Livro teoria da elasticidade

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Teoria da Elasticidade
uma introduc¸a˜o
Artur Portela e William Taylor
Agosto de 2013
Departamento de Engenharia Civil
Universidade de Bras´ılia
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Aos nossos alunos,
a nossa motivac¸a˜o para o ensino.
Prefa´cio
O tema da Elasticidade pode ser apresentado segundo diferentes pontos de
vista que dependem do leitor estar interessado na estrutura matema´tica do
tema ou simplesmente na sua aplicac¸a˜o pra´tica e, neste caso, se esta´ interes-
sado em me´todos nume´ricos ou anal´ıticos.
O livro baseia-se nas notas de um curso semestral de Teoria da Elastici-
dade da po´sgraduac¸a˜o de Estruturas da UnB.
O Cap´ıtulo 1 apresenta...
O Cap´ıtulo 2 apresenta...
O Cap´ıtulo 3 apresenta...
O Cap´ıtulo 4 apresenta...
O Cap´ıtulo 5 apresenta...
O Cap´ıtulo 6 apresenta...
O Cap´ıtulo 7 apresenta...
O Cap´ıtulo 8 apresenta...
O Cap´ıtulo 9 apresenta...
O Cap´ıtulo 10 apresenta...
Appendix A presents details of the content of the companion CD-ROM.
All the application examples of the book are included in the CD-ROM, where
the results are presented in colour and with animations.
Finally, the authors wish to thank all those who made this book possible,
specially our families for giving us the time, which should have been theirs,
to write this book.
Universidade de Bras´ılia, Brasil Artur Portela
William Taylor
VI Prefa´cio
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 Vetor Tensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Estado de Tensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Estado de Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Teoria da Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Tensores Cartesianos 3
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Notac¸a˜o Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Sistemas indiciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 I´ndices livres e mudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 A´lgebra dos Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1 Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.3 Contrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.4 Multiplicac¸a˜o contra´ıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Sistemas Sime´tricos e Anti-sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4.2 S´ımbolos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Referenciais Ortonormados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5.1 Transformac¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5.2 Lei de transformac¸a˜o de um vetor . . . . . . . . . . . . 4
2.5.3 Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5.4 A´lgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5.5 Lei do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5.6 Simetria e anti-simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6 Tensores Sime´tricos de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.1 Invariantes principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.2 Direc¸o˜es principais e valores principais . . . . . . . . . 4
2.6.3 Equac¸a˜o carater´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.4 Valores pro´prios e vetores pro´prios . . . . . . . . . . . 4
VIII SUMA´RIO
2.6.5 Reduc¸a˜o a` forma canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.6.6 Decomposic¸a˜o nas parcelas isoto´pica e tangencial . . . 4
2.6.7 Representac¸a˜o de Mohr da transformac¸a˜o . . . . . . . . 4
2.7 Operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.8 Teoremas do Ca´lculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Teoria das Deformac¸o˜es 5
3.1 Tensor das deformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Extenso˜es e distorc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Deformac¸o˜es do elemento de volume . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Hipo´tese dos pequenos deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . 5
3.5 Linearidade geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.6 Rotac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.7 Casos simples de estados de deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . 5
3.7.1 Deformac¸a˜o uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.7.2 Deformac¸a˜o simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.7.3 Deformac¸a˜o dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.7.4 Deformac¸a˜o distorsional simples . . . . . . . . . . . . . 5
3.8 Equac¸o˜es de compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Teoria das Tenso˜es 7
4.1 Tenso˜es numa faceta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Tensor das tenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Equac¸o˜es de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4 Casos simples de estados de tensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4.1 Estado de tensa˜o isotro´pico . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4.2 Estado de tensa˜o simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4.3 Estado de tensa˜o duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4.4 Estado de tensa˜o cisalhante simples . . . . . . . . . . . 7
5 Teorema do Trabalho 9
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Admissibilidade esta´tica e cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Expressa˜o do teorema do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4 Teorema dos deslocamentos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.5 Teorema das forc¸as virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Teoria da Elasticidade 13
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Definic¸a˜o de elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3 Energia de deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
SUMA´RIO IX
6.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.5 Densidade da energia de deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 15
6.6 Relac¸a˜o tenso˜es–deformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.7 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.8 Ortotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.9 Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.10 Significado das constantes ela´sticas . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.11 Expresso˜es da densidade da energia de deformac¸a˜o . . . . . . . 21
7 Os Problemas Fundamentais 25
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Princ´ıpio da sobreposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.3 Teorema da unicidade da soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.4 Equac¸o˜es de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.5 Equac¸o˜es de Beltrami–Michell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Formulac¸a˜o Unidimensional 31
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2 Me´todo semi–inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.3 Princ´ıpio de Saint–Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.4 Formulac¸a˜o do problema de Saint–Venant . . . . . . . . . . . 31
8.5 Trac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.6 Torc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.6.1 Func¸a˜o de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.7 Flexa˜o circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.8 Flexa˜o com esforc¸o cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Formulac¸o˜es Bidimensionais 33
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2 Deformac¸o˜es planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33
9.3 Tenso˜es planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.4 Estados quase–planos de tensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.5 Resumo das equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.6 O problema plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.7 Func¸a˜o de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.8 O problema biharmoˆnico fundamental . . . . . . . . . . . . . . 43
9.9 Influeˆncia do coeficiente de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.10 Problemas em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 43
9.10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.10.2 Polinoˆmios biharmoˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.10.3 Flexa˜o de uma consola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
X SUMA´RIO
9.11 Problemas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.11.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.11.2 Equac¸o˜es deformac¸o˜es–deslocamentos . . . . . . . . . . 43
9.11.3 Equac¸o˜es de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.11.4 Func¸a˜o de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.12 Resoluc¸a˜o de problemas em coordenadas polares . . . . . . . . 43
9.12.1 Campos com simetria radial . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.12.2 Campos sem simetria radial . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.12.3 O problema de Kirsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.12.4 O problema da cunha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.12.5 Aplicac¸o˜es do problema da cunha . . . . . . . . . . . . 43
9.13 Problemas axissime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.2 Equac¸o˜es de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.3 Equac¸o˜es deformac¸o˜es–deslocamentos . . . . . . . . . . 43
9.13.4 Equac¸o˜es tenso˜es–deformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.5 Equac¸o˜es de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.6 Func¸a˜o de Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.7 O problema de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.8 Centro de compresso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.13.9 O problema de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10 Formulac¸o˜es Tridimensionais 45
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.2 Func¸o˜es de deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.2.1 Potencial das deformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.2.2 Vetor de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.2.3 Soluc¸a˜o de Papkovich–Neuber . . . . . . . . . . . . . . 45
10.3 Potenciais de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10.4 Soluc¸o˜es singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A The Companion CD-ROM 47
Refereˆncias 49
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
1.1 Vetor Tensa˜o
As va´rias partes de um corpo exercem, umas sobre as outras, ac¸o˜es de diversa
natureza. Destas, algumas podem ser assimiladas a`s de forc¸as distribu´ıdas
na superf´ıcie de contato de cada parte com as partes vizinhas.
Imaginando o corpo cortado por uma superf´ıcie arbitra´ria que o intersete,
cada uma das partes separadas pelo corte ficara´ em equil´ıbrio se lhe for
aplicada uma forc¸a adicional F que represente a ac¸a˜o da outra parte. No
corpo na˜o cortado, esta forc¸a deve ser transmitida atrave´s da superf´ıcie de
corte, podendo se admitir que um elemento de a´rea dS, centrado num ponto
P , contribua com dF. Admite-se que fazendo tender dS para zero, o vetor
σ = lim
dS→0
dF
dS
(1.1)
dito vetor das tenso˜es, tem grandeza e orientac¸a˜o bem definidas, indepen-
dentes do modo como dS tende para zero.
O vetor da tensa˜o σ na˜o mudaria se fosse considerada outra superf´ıcie de
corte que em P tivesse a mesma normal n.
1.2 Estado de Tensa˜o
Mostra-se que o estado de tensa˜o no ponto P se define pelas componentes
dos vetores das tenso˜es relativos a treˆs facetas ortogonais, no espac¸o tridi-
mensional, e que as nove componentes destes treˆs vetores sa˜o as componentes
de um tensor cartesiano de segunda ordem.
2 Introduc¸a˜o
1.3 Estado de Deformac¸a˜o
Estando submetido a um campo de tenso˜es, o corpo deforma-se. Num ponto
do corpo, matematicamente representado por um elemento de volume, a de-
formac¸a˜o descreve-se por um tensor cartesiano, o tensor das deformac¸o˜es,
cujas nove componentes sa˜o as extenso˜es lineares de treˆs segmentos ortogo-
nais e as distorc¸o˜es angulares medidas em facetas prependiculares a estes
segmentos.
1.4 Teoria da Elasticidade
A hipo´tese fundamental da Teoria da Elasticidade considera que, em qualquer
ponto de um corpo, as tenso˜es e as deformac¸o˜es se relacionam entre si por
uma lei f´ısica carater´ıstica do material e independente do tempo.
Com base nesta hipo´tese, a Teoria da Elasticidade define treˆs problemas
fundamentais:
1. Problema das tenso˜es – determinar o campo ela´stico (distribuic¸a˜o das
tenso˜es, deformac¸o˜es e deslocamentos) no interior de um corpo, conhe-
cidas as tenso˜es aplicadas na superf´ıcie.
