00 
(E) R$ 17.280,00 
RESOLUÇÃO: 
 Dizer que o índice de lucratividade é 1,176 equivale a dizer que o 
valor atual das entradas é igual a 1,176 vezes o custo do projeto, isto é, 
1,176 x 25000 = 29400. Portanto, 
1 2
21600
29400
1,2 1,2
29400 15000
1,2
17280
X
X
X
 
 

 
Resposta: E 
 
13. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) O instrumento que permite 
equalizar o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) 
com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa) é 
a(o) 
(A) taxa de retorno sobre o investimento 
(B) taxa interna de retorno 
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(C) lucratividade embutida 
(D) valor médio presente 
(E) valor futuro esperado 
RESOLUÇÃO: 
 A taxa interna de retorno é aquela que torna o VPL = 0 , isto é, 
torna o valor atual das entradas igual ao valor atual dos desembolsos 
(saídas). Letra B. 
Resposta: B 
 
14. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A Cia. Renovar S/A 
encontra-se em fase de avaliação de propostas de investimentos de 
capital, como segue. 
 
Admitindo-se que o orçamento de capital esteja limitado a R$ 
11.500.000,00, as alternativas que, somadas, apresentam maior Valor 
Presente Líquido são: 
(A) P + Q + T 
(B) P + R + S 
(C) P + Q + S 
(D) P + Q + R 
(E) Q + R + S + T 
RESOLUÇÃO: 
 O valor presente líquido de cada alternativa de investimento é dada 
pela diferença entre o valor atual das entradas (coluna “valor presente 
dos benefícios líquidos de caixa”) e o valor atual dos desembolsos (coluna 
“investimento necessário”). Calculando o VPL de cada investimento, 
temos: 
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P  VPL = 7475000 – 5750000 = 1.725.000 
Q  VPL = 2530000– 2300000 = 230.000 
R VPL = 1207000 – 1150000 = 57.000 
S VPL = 5635000 – 4600000 = 1.035.000 
T VPL = 4140000 – 3450000 = 690.000 
 
 Nosso orçamento está limitado em 11.500.000 reais, isto é, a soma 
dos investimentos necessários não pode ser superior a este valor. Para 
cada alternativa de resposta, vamos calcular a soma dos VPLs e a soma 
dos investimentos: 
Alternativa Soma dos VPLs Soma dos 
investimentos 
(A) P + Q + T 2645000 11500000 
(B) P + R + S 2817000 11500000 
(C) P + Q + S 2990000 12650000 
(D) P + Q + R 2012000 9200000 
(E) Q + R + S + T 2012000 11500000 
 
 Veja que a letra C apresenta o maior VPL, porém ela “estoura” o 
orçamento, pois o investimento necessário é superior a 11500000. 
Assim, devemos escolher a alternativa B, que proporciona o segundo 
maior VPL e não estoura o orçamento. 
 Resposta: B. 
 
15. FCC – ISS/SP – 2012) Para a aquisição de um equipamento, uma 
empresa tem duas opções, apresentadas na tabela abaixo. 
 
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Utilizando-se a taxa de 20% ao ano, verifica-se que o módulo da 
diferença entre os valores atuais das opções X e Y, na data de hoje, é: 
a) zero 
b) R$ 1.041,00 
c) R$ 2.056,00 
d) R$ 2.085,00 
e) R$ 2.154,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para avaliar as alternativas, devemos trazer todos os valores para o 
presente, isto é, calcular todos os valores atuais. Em cada caso, temos 2 
fontes de desembolsos (o custo inicial e a manutenção anual) e uma 
entrada de recursos (o valor residual, que é aquele obtido com a venda 
do equipamento após os 12 anos de uso). Foi dito que a taxa a ser 
utilizada é de 20% ao ano, e, para facilitar os cálculos, foram fornecidos 
os valores de (1+20%)12 e o fator de valor atual 12 20% 4,44a   . Assim, 
vejamos cada opção: 
 
OPÇÃO X: 
- Soma dos desembolsos (valores atuais): 
12 20%15000 1000 15000 1000 4,44 19440Desembolsos a reais       
- Soma das entradas (valores atuais): 
12
1495,20 1495,20
168
(1,20) 8,9
Entradas   
 Deste modo, Entradas – Desembolsos = 168 – 19440 = -19272 
reais 
 
OPÇÃO Y: 
- Soma dos desembolsos (valores atuais): 
12 20%12000 1200 12000 1200 4,44 17328Desembolsos a reais       
- Soma das entradas (valores atuais): 
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12
996,80 996,80
112
(1,20) 8,9
Entradas   
 Deste modo, Entradas – Desembolsos = 112 – 17328 = -17216 
reais 
 
 Portanto, a diferença, em módulo, entre as duas opções é de: 
19272 17216 2056  
Resposta: C 
 
16. FCC – SEFAZ/SP – 2006) A representação gráfica abaixo 
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a 
escala horizontal em anos. 
 
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao 
ano e (X+Y) = R$10.285,00, tem-se que X é igual a: 
a) R$3.025,00 
b) R$3.267,00 
c) R$3.388,00 
d) R$3.509,00 
e) R$3.630,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se X + Y = 10285, então podemos dizer que Y = 10285 – X. 
Como a TIR é 10% ao ano, sabemos que o VPL será igual a zero 
quando trouxermos todos os valores deste fluxo de caixa para a data 
inicial, descontando à taxa de 10% ao ano. Isto é, 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
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1 2 3
2200 10285
0 10000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)
X X
   
  
 
 
 Multiplicando todos os membros desta equação por (1 + 10%)3, 
temos: 
2 1 30 2200 (1 10%) (1 10%) (10285 ) 10000 (1 10%)X X           
0 2662 1,1 10285 13310X X     
13310 10285 2662 0,1X   
3630X reais 
Resposta: E 
 
17. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere o fluxo de caixa a seguir, com 
os valores em reais. 
 
Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual 
a 
(A) R$ 5.230,00 
(B) R$ 5.590,00 
(C) R$ 5.940,00 
(D) R$ 6.080,00 
(E) R$ 6.160,00 
RESOLUÇÃO: 
 Como a TIR é igual a 8%, podemos trazer todos os valoresdo fluxo 
acima para a data inicial, sabendo que o valor do VPL será igual a zero: 
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VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
1 2
108
0 (2 1380)
(1 8%) (1 8%)
X X
X

   
 
 
 
 Multiplicando todos os membros por (1 + 8%)2, temos: 
 1 20 (1 8%) 108 (2 1380) (1 8%)X X X         
0 1,08 108 2,3328 1609,63X X X     
0,2528X = 1501,63 
X = 5939,99 reais  aproximadamente 5940 reais 
Resposta: C 
 
18. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a tabela abaixo, que apresenta 
valores de: 
 
Uma determinada peça pode ser produzida indistintamente pela máquina 
A ou pela máquina B. Uma empresa deseja produzir essa peça e tem hoje 
duas opções: 
 
Opção I) Adquirir a máquina A pelo preço à vista de R$ 10.000,00, com 
custo de manutenção anual de R$ 1.800,00, vida útil de 8 anos e valor 
residual de R$ 2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores 
em reais): 
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Opção II) Adquirir a máquina B pelo preço à vista de R$ 8.500,00, com 
custo de manutenção anual de R$ 2.000,00, vida útil de 8 anos e valor 
residual de R$ 1.631,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores 
em reais): 
 
Se AI e AII são respectivamente os módulos dos valores atuais dos fluxos 
das opções I e II, na data de hoje, com uma taxa mínima de atratividade 
de 30% ao ano, então 
 
RESOLUÇÃO: 
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 Os valores atuais destes fluxos são os valores presentes líquidos 
(VPLs) de cada um deles, afinal devemos obter o valor atual de todas as 
entradas e saídas de capital em cada caso e, então, subtraí-las. Vejamos: 
 Cálculo do valor atual da opção I: 
 
A saída de 10000 reais já se encontra na data inicial, portanto este 
é o seu valor atual. Para trazer as 8 saídas de 1800 reais para a data 
inicial, podemos utilizar o “fator de valor atual para uma série de 
pagamentos iguais” an¬j , para n = 8 pagamentos e j = 30% ao ano. 
Como a8¬30% = 2,9247, temos: 
VP = a8¬30% x P = 2,9247 x 1800 = 5264,46 reais 
 
 Já o recebimento de R$2691,91, relativos ao valor residual da 
máquina, pode ser trazido para a data inicial com auxílio do fator de 
acumulação de capital (1+i)n fornecido pelo enunciado: 
8
2691,91 2691,91
330,00
(1 30%) 8,1573
VP   

 
 Assim, o valor presente líquido desta opção é: 
VPLI = 330 – (10000 + 5264,46) = -14934,45 reais 
 
 
 Cálculo do valor atual da opção II: 
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A saída de 8500 reais já se encontra na data inicial, portanto este é 
o seu valor atual. Para trazer as 8 saídas de 2000 reais para a data inicial, 
podemos utilizar o “fator de valor atual para uma série de pagamentos 
iguais” an¬j , para n = 8 pagamentos e j = 30% ao ano. Como a8¬30% = 
2,9247, temos: 
VP = a8¬30% x P = 2,9247 x 2000 = 5849,40 reais 
 
 Já o recebimento de R$1631,46, relativos ao valor residual da 
máquina, pode ser trazido para a data inicial com auxílio do fator de 
acumulação de capital (1+i)n fornecido pelo enunciado: 
8
1631,46 1631,46
200
(1 30%) 8,1573
VP   

 
 Assim, o valor presente líquido desta opção é: 
VPLII = 200 – (8500 + 5849,40) = -14149,40 reais 
 
 Como AI e AII são os módulos dos VPLs, temos que AI = 14934,45 
reais e AII = 14149,40 reais. Veja que AI – AII = 785,05. 
Resposta: D 
 
19. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um empréstimo foi liquidado 
através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, 
corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido 
empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a 
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taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo 
referente a este empréstimo foi de 
(A) 14,4% 
(B) 15,2% 
(C) 18,4% 
(D) 19% 
(E) 20% 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um custo efetivo total ctotal = 44%, e uma inflação de i = 
25%. Logo, o custo efetivo real creal é obtido assim: 
1
1
1
total
real
c
c
i

 

 
1 44%
1
1 25%real
c

 

 
0,152 15,2%realc   
Resposta: B 
 
20. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um financiamento foi contratado, 
em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de 
juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da 
realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e 
o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, então, que a taxa de inflação 
acumulada no período foi de 
(A) 16% 
(B) 20% 
(C) 24% 
(D) 28% 
(E) 30% 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um custo efetivo total ctotal = 44%, e um custo efetivo real 
creal = 12,5%. Logo, 
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1
1
1
total
real
c
c
i

 

 
1 44%
1 12,5%
1 i

 

 
1,44
1
1,125
i  
0,28 28%i   
Resposta: D 
 
21. CESPE – CORREIOS – 2011) O departamento de manutenção 
de determinada indústria está preparando uma proposta de projeto de 
modernização, por meio da reforma de suas instalações, da aquisição de 
novos equipamentos e dispositivos e de um software de auxílio ao 
planejamento e controle da manutenção, em um investimento total 
estimado em R$250.000,00. O engenheiro responsável pela proposta de 
projeto, na análise de sua viabilidade, verificou que, para uma taxa de 
atratividade de 2% ao mês, relativos a juros compostos, espera-se, como 
retorno, um valor R$25.000,00 ao mês durante 12 meses consecutivos, 
sem valor residual. Diante dessa situação hipotética, julgue os itens 
subsequentes. 
( ) Se a taxa interna de retorno calculada para o investimento for igual a 
2,92%, é correto afirmar que o projeto é viável, considerando-se a 
análise desse índice. 
RESOLUÇÃO: 
A taxa de atratividade é a taxa mínima de retorno pela qual o 
investidor se interessaria pelo investimento. Como a taxa interna de 
retorno (2,92%) foi superior à taxa mínima de atratividade (2%), o 
projeto é considerado viável. 
Resposta: C 
 
22. CESPE – TRE/BA – 2010) As técnicas de orçamento de capital, 
quando aplicadas aos fluxos de caixa dos projetos de uma 
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empresa, fornecem importantes informações para a avaliação de 
aceitabilidade ou classificação esses projetos. 
Lawrence Gitman. Princípios de administração financeira. 12.ª 
ed. São Paulo: Pearson, 2010, p. 380. 
 
