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GRADUAÇÃO EAD GABARITO AV2 - 2015.2B - 19/12/2015 CURSO DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B E C D D C D A ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 6 GEOMETRIA ANALÍTICA Professor(a): Braulio Anchieta 1. Quanto as operações com vetores podemos afirmar: (considere 0 ba ) I. O oposto de II. III. a) Estão corretas I e II b) Estão corretas I e III c) Estão corretas II e III d) Todas estão corretas e) Todas estão erradas O oposto de )()( baéba (V) (correto, os vetores têm sinais opostos) cbacba )( (V) (Propriedade associativa) (III) )(33 baba (O produto da constante 3 é apenas com o vetor a ). Resposta: Letra A 2. Dado o vetor )1,1,1( v , podemos afirmar que: a) O vetor v tem um módulo 3. b) O vetor v é um vetor unitário. c) O vetor de v é o vetor 3 3 , 3 3 , 3 3 d) O vetor v representa a base canônica no IRn e) O vetor v tem módulo 3 3 Analisando as alternativas: 1,1,1 v a) Módulo de 3111 222 v (F) b) Vetor unitário é vetor de módulo igual a 1. Não é o caso (F) c) SIM. Versor de um vetor é vetor de mesma direção mesmo sentido e módulo igual a 1. SIM É O CASO.. (O módulo de v calculado no item a) é 3 ). ( V ). d) NÃO.. A base canônica no R3 é (i, j, k), estes vetores são unitários. e) Não, já vimos. O módulo de v é 3 ( V ) Resposta: Letra C 3. São dados os vetores 0,1,21,0,1 bea . Analise as afirmações: I. O produto vetorial bxa é igual a (1, -2, 1) II. O produto escalar ba . é igual a 2 III. Se w = (0, 1, 2) temos 1,1,1. bxaw a) Apenas (I) é verdadeira b) São verdadeiras apenas I e II c) São verdadeiras apenas I e III d) São verdadeiras apenas II e III e) Todas são falsas. Vetores dados: 0,1,21,0,1 bea Analisando as afirmações: (I) 121 101 kji bxa Como sabemos o produto vetorial pode ser encontrado resolvendo este determinante de 3ª ordem. Cuja solução é: i – 2j + k ou (1, -2, 1) (V) )(33 baba cbacba )( )()( baéba Página 3 de 6 GEOMETRIA ANALÍTICA Professor(a): Braulio Anchieta (II) O produto escalar ba é igual a 2. (1, 0, -1) . (2, 1, 0) = (1.2 + 0 . 1 + (-1) . 0) (1, 0, 1) . (2, 1, 0) = 2 (III) O produto misto é igual a zero. 0,0,0. 1,2,1.2,1,0. bxaw bxaw Resposta: Letra B (são verdadeiras apenas (I) e (II). 4. O vetor 1,1,2 v forma um ângulo de 60º com o vetor AB definido pelos pontos A (3, 1, - 2) e B (4, 0, m). determine a coordenada m do vetor AB . a) -1 b) 2 c) -2 d) 4 e) -4 Dados: meAv ,0,42,1,3,60,1,1,2 0 (1) Vamos inicialmente escrever o vetor AB na forma de componentes. AB = B – A = (4, 0, m) – (3, 1, -2) AB = ((4 – 3), (0 – 1), (m + 2)) = (1, - 1, m+2) (2) Ângulo entre vetores v e AB é: 64.6 1 2 1 64.6 212 2 1 211.112 2,1,1.1,1,2 2 1 2 1 60coscos . . cos 2 2 222222 0 mm m mm m m m e ABv ABv (Elevando ao quadrado ambos os membros) 646 21 4 1 64.6 1 2 1 2 2 2 2 2 mm mm mm m 6 (m2 + 4m +6) = 4 (1 + 2m + m2) 6 (m2 + 24m + 36 = 4 + 8m + 4m2 2m2 + 16m + 32 = 0 ( 2) m2 + 8m + 16 = 0 (equação 2º grau) Raízes: - 4 e – 4 Resposta: Letra E (m = - 4) 5. Considere os vetores ,8,22,5,2,,1,2 ceba Determine o menor valor de para que o vetor ba seja ortogonal ao vetor ac a) 3 b) - 3 c) – 6 d) – 9 e) – 12 Página 4 de 6 GEOMETRIA ANALÍTICA Professor(a): Braulio Anchieta Esta questão pode ser resolvida da mesma forma que a questão nº 05 da P.2 ou Prova 1 (Avaliação 1). Apenas aqui se pede o menor valor de , no caso = - 6. RESPOSTA : LETRA C 6. Considere uma reta “r” de equações paramétricas: kz ky kx 2 21 2 Analise as afirmações: I. O ponto A (3, 3, - 1) pertence a reta “r”. II. O ponto B (6, 9, 2) pertence a reta “r”. III. O ponto C (3, 3, 1) não pertence a reta “r”. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras d) Todas são verdadeiras. e) Todas são falsas. Analisando as afirmativas: (I) Um ponto (3, 3, -1) pertence a reta “r” quando substituindo as coordenadas deste ponto nas respectivas equações o valor do parâmetro “k” é o mesmo. x = 2 + k 3 = 2 + k k = 1 y = 1 + 2 k 3 = 1 + 2k k = 1 z = -2 + k - 1 = -2 + k k = 1 Note que k = 1 (sempre), então o ponto (3, 3, -1) r. (II) Substituindo o ponto B (6, 9, 2) nas equações: 6 = 2 + k k = 4 9 = 1 + 2 k k = 4 2 = - 2 + k k = 4 Novamente! K = 4 (sempre), então o ponto (6, 9, 2) r. (III) Substituindo o ponto C (3, 3, 1) nas equações: 3 = 2 + k k = 1 3 = 1 + 2 k k = 1 1 = - 2 + k k = 3 Note que obtivemos k = 1 e k = 3, não é sempre o mesmo! logo, este ponto C (3, 3, 1) não pertence a reta “r”. RESPOSTA: Letra D 7. O plano definido pelos pontos A (1, 3, 2), B (- 1, 0, 1) e C (3, - 2, 2) tem equação: a) 5 x – 2y + 16z + 21 = 0 b) 5 x – 2y – 16z + 21 = 0 c) 3 x – 5y –6z + 12 = 0 d) 5 x + 2y – 16z + 21 = 0 e) 3 x + 5y – 6z – 12 = 0 Pontos dados: A (1, 3, 2), B (- 1, 0, 1) e C (3, - 2, 2) (1) Inicialmente determinamos um vetor normal ao plano. Este vetor pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores formados a partir dos pontos dados. Façamos: 0,5,21,3,2 ACeAB 16,2,5 052 132 kji n , Página 5 de 6 GEOMETRIA ANALÍTICA Professor(a): Braulio Anchieta (2) Substituindo as coordenadas de um ponto dado na equação geral do plano encontramos a equação procurada. No caso vamos optar por substituir o ponto B. a (x – xo) + b (y – yo) + c (z – zo) = 0 - 5 (x + 1) + (- 2) (y – 0) + 16 (z – 1) = 0 5x + 2y – 16z + 21 = 0 RESPOSTA: Letra D (2x + 2y – 16z + 21 = 0). 8. O ponto P (1, 2, 3) dista do plano de equação x – y + 2z – 4 = 0 em aproximadamente: a) 2 1 unidades; b) 3 1 unidades; c) 6 1 unidades; d) 5 1 unidades; e) 1 unidade. A distância de um ponto (xo, yo, zo)a um plano é dada por 222 cba dczobyoaxo D onde: cbav ,, é o vetor diretor. d = – ax – by – cz é o termo independente da equação. f) Substituindo: P (1, 2,3) e x – y + 2z – 4 = 0, temos: 6 1 211 )4(3.22).1(1.1 222 D Observe que d = - 4 d = – ax – by – cz Resposta: Letra C ( 6 1 unidades) 9. A equação 36y2 – 9x2 = 324 representa: a) Uma elipse com eixo maior em x igual a 6. b) Uma elipse com eixo maior em y e igual a 36 c) Uma hipérbole com distância focal 3 d) Uma hipérbole com distância focal 56 e) Uma parábola com vértice na origem e eixo horizontal. Dados: 324936 22 xy (1) Vamos dividir toda equação pelo termo independente 324: 1 369 22 xy , obtemos a equação reduzida de uma hipérbole. (2) Comparando 1 369 22 xy com a equação ,1 2 2 2 2 b x a y temos: a = 3 e b = 6 (3) Sendo 53222 cbac Logo, a distância focal é 562 c Resposta: Letra D (hipérbole com c = 53 ) Página 6 de 6 GEOMETRIA ANALÍTICA Professor(a): Braulio Anchieta 10. No estudo dos movimentos dos planetas do nosso sistema solar sabemos que o sol ocupa um dos focos. A distância do ponto da órbita mais afastado do sol é o afélio. A distância do ponto da órbita mais próximo do sol é o periélio. No movimento de translação da Terra a distância: Periélio – sol = 147.106 km Afélio – sol = 152.106 km Sabendo que a excentricidade da curva descrita pela Terra é 1/50, a distância focal da trajetória elíptica é aproximadamente: a) 6106 km b) 3106 km c) 6108 km d) 3108 km e) 108 km A excentricidade é definida por: 66 6 6 6 6 6 6 10.6210.3 50 10.150 10.15050 1 10.150 10.3002 10.15210.1472 50 1 :2 :2 couc c c a a a a c elípsedamaioreixoa focaldistânciac a c e
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