Resumo Completo e questões - teoria de Kirschoff

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
NÚCLEO DE TECNOLOGIA
ENGENHARIA CIVIL
FLEXÃO DE PLACAS:
TEORIA DE KIRCHOFF
CARUARU- PE
2017
ARIANNE CAMILA FLORÊNCIO ROCHA
MAYLON DIEFERSON SILVA DE SOBRAL
RODRIGO ARAÚJO PEREIRA LIMA
Flexão de placas: Teoria De Kirchoff
Trabalho referente à disciplina de Teoria da Elasticidade e Plasticidade do Curso de Mestrado em Engenharia Civil e Ambiental da Universidade Federal de Pernambuco.
Professora: Giuliana Furtado Franca Bono.
Caruaru – PE
2017
Flexão de placas – Teoria de Kirchoff
Para o entendimento dessa teoria é necessário fazer uma definição de placa, que pode ser descrita como um corpo tridimensional limitado por duas superfícies planas separadas entre si por uma grandeza definida como espessura, que é uma dimensão muito menor em relação às outras. O plano equidistante paralelo entre as superfícies planas externas é chamado de plano médio.
A teoria de Kirchoff é aplicada para placas delgadas por desprezar o efeito das deformações cisalhantes transversais. Nessa teoria, são apresentadas algumas hipóteses para determinação das relações e equações diferenciais básicas das placas, como:
a espessura da placa é pequena em relação as outras dimensões e constante;
obedecendo a lei de Hooke, o material da placa deve ser considerado elástico, homogêneo e contínuo, podendo ser isotrópico ou ortotrópico;
as deflexões da placa são mínimas, não alterando sua geometria;
Inicialmente, a superfície média da placa é considerada plana e não sofre deformações específicas na flexão;
os planos normais à superfície média da placa não se deformam após a ação da flexão;
as componentes de tensão transversais ao plano médio da placa podem ser desprezadas, devido serem valores pequenos;
apenas as cargas transversais à placa são consideradas. 
As hipóteses de Kirchoff são válidas para Teoria Clássica das Placas Finas desenvolvida por Lagrange em 1811. Para o estudo da teoria de Kirchoff será considerado uma placa delgada retangular, que está sofrendo a ação de forças transversais, gerando uma deformação de modo que as coordenadas iniciais passam a ser como apresentado nas Figuras 1 (a) e 1 (b).
Figura 1 - Ação das forças transversais em uma placa delgada retangular.
Como apresentado na Figura 1 (b), os giros do plano médio podem ser representados pelas seguintes expressões:
Essas rotações são positivas, e diminuem à medida que se aproximam do sentido positivo do eixo, logo suas derivadas segundas são negativas. As curvaturas da linha elástica da placa são representadas por essas derivadas. Os deslocamentos são considerados infinitesimais, logo as componentes inversas do raio de curvatura e da superfície da placa em planos normais aos eixos e podem ser aproximadas pela seguinte expressão:
Para o eixo x:
	Para o eixo y:
A Figura 2 apresenta o significado dos sinais das Equações (1) e (2) e mostra a componente , que representa o deslocamento na direção normal da placa.
Figura 2 - Redução do valor do giro na direção positiva dos eixos X e Y.
As placas também sofrem o efeito de torção, que pode ser descrito pela expressão do giro em uma determinada direção em relação a direção ortogonal, como apresentado na Equação (3):
A Figura 3 apresenta o significado dos sinais da Equação (3), assim como a geometria do sentido do giro de torção.
Figura 3 - Geometria do giro de torção
A Figura 4 ilustra o deslocamento de um ponto arbitrário P localizado a uma distância z do plano médio da placa.
Figura 4 - Deslocamento de um ponto normal ao plano médio da placa.
Segundo a Teoria Clássica de Flexão de Placas, os pontos situados na superfície média (z=0) sofrem um deslocamento na direção z, quando a placa se deforma, Deste modo, uma linha reta perpendicular à superfície, assim permanecerá perpendicular após o carregamento (linha OP-O’P’).
Como é considerado apenas o efeito da flexão, os deslocamentos de P nas direções x e y são devidos somente à rotação da normal ao plano médio.
O ponto P, situado a uma distancia z da superfície média, apresenta deslocamentos nas direções x e y, chamados de e , respectivamente. Admitindo-se o deslocamento w com função de x e y, ou seja:
Para melhor visualização, pode-se construir o triangulo constituído pelo ângulo oriundo da deformação de um ponto P qualquer:
Figura 5 - Triangula formado pela deformação em x e pela distancia z.
A partir da geometria da figura 5 pode-se estabelecer as seguintes relações:
De forma análoga, para a direçãao y:
Ao se estudar a deformação de um sólido elático, presume-se que o mesmo seja dotado de restrições que impedem seu deslocamento como corpo rígido, de tal maneira que nenhum deslocamento de suas partículas aconteça sem que este se deforme.
Considerando um regine de pequenas deformações, as reações diferenciais entre deformações e deslocamentos, podem ser escritas como:
As relações constitutivas, ou seja, equações que estabelecem a relação entre tensões e deformaçõe, são obtidas por meio da Lei de Hooke generalizada, uma vez que se admite um material isotrópico e com comportamente elástico-linear. Essas relações podem serdescritas matematicamente na forma:
As variáveis E e representam o Módulo de Elasticidade Longitudinal e o Coeficiente de Poisson, respectivamente, correspondendo às proriedades físicas do material. Com base nas características geométricas da placa, onde uma dimensão é muito inferior às demais, tem-se que a mesma é representada por algo semelhante a um estado plano de tensões. Sendo assim, pode-se ainda definir:
Com isso, cancelando a tensão normal em z nas expressões (9) e (10), busca-se isolar a tensão e obter-se uma expressão para esta em função das deformações, Assim:
Isolando a tensao de x em (12):
Substituindo (14) em (13)
Resolvendo a expressão para a tensao em y:
Substituindo (16) em (14):
A expressão para o cisalhamento pode ser formulada apartir da expressão (11):
Substituindo (6) e (7) em (17):
Substituindo (6) e (7) em (16)
Substituindo (8) em (18):
Os momentos de flexão e torção por unidade de largura, podem então serem calculados, o momento fletor em x é obtido via:
Substituindo o valor obtido obtido em (19) na expressão (22):
Resolvendo a integral:
Avaliando a função:
O momento fletor em y pode se obtido via:
Substituindo o valor obtido obrido em (20) na expressão (26):
Resolvendo e avaliando a integral:
O momento torsor pode se obtido via:
Substituindo o valor obtido obrido em (21) na expressão (29):
Resolvendo e avaliando a integral:
Para facilitar a notação matricial, adota-se a seguinte relação:
Substituindo (32) em (31), pode chegar a expressão final do momento:
Obtidas , e , pode-se observar que essas equações podem ser escritas em forma matricial. Para colocar em forma matricial o primeiro passo é colocar o termo em evidência:
Após isso, é colocada em evidência a matriz constitutiva para esse caso. Dessa forma, escritos de forma matricial, , e são dados por:
Já na Figura 6, são ilustrados os momentos , e , assim como os esforços cortantes e .