Com relação a esse assunto, julgue os itens a seguir. 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno 
mínimo necessário para que um projeto deixe inalteradoo valor de 
mercado da empresa. 
 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar 
os que representam TIRs superiores ao custo do capital. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno 
mínimo necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de 
mercado da empresa. 
CORRETO. A taxa de retorno normalmente utilizada em uma análise 
de investimento é a TIR, que iguala os valores presentes das entradas 
com os valores presentes das saídas, tornando o valor presente líquido 
nulo (VPL = 0). Fazendo assim, estamos dizendo que não há alteração 
no valor presente da empresa, ou seja, não há acréscimo nem decréscimo 
de riqueza – ou seja, o valor de mercado da empresa fica inalterado. 
 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar 
os que representam TIRs superiores ao custo do capital. 
A taxa interna de retorno, como sabemos, é aquela taxa que torna 
o valor presente dos recebimentos igual ao valor presente dos 
investimentos. O capital utilizado para realizar os investimentos é 
normalmente oriundo de empréstimos, que possuem um custo (juros). 
Portanto, é preciso que os recebimentos sejam suficientes para bancar 
este custo. Para isto, é preciso que a taxa interna de retorno seja 
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superior ao custo de capital (taxa de juros cobrada na captação de 
recursos pela empresa). Item CORRETO. 
Resposta: C C 
 
23. CESPE – ANTAQ – 2009) Acerca de aspectos financeiros dos 
investimentos, julgue os itens que se seguem. 
( ) Se um projeto de investimento for realizado em condições tais que a 
taxa de custo de capital corresponda a valores menores do que a taxa 
interna de retorno, o projeto apresentará uma renda positiva para os 
investidores. 
( ) Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta 
fluxo de investimento igual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e 
fluxo de caixa esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao 
projeto B, se este apresentar fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, 
custo de capital de 15% e fluxo de caixa esperado igual a R$ 
3.200.000,00. 
( ) Considere um título de renda fixa que ofereça pagamentos de 
cupons semestrais a uma taxa de 16% ao ano, com capitalização 
semestral, durante 10 anos, findos os quais deva ser restituído ao titular 
o valor nominal de R$ 1.000,00. Se, depois de dois anos do lançamento 
do título, a taxa de juros de mercado passar a ser de 12% ao ano, 
com capitalização semestral, o valor de comercialização do título 
passará a ser inferior a R$ 1.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se um projeto de investimento for realizado em condições tais que a 
taxa de custo de capital corresponda a valores menores do que a taxa 
interna de retorno, o projeto apresentará uma renda positiva para os 
investidores. 
CORRETO. Se a taxa interna de retorno é superior à taxa de juros 
que a empresa deve pagar ao efetuar um empréstimo (custo de capital), 
o projeto é viável, ou seja, apresentará uma renda positiva para os 
investidores. 
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( ) Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta 
fluxo de investimento igual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e 
fluxo de caixa esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao 
projeto B, se este apresentar fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, 
custo de capital de 15% e fluxo de caixa esperado igual a R$ 
3.200.000,00. 
Nesta questão foram fornecidos os valores presentes dos fluxos de 
caixas de entradas (“fluxo de caixa”) e de saídas (“fluxo de 
investimento”) de cada projeto. Assim, podemos calcular facilmente o 
Valor Presente Líquido de cada um deles: 
 
VPLA = 2500000 – 1500000 = 1000000 reais 
 
VPLB = 3200000 – 2000000 = 1200000 reais 
 
Observe que o projeto B apresenta VPL maior, de modo que este é 
o mais interessante. Assim, este é preferível ao projeto A, ao contrário 
do que diz o enunciado. Lembre-se que o VPL deve ser interpretado 
como o aumento de riqueza (valor de mercado) de uma empresa, 
portanto quanto maior ele for, melhor. Mesmo tendo um custo de 
capital superior, o projeto B deve ter sido capaz de gerar mais entradas 
/ recebimentos, o que resultou em um VPL maior. 
 
Item ERRADO. 
 
( ) Considere um título de renda fixa que ofereça pagamentos de 
cupons semestrais a uma taxa de 16% ao ano, com capitalização 
semestral, durante 10 anos, findos os quais deva ser restituído ao titular 
o valor nominal de R$ 1.000,00. Se, depois de dois anos do lançamento 
do título, a taxa de juros de mercado passar a ser de 12% ao ano, 
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com capitalização semestral, o valor de comercialização do título 
passará a ser inferior a R$ 1.000,00. 
Imagine que adquirimos este título que paga cupons à taxa de 16% 
ao ano. Se a taxa de juros do mercado reduzir para 12%, isto faz com 
que o nosso título fique ainda mais atrativo, pois ele oferece retornos 
melhores do que os do mercado. Logo, isto valoriza o nosso 
título, aumentando o valor de comercialização do mesmo. 
Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
24. CESPE – BRB – 2011) Julgue os itens seguintes, referentes a taxa 
de retorno e avaliação de alternativas de investimento. 
( ) Considerando uma renda de 3 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos, de R$ 100,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês, e 
adotando 0,86 como valor aproximado para 1,05-3, é correto afirmar 
que, nesse caso, o valor presente será inferior a R$ 202,32. 
( ) Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros 
compostos de 
2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a 
implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos 
dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 
e 1,02-2, respectivamente, é correto afirmar que o valor presente líquido 
do referido projeto será superior a R$2.750,00. 
( ) A escolha de um projeto envolve a comparação das alternativas de 
investimento e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um 
projeto será financeiramente recomendável em relação a outros 
investimentos se a taxa mínima de atratividade for superior à taxa interna 
de retorno. 
( ) Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenha rendido o 
pagamento de R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao 
final do segundo mês, e que 7,55 seja o valor aproximado para 57 então 
a taxa interna de retorno desse investimento foi superior a 35% ao mês. 
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RESOLUÇÃO: 
( ) Considerando uma renda de 3 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos, de R$ 100,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês, e 
adotando 0,86 como valor aproximado para 1,05-3, é correto afirmar 
que, nesse caso, o valor presente será inferior a R$ 202,32. 
 Trazendo estes pagamentos à data presente, temos: 
1 2 3
100 100 100
(1 5%) (1 5%) (1 5%)
VP   
  
 
1 2 3
100 100 100
(1,05) (1,05) (1,05)
VP    
VP = 95,23 +90,70 + 100x0,86 
VP = 271,93 reais 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros 
compostos de 
2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a 
implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos 
dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 
e 1,02-2, respectivamente, é correto afirmar que o valor presente líquido 
do referido projeto será superior a R$2.750,00. 
 Inicialmente vamos calcular o valor das duas prestações do 
financiamento. Sendo VP = 5000 o valor presente da dívida contraída na 
data inicial, taxa de juros 
compostos j = 2% ao mês, e chamando de P o valor de cada prestação, 
temos: 
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1 2
1 2
1 2
(1 ) (1 )
5000
(1,02) (1,02)
5000 (1,02) (1,02)
5000 0,98 0,96
5000 1,94
2577,32
P P
VP
j j
P P
P P
P P
P
P reais
 
 
 
 
   
   
 

 
 
 Portanto, neste projeto houveram dois pagamentos de P = 2577,32 
reais, e dois recebimentos de R = 4000 reais, sendo um a cada mês. 
Assim, em cada mês houve um fluxo positivo de: 
Fluxo mensal = 4000 – 2577,32 = 1422,68 reais 
 
Com isto, o VPL deste investimento é dado por: 
1 2
1 2
1422,68 1422,68
(1,02) (1,02)
1422,68 (1,02) 1422,68 (1,02)
1422,68 0,98 1422,68 0,96
2760
VPL
VPL
VPL
VPL reais
 
 
   
   

 
 Item CORRETO. 
 
( ) A escolha de um projeto envolve a comparação das alternativas de 
investimento e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um 
projeto será financeiramente recomendável em relação a outros 
investimentos se a taxa mínima de atratividade for superior à taxa interna 
de retorno. 
 ERRADO. É preciso que o retorno fornecido pelo investimento seja 
superior à taxa mínima que o investidor exige para se arriscar em um 
projeto. Portanto, é preciso que TIR > Taxa Mínima de Atratividade. 
 
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( ) Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenha rendido o 
pagamento de R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao 
final do segundo mês, e que 7,55 seja o valor aproximado para 57 então 
a taxa interna de retorno desse investimento foi superior a 35% ao mês. 
Observe que temos um investimento de 4000 reais na data inicial (t 
= 0), e dois recebimentos de 3000 reais nas datas t = 1 e t = 2. Assim, o 
VPL é dado por: 
VPL = valor presente das entradas – valor presente das saídas 
1 2 0
3000 3000 4000
(1 ) (1 ) (1 )
VPL
j j j
  
  
 
1 2
3000 3000
4000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
Para obter a taxa interna de retorno (TIR), devemos considerar que 
o VPL é igual a zero. Assim, 
1 2
3000 3000
0 4000
(1 ) (1 )j j
  
 
 
 
Multiplicando todos os membros dessa equação por (1+j)2 e 
dividindo-os por 1000, temos: 
2
2
2
0 3000 (1 ) 3000 4000 (1 )
0 3 (1 ) 3 4 (1 )
0 4 5 2
j j
j j
j j
      
      
   
 
 
Temos uma equação de segundo grau com a variável “j”, ou seja, 
uma equação do tipo: 
0 = a.j2 + b.j + c 
 
 Onde a = -4, b = -5 e c = 2. Pela fórmula de Báskara, temos que: 
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2
2
4
2
( 5) ( 5) 4 ( 4) 2
2 ( 4)
5 57
8
5 7,55
8
5 7,55 5 7,55
 
8 8
1,568 0,318
b b a c
j
a
j
j
j
j ou j
j ou j
    


       

 






 
 
 
  
 
 
Como j é uma taxa de juros, ela deve ser um valor positivo. Logo, 
devemos considerar o valor j = 0,318 = 31,8%. E este item encontra-se 
ERRADO, pois a TIR 
encontrada é inferior a 35%. 
Resposta: E C E E 
 
25. CESPE – TCU – 2009) Considere que uma instituição financeira 
ofereça as seguintes opções de empréstimo: 
I. R$ 40.000,00 – a serem pagos após um mês da contratação do 
empréstimo em uma parcela de R$ 40.600,00; 
II. R$ 20.000,00 – a serem pagos em duas parcelas mensais e iguais, a 
primeira vencendo 1 mês após a contratação do empréstimo, a uma taxa 
interna de retorno de 2%. 
Com base nessas informações e tomando 0,98 e 0,96 como valores 
aproximados de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, julgue os itens que se 
seguem. 
( ) Na opção I, a taxa interna de retorno é superior a 1,6%. 
RESOLUÇÃO: 
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Olhando sob a ótica da instituição financeira, na data inicial ela 
faz um desembolso de 40000 reais e, após 1 mês, ela tem um 
recebimento de 40600 reais. 
Assim, o VPL é dado por: 
1
40600
40000
(1 )
VPL
j
 

 
 
 Para obter a TIR, devemos considerar VPL = 0. Assim, 
1
1
40600
0 40000
(1 )
40600
40000
(1 )
40600
(1 )
40000
1 1,015
0,015 1,5%
j
j
j
j
j
 



 
 
 
 
 
Assim, a TIR é igual a 1,5%, sendo este item ERRADO. 
Resposta: E 
 
26. CESPE – CEF – 2010) Uma instituição financeira capta 
investimentos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, 
ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma 
no valor de R$10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no 
valor restante de R$11.025,00, dois meses após o depósito, então o 
valor investido foi igual a 
a) R$ 18.000,00. 
b) R$ 18.500,00. 
c) R$ 19.000,00. 
d) R$ 19.500,00. 
e) R$ 20.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
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Observe que o investidor efetua um desembolso 
(investimento), na data inicial t = 0, de valor desconhecido, e depois 
tem dois recebimentos nas datas t = 1 mês e t = 2 meses. A taxa interna 
de retorno é j = 5%. Chamando de X o valor do 
investimento inicial, o VPL deste fluxo de caixa é: 
1 2
10500 11025
(1 5%) (1 5%)
VPL X  
 
 
 
 Como estamos usando a taxa interna de retorno, já sabemos 
quanto deve dar o VPL: ZERO! Assim, 
1 2
10500 11025
0
(1 5%) (1 5%)
10500 11025
1,05 1,1025
10000 10000
20000
X
X
X
X reais
  
 
 
 

 
Resposta: E 
 
27. CESPE – TCE/ES – 2012) Uma empresa lançará um novo produto 
no mercado mediante investimento inicial de R$ 27.000,00. Estima-se 
que, durante seis meses, a partir do primeiro mês de lançamento, esse 
produto renderá, a cada mês, receitas no valor de R$ 5.000,00. 
Com relação a essa situação, julgue os itens subsequentes. 
 
