Matemática

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MATEMÁTICA
C4_Curso_D_MATEMATICA_ROSE_2020 27/04/2020 10:43 Página I
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1. Definição
Os logaritmos dos números reais positivos na base
10 denominam-se logaritmos decimais ou vul gares ou
de Briggs.
Notação
O logaritmo decimal do número N > 0 será indicado
por log10N ou log N.
Propriedades
Além das propriedades dos loga ritmos já estudadas,
é bom lembrar que:
• N > 1 ⇔ log N > 0
• 0 < N < 1 ⇔ log N < 0
• log10k = k, ∀k ∈ � e, assim, podemos construir
a tabela a seguir.
Observações
• Os logaritmos das potências de 10, com expoen -
tes inteiros, são iguais aos respectivos expoentes.
• Se o número real N > 0 estiver compreendido
entre duas dessas potências consecutivas, o log N es tará
entre dois inteiros consecu tivos. 
Assim, para c ∈ �, temos:
10c � N < 10c+1 ⇔ log 10c � log N < log 10c+1 ⇔
⇔ c � log N < c + 1
2. Característica e Mantissa
Desta forma, podemos afirmar que:
, com c ∈ � e 0 � m < 1
O logaritmo decimal de N é, pois, a soma de um
inteiro (c) com um número decimal (m) não negativo e
menor que 1.
O número c é, por definição, a CARACTERÍSTICA
do log N.
O número decimal m é, por definição, a MANTISSA
do log N. 
Determinação da característica
• Regra 1
A característica do logaritmo decimal de um número
N > 1 é igual ao número de algarismos da sua parte
inteira menos 1.
• Regra 2
A característica do logaritmo decimal de um número
0 < N < 1 é igual ao oposto do número de zeros que
precedem o primeiro algarismo diferente de zero.
3. Mantissa
A mantissa do log N pode ser encontrada em tabelas
chamadas TÁBUAS DE LOGARITMOS.
Vale a seguinte propriedade:
"Os logaritmos decimais de dois números, cujas
representações de cimais diferem apenas pela po sição
da vírgula, têm mantissas iguais."
De fato, em log N = c + m, temos característica c e
mantissa m. Sendo p ∈ �, decorre:
log(10p . N) = log 10p + log N = p + (c + m) = (p + c) + m,
em que a característica é (p + c) e a mantissa m.
Observação
Para passar um logaritmo nega tivo para a forma
mista (carac terís tica negativa e mantissa positiva), basta
somar 1 à sua parte decimal e subtrair 1 da sua parte
inteira.
log N = c + m
N log N
… …
0,0001 – 4
0,001 – 3
0,01 – 2
0,1 – 1
1 0
10 1
100 2
1000 3
10000 4
… …
Álgebra FRENTE 1
MÓDULO 15 Logaritmos Decimais
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TÁBUA DE LOGARITMOS
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C4_Curso_D_MATEMATICA_ROSE_2020 27/04/2020 10:43 Página 3
1. Utilizando a tabela de logaritmos, calcule:
a) log 57600 = 
b) log 0,036 = 
RESOLUÇÃO:
a) log 57600 = (5 – 1) + 0,7604 = 4,7604
b) log 0,036 = –2 + 0,5563 = –1,4437 = 
–
2,5563
2. (FUVEST) – Pressionando a tecla de uma calculadora,
aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava antes no
visor. Digita-se inicial mente o número 8 8 8 8 8 8 8 8 (oito oitos).
Quantas vezes a tecla precisa ser pressio nada para que apare -
ça men sagem de erro?
a) 2 b)4 c) 6 d) 8 e) 10
RESOLUÇÃO:
1a. vez: log 88888888 = 7, m
2a. vez: log 7, m = 0, n
3a. vez: log 0, n = – A (A � 0)
4a. vez: log (– A) não existe (ERRO)
Resposta: B
3. (UNESP) – O cálculo aproximado da área da superfície externa de
uma pessoa pode ser necessário para a determinação da dosagem de
algumas medicações. A área A (em cm2) da superfície externa de uma
criança pode ser estimada por meio do seu “peso” P (em kg) e da sua
altura H (em cm) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na
base 10:
log A = 0,425 log P + 0,725 log H + 1,84
(Delafield Du Bois e Eugene Du Bois.
A formula to estimate the approximate surface area if 
height and weight be known, 1916. Adaptado.)
Rafael, uma criança com 1 m de altura e 16 kg de “peso”, precisa
tomar uma medicação cuja dose adequada é de 1 mg para cada 100
cm2 de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa
medicação para Rafael.
Adote nos seus cálculos log 2 = 0,30 e a tabela a seguir.
RESOLUÇÃO:
Sendo log A = 0,425 . log P + 0,725 . log H + 1,84 
com P = 16 e H = 100, temos:
log A = 0,425 . log 16 + 0,725 . log 100 + 1,84 ⇔
⇔ log A = 0,425 . 4 . log 2 + 0,725 . 2 + 1,84 e, portanto,
log A = 0425 . 4 . 0,3 + 0,725 . 2 + 1,84 ⇔
⇔ log A = 0,51 + 1,45 + 1,84 ⇔
⇔ log A = 3,8 ⇔ A = 103,8 ⇔ A = 6310 (da tabela)
Assim, a dose adequada para Rafael é de mg = 63,1 mg
Resposta: 63,1 mg
4. (FUVEST) – Seja x = 21000. Sabendo que log102 é aproxi mada -
mente igual a 0,30103, pode-se afirmar que o número de algarismos
de x é:
a) 300 b) 301 c) 302 d) 1000 e) 2000
RESOLUÇÃO:
log x = log 21000 � 301,03 ⇒ log x � 301 + 0,03
Como x é inteiro e a característica do log x é 301, conclui-se que 
x tem 302 algarismos.
Resposta: C
Log
Log
x 10x
3,3 1995
3,4 2512
3,5 3162
3,6 3981
3,7 5012
3,8 6310
3,9 7943
6310
––––––
100
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1. Em �, a soma das raízes da equação 3 . �x – 2� – 2x = 1 é:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
RESOLUÇÃO:
2
–––––––––––––––––––––––––•––––––––––––––––––––––––––
Portanto, a soma das raízes em � é 8.
Resposta: D
2. O conjunto verdade, em �, da equação
3
���������(2x – 5)3 + ���������(x – 20)2 = 20 é:
a) Ø b) � c) {15} d) {5} e) {5;15}
RESOLUÇÃO:
3
���������(2x – 5)3 + ���������(x – 20)2 = 20 ⇔ 2x – 5 + �x – 20� = 20 ⇔
⇔ 2x + �x – 20� = 25
20
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
V = V1 ∪ V2 = {5}
Resposta: D
3. Resolver, em �, a equação 2x – 7 + ⎪x + 1⎪ = 0
RESOLUÇÃO:
V = V1 � V2 = �2�.
Resposta: V = {2}
x � 2
3 . (– x + 2) – 2x = 1
– 3x + 6 – 2x = 1
– 5x = – 5
x = 1 ∈ ]– ∞; 2]
V1 = {1}
x � 2
3 (x – 2) – 2x = 1
3x – 6 – 2x = 1
x = 7 ∈ [2; + ∞[
V2 = {7}
x � 20
2x – x + 20 = 25
x = 5
V1 = {5}
x � 20
2x + x – 20 = 25
3x = 45
x = 15 ∉ [20; + ∞[
V2 = Ø
–1 se x ≥ 1
2x – 7 + x+ 1 = 0
x = 2
V2 = {2}
se x ≤ – 1
2x – 7 – x – 1 = 0
x = 8 (não serve)
V1 = Ø
1. Módulo de um Número real
2. Propriedades
Propriedades do módulo de um número real:
• � x � � 0, ∀ x ∈ �
• � x � = a ⇔ x = a ou x = – a (a > 0)
• � x � < a ⇔ – a < x < a (a > 0)
• � x � > a ⇔ x > a ou x < – a (a > 0)
3. Observação
Sendo x um número real, temos:
, ∀ x . �
Assim, ���������� (x + 2)2 = � x + 2 �
���������� (3 – x)2 = � 3 – x �
����22 = � 2 � = 2
�������(–2)2 = � –2 � = 2
Se x � 0, � x � = x
Se x � 0, � x � = – x
����x2 = �x �
MÓDULO 16 Módulo de um Número Real
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1. Definição
É a função f : � → �, tal que f(x) = �x�, sendo:
2. Gráfico
�x� = x, se x � 0
�x� = – x, se x � 0
MÓDULO 17 Função Modular
1. Resolva, em �, as inequações:
a) �x – 1� < 5
b) �x – 4� > 2
RESOLUÇÃO:
a) �x – 1� � 5 ⇔ – 5 � x – 1 � 5 ⇔ – 4 � x � 6 ⇔
⇔ V = {x ∈ � � – 4 � x � 6}
b) �x – 4� � 2 ⇔ x – 4 � – 2 ou x – 4 � 2 ⇔ x � 2 ou x � 6 ⇔
⇔ V = {x ∈ � � x � 2 ou x � 6}
Respostas: a) V = {x ∈ � � – 4 � x � 6}
b) V = {x ∈ � � x � 2 ou x � 6}
2. Resolva, em �, a inequação �3x – 6� + �6 – x� < 12
RESOLUÇÃO:
2 6
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Resposta: V = V1 � V2 � V3 = ]0; 6[
3. Fazer o esboço do gráfico das funções definidas de � em � para:
a) f(x) = 3x – 6
b) g(x) = �3x – 6�
c) h(x) = 3 . �x� – 6
RESOLUÇÃO:
x � 2
– 3x + 6 + 6 – x � 12
– 4x � 0
x � 0
V1 = ]0; 2]
2 � x � 6
3x – 6 + 6 – x � 12
2x � 12
x � 6
V2 = [2; 6[
x � 6
3x – 6 – 6 + x � 12
4x � 24
x � 6
V3 = Ø
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 D1. Números Naturais
O Conjunto �
Os números naturais são 0, 1, 2, 3, ..., n, … e o
conjunto formado por estes números é chamado con -
junto dos números naturais. É indicado por �.
� = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}
�* = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} = � – {0}
Estrutura de �
Em � estão definidas duas operações: adição e
multiplicação. Sendo a, b, c números naturais, valem as
seguintes propriedades:
Propriedades da adição
(A – 1) Associativa
(a + b) + c = a + (b + c)
(A – 2) Comutativa
a + b = b + a
(A – 3) Elemento neutro (zero)
a + 0 = a
(LCA) Lei do cancelamento
a + c = b + c ⇒ a = b
Propriedades da multiplicação
(M – 1) Associativa
(a . b) . c = a . (b . c)
(M – 2) Comutativa
a . b = b . a
(M – 3) Elemento neutro (um)
a . 1 = a
(LCM) Lei do cancelamento
a . c = b . c e c � 0 ⇒ a = b
Propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição
a . (b + c) = a . b + a . c
Divisão Euclidiana em �
Teorema
Se a ∈ � e b ∈ �*, então existe um único par (q, r) de
números na turais, tais que: a = b . q + r e r < b
Dispositivo prático
a | b � 0 � a = b . q + r———– ⇔r q r < b
Se , diz-se que a divisão é exata.
Se , então: 
2. Números Inteiros
O Conjunto �
Os números inteiros são:
…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 …
O conjunto formado por estes números é chamado
conjunto dos números inteiros. É indicado por �.
� = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}
�* = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …} = 
�+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = �
�*+ = {1, 2, 3, . . .} = �*
�– = {0, – 1, – 2, – 3,...}
� *_ = {– 1, – 2, – 3, . . .}
Estrutura de �
Em � estão definidas a adição e a multiplicação.
Valem para elas as mesmas pro prie dades válidas em
� e além disso: todo número inteiro a tem in verso
(oposto), que é – a.
Assim sendo:
(A – 4) Elemento OPOSTO:
a + (– a) = 0
Múltiplo e divisor em �
Definição
Sejam a e b dois números inteiros. Diz-se que b é
divisor (ou fator) de a e que a é múltiplo de b se, e
somente se, existe c inteiro tal que a = b . c
Assim, sendo a, b, c números inteiros, temos:
⇒ 
Notação
Indicando por D(a) o conjunto de todos os divisores
do número a e por M(a) o conjunto de todos os múlti plos
do número inteiro a, temos:
ou ainda:
r = 0
a < b q = 0 e r = a
� – {0 }
�
a é múltiplo de b e c
b e c são ambos divisores
(ou fatores) de a
x ∈ D(a) ⇔ ∃ k ∈ � � x . k = a
x ∈ M(a) ⇔ ∃ k ∈ � � x = a . k
a = b . c
D(a) = {x ∈ � � x . k = a, k ∈ �}
M(a) = {x ∈ � � x = k . a, k ∈ �}
MÓDULO 18 Divisão em �, Múltiplos e Divisores em �
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Número par e número ímpar
Número primo e número composto 
Número primo
Número composto
Decomposição em fatores primos, teorema
fundamental da aritmética
“TODO número composto pode ser decomposto
(ou fatorado) num produto de fatores primos. A menos
da ordem dos fatores e do ‘sinal’, tal decomposição é
única.”