Figura 6 – Momentos e esforços cortantes na placa plana.
Definindo como sendo o carregamento distribuído na direção transversal ao plano da placa. Pode-se escrever os equilíbrios dos esforços nas verticais, sendo que o equilíbrio é dado por:
Onde, representa os esforços nas verticais.
Observando a Figura 6 e sabendo que as solicitações e são por unidade de comprimento e que por unidade de área, pode-se dizer que o equilíbrio dos esforços na vertical toma a seguinte configuração inicial:
Onde, corresponde a área do plano na qual está atuando , sendo que a área para o caso da Figura 6 é dada por:
Substituindo (36) em (35) e reconfigurando a equação (35), tem-se que:
Além disso na equação (37), os termos e se anulam. Com isso a equação fica iguala:
Dividindo todos os termos da equação (38) por , tem-se como resultado a equação final que descreve o equilíbrio dos esforços verticais, que é dada na equação (39).
Além disso, também, pode-se escrever as equações de equilíbrio dos momentos em torno dos eixos e , sendo que as equações de equilíbrio para esses casos são dadas por:
Onde, representa os momentos em torno do eixo e representa os momentos em torno do eixo .
Observando a Figura 6 e sabendo que os momentos e são por unidade de comprimento e que o esforço também, pode-se perceber que a configuração inicial para o equilíbrio dos momentos em torno de fica igual a:
Reconfigurando a equação (40), tem-se que: 
Observando a equação (41), pode-se perceber que os termos e irão se anular, dessa forma:
Dividindo a equação (42) por , tem-se que o resultado da equação final que representa o equilíbrio dos momentos em torno de é igual a:
Observando novamente a Figura 6 e sabendo que e são por unidade de comprimento e que o esforço também, então pode-se dizer que a configuração do momento em torno de é dado por:
Reorganizando a equação (44), tem-se que: 
Observando a equação (45), pode-se notar que os termos e irão se anular, dessa forma:
Para finalizar, dividindo a equação (46) por , tem-se que o resultado da equação final que representa o equilíbrio dos momentos em torno de é igual a:
Com as equações (39), (43) e (47), é possível obter e . 
Inicialmente será obtido , sendo que o primeiro passo do procedimento é isolar na equação (47). Dessa forma, essa equação fica igual a:
Como as equações que definem e já foram obtidas, então é possível obter as derivadas parciais referentes a essas variáveis. Dessa forma, abaixo serão obtidas as derivadas parciais com relação da equação (25) e com relação da equação (33).
Substituindo as equações (49) e (50) em (48), tem-se que:
Reorganizando a equação (51), obtém-se que:
 
Como o termo é anulado da equação (52), então a expressão fica sendo igual a:
Colocando o termo em evidência na equação (53), tem-se que a equação que define é igual a:
O próximo passo é obter , sendo que o primeiro passo para esse procedimento é isolar na equação (43). Sendo assim, essa equação fica igual a:
Como as equações que definem e já foram obtidas, então é possível obter as derivadas parciais referentes a essas variáveis. Dessa forma, abaixo serão obtidas as derivadas parciais com relação a da equação (28) e com relação a da equação (33).
Substituindo as equações (56) e (57) em (55), tem-se que:
Reorganizando a equação (58), obtém-se que:
 
Como o termo é anulado na equação (59), então a expressão fica sendo igual a:
Colocando o termo em evidência na equação (60), tem-se que a equação que define é igual a:
Com a obtenção das equações (54) e (61), é possível chegar a equação diferencial que governa o problema de flexão de placas finas. O primeiro passo para a obtenção dessa equação é obter as derivadas parciais com relação a da equação (54) e com relação a da equação (61).
Substituindo as expressões (62) e (63) em (39), tem-se que:
Reordenando a expressão (64), obtém-se que:
Somando os termos semelhantes na equação (65), tem-se que:
Colocando o termo constante em evidência e passando o para o outro lado da igualdade na equação (66), tem-se que:
Fazendo e substituindo na equação (67), fica igual a:
Dividindo a expressão (68) por , obtém-se a equação diferencial que rege o problema placas finas submetidas a flexão. Sendo que essa equação é dada por:
Vale salientar, que para definir completamente o problema é necessário adicionar as condições de contorno, que vão depender das vinculações na qual a placa está submetida.
Com isso, nesse trabalho, serão mostradas a resolução de alguns exemplos de placas finas utilizando a teoria de Kirchoff.
Problema 1
Seja uma placa retangular simplesmente apoiada em todo o seu contorno e sujeita a uma carga . As dimensões dos lados da placa são e . A Figura 1.1 ilustra o problema. Calcular os deslocamentos , os momentos , e seus valores máximos usando o método de Navier (desenvolvimento em séries duplas).
Figura 1.7 - Placa retangular simplesmente apoiada sujeita a uma carga p=p(x,y).
Para essa situação, a placa deve satisfazer a equação (69), adotando as condições de contorno a seguir:
 em e 	(1.1)
 em 		(1.2)
 em 		(1.3)
Utilizando a série dupla de Fourier para solucionar o problema, temos:
 	(1.4)
Onde se observa que as condições apresentadas nas equações (1.1), (1.2) e (1.3) são atendidas.