( ) Em face da situação apresentada, é correto afirmar que o valor para 
61 (1 )i
i
 
 relativo à taxa interna de retorno (TIR) do investimento é 
superior a 5,3. 
( ) Considere que o montante do investimento tenha sido financiado por 
uma instituição financeira, a determinada taxa de juros i, de modo que 
5,70 seja valor aproximado para 
61 (1 )i
i
 
. Com base nessas 
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informações, é correto afirmar que o empréstimo é viável para a 
empresa. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Em face dasituação apresentada, é correto afirmar que o valor para 
61 (1 )i
i
 
 relativo à taxa interna de retorno (TIR) do investimento é 
superior a 5,3. 
 Calculando o VPL temos: 
VPL = 5000 x a6¬i – 27000 
 
 Para que “i” seja a TIR, temos VPL = 0: 
0 = 5000 x a6¬i – 27000 
27000 = 5000 x a6¬i 
5,4 = a6¬i 
 


6
6
(1 ) 1
5,4
.(1 )
i
i i
 
 
 Dividindo o numerador e o denominador do lado direito por (1 + i)6 
temos: 
 

61 (1 )
5,4
i
i
 
 
 Item CORRETO, pois 5,4 > 5,3. 
 
( ) Considere que o montante do investimento tenha sido financiado por 
uma instituição financeira, a determinada taxa de juros i, de modo que 
5,70 seja valor aproximado para 
61 (1 )i
i
 
. Com base nessas 
informações, é correto afirmar que o empréstimo é viável para a 
empresa. 
 Note que foi dado o valor do fator de valor atual a6¬i. Assim, o VPL 
é: 
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VPL = 5000 x a6¬i – 27000 
VPL = 5000 x 5,7 – 27000 
VPL = 1500 reais 
 
 Como o VPL é positivo, podemos dizer que há um acréscimo de 
riqueza para a empresa, ou seja, o empréstimo é viável. 
Resposta: C C 
 
28. CESPE – TRE/RJ – 2012) Um construtor comprou um terreno por 
R$ 10.000,00 e, três meses depois, construiu, nesse terreno, uma casa 
popular, gastando R$30.000,00. Três meses após a construção ter sido 
finalizada, a casa foi vendida por R$ 60.000,00. Considerando que 1,33 e 
1,77 são valores aproximados para 1,13 e 1,16, respectivamente, julgue 
os itens seguintes, relativos a situação hipotética acima. 
( ) Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a 
casa, tivesse investido os valores gastos no empreendimento em uma 
aplicação cujo rendimento fosse de 10% ao mês, sob o regime de juros 
compostos, o montante dessa aplicação teria sido superior ao obtido por 
meio da venda da casa na data correspondente. 
( ) A taxa interna de retorno do empreendimento foi superior a 30% ao 
trimestre. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a 
casa, tivesse investido os valores gastos no empreendimento em uma 
aplicação cujo rendimento fosse de 10% ao mês, sob o regime de juros 
compostos, o montante dessa aplicação teria sido superior ao obtido por 
meio da venda da casa na data correspondente. 
 Observe que este enunciado propõe uma alternativa: ao invés de 
gastar 10000 no primeiro mês (compra do terreno) e 30000 no terceiro 
mês (construção), seria possível aplicar esses recursos em uma aplicação 
com rendimento de 10%am. Assim, considerando a data em que ocorreria 
a venda da casa (6 meses após o início), podemos dizer que os 10000 
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reais ficariam aplicados por 6 meses, já os 30000 reais ficariam aplicados 
por apenas 3 meses (dado que a construção ocorreria no 3º mês). 
 Deste modo, o montante que seria obtido aplicando 10000 reais no 
1º mês e 30000 reais no 3º mês seria: 
M = 10000 x (1,10)6 + 30000 x (1,10)3 
M = 10000 x 1,77 + 30000 x 1,33 
M = 57600 reais 
 Este valor é inferior a 60000 reais, logo o item está ERRADO. 
 
( ) A taxa interna de retorno do empreendimento foi superior a 30% ao 
trimestre. 
 Neste projeto temos duas saídas de recursos (10000 no primeiro 
mês e 30000 no terceiro) e uma entrada (60000 no sexto mês). Assim, o 
VPL é: 
VPL = 60000/(1+j)2 – 30000/(1+j)1 – 10000 
 
 Note que já estou considerando que “j” é uma taxa trimestral, visto 
que o próprio enunciado trata sobre taxa trimestral. Foi por isso que 
utilizei, nos denominadores, os expoentes 2 (2 trimestres = 6 meses) e 1 
(1 trimestre = 3 meses). Assumindo que a taxa j é de exatamente 30% 
ao trimestre, teríamos: 
VPL = 60000/(1,30)2 – 30000/(1,30)1 – 10000 
VPL = 60000/1,69 – 30000/1,30 – 10000 
VPL = 35502,95 – 23076,92 – 10000 
VPL = 2426,03 reais 
 
 Note que para j = 30% ao trimestre, o VPL é positivo. Para igualar 
o VPL a zero (e assim obter a TIR), seria preciso uma taxa j ainda maior, 
pois ela reduziria o valor presente da entrada de 60000 reais. Assim, 
podemos afirmar que a TIR é maior que 30% ao trimestre, o que torna o 
item CORRETO. 
 Se você quisesse calcular a TIR diretamente, poderia fazer assim: 
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0 = 60000/(1+j)2 – 30000/(1+j)1 – 10000 
0 = 6/(1+j)2 – 3/(1+j)1 – 1 
0 = 6 – 3x(1+j)1 – 1x(1+j)2 
0 = 6 – 3 – 3j – 1 – 2j – j2 
0 = – j2 – 5j + 2 
0 = j2 + 5j – 2 
 
2(5) (5) 4 (1) ( 2)
2 (1)
5 33
2
5 5,744
2
5 5,744 5 5,744
 
2 2
0,372 5,372
j
j
j
j ou j
j ou j
     


 

 

   
 
  
 
 
 Devemos usar a taxa positiva, ou seja, j = 0,372 = 37,2% ao 
trimestre. 
Resposta: E C 
 
29. CESPE – BASA – 2012) Um cliente dispõe de R$ 210.000,00 para 
quitar o saldo devedor — também de R$ 210.000,00 — do financiamento 
de um imóvel junto a uma instituição financeira que trabalha com conta 
remunerada à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Para essa 
quitação, a instituição financeira oferece as seguintes opções. 
I depositar o dinheiro disponível em conta remunerada e fazer o 
pagamento em duas prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 
121.000,00, com a primeira prestação vencendo em um mês após a data 
do depósito; 
II pagamento do saldo devedor, à vista, com desconto de 5%; nesse 
caso, o cliente poderá depositar o desconto na conta remunerada. 
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( ) As duas opções permitem que o cliente obtenha o mesmo retorno 
financeiro. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos o que ocorre em cada opção: 
I depositar o dinheiro disponível em conta remunerada e fazer o 
pagamento em duas prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 
121.000,00, com a primeira prestação vencendo em um mês após a data 
do depósito; 
 Depositando os 210000 reais na conta, ao final do primeiro mês o 
cliente tem um rendimento de 5%, de modo que o total passa a 220500 
reais. Neste mesmo momento o cliente paga a primeira parcela de 
121000 reais, sobrando 99500 reais. Ao longo do segundo mês este saldo 
rende mais 5%, chegando a 104475 reais. Note que este valor é 
INFERIOR a 121000 reais, não permitindo quitar a última parcela. 
 
II pagamento do saldo devedor, à vista, com desconto de 5%; nesse 
caso, o cliente poderá depositar o desconto na conta remunerada. 
 Neste caso o cliente pagará 199500 reais, devido aos 5% de 
desconto. O valor restante na conta (10500 reais) poderá ficar na conta 
remunerada, gerando juros de 5% ao mês, chegando a 11576,25 reais ao 
final de 2 meses. Esta é, sem dúvida, a melhor opção. 
 
 Item ERRADO, pois as opções não levam ao mesmo retorno 
financeiro. 
Resposta: E 
 
30. CESPE – TRE/BA – 2010) Julgue os itens: 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar os que 
representam TIRs superiores ao custo do capital. 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno 
mínimo necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de 
mercado da empresa. 
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RESOLUÇÃO: 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar os que 
representam TIRs superiores ao custo do capital. 
 CORRETO. O custo de capital é o custo do dinheiro que a empresa 
precisa “captar” no mercado (empréstimos, financiamentos etc) para 
executar os seus projetos. Este custo é traduzido por uma taxa de juros. 
Se essa taxa for superior ao retorno trazido pelo projeto (que é a TIR), 
não vale a pena investir. Ou seja, a empresa só deve aceitar um projeto 
se a TIR for superior ao custo do capital. 
 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno 
mínimo necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de 
mercado da empresa. 
 CORRETO. Com a TIR o VPL é zero, ou seja, não há aumento nem 
redução na “riqueza” da empresa. 
Resposta: C C 
 
31. CESPE – CORREIOS – 2011) O departamento de manutenção de 
determinada indústria está preparando uma proposta de projeto de 
modernização, por meio da reforma de suas instalações, da aquisição de 
novos equipamentos e dispositivos e de um software de auxílio ao 
planejamento e controle da manutenção, em um investimento total 
estimado em R$ 250.000,00. O engenheiro responsável pela proposta de 
projeto, na análise de sua viabilidade, verificou que, para uma taxa de 
atratividade de 2% ao mês, relativos a juros compostos, espera-se, como 
retorno, um valor R$ 25.000,00 ao mês durante 12 meses consecutivos, 
sem valor residual. 
 
Diante dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes. 
 
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( ) Se o valor presente dos fluxos de caixa do projeto for de 
aproximadamente R$264.400,00, o investimento é viável, considerando-
se a taxa de atratividade verificada pelo engenheiro. 
RESOLUÇÃO: 
 CORRETO. Se o valor presente dos 12 retornos mensais de 25.000 
reais for de R$264.400,00, o VPL do investimento será: 
VPL = VP entradas – VP saídas 
VPL = 264400 – 250000 = 14400 reais 
 
 Como o VPL é positivo, o investimento é viável para a empresa. 
Resposta: C 
 
32. CESGRANRIO – BNDES – 2011) A tabela a seguir apresenta, para 
o ano de 2011, as variações mensais dos preços e os correspondentes 
índices de base, fixa para um determinado segmento industrial. 
 
A variação acumulada no ano, isto é, julho em relação ao mês de 
dezembro do ano anterior, em %, é, aproximadamente, 
(A) − 3,7% 
(B) − 3,0% 
(C) − 2,4% 
(D) 2,4% 
(E) 3,0% 
RESOLUÇÃO: 
 Como a variação percentual de Dezembro do ano anterior (2010) 
para Janeiro/2011 foi de 0,00%, então podemos dizer que o índice 
correspondente a Dezembro/2010 é também 122,18. Como o índice de 
Julho/2011 é 118,51, podemos dizer que a variação percentual entre 
esses meses é, aproximadamente: 
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118,51
1 0,03 3%
122,18
Variação      
Resposta: B 
 
33. ESAF – AFRFB – 2005) Considerando-se os dados sobre os preços e 
as quantidades vendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, 
assinale a opção correta. 
 
a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços 
dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 
50%. 
b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 
para o preço relativo do produto 1 e 240 para o preço relativo do produto 
2. 
c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços 
dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 
75%. 
d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para 
o preço relativo do produto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2. 
e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços 
dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 
25%. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular ambos os índices para estes produtos: 
21 11
11,21
11 11
60 6 20 2
1,25
40 6 40 2
p q
L
p q
   
  
   


 aumento de 25% 
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21 21
11,21
11 21
60 2 20 6
0,75
40 2 40 6
p q
P
p q
   
  
   


 redução de 25% 
Resposta: E 
 
34. CESGRANRIO – BNDES – 2008) A tabela a seguir apresenta dados 
sobre a evolução de preços e quantidades de dois produtos, em dois anos 
consecutivos. 
 