Propriedades do conjunto D(a)
• D(a) = D(– a), ∀a ∈ �
• 1 ∈ D(a), – 1 ∈ D(a), a ∈ D(a), – a ∈ D(a), ∀a ∈ �
• D(0) = � e D(1) = D(– 1) = {– 1, 1}
• Se a ∈ �*, o número de ele men tos de D(a) é finito.
Além disso, se a ∈ �* e se a = p1
k1 . p2
k2 . p3
k3 ... pn
kn,
em que os inteiros p1, p2, p3, …, pn são os divisores primos
na turais de a e os naturais k1, k2, k3, …, kn os respectivos
expoentes, então:
Propriedades do conjunto M(a)
• M(a) = M(– a), ∀a ∈ �
• 0 ∈ M(a), – a ∈ M(a), a ∈ M(a), ∀a ∈ �
• M(0) = {0} e M(1) = �
• Se a ∈ �*, o número de elementos de M(a) é infinito.Máximo divisor comum
Definição
Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente
nulos. 
O máximo divisor comum de a e b é o número 
max [D(a) � D(b)].
Representa-se mdc (a, b)
Assim sendo:
Propriedades
I. mdc (a,0) = a, ∀a ∈ �*
II. b ∈ D(a) ⇒ mdc (a,b) = b, ∀b ∈ �*
Mínimo múltiplo comum
Definição
Sejam a e b dois inteiros não nulos. O mínimo múl -
tiplo comum de a e b é o número min [M*+ (a) � M*+ (b)]. 
Representa-se mmc (a, b). 
Assim sendo:
Propriedades
• mmc (a,1) = a, ∀a ∈ �*
• b ∈ D(a) ⇒ mmc (a,b) = a, ∀a ∈ �*
• mdc(a,b) . mmc(a,b) = a . b, ∀a ∈ �*; ∀b ∈ �*
Observações
Se d é o máximo divisor comum de a e b, então:
• d é um divisor comum de a e b;
• qualquer divisor comum de a e b é divisor de d.
Se m é o mínimo múltiplo comum de a e b, então:
• m é um múltiplo comum de a e b;
• qualquer múltiplo comum de a e b é múltiplo de m.
Números primos entre si
Definição
Propriedades
• Dois números consecutivos quaisquer são primos
entre si.
• Se p e q são primos e p � q e p � – q, então p e
q são primos entre si. 
• a e b são primos entre si ⇔ mmc (a,b) = a . b, a,
b ∈ �*
Teoremas importantes
Se x divide a e x divide b, então x divide a ± b. 
Simbolicamente:
Se x divide a e x divide a ± b, então x divide b.
Simbolicamente:
a ∈ � é PAR ⇔ a ∈ M(2) ⇔ k ∈ � � a = 2k
a ∈ � é ÍMPAR ⇔ a ∉ M(2) ⇔ k ∈ � I a = 2k + 1
p � 0, p � – 1, p � 1
p ∈ � é PRIMO ⇔ � D (p) = [– 1,1,– p,p]
a � 0, a � –1, a � 1
a ∈ � é composto ⇔ � n [D(a) ] > 4
n [D+ (a)] = (k1+ 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn + 1)
n[D(a)] = 2 . (k1 + 1) . (k2 + 1) . (k3 + 1)...(kn + 1)
mdc (a, b) = max [D(a) � D(b)]
mmc(a, b) = min[M*+(a) � M*+(b)]
a ∈ �* e b ∈ � são primos entre si ⇔
⇔ D(a) � D(b) = {– 1,1} ⇔ mdc (a,b) = 1
x ∈ D(a) � ⇒ x ∈ D(a ± b)x ∈ D(b)
x ∈ D(a) � ⇒ x ∈ D(b)x ∈ D(a ± b)
8 –
M
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Se p é primo e p divide a . b, então p divide a ou p
divide b.
Simbolicamente:
Se a divide x, b divide x e, além disso, a e b são
primos entre si, então a . b divide x. 
Simbolicamente:
Divisibilidade por 2
Um número inteiro a é divisível por 2 se, e somente se,
o algarismo das unidades de a for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Divisibilidade por 3
Um número inteiro a é divisível por 3 se, e somente
se, a soma de seus algarismos for divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número inteiro a é divisível por 4 se, e somente
se, o número formado pelos algarismos das deze nas e
das unidades de a (na ordem) é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número inteiro a é divisível por 5 se, e somente
se, o algarismo das unidades de a for 0 ou 5.
Divisibilidade por 6
Um número inteiro a é divisível por 6 se, e somente
se, a for divisível por 2 e também por 3.
Divisibilidade por 7
Um número inteiro a é divisível por 7 se, e somente
se, a diferença entre o número que se obtém de a
suprimindo-se o algarismo das uni da des e o dobro deste
último (al ga rismo das unidades) for divisível por 7.
Divisibilidade por 10
Um número inteiro a é divisível por 10 se, e somente
se, o algarismo das unidades de a é zero.
Divisibilidade por 11
Um número inteiro a é divisível por 11 se, e somente
se, sendo x a so ma dos algarismos de ordem ím par de
a e y a soma dos algarismos de or dem par de a então 
x – y é divi sível por 11.
Divisibilidade por 15
Um número inteiro a é divisível por 15 se, e somente
se, a for divisível por 3 e também por 5.
3. Números Decimais
Números Decimais Exatos
São os que apresentam um número finito de casas
decimais não nulas.
Números decimais não exatos
São os que apresentam um nú mero infinito de
casas decimais não nulas.
Podem ser:
Periódicas (dízimas)
Exemplos
2,333 .…......................................
0,424242 .................…................
2,52626262 ................................
Não periódicas
Exemplos
2,252552555255552 ......…..........
π = 3,1415926535 .......................
e = 2,71822818284590453..........
���2 = 1,4142 ...................….........
���3 = 1,7320 ......................….....
Obter as frações geratrizes das dízimas
periódicas
0,424242 ... e 3,5262626 ...
Resolução
42 14
0,424242 ... = –––– = –––
99 33 26
35 + ––––
35,262626... 99 3491
3,5262626 ... = ––––––––––– = –––––––––– = –––––
10 10 990
4. Números Reais
O Conjunto �
Um número é chamado real quando é inteiro ou
decimal. O conjunto formado por todos os números
reais é chamado conjunto dos números reais e é
representado por � .
Estrutura � 
Em � estão definidas a adição, a multiplicação e uma
relação de ordem denotada por “�” tais que, sendo x, y
e z números reais, valem as seguintes propriedades:
A – 1: (x + y) + z = x + (y + z)
(associativa da adição)
A – 2: x + y = y + x
(comutativa da adição)
A – 3: x + 0 = x (neutro da adição: ZERO)
A – 4: x + (– x) = 0 (simétrico aditivo: OPOSTO)
M – 1: (x . y) . z = x . (y . z) (associativa da multiplicação)
M – 2: x . y = y . x (comutativa da multiplicação)
M – 3: x . 1 = x (neutro da multiplicação)
M – 4: x . x–1 = 1, se x � 0 (simétrico multiplicativo: 
INVERSO)
D: x . (y + z) = xy + xz (distributiva)
0 – 1: x � x (reflexiva)
p é primo � ⇒ p ∈ D(a) ou p ∈ D(b)p ∈ D(a .b)
a ∈ D (x)
b ∈ D (x) � ⇒ ab ∈ D(x)
mdc (a,b) = 1
– 9
M
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1. Sejam a e b dois números naturais. Sabendo-se que 436 = 47a + b
e b < 47, podemos concluir que a + b resulta
a) 19 b) 22 c) 27
d) 31 e) 43
RESOLUÇÃO:
⇔
A divisão de 436 por 47 resulta
e, portanto, a = 9 e b = 13.
Assim, a + b = 9 + 13 = 22.
Resposta: B
2. (UERJ) – Considere a matriz Anx9 de nove colunas com números
inteiros consecutivos, escrita a seguir.
Se o número 18109 é um elemento da última linha, linha de ordem n, 
o número de linhas dessa matriz é:
a) 2011 b) 2012 c) 2013 d) 2014
RESOLUÇÃO:
Como 18109 9 ,
1 2012
concluímos que o elemento 18 109 da matriz A está na linha de
número 2012 + 1 = 2013, pois 2012 linhas antecedem a linha onde
está o 18109.
Resposta: C
�
436 = 47a + b
b < 47
a,b ∈ �
436
b
47
a
436
13
47
9
An×9 = �
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
… … … … … … … … …
	
10 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
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0 – 2: x � y e y � x ⇒ x = y (antissimétrica)
0 – 3: x � y e y � z ⇒ x � z (transitiva)
0 – 4: x < y ou x = y ou y < x (tricotomia ou ordem total)
OA: x � y ⇒ x + z � y + z 
(compatibilidade com a adição)
OM: x � y ⇒ x . z � y . z, se z > 0
x � y ⇒ x . z � y . z, se z < 0
(compatibilidade com a multiplicação)
 (�, + ... � ) é um corpo ordenado.
Notações
�* = � – { 0 } �+ = { x ∈ � � x � 0 }
�+* = {x ∈ � � x > 0 } �– = {x ∈ � � x � 0 }
�–* = {x ∈ � � x < 0 }
5. Números Racionais e Números Irracionais
O Conjunto Q
Diz-se que um número real x é racional se, e somen te
se, existem números inteiros a e b, com b � 0, tais que 
x = .
O conjunto formado por todos os números racionais
é chamado con junto dos números reais racionais e é
representado por �.
� = {x = � | x = , a ∈ �, b ∈ �* }
Notar que: � � � � � � �
Teorema
Sejam a ∈ � e b ∈ �*. O quo ciente (número racional)
da divi são de a por b, ou é inteiro, ou decimal exato ou
decimal não exato perió dico.
Consequência do Teorema
Os únicos números reais que não são racionais são
os números deci mais não exatos, não periódicos. 
a
–––
b
a
–––
b
C4_Curso_D_MATEMATICA_ROSE_2020 27/04/2020 10:43 Página 10
3. Calcule o número de divisores naturais de 
a) 24 b) 60
RESOLUÇÃO:
a) 24 = 23 . 31 ⇒ n[D+ (24)] = (3 + 1) . (1 + 1) = 8
b) 60 = 22 . 31 . 51 ⇒ n[D+ (60)] = (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 12
Respostas: a) 18 
b) 12
4. (UNIFESP) – O número de inteiros positivos que são divisores do
número N = 214 × 353, inclusive 1 e N, é:
a) 84 b) 86 c) 140 d) 160 e) 162 
RESOLUÇÃO:
N = 34 . 53 . 77
O número de divisores inteiros positivos de N é 
(4 + 1)(3 + 1)(7 + 1) = 160
Resposta: D
5. (FUVEST-2017) – Sejam a e b dois números inteiros positivos.
Diz-seque a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de
a coincide com a soma dos divisores positivos de b. Cons tituem dois
inteiros positivos equivalentes:
a) 8 e 9 b) 9 e 11 c) 10 e 12 
d) 15 e 20 e) 16 e 25 
RESOLUÇÃO:
Divisores inteiros positivos dos pares dados nas alter nativas e
suas respectivas somas:
a) D+(8) = {1, 2, 4, 8} Soma 15
D+(9) = {1, 3, 9} Soma 13
b) D+(9) = {1, 3, 9} Soma 13
D+(11) = {1, 11} Soma 12
c) D+(10) = {1, 2, 5, 10} Soma 18
D+(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Soma 28
d) D+(15) = {1, 3, 5, 15} Soma 24
D+(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Soma 42
e) D+(16) = {1, 2, 4, 8, 16} Soma 31
D+(25) = {1, 5, 25} Soma 31
De acordo com o enunciado, 16 e 25 são equivalentes, pois as so -
mas dos divisores inteiros positivos coin cidem.
Resposta: E
– 11
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Álgebra FRENTE 2
1. Introdução
Dado um conjunto de valores: x1, x2, x3, ... , xn,
efetuan do determinadas operações entre eles, obtemos
um cer to resultado R. Caso possamos substituir cada
um dos valores x1, x2, ... , xn por um mesmo valor x e
efetuar as mesmas operações, obtendo ainda o mesmo
resultado R, diremos que esse valor x é a média dos
valores x1, x2, x3, ... , xn relativa às operações em
questão. Além disso, não devemos separar este
“conceito” de sua aplicação na prática quando, por
exemplo, ao calcu larmos a “média” de um dado
“conjunto de valores”, encon tra mos mais de uma res -
posta. Neste caso, a “natureza da grandeza” que esses
valores representam e o “bom senso” determinarão
qual das respostas é a mais indicada para o problema.