	(1.5)
Para isso, serão resolvidas as derivadas de em relação a , adotando os termos a seguir:
β
θ
α
Ou
Substituindo os termos na quarta derivada, temos:
Agora resolvendo as derivadas de em relação a , serão adotados os termos a seguir:
α
β
θ
Ou
Substituindo os termos na quarta derivada, temos:
Agora resolvendo as derivadas da em relação a e , serão adorados os termos a seguir:
β
θ
α
Substituindo os termos na quarta derivada, temos:
Agora, substituindo os valores das derivadas calculadas na equação 5.99, temos:
 (Rigidez à flexão)	(1.6)
Simplificando a expressão, temos:
 (1.7)
Desenvolvendo o carregamento pela série dupla de Fourier, temos:
 (1.8)
Onde, para esta situação pode ser considerado:
 (1.9)
Substituindo a equação (1.8) na equação (1.7), temos:
Simplificando a expressão, temos:
Para atender a equação (1.10), podemos afirmar que a expressão a seguir é verdadeira:
Logo, temos:
Verifica-se que a expressão acima pode ser simplificada por produto notável:
 (1.11)
Isolando a parcela e reorganizando a expressão, temos:
 (1.12)
Desenvolvendo a equação (1.9) para , temos:
Adotando os seguintes termos:
Substituindo os termos:
Efetuando a integral, temos:
Agora, para integrar em relação a , será adotado os seguintes termos:
Substituindo os termos:
Efetuando a integral, temos:
Sendo e números inteiros ímpares, temos a seguinte expressão:
 (1.13)
Substituindo as equações (1.13) na equação (1.12), temos:
Agora, substituindo na equação (1.4):
Organizando a expressão obtemos:
 	Equação (1.14)
Para 
Sendo o deslocamento máximo igual a e , temos:
Sendo e números inteiros ímpares, temos:
	 (1.15)
Observação: o numerador da expressão (1.15) sempre será 1, logo a equação poderá ser expressada da seguinte forma, em relação a e :
, para 
Para o cálculo dos momentos fletores serão utilizadas as expressões (5.93a) e (5,93b) do livro Teoria da Elasticidade Aplicada à Mecânica Estrutural de Armando Miguel Awruch e Inácio Benvegnu Morsch.
 (5.93a)
 (Rigidez à flexão)
Substituindo na expressão (5.93a) temos:
Efetuando a segunda derivada da função em relação a :
E em relação a :
Substituindo as derivadas na equação (5.93a), temos:
Dessa forma, o momento fletor em relação a será:
 (1.16)
Para o cálculo do momento fletor em relação a será utilizada a expressão (5.93b):
Substituindo as derivadas na expressão (5.93b):
 	(1.17)
Com o auxílio do MATLAB foi feita a plotagem de , e . Utilizando-se os seguintes dados:
O algoritmo que fez a plotagem está em apêndice ao final deste relatório. Abaixo seguem as plotagens realizadas.
Figura 1.2 – Deformada.
Figura 1.3 – Momento Mxx .
Figura 1.4 – Momento Myy .
Problema 2
Seja uma placa retangular simplesmente apoiada em todo o seu contorno e sujeita a uma carga , aplicada apenas em uma região, como indicado na Figura 2.1. Calcular os deslocamentos usando o desenvolvimento em séries duplas (ou seja, usando solução de Navier).
Figura 2.1- Placa com carga uniforme parcial
Assim como no Problema 1, a placa deve satisfazer a equação (69) adotando as condições de contorno a seguir:
 em e 
 em 
 em 
Utilizando a série dupla de Fourier para solucionar o problema,temos que:
Onde se observa que as condições apresentadas nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) estão de acordo com o que se exige para a utilização da solução de Navier. Sabendo-se que a equação diferencial que rege o problema é dado por:
Sendo assim, serão resolvidas as derivadas de em relação a , adotando os termos a seguir:θ
α
β
Dessa forma a primeira derivada de com relação a , considerando os termos α, θ e β da equação (2.6), é dada por:
Com o cálculo da derivada primeira é possível obter a derivada segunda de com relação a . Sendo assim, derivando (2.7), tem-se que:
Com a derivada segunda calculada, deve-se achar a terceira derivada de com relação a por meio da expressão (2.8). 
Por fim, a partir da equação (2.9), obteve-se a quarta derivada de com relação a , que está expressa abaixo.
Simplificando (2.10), tem-se que:
Substituindo os termos α, θ e β com os valores correspondentes na equação (2.11):
Agora resolvendo as derivadas da em relação a , serão adotados os termos a seguir:
α
β
θ
Dessa forma a primeira derivada de com relação a , considerando os termos α, θ e β da equação (2.13), é dada por:
Com o cálculo da derivada primeira é possível obter a derivada segunda de com relação a . Sendo assim, derivando (2.14), tem-se que:
Com a derivada segunda calculada, deve-se achar a terceira derivada de com relação a por meio da expressão (2.15). 
Por fim, a partir da equação (2.16), obteve-se a quarta derivada de com relação a , que está expressa abaixo.
Simplificando (2.17), tem-se que:
Substituindo os termos α, θ e β com os valores correspondentes na equação (2.18):
Agora resolvendo as derivadas da em relação a e , serão adotados os termos a seguir:
α
β
θ
Derivando a equação (2.20) com relação a , considerando os termos α, θ e β, tem-se que:
Derivando a equação (2.21) com relação a , tem-se que:
Substituindo os termos α, θ e β com os valores correspondentes na equação (2.22):
Agora, substituindo os valores das equações (2.12), (2.19) e (2.23) na equação (2.5), temos que:
 	Simplificando a expressão (2.24), tem-se que:
Desenvolvendo o carregamento pela série dupla de Fourier, dada na equação (XX), tem-se que:
Onde, para este caso fica sendo como:
Passando o termo para o outro lado da igualdade em (2.25), temos que:
Substituindo a equação (2.26) na (2.28), tem-se que:
Simplificando a expressão (2.29), temos que:
Para atender a equação (2.30), podemos afirmar que a expressão a seguir é verdadeira:
Simplificando a equação (2.31), tem-se que:
Como , então se tem que:
 
Isolando a parcela em (2.33) e reorganizando a expressão, tem-se que:
Além disso, como o carregamento distribuído considerado para este caso é constante, . Substituindo em (2.27), tem-se que
Primeiro será resolvido a integração com relação , adotando os seguintes termos para integração por substituição, tem-se que:
Além disso, como a integração é por substituição os novos limites de integração são:
Substituindo os termos acima em (2.35), tem-se que:
Efetuando a integral com relação a , tem-se que:
Resolvendo os limites de integração e substituindo pelo seu valor, tem-se que:
Agora, para integrar em relação a , será adotado os seguintes termos para a substituição:
Além disso, como a integração é por substituição os novos limites de integração são:
Substituindo os termos acima, tem-se que:
Efetuando a integral (2.39), temos que:
Resolvendo os limites de integração e substituindo pelo seu valor, tem-se que:
Reorganizando a equação (2.41), tem-se que:
Para simplificação da equação (2.42) serão utilizadas duas identidades trigonométricas, que são: 
Dessa forma, tem-se que:
Substituindo as equações (2.44), (2.45), (2.46) e (2.47) em (2.42), tem-se que:
Simplificando a equação (2.48), tem-se que:
Simplificando novamente a expressão que representa (2.49), tem-se que:
Com a obtenção da constante , é possível se obter . Sendo assim, substituindo (2.50) em (2.34), tem-se que:
Reorganizando a expressão (2.51), tem-se que:
Com o valor da constante é possível se obter a expressão que determina a deformação da placa em questão. Para fazer essa obtenção é só substituir a equação (2.52) na equação (2.4), tem-se que:
Com o auxílio do MATLAB foi feita a plotagem de . Utilizando-se os seguintes dados:
O algoritmo que fez a plotagem está em apêndice ao final deste relatório. Abaixo seguem as plotagens realizadas.