Com base nos dados apresentados, em relação ao nível de preços dos 
dois produtos, os índices de Paasche e de Laspeyres, respectivamente, 
indicam 
(A) a sua manutenção e uma redução de 12%. 
(B) a sua manutenção e um aumento de 12%. 
(C) uma redução de 12% e um aumento de 12%. 
(D) uma redução de 12% e a sua manutenção. 
(E) um aumento de 12% e a sua manutenção. 
RESOLUÇÃO: 
- Índice de Paasche (quantidades do ano final): 
40 6 20 12
1
30 6 25 12
P
  
 
  
(manutenção do índice de preços) 
- Índice de Laspeyres (quantidades do ano inicial): 
40 10 20 8
1,12
30 10 25 8
L
  
 
  
 (aumento de 12%) 
Resposta: B 
 
35. CESGRANRIO – BNDES – 2006) Para um determinado bem, o 
relativo de preços de março em relação a fevereiro foi igual a 1,25. 
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Portanto, o relativo de preços de fevereiro desse bem, em relação a 
março, vale: 
(A) 0,75 
(B) 0,80 
(C) 1,00 
(D) 1,20 
(E) 1,25 
RESOLUÇÃO: 
 Foi dito que Pmarço / Pfevereiro = 1,25. Logo, o inverso disso (preços de 
fevereiro em relação aos de março) é: 
1 1
0,8
1,25
fevereiro
marçomarço
fevereiro
P
PP
P
   
Resposta: B 
 
36. CESGRANRIO – BNDES – 2011) A tabela a seguir apresenta os 
valores da produção corrente e a preços do ano anterior e também as 
variações anuais de quantidade (volume) e de preços. As variações de 
quantidade e preços foram calculadas com base nas formulações de 
Laspeyres e Paasche, respectivamente. 
 
Os valores aproximados de a e b são, respectivamente, 
(A) 5% e 8% 
(B) 7% e 4% 
(C) 7% e 5% 
(D) 8% e 5% 
(E) 8% e 8% 
RESOLUÇÃO: 
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 O índice de preços (última coluna da direita) foi calculado pela 
formulação de Paasche, que já vimos anteriormente: 
2008 2008
2007 2008
2007 2008
140
1,0769
130
p q
Paasche
p q

  



 
 
Variação de aproximadamente b = 8%. 
 
 Já o índice de quantidades, da coluna “Variação anual em 
quantidade (%)”, foi calculado pela formulação de Laspeyres. Muita 
atenção: a questão trata de um índice de quantidade de Laspeyres, e não 
do seu índice de preços. Sabemos que, na formulação de Laspeyres, a 
base é o ano inicial. Assim, no denominador devemos ter preço e 
quantidade do ano inicial ( 2007 2007p q ), e no numerador devemos alterar 
a quantidade para a do ano final ( 2007 2008p q ). Veja que alteramos 
apenas a quantidade, pois trata-se de um índice de quantidades. Quando 
trabalhamos com índices de preços, alterávamos apenas os preços. 
 
Assim, temos: 
2007 2008
2007 2008
2007 2007
130
1,048
124
p q
Laspeyresp q

  



 
 
Variação de aproximadamente a = 5%. 
Resposta: A 
 
37. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Um índice de valor pode ser obtido 
pelo produto de um índice de 
(A) preços de Laspeyres por um índice de quantidades de Paasche. 
(B) preços de Laspeyres por um índice de quantidades de Laspeyres. 
(C) preços de Paasche por um índice de quantidades de Paasche. 
(D) preços de Laspeyres por um índice de preços de Paasche. 
(E) quantidades de Laspeyres por um índice de quantidades de Paasche. 
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RESOLUÇÃO: 
 Como vimos, um índice de valor é definido assim: 
1 1
0, 1
0 0
data data
p q
V
p q





 
 
 Este índice pode ser obtido de duas formas: multiplicando o índice 
de preços de Laspeyres pelo índice de quantidades de Paasche, ou 
multiplicando o índice de preços de Paasche pelo índice de quantidades de 
Laspeyres: 
1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 0 0
( ) ( )
p q p q p q
L preço P quantidade
p q p q p q
  
   
  
  
   
1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0
( ) ( )
p q p q p q
P preço L quantidade
p q p q p q
  
   
  
  
  
 
 
 A alternativa A apresenta uma dessas possibilidades: o produto 
entre o índice de preços de Laspeyres pelo índice de quantidades de 
Paasche. 
Resposta: A 
 
38. VUNESP – PREF. SJC – 2012) 
 
A taxa de inflação observada entre os anos de 2010 e 2011 foi de 
(A) 10%. 
(B) 16%. 
(C) 20%. 
(D) 32%. 
(E) 64%. 
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RESOLUÇÃO: 
 Chamamos de taxa de inflação o aumento (percentual) de preços 
entre dois períodos. Isto pode ser medido através de um índice de preços, 
como aquele apresentado na tabela. Entre 2010 e 2011 a variação 
percentual foi de: 
Inflação = 264 / 220 – 1 = 0,20 = 20% 
Resposta: C 
 
39. VUNESP – PREF. SJC – 2012) 
 
O salário real em 2010, quando comparado com o de 2009, 
(A) teve uma queda. 
(B) foi mantido constante. 
(C) teve um aumento de 9,09%. 
(D) teve um aumento de 10%. 
(E) teve um aumento de 20%. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos utilizar o índice de preços para comparar salários entre 
datas diferentes. Veja que, em 2009, temos: 
Salário nominal / Índice de preços = 1000 / 200 = 5 
 
 Isto é, em 2009 o salário nominal permitia “adquirir 5 cestas de 
produtos”. Em 2010, temos: 
Salário nominal / Índice de preços = 1100 / 220 = 5 
 
 Portanto, embora em 2010 tenha havido um aumento de salário, 
ocorreu também um aumento do índice de preços (inflação), de modo que 
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o valor real do salário permaneceu o mesmo, sendo capaz de “adquirir 5 
cestas de produtos”. 
Resposta: B 
 
40. VUNESP – PREF. SJC – 2012) 
 
O salário real em 2011, quando comparado com o de 2009, 
(A) teve uma queda. 
(B) foi mantido constante. 
(C) teve um aumento de 9,09%. 
(D) teve um aumento de 10%. 
(E) teve um aumento de 20%. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui podemos efetuar a mesma análise do exercício anterior: 
 
 2009: 
 Salário nominal / Índice de preços = 1000 / 200 = 5 
 
 
 2011: 
 Salário nominal / Índice de preços = 1200 / 264 = 4,54 
 
 Assim, entre 2009 e 2011 ocorreu uma queda na quantidade de 
“cestas de produtos” que o salário nominal conseguia comprar. Em outras 
palavras, o salário real sofreu uma queda. 
Resposta: A 
 
ATENÇÃO: utilize as tabelas abaixo para resolver a próxima questão. 
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41. FUNDATEC – AFTE – 2009) Uma concessionária anunciou um 
automóvel R$28.000,00 à vista, que pode ser financiado através de uma 
entrada de R$5.000,00 e mais 6 prestações mensais de R$ 4.000,00 , 
vencendo a primeira 30 dias após a compra. Para um consumidor que 
possui suas economias aplicadas a juros compostos à taxa de 1% ao mês 
e poderia sacá-las para comprar à vista, é possível afirmar, pelo método 
do valor presente líquido (VPL ou NPV), que 
a) NPV = - R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar à vista. 
b) NPV = - R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar à prazo. 
c) NPV = R$ 0,00 e, portanto, é indiferente para o consumidor comprar à 
vista ou a prazo. 
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d) NPV = R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar à vista. 
e) NPV = R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar a prazo. 
RESOLUÇÃO: 
 O fator de valor presente para n = 6 prestações, com taxa de juros 
j = 1% ao mês, é 5,7955: 
 
 
 Portanto, o valor presente das 6 prestações de 4000 reais é: 
VP prestações = 5,7955 x 4000 = 23182 reais 
 
 Somando isso ao valor presente da entrada, que é de 5000 reais, 
temos: 
VP pagamentos = 5000 + 23182 = 28182 reais 
 
 Assim, o valor à vista do carro é de R$28.000,00, enquanto o valor 
presente do financiamento é de R$28.182,00. 
 Se quisermos comprar o carro à prazo, o valor presente das saídas 
de recursos seria R$28.182,00 (é o que pagaremos). E o valor presente 
das entradas de recursos seria R$28.000,00 (é o dinheiro que 
manteremos conosco). Assim, o VPL da compra a prazo é negativo: 
VPL = 28000 – 28182 = -182 reais 
RESPOSTA: A 
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42. CESPE – STM – 2011) Em economia, juro é a remuneração paga 
pelo tomador de um empréstimo junto ao detentor do capital emprestado 
pelo seu uso. O valor do juro é função crescente do tempo e do volume 
de capital em negociação, sendo a proporcionalidade direta a relação de 
uso mais comum entre essas grandezas. A constante de 
proporcionalidade, conhecida como taxa de juros, é influenciada por 
fatores como: inflação, inadimplência e o custo de oportunidade. A taxa 
de juros i que o tomador do empréstimo deve estar disposto a pagar em 
um período deve satisfazer à inequação: 
 
em que a é a taxa de inflação, b é a taxa de inadimplência e c é o custo 
de oportunidade, por unidade de tempo, todos expressos em sua forma 
unitária. Tendo como referência as informações acima, julgue os itens a 
seguir. 
( ) A diferença entre a remuneração de capital — devido a empréstimo, 
investimento etc. — nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo 
fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por 
determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos 
rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a 
remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial. 
( ) Se, em determinado período, a taxa de inflação, a taxa de 
inadimplência e o custo de oportunidade foram, respectivamente, de 3%, 
5% e 4%, então, nesse período, a taxa mínima de juros a que o tomador 
de empréstimo teve de pagar foi inferior a 12%. 
( ) Se, em determinado período, a taxa de juros paga no mercado pelos 
tomadoresde empréstimo foi igual a 10% e a taxa de inflação e a taxa de 
inadimplência foram de 1% e 3%, respectivamente, então, nesse período, 
o custo de oportunidade era superior a 6%. 
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( ) Se, no empréstimo de um capital por determinado período de tempo, o 
risco de 
o detentor do capital não receber o dinheiro de volta for nulo e se a 
inflação nesse 
período também for nula, então a taxa mínima que o tomador pagará 
pelo empréstimo corresponde exatamente ao custo de oportunidade para 
o detentor do 
capital. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A diferença entre a remuneração de capital — devido a empréstimo, 
investimento etc. — nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo 
fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por 
determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos 
rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a 
remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial. 
 CORRETO. A diferença entre juros simples e compostos é que 
apenas no segundo ocorre a capitalização dos juros, que passam a render 
juros nos períodos seguintes. 
 
( ) Se, em determinado período, a taxa de inflação, a taxa de 
inadimplência e o custo de oportunidade foram, respectivamente, de 3%, 
5% e 4%, então, nesse período, a taxa mínima de juros a que o tomador 
de empréstimo teve de pagar foi inferior a 12%. 
 Considerando a fórmula dada pelo enunciado, temos a = 3%, b = 
5% e c = 4%. Portanto, a taxa de juros deve ser: 
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 Portanto, a taxa mínima de juros deve ser superior a 12% (na 
verdade, deve ser superior a 12,57%). Item ERRADO. 
 
( ) Se, em determinado período, a taxa de juros paga no mercado pelos 
tomadores de empréstimo foi igual a 10% e a taxa de inflação e a taxa de 
inadimplência foram de 1% e 3%, respectivamente, então, nesse período, 
o custo de oportunidade era superior a 6%. 
 Podemos utilizar novamente a fórmula dada pelo enunciado, 
considerando i 
= 10%, a = 1% e b = 3%, para encontrar o custo de oportunidade “c”: 
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 Portanto, o custo de oportunidade “c” é menor ou igual a 5,64%. 
Item ERRADO. 
 
