Estado triplo de tensões

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ESTADO DE TENSÕES 
 
Exercício 1 
1. Deduzir as equações de equilíbrio para o estado triplo de tensões 
 
Parte 1 – Demonstração do Teorema de Cauchy 
Tomemos um elemento infinitesimal submetido a um estado triplo de tensões (ETT) 
onde as forças de campo e de volume são desprezadas (Figura 1). 
Figura 1 - Elemento Infinitesimal em ETT 
 
 
As tensões aplicadas no corpo podem ser analisadas em termos de tensões médias 
do elemento, decorrente dos infinitésimos das faces. Pode-se exigir equilíbrio de forças nesta 
configuração, com relação aos três eixos coordenados do sistema cartesiano: 
𝛴𝑀𝑥 = 0 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟏: +𝜎𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧.
𝑑𝑧
2
 − 𝜏𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧. 𝑑𝑦 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟐: −𝜎𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑑𝑦
2
 +𝜏𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑑𝑧 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟑: −𝜏𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧.
𝑑𝑦
2
 +𝜏𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧.
𝑑𝑧
2
 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟒: −𝜎𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧.
𝑑𝑧
2
 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟓: +𝜎𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑑𝑦
2
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
2 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟔: + 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧.
𝑑𝑦
2
− 𝜏𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧.
𝑑𝑧
2
 
𝛴𝑀𝑥 = 0 ⇒ 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 
De maneira análoga, ao desenvolver o equilíbrio com relação aos demais eixos, 
obtêm-se: 
𝛴𝑀𝑦 = 0 ⇒ 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 
𝛴𝑀𝑧 = 0 ⇒ 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 
Dessa maneira, o tensor de tensões que inicialmente se caracterizava por 9 termos, 
pode ser descrito por 6 termos, uma vez que tensões cisalhantes convergentes entre faces 
adjacentes possuem mesmo módulo e sentido (Teorema de Cauchy). 
 
Parte 2 – Equação geral de equilíbrio para o estado triplo de tensões 
Tomando o estado triplo de tensões da Figura 2 onde atuam forças de volume no 
elemento (gravitacionais, magnéticas...). 
Figura 2 - Elemento Infinitesimal em ETT com forças de volume 
 
 
Considerando um campo de variação de tensões, observamos que as tensões 
atuantes em cada face paralela do elemento são diferentes. Podemos considerar uma 
aproximação linear do valor das tensões através da expansão por séries de Taylor truncadas 
no primeiro termo, observando a variação do campo de tensões na direção especificada. Em 
temos matemáticos, podemos escrever as forças atuantes em cada face e exigir seu 
equilíbrio. 
𝛴𝐹𝑥 = 0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
X 
Y 
Z 
dx 
dy 
dz 
 
 
3 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟏: − (𝜏𝑥𝑦 +
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = −𝜏𝑥𝑦𝒅𝒙𝒅𝒛 − (
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛) 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟐: − (𝜏𝑥𝑧 +
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −𝜏𝑥𝑧𝒅𝒙𝒅𝒚 − (
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛) 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟑: − (𝜎𝑥 +
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝜎𝑥𝒅𝒚𝒅𝒛 − (
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥
𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛) 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟒: +𝜏𝑥𝑦𝒅𝒙𝒅𝒛 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟓: +𝜏𝑥𝑧𝒅𝒙𝒅𝒚 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟔: + 𝜎𝑥𝒅𝒚𝒅𝒛 
𝑭𝒐𝒓ç𝒂 𝒅𝒆 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆: + 𝑋𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 
 
𝛴𝐹𝑥 = 0 ⇒ (
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
) 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 = 𝑋𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 
𝛴𝐹𝑥 = 0 ⇒
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑧
= 𝑋 
De maneira similar, desenvolvendo os equilíbrios nas direções dos eixos Y e Z, 
obtemos: 
𝛴𝐹𝑦 = 0 ⇒
𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑧
= 𝑌 
𝛴𝐹𝑧 = 0 ⇒
𝜕𝜎𝑧
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥
= 𝑍 
Definindo o operador Nabla (∇𝑇), podemos escrever de maneira compacta: 
∇𝑇= {
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
} 
𝜎 = [
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
] 
𝐵 = {
𝑋
𝑌
𝑍
} 
𝛁𝑻𝝈 = 𝑩 
A equação geral de equilíbrio demonstrada constitui uma das três equações 
fundamentais da teoria da elasticidade linear. As demais (que não serão abordadas) são as 
equações constitutivas e de compatibilidade entre deformações e deslocamentos. 
 