2. Problema dos deslocamentos – determinar o campo ela´stico no interior
de um corpo, conhecidos os deslocamentos na superf´ıcie.
3. Problema misto – determinar o campo ela´stico no interior de um corpo,
conhecidas as tenso˜es aplicadas numa parte da superf´ıcie e os desloca-
mentos na parte restante.
Para resolver estes problemas, a Teoria da Elasticidade formula um sis-
tema de equac¸o˜es diferenciais com condic¸o˜es de contorno de diferente natu-
reza para cada um dos treˆs problemas.
A Teoria da Elasticidade faz parte da Mecaˆnica dos Meios Cont´ınuos que
supo˜e que as propriedades f´ısicas macrosco´picas do material se observam a`
escala do infinitamente pequeno.
Navier foi o primeiro a estabelecer, em 1821, as equac¸o˜es do equil´ıbrio
de so´lidos ela´sticos, embora essa distinc¸a˜o seja historicamente atribu´ıda a
Cauchy. Importantes contribuic¸o˜es foram tambe´m apresentadas por Poisson,
Green, Kelvin e Saint-Venant.
Cap´ıtulo 2
Tensores Cartesianos
2.1 Introduc¸a˜o
O termo tensor prove´m do conceito de tensa˜o da Teoria da Elasticidade que
e´ a parte mais antiga da Mecaˆnica dos Meios Cont´ınuos, pois recebeu os seus
primeiros desenvolvimentos formais no princ´ıpio do se´culo XIX com Navier,
Cauchy e Green.
4 Tensores Cartesianos
2.2 Notac¸a˜o Indicial
2.2.1 Sistemas indiciais
2.2.2 I´ndices livres e mudos
2.3 A´lgebra dos Sistemas
2.3.1 Adic¸a˜o
2.3.2 Multiplicac¸a˜o
2.3.3 Contrac¸a˜o
2.3.4 Multiplicac¸a˜o contra´ıda
2.4 Sistemas Sime´tricos e Anti-sime´tricos
2.4.1 Definic¸o˜es
2.4.2 S´ımbolos especiais
2.5 Referenciais Ortonormados
2.5.1 Transformac¸o˜es ortogonais
2.5.2 Lei de transformac¸a˜o de um vetor
2.5.3 Tensores cartesianos
2.5.4 A´lgebra tensorial
2.5.5 Lei do quociente
2.5.6 Simetria e anti-simetria
2.6 Tensores Sime´tricos de Segunda Ordem
2.6.1 Invariantes principais
2.6.2 Direc¸o˜es principais e valores principais
2.6.3 Equac¸a˜o carater´ıstica
2.6.4 Valores pro´prios e vetores pro´prios
2.6.5 Reduc¸a˜o a` forma canoˆnica
2.6.6 Decomposic¸a˜o nas parcelas isoto´pica e tangencial
2.6.7 Representac¸a˜o de Mohr da transformac¸a˜o
2.7 Operadores diferenciais
2.8 Teoremas do Ca´lculo Integral
Cap´ıtulo 3
Teoria das Deformac¸o˜es
3.1 Tensor das deformac¸o˜es
3.2 Extenso˜es e distorc¸o˜es
3.3 Deformac¸o˜es do elemento de volume
3.4 Hipo´tese dos pequenos deslocamentos
3.5 Linearidade geome´trica
3.6 Rotac¸o˜es
3.7 Casos simples de estados de deformac¸a˜o
3.7.1 Deformac¸a˜o uniforme
3.7.2 Deformac¸a˜o simples
3.7.3 Deformac¸a˜o dupla
3.7.4 Deformac¸a˜o distorsional simples
3.8 Equac¸o˜es de compatibilidade
6 Teoria dasDeformac¸o˜es
Cap´ıtulo 4
Teoria das Tenso˜es
4.1 Tenso˜es numa faceta
4.2 Tensor das tenso˜es
4.3 Equac¸o˜es de equil´ıbrio
4.4 Casos simples de estados de tensa˜o
4.4.1 Estado de tensa˜o isotro´pico
4.4.2 Estado de tensa˜o simples
4.4.3 Estado de tensa˜o duplo
4.4.4 Estado de tensa˜o cisalhante simples
8 Teoria das Tenso˜es
Cap´ıtulo 5
Teorema do Trabalho
5.1 Introduc¸a˜o
A Mecaˆnica Racional desenvolveu-se seguindo sempre duas vias diferentes.
A primeira via, a da Mecaˆnica vetorial, saiu diretamente das leis de Newton.
A segunda via fez uso do chamado princ´ıpio dos trabalhos virtuais, cuja
generalidade foi pela primeira vez reconhecida por Galileu.
A perspetiva da Mecaˆnica vetorial assenta na ideia de que qualquer sis-
tema mecaˆnico e´ composto de part´ıculas que se movimentam de acordo com
a conhecida lei F = ma. Por outro lado, o princ´ıpio dos trabalhos virtuais e´
um princ´ıpio global que se prende aos conceitos de trabalho e energia.
Na sua generalidade, o princ´ıpio dos trabalhos virtuais considera uma
relac¸a˜o de trabalho entre dois campos independentes definidos no mesmo
domı´nio, o que justifica a designac¸a˜o de virtual. Este princ´ıpio e´ na realidade
um teorema que por simplificac¸a˜o se designa apenas por teorema do trabalho.
5.2 Admissibilidade esta´tica e cinema´tica
Seja um domı´nio V , onde se consideram definidos um campo de tenso˜es σ′ij
e um campo de deformac¸o˜es ε′′ij, gerado por um campo de deslocamentos u
′′
i ,
que em geral sa˜o independentes.
O domı´nio V , onde atuam forc¸as de massa de densidade fi, tem contorno
S = Sσ +Su, onde atuam forc¸as de superf´ıcie de densidade σi e se restringem
deslocamentos ui, respetivamente.
Diz-se que o campo de tenso˜es e´ estaticamente admiss´ıvel, ou equilibrado
relativamente a`s ac¸o˜es definidas em V e em Sσ, se satisfizer as equac¸o˜es de
equil´ıbrio, ou seja,
σ′ij,i + fi = 0 (5.1)
10 Teorema do Trabalho
no domı´nio V e respetivas condic¸o˜es de contorno
σ′i = σ
′
jinj = σi (5.2)
em Sσ, onde ni representa as componentes do versor normal ao contorno,
dirigido para o exterior.
Diz-se que o campo de deslocamentos e´ cinematicamente admiss´ıvel, ou
compat´ıvel com as condic¸o˜es de contorno definidas em Su, se satisfizer as
equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos, ou seja,
ε′′ij =
1
2
(u′′i,j + u
′′
j,i) (5.3)
no domı´nio V e respetivas condic¸o˜es de contorno
u′′i = ui (5.4)
em Su, tendo-se admitido a linearidade geome´trica.
5.3 Expressa˜o do teorema do trabalho
O trabalho realizado pelas forc¸as exteriores, no campo de deslocamentos, e´
dado por
τ e =
∫
V
fju
′′
j dV +
∫
S
σ′ju
′′
j dS. (5.5)
Em virtude das equac¸o˜es de equil´ıbrio, respetivamente (5.1) e (5.2), a
equac¸a˜o (5.5) resulta
τ e = −
∫
V
σ′ij,iu
′′
j dV +
∫
S
σ′ijniu
′′
j dS. (5.6)
Com a aplicac¸a˜o do teorema da divergeˆncia, a equac¸a˜o (5.6) resulta, su-
cessivamente
τ e = −
∫
V
σ′ij,iu
′′
j dV +
∫
V
(
σ′iju
′′
j
)
,i
dV = (5.7)
= −
∫
V
σ′ij,iu
′′
j dV +
∫
V
σ′ij,iu
′′
j dV +
∫
V
σ′iju
′′
j,i dV =
=
∫
V
σ′iju
′′
j,i dV.
A simetria do tensor das tenso˜es permite escrever
σ′iju
′′
j,i =
1
2
(
σ′ij + σ
′
ji
)
u′′j,i =
1
2
σ′iju
′′
j,i + σ
′
jiu
′′
j,i. (5.8)
5.4 Teorema dos deslocamentos virtuais 11
Como i e j sa˜o ı´ndices mudos podem trocar-se no segundo monoˆmio da
equac¸a˜o (5.8) para se obter
σ′iju
′′
j,i =
1
2
σ′iju
′′
j,i +
1
2
σ′iju
′′
i,j = σ
′
ij
1
2
(
u′′i,j + u
′′
j,i
)
= σ′ijε
′′
ij, (5.9)
onde se admitiu a linearidade geome´trica.
Introduzindo (5.9) em (5.7) chega-se a` expressa˜o do trabalho das forc¸as
internas, ou seja
τ e =
∫
V
σ′ijε
′′
ij dV = −τ i. (5.10)
Finalmente, as equac¸o˜es (5.5) e (5.10) permitem obter a expressa˜o do
teorema do trabalho
τ e + τ i =
∫
V
fiu
′′
i dV +
∫
S
σ′iu
′′
i dS −
∫
V
σ′ijε
′′
ij dV = 0. (5.11)
onde se admitiu a hipo´tese dos pequenos deslocamentos e portanto a lineari-
dade geome´trica.
O teorema do trabalho pode assim servir para determinar as condic¸o˜es
de admissibilidade esta´tica de um sistema, uma vez que se disponha da ad-
missibilidade cinema´tica de outro sistema, ou inversamente, determinar as
condic¸o˜es de admissibilidade cinema´tica de um sistema, uma vez que se dis-
ponha da admissibilidade esta´tica de outro sistema.