( ) Se, no empréstimo de um capital por determinado período de tempo, o 
risco de o detentor do capital não receber o dinheiro de volta for nulo e se 
a inflação nesse período também for nula, então a taxa mínima que o 
tomador pagará pelo empréstimo corresponde exatamente ao custo de 
oportunidade para o detentor do 
capital. 
 O risco de não receber o dinheiro de volta é dado pela taxa de 
inadimplência. Se ele é nulo, então b = 0. Sendo a taxa de inflação nula, 
temos também a = 0. Com isso, temos: 
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 Portanto, na ausência de inflação e inadimplência, retornamos ao 
nosso caso básico, onde a taxa de juros deve ser maior ou igual ao custo 
de oportunidade do capital. Logo, quem tomar este empréstimo pagará, 
no mínimo, o valor deste custo de oportunidade. Item CORRETO. 
Resposta: C E E C 
 
43. VUNESP – CESP – 2009) Se o payback simples de um projeto de 
investimento é exatamente de 12 meses, isto significa que 
(A) o projeto só dará lucro após 12 meses. 
(B) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é negativo. 
(C) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é positivo. 
(D) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é zero. 
(E) o projeto não é rentável. 
RESOLUÇÃO: 
 Como o payback simples ocorre em 12 meses, isso significa que 
somente no 12º mês é que a soma dos valores recebidos superará o 
investimento inicial. Assim, se fizermos o cálculo do valor atual dos 
recebimentos nos 12 primeiros meses, este valor certamente será inferior 
ao investimento inicial, o que torna o VPL negativo. 
Resposta: B 
 
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44. VUNESP – CESP – 2009) Se o payback descontado de um projeto 
de investimento é exatamente de 12 meses, isto significa que 
(A) o projeto só dará lucro após 12 meses. 
(B) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é positivo. 
(C) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é negativo. 
(D) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é zero. 
(E) o projeto não é rentável. 
RESOLUÇÃO: 
 No caso do payback descontado, já está sendo considerada a taxa 
de juros que leva todos os recebimentos futuros para o seu valor atual. 
Assim, se este payback ocorre exatamente no 12º mês, isto significa que 
neste momento o valor atual das entradas é igual ao valor atual dos 
investimentos, ou seja, VPL = 0. 
Resposta: D 
 
45. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Um projeto que requer um 
investimento de R$1.000,00 terá um fluxo de caixa anual de R$ 100,00. 
O payback descontado desse projeto será 
(A) negativo. 
(B) de dez anos. 
(C) inferior a dez anos. 
(D) superior a dez anos. 
(E) impossível saber sem a taxa de juros. 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que o payback simples deste investimento é de exatamente 
10 anos, pois após 10 anos recebendo 100 reais teremos 10 x 100 = 
1.000 reais, ou seja, o valor investido inicialmente. 
 Ao trabalhar com o payback descontado, devemos calcular o valor 
atual de cada recebimento futuro de 100 reais. Isto é feito a partir de 
uma taxa de juros, que irá reduzir o valor de cada parcela de 100 reais. 
Naturalmente, será necessário um período maior para recompor os 1.000 
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reais investidos inicialmente. Ou seja, o payback descontado será superior 
a 10 anos. 
Resposta: D 
 
46. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere o fluxo de caixa 
representado a seguir: 
 
O valor presente líquido desse fluxo de caixa, na data zero, à taxa de 
atratividade de 10% ao ano, a juros compostos, em reais, é 
 a) 6.000 
 b) 7.000 
 c) 11.800 
 d) 12.000 
 e) 15.705 
RESOLUÇÃO: 
 Segue abaixo o cálculo do VPL: 
1 2 3
8800 16940 19965
30000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)
8800 16940 19965
30000
1,1 1,21 1,331
8000 14000 15000 30000
7000
VPL
VPL
VPL
VPL reais
   
  
   
   

 
Resposta: B 
 
47. CESGRANRIO – CAIXA – 2012) Um projeto de investimento, cujo 
aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, após um período, 
retorno de R$ 35.000,00. A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse 
investimento é 
 a) 34% 
 b) 43% 
 c) 75% 
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 d) 175% 
 e) 275% 
RESOLUÇÃO: 
 A TIR deixará o VPL igual a zero. Ou seja, 
VPL = valor atual das entradas – valor atual dos desembolsos35000
0 20000
(1 )j
 

 
35000
20000
(1 )j


 
35000
(1 )
20000
j  
(1 ) 1,75j  
0,75 75%j   
Resposta: C 
 
48. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) A ACME, fabricante de 
produtos eletrônicos de alta tecnologia, está decidindo sobre o 
lançamento de um novo produto, cujo ciclo esperado de vida é de 3 anos. 
No primeiro ano, são esperadas vendas de 500 mil unidades; no segundo 
ano, são esperadas vendas de 2 milhões de unidades e, no terceiro ano, 
700 mil unidades. No fim do terceiro ano, a produção será descontinuada. 
O preço de venda do produto será R$ 80,00 por unidade. Os custos 
variáveis de produção (matérias-primas, mão de obra direta, etc) somam 
R$ 35,00 por unidade, enquanto os custos fixos (administração, aluguéis, 
etc) somam R$ 20 milhões por ano. O custo do capital da ACME para esse 
tipo de projeto é 20% ao ano. Para lançar o produto, a ACME fará, antes 
do início do primeiro ano, um investimento, cujo valor residual, no fim do 
terceiro ano, é zero. Considere que não há impostos, e que as receitas e 
custos ocorrem no fim de cada período. Qual o máximo investimento que 
a ACME pode fazer, em milhões de reais, para lançar o produto? 
 a) 43,54 
 b) 57,35 
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 c) 65,23 
 d) 68,82 
 e) 83,00 
RESOLUÇÃO: 
 O lucro com vendas em cada ano pode ser obtido pela subtração 
abaixo: 
 
Lucro anual = soma de vendas – soma de custos fixos – soma de custos 
variáveis 
 
 Assim, para cada ano temos: 
Lucro1 = 500000 x 80 – 20000000 – 500000 x 35 = 2.500.000 reais 
Lucro2 = 2000000 x 80 – 20000000 – 2000000 x 35 = 70.000.000 reais 
Lucro3 = 700000 x 80 – 20000000 – 700000 x 35 = 11.500.000 reais 
 
 Trazendo estes valores para a data inicial do projeto, com a taxa de 
20% ao ano, temos: 
1 2 3
2.500.000 70.000.000 11.500.000
 
(1 20%) (1 20%) (1 20%)
Valor atual das entradas   
  
 
2.500.000 70.000.000 11.500.000
 
1,2 1,44 1,728
Valor atual das entradas    
 57.349.537,04Valor atual das entradas reais 
 
Como o valor atual das entradas referentes a este projeto é de 
aproximadamente 57,35 milhões de reais, o valor atual dos desembolsos 
(investimentos) não pode ser maior que este, pois resultaria em um VPL 
negativo. 
Logo, o máximo investimento que a ACME pode fazer para lançar o 
produto é de aproximadamente 57,35 milhões de reais. 
Resposta: B 
 
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49. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Uma indústria está 
analisando a conveniência de adquirir uma caminhonete no valor de R$ 
120.000,00. A utilização 
do veículo deverá trazer receitas líquidas, nos próximos 4 anos, de R$ 
30.000,00, R$ 25.000,00, R$ 30.000,00, e R$ 30.000,00. No final do 
quarto ano, espera-se vender a caminhonete por R$ 15.000,00. A taxa de 
retorno esperada pela empresa é de 10% ao ano, e a empresa só deverá 
adquirir a caminhonete se tal aquisição propiciar ganho financeiro. 
Considerando-se exclusivamente as informações acima, 
qual é, em reais, o Valor Presente Líquido dessa operação e, 
consequentemente, a recomendação da compra, ou não, da caminhonete 
pela empresa? 
 
(A) 5.909 – a empresa deve comprar a caminhonete. 
(B) 4.199 – a empresa deve comprar a caminhonete. 
(C) 2.460 – a empresa deve comprar a caminhonete. 
(D) (29.038) – a empresa não deve comprar a caminhonete. 
(E) (18.793) – a empresa não deve comprar a caminhonete. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um desembolso inicial de R$ 120.000,00. A seguir temos 
entradas anuais nos valores de R$ 30.000,00, R$ 25.000,00, R$ 
30.000,00, e R$ 30.000,00. Junto desta última entrada, temos a entrada 
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de R$ 15.000,00 relativa à venda da caminhonete. Com a taxa de 10% ao 
ano, o VPL é: 
VPL = valor atual das entradas – valor atual dos desembolsos 
1 2 3 4
30000 25000 30000 30000 15000
120000
(1 10%) (1 10%) (1 10%) (1 10%)
VPL

    
   
 
1 2 3 4
30000 25000 30000 45000
120000
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
VPL      
 
 Para utilizar os dados fornecidos, vamos fazer a seguinte 
manipulação algébrica: 
1 2 3 4
5000 5000 5000 5000
6 5 6 9 120000
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
VPL          
6 4545 5 4132 6 3757 9 3415 120000VPL          
27270 20660 22542 30735 120000 18793VPL       
 
 Portanto, temos um valor presente líquido negativo de -18793 
reais. Isto nos indica que a aquisição da caminhonete representará uma 
perda de riqueza para a companhia, não sendo recomendável efetuar esta 
compra. 
Resposta: E 
 
50. FCC – TRT/6ª – 2012) Uma empresa está avaliando a compra de 
uma nova máquina por R$ 320.000,00 à vista. Estima-se que a vida útil 
da máquina seja de 3 anos, que o valor residual de revenda no final do 
terceiro ano seja de R$ 50.578,00 e que os fluxos líquidos de caixa 
gerados por esta máquina ao final de cada ano sejam de R$ 99.000,00, 
R$ 150.040,00 e R$ 99.825,00, respectivamente. Sabendo que a taxa 
mínima de atratividade é de 10% a.a., a compra da nova máquina 
(A) apresenta valor presente líquido positivo. 
(B) apresenta valor presente líquido negativo. 
(C) apresenta valor presente líquido igual a zero. 
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(D) apresenta taxa interna de retorno igual à taxa mínima de 
atratividade. 
(E) é economicamente inviável à taxa mínima de atratividade de 10% 
a.a.. 
RESOLUÇÃO: 
 Neste fluxo de caixa temos um pagamento inicial de 320000 reais, 
para aquisição da máquina, e 3 fluxos positivos (R$ 99.000,00, R$ 
150.040,00 e R$ 99.825,00). Além disso, no 3º período temos outro fluxo 
positivo, de R$50.578,00, correspondentes à venda da máquina por seu 
valor residual. 
 Assim, no terceiro período devemos considerar um fluxo positivo 
de: 
99825 + 50578 = 150403 reais 
 
 Calculando o VPL, para a taxa j = 10% ao ano, temos: 
1 2 3
99000 150040 150403
320000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)
VPL   
  
 
7000VPL reais 
 
 Portanto, mesmo considerando a taxa mínima de atratividade j = 
10% ao ano, a compra da máquina apresenta VPL positivo. 
Resposta: A 
 
51. FCC – TRE/SP – 2012) Dois projetos de investimento (I e II), 
mutuamente excludentes, estão representados pelos fluxos de caixa 
abaixo. 
 
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Os valores presentes líquidos dos dois projetos são iguais e a taxa mínima 
de atratividade é igual a 10% ao ano. O valor de X é igual a 
(A) R$ 8.800,00. 
(B) R$ 8.855,00. 
(C) R$ 8.965,00. 
(D) R$ 9.350,00. 
(E) R$ 9.900,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Considerando a taxa j = 10% ao ano, podemos calcular assim o VPL 
de cada projeto: 
entradas saídasVPL VP VP  
1 2 3
9680 9317
20000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)I
X
VPL    
  
 
1 2 3
8250 9680 10648
20000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)II
VPL    
  
 
 
 Como os VPLs são iguais, então: 
1 2 3 1 2 3
9680 9317 8250 9680 10648
20000 20000
(1 10%) (1 10%) (1 10%) (1 10%) (1 10%) (1 10%)
X
      
     
 
1 3 1 39317 8250 10648
(1 10%) (1 10%) (1 10%) (1 10%)
X
  
   
 
 
 Multiplicando todos os termos por (1 + 10%)3, temos: 
2 2(1 10%) 9317 (1 10%) 8250 10648X     
1,21 9317 1,21 8250 10648X     
9350X reais 
Resposta: D 
 
52. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2012 ) O investimento 
necessário para montar uma pequena empresa é de R$ 10.000,00. Esse 
investimento renderá R$6.000,00 no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 
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no final do segundo. Depois desses dois anos, o dono dessa empresa 
pretende fechá-la. A taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é 
(A) 1% 
(B) 1,5% 
(C) 5% 
(D) 10% 
(E) 15% 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um desembolso de 10000 reais, na data inicial (t = 0), uma 
entrada de 6000 reais em t = 1, e uma entrada de 5500 reais em t = 2. 
Sendo j a taxa de juros anual, o VPL é dado por: 
VPL = VP entradas – VP desembolsos 
1 2
6000 5500
10000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
 
 Para que j seja a taxa interna de retorno (TIR), é preciso que VPL = 
0. Isto é, 
1 2
6000 5500
0 10000
(1 ) (1 )j j
  
 
 
 
 Multiplicando todos os termos por (1 + j)2 temos: 
2 2 2 2
1 2
6000 5500
0 (1 ) (1 ) (1 ) 10000 (1 )
(1 ) (1 )
j j j j
j j
          
 
 
20 6000 (1 ) 5500 10000 (1 )j j       
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20 6 (1 ) 5,5 10 (1 2 )j j j        
0 = 6 + 6j + 5,5 – 10 – 20j – 10j2 
0 = 1,5 – 14j – 10j2 
0 = 10j2 + 14j – 1,5 
214 14 4.10.( 1,5)
2.10
j
   
 
14 256
20
j
 
 
14 16
20
j
 
 
14 16
20
j
 
 ou 
14 16
20
j
 
 
0,10j  ou 1,5j   
 
 Como j é uma taxa de juros, devemos usar o valor positivo. Ou 
seja, 
j = 0,10 = 10% ao ano 
 
