Distribuicao normal (1)

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CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
UTILIZANDO A CURVA NORMAL
Professora: Rosineide Miranda Leão
rosemirandaleao@gmail.com
Brasília, 2019.
Universidade Paulista
A distribuição normal é uma das mais importantes
distribuições de probabilidades conhecidas da
estatística, pois oferece muitos recursos para as
análises, e muitas outras distribuições convergem
para ela, no sentido de que ela serve de aproximação
para o cálculo de outras distribuições quando o
número de observações for grande.
• Peso;
• Altura;
• Lançamento de dados;
• Lançamento de moedas.
Distribuição Normal
Distribuição Normal
•É a mais importante distribuição de
probabilidade para descrever uma variável
aleatória contínua.
•Seja uma variável aleatória contínua, terá
uma distribuição normal se:
onde:
  





 

xexf
x
,
2
1
2
2
1



2,7...
3,1416...
ãodistribuiç da padrão-desvio 
ãodistribuiç de média 




e
σ


xx x
A curva gaussiana também e amplamente conhecida como
curva do sino, por causa do seu formato. Exemplo:
Distribuição Normal
Distribuição Normal
• Características:
• As probabilidades da variável aleatória normal são dadas
por áreas sob a curva. A área total sob a curva é 1 (100%).
Já que a distribuição é simétrica, a área sob a curva, à
direita da média, é 0,5 e à direita também.
Distribuição Normal
• Características:
• As porcentagens dos valores de alguns intervalos
comumente usados são: 68,27% , 95,44% , 99,73%.
• Cerca de 68% de todos os valores ficam a 1 desvio padrão da média;
• Cerca de 95% de todos os valores ficam a 2 desvios padrão da média;
• Cerca de 99,7% de todos os valores ficam a 3 desvios padrão da média.
Distribuição Normal
Distribuição Normal
A distribuição normal, padronizada ou não:
• É simétrica em torno da média, ou seja, a parte pontilhada
e igual a parte hachurada. Exemplo:
Distribuição Normal
•Uso da tabela de distribuição normal padrão: A
Tabela de Faixa Central dá a área sob a curva
normal padrão entre e qualquer valor
positivo de .
0Z
Z
Por ser uma variável contínua, o intervalo para Z pode ser
representado com os símbolos de desigualdade “menor”,
“menor ou igual”, “maior” ou “maior ou igual”.
Passos para a obtenção do valor de Z:
1 – Transformar X em Z.
2 – Fazer o esboço do gráfico para facilitar a visualização.
3 – Obter o valor de Z na tabela de distribuição normal
padronizada.
O cálculo de conversão de uma variável com distribuição
normal para distribuição normal padrão e feito da seguinte
forma:
em que
x: Valor da variável na distribuição normal.
z: Valor da variável na distribuição normal padronizada.
μ: Média populacional.
σ: Desvio padrão populacional.
Distribuição Normal
•As probabilidades podem ser expressas da
seguinte forma:
As probabilidades da distribuição normal padronizada são
apresentadas numa TABELA PADRÃO chamada de tabela
de distribuição normal padronizada (ou Tabela z).
Exemplo:
Considere que a variável aleatória X tenha distribuição normal
com média 40 e variância 16, ou seja, X~N(40;16). Qual a
probabilidade selecionar um elemento x da população ao
acaso e o valor de x pertencer ao intervalo de 40 a 47?
Solução:
Temos que a variância é igual a 16; assim, temos que o desvio
padrão, que é a raiz quadrada da variância, é igual a 4.
P(40≤X≤47)= ?
Transformando a variável “X”, com distribuição normal, em
uma variável “Z” com distribuição normal padronizada, temos:
Então, P(40≤X≤47) = P(0≤Z≤1,75)
O valor 1,75 deve ser procurado na tabela de distribuição normal
padronizada. Na primeira coluna, encontra-se o numero inteiro “1” e a
primeira decimal “0,7”, formando o valor 1,7. Na primeira linha, encontra-se a
segunda decimal “5” (igual a 0,05).
- A distribuição normal é distribuição apenas de variáveis
contínuas, ou seja, “X” assume qualquer valor de -∞ até +∞,
isto, é, qualquer valor que pertença ao conjunto dos números
reais.
- A representação de que uma variável segue uma
distribuição normal com média μ e variância σ2 é dada por:
X~N(μ; σ2).
- As caudas da curva normal nunca tocam o eixo horizontal, o
que indica que ela é assintótica. Isso sugere, de forma
empírica, que 99,74% da área sob a curva (dos dados) estão
distantes da média 3 desvios-padrão, ou seja, μ ± 3 
Logo, a probabilidade de “z” estar entre 0 e 1,75 e 0,4599,
ou seja, P(0≤Z≤1,75) = 45,99%.
Exemplo:
Considere as vendas mensais de uma empresa como a
variável de estudo. Se as vendas mensais dessa empresa
seguem uma distribuição normal, com média igual a
R$12000,00 e desvio padrão igual a R$4000,00, qual a
probabilidade de que, em um determinado mês, as vendas
sejam superiores a R$17000,00?
Solução:
X: Variável vendas mensais de uma empresa
μ: 12000
σ: 4000
P(x ≥ 17000) = ?
Note que a tabela da distribuição normal padronizada
informa a probabilidade de zero até o valor de Z.
Mas observe que
nesse exercício
queremos a
probabilidade
acima do valor Z
Já sabemos que a curva normal e simétrica em relação a
média, e a área sob a curva e 1 (100%), ou seja,
Observe como obter o valor da probabilidade para z entre 0
e 1,25 na tabela de distribuição normal padronizada:
Desse modo, temos: P(x ≥ 17000) =0,50 – 0,3944 = 0,1056
Portanto, a probabilidade de as vendas superarem R$17000,00 e de 10,56%.