2. Média Aritmética (Operação Adição)
A média aritmética A entre os números x1, x2, x3, …,
xn é tal que:
A + A + ... + A = x1 + x2 + x3 + ... + xn ⇒
n parcelas n parcelas
⇒
A média aritmética de n valores é a soma de to dos
os valores dividida pela quantidade de valores.
• Assim, por exemplo, a média aritmética entre os
números 3, 4, 6, 9 e 13 é 7, pois:
A = = = 7
3. Média Geométrica (Operação Multiplicação)
A média geométrica G entre os números x1, x2, x3,
…, xn é tal que:
G . G . ... . G = x1 . x2 . x3 . ... . xn ⇒
n fatores n fatores
⇒ Gn = x1 . x2 . x3 . ... . xn ⇒
n fatores
⇒ ,
desde que valores x1, x2, x3, ... , xn sejam positivos.
A média geométrica de n valores é a raiz n-ésima
do produto dos n valores.
• Assim, por exemplo, a média geométrica entre os
números 12, 45 e 50 é 30, pois:
G = 
3
����������� 12.45.50 = 
3
��������� 27 000 = 30
4. Média Harmônica (Operação Adição de Inversos)
A média harmônica H entre os números x1, x2, x3, …, xn
é tal que:
+ + + ... + =
n parcelas
= + + + ... + ⇒
n parcelas
⇒ = + + + ... + ⇒
⇒
A média harmônica é o inverso da média arit -
mética dos inversos.
• Assim, por exemplo, a média harmônica entre os
números 2, 3 e 6 é 3, pois:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
A = –––––––––––––––––––––– 
n
3 + 4 + 6 + 9 + 13
––––––––––––––––––
5
35
––––
5
G = 
n
����������������������x1 . x2 . x3 . ... . xn
1 –––
H
1 
–––
H
1 –––
H
1 –––
H
1 
–––
x1
1 
–––
x2
1 
–––
x3
1 
–––
xn
n 
––
H
1 
––
x1
1 
––
x2
1 
––
x3
1 
––
xn
1
H = ––––––––––––––––––––––––––––
1 1 1 1
––– + ––– + ––– ... + –––
x1 x2 x3 xn
–––––––––––––––––––––––––
n
1 1 1
H = ––––––––––––– = –––– = –––– = 3
1 1 1 6 1
–– + –– + –– –– ––
2 3 6 6 3
–––––––––––– ––– 
3 3
MÓDULO 15 Noção Geral de Média
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1. Dados os números 4, 54 e 125, determine as médias
a) aritmética, A; b) geométrica, G; c) ponderadas.
P, com pesos 5, 3 e 2, respectivamente.
RESOLUÇÃO:
a) A = = 61
b) G3 = 4 . 54 . 125 ⇒ G = 2 . 3 . 5 = 30
c) P = = =
= = 43,2
Respostas: a) 61 b) 30 c) 43,2
2. Ao final de uma competição de ciências em uma
escola, restaram apenas três candidatos. De acordo
com as regras, o vencedor será o candidato que
obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas
disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos
4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões
médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia
em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos,
em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas. 
O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. 
A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química
para vencer a competição é 
a) 18. b) 19. c) 22. d) 25. e) 26.
RESOLUÇÃO:
I) A média obtida pelo candidato I foi 
= = = 21,8
II) A média obtida pelo candidato III foi
= = = 19,2
III) Para vencer a competição, a nota X que deverá ser obtida pelo
candidato II é tal que:
> 21,8 ⇔ 4X + 150 > 218 ⇔ 4X > 68 ⇔ X > 17
Portanto, a menor nota deverá ser 18.
Resposta: A
4 + 54 + 125
–––––––––––––
3
4 . 5 + 54 . 3 + 125 . 2
––––––––––––––––––––––
5 + 3 + 2
20 + 162 + 250
––––––––––––––––
10
432
––––––
10
Candidato Química Física
I 20 23
II X 25
III 21 18
20 . 4 + 23 . 6
––––––––––––––
4 + 6
80 + 138
–––––––––
10
218
–––––
10
21 . 4 + 18 . 6
–––––––––––––
4 + 6
84 + 108
–––––––––
10
192
–––––
10
X . 4 + 25 . 6
–––––––––––––
4 + 6
– 13
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5. Média Aritmética Ponderada (Operação Adição)
Dado um conjunto de números p1, p2, p3, ..., pn cha -
mados pesos, cha ma-se média aritmética ponderada dos
números x1, x2, x3, ..., xn ao número P, tal que 
p1.P + p2.P + ... + pn.P = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn ⇒
⇒
A média aritmética ponderada é a soma dos
produtos de cada valor pelo respectivo peso di vidida
pela soma dos pesos.
• Assim, por exemplo, a média aritmética pon -
derada dos números 35, 20 e 10, com pesos 2, 3 e 5,
respec tivamente, é 18, pois:
P = = = 18
p1.x1 + p2.x2 + … + pn.xn
P = –––––––––––––––––––––––––––––
p1 + p2 + … + pn
2.35 + 3.20 + 5.10
–––––––––––––––––
2 + 3 + 5
180
––––
5
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3. Um concurso é composto por cinco etapas. Cada
etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada
can di dato é a média de suas notas nas cinco
etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontuações
finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta
etapa. 
A ordem de classificação final desse concurso é 
a) A, B, C, E, D. b) B, A, C, E, D. 
c) C, B, E,A, D. d) C, B, E, D, A. 
e) E, C, D, B, A. 
RESOLUÇÃO:
Sendo a pontuação final de cada candidato a média de suas notas
nas cinco etapas, temos:
Logo, a ordem de classificação final desse concurso é: B, A, C, 
E e D.
Resposta: B
4. (UNESP) – O responsável pela área de pagamentos de uma
empresa encontra três colegas de trabalho e afirma:
“A média dos seus salários é R$ 1.800,00.”
Os três colegas desconheciam os salários uns dos outros, mas sabem
que na empresa os salários vão de R$ 1.000,00 a R$ 2.000,00 e são
múltiplos de R$ 100,00, o que permite afirmar com certeza sobre os
ganhos desses três colegas que
a) um deles ganha menos de R$ 1.500,00.
b) pelo menos um deles ganha mais de R$ 1.800,00.
c) os três ganham mais de R$ 1.500,00 cada.
d) nenhum ganha R$ 1.300,00.
e) dois ganham menos de R$ 2.000,00.
RESOLUÇÃO:
Se a média dos salários é R$ 1800,00, a soma dos salários é 
R$ 5400,00.
Se os salários são múltiplos de R$ 100,00 e vão de R$ 1000,00 a 
R$ 2000,00, o maior salário possível é R$ 2000,00.
Admitindo-se que dois deles ganham R$ 2000,00, o maior salário
possível; o terceiro ganharia R$ 1400,00, o menor salário possível.
Desta forma, “nenhum ganha R$ 1300,00”.
Resposta: D
Candidato 
Média nas quatro
primeiras etapas
Pontuação na 
quinta etapa 
A 90 60 
B 85 85 
C 80 95 
D 60 90 
E 60 100 
Candidato
Média nas
quatro
primeiras
etapas
Pontuação 
na quinta
etapa 
Pontuação
final
A 90 60
4 . 90 + 60
–––––––––– = 84
5
B 85 85
4 . 85 + 85
–––––––––– = 85
5
C 80 95
4 . 80 + 95
–––––––––– = 83
5
D 60 90
4 . 60 + 90
–––––––––– = 66
5
E 60 1004 . 60 + 100
–––––––––– = 68
5
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 D1. Conceito
Estatística é um ramo da Mate mática Aplicada. A
palavra Estatística provém da palavra latina Status e é
usada em dois sentidos:
• Estatísticas (no plural) refe rem-se a dados numéri cos
e são infor mações sobre determinado as sunto, coisa,
grupo de pessoas etc. obtidas por um pesquisador.
• Estatística (no singular) sig nifica o conjunto de mé -
to dos usa dos na condensação, aná li ses e inter pretações
de dados numéri cos.
De um modo geral, conceitua-se Estatística da
seguinte forma:
É ciência, quando estuda popu la ções; é método,
quando serve de instrumento a uma outra ciência. É
também arte, ciência-método e método-ciência, segun -
do vários tratadistas, daí advindo uma variedade de
definições. Eis algumas:
“Conjunto dos processos que tem por objeto a
observação, a classificação formal e a análise dos fenô -
menos coletivos ou de massa, e por fim a indução das
leis a que tais fe nômenos obedecem globalmente” 
(Mil ton da Silva Rodrigues).
“A Estatística é a parte da Mate mática Aplicada que
se ocupa em ob ter conclusões a partir de dados ob ser -
vados” (Ruy Aguiar da Silva Leme).
“A Estatística é o estudo numérico dos fatos
sociais” (Levasseur).
“É observação metódica e tão uni versal quanto
possível dos fatos con siderados em globo, reduzidos a
grupos homogêneos e interpretados mediante a indução
matemática” (Ferraris).
2. População e Amostra
População
É um conjunto de elementos com uma caracterís tica
comum.
O termo é mais amplo que no sen so comum, pois
envolve aglo me ra do de pessoas, objetos ou mesmo
ideias. 
Exemplo
Todos os alunos do Ensino Médio do Brasil.
Amostras 
São subconjuntos da população, que conservam,
por tanto, a carac te rís tica comum da população e são re -
ti ra das por técnicas adequadas, cha madas de amos -
tragem. 
Exemplo
500 alunos do Ensino Médio do Brasil.
Parâmetros
São características numéricas da população. 
Exemplo
QI médio dos estudantes do En sino Médio do Brasil.
Estimativas
Em geral, por problemas de tem po e dinheiro,
trabalha-se com amos tras e não com a população.
Os elementos numéricos carac-terísticos de uma
amostra são esti ma tivas dos elementos corres pon -
dentes na população, que são os parâ me tros.
3. Distribuição de Frequências
Quando se vai fazer um levan ta men to de uma
população, um dos pas sos é retirar uma amostra dessa
população e obter dados relativos à variável desejada
nessa amostra.
Cabe à Estatística sintetizar es ses dados na forma
de tabelas e gráficos que contenham, além dos va lores
das variáveis, o número de ele mentos correspondentes
a cada variável.
Ilustramos, a seguir, esse proce dimento, acom -
panhando com um exem plo.
Dados brutos
É o conjunto dos dados numéri cos obtidos e que
ainda não foram organizados.
Exemplo
A partir de uma lista de chama da, em ordem
alfabética, obteve-se o con junto de alturas, em cm, de
20 es tudantes:
168, 168, 163, 164, 160, 160, 164, 166, 169, 169,
166, 168, 162, 165, 165, 164, 168, 166, 161, 168.
Rol
É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente
(ou decrescente).
No exemplo apresentado, temos o seguinte rol:
160, 160, 161, 162, 163, 164, 164, 164, 165, 165,
166, 166, 166, 168, 168, 168, 168, 168, 169, 169.
MÓDULO 16 Noções de Estatística – I
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Amplitude total (H)
É a diferença entre o maior e o me nor dos valores
observados. No exemplo: 
H = 169 – 160 H = 9
Frequência absoluta ( fi ) 
É o número de vezes que o elemento aparece na
amostra:
Frequência relativa ( fr )
É dada por:
em que n é o número de elementos da amostra (n= 
fi)
Observe que 
 fr = 1
Frequência relativa percentual ( ƒ% )
Frequência absoluta acumulada (fa)
É a soma da frequência do valor da variável com
todas as frequências anteriores:
Frequência relativa acumulada (fra)
É a soma da frequência relativa do valor da variável
com todas as frequências relativas anteriores.
Frequência percentual acumulada ( ƒ%a )
xi fi
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
∑ 20
fi
fr = –––
n
xi fi fr
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
2 ÷ 20 = 0,10
1 ÷ 20 = 0,05
1 ÷ 20 = 0,05
1 ÷ 20 = 0,05
3 ÷ 20 = 0,15
2 ÷ 20 = 0,10
3 ÷ 20 = 0,15
0 ÷ 20 = 0
5 ÷ 20 = 0,25
2 ÷ 20 = 0,10
∑ 20 1,00
ƒ% = fr . 100
xi fi fr f%
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
∑ 20 1,00 100
xi fi fr f% fa
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
0 + 2 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4
4 + 1 = 5
5 + 3 = 8
8 + 2 = 10
10 + 3 = 13
13 + 0 = 13
13 + 5 = 18
18 + 2 = 20
∑ 20 1,00 100
ƒ%a = fra . 100
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Distribuição de frequências
É o arranjo dos valores da variá vel e suas respectivas
frequências.
4. Classes
O número de elementos de uma amostra, de um
modo geral, é gran de. Para condensá-los, os valo res
obtidos devem ser, normalmente, distribuídos em
classes.
A distribuição de frequências dos dados de uma
amostra distri buídos em classes é idêntica à que é feita
com cada valor da variável, ado tan do-se as seguintes
normas:
O número de classes (nc)
É da ordem de ���n, em que n é o número total de
elementos da amos tra.