Figura 2.2 – Deformada.
Problema 3
Resolver o Problema 2 considerando que a placa está sujeita a uma carga concentrada P.
Solução: nesse caso, considera-se que e deve-se fazer tender e para zero.
Do Problema 2, tem-se a seguinte configuração:
Figura 8.1 - Placa com carga uniforme parcial
Da mesma forma que nos outros Problemas, a placa deve satisfazer a equação (69) adotando as condições de contorno a seguir:
 em e 
 em 
 em 
Utilizando a série dupla de Fourier, a solução do problema pode ser representada pela seguinte série:
Satisfazendo as condições de contorno do problema. A equação diferencial de equilíbrio da placa segue a formatação:
	(3.5)
Tendo que B é a rigidez a flexão da placa, assim:
	(3.6)
De forma idêntica aos problemas anteriores, calcula-se a quarta derivada renomeando os termos da expressão:
β
θ
α
Com isso facilita-se a busca pelas derivadas em função de uma vez que as variáveis α, θ e β não são função da variável e podem ser tratadas como constantes. Assim é calculada a primeira derivada em relação a :
Seguindo o mesmo principio, podem ser obtidas as variáveis segunda, terceira e quarta:
Assim, pode obter a expressão da quarta derivada em função de :
Retornando os valores originais das constantes adotadas:
Agora resolvendo as derivadas de em relação a , dota-se um procedimento igual, no intuito de facilitar a demonstração do calculo:
β
θ
α
Assim, os termos independentes de podem ser simplificados no detalhamento da expressão.
Seguindo o mesmo procedimento, obtém-se as derivadas de ordem superior, necessárias:
Assim, pode obter a expressão da quarta derivada em função de :
Retornando os valores originais das constantes adotadas:
Para calcular a derivada quarta de em funçao de e de , parte-se da expressão 3.8, que representa a derivada segunda de em relação a , com isso renomeia-se os termos independentes de para facilitar a demonstração da derivada desta expressão em relação a :α
θ
β
Com isso são obtidas as derivas terceira e quarta de :
Substituindo os valores das constantes:
Com isso tem-se os três termos para a expressão 3.5:
Reagrupando os termos, pode-se escrever a expressão na forma:
Expressando o carregamento por séries duplas de senos, tem-se:
Para a formatação do problema:
Substituindo a expressão (3.27) na expressão (3.25) e trazendo o termo com o carregamento para antes da igualdade, tem-se:
Reagrupando os termos:
Uma vez que as funções seno podem adotar valores, para que se garanta a igualdade, deve-se estabelecer que:
Colocando em evidência:
Simplificando a expressão em função de m e n e Isolando a parcela de :
 (3.33)
Desenvolvendo a equação (3.28) para , tem-se:
Os limites de integração são definidos da mesma forma que no Problema 2, sendo:
Isso ocorre uma vez que mesmo neste problema a carga ser pontual, ela advém da transformação da carga distribuída do Problema 2 em uma carga pontual, assim a área de integração se mantém inalterada para o calculo do carregamento.
Resolvendo a integral em utiliza-se a seguinte substituição:
Recalculando os limites de integração:
Substituindo esses valores na expressão (3.34):
Efetuando a integral com relação a :
Avaliando a função nos limites:
Resolvendo a integral em utiliza-se a seguinte substituição:
Recalculando os limites de integração:
Substituindo os termos acima, tem-seque:
Calculando-se a integral:
Avaliando a função nos limites de integração:
Reordenando a expressão (3.40):
Para conseguir chegar em uma expressão mais harmônica utiliza-se duas identidades trigonométricas, que são: 
Assim, pode-se calcular:
Renomeando:
Levando o resultado das expressões (3.42) à (3.45) para a formulação (3.41):
Com isso as parcelas de cosseno se anulam e as de seno somam-se, resultando na formulação a seguir.
Substituindo os valores das constantes em (3.47), tem-se:
Pode-se assim formular uma expressão para :
No enunciado da questão afirma-se que , logo:
Substituindo (3.50) em (3.49):
Reescrevendo:
Das relações de divisão de frações:
Assim, utilizando-se tal principio, pode-se reconfigurar a expressão (3.52):
No momento em que o enunciado afirma que deve-se tender c e d ao infinito, pode-se empregar a regra de L’Hospital:
Empregando esses valores estabelecidos por L’Hospital, tem-se para a expressão (3.53):
Com isso, pode-se substituir (3.53) em (3.33):
Com isso, substitui-se (3.54) em (3.4) para obter-se a expressão de calculo da deformação da placa:
Com o auxílio do MATLAB foi feita a plotagem de . Utilizando-se os seguintes dados:
O algoritmo que fez a plotagem está em apêndice ao final deste relatório. Abaixo seguem as plotagens realizadas.
Figura 3.2 – Deformada.
Problema 4
Nesse exemplo será resolvido o problema de uma placa submetida a um carregamento distribuído uniforme com uma extremidade engastada () e as outras extremidades são simplesmente apoiadas. A placa em questão está mostrada na Figura 4.1.