A primeira opc¸a˜o e´ utilizada no ca´lculo de deslocamentos, recorrendo-se
a um sistema virtual estaticamente admiss´ıvel convenientemente escolhido.
A segunda opc¸a˜o e´ utilizada no ca´lculo de tenso˜es generalizadas, recorrendo-
se a um sistema virtual cinematicamente admiss´ıvel convenientemente esco-
lhido.
O teorema do trabalho, equac¸a˜o (5.13), foi deduzido a partir das equac¸o˜es
de equil´ıbrio e das equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos. Fa´cil seria tambe´m
demonstrar que a equac¸a˜o (5.13) e as equac¸o˜es de equil´ıbrio implicam as
equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos e que estas u´ltimas e a equac¸a˜o (5.13)
implicam as equac¸o˜es de equil´ıbrio.
O teorema do trabalho pode particularizar-se em dois teoremas duais que
sa˜o o teorema dos deslocamentos virtuais e o teorema das forc¸as virtuais.
5.4 Teorema dos deslocamentos virtuais
Este teorema resulta de se considerar como campo cinematicamente ad-
miss´ıvel u′′i uma variac¸a˜o virtual δui do campo de deslocamentos, isto e´, uma
variac¸a˜o cont´ınua que se anula em Su, onde esta˜o fixados os deslocamentos.
12 Teorema do Trabalho
Nestas condic¸o˜es, o teorema do trabalho transforma-se em∫
V
fiδui dV +
∫
Sσ
σiδui dS =
∫
V
σijδεij dV, (5.12)
onde δεij representa a variac¸a˜o das deformac¸o˜es correspondente a δui.
5.5 Teorema das forc¸as virtuais
Este teorema resulta de se considerar como campo estaticamente admiss´ıvel
σ′′ij uma variac¸a˜o virtual δσij do campo de tenso˜es, isto e´, uma variac¸a˜o que
equilibra forc¸as de massa nulas em V e forc¸as de superf´ıcie nulas em Sσ, onde
esta˜o fixadas as ac¸o˜es.
Nestas condic¸o˜es, o teorema do trabalho transforma-se em∫
Su
δσiui dS =
∫
V
δσijεij dV. (5.13)
Cap´ıtulo 6
Teoria da Elasticidade
6.1 Introduc¸a˜o
A relac¸a˜o que se estabelece entre as componentes de tensa˜o e de deformac¸a˜o
num corpo depende do tipo espec´ıfico de comportamento macrosco´pico que se
adota para a modelagem do material do corpo. Neste Cap´ıtulo apresentam-se
as relac¸o˜es constitutivas do comportamento ela´stico.
6.2 Definic¸a˜o de elasticidade
Um corpo sujeito a` ac¸a˜o de um sistema de forc¸as exteriores deforma-se.
Se ao retirar-se o sistema de forc¸as que o deformou, o corpo recupera
instantaneamente a sua forma primitiva, enta˜o diz-se, por definic¸a˜o, que o
corpo e´ ela´stico.
O comportamento de muitos corpos reais pode ser modelado, com bas-
tante aproximac¸a˜o, pela teoria em que se baseia a noc¸a˜o de corpo ela´stico.
6.3 Energia de deformac¸a˜o
Considere-se um corpo num determinado estado de deformac¸a˜o que, por ac¸a˜o
de um sistema de forc¸as exteriores, e´ continuamente levado a outro estado,
regressando finalmente ao primeiro estado, num percurso fechado.
Durante esta transformac¸a˜o, o trabalho total das forc¸as exteriores e a
quantidade de calor que o meio exterior fornece ao corpo na˜o depende do
caminho seguido pela transformac¸a˜o, desde que na˜o entrem em jogo outras
formas de energia, ale´m da mecaˆnica e da te´rmica, como estabelece o primeiro
princ´ıpio da Termodinaˆmica.
14 Teoria da Elasticidade
Considere-se agora que o corpo e´ ela´stico, o que implica que se for poss´ıvel
uma determinada transformac¸a˜o e´ necessariamente poss´ıvel a transformac¸a˜o
inversa, regressando o corpo a` configurac¸a˜o inicial. Se o processode descarga
for feito por ordem inversa do processo de carga (o que requer forc¸as conser-
vativas), o corpo e´ levado pelos mesmos estados por que passou durante a
carga que inclui em geral a ac¸a˜o de forc¸as exteriores (que realizam trabalho
mecaˆnico) e a ac¸a˜o de variac¸o˜es de temperatura (que fornecem calor) e o
trabalho total bem como o balanc¸o te´rmico sa˜o nulos.
Nestas condic¸o˜es, a deformac¸a˜o de um corpo ela´stico e´ uma transformac¸a˜o
revers´ıvel, no sentido da Termodinaˆmica, em que todo o calor fornecido na
carga tem que ser retirado na descarga, na˜o podendo haver transformac¸a˜o de
trabalho em calor, visto que a inversa, transformac¸a˜o de calor em trabalho,
na˜o e´ poss´ıvel, como estabelece o segundo princ´ıpio da Termodinaˆmica.
A energia de deformac¸a˜o ela´stica U e´ uma func¸a˜o de estado cujas variac¸o˜es
igualam o trabalho das forc¸as exteriores, necessa´rio para levar o corpo de um
a outro estado de deformac¸a˜o. Por outras palavras,
δτ e = δU. (6.1)
Com base no teorema do trabalho,
δτ e + δτ i = 0 (6.2)
conclui-se que
δτ i = −δU, (6.3)
o que significa que a energia de deformac¸a˜o ela´stica U e´ a func¸a˜o potencial
das forc¸as internas que por isso se pode chamar energia potencial ela´stica e
fica acumulada no corpo deformado. Ao efetuar-se uma descarga, e´ a energia
potencial ela´stica que permite que o corpo recupere a configurac¸a˜o inicial.
6.4 Estabilidade
Um corpo livre da ac¸a˜o de forc¸as exteriores esta´ no seu estado natural. No
estado natural, um corpo pode apresentar um estado de coac¸a˜o que e´ um
estado com tenso˜es iniciais que, por definic¸a˜o, equilibram forc¸as exteriores
nulas. Como se sabe, as equac¸o˜es de equil´ıbrio sa˜o estaticamente indetermi-
nadas, o que significa que para um sistema de forc¸as exteriores nulas ha´ uma
infinidade de estados de tensa˜o que o equilibram, o que na pra´tica justifica
que um corpo possa apresentar um nu´mero infinito de diferentes estados de
coac¸a˜o.
6.5 Densidade da energia de deformac¸a˜o 15
Energia intr´ınseca de um corpo e´ a energia de deformac¸a˜o correspondente
ao seu estado natural que e´ estaciona´ria. Efetivamente, para um desloca-
mento virtual δui, o teorema do trabalho estabelece
δτ e =
∫
V
fi δui dV +
∫
S
σi δui dS. (6.4)
Pore´m, como no estado natural fi = 0 e σi = 0, resulta δτ
e = 0, o que implica,
pela equac¸a˜o (6.1) que U e´ estaciona´ria. Em consequeˆncia da estabilidade
do equil´ıbrio que se admite para o corpo no estado natural, o ponto de
estacionaridade de U e´ um mı´nimo. Efetivamente, quando um corpo no
estado natural for levado a um estado de deformac¸a˜o vizinho, por ac¸a˜o de
forc¸as exteriores, a variac¸a˜o da sua energia de deformac¸a˜o iguala o trabalho
produzido pelas ac¸o˜es que e´ positivo se o equil´ıbrio for esta´vel.
A energia mı´nima que o corpo pode apresentar chama-se energia intr´ınseca.
A energia intr´ınseca e´ sempre positiva e so´ se anula quando forem nulas as
tenso˜es iniciais. A energia intr´ınseca na˜o pode ser libertada do corpo apenas
por transformac¸o˜es ela´sticas.
A energia de deformac¸a˜o de um corpo resulta assim na soma da sua
energia intr´ınseca com a energia de deformac¸a˜o correspondente ao respetivo
estado de deformac¸a˜o, calculada para tenso˜es iniciais nulas.
6.5 Densidade da energia de deformac¸a˜o
Admite-se que a energia de deformac¸a˜o e´ aditiva, isto e´, esta´ distribu´ıda por
todo o corpo. Nestas circunstaˆncias, a energia de deformac¸a˜o do corpo e´
dada por
U =
∫
V
W dV, (6.5)
em que
W =
dU
dV
(6.6)
e´ a densidade da energia de deformac¸a˜o, ou seja, a energia de deformac¸a˜o
por unidade de volume que e´ uma func¸a˜o cont´ınua que carateriza o material
do corpo.
Considere-se um elemento de volume do corpo onde, a menos de infi-
nite´simos de ordem superior, se pode admitir que as componentes de tensa˜o
sa˜o constantes. Ora, no estado natural estas componentes sa˜o todas nulas e
portanto convenciona-se que o valor mı´nimo e´ W = 0. Consequentemente, a
densidade da energia de deformac¸a˜o sera´ sempre positiva W > 0, desde que
as componentes de tensa˜o na˜o sejam todas nulas, como e´ por exemplo o caso
de um estado de coac¸a˜o.