A amplitude da classe (h)
É, aproximadamente, o quocien te entre a amplitude
total (H) e o número de classes (nc).
O ponto médio da classe (PM)
É a média aritmética entre o limi te inferior e o limite
superior de cada classe. É o valor da variável que re pre -
senta a classe: PM = Xi.
Exercício
Num teste de raciocínio numéri co, obtiveram-se os
seguintes da dos brutos:
76 – 60 – 41 – 55 – 78 – 48 – 69 – 85 – 67 –
39 – 60 – 85 – 57 – 74 – 65 – 84 – 77 – 65 –
52 – 33 – 80 – 61 – 45 – 77 – 53 – 59 – 73 –
55 – 91 – 41 – 94 – 65 – 94 – 98 – 89 – 88 –
66 – 66 – 73 – 42 – 71 – 35 – 68 – 54 – 47 –
74 – 64 – 35 – 50– 61
Fazer a distribuição de fre quên cias dos dados
dessa amos tra, distribuindo-os em classes.
Resolução
• Cálculo do rol
33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 –
48 – 50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 –
60 – 60 – 61 – 61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 –
66 – 67 – 68 – 69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 –
76 – 77 – 77 – 78 – 80 – 84 – 85 – 85 – 88 –
89 – 91 – 94 – 94 – 98
• Cálculo da amplitude total
H = 98 – 33 = 65
• Cálculo do número de classes
nc � ���n 
nc � �����50 � 7
• Cálculo da amplitude de classe
h = = � 9,3 
Adotaremos h = 10.
xi fi fr 5 2 fra f%a
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
1,00
f%
5
5
15
10
15
0
25
10
100
3
4
5
8
10
13
13
18
20
0,10
0,15
0,20
0,25
0,40
0,50
0,65
0,65
0,90
1,00
10
15
20
25
40
50
65
65
90
100
∑ 20 10 fa
nc � ���n
H
h � ––––
nc
H
––––
nc
65
––––
7
– 17
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• Distribuição de frequências
Classes PM fi fr f% fa fra f%a
30 � 40
40 � 50
50 � 60
60 � 70
70 � 80
80 � 90
90 � 100
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
6
4
0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,12
0,08
8
12
16
26
18
12
8
4
10
18
31
40
46
50
0,08
0,20
0,36
0,62
0,80
0,92
1,00
8
20
36
62
80
92
100
∑ 50 1,00 100
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5. Representação Gráfica da 
Distribuição de Frequências
As tabelas de distribuição de fre quências vistas no
item 4 podem ser representadas graficamente. 
A finalidade principal disso é for necer as infor -
mações analíticas de uma maneira mais rápida. Descre -
ve re mos apenas três tipos de grá ficos: histogramas,polí gonos de fre quên cias e polígonos de frequên cias
acu muladas.
Histogramas
É a representação gráfica de uma distribuição de
frequências por meio de retângulos justapostos. No
eixo das abscissas, temos os limi tes das classes e no
eixo das or de nadas, as frequências (fi ou fr ou ƒ%).
Polígono de frequências
É um gráfico de linhas que se obtém unindo os
pontos médios dos pa tamares dos retângulos do his to -
grama.
Polígono de frequências acumuladas
Polígono de frequências acu mu ladas ou OGIVA DE
GALTON é uma representação gráfica que tem no eixo
das abscissas os limites das classes e no eixo das
ordenadas, as fre quências acumuladas (fa ou fra ou ƒ%a)
que se situam abaixo de um determinado limite superior.
Exemplo
Fazer a representação gráfica da distribuição de
frequências apresen tada na tabela a seguir:
Observações
– Conforme vemos na figura, o his to grama e o polí -
gono de fre quên cias em termos de fi, fr e ƒ% têm
exatamente o mesmo as pec to, mudando apenas a
es cala vertical.
– Observe que, como o 1o. valor é bem maior que
zero, adotamos aproximá-lo do zero segundo a con -
venção:
Classes PM fi fr f% fa fra f%a
30 � 40
40 � 50
50 � 60
60 � 70
70 � 80
80 � 90
90 � 100
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
6
4
0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,12
0,08
8
12
16
26
18
12
8
4
10
18
31
40
46
50
0,08
0,20
0,36
0,62
0,80
0,92
1,00
8
20
36
62
80
92
100
∑ 50 1,00 100
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6. Medidas de Posição
As medidas de posição servem para localizar os
dados sobre o eixo da variável em questão. As mais im -
por tantes são: a média, a me dia na e a moda.
A média e a mediana tendem a se localizar em
valores centrais de um conjunto de dados. Por essa ra -
zão, costuma-se dizer que são me didas de ten dên cia
central. A moda, por sua vez, indica a posição de maior
concentração de dados.
Média Aritmética
– Dados não agrupados
Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n valo res de uma variável
X, define-se mé dia aritmética, ou simplesmente mé dia,
como sendo:
Exemplo
A média aritmética dos valores 3; 5; 7; 8 é
—
X = = 5,75
– Dados agrupados
Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n va lores da variável X com
frequên cias f1, f2, f3, ..., ƒn, respectiva mente, de fine-se
média aritmética, ou sim ples mente média, como sendo
sendo ∑ fi = n.
Exemplo
A média aritmética da distribui ção de dados a 
seguir é:
—
X = 
—
X = 2,6
– Dados agrupados em classes
A média aritmética é calculada co mo no item an -
terior, lembrando que cada classe é representada pelo
seu ponto médio (Xi = PM).
Exemplo
—
X = ⇒
⇒ —X = ⇒ X = 6,7
n
 Xi
i = 1—
X = ––––––––
n
3 + 5 + 7 + 8
––––––––––––––
4
n
 fiXi
i = 1
X
–
= ––––––––––
n
xi fi
1
2
3
4
1
3
5
1
∑ 10
1 . 1 + 3 . 2 + 5 . 3 + 1 . 4
––––––––––––––––––––––––––
10
Classes PM = xi fi
2 � 4
4 � 6
6 � 8
8 � 10
10 � 12
3
5
7
9
11
5
10
14
8
3
∑ 40
5. 3 + 10 . 5 + 14 . 7 + 8 . 9 + 3 . 11
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
40
268
––––
40
– 19
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Moda (Mo)
Define-se moda (ou modas) de um conjunto de
valores dados como sendo o valor de frequência má xi 
ma (ou os valores da frequência máxima).
Exemplos
a) A moda do conjunto de dados 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9,
10, 11, 12 é 9. Observe que 9 é o elemento mais
frequente. 
b) O conjunto de dados 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8,
8, 8, 9, 10, 10 tem duas modas:
e
c) Para a distribuição
a moda é 248, pois é o valor de frequência
máxima (23).
d) Para os dados agrupados em classes, a seguir,
podemos dizer, pelo menos, que a classe modal
é 2 � 3.
Mediana (Md)
Colocando-se os valores da va riá vel em ordem
crescente, a me diana é o elemento que ocupa a posição
cen tral. Em outras palavras: a media na divide um
conjunto de n dados em dois subconjuntos com igual
número de elementos.
• Cálculo da mediana para dados não
agrupados
– Se n for ímpar, a mediana é o valor central dos n
dados do rol. É o elemento de ordem .
Exemplo
A mediana dos dados 5; 7; 8; 10; 15 é 8, que é o 
3o. termo do rol. 
– Se n for par, a mediana é a mé dia aritmética dos
dois dados cen trais do rol. É a média ari t mé tica
entre os dados de ordem
e + 1 
Exemplo
Os valores centrais do rol 5; 7; 8; 10; 14; 15 são
o 8 e o 10. 
A mediana dos valores deste rol é
• Cálculo da mediana para dados agrupados
em classes
Calcula-se e, pela frequência acumulada, iden tifi 
ca-se a classe que contém a mediana. Em seguida, cal -
cula-se a mediana usando uma fór mula. O mais prático,
porém, é usar o gráfico de frequências acu muladas
percentuais (OGIVA DE GALTON).
Exemplo
Mo = 9
Mo1
= 3 Mo2
= 8
xi 243 245 248 251 307
fi 7 17 23 20 8
Mo = 248
Classes fi
0 � 1
1 � 2
2 � 3
3 � 4
4 � 5
3
10
17
8
5
n + 1
––––––
2
5 + 1�––––––� = 32
n––
2
n––
2
8 + 10
Md = –––––––– = 9
2
n–––
2
Classes fi fa
34 � 45
45 � 55
55 � 65
65 � 75
75 � 85
85 � 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
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Construída a OGIVA, a partir dos dados, note que: 
1o.) no ponto B, temos fa = 58, que corres ponde a ƒ%a = 100.
2o.) o ponto A é médio de OB e, nesse ponto, temos fa = 29, que correspon de a ƒ%a = 50.
3o.) o valor da variável asso ciado a ƒ%a = 50 é a media na.
4o.) da OGIVA, concluímos, pois, que Md � 62.
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 D1. As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estão
descritas a seguir:
16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15,
14, 16, 15, 14, 16, 14.
Determine:
a) o rol
b) a amplitude
c) a distribuição de frequências
d) a moda
e) a mediana
f) a média
RESOLUÇÃO:
a) Rol:
12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16,
16, 16, 18, 18, 18, 18, 18
b) H = 18 – 12 = 6
c)
d) M0 = 16 e) Md = 15
f)
—
X = = = 15,44
2. O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %)
para o período de março de 2008 a abril de 2009,
obtida com base nos dados observados nas
regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de
Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
IBGE. Pesquisa mensal de emprego. 
Disponível em: www.ibge.gov.br. 
Acesso em: 30 jul. 2012 (adaptado).
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008
a abril de 2009, foi de
a) 8,1% b) 8,0% c) 7,9%
d) 7,7% e) 7,6%
RESOLUÇÃO:
O rol das taxas de desemprego (%), no período de março de 2008
a abril de 2009, é:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1; 8,2; 8,5; 8,5; 8,6; 8,9; 9,0 
Logo, a mediana é = 8,0(%)
Resposta: B
xi fi fr f% fa fra f%a
∑
xi fi fr f% fa fra f% a
12 2 0,08 8 2 0,08 8
14 5 0,20 20 7 0,28 28
15 6 0,24 24 13 0,52 52
16 7 0,28 28 20 0,80 80
18 5 0,20 20 25 1,00 100
∑ 25 1,00 100 
12 . 2 + 14 . 5 + 15 . 6 + 16 . 7 + 18 . 5
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
25
386
–––––
25
8,6
8,5
7,9 7,9
8,1
7,6
7,7
7,5
7,6
6,8
8,2
8,5
8,9
9,0
Taxa de desemprego (%)
0
3
/0
8
0
4
0
1
/0
9
0
5
0
6
0
7 0
8
0
9
1
0 11 1
2
0
2
0
3
0
4
7,9 + 8,1
–––––––––
2
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3. (FAMEMA) – Em uma pesquisa foram utilizadas 50 mudas de
deter minado tipo de planta com alturas diferentes. A tabela mostra o
número de mudas e suas respectivas alturas.
Considerando as alturas de todas essas mudas, a média, a
moda e a mediana são, respectivamente,
a) 8,8 cm; 10 cm; 9 cm.
b) 8,3 cm; 18 cm; 8 cm.
c) 8,3 cm; 10 cm; 9 cm.
d) 8,8 cm; 18 cm; 9 cm.
e) 8,5 cm; 18 cm; 8 cm.
RESOLUÇÃO:
O rol das alturas é:
4, 5; 4, 5; ...; 4, 5; 8; 8;... 8; 10; 10; ...; 10; 13; 13; ...13
16 9 18 7
1) A média é
= = = 8,3
2) A moda é o elemento mais frequente e portanto é 10.
3) A mediana é = = 9
Resposta: C
  
a25 a26
16 . 4,5 + 9 . 8 + 18 . 10 + 7 . 13
–––––––––––––––––––––––––––––––––
16 + 9 + 18 + 7
415
–––––
50
a25 + a26
––––––––––
2
8 + 10
–––––––
50
Número de
mudas
Altura da muda
(em cm)
18 10
7 13
9 8
16 4,5
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MÓDULO 17 Noções de Estatística – II
1. Medidas de Dispersão
Introdução
As medidas de posição vistas até aqui, média, me -
diana e moda, têm con ceitos diferentes, detalhes pró -
 prios, que ajudam semelhan te men te a representar um
conjunto de dados.
Entretanto, a informação forneci da pelas medidas de
posição, em geral, necessita ser completada pe las
MEDIDAS DE DISPERSÃO. Estas servem para indicar o
quanto os da dos se apresentam dispersos em tor no da
região central. Carac terizam, portanto, o grau de variação
existen te no conjunto de valores e, por isso, são
também chamadas MEDIDAS DE VARIABILIDADE.
