AP3-CI-2008-1-gab

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Gabarito da Terceira Avaliac¸a˜o Presencial de Ca´lculo I
1a Questa˜o (2.0 pontos) Determine os valores de a e b tais que a func¸a˜o f , definida por
f(x) =

x3 + x2 − 2x
x− 1 se x < 1
ax+ b se x ≥ 1,
seja diferencia´vel.
Soluc¸a˜o: Primeiro devemos levar em conta que, para ser diferencia´vel, a func¸a˜o deve ser
cont´ınua. Assim, para que f seja uma func¸a˜o cont´ınua, devemos impor a condic¸a˜o
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Muito bem,
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
ax+ b = a+ b = f(1).
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x3 + x2 − 2x
x− 1 = limx→1−
x(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = limx→1− x(x+ 2) = 3.
Assim, obtemos uma primeira condic¸a˜o em termos de a e b: a+ b = f(1) = 3.
Por outro lado, se x < 1, f(x) =
x(x− 1)(x− 2)
x− 1 = x(x − 2). Portanto, se x < 1,
f ′(x) = 2x+ 2, e lim
x→1−
2x+ 2 = 4.
Se x > 1, f(x) = ax+ b e, portanto, f ′(x) = a.
Ou seja, para f ser diferencia´vel, a deve ser igual a 4 e b igual a −1. A func¸a˜o pode,
enta˜o ser definida por
f(x) =

x2 + 2x se x < 1
4x− 1 se x ≥ 1,
cujo gra´fico esta´ esboc¸ado a seguir.
1
0
2
4
6
8
10
–4 –3 –2 –1 1 2 3x
Soluc¸a˜o alternativa: Usando o fato de que f deve ser cont´ınua e, portanto, f(1) = a+b =
3, calculamos a derivada de f diretamente, pela definic¸a˜o:
f ′(1)− = lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
x3 + x2 − 2x
x− 1 − 3
x− 1 = limx→1−
x3 + x2 − 2x− 3x+ 3
(x− 1)2 =
= lim
x→1−
x3 + x2 − 5x+ 3
(x− 1)2 = limx→1−
(x− 1)2(x+ 3)
(x− 1)2 = limx→1− x+ 3 = 4.
f ′(1)+ = lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = a.
Portanto, a = 4 e b = 3− a = −1.
2a Questa˜o (3.0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
√
x2 + 1 f ′(x) =
x√
x2 + 1
.
b) g(x) = x3 cos 2x g′(x) = 3x2 cos 2x − 2x3 sen 2x.
c) h(x) =
senx2
x+ 1
h′(x) =
2(x2 + x) cos x2 − senx2
(x+ 1)2
.
3a Questa˜o (3.0 pontos)
Seja f(x) =
x2
x− 1 a func¸a˜o tal que f
′(x) =
x2 − 2x
(x− 1)2 e f
′′(x) =
2
(x− 1)3 .
a) Determine o domı´nio de f e as intersec¸o˜es do gra´fico de f com os eixos de
coordenadas.
Dom(f) = R − {1}. Como f(0) = 0, a origem e´ o u´nico ponto comum do gra´fico de f e
os eixos de coordenadas.
2
b) Determine as regio˜es de crescimento e decrescimento de f , assim como seus
pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais, caso existam.
f e´ crescente nos intervalos (−∞, 0) e (2,∞) e f e´ decrescente nos intervalos (0, 1) e
(1, 2). Veja que 1 na˜o pertence ao domı´nio de f .
O ponto x = 0 e´ um ponto de ma´ximo local e x = 2 e´ mı´nimo local.
c) Determine as regio˜es onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e onde o gra´fico
de f e´ coˆncavo para baixo, assim como seus pontos de inflexa˜o, caso existam.
O gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo no intervalo (−∞, 1) e e´ coˆncavo para cima no
intervalo (1,∞). Como 1 na˜o pertence ao domı´nio de f , o gra´fico da func¸a˜o na˜o tem pontos
de inflexa˜o.
d) Descreva, se existirem, as ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico de f .
lim
x→∞
x2
x− 1 = +∞; limx→−∞
x2
x− 1 = −∞;
lim
x→1+
x2
x− 1 = +∞; limx→1−
x2
x− 1 = −∞.
O reta x = 1 e´ a u´nica ass´ıntota vertical do gra´fico de f , que na˜o tem ass´ıntotas horizon-
tais.
Observac¸a˜o: Como f(x) =
x2
x− 1 =
x2 − 1 + 1
x− 1 = x+1 +
1
x− 1, a reta y = x+1 e´ uma
ass´ıntota (obl´ıqua) do gra´fico de f . Este fato na˜o era esperado na resposta dos alunos.
e) Usando as informac¸o˜es obtidas nos ı´tens anteriores, esboce o gra´fico da func¸a˜o
f .
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
y
–6 –4 –2 2 4 6x
Neste esboc¸o aparecem as duas ass´ıntotas da func¸a˜o: uma vertical e uma obl´ıqua.
3
4a Questa˜o (2.0 pontos) Calcule o seguinte limite: limx→−∞
2x2
ex2
.
Soluc¸a˜o: Aqui, usamos a Regra de L’Hoˆspital:
lim
x→−∞
2x2
ex2
= lim
x→−∞
4x
2x ex2
= lim
x→−∞
2
ex2
= 0.
4