Parte 3 – Equação geral de equilíbrio para um plano qualquer no estado triplo de 
tensões 
 
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Tomemos um elemento no qual se aplica um estado triplo de tensões e se despreza a 
aplicação de forças de volume (Figura 3). Podemos determinar o estado de tensões em um 
plano qualquer que passe pelo centro do elemento infinitesimal. Este plano compõe, 
conjuntamente às demais faces do elemento, uma região tetraédrica. 
Figura 3 - Plano genérico em um ETT 
 
 
Este plano pode ser determinado no espaço através de seus cossenos diretores 
(ângulos do versor normal �̂� com os eixos coordenados). 
 
Definimos então os cossenos diretores: 
𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 = cos (�̂�, 𝑥) 
𝑚 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 = cos (�̂�, 𝑦) 
𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝜓 = cos (�̂�, 𝑧) 
Seja S = (Sx, Sy, Sz) o tensor resultante de tensões no plano ABC. T pode ser 
decomposto em uma componente normal ao plano N e outra tangencial ao plano T. Por sua 
 
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vez, a componentes normais e tangenciais podem ser decompostas segundo as direções do 
sistema de coordenadas. Dessa forma, N = (Nx, Ny, Nz) e T = (Tx, Ty, Tz). 
De maneira similar, podemos projetar a área da face ABC nas áreas das faces 
paralelas aos eixos coordenados: 
𝐴𝑂𝐴𝐶 = 𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐴. 𝑙 
𝐴𝑂𝐵𝐶 = 𝐴𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙 = 𝐴. 𝑚 
𝐴𝑂𝐴𝐵 = 𝐴𝑧 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜓 = 𝐴. 𝑛 
Determinando as forças atuantes em cada face do elemento, podemos impor o 
equilíbrio na direção dos eixos coordenados. Para o eixo X, temos: 
𝛴𝐹𝑥 = 0 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟏: 𝐴. 𝑙. 𝜎𝑥 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟐: 𝐴. 𝑚. 𝜏𝑦𝑧 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟑: 𝐴. 𝑛. 𝜏𝑥𝑧 
𝑭𝒂𝒄𝒆 𝟒: − 𝐴. 𝑆𝑥 
𝛴𝐹𝑥 = 0 ⇒ 𝐴(𝑙. 𝜎𝑥 + 𝑚. 𝜏𝑦𝑧 + 𝑛. 𝜏𝑥𝑧 − 𝑆𝑥) = 0 
𝛴𝐹𝑥 = 0 ⇒ 𝑙. 𝜎𝑥 + 𝑚. 𝜏𝑦𝑧 + 𝑛. 𝜏𝑥𝑧 = 𝑆𝑥 
De maneira análoga, impondo a condição de equilíbrio para os demais eixos: 
𝛴𝐹𝑦 = 0 ⇒ 𝑙. 𝜏𝑥𝑦 + 𝑚. 𝜎𝑦 + 𝑛. 𝜏𝑥𝑧 = 𝑆𝑦 
𝛴𝐹𝑧 = 0 ⇒ 𝑙. 𝜏𝑥𝑦 + 𝑚. 𝜏𝑦𝑧 + 𝑛. 𝜎𝑧 = 𝑆𝑧 
Reescrevendo na forma matricial obtemos: 
[
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧
] {
𝑙
𝑚
𝑛
} = {
𝑆𝑥
𝑆𝑦
𝑆𝑧
} 
Dessa forma, dadas as condições de contorno do corpo e conhecidas as tensões 
atuantes no elemento, é possível determinar os componentes de tensão cartesianos em 
quaisquer planos contidos no elemento. De maneira especial, pode-se obter a componente 
de tensão normal (𝜎𝑛) somando-se as projeções das componentes cartesianas na direção 
normal ao plano de interesse: 
𝜎𝑛 = 𝑆𝑥. 𝑙 + 𝑆𝑦 . 𝑚 + 𝑆𝑧. 𝑛 = {
𝑆𝑥
𝑆𝑦
𝑆𝑧
} . {𝑙 𝑚 𝑛} 
Utilizando o resultado matricial obtido,