Exemplo
Suponha que as notas de 2 alu nos no decorrer do
ano foram:
Aluno A: 2; 3; 4; 3; 8;10 →
—
X = 5
Aluno B: 5; 6; 4; 5; 4; 6 →
—
X=5
Ambos obtiveram a mesma mé dia (X
–
= 5), entre -
tanto percebe-se claramente que o aluno A, de péssi mos
resultados iniciais, conseguiu recuperar-se no fim,
enquanto o aluno B manteve-se praticamente no mes mo
nível.
Isso significa que as notas do alu no B não foram
dispersas como as no tas do aluno A.
Portanto, a medida de posição po derá ser com -
pletada por uma me dida de dispersão (amplitude, desvio
médio, desvio padrão, variância) que passaremos a
descrever.
Amplitude
Amplitude (H), ou intervalo total, é definida como
a diferença en tre os valores extremos da série, ou seja:
Exemplo
Sejam os valores 4; 5; 7; 9; 10; 13
Por depender de apenas dois va lores do conjunto de
dados, a ampli tude contém relativamente pouca
informação quanto à dispersão, pois se sujeita a grandes
flutuações de uma amostra para outra. 
Suponhamos que numa classe, os pesos dos alunos
se distribuam entre 45 e 75 kg, a amplitude seja 
H = 75 – 45 = 30 kg. Se entrar nessa classe um aluno
com 100 kg, a nova am plitude será 100 – 45 = 55kg,
quase o dobro da anterior apenas por causa de um aluno.
Desvio
Uma maneira de medir o grau de dispersão ou
concentração de cada valor da variável em relação às
me didas de tendência central é fazer a diferença entre o
valor da variável e a média. 
Esta diferença é chamada des vio e representada
por D.
Exemplo
Um aluno que obteve as notas 2, 3, 4, 3, 8, 10
conseguiu uma média
X
–
= = 5.
Os desvios de cada uma das no tas são: 
Observe que ∑Di = 0.
Observação
Ao calcular a média dos desvios, para conhecer um
desvio global do conjunto, o resultado é sempre ZE RO,
pois ∑Di = 0.
Assim, para obter um resultado que exprima a
média dos desvios, costuma-se proceder de dois
modos:
a) calcular a média dos módulos de cada desvio;
b) calcular a média dos quadra dos dos desvios e em
se gui da extrair a raiz quadrada.
O primeiro é chamado desvio médio (Dm) e o
segundo é chamado desvio padrão (s).
H = Xmáx – Xmín
H = 13 – 4 = 9
Di = Xi – X
—
2 + 3 + 4 + 3 + 8 + 10
––––––––––––––––––––––
6
xi Di = Xi –
—
X
2
3
4
3
8
10
– 3
– 2
– 1
– 2
3
5
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Desvio médio (Dm)
ou
Desvio padrão (s)
Variância
É o quadrado do desvio padrão.
∑ �Di �
Dm = –––––––
n
∑ fi �Di �
Dm = ––––––––
n
∑ fi D i
2
s = ––––––––
n
∑ fi Di
2
s2 = ––––––––––
n
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1. Calcule: amplitude, média, desvio médio, variância e desvio-
padrão.
a) Amplitude
RESOLUÇÃO:
H = 11 – 5 = 6
b) Média
RESOLUÇÃO:
– 5 . 1 + 6 . 2 + 7 . 2 + 8 . 3 + 10 . 7 + 11 . 5 180
x = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––– = 9
1 + 2 + 2 + 3 + 7 + 5 20
c) Construção da tabela
RESOLUÇÃO:
d) Desvio médio
RESOLUÇÃO:
∑ fi |Di | 34
Dm = –––––––––– = –––– = 1,7 
n 20
e) Variância
RESOLUÇÃO:
∑ fi Di
2 72
s2 = –––––––– = –––– = 3,6
n 20
f) Desvio-padrão
RESOLUÇÃO:
s = �����3,6 � 1,9
Sr. Professor, comente com os alunos que a variância e o desvio-
padrão servem para dizer se os dados estão próximos
(homogêneo) ou afastados da média (heterogêneo). Quando
menor for a variância (e consequentemente o desvio-padrão),
mais homogêneo é o grupo de dados.
xi 5 6 7 8 10 11
fi 1 2 2 3 7 5
xi fi Di �Di� fi�Di� Di
2 fiDi
2
5 1
6 2
7 2
8 3
10 7
11 5
∑
xi fi Di �Di� fi�Di� Di
2 fiDi
2
5 1 – 4 4 4 16 16
6 2 – 3 3 6 9 18
7 2 – 2 2 4 4 8
8 3 – 1 1 3 1 3
10 7 1 1 7 1 7
11 5 2 2 10 4 20
∑ 20 34 72
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2. Marco e Paulo foram classificados em um
concurso. Para a classificação no concurso o
candidato deveria obter média aritmética na
pontuação igual ou su perior a 14. Em caso de empate na média, o
desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a
seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática,
Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio
padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem
classificado no concurso, é
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
RESOLUÇÃO:
Marco e Paulo tiveram médias iguais, porém o desvio padrão de
Marco é menor, significando que suas notas nas provas de
Matemática, Português e Conhe cimentos Gerais estão mais
próximas da média do que as respectivas notas de Paulo. Desta
forma, as notas de Marco são mais regulares (têm desvio padrão
me nor) e, portanto, ele foi mais bem classificado.
Resposta: B
3. (FGV) – Uma lista de quatro números inteiros tem média 7 e
diferença entre o maior e o menor dos números igual a 24. A moda e
a mediana da lista são, ambas, iguais a 8. Assim, o desvio padrão da
lista é igual a
a) �

69
b) �

70
c) �

71
d) �

72
e) �

73
RESOLUÇÃO:
Sejam x1, x2, x3 e x4 números inteiros, onde x1 é o menor deles e
x4 o maior.
De acordo com o enunciado, temos:
I) = 7 ⇔ x1 + x2 + x3 + x4 = 28
II) Como a moda e a mediana da lista, são, ambas, iguais a 8,
o rol dessa distribuição é: x1, 8, 8, x4
III) ⇔ ⇔ 
IV) Tabela dos desvios
Média dos quadrados dos desvios:
= = 73
VI) Assim, o desvio padrão da lista é igual a ����73.
Resposta: E
x1 + x2 + x3 + x4
–––––––––––––––––
4
x4 – x1 = 24
x1 + x4 = 28 – (8 + 8)
� –x1 + x4 = 24
x1 + x4 = 12
� x1 = – 6
x4 = 18
�
Desvio
–6 –6 – 7 = –13
8 8 – 7 = 1
8 8 – 7 = 1
18 18 – 7 = 11
(–13)2 + 12 + 12 + 112
–––––––––––––––––––––
4
292
–––––
4
Mate-
mática
Portu-
guês
Conheci-
mentos
Gerais
Média Mediana
Desvio
Padrão
Marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
– 27
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1. Razões
A razão entre dois números a e b (b ≠ 0), nessa
ordem, é o quociente (ou a : b). O número a é
chamado primeiro termo ou antecedente e o número b
é chamado segundo termo ou conse quen te. 
Assim, por exemplo,
a) a razão entre 3 e 2 é ou 1,5.
b) a razão entre 6 e 3 é ou 2.
A razão inversa entre dois números a e b (a ≠ 0),
nessa ordem, é o quociente (ou b : a).
Assim, por exemplo,
a) a razão inversa entre 3 e 2 é .
b) a razão inversa entre 5 e 8 é ou 1,6.
2. Definição de Proporção
Dizemos que os números a, b, c e d (b ≠ 0 e 
d ≠ 0), nessa ordem, formam uma proporção se, e
somente se, a razão entre a e b é igual à razão entre c e
d. Indica-se: por = (ou a : b = c : d), em que 
a e d são chamados extremos e b e c são chamados
meios.
Uma proporção é, portanto, a igualdade de duas
razões.
• Assim, por exemplo, a razão entre 4 e 2 é 2, a
razão entre 6 e 3 também é 2 e, portanto, = 
(lê-se, 4 está para 2, assim como 6 está para 3) e,
portanto, os números 4, 2, 6 e 3, nessa ordem,formam
uma proporção.
• Os números 2, 4, 6 e 3, nessa ordem, não
formam uma proporção, pois ≠ .
3. Propriedades das Proporções
Dados os números a, b, c e d (b ≠ 0 e d ≠ 0), são
válidas as seguintes propriedades:
Propriedade fundamental
Assim, por exemplo, 
= ⇔ 3 . 10 = 5 . 6
ou
, 
desde que a ≠ 0 e c ≠ 0.
Assim, por exemplo,
= ⇔ = ⇔ = 
Assim, por exemplo,
= ⇔ = = =
4. Grandezas Proporcionais
Definição
Neste capítulo, letras maiúsculas do nosso alfabeto
representarão grandezas quaisquer e letras mi núsculas
do nosso alfabeto, cada uma com um índice numé rico,
representarão os valores dessas grandezas. As sim,
sendo A uma grandeza, indicaremos por a1, a2, a3, … os
valores que essa grandeza assume num dado
problema e serão representados pela sequência 
A = (a1, a2, a3, …). Em um problema qualquer, ao in di car -
mos por A = (a1, a2, a3, …) e B = (b1, b2, b3, …) as
grandezas A e B e os seus respectivos valores, esta re -
mos afirmando que, neste problema, “quando a gran de -
za A assume o valor a1, a grandeza B assume o valor
b1”; “quando a grandeza A assume o valor a2, a gran de -
za B as sume o valor b2”; “quando a grandeza A as sume
o va lor a3, a grandeza B assume o valor b3”, e assim por
diante.
Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)
Uma grandeza A é diretamente proporcional a
uma grandeza B se, e somente se, os quocientes entre
a
––
b
3
––
2
6
––
3
b
––
a
2
––
3
8
––
5
a
––
b
c
––
d
4––2
6––3
2––4
6––3
a c
––– = ––– ⇔ a.d = b.c
b d
3
–––
5
6
–––
10
a c a + b c + d
––– = ––– ⇔ ––––––– = –––––––
b d b d
a c a + b c + d
––– = ––– ⇔ ––––––– = –––––––
b d a c
3
–––
5
6
–––
10
3 + 5
–––––––
5
6 + 10
––––––––
10
8
–––
5
16
–––
10
a c a c a + c
––– = ––– ⇔ ––– = –– – = ––––––
b d b d b + d
3
–––
5
6
–––
10
3
–––
5
6
–––
10
3 + 6
––––––––
5 + 10
9
––––
15
MÓDULO 18 Razões e Proporções
C4_Curso_D_MATEMATICA_ROSE_2020 27/04/2020 10:43 Página 28
– 29
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
os valores de A e os corres pondentes valores de B
forem constantes. Assim, se A = (a1, a2, a3, …) e 
B = (b1, b2, b3, ...) são grandezas diretamente
proporcionais, então:
Assim, por exemplo, considere a tabela de valores
das grandezas distância (em quilômetros) percorrida e
tempo (em horas) gasto para percorrê-la de um trem
que viaja, com velocidade constante, a 80km/h.
Observe que:
= = = = 80
e, neste caso, as grandezas distância e tempo são
diretamente proporcionais.
Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)
Uma grandeza A é inversamente propor cio nal a
uma grandeza B se, e somente se, os produtos entre
os valores de A e os corres pondentes valores de B
forem constantes. Assim, se A = (a1, a2, a3, ...) e 
B = (b1, b2, b3, ...) são grandezas inver samente
propor cionais, então:
Assim, por exemplo, considere a tabela de valores
das grandezas velocidade (em quilômetros por hora)
desenvolvida e tempo (em horas) necessário para um
trem, com velocidade constante, realizar uma viagem de
240 km.
Observe que: 40 . 6 = 80 . 3 = 120 . 2 = 240 . 1
e, neste caso, as grandezas velocidade e tempo são
inversamente proporcionais.
Observações importantes
1) Se A é GDP a B, então B é GDP a A. Se A é GIP
a B, então B é GIP a A.
2) Quando dizemos: “A e B são grandezas pro por -
cio nais”, subentende-se que “A é direta mente propor -
cional a B”.
3) Existem grandezas que não são direta nem
inversamente proporcionais.
4) Se a grandeza A = (a1, a2, a3, ...) é in ver samente
proporcional à grandeza B = (b1, b2, b3, ...), então a
gran deza A = (a1, a2, a3, ...) é diretamente proporcional 
à grandeza B’= , , ,… , com b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, 
b3 ≠ 0,... 
1. Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente pro -
porcionais, então o valor de x + y é:
a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
Resolução
Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente propor -
cionais, então:
= =
De = , temos: x = = 4
De = , temos: y = = 28
Assim sendo, x + y = 32
Resposta: E
2. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são
grandezas inversamente proporcionais.
Resolução
Se (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) forem grandezas inversamente
proporcionais, então:
1 . 12 = 2 . y = x . 4 ⇔ 2y = 12 e 4x = 12 ⇔ y = 6 e x = 3
Resposta: x = 3 e y = 6
3. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais
aos números 2, 3 e 5.
