10º - FSales - Concreto III - 3 1 Reservatórios exercícios

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Estruturas de Concreto III
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Conteúdo Programático
1
1. Introdução a reservatórios
2. Tipos de reservatórios
3. Modelos de reservatórios
4. Carregamentos
5. Cálculo dos esforços solicitantes
6. Exemplo de dimensionamento
7. Exercícios
Conteúdo Anterior
1. 2º Exemplo - dimensionamento de 
reservatório elevado considerando 
a flexo-tração
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2. Exemplo de cálculo
2
Dimensione o reservatório elevado considerando os dados a seguir:
2,30 0,15
0,15
4,
50
0,15
0,10
0,15
2,
00
• Aço CA50 e CA60
• Classe ambiental III
• Cobrimento 2,5 cm
• Fck = 45 MPa
• Dimensões em metros
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1. Levantamento de cargas
a) Cargas na tampa
Peso próprio (Pp) = h.𝜸c = 0,10.25 = 2,5 kN/m²
Revestimento (Prev) = 1,0 kN/m² (tabelado)
Acidental = 0,5 kN/m² (tabelado-NBR6120)
Carga total na tampa – P1 = 4,0 kN/m²
b) Cargas no fundo
Pp = h.𝜸c = 0,15.25 = 3,75 kN/m²
Prev = 1,0 kN/m²
Pressão hidrostática = 10.h 
Phidr = 10.2,00 = 20 kN/m² 
Carga total no fundo – P2 ≃ 25 kN/m²
c) Cargas nas paredes
Carga triangular com ordenada máxima = 10.h = 10.2,00 = 20
P3 ≃ 20 kN/m² onde h é a altura máxima de água no reservatório
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2. Esforços nas lajes
Para o calculo das 
reações e momentos, 
foram utilizadas as 
tabelas de lajes de 
Pinheiro e as 
vinculações e vãos 
teóricos são 
apresentadas a seguir:
2,30 + 0,15
4,
50
 +
 0
,1
5
2,30 + 0,15
4,
50
 +
 0
,1
5
2+0,075+0,05
4,
50
 +
 0
,1
5
2+0,075+0,05
4,
50
 +
 0
,1
5
2,30+0,15
2,
0+
0,
07
5+
0,
05
L1 L2
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2. Esforços nas lajes - TAMPA 𝑀 = 0,001.𝑚. 𝑝. 𝑙𝑥²
𝑅 = 0,001. 𝑟. 𝑝. 𝑙𝑥
lx / ly = 2,45 / 4,65 
lx / ly = 0,52 
𝑀𝑥 = 0,001.100. 4.2,452
𝑀𝑥 = 2,4	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦 = 0,001.36,7.4.2,452
𝑀𝑦 = 0,88	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑅𝑥 = 0,001.269.4.2,45
𝑅𝑥 = 2,63	𝑘𝑁/𝑚
𝑅𝑦 = 0,001.366.4.2,45
𝑅𝑦 = 3,6	𝑘𝑁/𝑚
P1 = 4	𝑘𝑁/𝑚²
0,88
2,4
3,6 3,6
2,63
2,63
2,30 + 0,15
4,
50
 +
 0
,1
5
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2. Esforços nas lajes – FUNDO 
𝑀 = 0,001.𝑚. 𝑝. 𝑙𝑥²
2,30 + 0,15
4,
50
 +
 0
,1
5
lx / ly = 2,45 / 4,65 