Figura 4.1 - Placa engastada em e simplesmente apoiada nas outras extremidades
Para obter a deformação para esse caso é necessário fazer a combinação das soluções achadas para uma placa simplesmente apoiada submetida a um carregamento distribuído e o caso em que uma placa está submetida a uma distribuição de momentos somente na extremidade . Sendo assim, primeiro serão demonstrados os procedimentos para placa simplesmente apoiada com carregamento distribuído uniforme e Placas retangulares carregadas com momentos ao longo da borda. Depois é que será feita a resolução do exemplo em si.
Placa simplesmente apoiada com carregamento distribuído uniforme
Abaixo segue a Figura 4.2, que representa uma placa simplesmente apoiada. Essa placa está submetida a uma carga distribuída uniforme. 
Figura 4.2 - Placa simplesmente apoiada
A solução de Lévy é aplicável à flexão de placas retangulares com condições de contorno simplesmente apoiadas em dois lados opostos ( e ) e condições de contorno arbitrárias nos outros lados ( ). A solução completa é a soma da solução da equação (69) tornada homogênea com uma solução particular da equação diferencial (69). Como solução da equação diferencial homogênea, tem-se que: 
Onde é apenas em função de e será determinado de forma que satisfaça as condições de contorno para as extremidades . Assumindo que os lados e são simplesmente apoiados (Figura 4.2). Consequentemente os termos da série da equação (4.1) satisfazem as condições de contorno e nos dois lados. 
Sabendo-se que a equação diferencial que rege o problema é dada por:
Então a forma homogênea de (4.2) é igual a:
Para colocar (4.3), em função de é necessário primeiro obter , que será calculada abaixo:
Após se obter a equação (4.4), será obtido , sendo que o cálculo está descrito abaixo:
Por fim, será obtido , sendo que o cálculo está descrito abaixo:
Substituindo (4.4), (4.5) e (4.6) em (4.3), tem-se que:
Colocando o somatório e termo em evidência na equação (4.7), tem-se que:
Para que a somatória acima seja verdadeira para qualquer valor de x, o primeiro termo deve ser sempre nulo na somatória, dessa forma:
Vale dizer que a solução geral () é da seguinte forma:
Onde , , e são constantes a serem determinadas.
Substituindo (4.10) em (4.1), tem-se que a solução homogênea será dada por:
Sabendo-se que a forma da equação diferencial particular é a própria equação (4.2), então se tem que:
Sendo assim, propondo uma solução particular da seguinte forma:
Além disso, a forma da expansão do carregamento é dada por:
Como a carga não varia em , então para esse caso , substituindo em (4.14) se tem que:
Onde:
Como nesse caso e substituindo esse valor em (4.16), tem-se que:
É necessário resolver por substituição a integral (4.17), sendo assim os termos da substituição são:
Além disso, como a integração é por substituição, os novos limites de integração são:
Substituindo os termos acima em (4.17), tem-se que:
Resolvendo a integral (4.18), tem-se que:
Resolvendo os limites de integração de (4.19), tem-se que:
Como é um número inteiro ímpar, e todo cosseno de um número ímpar inteiro multiplicando é igual a -1, então tem-se que:
Simplificando a equação (4.20), tem-se que:
Substituindo (4.21) em (4.15), tem-se que:
Para colocar (4.12), em função de é necessário primeiro obter , que será calculada abaixo:
Além disso, também é necessário se obter . Para este caso por ser constante, então se tem que:
Por fim, também é necessário se obter . Assim como no caso anterior por ser constante, tem-se que:
Substituindo (4.22), (4.23), (4.24) e (4.25) em (4.12), tem-se que:
Passando o termo para o outro lado da igualdade na equação (4.26), tem-se que:
Colocando o somatório e o termo em evidência na equação (4.27):
Para que a somatória acima seja verdadeira para qualquer valor de , o primeiro termo deve ser sempre nulo na somatória, dessa forma:
Reorganizando (4.29), tem-se que:
Isolando em um dos lados da igualdade da equação (4.30), obtém-se o coeficiente :
Substituindo (4.31) em (4.13), obtém-se a solução particular para esse caso:
Dessa forma, a solução é dada pela soma das equações (4.11) e (4.32):
Colocando o somatório e o termo em evidência na equação (4.33):
A condição da placa ser simétrica com relação ao eixo , conduz , dessa forma:
Como as condições de contorno para esse caso são iguais a:
Então, aplicando a condição :
Isolando de um dos lados da igualdade, tem-se que:
Fazendo , e substituindo em (4.35), tem-se que:
Para aplicar a condição , tem-se que resolver :
Aplicando a condição , em (4.37), tem-se que
Substituindo em (4.38), tem-se que:
Simplificando a equação (4.39), tem-se que:
Substituindo (4.36) em (4.40), tem-se que:
Simplificando a equação (4.41), obtém-se que:
Anulando o termo em (4.42), tem-se que:
Isolando na equação (4.43), tem-se que:
Substituindo (4.44) em (4.36):
Reorganizando a equação (4.45), tem-se que:
Substituindo (4.44) e (4.46) em (4.33), tem-se que:
Reorganizando (4.47), tem-se a solução para o deslocamento em uma placa simplesmente apoiada:
Colocando em evidência na equação (4.48), tem-se que:
Placas retangulares carregadas com momentos ao longo da borda
Para esse caso será considerada uma placa simplesmente apoiada em todas as bordas carregadas com momentos ao longo das extremidades. A Figura 4.3 mostra a configuração do carregamento da placa.
Figura 4.3 - Placa simplesmente apoiada carregada com momentos ao longo das bordas 
Assim como na situação anterior a equação diferencial homogênea que satisfaz o problema é dada por:
Sendo que para esse caso, as condições de contorno são dadas pelas seguintes informações:
Onde e representam os momentos distribuídos ao longo das bordas .
Como a equação (4.50) é homogênea, então a forma da solução em série é dada por:
Onde é em função apenas de . Vale salientar, que os termos da série satisfazem as condições de contorno mostradas em (a).
Além disso que a solução geral () é dada pela seguinte equação:
Onde , , e são constantes a serem determinadas.
Substituindo (4.52) em (4.51), tem-se que:
Para esse caso serão discutidos dois casos particulares:
Caso simétrico, onde ;
Caso antissimétrico,onde .
O caso geral se obtém combinando os dois casos particulares.