Resolução
Sendo x, y e z as partes, temos:
⇒ ⇒
⇒ = = = ⇒
Resposta: As partes são: 32, 48, 80.
a1 a2 a3
–––– = –––– = –––– = ....
b1 b2 b3
40––––
1––2
80–––
1
160––––
2
240––––
3
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = …
� 1–––b1
1–––
b2
1–––
b3 �
DISTÂNCIA (km) 40 80 160 240
TEMPO (horas) 1/2 1 2 3
VELOCIDADE (km/h) 40 80 120 240
TEMPO (horas) 6 3 2 1
Exercícios Resolvidos
3
–––
6
x
–––
8
14
–––
y
3
–––
6
x
–––
8
3 . 8
––––––
6
3
–––
6
14
–––
y
6 . 14
––––––
3
�
x y z 
–– = –– = ––
2 3 5 
x + y + z = 160 �
x + y + z x y z 
–––––––––– = ––– = ––– = –––
10 2 3 5
x + y + z = 160
160
––––
10
x
––
2
y
––
3
z
––
5 �
x
16 = –– ⇒ x = 32
2
y
16 = –– ⇒ x = 48
3
z
16 = –– ⇒ x = 80
5
C4_Curso_D_MATEMATICA_ROSE_2020 27/04/2020 10:43 Página 29
1. Em um teleférico turístico, bondinhos saem de esta -
ções ao nível do mar e do topo de uma montanha. A
travessia dura 1,5 minuto e ambos os bondinhos se
deslocam à mesma velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A
partir da estação ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que
havia saído do topo da montanha.
Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho A? 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
RESOLUÇÃO:
Seja D a distância entre os pontos de partida no nível do mar e no
topo da montanha.
O tempo que cada bonde percorre essa distância é 1,5 minuto, ou
seja, 90s.
Daí, temos:
A distância percorrida por A em 40s será:
. 40 = D
Logo, B percorreu D; e seu tempo de deslocamento 
será = 50 segundos.
Assim A partiu 10 segundos após B.
Resposta: B
2. (FGV) – Sueli colocou 40 mL de café em uma xícara vazia de
80 mL, e 40 mL de leite em outra xícara vazia de mesmo tamanho. Em
seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira xícara para a
segunda e, depois de misturar bem, transferiu metade do novo
conteúdo da segunda xícara de volta para a primeira. Do conteúdo final
da primeira xícara, a fração correspondente ao leite é
a) . b) . c) . d) . e) .
RESOLUÇÃO:
I) Quando Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira
xícara para a segunda, a segunda xícara ficou com 20 m� de
café e 40 m� de leite, totalizando 60 m� de café com leite.
II) Quando transferiu metade do conteúdo da segunda para a
primeira xícara, transferiu 
. 30 m� de café e . 30 m� de leite.
III) Assim, a primeira xícara ficou com uma quan tidade de café
igual a 20 m� + . 30 m� = 30 m�, e uma quantidade de leite
igual a . 30 m� = 20 m�
Desta forma, a fração correspondente ao leite é:
= 
Resposta: D
D
VB = VA = ––––
90
D
––––
90
4
–––
9
5
–––
9
5
–– D
9
––––––––––
D
–––
90
1
–––
4
1
–––
3
3
–––
8
2
–––
5
1
–––
2
20
–––
60
40
–––
60
20
–––
60
40
–––
60
20 m�
–––––––––––––––
30 m� + 20 m�
2
–––
5
30 –
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3. (UNESP) – Em um dia de aula, faltaram 3 alunas e 2 alunos
porque os cinco estavam gripados. Dos alunos e alunas que foram à
aula, 2 meninos e 1 menina também estavam gripados. Dentre os
meninos presentes à aula, a porcentagem dos que estavam gripados
era 8% e, dentre as meninas, a porcentagem das que estavam
gripadas era 5%. Nos dias em que a turma está completa, a
porcentagem de meninos nessa turma é de
a) 52%. b) 50%. c) 54%.
d) 56%. e) 46%.
RESOLUÇÃO:
Sejam h e m os números de meninos e meninas respectivamente,
desta sala, quando a sala esta completa. 
8% (h – 2) = 2 ⇔ (h – 2) = 2 ⇔ h = 27
5% (m – 3) = 1⇔ (m – 3) = 1⇔ m = 23
A porcentagem de meninos na sala é
= = = 0,54 = 54%Resposta: C
4. Um produtor de milho utiliza uma área de 160
hectares para as suas atividades agrícolas. Essa
área é dividida em duas partes: uma de 40
hectares, com maior produti vidade, e outra, de 120 hectares, com
menor produti vidade. 
A produtividade é dada pela razão entre a produção, em tone lada, e a
área cultivada. Sabe-se que a área de 40 hec tares tem produtividade
igual a 2,5 vezes à da outra. Esse fazendeiro pretende aumentar sua
produção total em 15%, aumentando o tamanho da sua propriedade.
Para tanto, pretende comprar uma parte de uma fazenda vizinha, que
possui a mesma produtividade da parte de 120 hectares de suas terras. 
Qual é a área mínima, em hectare, que o produtor preci sará comprar? 
a) 36 b) 33 c) 27 d) 24 e) 21 
RESOLUÇÃO:
Sendo p e 2,5p as produtividades das áreas 120ha e 40ha,
respectivamente, a produção é: 
120p + 40 . 2,5p = 220 p
Comprando uma parte de uma fazenda vizinha, a nova produção
terá um aumento de 
15% . 220p = 33 . p, portanto a área a ser comprada é de 33 ha. 
Resposta: B
27
––––
50
27
––––––
27+23
h
–––––
h+m
8
––––
100
5
––––
100
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32 –
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Trigonometria FRENTE 3
MÓDULO 15 Função Seno, Cosseno e Tangente
1. Função Seno
É a função f: � → � que a cada número real x
associa o número real y = sen x.
f: � → � � f(x) = y = sen x
Domínio de f: �
Contradomínio de f: �
Imagem de f: [–1; 1]
2. Função Cosseno
É a função f: � → � que a cada número real x
associa o número real y = cos x.
f: � → � � f(x) = y = cos x
Domínio de f: �
Contradomínio de f: �
Imagem de f: [ –1; 1 ]
3. Função Tangente
É a função f: A → � que a cada x ∈ A associa o
número real y = tg x.
f: A → � | f(x) = y = tg x
Domínio de f: 
A = � – + nπ (n ∈ �)
Contradomínio de f: �
Imagem de f: �
4. Funções Cotangente, Secante e Cossecante
O estudo dessas funções pode ser feito a partir de
três funções já es tu dadas (seno, cosseno e tan gente),
lembrando-se que:
Como essas funções não exis tem quando o
denominador se anula, te re mos como principais conse -
quên cias:
� π–––2 �
1
cotg x = ––––––
tg x
1
sec x = –––––––
cos x
1
cossec x = –––––––
sen x
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– 33
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A
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EM
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A
 D
• Função cotangente
Domínio: 
{x ∈ � � x � n . π (n ∈ �)}
Imagem: �
• Função secante
Domínio: 
{x ∈ � � x � π/2 + n . π, (n ∈ �)}
Imagem: 
{y ∈ � � y � – 1 ou y � 1}
• Função cossecante
Domínio: 
{x ∈ � � x � n . π (n ∈ �)}
Imagem: 
{y ∈ � � y � – 1 ou y � 1}
Observação
A partir do ciclo trigonométrico, podemos obter os
valores apresen ta dos no quadro abaixo.
ARCO (X)
Graus Radianos sen x cos x tg x
0° 0 0 1 0
30°
π
––––
6
1
––––
2
���3
––––
2
���3
––––
3
45°
π
––––
4
���2
––––
2
���2
––––
2
1
60°
π
––––
3
���3
––––
2
1
––––
2
���3
90°
π
––––
2
1 0 �∃
180° π 0 – 1 0
270°
3π
––––
2
– 1 0 �∃
360° 2π 0 1 0
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1. (VUNESP) – Seja n o número de soluções reais da equação
2sen2(x) – 5sen (x) + 2 = 0, para x ∈ [0, 2π]. Assim, n pertence ao
intervalo:
a) [���2 +1; π] b) ���2 – 1; c) ���3; 
d) [0; π/2] e) [���7; π2]
RESOLUÇÃO:
Para x ∈ [0, 2π], temos:
2sen2(x) – 5sen(x) + 2 = 0 ⇔ sen x = ⇔ x = ou x = 
Dessa forma, conclui-se que n = 2 ∈ ���3; .
Resposta: C
2. (MODELO ENEM) – No setor de pintura de peças em uma
fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo
conforme a expressão:
P(t) = 50 + 30 . cos t + , t > 0.
O valor de t para o qual a pressão é mínima pode ser:
a) 3π b) π c) 2π d) e)
RESOLUÇÃO:
Como – 1 ≤ cos t + ≤ 1, o valor mínimo de P(t) é obtido
quando cos t + = – 1. Como t > 0, temos:
t + = π + n . 2π (n ∈ �) ⇔ t = + n . 2π (n ∈ �).
Os possíveis valores de t, são:
; ; ; …
Dentre as alternativas, temos: t = 
Resposta: D 
� π––2 �
π
––
2
3π
–––
2
� π––2 �
� π––2 �
π
––
2
π
––
2
π
––
2
5π
–––
2
9π
–––
2
5π
–––
2
���5
––––
2 	�
π2
–––
3 	�
1
––
2
π
––
6
5π
–––
6
π2
–––
3 	�
34 –
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3. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles
que apresentam ciclos bem definidos de produção,
consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a
sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços
elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no
mês de produção máxima da safra. 
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais,
do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela 
função P(x) = 8 + 5 cos onde x representa o mês do ano,
sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e
assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. 
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado). 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
a) janeiro. b) abril. c) junho. 
d) julho. e) outubro. 
RESOLUÇÃO:
O mês de produção máxima ocorre quando o preço é mais baixo,
assim, deve-se ter:
cos = –1
Fazendo = π, tem-se:
πx – π = 6π , πx = 7π , x = 7, que corresponde ao mês de julho.
Resposta: D
4. (VUNESP) – Uma máquina produz diaria mente x dezenas de
certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de
venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais,
respectiva mente, pelas funções 
C(x) = 2 – cos e V(x) = 3���2 sen , 0 � x � 6.
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:
a) 500 b) 750 c) 1000 d) 2000 e) 3000
RESOLUÇÃO:
Para x dezenas de certo produto, o lucro L(x) em milhares de reais
é obtido por L(x) = V(x) – C(x).
Para x = 3, tem-se:
L(3) = 3 . ���2 . sen – �2 – cos 	 =
= 3 . ���2 . sen – 2 + cos = 3 . ���2 . – 2 + 0 = 3 – 2 = 1
Por tanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas
dessas peças é 1000.
Resposta: C
� πx – π–––––––6 �
3 . π�–––––�12
π�––�4
���2
––––
2
πx – π�––––––�6
πx – π
–––––––
6
xπ
––––
6 �� �
xπ
––––
12 �
3 . π�–––––�6
π�––�4
– 35
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A
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Sejam f e g duas funções trigonométricas de variá vel x. Resol ver a inequação f(x) < g(x) nada mais é que obter o
conjunto dos valores de x que tornam verdadeira a sen tença f(x) < g(x).
É importante observar que quase todas as inequa ções trigonométricas são redutíveis a sen x > α, sen x < α, 
cos x > α, cos x < α, tg x > α ou tg x < α (em que α é um número real dado), chamadas inequações fun damentais. É,
portanto, necessário conhe cer os pro cessos reso lutivos de cada uma dessas inequações. 
MÓDULO 16 Inequações Trigonométricos
1. (UNIRIO) – Obtenha o conjunto solução da ine quação 
sen x � , sendo 0 � x < 2π.
RESOLUÇÃO:
Observando o ciclo trigonométrico
notamos que ⇒ � x � .
Resposta: x ∈ � � x �
2. (MACKENZIE) – Quando resolvida no intervalo [0; 2π], o número
de qua drantes nos quais a desi gual dade 2 cos x < ���3 apre sen ta
soluções é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
RESOLUÇÃO:
Para x ∈ [0; 2π], temos 2 cos x < ���3 ⇒ cos x < ⇒ < x < .
De acordo com a figura, a inequação apresenta solução nos
quatro qua drantes.
Resposta: E
1
––
2
�
0 � x < 2π
1
sen x � ––
2
π
–––
6
5π
––––
6
� π–––6
5π
––––
6 �
���3
–––
2
π
––
6
11π
––––
6
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3. Se 0 < x < π e 0 < tg x < 1, então:
a) 0 < x < b) π/4 < x <
c) < x < d) 3π/4 < x < π
e) π < x �
RESOLUÇÃO:
No ciclo:
Assim, 0 < x < π e 0 < tg x < 1 ⇔ 0 < x < .