lx / ly = 0,52 
𝑝 = 25	𝑘𝑁/𝑚²
𝑀𝑥 = 0,001.40,9.25.2,452
𝑀𝑥 = 6,1	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦 = 0,001.11,8.25.2,452
𝑀𝑦 = 1,7	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑥𝑒 = 0,001.−82,6.25.2,452
𝑀𝑥𝑒 = −12,4	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦𝑒 = 0,001.−56.25.2,452
𝑀𝑦𝑒 = −8,4	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
1,7
6,1
8,4
12,4
8,4
12,4
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2. Esforços nas lajes - FUNDO
𝑅 = 0,001. 𝑟. 𝑝. 𝑙𝑥
𝑅𝑥 = 0,001.241.25.2,45
𝑅𝑥 = 14,8	𝑘𝑁/𝑚
𝑅𝑦 = 0,001.380.25.2,45
𝑅𝑦 = 23,2	𝑘𝑁/𝑚
2,30 + 0,15
4,
50
 +
 0
,1
5
lx / ly = 2,45 / 4,65 
lx / ly = 0,52 
𝑝 = 25	𝑘𝑁/𝑚²
14,8
14,8
23,2 23,2
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2. Esforços nas lajes– PAREDES 1 e 2 
lx / ly = 2,13/4,65 
lx / ly = 0,45 = 0,5 𝑀 = 0,001.𝑚. 𝑝. 𝑙𝑥²
𝑀𝑥 = 0,001.20,6.20.2,132
𝑀𝑥 = 1,9	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦 = 0,001.5,8.20.2,32
𝑀𝑦 = 0,52	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑥𝑒 = 0,001.−41,3.20.2,132
𝑀𝑥𝑒 = −3,74	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦𝑒 = 0,001.−45,1.20.2,32
𝑀𝑦𝑒 = −4,1	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑃 = 20	𝑘𝑁/𝑚²
2+0,075+0,05
4,
50
 +
 0
,1
5
0,52
1,9
4,1
3,743,74
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2. Esforços nas lajes – PAREDES 1 e 2
𝑅 = 0,001. 𝑟. 𝑝. 𝑙𝑥
𝑅𝑥 = 0,001.100.10.2,13
𝑅𝑥 = 2,13	𝑘𝑁/𝑚
𝑅𝑦 = 0,001.412.10.2,13
𝑅𝑦 = 8,7	𝑘𝑁/𝑚
R𝑥𝑒 = 0,001.254.10.2,13
R𝑥𝑒 = 5,4	𝑘𝑁/𝑚
𝑝 = 10	𝑘𝑁/𝑚²
Nas paredes, o valor da reação é igual à P/2
Nas paredes, a carga na reação é retangular
lx / ly = 2,13/4,65 
lx / ly = 0,45 = 0,5
𝑃 = 𝑃/2	𝑘𝑁/𝑚²
2+0,075+0,05
4,
50
 +
 0
,1
5
5,4
2,13
8,78,7
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2. Esforços nas lajes – PAREDES 3 e 4
𝑀 = 0,001.𝑚. 𝑝. 𝑙𝑦²
𝑀𝑥 = 0,001.13.20.2,132
𝑀𝑥 = 1,18	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦 = 0,001.14,8.20.2,132
𝑀𝑦 = 1,34	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑥𝑒 = 0,001.−31,9.20.2,132
𝑀𝑥𝑒 = −2,9	𝑘𝑁.𝑚/𝑚
𝑀𝑦𝑒 = 0,001.−42,2.20.2,132
𝑀𝑦𝑒 = −3,8	𝑘𝑁/𝑚²
ly / lx = 2,13/2,45 
ly / lx = 0,85
𝑃 = 20	𝑘𝑁/𝑚²
2,30+0,15
2,
0+
0,
07
5+
0,
05 1,34
1,18
3,8
2,92,9
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2. Esforços nas lajes – PAREDES 3 e 4
𝑅 = 0,001. 𝑟. 𝑝𝑙𝑦
𝑅𝑥 = 0,001.131.10.2,13
𝑅𝑥 = 2,8	𝑘𝑁/𝑚
𝑅𝑦 = 0,001.330.10.2,13
𝑅𝑦 = 7,03	𝑘𝑁/𝑚
R𝑥𝑒 = 0,001.434.12.2,5
R𝑥𝑒 = 6,56	𝑘𝑁/𝑚