Para o caso simétrico deve ser uma função par de . Sendo assim, para esse caso . Substituindo e em (4.53), tem-se que:
Para satisfazer a condição de contorno (b), tem-se que:
Substituindo em (4.55), tem-se que:
Isolando de um lado da igualdade em (4.55), obtém-se que:
Como , substituindo esse valor em (4.56):
Substituindo (4.57) em (4.54), tem-se que:
Colocando o em evidência na equação (4.58), tem-se a forma da solução para o caso simétrico:
Para determinar , serão usadas as condições de contorno mostradas em (c). Vale salientar, que a distribuição de momentos a longo das bordas pode ser representada, para esse caso, por uma série de Fourier simples, ou seja:
Onde representa a distribuição de momento e coeficiente que pode ser calculado de forma usual para cada caso particular.
Para o caso simétrico, tem-se que:
Substituindo a condição de contorno (c) em (4.61), tem-se que:
Para resolver a equação (4.62), tem-se que obter , sendo assim abaixo segue o cálculo dessa derivada parcial, que é obtida a partir da equação (4.59):
Substituindo (4.63) em (4.62), tem-se que:
Substituindo em (4.64), obtém-se que:
Substituindo em (4.65), tem-se que:
Como , e substituindo esse valor em (4.66), tem-se que:
Simplificando a equação (4.67), tem-se que:
Anulando o termo na equação (4.68), tem-se que:
Observando a equação (4.69), pode-se ver que perceber o seguinte fato:
Isolando de um lado da igualdade na equação (4.70), tem-se que:
Substituindo (4.71) em (4.59), tem-se que:
Simplificando a equação (4.72), tem-se a deformação para o caso simétrico:
Para o caso antissimétrico, tem-se que:
Para esse caso a superfície de deformação é uma função ímpar de . Dessa forma, tem-se que, para esse caso . Substituindo e em (4.53), tem-se que:
Para satisfazer a condição de contorno (b), tem-se que:
Substituindo em (4.76), tem-se que:
Isolando de um lado da igualdade em (4.77), obtém-se que:
Como , substituindo esse valor em (4.78):
Substituindo (4.79) em (4.75), obtém-se que:
Colocando em evidência na equação (4.80), tem-se:
Para determinar , serão usadas as condições de contorno mostradas em (c). 
Substituindo a condição de contorno (c) em (4.74), tem-se que:
Para resolver a equação (4.81), tem-se que obter , sendo assim abaixo segue o cálculo dessa derivada parcial, que é obtida a partir da equação (4.80):
Substituindo (4.82) em (4.81), tem-se que:
Substituindo em (4.83), obtém-se que:
Substituindo em (4.84), tem-se que:
Como , substituindo esse valor em uma das da equação (4.85):
Simplificando a equação (4.86), tem-se que:
Anulando o termo da equação (4.87), tem-se que:
Colocando alguns termos em evidência da equação (4.88), tem-se que:
Observando a equação (4.89), pode-se perceber o seguinte fato:
Isolando em um lado da igualdade na equação (4.90), tem-se que:
	
Substituindo a equação (4.90) em (4.80):
Reorganizando a equação (4.91), tem-se que:
Como , substituindo em (4.92), obtém-se a deformação para o caso antissimétrico:
Para obter a superfície de deformação para um caso geral representada pelas condições de contorno apresentadas em (c) se deve combinar as soluções obtidas em (4.73) e (4.93). Para este propósito, dividimos as distribuições de momentos dados em uma distribuição simétrica de momentos e uma distribuição antissimétrica , da seguinte forma:
Onde esses momentos podem ser representados por:
Para o caso que vai ser resolvido, é necessário calcular apenas para o caso de distribuição de momentos na extremidade , o que faz com que . Dessa forma substituindo o valor de nas equações (4.94) e (4.95), tem-se que:
Substituindo (4.98) e (4.99) nas equações (4.96) e (4.97), respectivamente, tem-se que:
Como , substituindo esse valor em (4.100) e (4.101), tem-se que:
Observando as equações (4.102) e (4.103), percebe-se o seguinte fato:
Ou seja, 
Dessa forma a deformação total será a superposição das soluções obtidas em (4.73) e (4.93) considerando a distribuição de momentos (4.96) para o caso simétrico e (4.97) para o caso antissimétrico. Sendo assim, a solução é:
Substituindo (4.104) em (4.105), tem-se que para o caso de distribuição de momentos apenas na extremidade a solução é igual a:
Reorganizando a equação (4.106), tem-se que:
Com a demonstração das informações necessárias, agora será resolvido o problema em questão. Primeiro será obtida a rotação ao longo da extremidade de acordo com o carregamento distribuído. Para isso é necessário se obter a partir da solução obtida para o caso de placa simplesmente apoiada com uma carga distribuída uniforme, ou seja, equação (4.49).
Sendo assim de acordo com a equação (4.108) é igual a:
Substituindo em (4.109), tem-se que:
Reorganizando a equação (4.110), tem-se que:
Como , substituindo esse valor em (4.111), tem-se que:
Reorganizando (4.112), tem-se que:
Agora será obtida a rotação ao longo da extremidade de acordo com o momento distribuído nessa extremidade. Para isso é necessário se obter a partir da solução obtida para o caso de placa submetida a distribuição de momento na extremidade , ou seja, equação (4.107).
Sendo assim de acordo com a equação (4.114) é igual a:
Substituindo em (4.115), tem-se que:
Simplificando a equação (4.116), tem-se que:
Como e , substituindo esses valores em (4.117), tem-se que:
De acordo com a condição de restrição as duas expressões obtidas para a rotação são iguais em magnitude e tem sinais opostos, ou seja:
Dessa forma, pode-se obter . Sendo assim substituindo (4.113) e (4.118) em (4.119), tem-se que:
Observando a equação (4.120), pode-se perceber o seguinte fato:
Isolando em um dos lados da igualdade da equação (4.121), tem-se que:
Com isso, pode-se obter os momentos fletores ao longo da extremidade . Sabendo-se que:
Substituindo (4.122) em (4.123), tem-se que:
Reorganizando a equação (4.124), obtém-se que:
Para a obtenção da deformação no centro da placa. Primeiro deve substituir os valores de obtido em (4.122), e em (4.107):
Simplificando a equação (4.126), tem-se que:
Como no caso o valor de é sempre ímpar, então o ás vezes irá assumir o valor de (-1) e ás vezes o valor (1), de acordo com a seguinte equação:
Dessa forma, substituindo (4.128) em (4.127), tem-se que:
Sabendo-se que é dado pela equação (4.122).
