Aula 02 - Noções de Lógica

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AULA Nº 2
MATEMÁTICA
Prof. Claudio Possani
NOÇÕES DE LÓGICA
MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA
Interface entre a Filosofia e a Matemática
MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA
Interface entre a Filosofia e a Matemática
Origens na Grécia (Aristóteles) 
MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA
Qual é a utilidade para um aluno de 
Engenharia ou Ciências Exatas ?
MATEMÁTICA
LÓGICA MATEMÁTICA
Qual é a utilidade para um aluno de 
Engenharia ou Ciências Exatas ?
Rigor de Pensamento
Rigor de Linguagem 
MATEMÁTICA
A implicação : A ⇒ B
Este é o argumento mais usado nas deduções “lógicas”
MATEMÁTICA
A implicação : A ⇒ B
Este é o argumento mais usado nas deduções “lógicas”
Quando usamos “deduzo que” , “então concluo” , “daí 
então” ou simplesmente “então” nas nossas conversas 
diárias estamos usando o “implica” ou “⇒”
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A implicação : A ⇒ B
ATENÇÃO: muitas vezes usa-se ⇒ para ir de uma ideia
para a ideia seguinte sem que seja uma 
verdadeira implicação 
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Numa aula de história o professor pode escrever : 
 
 ⇒ 
 
 Idade Média Renascimento
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Vamos ver exemplos de uso de implicação: 
MATEMÁTICA
Vamos ver exemplos de uso de implicação: 
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Vamos ver exemplos de uso de implicação: 
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 A implicação A ⇒ B é equivalente (do ponto de vista
 da lógica) à implicação “Não A ⇒ Não B”
 
MATEMÁTICA
 A implicação A ⇒ B é equivalente (do ponto de vista
 da lógica) à implicação “Não B ⇒ Não A”
 Escrevemos ⅂ B ⇒⅂ A 
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Ou o que é equivalente:
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Diferença entre “⇒” e “⇔”
 ⇒ denota a implicação 
 ⇔ denota a equivalência
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Diferença entre “⇒” e “⇔”
 ⇔ ou “equivalência” o que é ? 
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Exemplos: 
∎ Implicação válida
 Equivalência inválida pois 
 
 não acarreta necessariamente 
 já que poderia valer -2.
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Exemplos: 
∎ Implicação válida
 Equivalência válida 
 
 
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Exemplos: 
∎ Implicação válida
 Equivalência válida 
∎ Equivalência válida 
 
 
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Consequência importante das discussões acima:
Podemos começar uma sequência de implicações com 
uma sentença falsa e concluir uma sentença verdadeira!
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Vejamos um exemplo 
 Será verdadeira ou falsa ?
 
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Vejamos um exemplo 
 
 ⇒ (somando 1 a cada termo)
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Vejamos um exemplo 
 
 ⇒ (somando 1 a cada termo)
 (subtraindo 2 de cada termo)
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Vejamos um exemplo 
 
 ⇒ (somando 1 a cada termo)
 (subtraindo 2 de cada termo)
 (elevando ao quadrado)
 
MATEMÁTICA
Vejamos um exemplo 
 
 ⇒ (somando 1 a cada termo)
 (subtraindo 2 de cada termo)
 (elevando ao quadrado)
 VERDADE!
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Na “demonstração” anterior nós usamos uma implicação 
ao passar da linha 3 para a linha 4 que não é uma 
equivalência 
Do ponto de vista lógico a implicação está correta.
Não é correto tirar conclusões sobre a validade das 
afirmações. 
 
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Do ponto de vista lógico a implicação está correta.
Não é correto tirar conclusões sobre a validade das 
afirmações. 
Resumindo:
 “VERDADE” ⇒ “VERDADE”
 “FALSO” ⇒ “VERDADE” ou “FALSO”
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Atenção: quando usamos “equivalências” então podemos
ter certeza que ou ambas as partes são verdadeiras ou
ambas são falsas. 
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DEMONSTRAÇÕES E CONTRA-EXEMPLOS
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DEMONSTRAÇÕES E CONTRA-EXEMPLOS
Para demonstrar uma propriedade ou fórmula precisamos fazer um argumento geral e abrangente.
Para argumentar que uma propriedade é falsa basta exibir um exemplo. Chamamos de Contra Exemplo 
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Pense na frase:
 “Em seu grupo de estudos todos são nascidos em 
 grandes centros urbanos”
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Pense na frase:
 “Em seu grupo de estudos todos são nascidos em
 grandes centros urbanos”
Para provar que a frase é verdadeira você precisa verificar que todos os membros do grupo são nascidos em grandes centros urbanos 
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Pense na frase:
 “Em seu grupo de estudos todos são nascidos em
 grandes centros urbanos”
Para provar que a frase é falsa basta achar um exemplo que a contrarie.
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Observe o polinômio 
Euler observou que para variando de 1 a 40 os valores 
do polinômio eram números primos. Esta propriedade não é geral pois para o resultado é composto. 
 
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Observe o polinômio 
A conjectura de que este polinômio só assume valores primos é falsa. Bastou achar um contra exemplo.