 Essa é a taxa interna de retorno do projeto. 
RESPOSTA: D 
 
53. VUNESP – CESP – 2009) Um projeto de três anos de duração 
requer um investimento inicial de R$ 300 e os fluxos de caixa previstos 
para cada ano são: R$110, após um ano, R$ 121, após dois anos, e R$ 
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133,10, após três anos. O valor presente líquido desse projeto de 
investimento, supondo uma taxa de juros de 10% 
ao ano é 
(A) zero. 
(B) R$ 30. 
(C) R$ 31. 
(D) R$ 41. 
(E) R$ 64,10. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o VPL: 
VPL = valor presente das entradas – valor presente das saídas 
VPL = 110 / 1,1 + 121 / 1,12 + 133,1 / 1,13 – 300 
VPL = 100 + 100 + 100 – 300 
VPL = 0 
Resposta: A 
 
54. VUNESP – CESP – 2009) Se o valor presente líquido de um projeto 
de investimento, avaliado a uma taxa de juros de 10% ao ano, é R$ 
1.208,70, e o mesmo projeto, considerando uma taxa de 12% ao ano tem 
valor presente líquido de R$ 307,09, então pode-se afirmar que a taxa 
interna de retorno deste projeto é 
(A) inferior a 10% ao ano. 
(B) 11% ao ano. 
(C) entre 10% e 12% ao ano, mas não necessariamente 11% ao ano. 
(D) superior a 12% ao ano. 
(E) impossível ter qualquer ideia com os dados apresentados. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que, à medida que a taxa de juros utilizada aumenta, o 
VPL é reduzido, aproximando-se de zero. Para chegar a VPL = 0, é preciso 
uma taxa superior a 12%. Esta será a TIR, o que torna a alternativa D 
correta. 
Resposta: D 
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55. VUNESP – TJM/SP– 2011) A taxa interna de retorno, ou a TIR, é 
uma medida popular utilizada no orçamento de capital, bem como na 
medida de taxa de rentabilidade. 
Por definição, a TIR é 
(A) uma taxa de desconto que iguala o valor presente dos fluxos de casa 
futuros ao investimento inicial. 
(B) a mais utilizada técnica sofisticada de avaliação de investimentos 
(C) a taxa interna do retorno do capital médio investido 
(D) a taxa que calcula diversos investimentos na linha do tempo até 
chegarem ao momento inicial do investimento. 
(E) a equiparação do valor futuro ao valor presente, utilizando-se 
somente o valor absoluto e não o valor relativo. 
RESOLUÇÃO: 
 Como vimos, a TIR é a taxa de juros que torna o Valor Presente 
Líquido (VPL) de um fluxo de caixa igual a zero. Isto é, usando a TIR 
temos: 
VPL = 0 = Valor presente das entradas – valor presente das saídas 
 
 Logo, 
Valor presente das Saídas = Valor presente das entradas 
 
 Em um projeto mais simples, temos apenas um investimento inicial, 
que é o próprio valor presente das saídas, e um fluxo de caixa que 
representa as entradas futuras. Assim, podemos dizer que a TIR iguala o 
investimento inicial ao fluxo de caixa futuro. 
Resposta: A 
 
56. VUNESP – CETESB – 2009) Um projeto de investimento requer um 
aporte de R$300.000,00 no período inicial e terá os seguintes fluxos de 
caixa: R$ 110.000,00 após um ano; R$ 121.000,00 após dois anos; R$ 
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133.100,00 após 3 anos e R$146.410,00 após 4 anos, quando o projeto 
será finalizado. 
A taxa interna de retorno (TIR) desse projeto é: 
(A) negativa. 
(B) positiva, inferior a 10% ao ano. 
(C) superior a 10% ao ano. 
(D) 25% ao ano. 
(E) impossível calcular. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe no exercício anterior que, à taxa de 10% ao ano, 
obtivemos um VPL positivo de 100.000 reais, ou seja, o valor presente 
das entradas superou o valor presente das saídas em 100.000 reais. Para 
aproximarmos este VPL de zero (quando teremos a TIR), precisamos ir 
aumentando a taxa de juros, pois isto reduz o valor presente das 
entradas. 
 Assim, certamente a TIR é um valor superior a 10% ao ano, o que 
nos permite marcar a alternativa C. Note que nem precisamos avaliar a 
alternativa D, pois se ela fosse correta (TIR = 25%), a alternativa C 
também seria (afinal, 25% é maior que 10%). 
Resposta: C 
 
57. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Para um projeto de investimento 
privado seja considerado atraente, é preciso que sua taxa interna de 
retorno seja 
(A) maior do que a inflação. 
(B) negativa. 
(C) maior do que a taxa de juros. 
(D) inferior à taxa de juros. 
(E) zero. 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que você tem um dinheiro disponível, e a possibilidade de 
aplicá-lo em um determinado projeto de investimento privado. Este 
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projeto gerará um retorno financeiro, que pode ser medido pela Taxa 
Interna de Retorno (TIR). Se este retorno for superior à taxa de juros do 
mercado, o investimento privado é atraente. Caso a taxa de juros do 
mercado (ex.: taxa Selic) seja superior, vale mais a pena deixar o 
dinheiro investido em alguma aplicação financeira, de modo que o projeto 
deixa de ser atraente. 
 Assim, para o projeto ser atraente é preciso que a TIR seja maior 
que a taxa de juros do mercado. 
Resposta: C 
 
 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 08. 
Abraço, 
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1. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa deverá escolher um 
entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os 
seguintes fluxos de caixa: 
 
A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e 
verifica-se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são 
iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a 
(A)) R$ 30 000,00 
(B) R$ 40 000,00 
(C) R$ 45 000,00 
(D) R$ 50 000,00 
(E) R$ 60 000,00 
 
2. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Uma empresa realizou a projeção 
dos fluxos de caixa de um determinado projeto, conforme a tabela 
abaixo: 
 
Sabendo-se que a Taxa Interna de Retorno para esse projeto é de 3%, o 
valor do 2º fluxo será referente a: 
A) R$ 21.218,00 
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B) R$ 22.732,00 
C) R$ 23.426,00 
D) R$ 24.980,00 
E) R$ 25.619,00 
 
3. CESPE – BRB – 2010) Julgue os itens a seguir, acerca de custo 
efetivo, taxas 
de retorno e rendas. 
( ) Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a 
taxa de inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o 
custo total efetivo dessa operação financeira será inferior a 24%. 
( ) Considere que uma empresa tenha feito um investimento de R$ 
20.000,00, para 
obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectivamente, 
ao final de 
cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de 
mercado for 
inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável. 
 
4. CESGRANRIO – IBGE – 2010) A tabela abaixo apresenta as 
quantidades e os preços unitários de 4 produtos vendidos, em uma 
mercearia, durante o 1o trimestre de 2009. 
 
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Para o conjunto dos 4 produtos apresentados, o índice de preços de 
Laspeyres referente ao mês de março, tendo como base o mês de janeiro, 
vale, aproximadamente, 
(A) 79 
(B) 81 
(C) 108 
(D) 123 
(E) 127 
 
5. ESAF – AFRFB – 2003) Dadas as três séries de índices de preços 
abaixo,assinale a opção correta. 
 
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das séries S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base 
distintos. 
 
6. ESAF – AFRFB – 2001) Um índice de preços com a propriedade 
circular, calculado anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos 1 = 
3 %, 2 = 2% e 3 = 2%, medidos relativamente ao ano anterior, a 
partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço 
do período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 9,00 % 
b) 6,08 % 
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c) 7,00 % 
d) 7,16 % 
e) 6,11 % 
 
7. PUC/PR – COPEL – 2009) Uma empresa decide investir R$ 
40.000,00 num projeto de ampliação da capacidade produtiva, para obter 
benefícios das entradas de caixa de R$ 15.000,00 por ano, durante os 
próximos 3 anos. Se a taxa de atratividade da empresa for 5% a.a., 
assinale o valor que mais se aproxima do valor presente líquido: 
A) R$ 849,00. 
B) R$ 1.049,00. 
C) R$ 1.149,00. 
D) R$ 549,00. 
E) R$ 1.249,00. 
 
8. PUC/PR – URBS – 2009) A senhora Estela tem R$ 300.000,00 para 
aplicar. Pretende comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, mas na 
concessionária escolhida o carro só poderá ser entregue daqui a dois 
meses. Como alternativa poderá comprar um carro igual em outra 
concessionária por R$ 55.500,00, e deixar o restante do dinheiro 
aplicado, ou aplicar todo o dinheiro. O pagamento do veículo será na 
entrega do mesmo. Considere juros compostos. 
A) Caso a taxa de mercado seja de 3% ao mês, a melhor opção seria a 
primeira em termos Valor Presente Líquido. 
B) Caso a taxa de mercado seja de 5% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
C) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, a melhor opção seria a 
primeira em termos de Valor Presente Líquido. 
D) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
E) Mesmo fornecendo a taxa de mercado, faltamdados para efetuar 
qualquer tipo de cálculo comparativo e determinar qual a melhor opção. 
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9. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere as três afirmativas 
a seguir: 
I - Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos 
de capitais ao longo de um universo temporal. 
II - Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a 
qual a soma das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos 
quando a comparação é efetuada em uma mesma data. 
III - Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de 
capital. 
Está correto o que se afirma em: 
(A) II, apenas. 
(B) I e II, apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
10. FCC – Banco do Brasil – 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa 
cuja taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 11 000,00 
(B) R$ 11 550,00 
(C) R$ 13 310,00 
(D) R$ 13 915,00 
(E)) R$ 14 520,00 
 
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11. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um 
projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou 
uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano. 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 10.368,00 
(B) R$ 11.232,00 
(C) R$ 12.096,00 
(D) R$ 12.960,00 
(E) R$ 13.824,00 
 
12. FCC – SEFIN/RO – 2010) Considere o fluxo de caixa abaixo 
referente a um projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. 
A uma taxa de atratividade de 20% ao ano, o índice de lucratividade do 
projeto apresenta um valor de 1,176. 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 12.000,00 
(B) R$ 13.200,00 
(C) R$ 14.400,00 
(D) R$ 15.000,00 
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(E) R$ 17.280,00 
 
13. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) O instrumento que permite 
equalizar o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) 
com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa) é 
a(o) 
(A) taxa de retorno sobre o investimento 
(B) taxa interna de retorno 
(C) lucratividade embutida 
(D) valor médio presente 
(E) valor futuro esperado 
 
14. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A Cia. Renovar S/A 
encontra-se em fase de avaliação de propostas de investimentos de 
capital, como segue. 
 
Admitindo-seque o orçamento de capital esteja limitado a R$ 
11.500.000,00, as alternativas que, somadas, apresentam maior Valor 
Presente Líquido são: 
(A) P + Q + T 
(B) P + R + S 
(C) P + Q + S 
(D) P + Q + R 
(E) Q + R + S + T 
 
15. FCC – ISS/SP – 2012) Para a aquisição de um equipamento, uma 
empresa tem duas opções, apresentadas na tabela abaixo. 
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Utilizando-se a taxa de 20% ao ano, verifica-se que o módulo da 
diferença entre os valores atuais das opções X e Y, na data de hoje, é: 
a) zero 
b) R$ 1.041,00 
c) R$ 2.056,00 
d) R$ 2.085,00 
e) R$ 2.154,00 
 
16. FCC – SEFAZ/SP – 2006) A representação gráfica abaixo 
corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a 
escala horizontal em anos. 
 