16 Teoria da Elasticidade
6.6 Relac¸a˜o tenso˜es–deformac¸o˜es
Em virtude do teorema do trabalho tem-se, para uma variac¸a˜o do campo de
deslocamentos δui,
δU = δτ e =
∫
V
fi δui dV +
∫
S
σi δui dS =
∫
V
σ′ij δεij dV, (6.7)
em que δεij representa as deformac¸o˜es geradas pelos deslocamentos e σ
′
ij
representa um estado de tensa˜o que equilibra as forc¸as exteriores.
Como, por outro lado,
δU =
∫
V
δW dV, (6.8)
conclui-se enta˜o que
δW = σ′ij δεij. (6.9)
Em geral, W podera´ ser uma func¸a˜o das tenso˜es e das deformac¸o˜es, ou
seja,
δW =
∂W
∂σij
δσij +
∂W
∂εij
δεij. (6.10)
Comparando a equac¸a˜o (6.10) com a equac¸a˜o (6.9) resulta, em virtude da
arbitrariedade de δεij e de δσij,
∂W
∂σij
= 0 (6.11)
e
∂W
∂εij
= σ′ij = σij + σ
o
ij, (6.12)
em que σij e σ
o
ij representam, respetivamente o estado de tensa˜o instalado no
corpo e um campo de tenso˜es iniciais. Enquanto a equac¸a˜o (6.11) estabelece
que W na˜o e´ func¸a˜o expl´ıcita das tenso˜es, a equac¸a˜o (6.12) estabelece que
W e´ func¸a˜o expl´ıcita das deformac¸o˜es. Esta equac¸a˜o pode ser simplificada,
obtendo-se
σij =
∂W
∂εij
(6.13)
que representa a forma geral da relac¸a˜o constitutiva tenso˜es-deformac¸o˜es.
Pode agora dizer-se que a densidade da energia de deformac¸a˜o e´ uma
func¸a˜o potencial W = W (εkl) das deformac¸o˜es εkl, un´ıvoca e definida posi-
tiva, dada por
W =
∫ εkl
0
σij dεij. (6.14)
6.7 Lei de Hooke 17
Exige-se que a densidade da energia de deformac¸a˜o seja uma func¸a˜o con-
vexa das deformac¸o˜es, no sentido em que para dois estados de deformac¸a˜o
εij e ε
′′
ij se verifica
W (ε′′ij)−W (εij)− (ε′′kl − εkl)
∂W
∂εkl
∣∣∣∣∣
εij
≥ 0. (6.15)
A convexidade e´ uma condic¸a˜o suficiente para que W seja definida positiva
e assegura a estabilidade.
Para que W seja func¸a˜o apenas do estado de deformac¸a˜o final e seja
independente do percurso da carga, devera´ ter-se a diferencial exata
dW = σij dεij, (6.16)
em que as tenso˜es σij sa˜o dadas pela equac¸a˜o (6.13). Esta condic¸a˜o e´ satisfeita
se
∂2W
∂εij ∂εkl
=
∂2W
∂εkl ∂εij
(6.17)
ou, de forma equivalente se
∂σkl
∂εij
=
∂σij
∂εkl
. (6.18)
A equac¸a˜o (6.17) assegura que a relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es e´ sime´trica.
Considera-se que a relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es e´ invert´ıvel, e portanto que
o Jacobiano ∣∣∣∣∣ ∂2W∂εij ∂εkl
∣∣∣∣∣ 6= 0. (6.19)
6.7 Lei de Hooke
A linearidade f´ısica da relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es exige que a densidade da
energia de deformac¸a˜o seja uma func¸a˜o quadra´tica das deformac¸o˜es. Assim,
no caso mais geral tem-se
W = cijklεijεkl + dijεij +W
o. (6.20)
A` equac¸a˜o (6.20) esta´ associada, atrave´s da equac¸a˜o (6.13), a seguinte
relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es
σij = Cijkl εkl + dij, (6.21)
18 Teoria da Elasticidade
onde
Cijkl = cijkl + cklij. (6.22)
As grandezas dij sa˜o claramente as tenso˜es iniciais e a equac¸a˜o (6.21)
pode agora escrever-se
σij = Cijkl εkl + σ
o
ij (6.23)
que e´ a expressa˜o da lei de Hooke.
As 81 constantes ela´sticas Cijkl que caraterizam as propriedades mecaˆnicas
do material, na˜o sa˜o todas independentes. Efetivamente, em virtude de (6.22)
tem-se
Cijkl = Cklij. (6.24)
Por outro lado, como εij = εji, pode escrever-se
σij = Hijklεkl + σ
o
ij, (6.25)
onde
Hijkl =
1
2
(Cijkl + Cijlk) (6.26)
e portanto
Hijkl = Hijlk. (6.27)
Finalmente, como σij = σji, tem-se
Hijkl = Hjikl. (6.28)
As simetrias (6.27) e (6.28) e (6.24) permitem concluir que so´ 21 cons-
tantes sa˜o independentes. O nu´mero de constantes independentes pode serinferior a 21, se o material apresentar simetrias nas propriedades mecaˆnicas.
Um material aniso´tropo tem 21 constantes independentes, por na˜o ter
quaisquer simetrias nas propriedades mecaˆnicas.
Se as constantes ela´sticas forem independentes das coordenadas e por-
tanto forem as mesmas em todos os pontos, o corpo diz-se homogeˆneo.
6.8 Ortotropia
Um material orto´tropo tem treˆs planos de simetria ortogonais que se to-
mam para planos coordenados. Neste caso, mostra-se que 12 das constantes
ela´sticas se anulam e portanto so´ 9 sa˜o independentes.
Se os eixos de ortotropia, intersec¸a˜o dos planos coordenados, forem direc¸o˜es
principais de deformac¸a˜o, sera˜o tambe´m direc¸o˜es principais de tensa˜o. Con-
sequentemente, se uma das componentes de ı´ndices desiguais das deformac¸o˜es
se anular, anula-se tambe´m a componente homo´loga das tenso˜es e vice-versa.
6.9 Isotropia 19
6.9 Isotropia
Um material iso´tropo tem um centro de simetria. Consequentemente as pro-
priedades mecaˆnicas do material na˜o dependem de qualquer direc¸a˜o. Neste
caso, mostra-se que so´ 2 constantes ela´sticas sa˜o independentes.
Admitindo que as tenso˜es iniciais sa˜o nulas, a densidade da energia de
deformac¸a˜o e´ agora invariante, o que significa que na˜o depende do sistema
de coordenadas.
Como W e´ invariante, enta˜o e´ func¸a˜o dos invariantes principais do tensor
das deformac¸o˜es. Mas como na equac¸a˜o (6.20) se considerou W uma func¸a˜o
quadra´tica das componentes de deformac¸a˜o, enta˜o na˜o podera´ ser func¸a˜o do
invariante cu´bico. Nestas condic¸o˜es, tem-se
W = (λ+ 2µ) �2 − 4µ�′ + σoijεij +W o (6.29)
em que � e �′ sa˜o respetivamente o primeiro e o segundo invariantes principais
das deformac¸o˜es e λ e µ sa˜o as constantes ela´sticas independentes, ditas
constantes de Lame´.
Substituindo (6.29) na equac¸a˜o (6.13) obte´m-se
σij = 2µεij + λδij�+ σ
o
ij (6.30)
que e´ a expressa˜o da relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es de um material iso´tropo.
As constantes λ e µ na˜o permitem exprimir de uma forma simples a
relac¸a˜o deformac¸o˜es-tenso˜es. Efetivamente, as constantes mais convenientes
para exprimir a relac¸a˜o deformac¸o˜es-tenso˜es sa˜o o mo´dulo de elasticidade e
o coeficiente de Poisson, definidos respetivamente por
E =
µ (3λ+ 2µ)
λ+ µ
(6.31)
e
ν =
λ
2 (λ+ µ)
. (6.32)
A relac¸a˜o deformac¸o˜es-tenso˜es fica enta˜o
εij =
1 + ν
E
σij − ν
E
θδij − εoij, (6.33)
onde θ e´ o primeiro invariante principal do tensor das tenso˜es.
As constantes de Lame´ λ e µ, podem exprimir-se em termos de E e ν,
obtendo-se
λ =
Eν
(1 + ν) (1− 2ν) (6.34)
20 Teoria da Elasticidade
e
µ =
E
2 (1 + ν)
. (6.35)
A equac¸a˜o (6.30) e a equac¸a˜o (6.33) na˜o sa˜o no entanto a forma mais
conveniente de exprimir a lei de Hooke para materiais iso´tropos. Com o
objetivo de chegar a uma expressa˜o mais conveniente para a lei de Hooke,
considere-se a decomposic¸a˜o dos tensores das deformac¸o˜es e das tenso˜es nas
respetivas parcelas isotro´picas e tangenciais, isto e´
εij = ε
t
ij +
�
3
δij (6.36)
e
σij = σ
t
ij +
θ
3
δij. (6.37)
Com as decomposic¸o˜es (6.36) e (6.37) e usando a relac¸a˜o (6.33) obte´m-se
uma relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es para as parcelas isotro´picas e outra inde-
pendente para as parcelas tangenciais, ou seja
θ = 3K�+ θo (6.38)
e
σtij = 2Gε
t
ij + σ
ot
ij , (6.39)
em que K e G sa˜o respetivamente o mo´dulo de compressibilidade volume´trica
e o mo´dulo de distorc¸a˜o ou de cisalhamento, dados respetivamente por
K =
E
3 (1− 2ν) (6.40)
e
G =
E
2 (1 + ν)
= µ. (6.41)
6.10 Significado das constantes ela´sticas
Considere-se uma barra com uma extensa˜o longitudinal igual a ε11 = ε e
extenso˜es laterais nulas ε22 = ε33 = 0 e ainda sem distorc¸o˜es.