𝑝 = 10	𝑘𝑁/𝑚²
ly / lx = 2,13/2,45 
ly / lx = 0,85
Nas paredes, o valor da reação é igual à P/2
Nas paredes, a carga na reação é retangular
𝑃 = 𝑃/2	𝑘𝑁/𝑚²
6,56
2,8
7,037,03
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3. Compatibilização dos momentos negativos
Ligação parede-parede (1,2 e 3,4)
𝑋𝑝 =
(𝑋1 + 𝑋2)
2
=
(3,74 + 2,9)
2
𝐗𝐩 = 𝟑, 𝟑𝟐	𝐤𝐍𝐦/𝐦
𝑌𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒	1.2 =
(𝑌𝑓𝑢𝑛𝑑𝑜 + 𝑌1)
2
=
8,4 + 4,1
2
𝒀 = 𝟔, 𝟐𝟓	𝒌𝑵𝒎/𝒎
𝑋𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒	3.4 =
(𝑋𝑓𝑢𝑛𝑑𝑜 + 𝑌2)
2
=
12,4 + 3,8
2
= 𝑿 = 𝟖, 𝟏	𝒌𝑵𝒎/𝒎
Ligação fundo parede 1 e fundo parede 2
Ligação fundo parede 3 e fundo parede 4
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4. Correção dos momentos positivos no fundo
As reduções dos momentos negativos na laje de fundo são dadas por (X e Y encontrados 
anteriormente):
∆𝑋 = 𝑋𝑓 − 𝑋 = 12,4 − 8,1 = 𝟒, 𝟑	𝒌𝑵𝒎/𝒎
∆𝑌 = 𝑌𝑓 − 𝑌 = 8,4 − 6,25 = 𝟐, 𝟏𝟓	𝒌𝑵𝒎/𝒎
Aplicando esses momentos nas bordas da laje de fundo, obtêm-se as alterações nos 
momentos positivos com o emprego da tabela 5.3.1 de José Milton, onde relacionaremos 
os lados da laje de fundo e encontraremos os coeficientes:
𝑙𝑥
𝑙𝑦
=
2,45
4,65
= 0,52
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4. Correção dos momentos positivos no fundo
Da tabela auxiliar, obtêm-se os coeficientes:
𝛾_𝑥 = 0,300
𝛾2𝑥 = 0,063
𝛾_𝑦 = 0,153
𝛾2𝑦 = −0,011
Os incrementos dos momentos positivos são
∆𝑀𝑥 = 2 𝛾_𝑥. ∆𝑋 + 𝛾2𝑥. ∆𝑌
∆𝑀𝑥 = 2 0,300.4,3 + 0,063.2,15 = 𝟐, 𝟖𝟓	𝒌𝑵𝒎/𝒎
∆𝑀𝑦 = 2 𝛾_𝑦. ∆𝑋 + 𝛾2𝑦. ∆𝑌
∆𝑀𝑦 = 2 0,153.4,3 − 0,011.2,15 = 𝟏, 𝟐𝟔	𝒌𝑵𝒎/𝒎
𝑀𝑥 = 𝑀𝑥𝑓 + ∆𝑀𝑥
𝑀𝑥 = 6,1 + 2,85
𝑴𝒙 = 𝟖, 𝟗𝟓	𝒌𝑵𝒎/𝒎
𝑀𝑦 = 𝑀𝑦𝑓 + ∆𝑀𝑦
𝑀𝑦 = 1,7 + 1,26
𝑴𝒚 = 𝟐, 𝟗𝟔	𝒌𝑵𝒎/𝒎
Os momentos positivos finais 
na laje de fundo são:
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5. Esforços finais para dimensionamento
Esforços finais na tampa e fundo
8,95
2,960,88
2,4
6,56
6,56
5,4 5,4
2,8
2,8
2,13 2,13
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5. Esforços finais para dimensionamento
Esforços finais nas paredes
Parede 1 e 2
1,34
1,18
0,52
1,97,03 7,03
14,8
2,63
23,2
7,037,03
3,6
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6. Dimensionamento das armaduras
As seguintes considerações são feitas para o dimensionamento das armaduras, 
considerando a tabela de Pinheiro (2007):
Ø Classe de agressividade ambiental = III
Ø Cobrimento nominal = 2,5 cm