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao 
ano e (X+Y) = R$10.285,00, tem-se que X é igual a: 
a) R$3.025,00 
b) R$3.267,00 
c) R$3.388,00 
d) R$3.509,00 
e) R$3.630,00 
 
17. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere o fluxo de caixa a seguir, com 
os valores em reais. 
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Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual 
a 
(A) R$ 5.230,00 
(B) R$ 5.590,00 
(C) R$ 5.940,00 
(D) R$ 6.080,00 
(E) R$ 6.160,00 
 
18. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a tabela abaixo, que apresenta 
valores de: 
 
Uma determinada peça pode ser produzida indistintamente pela máquina 
A ou pela máquina B. Uma empresa deseja produzir essa peça e tem hoje 
duas opções: 
 
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Opção I) Adquirir a máquina A pelo preço à vista de R$ 10.000,00, com 
custo de manutenção anual de R$ 1.800,00, vida útil de 8 anos e valor 
residual de R$ 2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores 
em reais): 
 
Opção II) Adquirir a máquina B pelo preço à vista de R$ 8.500,00, com 
custo de manutenção anual de R$ 2.000,00, vida útil de 8 anos e valor 
residual de R$ 1.631,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores 
em reais): 
 
Se AI e AII são respectivamente os módulos dos valores atuais dos fluxos 
das opções I e II, na data de hoje, com uma taxa mínima de atratividade 
de 30% ao ano, então 
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19. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um empréstimo foi liquidado 
através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, 
corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido 
empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a 
taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo 
referente a este empréstimo foi de 
(A) 14,4% 
(B) 15,2% 
(C) 18,4% 
(D) 19% 
(E) 20% 
 
20. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um financiamento foi contratado, 
em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de 
juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da 
realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e 
o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, então, que a taxa de inflação 
acumulada no período foi de 
(A) 16% 
(B) 20% 
(C) 24% 
(D) 28% 
(E) 30% 
 
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21. CESPE – CORREIOS – 2011) O departamento de manutenção 
de determinada indústria está preparando uma proposta de projeto de 
modernização, por meio da reforma de suas instalações, da aquisição de 
novos equipamentos e dispositivos e de um software de auxílio ao 
planejamento e controle da manutenção, em um investimento total 
estimado em R$250.000,00. O engenheiro responsável pela proposta de 
projeto, na análise de sua viabilidade, verificou que, para uma taxa de 
atratividade de 2% ao mês, relativos a juros compostos, espera-se, como 
retorno, um valor R$25.000,00 ao mês durante 12 meses consecutivos, 
sem valor residual. Diante dessa situação hipotética, julgue os itens 
subsequentes. 
( ) Se a taxa interna de retorno calculada para o investimento for igual a 
2,92%, é correto afirmar que o projeto é viável, considerando-se a 
análise desse índice. 
 
22. CESPE – TRE/BA – 2010) As técnicas de orçamento de capital, 
quando aplicadas aos fluxos de caixa dos projetos de uma 
empresa, fornecem importantes informações para a avaliação de 
aceitabilidade ou classificação esses projetos. 
Lawrence Gitman. Princípios de administração financeira. 12.ª 
ed. São Paulo: Pearson, 2010, p. 380. 
 
Com relação a esse assunto, julgue os itens a seguir. 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno 
mínimo necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de 
mercado da empresa. 
 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar 
os que representam TIRs superiores ao custo do capital. 
 
23. CESPE – ANTAQ – 2009) Acerca de aspectos financeiros dos 
investimentos, julgue os itens que se seguem. 
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( ) Se um projeto de investimento for realizado em condições tais que a 
taxa de custo de capital corresponda a valores menores do que a taxa 
interna de retorno, o projeto apresentará uma renda positiva para os 
investidores. 
( ) Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta 
fluxo de investimento igual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e 
fluxo de caixa esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao 
projeto B, se este apresentar fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, 
custo de capital de 15% e fluxo de caixa esperado igual a R$ 
3.200.000,00. 
( ) Considere um título de renda fixa que ofereça pagamentos de 
cupons semestrais a uma taxa de 16% ao ano, com capitalização 
semestral, durante 10 anos, findos os quais deva ser restituído ao titular 
o valor nominal de R$ 1.000,00. Se, depois de dois anos do lançamento 
do título, a taxa de juros de mercado passar a ser de 12% ao ano, 
com capitalização semestral, o valor de comercialização do título 
passará a ser inferior a R$ 1.000,00. 
 
24. CESPE – BRB – 2011) Julgue os itens seguintes, referentes a taxa 
de retorno e avaliação de alternativas de investimento. 
( ) Considerando uma renda de 3 pagamentos mensais, iguais e 
consecutivos, de R$ 100,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês, e 
adotando 0,86 como valor aproximado para 1,05-3, é correto afirmar 
que, nesse caso, o valor presente será inferior a R$ 202,32. 
( ) Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros 
compostos de 
2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a 
implantação de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos 
dois meses, e adotando 0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 
e 1,02-2, respectivamente, é correto afirmarque o valor presente líquido 
do referido projeto será superior a R$2.750,00. 
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( ) A escolha de um projeto envolve a comparação das alternativas de 
investimento e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um 
projeto será financeiramente recomendável em relação a outros 
investimentos se a taxa mínima de atratividade for superior à taxa interna 
de retorno. 
( ) Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenha rendido o 
pagamento de R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao 
final do segundo mês, e que 7,55 seja o valor aproximado para 57 então 
a taxa interna de retorno desse investimento foi superior a 35% ao mês. 
 
25. CESPE – TCU – 2009) Considere que uma instituição financeira 
ofereça as seguintes opções de empréstimo: 
I. R$ 40.000,00 – a serem pagos após um mês da contratação do 
empréstimo em uma parcela de R$ 40.600,00; 
II. R$ 20.000,00 – a serem pagos em duas parcelas mensais e iguais, a 
primeira vencendo 1 mês após a contratação do empréstimo, a uma taxa 
interna de retorno de 2%. 
Com base nessas informações e tomando 0,98 e 0,96 como valores 
aproximados de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, julgue os itens que se 
seguem. 
( ) Na opção I, a taxa interna de retorno é superior a 1,6%. 
 
26. CESPE – CEF – 2010) Uma instituição financeira capta 
investimentos oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, 
ao investir determinada quantia, um investidor fez duas retiradas, uma 
no valor de R$10.500,00 um mês após a data do depósito, e outra, no 
valor restante de R$11.025,00, dois meses após o depósito, então o 
valor investido foi igual a 
a) R$ 18.000,00. 
b) R$ 18.500,00. 
c) R$ 19.000,00. 
d) R$ 19.500,00. 
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e) R$ 20.000,00. 
 
27. CESPE – TCE/ES – 2012) Uma empresa lançará um novo produto 
no mercado mediante investimento inicial de R$ 27.000,00. Estima-se 
que, durante seis meses, a partir do primeiro mês de lançamento, esse 
produto renderá, a cada mês, receitas no valor de R$ 5.000,00. 
Com relação a essa situação, julgue os itens subsequentes. 
 
( ) Em face da situação apresentada, é correto afirmar que o valor para 
61 (1 )i
i
 
 relativo à taxa interna de retorno (TIR) do investimento é 
superior a 5,3. 
( ) Considere que o montante do investimento tenha sido financiado por 
uma instituição financeira, a determinada taxa de juros i, de modo que 
5,70 seja valor aproximado para 
61 (1 )i
i
 
. Com base nessas 
informações, é correto afirmar que o empréstimo é viável para a 
empresa. 
 
28. CESPE – TRE/RJ – 2012) Um construtor comprou um terreno por 
R$ 10.000,00 e, três meses depois, construiu, nesse terreno, uma casa 
popular, gastando R$30.000,00. Três meses após a construção ter sido 
finalizada, a casa foi vendida por R$ 60.000,00. Considerando que 1,33 e 
1,77 são valores aproximados para 1,13 e 1,16, respectivamente, julgue 
os itens seguintes, relativos a situação hipotética acima. 
( ) Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a 
casa, tivesse investido os valores gastos no empreendimento em uma 
aplicação cujo rendimento fosse de 10% ao mês, sob o regime de juros 
compostos, o montante dessa aplicação teria sido superior ao obtido por 
meio da venda da casa na data correspondente. 
( ) A taxa interna de retorno do empreendimento foi superior a 30% ao 
trimestre. 
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29. CESPE – BASA – 2012) Um cliente dispõe de R$ 210.000,00 para 
quitar o saldo devedor — também de R$ 210.000,00 — do financiamento 
de um imóvel junto a uma instituição financeira que trabalha com conta 
remunerada à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Para essa 
quitação, a instituição financeira oferece as seguintes opções. 
I depositar o dinheiro disponível em conta remunerada e fazer o 
pagamento em duas prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 
121.000,00, com a primeira prestação vencendo em um mês após a data 
do depósito; 
II pagamento do saldo devedor, à vista, com desconto de 5%; nesse 
caso, o cliente poderá depositar o desconto na conta remunerada. 
( ) As duas opções permitem que o cliente obtenha o mesmo retorno 
financeiro. 
 
30. CESPE – TRE/BA – 2010) Julgue os itens: 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar os que 
representam TIRs superiores ao custo do capital. 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno 
mínimo necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de 
mercado da empresa. 
 
31. CESPE – CORREIOS – 2011) O departamento de manutenção de 
determinada indústria está preparando uma proposta de projeto de 
modernização, por meio da reforma de suas instalações, da aquisição de 
novos equipamentos e dispositivos e de um software de auxílio ao 
planejamento e controle da manutenção, em um investimento total 
estimado em R$ 250.000,00. O engenheiro responsável pela proposta de 
projeto, na análise de sua viabilidade, verificou que, para uma taxa de 
atratividade de 2% ao mês, relativos a juros compostos, espera-se, como 
retorno, um valor R$ 25.000,00 ao mês durante 12 meses consecutivos, 
sem valor residual. 
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Diante dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes. 
 
( ) Se o valor presente dos fluxos de caixa do projeto for de 
aproximadamente R$264.400,00, o investimento é viável, considerando-
se a taxa de atratividade verificada pelo engenheiro. 
 
32. CESGRANRIO – BNDES – 2011) A tabela a seguir apresenta, para 
o ano de 2011, as variações mensais dos preços e os correspondentes 
índices de base, fixa para um determinado segmento industrial. 
 
A variação acumulada no ano, isto é, julho em relação ao mês de 
dezembro do ano anterior, em %, é, aproximadamente, 
(A) − 3,7% 
(B) − 3,0% 
(C) − 2,4% 
(D) 2,4% 
(E) 3,0% 
 
33. ESAF – AFRFB – 2005) Considerando-se os dados sobre os preços e 
as quantidades vendidas de dois produtos em dois anos consecutivos, 
assinale a opção correta. 
 
a) O índice de Laspeyres indica um aumento de 50% no nível de preços 
dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 
50%. 
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b) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Laspeyres são 80 
para o preço relativo do produto 1 e 240 para o preço relativo do produto 
2. 
c) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços 
dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 
75%. 
d) Os fatores de ponderação no cálculo do índice de Paasche são 240 para 
o preço relativo do produto 1 e 80 para o preço relativo do produto 2. 
e) O índice de Laspeyres indica um aumento de 25% no nível de preços 
dos dois produtos, enquanto o índice de Paasche indica uma redução de 
25%. 
 
34. CESGRANRIO – BNDES – 2008) A tabela a seguir apresentadados 
sobre a evolução de preços e quantidades de dois produtos, em dois anos 
consecutivos. 
 
Com base nos dados apresentados, em relação ao nível de preços dos 
dois produtos, os índices de Paasche e de Laspeyres, respectivamente, 
indicam 
(A) a sua manutenção e uma redução de 12%. 
(B) a sua manutenção e um aumento de 12%. 
(C) uma redução de 12% e um aumento de 12%. 
(D) uma redução de 12% e a sua manutenção. 
(E) um aumento de 12% e a sua manutenção. 
 
35. CESGRANRIO – BNDES – 2006) Para um determinado bem, o 
relativo de preços de março em relação a fevereiro foi igual a 1,25. 
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Portanto, o relativo de preços de fevereiro desse bem, em relação a 
março, vale: 
(A) 0,75 
(B) 0,80 
(C) 1,00 
(D) 1,20 
(E) 1,25 
 
36. CESGRANRIO – BNDES – 2011) A tabela a seguir apresenta os 
valores da produção corrente e a preços do ano anterior e também as 
variações anuais de quantidade (volume) e de preços. As variações de 
quantidade e preços foram calculadas com base nas formulações de 
Laspeyres e Paasche, respectivamente. 
 
Os valores aproximados de a e b são, respectivamente, 
(A) 5% e 8% 
(B) 7% e 4% 
(C) 7% e 5% 
(D) 8% e 5% 
(E) 8% e 8% 
 
37. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Um índice de valor pode ser obtido 
pelo produto de um índice de 
(A) preços de Laspeyres por um índice de quantidades de Paasche. 
(B) preços de Laspeyres por um índice de quantidades de Laspeyres. 
(C) preços de Paasche por um índice de quantidades de Paasche. 
(D) preços de Laspeyres por um índice de preços de Paasche. 
(E) quantidades de Laspeyres por um índice de quantidades de Paasche. 
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38. VUNESP – PREF. SJC – 2012) 
 
A taxa de inflação observada entre os anos de 2010 e 2011 foi de 
(A) 10%. 
(B) 16%. 
(C) 20%. 
(D) 32%. 
(E) 64%. 
 
39. VUNESP – PREF. SJC – 2012) 
 
O salário real em 2010, quando comparado com o de 2009, 
(A) teve uma queda. 
(B) foi mantido constante. 
(C) teve um aumento de 9,09%. 
(D) teve um aumento de 10%. 
(E) teve um aumento de 20%. 
 