Para este estado de deformac¸a˜o, a equac¸a˜o (6.30) da´ o seguinte estado de
tensa˜o
σ11 = (λ+ 2µ) ε (6.42)
e
σ22 = σ33 = λε. (6.43)
6.11 Expresso˜es da densidade da energia de deformac¸a˜o 21
A equac¸a˜o (6.43) permite concluir que λ e´ a tensa˜o lateral na barra cor-
respondente a uma extensa˜o longitudinal unita´ria.
Considere-se agora a barra submetida a uma tensa˜o longitudinal igual a
σ11 = σ e tenso˜es laterais nulas σ22 = σ33 = 0 e ainda sem tenso˜es tangenciais.
Para este estado de tensa˜o, a equac¸a˜o (6.33) da´ o seguinte estado de
deformac¸a˜o
ε11 =
σ
E
(6.44)
e
ε22 = ε33 = −ν σ
E
= −νε11. (6.45)
A equac¸a˜o (6.44) permite concluir que o mo´dulo de elasticidade E e´ a
tensa˜o longitudinal na barra, correspondente a uma extensa˜o longitudinal
unita´ria.
A equac¸a˜o (6.45) permite concluir que o coeficiente de Poisson ν e´ a
extensa˜o transversal na barra, correspondente a uma extensa˜o longitudinal
unita´ria.
Para a compressa˜o volume´trica K recorre-se a` extensa˜o volume´trica que,
na hipo´tese das pequenas deformac¸o˜es, e´ dada por ∆ = �. Nestas condic¸o˜es
e na auseˆncia de tenso˜es iniciais, a equac¸a˜o (6.38) permite concluir que K e´ a
tensa˜o isotro´pica θ/3, correspondente a uma extensa˜o volume´trica unita´ria.
Finalmente, considere-se um estado simples de deformac¸a˜o com uma
u´nica componente de distorc¸a˜o 2ε12 = α, sendo nulas as restantes compo-
nentes. Para este estado de deformac¸a˜o, a equac¸a˜o (6.30) da´ origem a um
estado de tensa˜o tangencial simples com σ12 = 2µε12 = 2Gε12 = Gα. Assim,
pode concluir-se que o mo´dulo de distorc¸a˜o ou de cisalhamento G = µ e´ a
tensa˜o de cisalhamento, correspondente a uma distorc¸a˜o unita´ria.
Em resumo, verifica-se que todas as constantes teˆm dimenso˜es de tensa˜o,
exceto o coeficiente de Poisson que e´ adimensional.
6.11 Expresso˜es da densidade da energia de
deformac¸a˜o
Em virtude de (6.22) e considerando dij = σ
o
ij, (6.20) pode escrever-se na
forma
W = cijklεijεkl + σ
o
ijεij +W
o = (6.46)
=
1
2
(cijkl + cklij) εijεkl + σ
o
ijεij +W
o =
=
1
2
Cijklεijεkl + σ
o
ijεij +W
o =
22 Teoria da Elasticidade
=
1
2
(
Cijklεkl + σ
o
ij
)
εij +
1
2
σoijεij +W
o.
Introduzindo a relac¸a˜o tenso˜es-deformac¸o˜es, equac¸a˜o (6.23), resulta
W =
1
2
(
σij + σ
o
ij
)
εij +W
o. (6.47)
Falta agora definir W o. Verifica-se que W o e´ uma constante aditiva
que fica determinada quando se fixa o valor da densidade da energia de
deformac¸a˜o para um determinado estado de tensa˜o. Ora, como se referiu an-
teriormente, convenciona-se que e´ nula a energia de deformac¸a˜o de um corpo
no estado natural, desde que o corpo esteja livre de tenso˜es iniciais. Sendo
assim, a equac¸a˜o (6.47) permite considerar
W o =
1
2
σoijεij (6.48)
e portanto, da equac¸a˜o (6.47) resulta finalmente
W =
1
2
σijεij (6.49)
que e´ a expressa˜o da densidade da energia de deformac¸a˜o, no caso de na˜o
haver tenso˜es iniciais.
Pode obter-se a expressa˜o da densidade da energia de deformac¸a˜o em
termos das constantes de Lame´. Para isso basta introduzir a equac¸a˜o (6.30)
na equac¸a˜o (6.47) resultando
W =
1
2
(2µεij + λ�δij) εij. (6.50)
Substituindo (6.34) e (6.35) na equac¸a˜o (6.50), obte´m-se a expressa˜o da
densidade da energia de deformac¸a˜o, em termos de E e de ν, isto e´,
W =
E
2 (1 + ν)
(
εij +
ν
1− 2ν)�δij
)
εij. (6.51)
Finalmente, pode obter-se a expressa˜o da densidade da energia de de-
formac¸a˜o em termos das constantes K e G. Substituindo (6.36) e (6.37) na
equac¸a˜o (6.50), obte´m-se, apo´s alguma manipulac¸a˜o tensorial, as expresso˜es
2W = Gσtijε
t
ij +
θ
3
� (6.52)
e
2W = 2Gεtijε
t
ij +K�
2. (6.53)
6.11 Expresso˜es da densidade da energia de deformac¸a˜o 23
As equac¸o˜es (6.52) e (6.53) mostram que a densidade da energia de de-
formac¸a˜o tem duas parcelas independentes, uma relativa a` distorc¸a˜o e outra
relativa a` variac¸a˜o de volume.Naturalmente, esta conclusa˜o so´ e´ va´lida no
aˆmbito da hipo´tese da linearidade geome´trica.
Como a energia de deformac¸a˜o W e´ uma func¸a˜o definida positiva, a
equac¸a˜o (6.52) implica
G > 0 (6.54)
K > 0.
Considerando as equac¸o˜es (6.40) e (6.41) a condic¸a˜o (6.54) implica
E > 0 (6.55)
−1 < ν < 1
2
,
embora na natureza na˜o exista nenhum material com coeficiente de Poisson
negativo.
24 Teoria da Elasticidade
Cap´ıtulo 7
Os Problemas Fundamentais
7.1 Introduc¸a˜o
Seja um corpo onde se considera definido um campo ela´stico, isto e´, uma
distribuic¸a˜o de tenso˜es, de deformac¸o˜es e de deslocamentos.
A Teoria da Elasticidade considera que, em qualquer ponto do corpo, as
tenso˜es e as deformac¸o˜es se relacionam entre si por uma lei f´ısica carater´ıstica
do material e independente do tempo, com a expressa˜o geral (6.13).
Com base nesta hipo´tese, a Teoria da Elasticidade define treˆs problemas
fundamentais:
1. Problema das tenso˜es – determinar o campo ela´stico no interior de um
corpo, conhecidas as tenso˜es aplicadas na superf´ıcie.
2. Problema dos deslocamentos – determinar o campo ela´stico no interior
de um corpo, conhecidos os deslocamentos na superf´ıcie.
3. Problema misto – determinar o campo ela´stico no interior de um corpo,
conhecidas as tenso˜es aplicadas numa parte da superf´ıcie e os desloca-
mentos na parte restante.
Considere-se o problema misto, o caso mais geral que tem como casos
particulares os outros dois.
O domı´nio V do corpo, onde atuam forc¸as de massa de densidade fi, tem
contorno S = Sσ + Su, onde atuam forc¸as de superf´ıcie de densidade σi e se
restringem deslocamentos ui, respetivamente.
O problema posto tem 15 inco´gnitas que sa˜o 3 componentes de deslo-
camento ui, 6 componentes independentes de tensa˜o σij e 6 componentes
independentes de deformac¸a˜o εij.
26 Os Problemas Fundamentais
Para determinar as 15 inco´gnitas dispo˜e-se de 15 equac¸o˜es independentes
que sa˜o 3 equac¸o˜es de equil´ıbrio, 6 equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos e 6
equac¸o˜es tenso˜es-deformac¸o˜es, respetivamente dadas por
σij,i + fj = 0, (7.1)
εij =
1
2
(ui,j + uj,i) (7.2)
e
σij = 2µεij + λ�δij, (7.3)
com as condic¸o˜es de contorno
σijni = σj (7.4)
em Sσ e
uj = uj (7.5)
em Su.
As 15 inco´gnitas do problema, e consequentemente as 15 equac¸o˜es, podem
ser reduzidas por eliminac¸a˜o, seguindo-se uma de duas vias: ou eliminar as
tenso˜es e deformac¸o˜es, ficando o problema expresso em termos dos desloca-
mentos, portanto com 3 inco´gnitas e 3 equac¸o˜es, ou eliminar os deslocamen-
tos e deformac¸o˜es, ficando agora o problema expresso em termos das tenso˜es,
portanto com 6 inco´gnitas e 6 equac¸o˜es. Seguindo a primeira via, chega-se a`s
equac¸o˜es de Navier, equac¸o˜es de equil´ıbrio expressas em termos dos desloca-
mentos. Seguindo a segunda via, chega-se a`s equac¸o˜es de Beltrami-Michell,
equac¸o˜es de compatibilidade expressas em termos das tenso˜es.
Estes me´todos de eliminac¸a˜o que se podem usar nos modelos anal´ıticos da
Teoria das Estruturas, sa˜o duais do me´todo dos deslocamentos e do me´todo
das forc¸as nos modelos discretos.
