Estado triplo de deformações

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ESTADO DE DEFORMAÇÕES 
 
Exercício 1 
Dado o estado de deformação: 
 
{𝛾}𝑥𝑦𝑧 = (
2 1 2
1 2 1
2 1 1
) × 10−2 
Determinar: 
a) Deformações principais. b) Deformações octaédricas. 
c) Deformação volumétrica total. 
 
Parte 1 – Invariantes de Deformações 
O estado triplo de deformações pode ser escrito em notação tensorial 
{𝛾}𝑥𝑦𝑧 = [
𝜀𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧
𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑦 𝜀𝑦𝑧
𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑧 𝜀𝑧
] =
[
 
 
 
 
 𝜀𝑥
𝛾𝑥𝑦
2
𝛾𝑥𝑧
2
𝛾𝑥𝑦
2
𝜀𝑦
𝛾𝑦𝑧
2
𝛾𝑥𝑧
2
𝛾𝑦𝑧
2
𝜀𝑧 ]
 
 
 
 
 
 
Do desenvolvimento do estado triplo de deformações sabe-se que os três invariantes 
de deformação podem ser obtidos por: 
𝐼′1 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 
𝐼′2 = 𝜀𝑥𝜀𝑦 + 𝜀𝑦𝜀𝑧 + 𝜀𝑥𝜀𝑧 − 𝜀𝑥𝑦
2 − 𝜀𝑦𝑧
2 − 𝜀𝑥𝑧
2 = 𝜀1𝜀2 + 𝜀2𝜀3 + 𝜀1𝜀3 
𝐼′3 = 𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧 + 2𝜀𝑥𝑦𝜀𝑦𝑧𝜀𝑥𝑧 − 𝜀𝑥𝜀𝑦𝑧
2 − 𝜀𝑦𝜀𝑥𝑧
2 − 𝜀𝑧 𝜀𝑥𝑦
2 = 𝜀1𝜀2𝜀3 
Colocando 10-2 em evidência, obtemos para o tensor de deformações: 
𝐼′1 = 2 + 2 + 1 = 5 
𝐼′2 = 2 × 2 + 2 × 1 + 1 × 2 − 1
2 − 22 − 12 = 2 
𝐼′3 = 2 × 1,5 × 1 + 2(1 × 2 × 1) − 2 × 1
2 − 2 × 22 − 1 × 12 = −3 
Parte 2 – Deformações Principais 
A partir das invariantes de deformação, pode-se construir a equação característica do 
estado triplo de deformações: 
𝜀3 − 𝐼′1𝜀
2 + 𝐼′2𝜀 − 𝐼′3 = 0 
𝜀3 − 5 × 𝜀2 + 2 × 𝜀 + 3 = 0 
 
2 
As raízes da equação característica (autovalores) fornecem as deformações principais 
atuantes no corpo. Desenvolvendo a resolução da equação cúbica, obtemos: 
𝜀1 = 4,39 × 10
−2 
𝜀2 = 1,18 × 10
−2 
𝜀3 = −0,58 × 10
−2 
 
Parte 3 – Deformações Octaédricas 
As deformações octaédricas normal e cisalhante podem ser determinadas pelas 
expressões: 
𝜀𝑚 = 𝜀𝑜𝑐𝑡 =
𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3
3
=
(4,39 + 1,18 − 0,58) × 10−2
3
= 0,0166 = 1,67 × 10−2 
 
𝛾𝑜𝑐𝑡
2 =
1
9
[(𝜀1 − 𝜀2)
2 + (𝜀2 − 𝜀3)
2 + (𝜀3 − 𝜀1)
2] 
𝛾𝑜𝑐𝑡
2 =
1
9
[(4,39× 10−2 − 1,18 × 10−2)2 + (1,18 × 10−2+ 0,58 × 10−2)2
+ (−0,58× 10−2 − 4,39 × 10−2)2] 
𝛾𝑜𝑐𝑡 = ± 0,0206 = ± 2,06 × 10
−2 
 
Parte 4 – Deformação Volumétrica Total 
A deformação volumétrica total do corpo pode ser obtida por 
𝜀𝑣 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 3𝜀𝑚 = 3 × 1,67 × 10
−2 = 5 × 10−2 
 
Exercício 2 
Deduzir a matriz constitutiva para um material homogêneo, contínuo e isotrópico. Obs. 
Suponha que o material seja elástico e, portanto, a matriz constitutiva é simétrica. 
 