40. VUNESP – PREF. SJC – 2012) 
 
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O salário real em 2011, quando comparado com o de 2009, 
(A) teve uma queda. 
(B) foi mantido constante. 
(C) teve um aumento de 9,09%. 
(D) teve um aumento de 10%. 
(E) teve um aumento de 20%. 
 
ATENÇÃO: utilize as tabelas abaixo para resolver a próxima questão. 
 
41. FUNDATEC – AFTE – 2009) Uma concessionária anunciou um 
automóvel R$28.000,00 à vista, que pode ser financiado através de uma 
entrada de R$5.000,00 e mais 6 prestações mensais de R$ 4.000,00 , 
vencendo a primeira 30 dias após a compra. Para um consumidor que 
possui suas economias aplicadas a juros compostos à taxa de 1% ao mês 
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e poderia sacá-las para comprar à vista, é possível afirmar, pelo método 
do valor presente líquido (VPL ou NPV), que 
a) NPV = - R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar à vista. 
b) NPV = - R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar à prazo. 
c) NPV = R$ 0,00 e, portanto, é indiferente para o consumidor comprar à 
vista ou a prazo. 
d) NPV = R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar à vista. 
e) NPV = R$ 182,00 e, portanto, é mais vantajoso para o consumidor 
comprar a prazo. 
 
42. CESPE – STM – 2011) Em economia, juro é a remuneração paga 
pelo tomador de um empréstimo junto ao detentor do capital emprestado 
pelo seu uso. O valor do juro é função crescente do tempo e do volume 
de capital em negociação, sendo a proporcionalidade direta a relação de 
uso mais comum entre essas grandezas. A constante de 
proporcionalidade, conhecida como taxa de juros, é influenciada por 
fatores como: inflação, inadimplência e o custo de oportunidade. A taxa 
de juros i que o tomador do empréstimo deve estar disposto a pagar em 
um período deve satisfazer à inequação: 
 
em que a é a taxa de inflação, b é a taxa de inadimplência e c é o custo 
de oportunidade, por unidade de tempo, todos expressos em sua forma 
unitária. Tendo como referência as informações acima, julgue os itens a 
seguir. 
( ) A diferença entre a remuneração de capital — devido a empréstimo, 
investimento etc. — nos regimes de juros simples e compostos dá-se pelo 
fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por 
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determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos 
rendimentos nos períodos anteriores, e, no caso de juros simples, a 
remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial. 
( ) Se, em determinado período, a taxa de inflação, a taxa de 
inadimplência e o custo de oportunidade foram, respectivamente, de 3%, 
5% e 4%, então, nesse período, a taxa mínima de juros a que o tomador 
de empréstimo teve de pagar foi inferior a 12%. 
( ) Se, em determinado período, a taxa de juros paga no mercado pelos 
tomadores de empréstimo foi igual a 10% e a taxa de inflação e a taxa de 
inadimplência foram de 1% e 3%, respectivamente, então, nesse período, 
o custo de oportunidade era superior a 6%. 
( ) Se, no empréstimo de um capital por determinado período de tempo, o 
risco de 
o detentor do capital não receber o dinheiro de volta for nulo e se a 
inflação nesse 
período também for nula, então a taxa mínima que o tomador pagará 
pelo empréstimo corresponde exatamente ao custo de oportunidade para 
o detentor do 
capital. 
 
43. VUNESP – CESP – 2009) Se o payback simples de um projeto de 
investimento é exatamente de 12 meses, isto significa que 
(A) o projeto só dará lucro após 12 meses. 
(B) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é negativo. 
(C) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é positivo. 
(D) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é zero. 
(E) o projeto não é rentável. 
 
44. VUNESP – CESP – 2009) Se o payback descontado de um projeto 
de investimento é exatamente de 12 meses, isto significa que 
(A) o projeto só dará lucro após 12 meses. 
(B) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é positivo. 
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(C) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é negativo. 
(D) o valor presente líquido, considerados os 12 meses, é zero. 
(E) o projeto não é rentável. 
 
45. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Um projeto que requer um 
investimento de R$1.000,00 terá um fluxo de caixa anual de R$ 100,00. 
O payback descontado desse projeto será 
(A) negativo. 
(B) de dez anos. 
(C) inferior a dez anos. 
(D) superior a dez anos. 
(E) impossível saber sem a taxa de juros. 
 
46. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere o fluxode caixa 
representado a seguir: 
 
O valor presente líquido desse fluxo de caixa, na data zero, à taxa de 
atratividade de 10% ao ano, a juros compostos, em reais, é 
 a) 6.000 
 b) 7.000 
 c) 11.800 
 d) 12.000 
 e) 15.705 
 
47. CESGRANRIO – CAIXA – 2012) Um projeto de investimento, cujo 
aporte de capital inicial é de R$ 20.000,00, irá gerar, após um período, 
retorno de R$ 35.000,00. A Taxa Interna de Retorno (TIR) desse 
investimento é 
 a) 34% 
 b) 43% 
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 c) 75% 
 d) 175% 
 e) 275% 
 
48. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2010) A ACME, fabricante de 
produtos eletrônicos de alta tecnologia, está decidindo sobre o 
lançamento de um novo produto, cujo ciclo esperado de vida é de 3 anos. 
No primeiro ano, são esperadas vendas de 500 mil unidades; no segundo 
ano, são esperadas vendas de 2 milhões de unidades e, no terceiro ano, 
700 mil unidades. No fim do terceiro ano, a produção será descontinuada. 
O preço de venda do produto será R$ 80,00 por unidade. Os custos 
variáveis de produção (matérias-primas, mão de obra direta, etc) somam 
R$ 35,00 por unidade, enquanto os custos fixos (administração, aluguéis, 
etc) somam R$ 20 milhões por ano. O custo do capital da ACME para esse 
tipo de projeto é 20% ao ano. Para lançar o produto, a ACME fará, antes 
do início do primeiro ano, um investimento, cujo valor residual, no fim do 
terceiro ano, é zero. Considere que não há impostos, e que as receitas e 
custos ocorrem no fim de cada período. Qual o máximo investimento que 
a ACME pode fazer, em milhões de reais, para lançar o produto? 
 a) 43,54 
 b) 57,35 
 c) 65,23 
 d) 68,82 
 e) 83,00 
 
49. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Uma indústria está 
analisando a conveniência de adquirir uma caminhonete no valor de R$ 
120.000,00. A utilização 
do veículo deverá trazer receitas líquidas, nos próximos 4 anos, de R$ 
30.000,00, R$ 25.000,00, R$ 30.000,00, e R$ 30.000,00. No final do 
quarto ano, espera-se vender a caminhonete por R$ 15.000,00. A taxa de 
retorno esperada pela empresa é de 10% ao ano, e a empresa só deverá 
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adquirir a caminhonete se tal aquisição propiciar ganho financeiro. 
Considerando-se exclusivamente as informações acima, 
qual é, em reais, o Valor Presente Líquido dessa operação e, 
consequentemente, a recomendação da compra, ou não, da caminhonete 
pela empresa? 
 
(A) 5.909 – a empresa deve comprar a caminhonete. 
(B) 4.199 – a empresa deve comprar a caminhonete. 
(C) 2.460 – a empresa deve comprar a caminhonete. 
(D) (29.038) – a empresa não deve comprar a caminhonete. 
(E) (18.793) – a empresa não deve comprar a caminhonete. 
 
50. FCC – TRT/6ª – 2012) Uma empresa está avaliando a compra de 
uma nova máquina por R$ 320.000,00 à vista. Estima-se que a vida útil 
da máquina seja de 3 anos, que o valor residual de revenda no final do 
terceiro ano seja de R$ 50.578,00 e que os fluxos líquidos de caixa 
gerados por esta máquina ao final de cada ano sejam de R$ 99.000,00, 
R$ 150.040,00 e R$ 99.825,00, respectivamente. Sabendo que a taxa 
mínima de atratividade é de 10% a.a., a compra da nova máquina 
(A) apresenta valor presente líquido positivo. 
(B) apresenta valor presente líquido negativo. 
(C) apresenta valor presente líquido igual a zero. 
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(D) apresenta taxa interna de retorno igual à taxa mínima de 
atratividade. 
(E) é economicamente inviável à taxa mínima de atratividade de 10% 
a.a.. 
 
51. FCC – TRE/SP – 2012) Dois projetos de investimento (I e II), 
mutuamente excludentes, estão representados pelos fluxos de caixa 
abaixo. 
 
Os valores presentes líquidos dos dois projetos são iguais e a taxa mínima 
de atratividade é igual a 10% ao ano. O valor de X é igual a 
(A) R$ 8.800,00. 
(B) R$ 8.855,00. 
(C) R$ 8.965,00. 
(D) R$ 9.350,00. 
(E) R$ 9.900,00. 
 
52. CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 2012 ) O investimento 
necessário para montar uma pequena empresa é de R$ 10.000,00. Esse 
investimento renderá R$6.000,00 no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 
no final do segundo. Depois desses dois anos, o dono dessa empresa 
pretende fechá-la. A taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é 
(A) 1% 
(B) 1,5% 
(C) 5% 
(D) 10% 
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(E) 15% 
 
53. VUNESP – CESP – 2009) Um projeto de três anos de duração 
requer um investimento inicial de R$ 300 e os fluxos de caixa previstos 
para cada ano são: R$110, após um ano, R$ 121, após dois anos, e R$ 
133,10, após três anos. O valor presente líquido desse projeto de 
investimento, supondo uma taxa de juros de 10% 
ao ano é 
(A) zero. 
(B) R$ 30. 
(C) R$ 31. 
(D) R$ 41. 
(E) R$ 64,10. 
 
54. VUNESP – CESP – 2009) Se o valor presente líquido de um projeto 
de investimento, avaliado a uma taxa de juros de 10% ao ano, é R$ 
1.208,70, e o mesmo projeto, considerando uma taxa de 12% ao ano tem 
valor presente líquido de R$ 307,09, então pode-se afirmar que a taxa 
interna de retorno deste projeto é 
(A) inferior a 10% ao ano. 
(B) 11% ao ano. 
(C) entre 10% e 12% ao ano, mas não necessariamente 11% ao ano. 
(D) superior a 12% ao ano. 
(E) impossível ter qualquer ideia com os dados apresentados. 
 
55. VUNESP – TJM/SP– 2011) A taxa interna de retorno, ou a TIR, é 
uma medida popular utilizada no orçamento de capital, bem como na 
medida de taxa de rentabilidade. 
Por definição, a TIR é 
(A) uma taxa de desconto que iguala o valor presente dos fluxos de casa 
futuros ao investimento inicial. 
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(B) a mais utilizada técnica sofisticada de avaliação de investimentos 
(C) a taxa interna do retorno do capital médio investido 
(D) a taxa que calcula diversos investimentos na linha do tempo até 
chegarem ao momento inicial do investimento. 
(E) a equiparação do valor futuro ao valor presente, utilizando-se 
somente o valor absoluto e não o valor relativo. 
 
56. VUNESP – CETESB – 2009) Um projeto de investimento requer um 
aporte de R$300.000,00 no período inicial e terá os seguintes fluxos de 
caixa: R$ 110.000,00 após um ano; R$ 121.000,00 após dois anos; R$ 
133.100,00 após 3 anos e R$146.410,00 após 4 anos, quando o projeto 
será finalizado. 
A taxa interna de retorno (TIR) desse projeto é: 
(A) negativa. 
(B) positiva, inferior a 10% ao ano. 
(C) superior a 10% ao ano. 
(D) 25% ao ano. 
(E) impossível calcular. 
 
57. VUNESP – PREF. SJC – 2012) Para um projeto de investimento 
privado seja considerado atraente, é preciso que sua taxa interna de 
retorno seja 
(A) maior do que a inflação. 
(B) negativa. 
(C) maior do que a taxa de juros. 
(D) inferior à taxa de juros. 
(E) zero. 
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1 A 2 A 3 EC 4 D 5 B 6 D 7 A 
8 C 9 B 10 E 11 D 12 E 13 B 14 B 
15 C 16 E 17 C 18 D 19 B 20 D 21 C 
22 CC 23 CEE 24 ECEE 25 E 26 E 27 CC 28 EC 
29 E 30 CC 31 C 32 B 33 E 34 B 35 B 
36 A 37 A 38 C 39 B 40 A 41 A 42 CEEC 
43 B 44 D 45 D 46 B 47 C 48 B 49 E 
50 A 51 D 52 D 53 A 54 D 55 A 56 C 
57 C 
 
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