7.2 Princ´ıpio da sobreposic¸a˜o
O princ´ıpio da sobreposic¸a˜o estabelece que se um corpo for submetido a um
conjunto de ac¸o˜es independentes, qualquer efeito de uma combinac¸a˜o linear
desta ac¸o˜es e´ igual a` mesma combinac¸a˜o linear dos efeitos correspondentes
das ac¸o˜es primitivas. Por outras palavras, uma combinac¸a˜o linear de soluc¸o˜es
das equac¸o˜es (7.1) a (7.5) constitui uma nova soluc¸a˜o daquelas equac¸o˜es,
correspondente a` mesma combinac¸a˜o linear das ac¸o˜es.
A validade do princ´ıpio da sobreposic¸a˜o esta´ na linearidade total, isto e´
linearidade f´ısica e linearidade geome´trica, admitida na Teoria da Elastici-
dade.
7.3 Teorema da unicidade da soluc¸a˜o 27
7.3 Teorema da unicidade da soluc¸a˜o
Admita-se que o sistema de equac¸o˜es (7.1) a (7.5) tem soluc¸a˜o. O teorema da
unicidade de Kirchhoff mostra que se essa soluc¸a˜o existir enta˜o ela e´ u´nica.
O teorema da unicidade de Kirchhoff estabelece que, no caso de se admitir
a linearidade total e a estabilidade do material, a cada sistema de ac¸o˜es
exteriores corresponde um u´nico estado de tensa˜o.
A demonstrac¸a˜o deste teorema consiste em comec¸ar por admitir que ha´
na˜o 1, mas sim 2 estados de tensa˜o que equilibram o mesmo sistema de
ac¸o˜es exteriores, para concluir que e´ nula a energia de deformac¸a˜o do es-
tado diferenc¸a, o que comprova que os 2 estados de tensa˜o sa˜o globalmente
coincidentes, por terem a mesma energia de deformac¸a˜o.
Sejam enta˜o 2 estados de tensa˜o que equilibram o mesmo sistema de
ac¸o˜es exteriores. O princ´ıpio da sobreposic¸a˜o permite concluir que o estado
de tensa˜o σ∆ij , resultante da diferenc¸a dos 2 estados referidos, equilibra um
sistema de ac¸o˜es exteriores nulas, com
f∆i = 0 (7.6)
em V ,
σ∆ijni = σ
∆
j = 0 (7.7)
em Sσ e
u∆i = 0 (7.8)
em Su.
Para o estado diferenc¸a ∆, o teorema do trabalho vem∫
V
σ∆ij ε
∆
ij dV =
∫
V
f∆i u
∆
i dV +
∫
S
σ∆i u
∆
i dS. (7.9)
Tendo em conta as condic¸o˜es (7.6) a (7.8), a equac¸a˜o (7.9) resulta em∫
V
σ∆ij ε
∆
ij dV = 0. (7.10)
Considerando (6.49), com (6.5), a energia de deformac¸a˜o do estado dife-
renc¸a ∆, vem
U∆ =
∫
V
W∆ dV =
∫
V
1
2
σ∆ij ε
∆
ij dV. (7.11)
Finalmente, introduzindo (7.10) na equac¸a˜o (7.11) resulta
U∆ = 0 (7.12)
que significa que e´ nula a energia de deformac¸a˜o do estado diferenc¸a ∆.
A unicidade das tenso˜es implica, atrave´s da lei de Hooke (7.2), a unicidade
das deformac¸o˜es. Para que haja tambe´m unicidade dos deslocamentos e´
necessa´rio que as condic¸o˜es de contorno (7.5), na˜o permitam movimentos de
corpo r´ıgido. Nestas condic¸o˜es fica garantida a unicidade do campo ela´stico.
28 Os Problemas Fundamentais
7.4 Equac¸o˜es de Navier
Introduzindo as equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos (7.2), nas equac¸o˜es tenso˜es-
deformac¸o˜es (7.3), obteˆm-se as equac¸o˜es tenso˜es-deslocamentos
σij = µ (ui,j + uj,i) + λuk,kδij. (7.13)
Introduzindo agora as equac¸o˜es (7.13), nas equac¸o˜es de equil´ıbrio (7.1),
obteˆm-se as equac¸o˜es de equil´ıbrio em termos dos deslocamentos
µ (ui,ji + uj,ii) + λuk,kiδij + fj = 0, (7.14)
equac¸o˜es estas que ainda podem ser simplificadas.
Atendendo a`s operac¸o˜es
uk,kiδij = uk,kj = ui,ij (7.15)
e
ui,ji = ui,ij (7.16)
e ainda a` definic¸a˜o do operador Laplaciano
uj,ii = ∆uj, (7.17)
as equac¸o˜es (7.14) escrevem-se finalmente na forma
∆uj +
(
1 +
λ
µ
)
ui,ij +
1
µ
fj = 0 (7.18)
e representam as equac¸o˜es de Navier.
As condic¸o˜es de contorno em Sσ podem ser expressas em termos dos
deslocamentos. Introduzindo as equac¸o˜es (7.13) nas equac¸o˜es (7.4) obte´m-se
µ (ui,j + uj,i)ni + λuk,kδijni = σj (7.19)
que, apo´s uma contrac¸a˜o, resulta em
µ (ui,j + uj,i)ni + λuk,knj = σj. (7.20)
7.5 Equac¸o˜es de Beltrami–Michell
Por convenieˆncia, em vez das equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos (7.2),
considere-se a expressa˜o geral das equac¸o˜es de compatibilidade das deformac¸o˜es
εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0. (7.21)
7.5 Equac¸o˜es de Beltrami–Michell 29
Das 81 equac¸o˜es em (7.21), so´ 6 sa˜o independentes. Fazendo l = k em
(7.21), obteˆm-se as equac¸o˜es independentes
εij,kk + εkk,ij − εik,jk − εjk,ik = 0. (7.22)
Introduzindo agora as equac¸o˜es deformac¸o˜es-tenso˜es (6.33), em (7.22),
vem
1 + ν
E
σij,kk − ν
E
σpp,kkδij +
1 + ν
E
σkk,ij − ν
E
σpp,ijδkk − (7.23)
−1 + ν
E
σik,jk +
ν
E
σpp,jkδik − 1 + ν
E
σjk,ik +
ν
E
σpp,ikδjk = 0,
ou seja
σij,kk + σkk,ij − σik,jk − σjk,ik = (7.24)
= − ν
1 + ν
(σpp,jkδik + σpp,ikδjk − σpp,kkδij − σpp,ijδkk) =
= − ν
1 + ν
(σpp,ij + σpp,ij − σpp,kkδij −3σpp,ij) =
=
ν
1 + ν
(σkk,ij + σpp,kkδij) .
Introduzindo as equac¸o˜es de equil´ıbrio (7.1), em (7.24), resulta
σij,kk +
1
1 + ν
σkk,ij =
ν
1 + ν
σpp,kkδij − fi,j − fj,i. (7.25)
Para calcular o termo σpp,kk basta considerar o caso de j = i, na equac¸a˜o
(7.25), ou seja
σii,kk +
1
1 + ν
σkk,ii =
3ν
1 + ν
σpp,kk − 2fi,i (7.26)
σii,kk +
1
1 + ν
σii,kk =
3ν
1 + ν
σii,kk − 2fi,i
σii,kk = σpp,kk = −1 + ν
1− ν fi,i = −
1 + ν
1− ν fk,k.
Com este resultado, a equac¸a˜o (7.25) pode finalmente escrever-se
σij,kk +
1
1 + ν
σkk,ij +
ν
1− ν fk,kδij + fi,j + fj,i = 0 (7.27)
e representa as 6 equac¸o˜es de Beltrami-Michell, dentre as quais so´ 3 sa˜o
independentes. Portanto, para se poderem determinar as 6 componentes de
30 Os Problemas Fundamentais
tensa˜o, e´ necessa´rio complementar as 3 equac¸o˜es independentes com as 3
equac¸o˜es de equil´ıbrio (7.1).
Se o campo das forc¸as de massa for solenoidal, isto e´, se
∇ · f = fk,k = 0, (7.28)
a equac¸a˜o (7.27) reduz-se a
σij,kk +
1
1 + ν
σkk,ij + fi,j + fj,i = 0. (7.29)
Cap´ıtulo 8
Formulac¸a˜o Unidimensional
8.1 Introduc¸a˜o
8.2 Me´todo semi–inverso
8.3 Princ´ıpio de Saint–Venant
8.4 Formulac¸a˜o do problema de Saint–Venant
8.5 Trac¸a˜o
8.6 Torc¸a˜o
8.6.1 Func¸a˜o de Prandtl
8.7 Flexa˜o circular
8.8 Flexa˜o com esforc¸o cortante
32 Formulac¸a˜o Unidimensional
Cap´ıtulo 9
Formulac¸o˜es Bidimensionais
9.1 Introduc¸a˜o
A lei de Hooke e´ uma lei tridimensional e, por esta raza˜o, na˜o existe uma elas-
ticidade absolutamente plana, isto e´, em que tanto o estado de deformac¸a˜o
como o estado de tensa˜o sejam simultaneamente planos. Efetivamente, em
virtude da lei de Hooke verifica-se que, se for plano o estado de deformac¸a˜o,
em geral na˜o o sera´ o de tensa˜o e vice-versa, a menos que seja nulo o coefi-
ciente de Poisson, o que em geral na˜o acontece.