Ø Resistencia à compressão do concreto fck – 45 MPa
Ø Armaduras: aço CA-60 na tampa e CA-50 no restante
As seções para o dimensionamento possuem as seguintes dimensões:
Ø Tampa: b = 100 cm; h = 10 cm e d = 7,5 cm
Ø Fundo e paredes: b = 100 cm; h = 15 cm e d = 12,5 cm
d = h –c = 10 – 2,5 = 7,5 cm
d = h –c = 15 – 2,5 = 12,5 cm
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onde:
Cálculo da armadura
𝐴𝑠 = 0,85𝜉𝑏𝑑
𝜎𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
		𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,15%𝑏𝑤. ℎ = 0,15%. 100.10 = 1,5	cm
2/cm
Armadura mínima
𝜇 =
𝑀𝑑
𝑏𝑑²𝜎𝑐𝑑
Dado o momento fletor solicitante,
calcula-se o momento fletor reduzido,
onde considera-se a tabela a seguir:
Se 𝜇 ≤ 𝜇𝑙𝑖𝑚 = armadura simples
Se 𝜇 > 𝜇𝑙𝑖𝑚 = armadura dupla
		𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,15%100.15 = 2,3	𝑐𝑚2/𝑐𝑚
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𝜉 = 1,25(1 − 1 − 2𝜇� )
• 𝑀𝑑 = 1,4𝑀𝑘
• 𝑏 =100	𝑐𝑚
• ℎ = 15	𝑐𝑚			𝑜𝑢			10	𝑐𝑚
• 𝑑 = 12,5	𝑐𝑚		𝑜𝑢		7,5	𝑐𝑚
• 𝑓𝑦𝑑 =
tÇv	wxy
_,_x
= 43,4	𝑘𝑁/𝑐𝑚² 𝑓𝑦𝑑 =
60
1,15
= 52,1	𝑘𝑁/𝑐𝑚²
• 𝜎𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑 = 2,73	𝑘𝑁/𝑐𝑚²
O fator adimensional: As premissas:
• 𝑓𝑐𝑑 =
z{|
_,}
= },x
_,}
= 3,21	𝑘𝑁/𝑐𝑚²
Se As > Asmin, adotamos As
como armadura principal.
Para o caso de n° de barras,
recorremos à tabela A3.2.
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Considerando o valor dos momentos encontrados para a Tampa, Fundo e as Paredes,
têm-se na tabela a seguir o valor das armaduras devidamente calculadas a partir das
fórmulas apresentadas anteriormente:
Tabela b	(cm)	= 100
Local Mk	(kNm/m)
µ µlim ξ As	(cm²/cm) As	min	(cm²/m)	
As	adotado	
(cm²/cm) Armadura
df	(cm)		=	 12,5
Tampa x 2,4 0,022 0,2952 0,028 0,92 1,50 1,50 &	5	c/	13 dt	(cm)		=	 7,5
y 0,88 0,008 0,2952 0,010 0,34 1,50 1,50 &	5	c/	13 hf	(cm)	=	 15
Fundo x 8,95 0,029 0,2952 0,037 2,49 2,3 2,49 &	6,3	c/	12,5 ht	(cm)	=	 10
y 2,96 0,010 0,2952 0,012 0,41 2,3 2,30 &	6,3	c/	13 σcd	 (kN/cm²)	=	 2,73
Paredes	1	e	2 x 1,9 0,006 0,2952 0,008 0,26 2,3 2,30 &	6,3	c/	13 fcd	(kN/cm²)	=	 3,21
y 0,52 0,002 0,2952 0,002 0,14 2,3 2,30 &	6,3	c/	13 Md	(kN)	=	 1,4*	Mk
Paredes	3	e	4 x 1,18 0,004 0,2952 0,005 0,16 2,3 2,30 &	6,3	c/	13 fyd-50	(kN/cm²)	=	 43,48
y 1,34 0,004 0,2952 0,006 0,18 2,3 2,30 &	6,3	c/	13 fyd-60	(kN/cm²)	=	 52,17
OBS:	se	As	menor	que	Asmin,	adoratemos	Asmin.
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