 
Considerando o material homogêneo, isotrópico, contínuo elástico linear, podemos 
aplicar a Lei de Hook que correlaciona tensões e deformações através de uma constante 
elástica "E” – Módulo de elasticidade do material. 
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 (1) 
Ainda nestas premissas, é possível definir o coeficiente de Poisson (ν) que relaciona 
das deformações transversais e longitudinais apresentadas pelo corpo 
 
3 
𝑣 = −
𝜀𝑦
𝜀𝑥
= −
𝜀𝑧
𝜀𝑥
 (2) 
Aplicando as relações (1) e (2), observamos que uma componente de deformação está 
relacionada com as tensões existentes nos 3 eixos: 
𝜀𝑥 = 
𝜎𝑥
𝐸
 (3) 
𝜀𝑥 = −𝑣𝜀𝑦 = −𝑣 
𝜎𝑦
𝐸
 (4) 
𝜀𝑥 = −𝑣𝜀𝑧 = −𝑣 
𝜎𝑧
𝐸
 (5) 
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝐸
− 𝑣 
𝜎𝑦
𝐸
− 𝑣 
𝜎𝑧
𝐸
=
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] (6) 
 
Aplicando raciocínio análogo para as demais direções, obtemos 
𝜀𝑦 =
1
𝐸
[𝜎𝑦 − 𝑣(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] (7) 
𝜀𝑧 =
1
𝐸
[𝜎𝑧 − 𝑣(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)] (8) 
 
Ainda, considerando a relação de tensão cisalhante e deformação angular, obtemos 
𝜏𝑥𝑦 = 𝐺. 𝛾𝑥𝑦 (9) 
Sendo, 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝑣)
 
 
Realizando procedimento análogo para as demais distorções e agrupando os termos 
em notação matricial, obtemos a Lei de Hook generalizada para o estado triplo de tensões 
 
 
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝜀𝑥𝑦
𝜀𝑥𝑧
𝜀𝑦𝑧}
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
1
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
1
𝐸
1
𝐺
1
𝐺 1
𝐺 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
×
{
 
 
 
 
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧}
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Exercício 3 
Deduzir a relação: G = f (E,ν). Demonstração (ver Chou e Pagano (1992)). 
 
Seja um corpo de material homogêneo, isotrópico e linear elástico, representado na 
Figura 1: 
Figura 1 - Corpo homogêneo, linear e isotrópico 
 
As componentes de deformação podem ser dadas por: 
𝜀𝑥 = 
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝑣𝜎𝑦] (10) 
𝜀𝑦 = 
1
𝐸
[𝜎𝑦 − 𝑣𝜎𝑥] (11) 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
 (12) 
 
Além disso, as componentes de tensão e deslocamento em um plano qualquer são 
determinadas por: 
 
{
𝜎𝑥′ = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
cos(2𝛼) +
𝜏𝑥𝑦
2
sen(2𝛼)
𝜎𝑦′ = 
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
cos(2𝛼) +
𝜏𝑥𝑦
2
sen(2𝛼)
 (13) 
 
{
𝜀𝑥′ = 
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
+
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
cos(2𝛼) +
𝛾𝑥𝑦
2
sen(2𝛼)
𝜀𝑦′ = 
𝜀𝑥 + 𝜀𝑦
2
+
𝜀𝑥 − 𝜀𝑦
2
cos(2𝛼) +
𝛾𝑥𝑦
2
sen(2𝛼)
 (14) 
 
 
5 
Como o material é isotrópico, ele apresenta as mesmas propriedades em quaisquer 
direções. Assim, as relações constitutivas tensão-deformação devem ser as mesmas, 
independente dos eixos: 
 
𝜀𝑥′ = 
1
𝐸
[𝜎𝑥′ − 𝑣𝜎𝑦′] (15) 
𝜀𝑦′ = 
1
𝐸
[𝜎𝑦′ − 𝑣𝜎𝑥′] (16) 
𝛾𝑥′𝑦′ =
𝜏𝑥′𝑦′
𝐺
 (17) 
 
Substituindo as equações (13), (14) na equação (15) e subtraindo da substituição das 
equações (13), (14) na equação (16), obtemos: 
 
(𝜀𝑥 − 𝜀𝑥) cos(2𝛼) + 𝛾𝑥𝑦 sen(2𝛼)
= 
1
𝐸
[(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)(1 + 𝑣)𝑐𝑜𝑠(2𝛼) + 2𝜏𝑥𝑦(1 + 𝑣)𝑠𝑒𝑛(2𝛼)] 
(18) 
 
Combinando a equação (10) com a (11) e subtraindo da equação (18) obtemos: 
𝛾𝑥𝑦 =
2(1 + 𝑣)
𝐸
𝜏𝑥𝑦 (19) 
 
Ao comparar a equação (19) com a (12) observamos que 
1
𝐺
=
2(1 + 𝑣)
𝐸
 
 
𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝑣)
 
 
Verificando que apesar de existirem 3 componentes elásticas (para materiais 
homogêneos e isotrópicos), apenas 2 são independentes.