Resposta: A
4. (MACKENZIE) – A função f(x) = 3cos + x , no intervalo 
0 ≤ x ≤ 2π, é positiva para
a) 0 < x < 2π
b) π < x < 2π
c) 0 < x < π
d) < x < 
e) 0 < x < 
RESOLUÇÃO:
Supondo que a sentença que define f, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, seja 
f(x) = 3 . cos + π , temos:
f(x) > 0 ⇒ 3 . cos + π >0 ⇔
⇔ 0 < + π < ou < + π < 2π ⇔
⇔ – π < < – ou < < π ⇔
⇔ – 2π < x < – π ou π < x < 2π ⇔
⇔ π < x < 2π (pois 0 ≤ x ≤ 2π)
Resposta: B
5. (UEL) – Se x ∈ [0; 2π], então cos x > se, e somente se, 
satis fizer à condição:
a) < x < 
b) < x <
c) π < x < 2π
d) < x < ou < x < 2π
e) 0 < x < ou < x < 2π
RESOLUÇÃO:
Para x ∈ [0; 2π], temos:
cos x > ⇔ 0 � x < ou < x � 2π
Resposta: E
π
––
4
π
––
2
π
––
2
3π
–––
4
5π
–––
4
π
––
4
1
––
2
π
––
3
5π
–––
3
π
––
3
π
––
2
π
––
2
3π
–––
2
5π
–––
3
π
––
3
5π
–––
3
1
–––
2
π
–––
3
5π
–––
3
� x––2
π
––
2
� x––2
x
––
2
�
3π
–––
2
π
––
2
�
� x––2 �
π
––
2
x
––
2
3π
–––
2
x
––
2
x
––
2
π
––
2
π
––
2
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38 –
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Para calcularmos as funções trigonométricas da soma (a + b) e da diferença (a – b) de dois números reais quaisquer
a e b, basta utilizar mos as fórmulas de adição e sub tração de arcos, desde que sejam conhe cidas as funções circulares
de a e b. Demonstra-se que:
Observação
As fórmulas dos itens V e VI só serão aplicadas se a, b, (a + b) e (a – b) forem diferentes de + n . π, (n ∈ �).
l. sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
ll. sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a
III. cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b
IV. cos (a – b) = cos a cos b + sen a sen b
V.
tg a + tg b
tg (a + b)= ––––––––––––––––
1 – tg a . tg b
VI.
tg a – tg b
tg (a – b)=––––––––––––––––
1 + tg a . tg b
π
––
2
MÓDULO 17 Adição e Subtração de Arcos
1. (PUC) – O valor de sen 15° é:
a) b) c) –
d) e)
RESOLUÇÃO:
sen 15° = sen (60° – 45°) =
= sen 60° . cos 45° – cos 60° . sen 45° =
= . – . = 
Resposta: E
2. (MACKENZIE) – Se sen(x + π) = cos(π – x), então x pode ser:
a) π b) c)
d) e)
RESOLUÇÃO:
sen (x + π) = sen x . cos π + cos x . sen π = – sen x
cos (π – x) = cos π . cos x + sen π . sen x = – cos x
Então: sen (x + π) = cos (π – x) ⇔ – sen x = – cos x ⇔ tg x = 1
Donde x pode ser .
Resposta: D
���2
–––
2
���3
–––
2
���2 – 1
–––––––
4
���3 – 2
–––––––
4
���6 – ���2
––––––––
4
���5
–––
4
���6 – ���2
––––––––
4
���2
–––
2
1
–––
2
���2
–––
2
���3
–––
2
π
–––
2
3π
–––
4
5π
–––
4
7π
–––
4
5π
–—
4
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3. (UEP) – O valor de y = sen 75° . cos 75° + sen 15° . cos 15° é:
a) y = 1 b) y = 2 c) y = 0
d) y = e) y =
RESOLUÇÃO:
y = sen 75° . cos 75° + sen 15° . cos 15°
Sendo cos 75° = sen 15°, temos:
y = sen 75° . sen 15° + cos 75° . cos 15°
Lembrando que:
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b então:
y = cos(75° – 15°) = cos 60° = 
Resposta: D
4. (FUVEST) – Sabe-se que existem números reais A e x0, sendo 
A > 0, tais que sen x + 2 cos x = A cos(x – x0) para todo x real. O valor
de A é igual a 
a) ���2 b) ���3 c) ���5
d) 2���2 e) 2���3
RESOLUÇÃO:
sen x + 2 . cos x = A cos (x – x0) ⇒
⇒ sen x + 2 . cos x = A cos x0 cos x + A sen x0 sen x
Como a igualdade é verdadeira para todo x real, é suficiente
termos:
⇒ 
Somando as equações membro a membro, temos:
A2(cos2x0 + sen
2x0) = 5 ⇒ A = ���5, pois A > 0
Resposta: C
1
—
2
�A cos x0 = 2A sen x0 = 1 �
A2 cos2 x0 = 4
A2 sen2 x0 = 1
1
–––
2
���3
––––
2
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1. (FAAP) – Sabendo que sen x = , calcule cos (2x).
RESOLUÇÃO:
cos (2x) = 1 – 2 sen2x = 1 – 2 . 
2
= 
Resposta: cos (2x) =
2. (FGV) – Sabendo que x pertence ao segundo quadrante e que 
sen x = , podemos afirmar que sen 2x + cos 2x é igual a:
a) b) c) 0
d) e)
RESOLUÇÃO:
1) Se sen x = e x pertencente ao segundo quadrante, 
então cos x = – ������������1 – sen2x = – 1 – � �2 ⇒
⇒ cos x = –
2) sen 2x = 2 sen x . cos x = 2 . . �– � = –
e
cos 2x = cos2x – sen2x =
1
–––
3
� 1––3 �
7
––
9
7
––
9
1
––
4
5 – ����15
––––––––
4
7 + ����15
–––––––––
8
7 – ����15
–––––––––
8
5 + ����15
–––––––––
4
1
–––
4
1
–––
4
����15
–––––
4
1
–––
4
����15
–––––
4
����15
–––––
8
40 –
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1. Definição
A partir das fórmulas de adição de arcos, podemos
deduzir fórmulas para o cálculo das funções trigono -
métricas de um arco duplo (2a), bastando, para isso,
admitir b = a nas fórmulas sen (a + b), cos (a + b) e 
tg (a + b).
Cálculo de cos (2a)
cos (2a) = cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a
Assim:
ou ainda:
• Lembrando que sen2a = 1 – cos2a, temos:
cos (2a) = cos2a – (1 – cos2a) = cos2a – 1 + cos2a
Assim:
• Lembrando que cos2a = 1 – sen2a, temos:
cos (2a) = (1 – sen2a) – sen2a = 1 – sen2a – sen2a
Assim: 
Cálculo de sen (2a)
sen (2a) = sen (a + a) =
= sen a . cos a + sen a . cos a
Assim:
Cálculo de tg (2a)
tg (2a) = tg (a + a) =
Assim: ,
com a � + n . π e a � + n . , (n ∈ �)
Portanto:
cos (2a) = cos2a – sen2a
cos (2a) = 2 cos2a – 1
cos (2a) = 1 – 2 sen2a
sen (2a) = 2 . sen a . cos a
tg a + tg a
–––––––––––––
1 – tg a . tg a
2 tg a
tg (2a) = ––––––––––
1 – tg2a
π
–––
2
π
–––
4
π
–––
2
cos2a – sen2a
cos (2a) = � 2 cos2 a – 1
1 – 2 sen2a
sen (2a) = 2 sen a . cos a
2 tg a
tg (2a) = ––––––––––
1 – tg2a
MÓDULO 18 Arco Duplo
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= �– �
2
– � �2= = 
3) sen 2x + cos 2x = – + = 
Resposta: D
3. (FUVEST) – O número de soluções da equação sen x = sen 2x,
no intervalo [0, 2π], é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
sen x = sen 2x ⇔ sen x – 2 sen x cos x = 0 ⇔
⇔ sen x . (1 – 2 cos x) = 0 ⇔ sen x = 0 ou cos x = 
Assim: sen x = 0 e 0 ≤ x ≤ 2π x = 0, x = π, x = 2π
cos x = e 0 ≤ x ≤ 2π x = , x = 
Logo a equação tem cinco soluções, no intervalo [0; 2π]
Resposta: E
4. (MACKENZIE) – Se tg x − cotg x = 1, então o valor de tg 2x é
a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) –2
RESOLUÇÃO:
tg x – cotg x = 1 ⇔ – = 1 ⇔
⇔ = 1 ⇔ = – ⇔
⇔ = – ⇔ = – 2 ⇔ tg 2x = – 2
Resposta: E
1
––
2
1
––
2
π
––
3
5π
–––
3
1
––
4
14
––––
16
7
––
8
7
––
8
7 – ����15
–––––––––
8
����15
–––––
4
����15
–––––
8
sen x
––––––
cos x
cos x
––––––
sen x
sen2x – cos2x
–––––––––––––
cos x . sen x
cos2x – sen2x
––––––––––––––
2 sen x . cos x
1
–––
2
cos(2x)
––––––––
sen(2x)
1
–––
2
sen(2x)
––––––––
cos(2x)
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1. (MACKENZIE) – O número de anagramas da pa la vra BOLINHA
começados por consoante e ter minados por vogal é igual a:
a) 120 b) 720 c) 1440 d) 1680 e) 5040
RESOLUÇÃO:
= 1440• • • • • •
↓ ↓
Entra Entra
consoante vogal
ou
4 . P5 . 3 = 4 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 1 440
Resposta: C
2. (MACKENZIE) – Num quadro, as chaves de 6 salas e de 2
banheiros, todas distintas, estão dispostas em duas filas com quatro
chaves cada uma. Se as chaves dos banheiros devem ocupar as
extremidades da primeira fila, o número de formas diferentes de se
colocar as chaves no quadro é: 
a) 6! b) 6. 6! c) 4. 6! d) 8! e) 2. 6!
RESOLUÇÃO:
2P6 = 2 . 6!
Resposta: E
4 5 4 3 2 1 3
B S S B
S S S S
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Álgebra FRENTE 4
MÓDULO 15 Permutações
Permutações Simples
Definição
Seja A um conjunto com n elementos, os arranjos
simples n a n dos n elementos de A são chamados
permutações simples de n elementos.
Observação
Note que, de acordo com a de finição, as per mu -
tações são agru pamentos que só diferem entre si pela
ordem de seus elementos.
Cálculo do número de permutações simples
Representando o número total de permutações de n
elementos com o símbolo Pn, e fazendo k = n nas
fórmulas do item cálculo do número de arranjos
simples, temos
ou ainda
Pn = n . (n – 1) . (n – 2) … 1
Pn = n!
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3. (FEI) – Numa sala há dez cadeiras numeradas de um a dez. De
quantas maneiras diferentes podem-se dispor oito pessoas nessas
cadeiras de modo que a soma dos números das cadeiras não ocupadas
seja igual a dez?
a) 8! b) 2 x 8! c) 3 x 8!
d) 4 x 8! e) 6 x 8!
RESOLUÇÃO:
As cadeiras não ocupadas podem ser as de números1 e 9, 2 e 
8, 3 e 7 ou 4 e 6.
Para cada uma dessas quatro possibilidades, as oito pessoas
podem ser dispostas nas demais cadeiras de P8 = 8! modos.
Assim, o número de maneiras pedido é 4 . 8!.
Resposta: D
4. (UNESP) – O número de maneiras que 3 pessoas podem 
sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que, entre 
duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma
cadeira vazia, é
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
RESOLUÇÃO:
Se A, B e C forem as três pessoas, elas poderão se sentar de duas
maneiras diferentes deixando sempre uma só cadeira vazia entre
elas. As três pessoas poderão se sentar nas posições 1a. , 3a. e 5a. ou
nas posições 2a. , 4a. e 6a. , conforme o esquema.
ou
Em cada caso podem permutar entre si e, portanto, o número
total de possibilidades é 2 . P3 = 2 . 3! = 2 . 6 = 12
Resposta: D
5. (MACKENZIE) – O número de maneiras distintas de um grupo
formado por dois meninos e por cinco meninas posicionar-se lado a
lado para uma “selfie” de tal maneira que cada menino tenha, à sua
esquerda e à sua direita, pelo menos uma menina é
a) 120 b) 240 c) 720
d) 960 e) 1440
RESOLUÇÃO:
I) Para que cada menino tenha, à sua esquerda e à sua direita,
pelo menos uma menina, devemos ter nos “extremos” da foto
duas meninas, totalizando 5 . 4 = 20 maneiras distintas de
posicioná-las.
II) As cinco pessoas restantes, podem se posicionar de P5 = 5! = 120
maneiras entre as duas meninas já escolhidas e posicionadas nos
“extremos” da foto. Deste total, existem 2 . P4 = 2 . 4! = 48
maneiras onde os meninos ficam juntos, lado a lado.