9.2 Deformac¸o˜es planas
Num estado duplo de deformac¸a˜o e´ nula uma das componentes principais de
deformac¸a˜o. Se a direc¸a˜o correspondente a` componente principal nula for a
mesma em todos os pontos do corpo, o estado de deformac¸a˜o e´ plano.
Seja x3 a direc¸a˜o correspondente a` componente principal nula. Tem-se
enta˜o
ε13 = ε23 = ε33 = 0 (9.1)
em todo o corpo. Introduzindo estas condic¸o˜es nas relac¸o˜es deformac¸o˜es-
deslocamentos vem
u3,1 + u1,3 = 0 (9.2)
u3,2 + u2,3 = 0
u3,3 = 0.
Integrando, obte´m-se o campo de deslocamentos
u1 = f1 − g,1x3 (9.3)
34 Formulac¸o˜es Bidimensionais
u2 = f2 − g,2x3
u3 = g
em que f1, f2 e g sa˜o func¸o˜es arbitra´rias de x1 e x2.
Os estados planos de deformac¸a˜o correspondem a g(x1, x2) = 0, en-
quanto os estados anti-planos de deformac¸a˜o que a hipo´tese de Kirchhoff
admite que se instalam numa laje carregada transversalmente, correspon-
dem a f1 = f2 = 0 e g(x1, x2) 6= 0.
Consequentemente, o campo de deslocamentos num estado plano de de-
formac¸a˜o e´ dado por
u1 = u1 (x1, x2) (9.4)
u2 = u2 (x1, x2)
u3 = 0.
O estado plano de deformac¸a˜o aparece num cilindro limitado por dois
planos r´ıgidos perpendiculares ao seu eixo e rigidamente ligados entre si,
para que a distaˆncia entre eles se mantenha invaria´vel, sujeito a` ac¸a˜o de
forc¸as paralelas aos planos e uniformemente distribu´ıdas ao longo do res-
petivo eixo, como mostra a Figura (9.2). Aproximam-se destas condic¸o˜es
Figura 9.1: Estado plano de deformac¸a˜o.
ideais, por exemplo as barragens de gravidade e os tu´neis, esquematicamente
representados nas Figuras (9.2(a)) e (9.2(b)).
As deformac¸o˜es correspondentes ao campo de deslocamentos (9.4) sa˜o
todas nulas exceto
ε11 = u1,1 (9.5)
ε22 = u2,2
ε12 =
1
2
(u1,2 + u2,1) .
9.2 Deformac¸o˜es planas 35
(a) Barragem de gravidade. (b) Tu´nel.
Figura 9.2: Estado plano de deformac¸a˜o.
As tenso˜es correspondentes podem ser calculadas introduzindo (9.1) na
lei de Hooke para se obter
σ11 =
E(1− ν)
(1 + ν)(1− 2ν)
(
ε11 +
ν
1− ν ε22
)
(9.6)
σ22 =
E(1− ν)
(1 + ν)(1− 2ν)
(
ε22 +
ν
1− ν ε11
)
σ12 =
E
1 + ν
ε12
e ainda
σ33 =
Eν
(1 + ν)(1− 2ν) (ε11 + ε22) (9.7)
σ32 = σ31 = 0.
Atendendo a (9.7), as equac¸o˜es de equil´ıbrio transformam-se em
σ11,1 + σ21,2 + f1 = 0 (9.8)
σ12,1 + σ22,2 + f2 = 0
e as equac¸o˜es de equil´ıbrio no contorno em
σ11n1 + σ21n2 = σ1 (9.9)
σ12n1 + σ22n2 = σ2.
As componentes da deformac¸a˜o podem exprimir-se em termos das tenso˜es,
resolvendo o sistema de equac¸o˜es (9.8), o que resulta em
ε11 =
1− ν2
E
(
σ11 − ν
1− ν σ22
)
(9.10)
ε22 =
1− ν2
E
(
σ22 − ν
1− ν σ11
)
ε12 =
1 + ν
E
ε12.
36 Formulac¸o˜es Bidimensionais
9.3 Tenso˜es planas
Num estado duplo de tensa˜o e´ nula uma das componentes principais de
tensa˜o. Se a direc¸a˜o correspondente a` componente principal nula for a mesma
em todos os pontos do corpo, o estado de tensa˜o e´ plano.
Seja x3 a direc¸a˜o correspondente a` componente principal nula. Tem-se
enta˜o
σ13 = σ23 = σ33 = 0 (9.11)
em todo o corpo.
Contrariamente ao que acontece com os estados planos de deformac¸a˜o, os
estados planos de tensa˜o na˜o teˆm muito interesse pra´tico. Sa˜o, no entanto,
verdadeiramente importantes os chamados estados quase-planos de tensa˜o.
9.4 Estados quase–planos de tensa˜o
Considere-se uma placa cil´ındrica com espessura uniforme e. Associam-se as
direc¸o˜es x1 e x2 ao plano me´dio da placa, ficando a direc¸a˜o x3 perpendicular
a`s respetivas faces. A placa esta´ sujeita a` ac¸a˜o de forc¸as exteriores aplicadas
na superf´ıcie lateral, supondo-se que sa˜o nulas as componentes com a direc¸a˜o
x3, ficando as faces livres de forc¸as exteriores, como mostra a Figura (9.3).
Assim, em cada face tem-se
Figura 9.3: Estado quase-plano de tensa˜o.
σ13 = σ23 = σ33 = 0 (9.12)
em todos os pontos.
Considere-se agora a equac¸a˜o de equil´ıbrio na direc¸a˜o da espessura, isto
e´
σ13,1 + σ23,2 + σ33,3 = 0 (9.13)
9.5 Resumo das equac¸o˜es 37
que, sobre as faces da placa se reduz para
σ33,3 = 0, (9.14)
em virtude de (9.12).
A equac¸a˜o (9.14) permite concluir que a tensa˜o σ33 e a respetiva taxa
de variac¸a˜o na direc¸a˜o da espessura sa˜o nulas nas faces da placa, o que
permite, simplificadamente, desprezar σ33. Esta simplificac¸a˜o faz com que a
teoria das tenso˜es quase-planas seja aproximada, relativamente a` Elasticidade
tridimensional, contrariamente a` teoria das deformac¸o˜es planas. A validade
desta simplificac¸a˜o exige que σ33 seja muito pequena em todos os pontos da
placa, o que realmente acontece se σ11, σ22 e σ12 variarem pouco, ao longo de
distaˆncias da ordem de e. Consequentemente, esta simplificac¸a˜o sera´ tanto
mais va´lida quanto mais fina for a placa.
Tomando valores me´dios, na espessura da placa, das equac¸o˜es de equil´ıbrio.
Verifica-se que sa˜o nulos os valores me´dios das tenso˜es σ13, σ23 e σ33. Con-
siderando agora a lei de Hooke, verifica-se que o valor me´dio da deformac¸a˜o
ε33 na˜o e´ nulo, sendo em cada ponto proporcional a σ11 + σ22.
Verificando-se que as componentes σ11, σ22 e σ12 variarem pouco, ao longo
de distaˆncias da ordem da espessura da placa, e´ razoa´vel confundir as tenso˜es
σ11, σ22 e σ12 com os seus valores me´dios, em todos os pontos da placa, po-
dendo escrever-se as equac¸o˜es de equil´ıbrio e a lei de Hooke em termos das
pro´prias grandezas e na˜o dos seus valores me´dios. Em resumo, as simpli-
ficac¸o˜es associadas ao estado quase-plano de tensa˜o, isto e´, tenso˜es σ33 nulas
em toda a placa e tenso˜es σ11, σ22 e σ12 com distribuic¸a˜o uniforme na espes-
sura, permitem considerar um estado plano, em lugar do estado quase-plano
de tensa˜o.
9.5 Resumo das equac¸o˜es
Tanto no caso das deformac¸o˜es planas como no caso das tenso˜es planas,
obtiveram-se as equac¸o˜es de equil´ıbrioσij,i + fj = 0 (9.15)
e as equac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos
εij =
1
2
(ui,j + uj,i) (9.16)
em que os ı´ndices podem agora tomar apenas os valores 1 e 2.
38 Formulac¸o˜es Bidimensionais
A equac¸a˜o (9.16) permite facilmente deduzir
ε11,22 + ε22,11 = 2ε12,12 (9.17)
que representa a u´nica equac¸a˜o de compatibilidade que subsiste na Elastici-
dade bidimensional.
Por outro lado, as equac¸o˜es tenso˜es-deformac¸o˜es podem escrever-se sim-
plesmente
σij =
E
1 + ν
(εij + ϕεkkδij) , (9.18)
sendo
ϕ =
ν
1− 2ν , (9.19)
no caso das deformac¸o˜es planas e
ϕ =
ν
1− ν , (9.20)
no caso das tenso˜es planas.
As equac¸o˜es de Navier podem obter-se facilmente, comec¸ando por intro-
duzir as equac¸o˜es (9.16) nas equac¸o˜es (9.18) para se obter
σij = G (ui,j + uj,i + 2ϕuk,kδij) (9.21)
e depois introduzir as equac¸o˜es (9.21) nas equac¸o˜es (9.15), vindo
ui,ij + uj,ii + 2ϕ (uk,k),i δij +
1
G
fj = 0 (9.22)
e, finalmente
∇2uj + (1 + 2ϕ)ui,ij + 1
G
fj = 0, (9.23)
em que G representa o mo´dulo de cisalhamento.