Continuando, deve-se substituir os valores de, e em (4.49)
Reorganizando a equação (4.130), tem-se que:
Substituindo (4.128) em (4.131), tem-se que:
O valor da deflexão no centro da placa vai ser igual a parcela da deflexão obtida pelo caso de placa com carga distribuída uniforme mais a parcela obtida por distribuição de momento, ou seja:
Substituindo (4.129) e (4.132) em (4.133) tem-se que deformação no centro da placa é igual a:
Onde é dado pela equação (4.122).
Vale salientar, que para se obter a deformação em outros pontos da placa, é só fazer o mesmo processo que foi feito para o centro da placa. 
Com o auxílio do MATLAB foi feita a plotagem de e do momento no engaste. Utilizando-se os seguintes dados:
O algoritmo que fez a plotagem está em apêndice ao final deste relatório. Abaixo seguem as plotagens realizadas.
Figura 4.4 – Deformada.
Figura 4.5 – Momento em y=b/2.
Apêndice
Problema 1:
clear all
clc
format long
syms x y
%%%%%%% Plotagem 8.6.1 %%%%%%%%%
Po=1500 %carga distribuída uniformemente
a=10 %lado na direção x da placa
b=10 %lado na direção y da placa
E=2.5*10^10 %módulo de elasticidade
poisson=0.2 %coeficinete de poisson
h=0.1 %espessura da placa
B=E*h^3/(12*(1-poisson^2)) 
n_termos=4 %número de termos que serão utilizados na expansão da série
n_elem=15 %número de divisões da superfície para a plotagem
n_coordenadas=(n_elem+1) %número de coordenadas por direção
m=1 %contador m da série
n=1 %contador n da sériesomatorio_w=0 %iniciando a variável somatorio_w 
somatorio_Mxx=0 %iniciando a variável somatorio_Mxx
somatorio_Myy=0 %iniciando a variável somatorio_Myy
%loop para a expansão da série para calcular w(deformação) e os momentos
for i=1:n_termos
 for j=1:n_termos
 somatorio_w=somatorio_w+(16*Po/(B*(m*n*pi^6)))*sin(m*pi*x/a)*sin(n*pi*y/b)/((m/a)^2+(n/b)^2)^2
 somatorio_Mxx=somatorio_Mxx+(16*Po/(pi^4))*((m/a)^2+poisson*(n/b)^2)*sin(m*pi*x/a)*sin(n*pi*y/b)/(m*n*((m/a)^2+(n/b)^2)^2)
 somatorio_Myy=somatorio_Myy+(16*Po/(pi^4))*(poisson*(m/a)^2+(n/b)^2)*sin(m*pi*x/a)*sin(n*pi*y/b)/(m*n*((m/a)^2+(n/b)^2)^2)
 n=n+2 %incrementando n, de forma que seja sempre ímpar 
 end
 n=1 %reinicializando n
 m=m+2 %incrementando m, de forma que seja sempre ímpar
end
%loop para a montagem das coordenadas 
for i=1:n_coordenadas
 coord_x(i)=(a/(n_coordenadas-1))*(i-1)
 coord_y(i)=(b/(n_coordenadas-1))*(i-1)
end
tam1=length(coord_x) %tamanho coord_x
tam2=length(coord_y) %tamanho coord_y
w(tam1,tam2)=0*x+0*y %matriz para armazenar os valores de w para plotar a superfície
Mxx(tam1,tam2)=0*x+0*y %matriz para armazenar os valores de Mxx para plotar a superfície
Myy(tam1,tam2)=0*x+0*y %matriz para armazenar os valores de Myy para plotar a superfície
for i=1:tam1
 for j=1:tam2
 aux1=somatorio_w %variável auxiliar para w
 aux2=somatorio_Mxx %variável auxiliar para Mxx
 aux3=somatorio_Myy %variável auxiliar para Myy
 w(i,j)=subs(aux1,x,coord_x(i)) %substituindo a variável x pelo valor da coordenada
 w(i,j)=subs(w(i,j),y,coord_y(j)) %substituindo a variável y pelo valor da coordenada
 Mxx(i,j)=subs(aux2,x,coord_x(i)) %substituindo a variável x pelo valor da coordenada
 Mxx(i,j)=subs(Mxx(i,j),y,coord_y(j)) %substituindo a variável y pelo valor da coordenada
 Myy(i,j)=subs(aux3,x,coord_x(i)) %substituindo a variável x pelo valor da coordenada
 Myy(i,j)=subs(Myy(i,j),y,coord_y(j)) %substituindo a variável y pelo valor da coordenada
 end
end
%plotagem das figuras
figure(1)
hold on
surface(coord_y,coord_x,w)
view(3)
xlabel('y')
ylabel('x')
zlabel('w')
hold off
figure(2)
hold on
surface(coord_y,coord_x,Mxx)
view(3)
xlabel('y')
ylabel('x')
zlabel('Mxx')
hold off
figure(3)
hold on
surface(coord_y,coord_x,Myy)
view(3)
xlabel('y')
ylabel('x')
zlabel('Myy')
hold off
Problema 2:
clear all
clc
format long
syms x y
%%%%%%% Plotagem 8.6.2 %%%%%%%%%
Po=1500 %carga distribuída uniformemente
a=10 %lado na direção y da placa
b=10 %lado na direção x da placa
u=5 %distância da borda até o centro do carregamento (direção y)
v=5%distância da borda até o centro do carregamento (direção x)
c=2.5 %dimensão na direção y da área de aplicação até o centro do carregamento 
d=2.5 %dimensão na direção x da área de aplicação até o centro do carregamento 
E=2.5*10^10 %módulo de elasticida
poisson=0.2 %coeficiente de poisson
h=0.1 %espessura da placa
B=E*h^3/(12*(1-poisson^2))
n_termos=4 %número de termos que serão utilizados na expansão da série
n_elem=15 %número de divisões da superfície para a plotagem
n_coordenadas=(n_elem+1) %número de coordenadas por direção