Logo, o total de “selfies” será: 5 . 4 (120 – 48) = 1440.
Resposta: E
CBA
CBA
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1. Definição
Sendo A um conjunto com n elementos e k um
número natural, com k � n, chama-se combinação
simples k a k, dos n elementos de A, a cada
subconjunto de k elementos de A.
Observação
Note que, de acordo com a de fi nição, as com bina -
ções são agru pamentos que só diferem entre si pela
natureza de seus elementos.
2. Cálculo do Número de Combinações Simples
Cn, k é o símbolo utilizado para representar o nú mero
total de com binações de n, k a k. Permutando os k
elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk
arranjos distintos. Permutando os k elementos das Cn, k
combinações, obtemos Pk .Cn,k ar ranjos simples, que
são exata mente todos os arranjos simples de n
elementos k a k.
Assim sendo, 
e portanto OU 
ou
Cn,k . Pk = An,k
An, k
Cn, k = ——––– 
Pk
n!
Cn, k = —————
k!(n – k)!
n
Cn, k = � �k
MÓDULO 16 Combinações Simples
1. (MACKENZIE) – Sobre uma circunferência são marcados 7 pon -
tos distintos. Com vértices nesses pontos, o número de triângulos
distintos que podemos ter é:
a) 210 b) 40 c) 35 d) 14 e) 17
RESOLUÇÃO:
Cada 3 pontos distintos considerados determinam um triângulo.
Assim, o número de triângulos é:
7 . 6 . 5
C7,3 = –––––––––– = 35
3 . 2 . 1
Resposta: C
2. (UEPE) – Uma empresa tem doze diretores, entre os quais Júnior,
Daniela e Maria Eduarda. Quantas comissões de seis diretores podem
ser formadas, sempre contendo Júnior, Daniela e Maria Eduarda como
membros?
a) 48 b) 84 c) 112 d) 108 e) 104 
RESOLUÇÃO:
9 9!
C9;3 = � � = ––––– = 843 3! 6!
Resposta: B
Jr. Dan. M.E.
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3. (FUVEST) – Numa primeira fase de um campeonato de xadrez,
cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase, foram
realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
RESOLUÇÃO:
Sendo n o número de jogadores, temos:
n . (n – 1)
Cn, 2 = 78 ⇔ ––––––––––– = 78 ⇔ n2 – n – 156 = 0 ⇔
2 . 1
⇔ n = 13 ou n = – 12
Assim, n = 13, pois n > 0.
Resposta: D
4. (UEGO) – Entre os 486 funcionários de uma agroindústria, há seis
agrônomos e oito técnicos agrícolas. Deseja-se constituir uma
comissão formada com cinco destes 14 profissionais, sendo que a
comissão deve conter dois agrônomos e três técnicos agrícolas. A
quantidade de comissões diferentes que podem ser formadas é
a) 10080 b) 2002 c) 840 d) 71
RESOLUÇÃO:
C6,2 . C8,3 = 15 . 56 = 840
Resposta: C
5. (FUVEST) – Uma classe de Educação Física de um colégio é for -
mada por dez estudantes, todos com alturas dife ren tes. As alturas dos
estu dan tes, em ordem cres cente, serão designadas por h1, h2, ..., h10
(h1 < h2 < ... < h9 < h10). O professor vai escolher cinco desses estu -
dan tes para participar de uma demonstração na qual eles se
apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. 
Dos = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos o 
estudante cuja altura é h7 ocupará a posição central durante a
demonstração?
a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) 60
RESOLUÇÃO:
 
C6;2 C3;2
C6;2 . C3;2 = . = 15 . 3 = 45
Resposta: D
� 105 �
h7
6!
–––––
2! 4!
3!
–––––
2! 1!
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1. Considere todos os anagramas diferentes da palavra PERERECA.
Calcule
a) quantos são no total;
b) quantos começam por PE (nessa ordem) e ter minam por CA (em
qualquer ordem).
RESOLUÇÃO:
a) P8
(3, 2)
= = = 3360
b) P E R E R E C A
1 . P4
(2,2) . P2 = . 2! = 12
Respostas: a) 3360 b) 12
2. (ACCESS) – Às segundas-feiras, uma turma de colégio tem 
2 aulas de Matemática, 1 de Português, 1 de História e 1 de Geografia.
De quantos modos pode ser feito o horário dessa turma às segundas-
feiras?
a) 5 b) 10 c) 30 d) 60 e) 120
RESOLUÇÃO:
= = 60
Resposta: D
8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3!
––––––––––––––––
3! . 2 . 1
8!
–––––
3! 2!
4!
–––––
2! 2!
P5
––––
PM2
5 . 4 . 3 . 2 . 1
––––––––––––––
2 . 1
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1. Permutação com Repetição
Sejam α elementos iguais a a, β elementos iguais a
b, γ elementos iguais a c, . . ., λ elementos iguais a i,
num total de α + β + γ + ... + λ = n elementos.
O número de permutações dis tintas que podemos
obter com estes n elementos é:
2. Permutações Circulares
O número de permutações circulares de n elementos
é dado por P’ = (n - 1)!
Exemplo
De quantas maneiras diferentes 6 pessoas poderão
ser dispostas em uma mesa circular de 6 lugares?
Resolução
P’6 = (6 – 1)! = 5! = 120
3. Arranjos Com Repetição
O número de arranjos com repe ti ção de n elementos
k a k é dado por: 
Exemplo
Quantas placas de automóveis podem ser feitas
tendo cada uma 3 letras de um alfabeto de 26, seguidas
de 4 algarismos do sistema decimal?
Resolução 
A*
26;3
. A*10,4 = 26
3 . 104 = 175760000
4. Combinações com Repetição
O número de combinações com repetição de n
elementos k a k é dado por:
A*n, k = n
k
n + k – 1 
C*n; k = Cn + k – 1, k = � �k
n!
P* = ———————–
α! . β! . γ! … λ!
MÓDULO 17 Permutações, Arranjos e 
Combinações com Repetição
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3. (FGV) – Deseja-se criar uma senha para os usuários de um
sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C,
D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8.
Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem
todos distintos, o número total de senhas possíveis é:
a) 78 125 b) 7 200 c) 15 000 d) 6 420 e) 50
RESOLUÇÃO:
Letras Algarismos
As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 = 125 maneiras.
Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 
5 . 4 . 3 . 2 = 120 maneiras.
O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 
125 . 120 = 15 000.
Resposta: C
4. (UEL) – Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos
caixas eletrônicos, digitavam uma senha numérica composta por cinco
algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança da utilização desses
cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas
numéricas com seis algarismos.
Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em
quan to aumentou percentualmente a segurançana utilização dos
cartões?
a) 10% b) 90% c) 100% d) 900% e) 1900%
RESOLUÇÃO:
A quantidade de senhas com 5 algarismos é 
10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 105.
A quantidade de senhas com 6 algarismos é 
10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 106.
O aumento do número de senhas foi de 
106 – 105 = 105 . (10 – 1) = 9 . 105. 
O aumento percentual foi de = 9 = = 900%.
Resposta: D 
5. (FUVEST) – A figura a seguir representa parte do mapa de uma
cidade no qual estão assinaladas as casas de João (A), de Maria (B), a
escola (C) e um possível caminho que João percorre para, passando
pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos
distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para Norte
ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
RESOLUÇÃO:
De A até B, existem = 15 caminhos.
De B até C, existem = 10 caminhos.
De A até C, passando por B, existem 15 . 10 = 150 caminhos
Resposta: 150
Observação: de A até B, o número de caminhos é igual à quan -
tidade de anagramas da “palavra” NNLLLL, em que N é uma
quadra para Norte e L, uma quadra para Leste.
6!
––––––
2! 4!
5!
––––––
2! 3!
9 . 105
–––––––
105
900
–––––
100
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1. Conceito de Probabilidade
Seja uma experiência em que pode ocorrer qualquer
um de n resultados possíveis; cada um desses é cha mado
ponto amostral e o conjunto S de todos os pontos amos -
trais é chamado espaço amos tral; qualquer sub conjunto
A do espaço amostral S é chamado de evento.
Chama-se probabilidade de ocorrer um evento A de
um espaço amostral S � Ø ao número:
em que n(A) é o número de elementos de A, e n(S) é o
número de elementos de S.
Sendo S � Ø um espaço qualquer, A um evento de S
e A
––
, o com plementar de A em S, valem as seguintes
propriedades:
• P(Ø) = 0
• P(S) = 1
• 0 � P(A) � 1
• P(A) + P( A
––
) = 1
Exemplo
• Lança-se um dado comum e “honesto”. Lendo-
se o número da face voltada para cima, temos:
O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
O evento “número maior que 2” é A = {3, 4, 5, 6}
Assim, 
P(A) = = = e P( A
––
) = = ou
P(A
––
) = 1 – P(A) = 1 – =
• Na experiência, “re ti rar uma bola de uma urna que
contém quatro bolas brancas b1, b2, b3, b4, nume radas de
1 a 4, e três bolas pretas p1, p2, p3, numeradas de 1 a 3,
indistin guíveis pelo tato ou pela cor”, temos:
O espaço amostral é S = {b1, b2, b3, b4, p1, p2, p3}
O evento “bola branca” é A = {b1, b2, b3, b4}
O evento “número par” é B = {b2, b4, p2}
Assim, P(A) = = e P( A
–– 
) = 1 – = ;
P(B) = = e P(B
––
) = 1 – = 
O evento “bola branca e nú me ro par” é 
C = {b2, b4} e P(C) = .
n(A)
P(A) = ––––––
n(S)
n(A)
–––––
n(S)
4
––
6
2
––
3
2
––
6
1
––
3
2
––
3
1
––
3
n(A)––––
n(S)
4––
7
4––
7
3––
7
n(B)
–––– 
n(S)
3––
7
3––
7
4––
7
2–––
7
MÓDULO 18 Probabilidade
1. Joga-se um dado “honesto” de seis faces e lê-se o número da
face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter
a) o número 4.
RESOLUÇÃO: 
P(número 4) = 
b) um número ímpar.
RESOLUÇÃO: 
P(ímpar) = = 
1
––
6
3
––
6
1
––
2
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c) um número maior que 2.
RESOLUÇÃO:
P(no. > 2) = = 
d) um número menor que 7.
RESOLUÇÃO:
P(no. < 7) = = 1
e) um número maior que 6.
RESOLUÇÃO:
P(no. > 6) = = 0
2. (FGV) – A área da superfície da Terra é aproximadamente 510
milhões de km2. Um satélite artificial dirige-se alea toriamente para a
Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade cuja superfície tem
área igual a 102 km2?
a) 2 . 10–9 b) 2 . 10–8 c) 2 . 10–7
d) 2 . 10–6 e) 2 . 10–5
RESOLUÇÃO:
A probabilidade, no caso, é igual a
= = . 10–6 = 0,2 . 10–6 = 2 . 10–7
Resposta: C
3. (CESGRANRIO) – Os 240 cartões de um conjunto são nume -
rados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso um cartão
desse conjunto, a probabilidade de obter um cartão numerado com um
múltiplo de 13 é:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
240 13
6 18
P(múltiplo de 13) = = 
Resposta: B
4. (MACKENZIE) – Num grupo de 10 pessoas estão A e B. Escolhi -
das ao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de A e B serem
escolhidas é:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
I) Casos possíveis
C10;5 = = 252
II) Casos favoráveis
C8;3 = = 56
III) P = = 
Resposta: C
102km2
–––––––––––––
510 . 106km2
1
–––––––
5 . 106
1
–––
5
13
––––
240
3
–––
40
1
–––
26
1
–––
13
1
––
6
18
–––––
240
3
–––
40
1
–––
5
1
–––
10
2
–––
9
5
–––
9
9
–––
10
10 . 9 . 8 . 7 . 6
––––––––––––––
5 . 4 . 3 . 2 . 1
8 . 7 . 6
––––––––
3 . 2 . 1
56
–––––
252
2
–––
9
0
––
6
6
––
6
4
––
6
2
––
3
– 49
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
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5. (UNESC-SC) – Num sorteio, o número de participantes do sexo
masculino é 10 a mais que do feminino. Se a probabilidade de ser
sorteada uma pessoa do sexo masculino é 5/8, o número de partici -
pantes do sorteio é
a) 25 b) 50 c) 15 d) 40 e) 80
RESOLUÇÃO:
Sejam x e x + 10 os números de participantes dos sexos feminino
e masculino, respectivamente.
A probabilidade de ser sorteada uma pessoa do sexo masculino é 
= 
Portanto, = ⇔ 10x + 50 = 8x + 80 ⇔ 2x = 30 ⇔ x = 15
O número de participantes do sorteio é
2x + 10 = 2 . 15 + 10 = 40
Resposta: D
x + 10
–––––––––––
x + x + 10
5
–––
8
x + 10
––––––––
2x + 10
5
–––
8
50 –
M
A
T
EM
Á
T
IC
A
 D
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