As equac¸o˜es de Beltrami-Michell da Elasticidade tridimensional reduzem-
se agora a uma u´nica equac¸a˜o que e´ a equac¸a˜o de compatibilidade expressa
em termos das tenso˜es. Assim, derivando a equac¸a˜o (9.23) em ordem a xj
obte´m-se
∇2uj,j + (1 + 2ϕ)ui,ijj + 1
G
f,j = 0. (9.24)
Mas como
ui,ijj = ∇2ui,i = ∇2uj,j, (9.25)
a equac¸a˜o (9.24) transforma-se em
∇2uj,j = − 1
2 (1 + ϕ)G
fj,j. (9.26)
9.6 O problema plano 39
Tendo em conta que
uj,j = εjj (9.27)
e ainda que, da equac¸a˜o (9.18) se pode obter
εjj =
1
2G (1 + 2ϕ)
σjj, (9.28)
a equac¸a˜o (9.26) pode finalmente escrever-se
∇2σjj = −1 + 2ϕ
1 + ϕ
fj,j. (9.29)
Se o campo das forc¸as de massa for solenoidal, isto e´, se
∇ · f = fk,k = 0, (9.30)
a equac¸a˜o 9.29 fica simplesmente
∇2σjj = 0. (9.31)
9.6 O problema plano
A Elasticidade plana pode ser formulada em termos semelhantes a`queles em
que foi formulada a Elasticidade tridimensional.
Trata-se enta˜o de resolver o sistema de 8 equac¸o˜es, 2 de equil´ıbrio (9.15), 3
de relac¸o˜es deformac¸o˜es-deslocamentos (9.16) e 3 de relac¸o˜es tenso˜es-deformac¸o˜es (9.18)
que envolvem 8 inco´gnitas, 3 tenso˜es σij, 3 deformac¸o˜es εij e 2 deslocamen-
tos uj. O campo ela´stico, isto e´, a distribuic¸a˜o destas inco´gnitas, define-se
num domı´nio plano com contorno S = Sσ + Su, onde sa˜o fixadas respetiva-
mente as tenso˜es aplicadas σj, e os deslocamentos uj, atrave´s das condic¸o˜es
de contorno, respetivamente
σijni = σj, (9.32)
em Sσ e
uj = uj (9.33)
em Su.
Tal como acontecia no caso tridimensional, podem tambe´m aqui formular-
se os 3 problemas fundamentais, de acordo com as condic¸o˜es de contorno
especificadas.
O problema plano pode formular-se em termos dos 2 deslocamentos uj,
recorrendo a`s 2 equac¸o˜es de Navier (9.23).
Em alternativa, o problema pode formular-se em termos das 3 tenso˜es σij,
recorrendo a` u´nica equac¸a˜o de Beltrami-Michell, na forma (9.29) ou (9.31),
que se complementa com as 2 equac¸o˜es de equil´ıbrio (9.15).
40 Formulac¸o˜es Bidimensionais
9.7 Func¸a˜o de Airy
O problema plano pode ainda formular-se em termos de uma func¸a˜o de
tenso˜es, dita func¸a˜o de Airy, cujas derivadas permitem calcular as compo-
nentes de tensa˜o.
Suponha-se que as forc¸as de massa fj, derivam de um potencial V , isto
e´,
fj = −V,j. (9.34)
Nestas condic¸o˜es, as equac¸o˜es de equil´ıbrio (9.15) escrevem-se
σij,i − V,j = 0. (9.35)
A primeira das equac¸o˜es de equil´ıbrio (9.35) pode escrever-se
(σ11 − V ),1 = −σ21,2 (9.36)
e a segunda
(σ22 − V ),2 = −σ12,1. (9.37)
A equac¸a˜o (9.36) implica que existe uma func¸a˜o F , tal que
σ11 − V = F,2 e σ21 = −F,1 (9.38)
e a equac¸a˜o (9.37) implica que existe uma func¸a˜o G, tal que
σ22 − V = G,1 e σ12 = −G,2. (9.39)
A simetria do tensor das tenso˜es σ12 = σ21, permite concluir, das equac¸o˜es
(9.38) e (9.39) que
F,1 = G,2 (9.40)
conclusa˜o esta que implica que existe uma func¸a˜o U , tal que
F = U,2 e G = U,1. (9.41)
Introduzindo (9.41) nas equac¸o˜es (9.38) e (9.39), obte´m-se
σ11 = U,22 + V
σ22 = U,11 + V
σ12 = −U,12 (9.42)
em que U e´ a func¸a˜o de Airy.
Airy estava convencido que a func¸a˜o U podia ser arbitra´ria, mas Maxwell
observou que um campo de tenso˜es geradas por uma func¸a˜o U arbitra´ria se
9.7 Func¸a˜o de Airy 41
limitaria a verificar as equac¸o˜es de equil´ıbrio, ja´ que so´ elas foram usadas
para deduzir (9.42).
Na realidade, segundo mostrou Maxwell, a suposta arbitrariedade da
func¸a˜o de Airy desaparece logo que se submeta as equac¸o˜es (9.42) a` condic¸a˜o
de compatibilidade das tenso˜es, isto e´, das deformac¸o˜es a elas associadas.
Efetivamente, introduzindo as equac¸o˜es (9.42) nas equac¸o˜es de Beltrami-
Michell, na forma (9.29), obte´m-se
∇2σjj = ∇2 (U,22 + U,11 + 2V ) =
= ∇2
(
∇2U + 2V
)
=
= ∇4U + 2∇2V =
= −1 + 2ϕ
1 + ϕ
fj,j. (9.43)
Introduzindo (9.34) na equac¸a˜o (9.43), vem
∇4U + 2∇2V = −1 + 2ϕ
1 + ϕ
fj,j =
= −1 + 2ϕ
1 + ϕ
(−V,j),j =
=
1 + 2ϕ
1 + ϕ
V,jj =
=
1 + 2ϕ
1 + ϕ
∇2V, (9.44)
ou seja
∇4U = − 1
1 + ϕ
∇2V (9.45)
que, no caso da func¸a˜o potencial V das forc¸as de massa ser uma func¸a˜o
harmoˆnica, isto e´ ∇2V = 0, se escreve simplesmente
∇4U = 0, (9.46)
o que significa que a func¸a˜o de Airy U , e´ uma func¸a˜o biharmoˆnica.
O problema plano foi assim convertido no da integrac¸a˜o da equac¸a˜o di-
ferencial de quarta ordem (9.46), a uma inco´gnita U , o que requer que se
estabelec¸am as apropriadas condic¸o˜es de contorno em termos de derivadas
de U .
No caso do primeiro problema fundamental, tendo em conta que
σi1ni = U,22n1 − U,12n2
σi2ni = −U,12n1 + U,11n2, (9.47)
42 Formulac¸o˜es Bidimensionais
as condic¸o˜es de contorno escrevem-se enta˜o
U,22n1 − U,12n2 = σ1
−U,12n1 + U,11n2 = σ2. (9.48)
No caso do segundo e do terceiro problemas fundamentais na˜o se consegue
exprimir facilmente os deslocamentos em termos das derivadas da func¸a˜o de
Airy, o que torna inconveniente esta formulac¸a˜o.
9.8 O problema biharmoˆnico fundamental 43
9.8 O problema biharmoˆnico fundamental
9.9 Influeˆncia do coeficiente de Poisson
9.10 Problemas em coordenadas cartesianas
9.10.1 Introduc¸a˜o
9.10.2 Polinoˆmios biharmoˆnicos
9.10.3 Flexa˜o de uma consola
9.11 Problemas em coordenadas polares
9.11.1 Introduc¸a˜o
9.11.2 Equac¸o˜es deformac¸o˜es–deslocamentos
9.11.3 Equac¸o˜es de equil´ıbrio
9.11.4 Func¸a˜o de Airy
9.12 Resoluc¸a˜o de problemas em coordena-
das polares
9.12.1 Campos com simetria radial
9.12.2 Campos sem simetria radial
9.12.3 O problema de Kirsch
9.12.4 O problema da cunha
9.12.5 Aplicac¸o˜es do problema da cunha
O problema de Flamant
Disco sujeito a duas forc¸as concentradas
Cunhas com 3600
9.13 Problemas axissime´tricos
9.13.1 Introduc¸a˜o
9.13.2 Equac¸o˜es de equil´ıbrio
9.13.3 Equac¸o˜es deformac¸o˜es–deslocamentos
9.13.4 Equac¸o˜es tenso˜es–deformac¸o˜es
9.13.5 Equac¸o˜es de Navier
9.13.6 Func¸a˜o de Love
9.13.7 O problema de Kelvin
9.13.8 Centro de compresso˜es
9.13.9 O problema de Boussinesq
44 Formulac¸o˜es Bidimensionais
Cap´ıtulo 10
Formulac¸o˜es Tridimensionais
10.1 Introduc¸a˜o
10.2 Func¸o˜es de deslocamentos
10.2.1 Potencial das deformac¸o˜es
10.2.2 Vetor de Galerkin
10.2.3 Soluc¸a˜o de Papkovich–Neuber
10.3 Potenciais de Boussinesq
10.4 Soluc¸o˜es singulares
46 Formulac¸o˜es Tridimensionais
Apeˆndice A
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48 The Companion CD-ROM
Refereˆncias Bibliogra´ficas