m=1 %contador m da série
n=1 %contador n da série
somatorio_w=0 %iniciando a variável somatorio_w 
%loop para a expansão da série para calcular w(deformação)
for i=1:n_termos
 for j=1:n_termos
 somatorio_w=somatorio_w+(16*Po)/(m*n*B*pi^6)*(sin(m*pi*u/a)*sin(m*pi*c/a)*sin(n*pi*v/b)*sin(n*pi*d/b)*sin(m*pi*y/a)*sin(n*pi*x/b))/((m/a)^2+(n/b)^2)^2
 n=n+2 %incrementando n, de forma que seja sempre ímpar
 end
 n=1 %reinicializando n
 m=m+2 %incrementando m, de forma que seja sempre ímpar
end
%loop para a montagem das coordenadas 
for i=1:n_coordenadas
 coord_x(i)=(b/(n_coordenadas-1))*(i-1) 
 coord_y(i)=(a/(n_coordenadas-1))*(i-1) 
end
tam1=length(coord_x) %tamanho coord_x
tam2=length(coord_y) %tamanho coord_y
w(tam1,tam2)=0*x+0*y %matriz para armazenar os valores de w para plotar a superfície
for i=1:tam1
 for j=1:tam2
 aux=somatorio_w %variável auxiliar
 w(i,j)=subs(aux,x,coord_x(i)) %substituindo a variável x pelo valor da coordenada
 w(i,j)=subs(w(i,j),y,coord_y(j)) %substituindo a variável y pelo valor da coordenada
 end
end
surface(coord_y,coord_x,w)
view(3)
xlabel('y')
ylabel('x')
zlabel('w')
Problema 3:
clear all
clc
format long
syms x y
%%%%%%% Plotagem 8.6.2 %%%%%%%%%
P=600000 %carga concentrada
a=10 %lado na direção y da placa
b=10 %lado na direção x da placa
u=5 %distância da borda até o centro do carregamento (direção y)
v=5%distância da borda até o centro do carregamento (direção x)
E=2.5*10^10 %módulo de elasticida
poisson=0.2 %coeficiente de poisson
h=0.1 %espessura da placa
B=E*h^3/(12*(1-poisson^2))
n_termos=4 %número de termos que serão utilizados na expansão da série
n_elem=15 %número de divisões da superfície para a plotagem
n_coordenadas=(n_elem+1) %número de coordenadas por direção
m=1 %contador m da série
n=1 %contador n da série
somatorio_w=0 %iniciando a variável somatorio_w 
%loop para a expansão da série para calcular w(deformação)
for i=1:n_termos
 for j=1:n_termos
 somatorio_w=somatorio_w+(4*P)/(a*b*B*pi^4)*(sin(m*pi*u/a)*sin(n*pi*v/b)*sin(m*pi*y/a)*sin(n*pi*x/b)/((m/a)^2+(n/b)^2)^2)
 n=n+2 %incrementando n, de forma que seja sempre ímpar
 end
 n=1 %reinicializando n
 m=m+2 %incrementando m, de forma que seja sempre ímpar
end
%loop para a montagem das coordenadas 
for i=1:n_coordenadas
 coord_x(i)=(b/(n_coordenadas-1))*(i-1) 
 coord_y(i)=(a/(n_coordenadas-1))*(i-1) 
end
tam1=length(coord_x) %tamanho coord_x
tam2=length(coord_y) %tamanho coord_y
w(tam1,tam2)=0*x+0*y %matriz para armazenar os valores de w para plotar a superfície
for i=1:tam1
 for j=1:tam2
 aux=somatorio_w %variável auxiliar
 w(i,j)=subs(aux,x,coord_x(i)) %substituindo a variável x pelo valor da coordenada
 w(i,j)=subs(w(i,j),y,coord_y(j)) %substituindo a variável y pelo valor da coordenada
 end
end
surface(coord_x,coord_y,w)
view(3)
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('w')
Problema 4:
clear all
clc
format long
syms y x 
%%%%%%Problema 4 - 43 Timoshenko%%%%%
termos=4 %número de termos da expansão
a=10 %lado na direção x
b=10 %lado na direção y
m=1 %contador somatório (só ímpar)
w2=0 %inicializando w2
w1=0 %inicializando w1
po=1500 %carregamento distribuído
E=2.5*10^10 %módulo de elasticida
poisson=0.2 %coeficiente de poisson
h=0.1 %espessura da placa
B=E*h^3/(12*(1-poisson^2))
n_x=15 %número de divisões na direção x
n_y=15 %número de divisões na direção y
M_bsobre2=0 %
for i=1:(n_x+1)
 coord_x(i)=(i-1)*a/(n_x) %coordenadas em x
end
for i=1:(n_y+1)
 coord_y(i)=(-b/2)+(i-1)*b/(n_y) %coordenadas em y
end
for i=1:termos
 alfa=m*pi*b/(2*a)
 Em=-(8*po*a^2/(pi^3*m^3))*(alfa-tanh(alfa)*(1+alfa*tanh(alfa)))/(alfa*(tanh(alfa))^2-tanh(alfa)+alfa*(coth(alfa))^2-coth(alfa)-2*alfa)
 M_bsobre2=M_bsobre2+Em*sin(m*pi*x/a)
 w2=w2+(a^2/(4*pi^2*B))*(Em/m^2)*((1/cosh(alfa))*(alfa*tanh(alfa)*cosh(m*pi*y/a)-(m*pi*y/a)*sinh(m*pi*y/a))+(1/sinh(alfa))*(alfa*coth(alfa)*sinh(m*pi*y/a)-(m*pi*y/a)*cosh(m*pi*y/a)))*sin(m*pi*x/a)
 w1=w1+(4*po*a^4/(pi^5*B))*(1/m^5)*(1-(alfa*tanh(alfa)+2)*cosh(m*pi*y/a)/(2*cosh(alfa))+(m*pi*y/a)*sinh(m*pi*y/a)/(2*cosh(alfa)))*sin(m*pi*x/a)
end
tam_x=length(coord_x)
tam_y=length(coord_y)
for i=1:tam_x
 for j=1:tam_y
 aux_w1=subs(w1,x,coord_x(i))
 aux_w1=subs(aux_w1,y,coord_y(j))
 aux_w2=subs(w2,x,coord_x(i))
 aux_w2=subs(aux_w2,y,coord_y(j))
 w(i,j)=double(aux_w1+aux_w2) 
 end
 M(i)=subs(M_bsobre2,x,coord_x(i))
end
figure(1)
hold on
surface(coord_y,coord_x,w)
view(3)
xlabel('y')
ylabel('x')
zlabel('w')
hold off
 
figure(2)
hold on
plot(coord_x,M)
xlabel('x')
ylabel('Momento fletor para y=b/2')
hold off